Límites y Continuidad de una Función Real

Observación: Para que exista l´ım f(x) debe cumplirse la condición siguiente: x→x0 ∃ l´ım f (x) = L ⇐⇒ l´ım f (x) = l´ım f (x) = L x→x0 x→x0+ x→x−0 En otras palabras, existe el límite de una función sí y solo si, existen los limites laterales y éstos son iguales. Observación: No existe l´ım f(x) en los siguientes casos: x→x0 1. Cuando no existe uno de los límites laterales. 2. Cuando los límites existen y son diferentes. Ejemplo 37 si x≤2  x2 Calcular si existe donde:    l´ım f (x) f (x) = six→2   8 − 2x  x>2  Solución Aplicando el criterio ∃ l´ım f(x) = L ⇐⇒ l´ım f(x) = l´ım f(x) = L x→2 x→2+ x→2− l´ım x2 = (2)2 = 4 · · · (1) x→2− l´ım 8 − 2x = 8 − 2(2) = 4 · · · (2) xA→l 2c+omparar (1) y (2) se tiene que: l´ım f (x) = l´ım f (x) = 4 =⇒ ∃ l´ım f (x) = 4 x→2− x→2+ x→2 En la gráca de puede visualizar el comportamiento de las imágenes de la función cuando x tiende a 2. 43

Figura 1.10: Función a trozos si x<1  x2   Ejemplo 38     Calcular si existe y donde:  six 1 < x < 4   l´ım f (x) l´ım f (x) f (x) = x→1 x→4      si   4−x x≥4  Solución Cuando x tiende a 1 Aplicando el criterio ∃ l´ım f(x) = L ⇐⇒ l´ım f(x) = l´ım f(x) = L x→1 x→1+ x→1− l´ım x2 = (1)2 = 1 · · · (1) x→1− l´ım x = 1 · · · (2) xA→l 1c+omparar (1) y (2) se tiene que: l´ım f (x) = l´ım f (x) = 1 =⇒ ∃ l´ım f (x) = 1 x→1− x→1+ x→1 Cuando x tiende a 4 Aplicando el criterio ∃ l´ım f(x) = L ⇐⇒ l´ım f(x) = l´ım f(x) = L x→4 x→4+ x→4− l´ım x = 4 · · · (1) x→4− l´ım 4 − x = 4 − 4 = 0 · · · (2) xA→l 4c+omparar (1) y (2) se tiene que: l´ım f (x) = l´ım =⇒ ∃ l´ım f (x) x→4− x→4+ x→4 Presentamos la gráca de la función para poder visualizar el comportamiento de las imágenes de la función cuando x tiende a 1 y x tiende a 4, de tal manera de poder deducir los límites laterales en los puntos x = 1 y .x = 4 44

Figura 1.11: Función a trozos siEjemplo 39  Si f(x) =  x2 + 3 x1    Determinar la  d+e 1 si x > 1  (x) l´ım f existenciax x→1 Desarrollo Límite por la izquierda cuando x tiende a 1 l´ım x2 + 3 = 4 x→1− Límite por la derecha cuando x tiende a 1 l´ım x + 1 = 2 x→1+ Como los límites laterales son diferentes ∴ l´ım f (x) x→1 Utilizando el software Geogebra, visualizamos la gráca de la función para un mejor análisis de la misma. Ejemplo 40 Si . Determinar la existencia de f (x) = |x − 2| l´ım f (x) x − 2 x→2 Desarrollo Utilizando el software Geogebra, visualizamos la gráca de la función para un mejor análisis de la misma. Por denición de la función valor absoluto se tiene si x−2≥0⇒x≥2  x−2    |x − 2| = si 2−x x−2<0⇒x<2   45

