Álgebra Lineal Hernández S.

ÁLGEBRA LINEAL

ÁLGEBRA LINEAL SAUL EDUARDO HERNANDEZ CANO RED TERCER MILENIO

AVISO LEGAL Derechos Reservados  2012, por RED TERCER MILENIO S.C. Viveros de Asís 96, Col. Viveros de la Loma, Tlalnepantla, C.P. 54080, Estado de México. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, sin la autorización por escrito del titular de los derechos. Datos para catalogación bibliográfica Saúl Eduardo Hernández Cano Álgebra lineal ISBN 978-607-733-104-9 Primera edición: 2012 DIRECTORIO Bárbara Jean Mair Rowberry Jesús Andrés Carranza Castellanos Directora General Director Corporativo de Administración Rafael Campos Hernández Héctor Raúl Gutiérrez Zamora Ferreira Director Académico Corporativo Director Corporativo de Finanzas Ximena Montes Edgar Directora Corporativo de Expansión y Proyectos

2 ÍNDICE INTRODUCCIÓN 6 MAPA CONCEPTUAL 7 UNIDAD 1. NÚMEROS COMPLEJOS 8 MAPA CONCEPTUAL 10 INTRODUCCIÓN 12 1.1. DEFINICIÓN 12 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 12 1.2. OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NÚMEROS COMPLEJOS 12 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 15 1.3. ELEVACIÓN DE POTENCIA Y EXTRACCIÓN DE LA RAÍZ DEL NUMERO COMPLEJO 16 1.4. FUNCIÓN EXPONENCIAL CON EXPONENTE COMPLEJO Y SUS PROPIEDADES 17 AUTOEVALUACIÓN 18 UNIDAD 2. MATRICES 20 MAPA CONCEPTUAL 22 INTRODUCCIÓN 23 2.1. DEFINICIÓN DE MATRICES 24

3 2.2. CLASIFICACIÓN DE MATRICES 26 2.2.1. CUADRADAS 26 2.2.2. TRIANGULARES 27 2.2.3. ESCALAR 30 2.2.4. UNITARIA 30 2.2.5. NULA 31 2.2.6. TRANSPUESTA 31 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 33 2.3. OPERACIONES CON MATRICES 33 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 37 2.4. TRANSFORMACIONES ELEMENTALES DE UNA MATRIZ 39 2.5. RANGO DE UNA MATRIZ 40 2.6. MATRIZ ESCALONADA Y CANÓNICA 42 2.7.- DEFINICIÓN DE DETERMINANTE N * N 45 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 47 2.8.- CALCULO DE LAS DETERMINANTES N * N 47 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 51 2.9.- PROPIEDADES DE LAS DETERMINANTES 53 2.10.- INVERSA DE LA MATRIZ POR EL MÉTODO DE LA ADJUNTA 56 2.11. INVERSA DE UNA MATRIZ POR EL MÉTODO DE GAUSS - JORDAN 58 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 64

4 AUTOEVALUACIÓN 66 UNIDAD 3.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 68 MAPA CONCEPTUAL 70 INTRODUCCIÓN 71 3.1. DEFINICIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 72 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 74 3.2. SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES POR EL MÉTODO DE GAUSS 74 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 78 3.3. SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES POR EL MÉTODO DE GAUSS - JORDAN 79 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 83 3.4. SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES POR EL MÉTODO DE LA INVERSA 85 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 87 3.5. SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES POR EL MÉTODO DE CRAMER 88 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 92 AUTOEVALUACIÓN 93 UNIDA 4.- ESPACIO VECTORIAL 95 MAPA CONCEPTUAL 97 INTRODUCCIÓN 98

5 4.1. DEFINICIÓN DE ESPACIOS VECTORIALES Y SUS PROPIEDADES 99 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 101 4.2. COMBINACIÓN LINEAL, DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL 101 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 102 4.3. BASES Y DIMENSIONES 102 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 103 4.4. CAMBIO DE BASE, BASES ORTOGONALES DE GRAM - SCHMIDT 104 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 106 4.5.- DESIGUALDAD DE CAUCHY - SCHWARZ 106 AUTOEVALUACIÓN 108 GLOSARIO 109 BIBLIOGRAFÍA 114

6 INTRODUCCIÓN El algebra lineal es una herramienta de las matemáticas que se usa en el manejo de arreglos matriciales; dichos arreglos son trabajados de muchas maneras en la vida diaria como puede ser en el desarrollo de proyectos del área de control analógico o de control digital, en buscar incógnitas para resolver ecuaciones lineales muy grandes con n incógnitas, etc. Este libro de ayuda teórico – practica se ha dividido en cuatro diferentes unidades, las cuales se explican a continuación. La unidad 1 se enfoca al trabajo con números complejos, en esta unidad se verán las propiedades con que cuentan los números complejos, asimismo se analizaran todas las operaciones matemáticas que se pueden hacer con ellos y la característica que los diferencia de los números reales. La unidad 2 que lleva por titulo matrices tiene que ver con la forma en que se pueden trabajar los arreglos matriciales, los diferentes tipos de matrices que existen y las diferentes operaciones matemáticas que se pueden realizar con ellas, el uso y trabajo con determinantes y su aplicación en la resolución de ejercicios y problemas, esta es la unidad mas extensa del temario y su correcta interpretación y aplicación ayudara mucho en el manejo de la siguiente unidad, puesto que ambas van de la mano. La unidad 3 tiene que ver con los sistemas de ecuaciones lineales, se trabajan con métodos algebraicos para poder encontrar las incógnitas correspondientes que mediante los diferentes procesos que hay para trabajar con matrices se pueden llegar a su solución, así mismo se trabaja con pivoteo algebraicos para poder reducir resultados. La unidad 4 es referente a los espacios vectoriales, es el manejo de las matemáticas vectoriales en la resolución de problemas en la cual las tres dimensiones están presentes.

