AnalisisDatosExperimentales

4.2 4.1. Distribución uniforme 4.1. Distribución uniforme ¿Qué variables aleatorias siguen esta función de probabilidad?. Esta distribución de probabilidad corresponde a variables aleatorias discretas que pueden tormar n valores, xi= x1, x2,..., xn y todos sus posibles valores tienen la misma probabilidad. La función de distribución de probabilidad es 1 (4.1) f (x) = P (X = xi) = n donde i = 1, 2, . . . , n La media y la varianza de la distribución vienen dadas por (4.2) n+1 µ= 2 σ2 = n2 − 1 (4.3) 12 Ejemplo 1. Distribución de probabiblidad uniforme Considere la variable aleatoria X que corresponde a lanzar un dado y leer la cara superior del dado. Si el dado no está trucado, todos los resultados tienen la misma probabilidad y la función de distribución de probabilidad de esta variable aleatoria es x 123456 f (x) 1 1 1 1 1 1 6 6 6 6 6 6 El diagrama de barras muestra la función de distribución de probabilidad. 50

4 4. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias discretas 4.2. Distribución binomial ¿Qué variables aleatorias siguen esta función de probabilidad?. Las variables que siguen la distri- bución binomial corresponden a los experimentos que cumplen tenemos un número fijo n de experimentos (pruebas) el resultado de cada experimento sólo puede tener dos valores (exito y fracaso) el resultado de un experimento es independiente de los anteriores y no influye en los posteriores Estos experimentos también son conocidos como pruebas de Bernuilli. Sea p (probabilidad de éxito) la probabilidad de que un suceso ocurra en una sola prueba de Bernuilli y q = 1 − p (probabilidad de fracaso) será la probabilidad de que ocurra el suceso opuesto . La probabilidad de obtener x éxitos en n ensayos (x éxitos, n − x fracasos) esta dada por la función de probabilidad f (x) = P (X = x) = PB(X = x; n, p) = n pxqn−x = n! pxqn−x (4.4) x x!(n − x)! donde la variable aleatoria X denota el número de éxitos en n pruebas. Esta función de probabilidad discreta se denomina distribución binomial o de Bernuilli. Una variable aleatoria con está distribu- ción de probabilidad se dice que está distribuida binomialmente. La media y la varianza de la distribución vienen dadas por µ = np (4.5) σ2 = npq = np(1 − p) (4.6) Ejemplo 2. Cálculo de probabiblidades de una variable binomial Determine la probabilidad de obtener 2 caras en un seis lanzamientos de una moneda al aire. ¿Es este experimento una prueba de Bernuilli? tenemos un número fijo de experimentos n = 6 el resultado de cada experimento sólo puede tener dos valores (cara, p = 0,5 y cruz, q = 0,5) el resultado de cada experimento (lanzar una moneda al aire) es independiente de los anteriores y no influye en los posteriores Utilizando la ecuación 4.4 calcularemos la probabildad del resultado PB(X = 2; 6, 0,5) = 6 0,520,56−2 = 6! 0,520,54 = 15 × 0,25 × 0,0625 = 0,235 2 2!4! 51

4.2 4.2. Distribución binomial Ejemplo 3. Cálculo de probabiblidades de una variable binomial (II) Suponga que la probabilidad de que los resultados de un experimento sean aceptables es 0.6. Si el experimento se repite 5 veces, obtenga la distribución de resultados útiles y determine la probabilidad de obtener al menos dos resultados útiles. ¿Estamos ante una prueba de Bernuilli?. tenemos un número fijo de experimentos n = 5 el resultado de cada experimento sólo puede tener dos valores (resultado aceptable, p = 0,6 y resultado no aceptable, q = 0,4). Tenga en cuenta que no nos estamos preguntando por el valor de la propiedad que medimos, sino por la validez del experimento. los resultado de cada experimento son independientes entre si Para deteminar la función de distribución utilizaremos la ecuación 4.4 p = 0,6, q = 1−0,6 = 0,4 yn=5 PB(X = 0; 5, 0,6) = 5 0,600,45 = 0,01024 PB(X = 1; 5, 0,6) = 5 0,610,44 = 0,07680 0 1 PB(X = 2; 5, 0,6) = 5 0,620,43 = 0,23040 PB(X = 3; 5, 0,6) = 5 0,630,42 = 0,34560 2 3 PB(X = 4; 5, 0,6) = 5 0,640,41 = 0,2592 PB(X = 5; 5, 0,6) = 5 0,650,40 = 0,07776 4 5 De modo que la función de distribución de probabilidad viene dada por x 0 1 2 345 f (x) 0.01024 0.07680 0.23040 0.34560 0.2592 0.07776 El diagrama de barras muestra la función de distribución de probabilidad. 52

4 4. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias discretas La probabilidad de realizar más de dos experimentos con resultados aceptables podemos calcu- larla como P (X > 2) = P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5) = 0,6826 También podemos tener en cuenta que el suceso complementario del calculado es obtener X ≤ 2 y utilizando la ecuación 2.5 podemos calcular la probabilidad P (X > 2) = 1 − P (X ≤ 2) = 1 − (P (X = 2) + P (X = 1) + P (X = 0)) = 0,68256 los dos tratamientos que son equivalentes como esperabamos Ejemplo 4. Cálculo de la varianza de una variable descrita por un distribución binomial Un físico de partículas hace medidas de la distribución angular de mesones K. Los resultados de la medida pueden ser hacia delante o hacia atrás. Ambos procesos son igualmente probables. En un experimento de calibrado se realizaron 1000 medidas y se obtuvieron 472 mesones en la dirección hacia delante y 528 mesones en la dirección hacia atrás. ¿Cuál es la desviación típica de los resultados?. El experimento descrito cumple con las condiciones de un experimento de Bernouilli con una probabilidad de éxito p = 0,5. Para calcular la desviación típica del experimento utilizaremos la ecuación 4.6 σ2 = npq = np(1 − p) (4.7) Sutituyendo, σ = np(1 − p) (4.8) σ = 1000 × 0,5 × 0,5 = 15,8 (4.9) Ejemplo 5. Cálculo de patrones de intensidad en un espectro de masas Considere un halocarburo trisustituido RX3. Si el sustituyente es Br, éste presenta dos isótopos de masas 79 y 81, con abundancias relativas 0.5069 y 0.4931. Determine cuantos picos esperaría observar en el espectro de masas del RBr3 y que intensidad relativa esperaría que tuvieran los picos del espectro. En un espectro de masas se representa intensidad frente a masa de modo que la intensidad obte- nida a una masa dada, M , es proporcional al número de moléculas de masa M presentes en la muestra. 53

4.2 4.2. Distribución binomial Si X1 ≡ Br79 y X2 ≡ Br81, los isotopos de bromo pueden presentarse en la especie RBr3 en las combinaciones RX1X1X1, RX1X1X2 , RX1X2X2 y RX2X2X2 Es decir, aparecerán cuatro picos en el espectro de masas distintas. La intensidad relativa de los picos depende de la frecuencia con la que se observe cada una de las combinaciones. Como estamos trabajando con número de moléculas muy grandes 1019, podemos suponer que la intensidad relativa con la que observamos cada pico, que depende de la frecuencia con la que observamos cada una de los halocarburos, es igual a la probailidad de observar un halocarburo de la masa indicada. La probabilidad de obtener cada halocarburo viene dada por una distribución binomial con n = 3, p = 0,5069 y q = 0,4931. P (RBr379) = PB(X = 3; 3, 0,5069) = 3 0,506930,49310 = 0,1302 3 P (RBr279Br81) = PB(X = 2; 3, 0,5069) = 3 0,506920,49311 = 0,3801 2 P (RBr79Br281) = PB(X = 1; 3, 0,5069) = 3 0,506910,49312 = 0,3698 1 P (RBr381) = PB(X = 0; 3, 0,5069) = 3 0,506900,49313 = 0,1199 0 La distribución de intesidades de los picos puede representrase con un diagrama de barras donde M es la masa de la especie RBr379, M + 2 es la masa de la especie RBr279Br81, M + 3 es la masa de la especie RBr79Br821, y M + 3 la masa de la especie RBr381. 54