Figura 1.12: Función a trozos Figura 1.13: Límites laterales Entonces  x − 2 = 1 si x ≥ 2 Calculando el límite, se tiene x − 2      f (x) = si     2−x = −1 x<2 x−2  si x ≥ 2  l´ım 1 = 1  x→2+    l´ım f (x) = six→2   l´ım (−1) = −1  x→2− x<2   Por lo tanto, los límites laterales son diferentes; es decir, l´ım f (x) = l´ım f (x) x→2− x→2+ 46

∴ l´ım f (x) x→2 Ejemplo 41 Sea  A(x2 − 4) si x<2 si  2≤x≤3  x−2 3<x  ∧ l´ım f (x)  x→3        f (x) = Ax + B        x2 − 9 si     Determinar los valores de A y B para que exxi−sta3 l´ım f(x) x→2 Se cálcula los límites laterales de f(x) en x = 2 Límite por la izquierda A(x2 − 4) A$(x$−$2)(x + 2) = 4A l´ım = l´ım xL→ím2−ite pxor−la2 derecxh→a2− $x −$$2 l´ım Ax + B = 2A + B Parax→2+ que exista el límite debe cumplirse que l´ım f(x) = l´ım ,f(x) entonces x→2− x→2+ 4A = 2A + B ⇒ −2A + B = 0 (1) Se cálcula los límites laterales de f(x) en x = 3 Límite por la izquierda l´ım Ax + B = 3A + B Lx→ím3−ite por la derecha q$(uxe$−e$x$x3i)−$s($tx3a+el3l)ím=it6e l´ım deb e cumplirse que l´ım f (x) = l´ım ,f (x) x→3− x→3+ Parax→3+ entonces 3A + B = 6 (2) Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por (1) y (2)se tiene que   −2A + B = 0       3A + B = 6  de donde A = 6 ∧ B = 12 55 La gráca de la función la realizamos en el software Geogebra, digitando la siguiente instrucción en la línea de ingreso de datos 47

f(x) = Si(x < 2, (6 (x^2 - 4)) / (5 (x - 2)), Si(2 <= x <= 3, 6 / 5 x + 12 / 5, Si(3 < x, (x^2 - 9) / (x - 3)))) Figura 1.14: Función a trozos 48

1.8.1. Límites Laterales. Ejercicios propuestos 1. De la representación gráca de las siguientes funciones, determinar los límites que se indican:  si x < 2 si x > 2 2. Calcular si existe .f (x) Donde  6 − x2 si x = 2  l´ım  2x2 − x − 3 x→ 2  f (x) =    6   x3 + 3x2 − 9x − 27 si x < −3  si − 3 ≤ x ≤ 3 si x > 3  3. Si   ax2 − 2bx + 1 f (x) =  x2 − 22x + 57    x−3 49

Hallar a y b de tal manera que existan los límites en x = −3 y x = 3. 4. Calcular si existe l´ım (x2 + 2x) |1 − x| x→ 2+ 5. Calcular si existe l´ım |x − 1| − x x→ −3 x2 − |x| 1.9. Límites al Innito Se debe tener presente que el comportamiento de una función no solo se lo realiza alrededor de un punto, sino que es necesario conocer el comportamiento de las imágenes de la función cuando los valores de la variable independiente x crece o decrece indenidamente. Este tipo de análisis se los denomina Límites al Innito. Para el desarrollo de ejercicios en este tipo de límites es importante tener en cuenta las operaciones con el  innito , la misma que se resume en el siguiente cuadro1. Utilizando la metodología propuesta en el presente texto, vamos analizar conceptualmente algunos ejemplos para posteriormente proceder con la formalización mediantes deniciones y teoremas. 1 http://departamento.us.es/edan/php/asig/GRABIO/GBM/ApendiceA.pdf 50