7 MAPA CONCEPTUAL DE LA ASIGNATURA

8 UNIDAD 1 NÚMEROS COMPLEJOS 1 OBJETIVO: El estudiante definirá el concepto de número complejo y la importancia que tiene el estudio de ellos en la ingeniería, así como la aplicación y practica de problemas con números complejos; así como la ilustración de las características de la función exponencial. 1 http://perso.wanadoo.es/arnadelo/imagenes/complejos.jpg

9 TEMARIO 1.1 Definición 1.2 Operaciones fundamentales con números complejos 1.3 Elevación de potencias y extracción de la raíz del número complejo. 1.4 Función exponencial con exponente complejo y sus propiedades.

10 MAPA CONCEPTUAL Números Complejos Se Definen Como una Parte real e imaginaria Se pueden hacer Operaciones Fundamentales Como Suma Resta Multiplicación División Potencias Raíz Es una Función Exponencial Trabaja con Exponente complejo Propiedades

11 INTRODUCCIÓN En esta primera unidad se abordarán los temas referentes a la definición de número complejos, sus características y las propiedades con las que cuenta. Se tocará el tema de las operaciones básicas, fundamentales y complejas que se pueden realizar con ellos; asimismo se verá el tema de radicación y potencia de un número complejo y el exponencial elevado a una potencia compleja con su respectiva sustitución.

12 1.1.- DEFINICIÓN. Se puede decir que un número imaginario no es más que la indicación de la raíz de índice par de un número negativo; o también podemos decir que es el producto de un número positivo o negativo cualquiera por la unidad imaginaria i.12 . Un número complejo es la suma algebraica de un número real con un número imaginario. U = a + bi. El número imaginario puro es el complejo cuya parte real es cero. Llamaremos a la unidad imaginaria. Un número complejo se define como u=a+bi (forma binómica) donde a se llama parte real y b se llama parte imaginaria. En su representación gráfica el extremo del vector se llama afijo del número complejo. ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 1. Enumerar las características de los números complejos mediante la realización de un mapa conceptual de lo explicado en clase. 1.2.- OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NÚMEROS COMPLEJOS SUMA Para que se pueda realizar una suma de números complejos, se siguen las normas o reglas básicas de la aritmética, sumando los números reales con los números reales y los números imaginarios con los números imaginarios 2 Anfossi Agustín, Álgebra, p. 400.

13 realmente transversales23 (de forma parecida a números reales con incógnitas como X Y Z): Ejemplo de la suma: Ejemplo con números: (3+4i) + (2+3i) – (5-2i) (3+2-5) + (4+3+2)i Separamos los complejos de los imaginarios de manera que se nos de siguiente resultado: 0 + 9i RESTA Es exactamente igual que la suma, solamente con la diferencia obvia; que en lugar de sumar se van a restar. Se restan los números reales con los números reales y los números imaginarios con los números imaginarios. Por ejemplo: (4-2i)-(2+i)= (2-3i) se puede observar en este sencillo ejemplo como la parte real del primer paréntesis se le resto la parte real del segundo paréntesis, que siguiendo la regla básica de ley de los signos, el signo menos que esta 3 Anfossi Agustín, Álgebra, p. 404.

14 afuera del paréntesis altera los signos de todos los términos que están entre paréntesis, y lo mismo exactamente con la parte imaginaria. MULTIPLICACIÓN Para obtener el producto de dos números complejos, se multiplica cada término del primer paréntesis por todos los términos del segundo paréntesis, con lo que se obtienen todos los términos a reducir, obsérvese la regla de la multiplicación: Véase que el término bdi2 pasa a ser − bd. Eso es porque i2 = − 1. 4 Ejemplo: DIVISIÓN La división de números complejos requiere un mayor trabajo que la multiplicación y partimos de un artificio previo, basado en que el producto de un número complejo por su conjugado da como resultado un número real: Si la división de dos números complejos, la multiplicamos y dividimos por el conjugado del denominador: 4 Anfossi Agustín, Algebra, p. 406.