4 4. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias discretas 4.2.1. Teorema de Moivre Para tamaños de la muestra tales que los valores del producto npq 5 (tamaños de muestra gr- nades), el comportamiento de la distribución binomial se asemeja al de una distribución normal con media µ = np y varianza σ2 = npq. Esta propiedad es conocida como teorema de Moivre. Como la distribución binomial es una distribución de variables discretas, hay que hacer una correc- ción de continuidad de modo que al utilizar la aproximación de la distribución binomial a una distri- bución gaussiana las probabilidades se calculan como PB(X = a; n, p) =PG(a − 0,5 ≤ X ≤ a + 0,5) PB(a < X < b; n, p) =PG(a + 0,5 ≤ X ≤ b − 0,5) PB(a ≤ X ≤ b; n, p) =PG(a − 0,5 ≤ X ≤ b + 0,5) Este teorema permite calcular de una manera sencilla valores de la probabilidad de una distribu- ción binomial en condiciones en las que es imposible evaluar esta magnitud utilizando la ecuación 4.4 PB (X = x; n, p) = n! x)! pxqn−x (4.10) x!(n − 4.3. Distribución de Poisson Esta distribución describe el número de sucesos que ocurren en un intervalo de tiempo fijo o en un volumen del espacio o por unidad de producto dado cuando los elementos están distribuidos aleatoriamente de acuerdo con una frecuencia de ocurrencia o densidad promedio. Es decir, el número de éxitos que observamos en cada unidad de tiempo, área o producto es totalmente al azar (sólo conocemos su valor medio) y que cada intervalo de tiempo es independiente de otro intervalo dado, así como cada área es independiente de otra área dada y cada producto es independiente de otro producto dado. Esta definición es un tanto abstracta y se comprende mejor con algunos ejemplos de variables que tienen este comportamiento: número de partículas emitidas por una fuente radiativa en un tiempo definido, número de fotones emitidos por una molécula en su desexcitación fluorescente desde un estado excitado, número de errores cometidos por página al transcribir un texto,número de bacterias por cm2 de cultivo, etc. El espacio muestral de la variable X distribuida de acuerdo con una distribución de Poisson son los enteros {0,1,2, ...} y la función de distribución viene dada por: f (x) = P (X = x) = 1 λxe−λ x = 0, 1, 2, . . . (4.11) x! donde λ es una constante positiva. La media y la varianza de esta distribución vienen dadas por µ=λ (4.12) 55

4.3 4.3. Distribución de Poisson σ2 = λ (4.13) Ejemplo 6. Cálculo de la varianza de una variable que sigue una distribución de Poisson Como parte de un experimento para determinar la vida media de dos isótopos radiactivos de plata, se registraron simultáneamente el número de partículas emitidas en intervalos de dos se- gundos en las cercanías de la plata. Los experimentos se repitieron 20 veces y se obtuvo un valor medio de 1.69 partículas por segundo. ¿Cuál es la desviación típica de las medidas?. La distribución de Poisson describe el número de sucesos que ocurren en un intervalo de tiempo fijo cuando los elementos están distribuidos aleatoriamente de acuerdo con una frecuencia de ocurrencia. De modo que µ = λ = 1,69 y σ2 = λ = 1,69. La desviación típica viene dada por √ σ = λ = 1,69 = 1,30 partículas por segundo Ejemplo 7. Cálculo de probabilidades de una variable que sigue una distribución de Poisson En un experimento de detección de neutrinos se observaron 8 neutrinos coincidentes con la observación óptica de la explosión de la supernova 1987A. (a) Calcule la probabilidad de realizar esta observación si en promedio se detectan 2 neutrinos por día. (b) Calcule la probabilidad de la observación teniendo en cuenta que los ocho neutrinos se ob- servaron en el espacio de 10 minutos. (a) λ = 2 neutrinos.dia−1 Utilizando la ecuación 4.11 P (X = x) = 1 λxe−λ (4.14) x! P (X = 8) = 1 28e−2 = 9,0 10−4 (4.15) 8! La probabilidad es muy baja. Puede esperarse una correlación entre la explosión de la supernova y la detección de los neutrinos. (b) En este caso λ = 2 = 0,014 24∗6 Utilizando de nuevo la ecuación 4.11 P (X = 8) = 1 0,0148e−0,014 = 3,3 10−20 (4.16) 8! La ocurrencia del suceso obsevado es extremadamente improbable y posiblemente se correlacio- ne con la explosión de la supernova u otro proceso no observado. 56

4 4. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias discretas 4.3.1. La distribución de Poisson como límite de la distribución binomial La distribución de Poisson también representa el límite de la distribución binomial cuando el nú- mero de éxitos es mucho menor que el número de ensayos (µ n), es decir n grande y probabilidad de un éxito muy baja (p 1) Ejemplo 8. Cálculo de probabilidades: comportamientos límite La probabilidad de que un individuo sufra una reacción al inyectarle un suero es 0.001. Deter- minar la probabilidad de que de un total de 2000 personas más de dos individuos sufran una reacción El caso descrito corresponde a un experimento de Bernouilli con µ = np = 2000 · 0,001 = 2. Utilizar la ecuación 4.4 PB (X = x; n, p) = n! pxqn−x (4.17) x!(n − x)! no es un método razonable para calcular probabilidades de ocurrencia. Teniendo en cuenta que µ = λ = 2 2000 podemos utilizar en nuestros cálculos la ecuación 4.11 P (X = x) = 1 λxe−λ (4.18) x! La probabilidad de que más de dos individuos sufran reacción viene dada por P (X > 2) =1 − P (X ≤ 2) = P (0) + P (1) + P (2) 20 e−2 21 e−2 22 e−2 = + + = 0,323 0! 1! 2! 57

4.3 4.3. Distribución de Poisson 4.3.2. La distribución de Gaussiana o normal como límite de la distribución de Poisson Para valores grandes de λ la función de distribución de Poisson puede aproximarse mediante una distribución de probabilidad gaussiana con µ = λ y σ2 = λ. Figura 4.1: Distribuciones de Poisson para distintos valores de λ. Observe como la forma de la distri- bución se aproxima a distribución normal conforme aumenta el valor de λ. 58

4 4. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias discretas Figura 4.2: Relación entre las distribuciones binomial, Poisson y Gauss o normal. 4.4. Ejercicios y problemas Cuestión 4.1 Considere una distribución binomial PB(x; n, p) con n = 6, y p=0.5. Calcule su media. Cuestión 4.2 Considere una distribución binomial PB(x; n, p) con n = 6, y p=0.5. Calcule la varianza. Cuestión 4.3 Considere una distribución binomial PB(x; n, p) con n = 6, y p=0.25. Calcule su media. Cuestión 4.4 Considere una distribución binomial PB(x; n, p) con n = 6, y p=0.25. Calcule la varianza. Cuestión 4.5 En la realización de un programa informático el número de errores cometidos por página sigue una distribución de Poisson de varianza 2. ¿Cuál es la probabilidad de no cometerlos en un programa de 20 páginas? 59

4.4 4.4. Ejercicios y problemas Ejercicios de repaso Ejercicio 4.1 En la teoría cinética de los gases, la probabilidad de que una molécula de un gas ideal tenga una velocidad entre v y v + dv está dada por P (v) = cv e2 − mv2 dv 2kT donde k es la constante de Boltzmann y T la temperatura en Kelvin del gas. Determine (a) la constante c, (b) la velocidad media y (c) la velocidad más probable. Nota: Para resolver el problema utilice una tabla de integrales. Ejercicio 4.2 La duración en horas de un componente eléctrico es una variable aleatoria con una función de distribución acumulada dada por F (X) = 1 − e− x x>0 50 0 x≤0 Determine:(a)la función densidad de probabilidad y (b) la probabilidad de que la duración del com- ponente exceda las 70 horas. Ejercicio 4.3 Calcular la varianza de g(x) = 2x + 3, donde X es una variable aleatoria con distri- bución de probabilidad x 0123 f(x) 1 1 1 1 4 8 2 8 Ejercicio 4.4 Sea X una variable aleatoria con la siguiente distribución de probabilidad: x -3 6 9 f(x) 1 1 1 6 8 2 Calcule µg(x) donde g(x) = (2x + 1)2. Distribución binomial Ejercicio 4.5 Se considera una variable aleatoria de Bernoulli que toma el valor 1 con probabilidad 0.01. Se toma una muestra de tamañoo n. Calcular el valor mínimo que debe tener n para que la probabilidad de obtener al menos una vez como resultado un 1 sea mayor o igual que 0.95. Ejercicio 4.6 Si la probabilidad de que el vapor se condense en un tubo de aluminio de cubierta delgada a 10 atm de presión es de 0.40, si se prueban 12 tubos de ese tipo y bajo esas condiciones, determine la probabilidad de que: a) el vapor se condense en 4 de los tubos, b) en más de 2 tubos se condense el vapor, c) el vapor se condense en exactamente 5 tubos. 60