Ejemplo de Límite al Innito Consideremos la función y = x − 1 cuya gráca tenemos a continuación: x+2 Figura 1.15: Límites al Innito Ahora examinando la gráca para valores de x cada vez \"mas grandes\" o cada vez\"mas pequeños\" el valor de f(x) se aproxima a 1. Por lo tanto, se puede decir que: l´ım f (x) = l´ım x−1 =1 x→ −∞ x→ −∞ x + 2 y x−1 l´ım f (x) = l´ım =1 x→ +∞ x→ +∞ x + 2 A estos tipos de límites se les denomina Límites al Innito. Como podemos evidenciar en el presente ejemplo, no existe el límite de la función f(x) cuando x = ,−2 ya que se tiene que  l´ım f (x) = +∞  x→−2−  =⇒ l´ım f (x) = l´ım f (x) ∴ ∃ l´ım f (x). x→−2− x→−2+ x→−2 l´ım f (x) = −∞  x→−2+  Presentamos las deniciones correspondientes tomando en consideración que a,b ∈ R con a < b. 51

Denición 1.9. Sea f :]a,+∞[−→ R una función real. El límite de la función f(x) cuando x crece sin límite es L con L ∈ R y denotamos con l´ım f (x) = L x→ +∞ ssi ∀ε > 0 ∃N > 0/si x > N ⇒ |f (x) − L| < ε . Denición 1.10. Sea f :] − ∞,b[−→ R una función real. El límite de la función f(x) cuando x decrece sin límite es L con L ∈ R y denotamos con l´ım f (x) = L x→ −∞ ssi ∀ε > 0 ∃M > 0/si x < M ⇒ |f (x) − L| < ε . Denición 1.11. Sea f : Df −→ R una función real. El límite de la función f(x) cuando x → ∞ es L con L ∈ R y denotamos con l´ım f (x) = L x→ ∞ ssi ∀ε > 0 ∃M > 0/si |x| > M ⇒ |f (x) − L| < ε . Teorema 1.4. l´ım 1 = 0 Sea n ∈ R+. Entonces se cumple: x→ +∞ xn y 1 l´ım = 0 x→ −∞ xn 52

1.10. Teorema de Sandwich Teorema 1.5. Consideremos tres funciones f ,(x) g(x) y h(x) tal que: 1. , yf(x) ≤ g(x) ≤ h(x) ∀x = x0 2. entonces .l´ım f(x) = l´ım h(x) = L l´ım g(x) = L x→ x0 x→ x0 x→ x0 Demostración Utilizando la denición de límite de una función real según Cauchy (ε − δ) se tiene tq si∀ε > 0 ∃δ > 0 0 < |x − x0| < δ ⇒ |g(x) − L| < ε (1) Por hipótesis l´ım f (x) ∧ l´ım h(x) = L xen→toxn0ces ∀ε > 0 tal quex→ x0 ∃δ1 > 0 si 0 < |x − x0| < δ1 ⇒ |f (x) − L| < ε (2) si↔ 0 < |x − x0| < δ1 ⇒ −ε < f (x) − L < ε si↔ 0 < |x − x0| < δ1 ⇒ −ε + L < f (x) < ε + L Ahora para ∀ε > 0 ∃δ2 > 0 tal que (3) si 0 < |x − x0| < δ2 ⇒ |h(x) − L| < ε si↔ 0 < |x − x0| < δ2 ⇒ −ε < h(x) − L < ε si↔ 0 < |x − x0| < δ2 ⇒ −ε + L < h(x) < ε + L Sea .δ = min{δ1, δ2} ⇒ δ < δ1 y δ < δ2 Por lo tanto de (2) se concluye que si 0 < |x − x0| < δ ⇒ L − ε < f(x) (4) De la ecuación (3) se tiene que si 0 < |x − x0| < δ ⇒ h(x) < L + ε (5) Por hipótesis se tiene f(x) < g(x) < h(x) (6) De (4), (5) y (6) se concluye que si 0 < |x − x0| < δ ⇒ L − ε < f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) < L + ε si∴ 0 < |x − x0| < δ ⇒ L − ε < g(x) < L + ε si↔ 0 < |x − x0| < δ ⇒ |g(x) − L| < ε 53