15 POTENCIAS Para poder elevar un número complejo a un exponente entero, se aplican las reglas de los productos notables. No debe de olvidarse o tener en cuenta la igualdad i2 = − 1: Cabe mencionar que para llevar a cabo operaciones de potencia en números complejos es conveniente hacer uso del Teorema de Moivre, cuyo uso es bastante sencillo y rápido de aprenderse, pero nos hará falta antes revisar la conversión de número complejo estándar a su forma polar, pues es en la forma polar en la cual es aplicable el teorema de Moivre. ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 1. Resolución de ejercicios con las diferentes operaciones algebraicas que se pueden hacer con los números complejos (suma, resta, multiplicación, división, potencia). 1. (23 + 14i) + (36 – 22i) 2. (45 – 35i) – (25 + 12i) 3. (45 + 38i) * (12 – 23i) 4. (45 – 12i) / (5 + 12i) 5. (20 + 98i) + (43 + 45i) 6. (56 – 23i) – (-57 – 89i) 7. (34 – 56i) – (23 -67i) 8. (57 – 67i) + (89 + 90i) 9. (12 + 23i) – (76 – 34i) 10.(12 – 14i) * (23 – 22i) 11.(18 + 25i) * (96 + 76i)

16 12.(24 – 45i) / (12 + 14i) 13.(34 – 23i)2 14.(23 – 12i)3 15.(22 + 18i)3 1.3. ELEVACIÓN DE POTENCIAS Y EXTRACCIÓN DE LA RAÍZ DEL NÚMERO COMPLEJO Para poder obtener la potencia de un número complejo, aplicamos el Teorema conocido como el binomio de Newton, que se muestra a continuación. Teniendo en cuenta que las potencias de la unidad imaginaria dan como resultado el siguiente desarrollo matemático: Otro número complejo cuya parte real es Y cuya parte imaginaria es Como se puede observar en el teorema, a pesar de ser una única fórmula, se separan tanto la parte real como la parte imaginaria para poder obtener un resultado más conciso. Precisamos, para llevar a cabo este cálculo de dos funciones auxiliares denominadas combinatorio y potencia, una que calcule en número combinatorio m sobre n, y otra que calcule el resultado de elevar un número real a una potencia entera.

17 1.4. FUNCIÓN EXPONENCIAL CON EXPONENTE COMPLEJO Y SUS PROPIEDADES Sea z = x + y.i, si x e y son variables reales, z es una variable compleja. Consideremos la función exponencial de variable compleja: f (z) = ez = ex + y.i Los valores complejos de la función f (z) se definen del modo siguiente: ex + y.i = ex. (Cos α + i.sen α) Sean z, z1 y z2 números complejos y m un número entero, entonces: (ez)m = em.zez + 2.π.i = ez Se cumplen las reglas de derivación de la función exponencial de variable real. Consideremos un número imaginario puro, la fórmula de Euler5 expresa la relación entre la función exponencial de exponente imaginario y las funciones trigonométricas y es: ey.i = cos α + i.sen α de la podemos deducir las expresiones de seno y coseno en función de ellas. Sea z un número complejo en forma trigonométrica: z = r. (cos α + i.sen α) donde r es el módulo y α un argumento. Según la fórmula de Euler: cos α + i.sen α = e α.i z = r.e α .i y todo número complejo puede ser representado en forma exponencial. 5 La fórmula de Euler como tal es solamente una aplicación matemática mediante el cual se convierte una función exponencial (e) en un manejo de funciones trigonométricas representada por senos y cosenos.

18 AUTOEVALUACIÓN Contesta correctamente las siguientes preguntas 1. Se conoce, con ese nombre a la combinación en una operación algebraica, de una parte real con una parte imaginaria: 2. ¿Qué es un número imaginario? 3. ¿Qué característica tiene un número imaginario? Resuelve correctamente los siguientes problemas: 1. (5 + 3i) + (8 + 4i) 2. (7 + 9i) + (13 – 7i) 3. (19 – 20i) – (8 – 20i) 4. (-6 – 5i) – (-9 – 2i) 5. (3 + 4i) + (2 + 3i) – (5 – 2i) 6. (27 – 20i) + (36 – 35i) – (17 – 39i) RESPUESTAS AUTOEVALUACIÓN 1. Número complejo.

19 2. Es el número complejo cuya parte real es cero. 3. Es la raíz cuadrada de -1. 1. 13 + 7i 2. 20 +2i 3. 11 4. 3 – 3i 5. 9i 6. 46 – 16i

20 UNIDAD 2 MATRICES OBJETIVO: El estudiante definirá e identificará cada una de las características de las matrices, así el como usará las matrices matemáticas en la resolución de problemas algebraicos con incógnitas y las diversas operaciones que se pueden realizar con ellas.

21 TEMARIO: 2.1 Definición de matrices. 2.2 Clasificación de matrices 2.2.1 Cuadradas 2.2.2 Triangulares 2.2.3 Escalar 2.2.4 Unitaria 2.2.5 Nula 2.2.6 Transpuesta 2.3 Operaciones con matrices. 2.4 Transformaciones elementales de una matriz. 2.5 Rango de una matriz. 2.6 Matriz escalonada y canónica. 2.7 Definición de determinantes n x n. 2.8 Cálculo de las determinantes n x n. 2.9 Propiedades de las determinantes. 2.10 Inversa de una matriz por el método de la adjunta. 2.11 Inversa de una matriz por el método de Gauss - Jordan.

22 MAPA CONCEPTUAL Matrices Se Definen Puede realizar pueden Clasificar Operaciones También Cuadradas Triangulares Escalar Unitaria Inversa La Nula Transpuesta Como Suma Resta Transformación Multiplicación División Determinantes Tienen Propiedades

23 INTRODUCCIÓN En esta unidad se trabajará con arreglos matriciales; se dará la definición clásica de matriz, sus propiedades así como también las diferentes clasificaciones de matrices. También se abordarán las diferentes operaciones que se pueden realizar con arreglos matriciales; para así poder dar paso al uso y aplicación de las determinantes en la resolución de ejercicios y problemas. Se tocará el tema de matriz inversa y se empezará con el desarrollo de resolución de ecuaciones por el método de Gauss – Jordan. Esta unidad es de gran importancia dado que la unidad subsecuente que lleva por nombre sistemas de ecuaciones lineales va de la mano con esta unidad.