4 4. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias discretas Ejercicio 4.7 La probabilidad de que el nivel de ruido de un amplificador de banda ancha exceda de 2 dB (decibelios) es de 0.15, si se prueban 10 amplificadores de banda ancha, determine la probabi- lidad de que; a) en solo 5 de los amplificadores el nivel de ruido exceda los 2 dB, b) por lo menos en 2 de los amplificadores, el ruido exceda de 2 dB, c) encuentre el número esperado de amplificadores que se exceden de un nivel de ruido de 2 dB y su desviación estándar. Ejercicio 4.8 En un experimento se comprobó que la aplicación de un tratamiento químico aumen- taba la resistencia a la corrosión de un material en un 80 % de los casos. Si se tratan ocho piezas, determine (i) Probabilidad de que el tratamiento sea efectivo para más de cinco piezas. (ii) Probabilidad de que el tratamiento sea efectivo para al menos tres piezas. (iii) Número de piezas para las que espera que el tratamiento sea efectivo. Ejercicio 4.9 Considere el espectro de masas de un halocarburo CnH2n+2−xClx con x = 1,2 y 3. Suponiendo que n = 3 y que dispone de una muestra en la que los tres compuestos están presentes en igual concentración, determine las masas en las que esperaría encontrar un pico en el espectro y la intensidad relativa de los picos. Tenga en cuenta que el cloro presenta dos isótopos Cl35 y Cl37 con abundancias relativas 0.67 y 0.33 respectivamente. Suponga que todo el hidrogeno y el carbono de las muestras corresponde a los isótopos H1 y C12. Ejercicio 4.10 Se dispone de un cristal que tiene dos tipos de impurezas que absorben radiación de la misma longitud de onda. Una de ellas emite un electrón tras la absorción de un fotón, mientras que la segunda no emite electrones. Las impurezas están en igual concentración y distribuidas ho- mogeneamente en el cristal. Sin embargo, la sección eficaz de absorción, que es una medida de la probabilidad de absorber un fotón, es 90 veces mayor para la impureza que emite electrones que el de la impureza que no los emite. Suponiendo que sobre el cristal inciden 200 fotones y que este es lo suficientemente grande para absorber todos, calcule la probabilidad de que al menos se emitan tres electrones. Distribución de Poisson Ejercicio 4.11 Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las proba- bilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos? Ejercicio 4.12 En la inspección de una hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de identificar a) una imperfección en 3 minutos, b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos, c) un máximo de una imperfección en 15 minutos. Ejercicio 4.13 Consideremos que el número de trozos de chocolate en una determinada galleta sigue una distribución de Poisson. Queremos que la probabilidad de que una galleta seleccionada al azar tenga por lo menos tres trozos de chocolate sea mayor que 0.8. Encontrar el valor entero más pequeño de la media de la distribución que asegura esta probabi- lidad. 61

4.4 4.4. Ejercicios y problemas Ejercicio 4.14 La variable X representa el número de llamadas a un teléfono en una hora y sigue una distribución de Poisson con parámetro igual a 3,5. (a) Calcular la probabilidad de que no se produzcan llamadas en la próxima hora. (b) Hallar la probabilidad de que se reciban al menos dos llamadas en las dos próximas horas. (c) ¿Cuánto tiempo podemos estar fuera si se quiere que la probabilidad de que el teléfono suene en nuestra ausencia sea como máximo 0,5? Aproximación de la distribución binomial a la distribucion de Poisson Ejercicio 4.15 Un fabricante de maquinaria pesada tiene instalados en el campo 3840 generadores de gran tamaño con garantía. Sí la probabilidad de que cualquiera de ellos falle durante el año dado es de 1/1200 determine la probabilidad de que a) 4 generadores fallen durante el año en cuestión, b) que más 1 de un generador falle durante el año en cuestión. Ejercicio 4.16 Se sabe que el 5 Determine la probabilidad de que 2 de 100 libros encuadernados en ese taller, tengan encuader- naciones defectuosas, usando, la aproximación de Poisson a la distribución binomial Ejercicio 4.17 En un proceso de manufactura, en el cual se producen piezas de vidrio, ocurren de- fectos o burbujas, ocasionando que la pieza sea indeseable para la venta. Se sabe que en promedio 1 de cada 1000 piezas tiene una o más burbujas. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 8000 piezas, menos de 3 de ellas tengan burbujas? 4.4.1. Soluciones a los ejercicios Distribución binomial Ejercicio 4.5 De acuerdo con el problema si llamanos éxito a obtener 1 tendremos p = 0,01 y q = 0,99. Sea S = número de éxitos en n ensayos Bernoulli PB(S ≥ 1; n, 0,01) = 1 − PB(S < 1; n, 0,01) = 1 − PB(S = 0; n, 0,01) Utilizando la ecuación 4.4 PB (X = x; n, p) = n! x)! pxqn−x (4.19) x!(n − PB (S ≥ 1; n, 0,01) = 1 − PB (S < 1; n, 0,01) = 1 − n! 0,0100,99n = 1 − 0,99n ≥ 0,95 (4.20) 0!n! 1 − 0,99n ≥ 0,95 → 0,05 ≥ 0,99n → log 0,05 ≥ n log 0,99 → n ≥ log 0,05 299 (4.21) log 0,99 62

4 4. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias discretas Ejercicio 4.6 a) n = 12 x representa la variable que define el número de tubos en que el vapor se condensa x = {0, 1, 2, 3, . . . , 12} exito: p = P (se condense el vapor en un tubo de Al a 10 atm) = 0,40 fracaso: q = P (no se condense el vapor en un tubo de Al a 10 atm) = 1 − p = 0,60 = 0,21284 PB(X = {3, 4, ..., 12}; 12, 0,40) = P (x = 3)+P (x = 4)+. . .+P (x = 12) = 1−P (X = {0, 1, 2}; 12, 0,40) = Utilizando la ecuación 4.4 se obtiene PB(X ≥ 3; 12, 0,40) = 1 − (0,002176 + 0,0174096 + 0,06385632) = 1 − 0,08344192 = 0,91656 c) PB(X = 5; 12, 0,40) = 0,22703 Ejercicio 4.7 a) n = 10 x representa la variable que define el número de amplificadores de banda ancha que su nivel de ruido excede de 2 dB, x = {0, 1, 2, 3, . . . , 10}. exito: p = P (un amplificador exceda su nivel de ruido de 2 dB) = 0,15 fracaso: q = P (un amplificador no exceda su nivel de ruido de 2 dB) = 1 − p = 0,85 PB(X = 5; 10, 0,15) = 0,00849 b) PB(X ≥ 2; 10, 0,15) = 1 − PB(X ≤ 1; 10, 0,15) = 1 − (0,1968 + 0,3474) = 1 − 0,5444 = 0,4557 c) µ = np = 1,5 ∼= 2, se espera que 2 de los 10 amplificadores probados se excedan de un nivel de rσui=do√denp2qd=B. 1,1291 ∼= 1 Distribución de Poisson Ejercicio 4.11 a) x representa la variable que define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en un día cualquiera, x = {0, 1, 2, 3, . . .}. λ = 6 es el número medio de cheques sin fondo por día. La probabilidad de recibir cuatro cheques sin fondo en un dia puede calcularse con la ecuación 4.11 P (X = x) = 1 λxe−λ (4.22) x! P (X = 4) = 1 64e−6 = 1296 · 0,00248 = 0,13392 4! 24 b) x representa la variable que define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en un día cualquiera, x = {0, 1, 2, 3, . . .}. λ = 2 × 6 = 12 es el número medio de cheques sin fondo por día. Utilizando de nuevo la ecuación 4.11 obtenemos P (X = 10) = 1 1210e−10 = 6,1973691010 · 6,15110−6 = 0,104953 10! 3628800 63

4.4 4.4. Ejercicios y problemas Ejercicio 4.12 a) x representa la variable que define el número de que nos define el número de imperfecciones en la hojalata cada 3 minutos x = {0, 1, 2, 3, . . .} . λ = 0,2 × 3 = 0,6 es el número medio de imperfecciones en tres minutos. Utilizando de nuevo la ecuación 4.11 obtenemos P (X = 1) = 1 0,61e−0,6 = 0,6 · 0,548845 = 0,329307 1! 1 b) x representa la variable que define el número de que nos define el número de imperfecciones en la hojalata cada 5 minutos x = {0, 1, 2, 3, . . .} . λ = 0,2 × 5 = 1 es el número medio de imperfecciones en tres minutos. Utilizando de nuevo la ecuación 4.11 obtenemos P (X ≥ 2) = P (X = 2, 3, . . .) = 1 − P (X ≤ 1) = 1 − P (0) − P (1) P (X ≥ 2) = 1 − 1 10e−1 + 1 11e−1 = 1 − (0,367918 + 0,36718) = 0,26416 0! 1! c) x representa la variable que define el número de que nos define el número de imperfecciones en la hojalata cada 15 minutos x = {0, 1, 2, 3, . . .} . λ = 0,2 × 15 = 3 es el número medio de imperfecciones en tres minutos. Utilizando de nuevo la ecuación 4.11 obtenemos P (X ≤ 1) = P (X = 0) + P (X = 1) = 1 30e−3 + 1 31e−3 = 0,0498026 + 0,149408 = 0,1992106 0! 1! Ejercicio 4.13 Sea X = número de trozos de chocolate en una galleta donde queremos evaluar P (X > 3; λ) > 0,8 P (X > 3) = 1 − P (X ≤ 2) = 1 − P (0) − P (1) − P (2) = 1 − e−λ − λe−λ − λ2e−λ 12 Dando valores a λ = 1, 2, ..., 5 se obtiene λ 0 1 2 3 45 P (X > 3) 0.0803014 0.3233236 0.5768099 0.7618967 0.8753480 El valor más cercano a 0,8 lo proporciona λ = 4. 64

4 4. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias discretas 4.5. Lecturas recomendadas Para completar la preparación de este tema recomendamos la lectura de:  Capítulo 1. Magnitudes aleatorias y sus caracterísitcas. del texto de Spiridonov y Lopatkin[7]. Revisa los contenidos del tema. Adecuado para revisar la teoría del tema.  Capítulo 4. Distribuciones de Probabilidad especial del libro de Spiegel y cols.[5]. Se recomienda revisar los ejercicios resueltos: • Distribución binomial 4.1 a 4.6, y 4.9 • Distribución de Poisson 4.22 Como ejercicios de repaso se recomienda realizar los ejercicios: • Distribución binomial 4.63, 4.64, 4.65,4.67, 4.68, 4.69 • Distribución de Poisson 4.90, 4.93 Los comportamientos límite de estas distribuciones binonial y de Poisson se estudiarán en el tema 5.  Capítulo 4. Algunas distribuciones discretas de probabilidad. del texto de Walpole y Myers[6]. 65