esta última expresión representa el enunciado dado en la ecuación (1). ∴ l´ım g(x) = L x→ x0 Generalmente, en el cálculo de límites al innito se suele tener funciones racionales dadas por f(x) = P(x) con P(x) y Q(x) polinomios con coecientes reales, de donde se puede identicar los siguientes casos: Q(x) Si f(x) es una función propia; es decir, el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x) entonces l´ım f (x) = 0 x→ ±∞ Si f(x) es una función impropia; es decir, el grado de P(x) es mayor que el grado de Q(x) entonces l´ım f (x) = ±∞ x→ ±∞ Si f(x) es una función impropia; con el grado de P(x) igual al grado de Q(x) entonces l´ım f(x) = L con L ∈ R x→ ±∞ Mediante la ecuación (1.1) se puede concluir sobre el límite de una función racional cuando tienda al innito.  signo de am xm−n bn  ±∞ si  si m>n  m=n  m<n        amxm + · · · + a0 = amxm  (1.1)   l´ım l´ım = am x→±∞ bnxn + · · · + b0 x→±∞ bnxn    bn           0  Ejercicios resueltos Ejemplo 42 Calcular l´ım x2 + 3x − 6 x→+∞ Desarrollo l´ım x2 + 3x − 6 = (∞)2 + 3(∞) − 6 = ∞ xA→é+s∞te tipo de límites se denomina límites innitos los mismos que serán analizados en la siguiente sección. 54

Ejemplo 43 Calcular x2 + 5x + 6 l´ım 3x2 − x − 5 x→+∞ Desarrollo Para resolver el ejercicio se considera la ecuación (1.1) l´ım x2 + 5x + 6 = l´ım x2 simplicar x→+∞ 3x2 −x−5 x→+∞ 3x2 =1 3 Nota. Algunos texto de Cálculo Diferencial presentan el ssiguiente desarrollo para la resolución del ejercicio planteado, el mismo que consideramos innecesario dado la ecuación (1.1) la misma que optimiza el proceso. Desarrollo del ejercicio planteado Identicar término de mayor grado y dividir, l´ım x2 + 5x + 6 = l´ım x2 + 5x + 6 simplicar 3x2 − x − 5 x2 x2 x2 calcular el límite x→+∞ x→+∞ 3x2 − x − 5 x2 x2 x2 = l´ım 1 + 5 + 6 3 − x − x2 x→+∞ 1 x 5 x2 =1 3 Solución del ejercicio en Geogebra En la línea de ingreso de datos se ingresa la función como f(x) = (x^2+5x+6)/(3x^2-x-5) Luego se pide calcular el límite deseado, mediante la instrucción Límite( <Función>, <Valor numérico> ) Límite(f, +\\infty) La gráca de la función en Geogebra esta dada por 55

Figura 1.16: Límite al innito Ejemplo 44 Calcular 2x3 − 6x2 + 7 l´ım −x2 + 3x − 5 x→+∞ Desarrollo Por ser función racional l´ım 2x3 − 6x2 + 7 = l´ım 2x3 simplicar calcular límite x→+∞ −x2 + 3x − 5 x→+∞ −x2 = − l´ım 2x x→+∞ = −∞ Solución del ejercicio en Matlab >> syms x % Declarar variable >> f=(2*x^3 - 6*x^2 + 7)/(-x^2 + 3*x - 5) % definición de función >>L=limit(f,x,+inf) % Cálculo del límite >> L=-Inf % Resultado >>ezplot(f,[0,35]) % Gráfica de la función 56

Figura 1.17: Límite al +innito Ejemplo 45 Calcular −x4 + 8x3 − 6x2 + 7 l´ım x5 + 9x4 − x2 + 3x − 5 x→+∞ Desarrollo l´ım −x4 + 8x3 − 6x2 + 7 = l´ım −x4 por (1.1) calcular el límite x→+∞ x5 + 9x4 − x2 + 3x − 5 x→+∞ x5 = − l´ım −1 x→+∞ x =0 Solución del ejercicio en Matlab >> syms x % Declarar variable >> f=(-x^4+8*x^3-6*x^2+7)/(x^5+9*x^4-x^2+3*x-5) % Definición de función >>L=limit(f,x,+inf) % Cálculo del límite >> L=0 % Resultado >>ezplot(f,[-10,10]) % Gráfica de la función 57