24 2.1.- DEFINICIÓN DE MATRICES En matemáticas, una matriz se puede definir como una tabla de números consistente en cantidades abstractas, con las cuales pueden realizarse operaciones algebraicas como la suma y la multiplicación. Las matrices se ocupan para describir sistemas de ecuaciones lineales, llevar a cabo un seguimiento de coeficientes para una aplicación lineal y para registrar una tabla de datos que dependen de varios parámetros. Las matrices son descritas en un campo denominado teoría de matrices. Con las matrices pueden efectuarse operaciones algebraicas diferentes o descomponerse de varias maneras, lo cual las convierte en un punto clave dentro del álgebra lineal. “Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos o también llamados elementos (llamados elementos o entradas de la matriz) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito m×n), y a m y n dimensiones de la matriz. Las dimensiones de una matriz siempre se deben dar en el siguiente orden: con el número de filas primero y el número de columnas después. Comúnmente se dice que una matriz m-por-n tiene un orden de m × n (\"orden\" tiene el significado de tamaño). Dos matrices son iguales si se cumple la siguiente regla: son del mismo orden y tienen los mismos elementos.”6 “Al elemento o dato de una matriz que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le llama elemento i, j o elemento (i, j)-iésimo de la matriz”.7 Adviértase que se cumple el orden descrito, colocar primero las filas y después las columnas. “Comúnmente, se denotan a las matrices con letras mayúsculas mientras que se utilizan las correspondientes letras en minúsculas para denotar a los 6 http://www.slideshare.net/monicacamachoc/metodos-numericos3-4800828 7 http://www.slideshare.net/jmorenotito/presentacion-matrices-3129781

25 elementos o datos pertenecientes a las mismas. Por ejemplo, al elemento de una matriz A que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le denota como ai, j o a [i, j]”.8 “Notaciones alternativas son A [i, j] o Ai, j. Además de utilizar letras mayúsculas para representar matrices, otra forma de poder representar a las matrices es mediante el uso de fuentes en negrita para distinguirlas de otros tipos de variables. Así A es una matriz, mientras que A es un escalar”.9 “Normalmente se escribe para definir una matriz A m × n con cada elemento en la matriz A [i, j] llamada ai, j para todo 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n. Sin embargo, la convención del inicio de los índices i y j en 1 no es universal: algunos lenguajes de programación comienzan en cero, en cuál caso se tiene 0 ≤ i ≤ m − 1 y 0 ≤ j ≤ n – 1”.10 “Una matriz que contenga una sola columna o que solamente tenga una sola fila se denomina a menudo vector, y se interpreta como un elemento del espacio euclídeo. Una matriz 1 × n (una fila y n columnas) se denomina vector fila, y una matriz m × 1 (una columna y m filas) se denomina vector columna”.11 La matriz Es una matriz 4x3. El elemento A [2,3] o a2, 3 es 7. La matriz 8 http://aprenderencasa.educ.ar/aprender-en-casa/matem%202.pdf 9 Ibidem. 10 http://matricescaece.blogspot.com/2009/05/matrices-una-matriz-es-una-ordenacion.html 11 Grossman Stanley I, Álgebra lineal, p. 43.

26 Es una matriz 1×9, o un vector fila con 9 elementos. 2.2.- CLASIFICACIÓN DE MATRICES 2.2.1.- Cuadrada Una matriz de n*m elementos: Si A es una matriz m por n con la siguiente característica m = n, entonces A se llama matriz cuadrada.12 Una matriz es cuadrada si el número de elementos de la fila es igual al número de elementos de columnas. “Podemos decir, entonces que la matriz es de orden n. Toda matriz cuadrada la podemos descomponer en una suma de una matriz simétrica y una matriz anti simétrica”13 “Si la matriz A y B son matrices del mismo orden, entonces las podemos sumar entre sí. Los productos de matrices son válidos en ambos sentidos, AB y BA, recordando que orden de los factores no altera el producto. Además, surgen los conceptos de determinante”.14 12 Grossman Stanley I, Álgebra Lineal, p. 45 13 http://www.scribd.com/doc/6341041/Matriz 14http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:gFPpQnt_dNkJ:unefabsistemas.files.wordpress.com/2008/02/matriz.d oc+Si+la+matriz+A+y+B+son+matrices+del+mismo+orden,+entonces+las+podemos+sumar+entre+sí.+Los+productos+de+matrices+ son+válidos+en+ambos+sentidos,+AB+y&cd=4&hl=es&ct=clnk&gl=mx

27 “Una matriz cuadrada A de orden n es singular si su determinante es nulo. En tal caso se dice que dicha matriz no tiene inversa”.15 Ejemplo de matriz cuadrada para n = 3: Las matrices cuadradas son las más utilizadas en álgebra. 2.2.2.- Triangulares En álgebra lineal, una matriz triangular es un tipo especial y particular de matriz cuadrada cuyos elementos por encima o por debajo de su diagonal principal son cero.16 Gracias a que los sistemas de ecuaciones lineales utilizando matrices triangulares son fáciles de resolver, las matrices triangulares son las más utilizadas en el análisis numérico para resolver sistemas de ecuaciones lineales con n incógnitas, calcular inversas de las matrices y determinantes de las mismas. El método de descomposición LU permite descomponer cualquier matriz invertible como producto de una matriz triangular inferior L y una superior U. Una matriz cuadrada de orden n se afirma que es triangular superior, si posee la característica siguiente: 15 http://www.slideshare.net/marcecarrilloq/summary-of-matrixes-spanish-version 16 Grossman Stanley I, Álgebra Lineal, p. 110