5 Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias continuas Contenidos  Distribución uniforme Descripción y propiedades.  Distribución normal o gaussiana Descripción y propiedades. Descrip- ción y propiedades. Distribución de las medias de muestras de tamaño finito. Teorema del límite central. Intervalos de confianza para la media muestral. Aproximación de la distribución binomial y de Poisson a la dis- tribución normal.  Distribución t de Student Descripción y propiedades.  Distribución χ2 Descripción y propiedades. Intervlos de probabilidad para la varianza muestral.  Distribución F de Fisher Descripción y propiedades. Comparación de varianzas. Objetivos  Reconocer las características de la distribución uniforme de una variable aleatoria continua  Reconocer las características de una distribución normal o gaussiana.  Realizar cálculos de probabilidades de variables aleatorias que siguen un distribución normal  Comprender el significado de los intervalos de probabilidad 2σ y 3σ de una variable alaeatoria normal  Conocer las características de la distribución de medias muestrales una variable aleatoria normal  Comprender las consecuencias del teorema del límite central y sus limita- ciones  Utilizar la distribución normal para calcular intervalos de probabilidad de variables que siguen una distribución binomial o de Poisson 67

5.0 Objetivos  Reconocer las características de una distribución t de Student  Calcular intervalos de probabilidad de variables que siguen una distribución t de Student  Determinar los límites del intervalo de confianza de la media muestral  Reconocer las características de una distribución χ2 de Student  Utilizar la distribución χ2 para calcular intervalos de confianza de la va- rianza muestral  Reconocer las características de una distribución F de Fisher  Utilizar la distribución F de Fisher para la comparación de varianzas mues- trales  Conocer las diferencas entre hipótesis nula, H0, e hipótesis alternativa, H1, y la relación de ambas con los intervalos de probabilidad 68

5 5. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias continuas 5.1. Distribución uniforme Una variable aleatoria X sigue una distribución uniforme en el intervalo [a,b] cuando su función densidad de probabilidad es  0 x<a  f (x) = 1 a≤x≤b (5.1) b−a  0 x>b Su función de densidad de probabilidad integrada es  0 x<a  x−a F (x) = b−a a≤x≤b (5.2)  1 x>b La media y la varianza de la distribución vienen dadas por (5.3) a+b µ= 2 σ2 = (b − a)2 (5.4) 12 Esta distribución sólo depende de los parámetros a y b que están comprendidos en el intervalo (−∞, +∞). Figura 5.1: Distribución de densidad de probabilidad de una variable uniforme continua. 69

5.2 5.2. Distribución normal o Gaussiana 5.2. Distribución normal o Gaussiana La función de densidad de probabilidad de una variable x que sigue una función de distribución normal o gausiana viene dada por f (x) = √ 1 e− (x−µx )2 (5.5) 2σ2 (x) 2 π σ(x) donde µx y σ(x) son la media y la desviación típica de X respectivamente, y la variable alatoria puede estar comprendida en el intervalo −∞ < x < +∞. Si una variable aleatoria sigue una distribución normal sólo necesitamos conocer µx y σ(x) para caracterizar la distribución de los datos. La función de distribución de probabilidad viene dada por e dxx F (x) = P (x ≤ x) = √ 1 − (x−µx )2 (5.6) 2σ2 (x) 2π σ(x) −∞ En el trabajo con variables aleatorias que siguen una distribución normal es conveniente utilzar la variable normalizada z, que se calcula como z = x − µx (5.7) σ(x) Esta variable tiene la ventaja de que cualesquiera sean los valores de µx y σ(x), z siempre si- gue una distribución normal con media µz = 0 y desvición típica σ(z) = 1. En general f(z) o F(z) se evaluan utilizando un programa informático o utilizando tablas1 (ver apéndices).Por comodidad utilizaremos tablas e ilustraremos su uso en los ejemplos. Figura 5.2: Distribución de densidad de probabilidad de Gauss estanzarizada. 1En la tabla del apéndice correspondiente a la distribución normal se tabula P(0<Z<z). 70

5 5. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias continuas Figura 5.3: Distribución de densidad de probabilidad de Gauss con idéntica media µx = 0 y distinta varianza σ2(x) = 1 (línea continua) y σ2(x) = 0,25 (línea discontinua). Ejemplo 1. Cálculo de probabiblidades de una variable normal (I) Hallar la probabilidad de que la magnitud aleatoria z (µz=0, σ(z)=1) este comprendida en el intervalo (-1.96,1.96). Teniendo en cuenta los postulados que definen la probabilidad: P (−1,96 ≤ z ≤ 1,96) = P (−1,96 ≤ z ≤ 0) + P (0 ≤ z ≤ 1,96) La distribución gausiana es una distribución simétrica P (−z ≤ Z) = P (z ≤ Z) P (−1,96 ≤ z ≤ 1,96) = 2 P (0 ≤ z ≤ 1,96) De acuerdo con el apéndice 1 P (0 ≤ Z ≤ 1,96) = 0,475 y P (−1,96 ≤ Z ≤ 1,96) = 2 ∗ 0,475 = 0,990 71

5.2 5.2. Distribución normal o Gaussiana Figura 5.4: Distribución de densidad de probabilidad de Gauss que difieren en la media µx = 0 y µx = 1 pero tienen idéntica σ2(x) = 1. Ejemplo 2. Cálculo de probabiblidades de una variable normal (II) Hallar la probabilidad de que el resultado de una observación única de una variable aleatoria distribuida normalmente no exceda la media en más de ±2σ. El problema nos pide que calculemos P (µ − 2σ ≤ x ≤ µ + 2σ). Para calcular la probabilidad primero determinaremos los valores de la variable tipificada que corresponden a los límites del intervalo xmin = µx − 2σ(x) y xmax = µx + 2σ(x) z = x − µx = (µx ± 2σ(x)) − µx = ±2 σ(x) σ(x) Como disponemos de una tabla de la distribución gausiana estandarizada (ver apendice 1) que nos proporciona P (0 ≤ x ≤ z), utilizaremos la simetría de la distribución gaussina para calcular P (0 ≤ z ≤ 2): P (x − 2σ ≤ z ≤ x + 2σ) = P (−2 ≤ z ≤ 2) = 2P (0 ≤ z ≤ 2) Consultando el apéndice 1 obtenemos P (0 ≤ z ≤ 2) = 0,4772 72

5 5. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias continuas de modo que P (−2 ≤ z ≤ 2) = 2 ∗ 0,4772 = 0,9544 De acuerdo con el ejemplo anterior, si las observaciones (medidas) cumplen la ley de distribución normal, la probabilidad de que el resultado de una medida este en el intervalo µ ± 2σ es 0.9544. De modo análogo se deduce que la probabilidad de que se obtenga una observación en el intervalo µ ± 3σ es 0.9974. De esto se deduce que la probabilidad de que las observaciones se encuentren fuera de estos intervalos son muy pequeñas, 0.046 y 0.0026, respectivamente. Por ello, las magnitudes 2σ y 3σ se utilizan con frecuencia para determinar el error máximo admisible y despreciar resultados fuera de estos intervalos. Sin embargo, hay que tener en cuenta que σ(x) hace referencia a la desviación típica poblacional. En general sólo tenemos una estima de esta magnitud, la desviación típica muestral, s(x). Como veremos más adelante, esto nos obliga a utilizar la distribución t de Student para calcular los límites del error admisible. Figura 5.5: Representación de un conjunto de 5000 medidas de la temperatura que siguen una distri- bución normal. Como puede observar, la mayor parte de los datos están concentrados en el intervalo µx ± 2σ(x), y es escaso el número de datos fuera del intervalo µx ± 3σ(x). 73

5.2 5.2. Distribución normal o Gaussiana Ejemplo 3. Cálculo de probabiblidades de una variable normal (III) Calcule la probabilidad de que la concentración de cloruros, c, en una muestra de agua este en el intervalo 31,50 a 38,50 mg/l si la concentración media de cloruros es 35,00 mg/l con una desviación típica de 3,5 mg/l. Calculamos la variable normal tipificada que corresponde a cada uno de los límites del intervalos: zmin = 31,5 − 35 = −1,0 3,5 38,5 − 35 zmax = 3,5 = 1,0 de modo que P (28,5 ≤ c ≤ 38,5) = P (−1 ≤ z ≤ 1) = 2 ∗ P (0 ≤ z ≤ 1) = 0,6826 Este resultado supone que si nuestros resultados siguen una distribución normal, esperamos que el 68.26 % de las medidas se encuentren en el intervalo µx ± σ(x). En el caso estudiado este intervalo comprende las concentraciones 28,5 ≤ c ≤ 38,5 mg/l. Ejemplo 4. Cálculo de probabiblidades de una variable normal (IV) Cierta magnitud X sigue una distribución normal de media 3 y varianza 4. ¿Cuál es la probabili- dad de observar los resultados X > 3.5, X < 1.2 y 2.5 <X < 3.5?. P (X > 3,5) =P (Z > 0,25) = 1 − P (Z < 0,25) =0,5 − P (0,00 ≤ Z ≤ 0,25) = 0,4013 P (X < 1,2) =P (Z < −0,9) = =0,5 − P (−0,9 ≤ Z ≤ 0,0) =0,5 − P (0,0 ≤ Z ≤ 0,9) = 0,1841 P (2,5 < X < 3,5) =P (−0,25 < Z < 0,25) =P (−0,25 ≤ Z ≤ 0,0) + P (0,0 ≤ Z ≤ 0,25) =2 ∗ P (0,0 ≤ Z ≤ 0,25) = 2 ∗ 0,0987 = 0,1974 74