Figura 1.18: Límite al +innito Metodología para resolver límites al innito Propender a tener una función racional, Determinar el término de mayor grado de la función racional, Dividir todos los términos por el término de mayor grado, Simplicar y aplicar el límite. Ejemplo 46 √ Calcular l´ım x+ x+ x √ x→+∞ x+1 Desarrollo √ √√ x+ x+ x √ = l´ım x+ x+ x l´ım x+1 x→+∞ √ x x→+∞ √ √x+1 x x + x + x x x2 x4 = l´ım x + 1 x→+∞ x x 1+ 1 + 1 x x3 = l´ım 1 + 1 x→+∞ x = 1 =1 1 58

Solución del ejercicio en Matlab >> syms x % Declarar variable >> f=(sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x))))/(sqrt(x+1)) % definición de función >>L=limit(f,x,+inf) % Cálculo del límite >> L=1 % Resultado >>ezplot(f,[0,15]) % Gráfica de la función Ejemplo 47 Calcular l´ım x2 + x − x2 + 9 x→+∞ Desarrollo Se aplica racionalización para levantar la indeterminación l´ım x2 + x − x2 + 9 = l´ım x2 + x − x2 + 9 √√ x→+∞ √x2 + x + √x + 9 x→+∞ x2 + x + x + 9 = l´ım √x2 + x − (x√2 + 9) x→+∞ x2 + x + x + 9 = l´ım √ x − 9√ x→+∞ x2 + x + x + 9 Identicar término de mayor grado y dividir, = l´ım x − 9 x→+∞ x x x2 + x + +x2 9 x2 x2 x2 x2 = l´ım 1 − 9 x→+∞ x 1 + 1 + 1 + 9 x x2 = 1 =1 1+1 2 Ejemplo 48 Calcular l´ım x3/2( x3 + 1 − x3 − 1) x→+∞ 59

Desarrollo l´ım x3/2( x3 + 1 − x3 − 1) = l´ım x3/2 x3 + 1 − x3 − 1) √√ x→+∞ √x3 + 1 + √x3 − 1 x→+∞ x3 + 1 + x3 − 1 √ = l´ım x√3(x3 + 1 −√(x3 − 1)) x→+∞ x3 +√1 + x3 − 1 = l´ım √ 2 x√3 x→+∞ x3 + 1 + x3 − 1 2 x3 x3 = l´ım x→+∞ x3 + 1 + +x3 1 2 x3 x3 x3 x3 = 1+1 =1 Límite cuando x tiende a −∞ Para calcular el límite cuando x tiende a −∞ se aplica la siguiente propiedad l´ım f (x) = l´ım f (x) (1.2) x→−∞ x→−∞ Ejemplo 49 Calcular l´ım √ −3x + 2 x→−∞ x2 − 2x + 4 − x Desarrollo l´ım √ −3x + 2 = l´ım −3(−x) + 2 por (1,2) x→−∞ x2 − 2x + 4 − x x→+∞ (−x)2 − 2(−x) + 4 − (−x) = l´ım √ 3x + 2 x→+∞ x2 + 2x + 4 + x Se identica término de mayor grado y se lo divide a cada término de la expresión = l´ım 3x + 2 se simplica x→+∞ x x se calcula el límite = l´ım x2 + 2x + 2 + x x→+∞ x2 x2 x2 x =3 3 + 2 1+1 x =3 1+ 2 + 2 +1 2 x x2 60