28 Análogamente, una matriz de la forma: Se dice que es una matriz triangular inferior. “Se suelen emplear las letras U y L, respectivamente, ya que U es la inicial de upper triangular matrix y L de lower triangular matrix, los nombres que reciben estas matrices en inglés”.17 Ejemplos Es triangular superior y Es triangular inferior.  Una matriz triangular superior e inferior es una matriz diagonal.  El producto de dos matrices triangulares superiores (inferiores) es un matriz triangular superior (inferior).  La transpuesta de una matriz triangular superior es una matriz triangular inferior y viceversa. 17 http://www.slideshare.net/DUBANCASTROFLOREZ/matrices-pdf

29  El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de la diagonal.  Una matriz triangular es invertible si y solo si todos los elementos de la diagonal son no nulos. En este caso, la inversa de una matriz triangular superior (inferior) es otra matriz superior (inferior).  Los valores propios de una matriz triangular son los elementos de la diagonal principal. Un sistema de ecuaciones lineales en forma matricial O Es muy fácil de resolver. El primer sistema puede escribirse como Que puede resolverse siguiendo un simple algoritmo recursivo De forma análoga puede resolverse un sistema dado por una matriz triangular superior.

30 2 . 2 .3 . -Escalar Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales, son aquellos arreglos matriciales en los cuales se deben de coincidir en el valor numérico con el mismo valor que se tiene al inicio de la matriz, como es en el caso del ejemplo que se muestra a continuación . 2.2.4.- Unitaria Una matriz unitaria podemos definirla como aquella en la que los elementos de su diagonal principal son todos iguales a uno y todos los demás elementos son iguales a cero. También se le conoce como matriz identidad porque cualquier matriz M con m filas y n columnas permanece sin cambios cuando se multiplica por una matriz unitaria N * N 2.2.5.- Nula

31 En las ciencias matemáticas, pero en particular en álgebra lineal, una matriz cero o también llamada matriz nula es un matriz con todos sus elementos iguales a cero. Algunos ejemplos de matrices nulas son: Por lo tanto, una matriz nula de orden m×n definida sobre un anillo K asume la forma: Una matriz cero es, al mismo tiempo, matriz simétrica, matriz anti simétrica, matriz ni potente y matriz singular. 2.2.6.- Transpuesta Sea A = (aij) una matriz de m renglones * n columnas. La traspuesta de la matriz A, que se escribe At , es la matriz de n * m que se obtiene al intercambiar los renglones por las columnas de A.18 18 Grossman Stanley I, Álgebra Lineal, p. 118

32 Propiedades Para toda matriz A Sean A y B matrices con elementos pertenecen a un anillo y sea Si el producto de las matrices A y B está definido, “Si A es una matriz cuadrada cuyas entradas son números reales, entonces.”19 Es semidefinida positiva “Una matriz cuadrada A es simétrica si coincide con su transpuesta, esto es si.”20 Es anti simétrica si coincide con su negativa 19 http://ksjyg.iespana.es/html/diary-BA3.html 20 http://ksjyg.iespana.es/html/diary-BA3.html

33 Si los elementos de la matriz A son números complejos y su transpuesta coincide con su conjugada, se dice que la matriz es hermética Y antihelmíntica si “Vale la pena observar que si una matriz es hermética (la matrices simétricas son un caso particular) entonces es diagonalizable y sus auto valores son reales. (El recíproco es falso)”.21 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 1. Mediante el uso de un cuadro sinóptico describir la clasificación de las matrices. 2.3.- OPERACIONES CON MATRICES Suma o adición “Dadas matrices iguales en filas y columnas m-por-n, sean A y B, su suma A + B es la matriz m-por-n calculada sumando los elementos correspondientes a filas y columnas respectivamente. (y.i (A + B) [i, j] = A [i, j] + B [i, j]). Es decir, sumar cada uno de los elementos homólogos de las matrices a sumar”.22 Por ejemplo: 21 http://ksjyg.iespana.es/html/diary-BA3.html 22 Grossman Stanley I, Álgebra Lineal, p. 48

34 “Propiedades  Asociativa Dadas las matrices m por n A, B y C”23 A + (B + C) = (A + B) + C  “Conmutativa Dadas las matrices m por n A y B A+B=B+A  Existencia de matriz cero o matriz nula”24 A+0=0+A=A  Existencia de matriz opuesta Con gr-A = [-ai, j] A + (-A) = 0 Producto por un escalar Cuando se da una “matriz A y un escalar numérico c, su producto cA se calcula multiplicando el valor numérico escalar por cada elemento de la matriz A (i.e. (cA) [i, j] = cA [i, j]).”25 Ejemplo 23 Ibidem. 24 Ibidem. 25 http://metodosnumericosunefanc.blogspot.com/2009_04_01_archive.html