5 5. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias continuas 5.2.1. ¿Qué variables aleatorias siguen una distribución normal? La media muestral x¯ de una variable X que sigue una distribución normal Teorema 5.1 Si una variable aleatoria x1 sigue una distribución normal de media µ1 y varianza σ12, y otra variable aleatoria x2 sigue una distribución normal de media µ2 y varianza σ22, y ambas son independientes, la variable aleatoria x3 = x2 ± x1 sigue una distribución normal de media µ3 y varianza σ32 µ3 =µ1 + µ2 (5.8) σ32 =σ12 + σ22 (5.9) Esta propiedad puede extenderse a la suma de n variables aleatorias independientes distribuidas normalmente. Corolorario 5.1 La variable aleatoria media muestral x¯ de muestras de tamaño n de una variable aleatoria X que sigue una distribución normal f (x) = PN (x; µx¯, σ(x¯)) de media µx¯ µx¯ = µx (5.10) y varianza, σ2(x¯) σ2(x¯) = σ2(x) (5.11) n En este caso la magnitud tipificada z viene dada por (5.12) z = x¯ − µx¯ = x¯ − µ√x σ(x¯) σ(x)/ n 75

5.2 5.2. Distribución normal o Gaussiana Figura 5.6: Funciones de densidad de probabilidad gaussianas. Comparación de la distribución de los datos (negra) y las distribución de las medias de muestras de tamaño n (azul). Ejemplo 5. Cálculo de probabiblidades de una variable normal: distribución de las medias Una aleación de cobre contiene una media de 41.26 % de este metal (determinado como la media de las determinaciones de varios laboratorios) con una desviación típica de 0.12 %. ¿Cuál es la probabilidad de que al realizar un análisis de nueve muestras se obtengan porcentajes de cobre entre el 41.30 % y el 41.50 %?. ¿Y se tomaran dieciséis muestras?. En este ejemplo µ(x) = 41,26 y σ(x) = 0,12 , donde x es el resultado de la medida. De acuerdo con el corolario 5.1,√x¯ esta distribuido normalmente con media µx¯ = µx = 41,26 y desviación típica σ(x¯) = σ(x)/ n tendremos (a) con nueve muestras σ(x¯) = 0√,12 = 0,04 9 y las variables tipificadas correspondientes serán: z = x¯ − µ√x σ(x)/ n z= x¯1 − √µx 41,30 − 41,26 = = 1,0 σ(x)/ n 0,04 z= x¯2 − √µx 41,50 − 41,26 = = 6,0 σ(x)/ n 0,04 76

5 5. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias continuas Figura 5.7: Distribución de frecuencias de las medias muestrales de conjuntos de n medidas de una variable que sigue una distribución gaussiana. En todos los diagramas se utilizaron las mismas 500 medidas pero se utilizaron distinto número de medidas para calcular las medias, n = (a) 1, (b)5, (c) 10, y (d) 25. de modo que P (1,0 ≤ z ≤ 6,0) = P (z ≤ 6,0) − P (z ≤ 1,0) = 1,0000 − 0,8413 = 0,1587 (b) con dieciseis muestras σ(x¯) = √0,12 = 0,03 16 y las variables tipificadas correspondientes serán: z= x¯1 − √µx 41,30 − 41,26 = = 1,33 σ(x)/ n 0,03 z= x¯2 − √µx 41,50 − 41,26 = = 8,0 σ(x)/ n 0,03 de modo que P (1,33 ≤ z ≤ 8,0) = P (z ≤ 8,0) − P (z ≤ 1,33) = 1,0000 − 0,9082 = 0,0918 77

5.2 5.2. Distribución normal o Gaussiana La media muestral x¯ de cualquier variable aleatoria obtenida a partir de un número grande de medidas Teorema 5.2 Teorema del límite central. Sean las magnitudes aleatorias x1, x2, . . ., xn que siguen la misma distri- bución de probabilidad y a la que corresponde una media µx y una varianza σ2(x) finitas. Conforme aumenta el valor de n la distribución de la variable aleatoria media muestral, x¯ se aproxima a una distribución normal de media µx y varianza σ2(x)/n. La importancia de este teorema estriba en que permite, si la muestra es lo suficientemente grande, calcular estimas aceptables de µ y σ2(x) sin necesidad de conocer f(x). Matemáticamente esta es una ley asintótica, es decir, la identidad con la distribución gaussiana sólo se consigue si la población original es normal, pero su comportamiento es muy próximo a éste conforme aumenta el tamaño de la muestra n utilizada para calcular estas estimas. Figura 5.8: Distribución de frecuencias de las medias muestrales de n medidas de un conjunto de 500 datos que siguen una distribución uniforme. En la figura puede observarse como la distribución evo- luciona desde la distribución uniforme n = 1 ha distribuciones de tipo gaussiano conforme aumenta n. En todos los diagramas se utilizaron las mismas 500 medidas pero estas se agruparon en conjuntos de distinto tamaño, n, para calcular las medias, n = (a) 1, (b)5, (c) 10, y (d) 25. 78

5 5. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias continuas Una variable discreta que sigue una distribución binomial cuando el número de experimentos, n, es grande De acuerdo con el teorema de Moivre, para tamaños de la muestra tales que los valores del produc- to npq 5 (tamaños de muestra grnades), el comportamiento de la distribución binomial se asemeja al de una distribución normal con media µ = np y varianza σ2 = npq. Esta propiedad es conocida como teorema de Moivre. Como la distribución binomial es una distribución de variables discretas, hay que hacer una correc- ción de continuidad de modo que al utilizar la aproximación de la distribución binomial a una distri- bución gaussiana las probabilidades se calculan como PB(X = a; n, p) =PG(a − 0,5 ≤ X ≤ a + 0,5) PB(a < X < b; n, p) =PG(a + 0,5 ≤ X ≤ b − 0,5) PB(a ≤ X ≤ b; n, p) =PG(a − 0,5 ≤ X ≤ b + 0,5) Este teorema permite calcular de una manera sencilla valores de la probabilidad de una distribu- ción binomial en condiciones en las que es imposible evaluar esta magnitud utilizando la ecuación 4.4 PB (X = x; n, p) = n! x)! pxqn−x (5.13) x!(n − Figura 5.9: Distribución de probabilidad para una variable binomial con n = 25, p = 0,5 y q = 0,5 y la distribución normal con µx = np = 12,5 y σ2(x) = npq = 6,25. 79

5.3 5.3. La distribución t de Student Una variable discreta que sigue una distribución de Poisson con λ grande Para valores grandes de λ la función de distribución de Poisson puede aproximarse mediante una distribución de probabilidad gaussiana con µ = λ y σ2 = λ. Figura 5.10: Relación entre las distribuciones binomial, Poisson y Gauss o normal. 5.3. La distribución t de Student Una variable aleatoria continua t, que puede tomar valores en el intervalo 0 ≤ t < ∞ y tiene una función densidad de probabilidad ν+1 2 √1 Γ ν+1 t2 ( )− πν Γ 2 f (t) = ν 1+ ν (5.14) 2 se dice que está distribuida de acuerdo con una distribución t de Student con ν grados de libertad2. Es importante observar en la ecuación 5.14 que la función de distribución está completamente caracterizada por un solo parámetro: ν el número de grados de libertad. La media no depende del número de grados de libertad y es µt = 0 (5.15) mientras que la varianza sólo depende del número de grados de libertad (5.16) σ2(t) = ν ν−2 Cuando ν es grande, σ2(t) ≈ 1. Además, puede demostrarse que para valores grandes de ν (ν ≥ 20) se puede considerar a la función t de Student se comporta como una distribución normal de media 0 y varianza 1. 2En la expresión de f(t), Γ(z) es la función gamma de Euler, que viene dada por Γ(z) = ∞ νz−1e−ν dν con ν > 0 0 80

5 5. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias continuas Figura 5.11: Distribución t de Student con distintos grados de libertad. 5.3.1. ¿Qué variables aleatorias siguen una distribución t de Student? Teorema 5.3 Sean Z e Y dos variables aleatorias independientes. Si Y está normalmente distribuida con media 0 y varianza 1, mientras que Z tiene una distribución chi-cuadrado χ2 con ν grados de libertad. Entonces la variable aleatoria T y (5.17) T= z/ν sigue una distribución t de Student con ν grados de libertad. Utilizando este teorema se puede demostrar que la variable aleatoria t definida como t = x¯ − µx¯ = x¯ − µ√x (5.18) s(x¯) s(x)/ n está distribuida con arreglo a una distribución t de Student con ν = n − 1 grados de libertad. En el apéndice 2 se proporcionan los valores de las percentilas tp para distribuciones t de Student con ν grados de libertad. La percentila es el valor que toma la variable aleatoria, t en nuestro caso, para que se cumpla que P (t(ν) ≤ tp(ν)) = p (5.19) 81