Solución del ejercicio en Matlab % Declarar variable % Definición de función >> syms x % Cálculo del límite >> f=(-3*x+2)/(sqrt(x^2-2*x+4)-x) % Resultado >>L=limit(f,x,+inf) % Gráfica de la función >> L=3/2 >>ezplot(f,[0,15]) Figura 1.19: Gráca en Matlab Ejemplo 50 √ Calcular l´ım 5x2 − 7 x→−∞ 3x + 4 Desarrollo √ l´ım 5x2 − 7 = l´ım 5(−x)2 − 7 por (1,2) x→+∞ x→−∞ 3x + 4 √ 3(−x) + 4 = l´ım 5x2 − 7 x→+∞ −3x + 4 Se identica el término de mayor grado y se lo divide por cada término de la expresión = l´ım −5x2 7 se simplica x→+∞ x2 se calcula el límite x2 −3x + 4 x x 5 − 7 x2 == l´ım x→+∞ −3 + 4 √ x = 5 −3 61

Solución del ejercicio en Geogebra En la línea de ingreso de datos se ingresa la función como f(x) = (5x^2 - 7)^(1 / 2) / (3x + 4) Luego se pide calcular el límite deseado, mediante la instrucción Límite( <Función>, <Valor numérico> ) Límite(f, -\\infty) Mediante el software Geogebra se tiene la siguiente representación Figura 1.20: Gráca en Geogebra Ejemplo 51 Calcular l´ım 9x2 − x + 1 + 3x x→−∞ Desarrollo l´ım 9x2 − x + 1 + 3x = l´ım 9(−x)2 − (−x) + 1 + 3(−x) x→−∞ x→+∞ = l´ım 9x2 + x + 1 − 3x x→+∞ Se racionaliza la expresión para evitar la indeterminación = l´ım 9x2 + x + 1 − 3x √ x→+∞ √9x2 + x + 1 + 3x = l´ım √ x + 1 9x2 + x + 1 + 3x x→+∞ 9x2 + x + 1 + 3x 62

Se identica el término de mayor grado y se lo divide por cada término de la expresión = l´ım x + 1 x→+∞ x x = l´ım 9x2 + x + 1 + 3x x→+∞ x2 x2 x2 x =1 1 + 1 3+3 x =1 9+ 1 + 1 +3 6 x x2 Ejercicios Propuestos Límites al Innito Calcular si existe los siguientes limites 1. x3 + 2x2 + 3x + 4 l´ım 4x3+3x2 +2x+1 x→∞ 2. 4x3 + 2x2 − 5 Rpta. 1 l´ım −8x3 + x + 2 4 x→∞ Rpta.− 1 3. 2x2 + 7x + 5 l´ım 2 x→∞ x3 + 2x + 1 Rpta.0 4. x3 − x2 ) Rpta.2 l´ım ( Rpta. 1 x→∞ x2 + 2 x + 2 2 5. 3x2 − (2x − 1)(3x2 + x + 2) ] l´ım [ 4x2 Rpta.−√2 x→∞ 2x + 1 Rpta.1 √ Rpta.± 5 6. 2x2 + 1 2 l´ım x→∞ x + 3 Rpta. a 7. l´ım ( x2 + 2x − x) 2 x→∞ 8. l´ım ( x2 − 2x − 1 − x2 − 7x + 3) x→∞ 9. l´ım ( x(x + a) − x) x→∞ 63