35 Propiedades Sean A y B matrices y c y d escalares.  Clausura: Si A es matriz y c es escalar, entonces cA es matriz.  Asociatividad: (Cd)A = c(dA)  Elemento Neutro: 1·A = A  Distributividad: o De escalar: c(A+B) = cA+cB o De matriz: (c+d)A = cA+dA Producto “El producto de dos matrices se puede definir sólo si el número de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el número de filas de la matriz derecha, deben de coincidir filas de una matriz con columnas de la otra matriz.”26 “Si A es una matriz m por n y B es una matriz n por p, entonces su producto matricial AB es la matriz m por p (m filas, p columnas) dada por”:27 26 Grossman Stanley I, Álgebra Lineal, p. 60 27 http://www.slideshare.net/RASHINX/matrices-mol-presentation

36 Propiedades “ Si los elementos de la matriz pertenecen a un cuerpo, y puede definirse el producto, el producto de matrices tiene las siguientes propiedades”:28 “Propiedad asociativa: (AB) C = A (BC)”.29 “Propiedad distributiva por la derecha: (A + B) C = AC + BC”.30 Propiedad distributiva por la izquierda: C(A + B) = CA + CB”.31 “En general, el producto de matrices tiene divisores de cero: Si A.B = 0, No necesariamente A ó B son matrices nulas”.32 “El producto de matrices no verifica la propiedad de simplificación: Si A.B = A.C, No necesariamente B=C.”33 “El producto de dos matrices generalmente no es conmutativo, es decir, AB ≠ BA. La división entre matrices, es decir, la operación que podría producir el cociente A / B, no se encuentra definida. Sin embargo, existe el concepto de matriz inversa, sólo aplicable a las matrices cuadradas”.34 “Las matrices pueden representar convenientemente aplicaciones lineales entre dos espacios vectoriales de dimensión finita. Así, si ℝn es el espacio euclídeo n-dimensional cuyos vectores se pueden representar como vectores columna (matrices n-por-1), para cada aplicación lineal f: ℝn → ℝm existe una única matriz A m por n de tal forma que”35 Para cada vector x de ℝn. 28 http://www.ecured.cu/index.php/Matriz#Producto 29 Ibidem. 30 Ibidem. 31 Ibidem. 32 Ibidem. 33 Ibidem. 34 Ibidem. 35 Ibidem.

37 “Se dice que la matriz A \"representa\" la aplicación lineal f, o que A es la matriz coordenada de f”.36 “El producto de matrices claramente corresponde a la composición de las aplicaciones. Si la matriz k por m B representa otra aplicación lineal g: ℝm → ℝk, entonces la composición g o f se representa por BA”:37 “Esto se desprende de la mencionada propiedad asociativa del producto de matrices”.38 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 1. Ejercicios y problemas con las diferentes operaciones matriciales. A  4 5 ; B  2 7 ; C  2 5 ; D  5 3 ; E   5 8  2 3 3 5  3 2 8 19 21  4 1. Con las matrices de la parte de arriba; realizar las operaciones que se piden: 1. A + B 2. C + D 3. E + A 4. A – C 5. B – D 6. A – E 7. 5A 8. 7C 9. 8A – 4E 10.3B – 5D 36 http://www.ecured.cu/index.php/Matriz 37 http://www.ecured.cu/index.php/Matriz 38 Ibidem.

38 11.6C – 8E 12.A * B 13.C * D 14.E * A 15.4C * 5D 1 2 1  5 1 6  5 2 8  11 5 7 A  1 3 4 ; B  2 5  3  12 8 3  ; C  7 3  ; D  3 1 0 2  3 4 2   4 0 1 13 1 9 2. Con las matrices de la parte de arriba; realizar las operaciones que se piden 1. A + B 2. C + D 3. D + A 4. A – C 5. B – D 6. A – B 7. 5A 8. 7C 9. 8A – 4B 10.3B – 5D 11.6C – 8A 12.A * B 13.C * D 14.D * A 15.4C * 5D

39 2.4.- TRANSFORMACIONES ELEMENTALES DE UNA MATRIZ Una aplicación lineal (también llamada función lineal, transformación lineal u operador lineal) es una aplicación entre dos espacios vectoriales que preserva las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar. El término función lineal se usa incorrectamente en análisis matemático y en geometría para designar una recta, un plano, o en general una variedad lineal. Son aplicaciones lineales los operadores usados en la formulación matemática de la mecánica cuántica. Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definición: Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo espacio o campo K, y T una función de V en W. T es una transformación lineal si para todo par de vectores u y v pertenecientes a V y para todo escalar k perteneciente a K, se satisface que:39 1. 2. donde k es un escalar. 39 Grossman Stanley I, Álgebra Lineal, p. 460.