5.3 5.3. La distribución t de Student Ejemplo 6. Cálculo del intervalo de probabiblidad de una variable que sigue la distribución t de Student Usando la tabla del apéndice A.2 determine el intervalo simétrico en el que se encontrará la variable t con una probabilidad del 95 % si tienen ν=9 grados de libertad. En este ejemplo nos piden determinar lOS valores de t que cumplan P (t1(ν) ≤ t ≤ t2(ν)) =0,95 P (t ≤ t1(ν)) =0,025 P (t ≥ t2(ν)) =0,025 En las tablas del apéndice A.2 podemos encontrar los valores de tp tales que P (t(ν) ≤ tp(ν)) = p que equivalen a los valores para los que P (t(ν) ≥ tp(ν)) = 1 − p Teniendo en cuenta que la distribución t de Student es simétrica respecto de su media y que µt = 0, para un intervalo también simétrico tendremos P (−t 1+p (ν) ≤ t ≤ t 1+p (ν)) = p 22 En este ejemplo, p = 0,95 y ν = 9. En la tabla del apéndice A.2 encontramos t,975(9) = 2,26, de modo que el intervalo de probabilidad viene dado por −t,975 ≤ t ≤ t,975 −2,26 ≤ t ≤ 2,26 82

5 5. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias continuas Ejemplo 7. Cálculo del intervalo de confianza de la media En un experimento para la determinación de cloruros se utilizo una técnica cromatográfica. En esta técnica la concentración de la especie detectada es proporcional al área del pico asociado a la especie detectada. En un análisis de 9 muestras de agua de lluvia se obtuvo un valor medio del área x¯ = 0,6752 cm2 y una desviación típica s(x) = 0,002821 cm2. A partir de estos datos, determine el intervalo de valores en que espera que se encuentre el valor medio del área con una probabilidad de 0.95. Si la media de las áreas de los picos siguen una distribución gaussiana, la variable t, ecuación 5.18, t = x¯ − µx¯ = x¯ − µ√x (5.20) s(x¯) s(x)/ n seguirá una distribución t de Student con ν = 9 − 1 = 8 grados de libertad. Por tanto esperamos que P (−t,975(8) ≤ t ≤ t,975(8)) = 0,95 y −t,975(8) ≤ x¯ − µ√x s(x)/ n t,975(8) ≥ x¯ − µ√x s(x)/ n x¯ − t,975(8) s√(x) ≤ µx n µx ≤ x¯ + t,975(8) s√(x) n De donde sigue que esperamos que la media se encuentre en el intervalo x¯ − t,975(8) s√(x) ≤ µx ≤ x¯ + t,975(8) s√(x) n n 0,6752 − 2,31 0,0√02821 ≤ µx ≤ 0,6752 + 2,31 0,0√02821 9 9 0,6730 ≤ µx ≤ 0,6772 con una probabilidad de 0.95. Es habitual expresar este intervalo como µx = 0,6752 ± 0,0021. 83

5.4 5.4. La distribución χ2 5.4. La distribución χ2 Se dice que una variable aleatoria sigue una distribución chi-cuadrado o χ2 con ν grados de libertad si su función de distribución de probabilidad tiene la forma P (χ2 ≤ x) 0 si x < 0 (5.21) si x > 0 √1 ν ) x u ν −1e− ν du 2Γ( 2 0 2 2 Note que la función de distribución esta caracterizada por un sólo parámetro, ν. Para esta distribución µχ2 = ν (5.22) σ2(χ2) = 2ν (5.23) Figura 5.12: Distribuciones χ2 con distintos grados de libertad, ν. En el apéndice 3 se recogen los valores de las percentilas de distribuciones χ2 con ν grados de libertad, es decir P (χ2(ν) ≤ X2) = χp2(ν) = p (5.24) 5.4.1. ¿Qué variables aleatorias siguen una distribución χ2 ? Teorema 5.4 Suponga que dispone de n magnitudes aleatorias independientes x1, x2, x3, . . ., xn distribuidas de acuerdo con una distribución normal de parámetros µx y σ(x). Si definimos la variable Ui tal que Ui = xi − µx (5.25) σ(x) 84

5 5. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias continuas la suma n n (xi − µx)2 σ2(x) χ2 = Ui2 = (5.26) (5.27) i=1 i=1 está distribuida de acuerdo con una distribución χ2 con ν = n grados de libertad. A partir de este teorema se puede demostrar que la variable aleatoria X2 X2 = (n − 1) s2(x) σ2(x) sigue una distribución χ2 con ν = n − 1 grados de libertad. Ejemplo 8. Intervalos de probabilidad de variables que siguen una distribución χ2 Suponga que hace cinco medidas de una cantidad distribuida normalmente con media µ = 0,05 y se obtienen los valores 0.041, 0.064, 0.055, 0.046, 0.060. Estime la varianza de la distribución. Suponga que la varianza es conocida y tiene el va- lor σ2(x) = 1,0 10−4. Determine si el valor de X2 obtenido se encuentra en el intervalo P (χ02,025(ν) ≤ x2 ≤ χ02,975(ν)). x¯ = xi = 0,2666 = 0,0532 n5 s2(x) = (xi − x¯)2 = 9,17 10−5 De acuerdo con el teorema X2 n−1 X2 = (n − 1) s2(x) = 9,17 10−5 = 3,68 σ2(x) 4 1 10−5 sigue una distribución χ2 con ν = 4 grados de libertad. De acuerdo con las tablas del apándice A.3, P (χ20,025(ν = 4) ≤ X2) = 0,484 P (χ20,975(ν = 4) ≤ X2) = 11,1 Es decir el valor de x2 obtenido está dentro del intervalo indicado 85

5.4 5.4. La distribución χ2 Ejemplo 9. Intervalos de probabilidad de la varianza muestral Se desea contrastar la hipótesis de que la varianza de una población normal es σ2(x) = 1(u.a.)2. Para ello se realizaron 9 medidas de esa magnitud obteniendose un valor de la varianza muestral s2(x) = 1,71(u.a.)2. Determine si este resultado es compatible con la hipótesis propuesta (hipótesis nula). Utilice como criterio para aceptar la hipótesis nula que si la hipótesis es cierta se cumple que χ20,025(ν) ≤ X2 ≤ χ20,975(ν). Determine el intervalo de valores de s2(x) compatibles con la hipótesis nula. Calculamos el valor de la variable X2 X2 = (n − s2(x) = 1,71 = 13,6 1) σ2(x) 8 1,0 De acuerdo con las tablas del apándice A.3, P (χ20,025(ν = 8) ≤ X2) = 2,18 P (χ02,975(ν = 8) ≤ X2) = 17,5 Ya que el criterio se cumple aceptamos la hipótesis nula. El intervalo de valores de X2 compatibles con la hipótesis nula vendrá dado por χ02,025(ν = 8) ≤ (n − s2(x) ≤ χ20,975(ν = 8) 1) σ2(x) s2(x) 2,18 ≤ (n − 1) σ2(x) ≤ 17,5 σ2(x) ≤ s2(x) ≤ σ2(x) 2,18 n − 1 17,5 n − 1 0,273 ≤ s2(x) ≤ 2,192 86

5 5. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias continuas Ejemplo 10. Intervalos de confianza de la varianza En un experimento se determino la densidad de un polímero en disolución. En el experimento se realizaron 5 medidas y se obtuvo una varianza muestral s2(x) = 14,1.(u.a.)2. Determinen el intervalo simétrico en el que espera encontrar la varianza con una probabilidad p = 0.9. Que el intervalo sea simétrico supone que P (χ12(ν) ≤ X2 ≤ χ22(ν)) =0,90 P (X2 ≤ χ21(ν)) =0,05 P (X2 ≥ χ22(ν)) =0,05 Suponiendo que las medidas están distribuidas normalmente, χ20,05(ν = 4) ≤ (n − s2(x) ≤ χ20,95(ν = 4) 1) σ2(x) χ0,052(ν = 4) ≤ 1 ≤ χ0,952(ν = 4) (n − 1)s2(x) σ2(x) (n − 1)s2(x) (n − 1)s2(x) ≤ σ2(x) ≤ (n − 1)s2(x) χ20,95(ν = 4) χ20,05(ν = 4) 14,1 ≤ σ2(x) ≤ 4 14,1 4 9,49 0,711 5,94 ≤ σ2(x) ≤ 78,8 Propiedad aditiva Teorema 5.5 Sean X12 y X22 dos variables aleatorias independientes. Si X12 sigue una distribución χ2 con ν1 grados de libertad y X22 sigue una distribución χ2 con ν2 grados de libertad, X32 = X12 + X22 sigue una distribución χ2 con ν = ν1 + ν2 grados de libertad. 5.4.2. Relación entre la distribución χ2 y la distribución normal Cuando ν es grande la distribución χ2 se aproxima a una distribución normal con media µ = ν y varianza σ2 = ν. 87