10. l´ım ( (x + a)(x + b) − x) x→∞ 11. l´ım (x + 3 x2 − x3 + 1) Rpta. a + b x→∞ 2 12. √ l´ım √x −x Rpta. 1 x→∞ 1 − 4x2 2 13. l´ım (x + 3 1 − x3) x→∞ Rpta.− 1 14. l´ım √x 2 x→∞ x − x2 + 1 Rpta.0 √√ Rpta.−∞ 15. 3 8x3 + x2 − 3 x3 + x2 l´ım Rpta.1 x→∞ x Rpta.− 5 16. l´ım ( x6 − 4x3 − 4 x12 + 2x9) 2 x→∞ Rpta.0 17. l´ım ( 3 x5 − x3 − x) Rpta. 2 x→∞ x2 + 3 3 18. l´ım (x2 − 3 x6 − 2x4) x→∞ Rpta.2 Rpta.k = 1 b = 0 √ 19. 4 x4 + 1 + x l´ım x→∞ x + 1 20. Hallar las costantes k y b que cumple l´ım (kx + b − x3 + 1 x2 + 1 ) = 0 x→∞ 1.11. Límites Innitos De los ejemplos analizados en el estudio sobre límites laterales se determinó que una función real no siempre tiene límite. Pero, sucede que cuando x tiende a x0 ya sea por la izquierda o derecha, el comportamiento de las imágenes de f(x) suelen tener comportamientos parecidos; es decir, crecen o decrecen al mismo tiempo. Esta argumentación lo ilustramos con el análisis de los siguientes ejemplos. 64

Ejemplos de Límites Innitos Consideremos la función f(x) = 1 + 2 cuya gráca es: (x − 2)2 Figura 1.21: Límites Innitos En la gráca de la función podemos evidenciar que cuando x se aproxima a 2, ya sea por la izquierda o por la derecha, el comportamiento de las imágenes de la función f(x) tienden a crecer indenidamente. Cálculando los límites laterales tenemos l´ım f (x) = l´ım 1 + 2 = +∞ x→ 0− x→ 2− (x − 2)2 y 1 + 2 = +∞ l´ım f (x) = l´ım x→ 0+ x→ 2+ (x − 2)2 De donde concluimos que sus límites laterales son diferentes, lo que implica que el límite cuando x → 2 de f(x) no existe y se denota con l´ım f (x) = +∞ x→ 2 A éste tipo de límites se les denomina Límites Innitos. 65

Ejemplo de Límites Innitos Consideremos la función f(x) = − 1 cuya gráca es: x2 Figura 1.22: Límites Innitos En la gráca de la función podemos evidenciar que cuando x se aproxima a 0, ya sea por la izquierda o por la derecha, el comportamiento de las imágenes de la función f(x) tienden a decrecer indenidamente. Calculando los límites laterales tenemos l´ım f (x) = l´ım − 1 = −∞ x→ 0− x→ 0− x2 y l´ım f (x) = l´ım − 1 = −∞ x→ 0+ x→ 0+ x2 Por lo tanto, sus límites laterales son diferentes lo que implica que su límite cuando x → 0 de f(x) no existe y se concluye que l´ım f (x) = −∞ x→ 0 A éste tipos de límites se les denomina Límites Innitos. Del análisis realizado a los ejemplos anteriores sobre límites innitos, vamos a proceder a formalizar la parte conceptual mediante las siguientes deniciones. 66

Denición 1.12. Sea f : Df −→ R una función real con x0 ∈ Df. El límite de la función f(x) cuando x tiende a x0 es +∞ y denotamos con l´ım f (x) = +∞ x→ x0 ssi ∀N > 0 ∃δ > 0/∀x ∈ R si 0 < |x − x0| < δ ⇒ f (x) > N Denición 1.13. Sea f : Df −→ R una función real con x0 ∈ Df. El límite de la función f(x) cuando x tiende a x0 es −∞ y denotamos con l´ım f (x) = −∞ x→ x0 ssi ∀N < 0 ∃δ > 0/∀x ∈ R si 0 < |x − x0| < δ ⇒ f (x) < N Teorema 1.6. Sea n ∈ R+. Entonces se cumple: l´ım 1 = +∞ x→ 0+ xn y  si n es impar 1  −∞ si n es parl´ım = x→ 0− xn  +∞ 67