40 2.5.- RANGO DE UNA MATRIZ “En álgebra lineal, el rango de una matriz es el número de columnas (filas respectivamente) que son linealmente independientes. Si se da el caso de que el rango fila y el rango columna son iguales, este número es llamado simplemente rango de A. Comúnmente se expresa como R(A)”.40 “El número de columnas independientes de una matriz m por n es igual a la dimensión del espacio columna de A. También la dimensión del espacio fila determina el rango. El rango de A será, por tanto, mayor o igual que uno y menor o igual que el mínimo entre m y n”.41 Ahora bien, lo que procede es definir el concepto de rango de una aplicación lineal: El rango es la dimensión del conjunto, imagen de la aplicación: Una cualidad relevante del rango tal como se ha definido y del rango de matrices, radica en que ambos son coincidentes. Es decir, partiendo de una base arbitraria, la aplicación lineal puede mostrarse por conducto de base en forma de matriz, con lo cual resulta el rango de la matriz, igual al rango de la aplicación lineal que representa. Para establecer más claramente esta relación, deben fijarse dos bases vectoriales en cada uno de espacios y se puede expresar la transformación lineal por una matriz como una en una cierta base: Siendo: 40 http://ksjyg.iespana.es/html/diary-BA2.html 41 http://ksjyg.iespana.es/html/diary-BA2.html

41 , la imagen del vector x. , la anti imagen del vector y. De este modo, puede demostrarse que el rango de coincide con la dimensión de la imagen de f, como ya se mencionó. El rango puede calcularse, en relación con una aplicación lineal, al considerar una base cualquiera y al determinar el rango de la matriz que representa la aplicación en esa base, pues el número que se obtenga no estará sujeto de la base elegida. Con el cálculo de determinantes, el rango de una matriz puede determinarse de modo sencillo. Así, la matriz de una aplicación lineal : El rango queda de definido como el máximo entero r, de tal manera que existe un menor no nulo de orden r: Cabe mencionar que el método de Gauss-Jordan representa otra forma de obtener el rango de una matriz, la cual es idéntica al número de filas no nulas de la matriz obtenida con este método. “Una útil aplicación de calcular el rango de una matriz es la de determinar el número de soluciones al sistema de ecuaciones lineales. El sistema tiene por lo menos una solución si el rango de la matriz de coeficientes equivale al rango de la matriz aumentada. En ese caso, ésta tiene exactamente una solución si el rango equivale al número de incógnitas; en otro caso, la solución general tiene k

42 parámetros libres, donde k es la diferencia entre el número de incógnitas y el rango.”42 “Una matriz es invertible (tiene inversa) si y sólo si su rango es máximo. En teoría de control, el rango de una matriz se puede usar para determinar si un sistema lineal es controlable u observable”.43 2.6.- MATRIZ ESCALONADA Y CANÓNICA Una matriz se dirá que es escalonada si el primer elemento no cero en cada fila está más a la derecha que el de la fila anterior. Ejemplos: 1) La matriz Si es escalonada. 2) La matriz No es escalonada. Obviamente el escalonamiento de una matriz se logra “haciendo ceros” todos los elementos que están debajo de la diagonal principal. “En álgebra Lineal, la forma canónica de Jordan es la forma de la matriz de un endomorfismo de un espacio vectorial en cierta base asociada a la 42 https://www.u-cursos.cl/ingenieria/2007/2/MA33A/4/material_docente/previsualizar?id_material=149808 43 http://ocw.ehu.es/ensenanzas-tecnicas/fundamentos-matematicos-de-la-ingenieria/contenidos/ejercicios/ejercicios- resueltos/rango-de-una-matriz

43 descomposición en suma directa de subespacios invariantes bajo dicho endomorfismo. Dicha forma canónica consistirá en que la matriz estará formada por \"bloques de Jordan\" en la diagonal y bloques de ceros fuera de ella”.44 “Dado un endomorfismo sobre un espacio vectorial sobre de dimensión n > 1, puede probarse que si su polinomio característico factoriza completamente sobre el cuerpo , existe una base donde la aplicación lineal viene dada por una \"matriz de m bloques\" ( ) con la forma canónica siguiente”:45 “Donde cada \"bloque de Jordan\" o submatriz tiene la forma”:46 “Donde además se cumple que λk es raíz del polinomio característico y que”:47 44 http://www.territorioscuola.com/software/index_es.php?title=Forma_canónica_de_Jordan 45 http://www.territorioscuola.com/software/index_es.php?title=Forma_canónica_de_Jordan 46 Ibidem. 47 Ibidem.

44 “Un caso interesante es el de los endomorfismo diagonalizables donde y , siendo por tanto la forma canónica de Jordan una matriz diagonal”.48 “Considérese la situación de una matriz diagonalizable. Una matriz cuadrada es diagonalizable si la suma de las dimensiones de los espacios propios (eigenspaces) es el número de filas o columnas de la matriz. Examinemos la matriz siguiente”:49 “Tenemos valores propios de A que son sólo λ = 5, 5, 5, 5. Ahora bien, la dimensión del núcleo de A-5I es 1, por lo tanto A no es diagonalizable. Sin embargo, podemos construir la forma de Jordan de esta matriz. Dado que la dimensión es 1, sabemos que la forma de Jordan está compuesta de solo un bloque de Jordan, es decir, la forma de Jordan de A es”:50 “Obsérvese que J puede escribirse como 5I+N, donde N es una matriz nipotente. Puesto que ahora tenemos A similar a dicha matriz simple, podremos realizar cálculos que involucren a A usando la forma de Jordan, lo que en 48 Ibidem. 49 Ibidem. 50 Ibidem.