5.5 5.5. La distribución F de Fisher 5.5. La distribución F de Fisher Una variable aleatoria u está distribuida de acuerdo con una distribución F de Fisher con ν1 y ν2 grados de libertad si su función de densidad de probabilidad está dada por Γ( ν1 +ν2 ) ν1ν1/2ν2ν2/2uν2/2−1 ν2)− ν1 +ν2 2 2 f (u) = (ν1u − (5.28) Γ( ν1 )Γ( ν2 ) (5.29) 2 2 donde u > 0. Para esta distribución, µu = ν2 2 si ν2 > 2 ν2 − σ2(u) = 2ν22(ν1 + ν2 − 2) si ν2 > 4 (5.30) ν1(ν2 − 2)2(ν2 − 4) 5.5.1. ¿Qué variables aleatorias de interés siguen una distribución F de Fis- her? Teorema 5.6 Sean V1 y V2 dos variables aleatorias independientes distribuidas de acuerdo con distribuciones χ2 con ν1 y ν2 grados de libertad. Entonces la variable aleatoria f dada por f = V1/ν1 (5.31) V2/ν2 sigue una distribución F con ν1 y ν2 grados de libertad. Una consecuencia de este teorema es 1 (5.32) F1−p(ν1, ν2) = Fp(ν2, ν1) 88

5 5. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias continuas Corolorario 5.2 Sean dos muestras aleatorias independientes de tamaños m y n, respectivamente, que se obtienen de poblaciones normales con varianzas σ12(x) y σ22(y) respectivamente. De acuerdo con el teorema anterior, la variable aleatoria f = ms12(x)/(m − 1)σ12(x) (5.33) ns22(y)/(n − 1)σ22(y) obedece una ley de Fisher con ν1 = m − 1 y ν2 = n − 1 grados de libertad. En el caso en que σ12 = σ22 , la expresión anterior se simplifica a f = s21(x) (5.34) s22(y) Los apéndices A.4 y A.5 se recogen los valores de F con ν1 y ν2 grados de libertad para los que la función de distribución de probabilidad iguala a 0.95 y 0.99 . Es decir se tabulan los valores de la variable aleatoria f que cumplen: P (f ≤ F0,95; ν1, ν2) = 0,95 P (f ≤ F0,95; ν1, ν2) = 0,99 Ya que en general Fp(ν1, ν2) = Fp(ν2, ν1), para calcular Fexp designaremos los valores de s1 y s2 de modo que s21 > s22 Ejemplo 11. Comparación de varianzas (I) La varianzas muestrales obtenidas al aplicar dos métodos A y B para determinar el valor de una magnitud son s2(A) =45,34 10−4 s2(B) =11,11 10−4 En ambos experimentos se realizaron 9 medidas. ¿Es mayor la varianza en el método A que la del método B?. Supondremos que las medidas están distribuidas normalmente. Formularemos la hipétesis nula H0 : σ12 = σ22, de modo que si esta hipótesis es cierta, de acuerdo con el corolario 5.2, la variable aleatoria s2(A) (5.35) fexp = s2(B) sigue una distribución F con ν1 = m − 1 = 8 y ν2 = n − 1 = 8 grados de libertad. 89

5.5 5.5. La distribución F de Fisher Utilizaremos como criterio para aceptar esta hipótesis que el valor de fexp que obtenemos sea razonablemente probable, es decir que este comprendida en el intervalo que comprende al 95 % de las medidas si la hipótesis nula es cierta, fexp ≤ F0,95(8, 8) Si esto no se cumple, supondremos valida la hipótesis alternativa H1 : σ12 > σ22, que queremos contrastar. Calculamos fexp 45,34 10−4 (5.36) fexp = 11,11 10−4 = 4,0 En la tabla del apéndice A.4 encontramos F0,95(8, 8) = 3,44 de modo que fexp > F0,95(8, 8), rechazamos H0, las varianzas son iguales, y aceptamos la hipotesis alternativa: la varianza del método A es mayor que la del método B. Ejemplo 12. Comparación de varianzas (II) Un ingeniero químico estudió la variabilidad de dos dispositivos de monitorización de un proceso dentro de una planta. En el estudio de la variabilidad de ambos equipos obtuvo el siguiente resultado Equipo 1. s21 = 13,5 n1 = 12 Equipo 2. s22 = 10,53 n2 = 10 Tras analizar los datos, ¿puede afirmar el ingeniero que la variabilidad del primer equipo es mayor que la del segundo?. Supondremos que las medidas están distribuidas normalmente. Formularemos la hipétesis nula H0 : σ12 = σ22, es decir, no hay diferencias en la variabilidad. Si esta hipótesis es cierta, de acuerdo con el corolario 5.2, la variable aleatoria fexp = s12 (5.37) s22 sigue una distribución F con ν1 = m − 1 = 11 y ν2 = n − 1 = 9 grados de libertad. Utilizaremos como criterio para aceptar esta hipótesis que el valor de fexp que obtenemos sea razonablemente probable, es decir que este comprendida en el intervalo que comprende al 95 % de las medidas si la hipótesis nula es cierta, fexp ≤ F0,95(11, 9) Si esta condición no se cumple, supondremos valida la hipótesis alternativa H1 : σ12 > σ22, que es la hipótesis que queremos contrastar. 90

5 5. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias continuas Calculamos fexp 13,5 (5.38) fexp = 10,53 = 1,31 En la tabla del apéndice A.4 encontramos F0,95(11, 9) = 3,10 de modo que fexp < F0,95(11, 9). Aceptamos H0,las varianzas son iguales. Esto quiere decir que la variabilidad de los dos métodos es la misma. Ejemplo 13. Comparación de varianzas (III) La f.e.m. de una pila Cu|Zn fue medida con dos aparatos distintos. Con el primer aparato se obtuvo una varianza muestral s12(x) = 0,152 con 11 medidas. Con el segundo aparato el resultado fue s22(x) = 0,011 con 6 medidas. ¿Es consistente este resultado con la hipótesis σ12(x) = σ22(x)?. Si la hipótesis es cierta, de acuerdo con el corolario 5.2, la variable aleatoria fexp = s21 (5.39) s22 sigue una distribución F con ν1 = m − 1 = 10 y ν2 = n − 1 = 5 grados de libertad. Consideraremos que la hipótesis se cumple si fexp ≤ F0,99(10, 5) Calculamos fexp 0,152 (5.40) fexp = 0,011 = 13,82 Por tanto, no podemos aceptar la hipótesis propuesta (hipótesis nula) por que la probabilidad de obtener ese resultado es muy pequeña. Es decir, el valor obtenido corresponde a un intervalo en el que de ser cierta la hipótesis nula encontraríamos el 1 % de los resultados experimentales. 91

5.6 5.6. Ejercicios y problemas 5.6. Ejercicios y problemas Cuestión 5.1 Dada la función de distribución normal, encuentre el área bajo la curva que cae (a) a la izquierda de z = 1.43 (b) a la derecha de z = -0.89 (c) entre z = -2.16 y z=-0.65 (d) a la izquierda de z = -1.39 (e) a la derecha de z = 1.96 (f) entre z = -0.48 y z=1.74 Cuestión 5.2 Dada una distribución normal estándar, encuentre el valor de k, tal que: (a) P (Z < k) = 0,0427 (b) P (Z > k) = 0,2946 (c) P (−0,93 < Z < k) = 0,7235 Cuestión 5.3 Dada una distribución normal con µ = 30 y σ = 6, encuentre: (a) el área de la curva normal a la derecha de x=17 (b) el área de la curva normal a la izquierda de x=22 (c) el área de la curva normal entre x=32 y x=41 (d) el valor de x que tiene el 80 % del área de la curva normal a la izquierda (e) los dos valores de x que contienen un intervalo central del 75 % del área de la curva normal Cuestión 5.4 Si un conjunto de observaciones están normalmente distribuidas, ¿qué porcentaje de estas difiere de la media en (a) más de 1,3 σ (b) menos de 0,52 σ Cuestión 5.5 Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 observaciones, de una población con varianza σ2 = 6 tenga una varianza s2 (a) mayor a 9.1 (b) entre 3.462 y 10.745 92

5 5. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias continuas Cuestión 5.6 Dada una muestra aleatoria de tamaño 24 de una distribución normal, encuentre k de manera que: (a) P (−2,069 < t < k) = 0,965 (b) P (k < t < 2,807) = 0,095 (c) P (−k < t < k) = 0,90 Cuestión 5.7 Para una distribución χ2 encuentre (a) χ20,975 cuando ν=15 (b) χ02,99 cuando ν=7 (c) χ20,95 cuando ν=24 Cuestión 5.8 Para una distribución χ2 encuentre (a) χ20,95 cuando ν = 5 (b) χ20,95 cuando ν = 19 (c) χ20,99 cuando ν = 12 Cuestión 5.9 Para una distribución χ2 encuentre χ2α de manera que: (a) P (X2 < χ2p) = 0,99 cuando ν = 4 (b) P (X2 < χ2p) = 0,025 cuando ν = 19 (c) P (37,652 < X2 < χ2p) = 0,045 cuando ν=25 Cuestión 5.10 Encuentre (a) t0,025 cuando ν = 14 (b) Encuentre −t0,01 cuando ν = 10 (c) Encuentre t0,995 cuando ν = 7 Cuestión 5.11 Para una distribución F encuentre: (a) F0,95(ν1 = 7, ν2 = 15) (b) F0,95(ν1 = 15, ν2 = 7) (c) F0,99(ν1 = 24, ν2 = 19) 93