45 muchos casos puede simplificar el cálculo. Por ejemplo, calcular potencias de matrices es significativamente más sencillo usando la forma de Jordan”.51 2.7.- DEFINICIÓN DE DETERMINANTE N * N “En matemáticas se define el determinante como una forma no-lineal alterna de un cuerpo En. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Sin embargo, el concepto de determinante o de volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas lineales de ecuaciones”.52 “Para el cálculo de determinantes de matrices de cualquier orden, existe una regla recursiva (teorema de Laplace) que reduce el cálculo a sumas y restas de varios determinantes de un orden inferior. Este proceso se puede repetir tantas veces como sea necesario hasta reducir el problema al cálculo de múltiples determinantes de orden tan pequeño como se quiera. Sabiendo que el determinante de un escalar es el propio escalar, es posible calcular el determinante de cualquier matriz aplicando dicho teorema”.53 “El caso de matrices de orden inferior (orden 2 o 3) es tan sencillo que su determinante se calcula con sencillas reglas conocidas. Dichas reglas son también deducibles del teorema de Laplace”.54 “Los determinantes de una matriz de orden 2 se calculan con la siguiente fórmula”:55 51 Ibidem. 52 http://www.conocimientosweb.net/dcmt/downloads-cat-61.html 53 Grossman Stanley I, ÁLGEBRA lineal, p. 68. Y en http://mate3.foroactivo.com/tu-primer-foro- f1/interpretacion-geometrica-de-un-determinante-de-orden-2x2-t3.htm 54 http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:LorVDnPw- vMJ:regulacionaut.blogspot.com/+El+caso+de+matrices+de+orden+inferior+(orden+2+o+3)+es+tan+sencillo+que+su+determinante+se+calcula+con+sencillas+reglas+conocida s.+Dichas+reglas+son+también+deducibles+del+teorema+de+Laplace.&cd=3&hl=es&ct=clnk&gl=mx 55 Ibidem.

46 “Un determinante de orden 3 se calcula mediante la regla de Sarrus”:56 “El determinante de orden n, puede desarrollarse a partir de una fila o columna, reduciendo el problema al cálculo de un determinante de orden n-1. Para ello se toma una fila o columna cualquiera, multiplicando cada elemento por su adjunto (es decir, el determinante de la matriz que se obtiene eliminando la fila y columna correspondiente a dicho elemento, multiplicado por (-1)i+j donde i es el número de fila y j el número de columna). La suma de todos los productos es igual al determinante”.57 “En caso de un determinante de orden 4, se obtienen directamente determinantes de orden 3 que podrán ser calculados por la regla de Sarrus. En cambio, en los determinantes de orden superior, como por ejemplo n = 5, al desarrollar los elementos de una línea, obtendremos determinantes de orden 4, que a su vez se deberán desarrollar en por el mismo método, para obtener determinantes de orden 3. Por ejemplo, para obtener con el método especificado un determinante de orden 4, se deben calcular 4 determinantes de orden 3. En cambio, si previamente se logran tres ceros en una fila o columna, bastara con calcular solo un determinante de orden 3 (ya que los demás determinantes estarán multiplicados por 0, lo que los anula)”.58 “La cantidad de operaciones aumenta muy rápidamente. En el peor de los casos (sin obtener ceros en filas y columnas), para un determinante de orden 4 se deberán desarrollar 4 determinantes de orden 3. En un determinante de 56 Baldor Aurelio, Álgebra p. 345 57 http://fizxoworks.foroactivo.net/trabajos-f1/matrices-part-3-t92.htm 58 http://fizxoworks.foroactivo.net/trabajos-f1/matrices-part-3-t92.htm

47 orden 5, se obtienen 5 determinantes de orden 4 a desarrollar, dándonos 20 determinantes de orden 3. El número de determinantes de orden 3 que se”59 obtienen en el desarrollo de un determinante de orden n es igual a “Por ejemplo, mediante este método, para un determinante de orden 10 se deberán calcular 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 604.800 determinantes de orden 3. También puede utilizarse el Método de eliminación Gaussiana, para convertir la matriz en una matriz triangular. Si bien el proceso puede parecer tedioso, estará muy lejos de los 14.529.715.200 de determinantes de orden 3 necesarios para calcular el determinante de una matriz de orden 14”.60 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 1. Realizar un resumen sobre el tema de determinantes. 2.8.- CÁLCULO DE LAS DETERMINANTES N * N “Notación matemática formada por una tabla cuadrada de números, u otros elementos, entre dos líneas verticales, dichas líneas verticales no deben de ser confundidas con las líneas de valor absoluto; el valor de la expresión se calcula mediante su desarrollo siguiendo ciertas reglas. Los determinantes fueron originalmente investigados por el matemático japonés Seki Kowa alrededor de 1683 y, por separado, por el filósofo y matemático alemán Gottfried Wilhhelm Leibniz alrededor de 1693. Esta notación se utiliza en casi todas las ramas de las matemáticas y en las ciencias naturales”.61 La figura que se muestra en la parte de abajo es una determinante de orden n, pues es una tabla que contiene n filas y n columnas, esto nos indica que la determinante va desde un primer elemento a11 hasta un elemento ann. Un 59 http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:gFPpQnt_dNkJ:unefabsistemas.files.wordpress.com/2008/02/matriz.doc+La+cantidad+de+operaciones+aumenta +muy+rápidamente.+En+el+peor+de+los+casos+(sin+obtener+ceros+en+filas+y+columnas),+para+un+determinante+de+orden+4&cd=4&hl=es&ct=clnk&gl=mx 60 Ibidem. 61 Grossman Satnley I, Álgebra Lineal, p. 168.