5.6 5.6. Ejercicios y problemas Distribución normal Ejercicio 5.1 Dada una distribución normal estándar, encuentre el área bajo la curva que yace, (a) a la derecha de z = 1.84 y (b) entre z = -1.97 y z= 0.86. Ejercicio 5.2 Para una distribución normal estándar, encuentre el valor de k, tal que (a) P(Z>k) = 0.3015 y (b) P(k<Z<-0.18) = 0.4197. Ejercicio 5.3 Dada una distribución normal con µx = 50 y s(x) = 10, encuentre la probabilidad de que X tome un valor entre 45 y 62. Ejercicio 5.4 Dada una distribución normal con µx = 300 y s(x) = 500, encuentre la probabilidad de que X tome un valor mayor que 362. Ejercicio 5.5 Dada una distribución normal con µx = 40 y s(x) = 6, encuentre el valor de x que tiene (a) 45 Ejercicio 5.6 Cierto tipo de batería de almacenamiento dura, en promedio, 3.0 años, con una desvia- ción típica de 0.5 años. Suponga que la duración de las baterías se distribuye normalmente, encuentre la probabilidad de que una batería dure menos de 2.3 años. Ejercicio 5.7 Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración media de 800 horas y una desviación típica de 40 horas. Si la duración de los focos sigue una distribución normal, encuentre la probabilidad de que un foco se funda en el intervalo de 778 a 834 horas. Ejercicio 5.8 En un proceso industrial el diámetro de un cojinete es una parte importante de un componente. El comprador establece que las especificaciones en el diámetro sean 3.0 ± 0.1 cm. Se sabe que en el proceso el diámetro de un cojinete tiene una distribución normal con media 3.0 cm y una desviación típica de 0.005 cm. En promedio, ¿cuántos cojinetes se descartarán?. Ejercicio 5.9 El 6.3 % de las observaciones de una magnitud que sigue una distribución normal tiene un valor superior a 3.287, mientras que el 51.2 % tiene valores mayores que 2.897. Calcule la media y la varianza de la distribución. Ejercicio 5.10 Considere un experimento de medida del pH de una disolución acuosa caracterizado por µpH= 5.50 y σ2(pH) = 0.06. Determine el intervalo de valores en el que espera encontrar el 95 % de las medias muestrales de los experimentos que combinen el resultado de 25 determinaciones del pH de la disolución indicada. Distribución t de student. Ejercicio 5.11 Considere una variable aleatoria distribuida de acuerdo con una distribución t de Student con 9 grados de libertad. Encuentre el valor de t1 para el cual a) P (T > t1) = 0,05 b) P (T > t1) = 0,025 94

5 5. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias continuas c) P (−t1 < T < t2) = 0,99 d) P (−t1 < T < t2) = 0,975 e) P (T ≥ t1) = 0,90 Ejercicio 5.12 Considere una variable aleatoria distribuida de acuerdo con una distribución t. Encuentre el valor de t1 que satisfaga cada una de las siguientes condiciones a) P (−t1 < T < t1) = 0,90 y ν = 25. b) P (T < −t1) = 0,025 y ν = 20. c) P (T ≥ t1) = 0,55 y ν = 16 Ejercicio 5.13 Para una variable U que sigue una distribución t de Student con ν = 10 encuentre los valores de c que cumplen a) P (U > c) = 0,05. b) P (−c ≤ U ≤ c) = 0,98. c) P (U ≤ c) = 0,20. d) P (U ≥ c) = 0,90. Distribución χ2 Ejercicio 5.14 Un fabricante de baterías para automóvil garantiza que sus baterías durarán, en promedio, 3 años con una desviación estándar de 1 año. Si 5 de estas baterías tienen duraciones de l.9, 2.4, 3.0 ,3.5 y 4.2 años, ¿puede seguir el fabricante convencido aún de que la duración de sus baterías tiene una desviación estándar de 1 año? Ejercicio 5.15 Hallar los valores χ12(ν) y χ22(ν) tales que con ν = 20,el área bajo la curva sea de 0.95, tales que χ12(ν) < χ22(ν), y las áreas a la derecha de χ22(ν) y a la izquierda de χ21(ν) sean iguales. Note que sin estas consideraciones hay infinitos pares de valores χ12(ν) y χ22(ν) que cumplen esta condición. 5.6.1. Soluciones a las cuestiones Cuestion 5.1 a) 0.9236, b) 0.8133 c) 0.2424 d) 0.0823 e) 0.0250 f) 0.6435 Cuestion 5.2 a) -1.72 b) 0.54 c) 1.28 Cuestion 5.3 a) 0.9850 b) 0.0918 c) 0.3371 d) 35.04 e) 23.1 y e) 36.9 Cuestion 5.4 a)19.36 % b) 39.70 % 95

5.6 5.6. Ejercicios y problemas Cuestion 5.5 a) 0.05 b) 0.94 Cuestion 5.6 a) 2.500 b) 1.319 c) 1.714 Cuestion 5.7 a) 27.488 b) 18.475 c) 36.415 Cuestion 5.8 a) 11.1 b) 30.144 c) 26.217 Cuestion 5.9 a) 13.277 b) 8.91 c) 46.928 Cuestion 5.10 a) -2.145 b) 2.76 c) 3.499 Cuestion 5.11 a) 2.71 b) 3.51 c) 2.92 5.6.2. Soluciones a los ejercicios Distribución normal Ejercicio 5.1 (a) P (z ≥ 1,84) = 0,5 − P (0 ≤ z ≤ 1,84) = 0,5 − 0,4671 = 0,0329 (b) P (−1,97 ≤ z ≤ 0,86) = P (−1,97 ≤ z ≤ 0) + P (0 ≤ z ≤ 0,86) = P (0 ≤ z ≤ 1,97) + P (0 ≤ z ≤ 0,86) = 0,4756 + 0,3051 = 0,7807 (a) (b) 96

5 5. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias continuas Ejercicio 5.2 (a) P (z > k) = 0,3015 → P (0 ≤ z ≤ k) = 0,5 − 0,3015 = 0,1985 Consultando en la tabla del apéndice 1 obtenemos k = 0,52. (b) P (k ≤ z ≤ −0,18) = P (k ≤ z ≤ 0) − P (−0,18 ≤ z ≤ 0) = P (0 ≤ z ≤ k) − P (0,0 ≤ z ≤ 0,18) = P (0 ≤ z ≤ k) − 0,0714 De modo que 0,4197 = P (0 ≤ z ≤ k) − 0,0714 P (0 ≤ z ≤ k) = 0,4911 Consultando en la tabla del apéndice 1 obtenemos k = −2,37. (c) a (d) b Ejercicio 5.3 P (45 ≤ x ≤ 62) = P (z1 ≤ z ≤ z2) donde z1 = x1 − µx = 45 − 50 = −0,5 σ(x) 10 z2 = x2 − µx = 62 − 50 = 1,2 σ(x) 10 97

5.6 5.6. Ejercicios y problemas de modo que P (45 ≤ x ≤ 62) = P (−0,5 ≤ z ≤ 1,2) = P (−0,5 ≤ z ≤ 0) + P (0,0 ≤ z ≤ 1,2) = P (0 ≤ z ≤ 0,5) + P (0,0 ≤ z ≤ 1,2) = 0,1915 + 0,3849 = 0,5764 Ejercicio 5.4 P (x > 362) = P (z > z2) donde z2 = x2 − µx = 362 − 300 = 1,24 de modo que σ(x) 50 P (x > 362) = P (z > 1,24) = 0,5 − P (0 ≤ z ≤ 1,24) = 0,5 − 0,3925 = 0,1075 Ejercicio 5.5 (a) De acuerdo con el enunciado del problema P (z1 < z) = P (z > −z1) = 0,45 Para obtener el valor de z1 tendremos en cuenta que P (0 < z < −z1) = 0,5 − P (z > −z1) = 0,5 − 0,45 = 0,05 98

5 5. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias continuas Consultando en la tabla obtenemos P (0 ≤ z ≤ 0,13) = 0,05, es decir z1 = −0,13 Para obtener x hacemos uso de la definición de variable reducida z = x − µx = −0,13 → x = 40 − 6 · 0,13 = 39,22 σ(x) (b) De acuerdo con el enunciado del problema P (z > z1) = 0,14 Para obtener el valor de z1 tendremos en cuenta que P (0 < z < z1) = 0,5 − P (z > −z1) = 0,5 − 0,14 = 0,36 Consultando en la tabla obtenemos P (0 ≤ z ≤ 1,08) = 0,36, es decir z1 = 1,08 Para obtener x hacemos uso de la definición de variable reducida z = x − µx = −0,13 → x = 40 − 6 · 1,08 = 46,48 σ(x) 99