Ejemplos de Límites Innitos Consideremos la función f (x) = x x 2 cuya gráca es: − Figura 1.23: Límites Innitos En la gráca de la función podemos evidenciar que los límites laterales alrededor de x = 2 están dados por l´ım f(x) = −∞ ∧ l´ım f(x) = .+∞ Concluyendo que no existe l´ım f(x) x→ 2− x→ 2+ x→ 2− Pero, si se considera uno solo de los límites laterales a éstos se los puede denominar Límites Innitos. Ejemplo 52 Calcular l´ım x + 2 x→2+ x2 − 4 Desarrollo l´ım x + 2 = l´ım $x +$$2 x→2+ x2 − 4 x→2+ (x − 2)($x +$$2) 1 = l´ım x→2+ x − 2 = +∞ 68

Utilizando el software Geogebra se puede realizar el ejercicio con la posibilidad de analizar la gráca de la función y vericar el resultado del límite. Figura 1.24: Límite innito En la gráca se evidencia la línea de código que se necesita en Geogebra para el cálculo del límite. Ejemplo 53 √ Calcular 16 − x2 l´ım x−4 x→4− Desarrollo √ √√ 16 − x2 ( 4 − x)( 4 + x) l´ım x−4 = − l´ım √ 4−x x→4− x→4− = − l´ım √4 + x x→4− 4 − x √ = − √8 0 = −∞ Utilizando el software Geogebra se puede observar la gráca de la función y vericar el resultado del límite. Ejemplo 54 Calcular [|x|] − 4 l´ım x−4 x→4− 69

Figura 1.25: Límite innito Desarrollo Como x → 4− entonces x [3, 4[ lo que implica que [|x|] = 3 Con este antecedente entonces el límite es evaluado de la siguiente manera [|x|] − 4 3−4 l´ım = l´ım x→4− x − 4 x→4− x − 4 1 = l´ım x→4− 4 − x 1 = 0 = +∞ Utilizando el software Geogebra se puede observar la gráca de la función y vericar el resultado del límite. 1.12. Límites Trigonométricos Las técnicas para resolver un ejercicio de límites que involucre funciones trigonométricas esta dado por aplicar el Límite Fundamental Trigonométrico dado en la ecuación (??): además, es necesario realizar algunas operaciones algebraicas como multiplicar y dividir por un número, factorizar, multiplicar por la conjugada o aplicar las propiedades de los límites con la nalidad de evitar las indeterminaciones que generalmente se presenta de la forma 0. A continuaci0ón se realiza un repaso de las principales identidades trigonométricas 1. Identidad pitagórica 70

Figura 1.26: Límite de la función parte entera §¤ ¦sen2(x) + cos2(x) = 1 ¥ tan2(x) + 1 = sec2(x) ctan2(x) + 1 = csc2(x) 2. Suma y diferencia de ángulos sen(x ± y) = sen(x)cos(y) ± cos(x)sen(y) cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sen(x)sen(y) tan(x ± y) = tan(x) ± tan(y) 1 ∓ tan(x)tan(y) 3. Ángulos dobles sen(2x) = 2sen(x)cos(x) cos(2x) = cos2(x) − sen2(x) 2tan(x) tan(2x) = 1 − tan2(x) 4. Ángulos mitad sen© 2 =± 1 − cos(x) x 2 cos© 2 =± 1 + cos(x) x 2 tan© 2 =± 1 − cos(x) 1 − cos(x) sen(x) x 1 − cos(x) = = sen(x) 1 + cos(x) 5. Suma de funciones sen(x) + sen(y) = 2 sen© x+y cos© x−y 2 2 sen(x) − sen(y) = 2 sen© x−y cos© x+y 2 2 cos(x) + cos(y) = 2 cos© x+y cos© x−y 2 2 cos(x) − cos(y) = −2 sen© x+y sen© x−y 2 2 71

6. Producto de funciones sen(x) ∗ sen(y) = 1 cos(x − y) − cos(x + y) 2 cos(x) ∗ cos(y) = 1 cos(x − y) + cos(x + y) 2 sen(x) ∗ cos(y) = 1 sen(x − y) − sen(x + y) 2 7. Complemento, supemento de la función sen© π − x = cos(x) 2 cos© π − x = sen(x) 2 sen(π ± x) = ∓ sen(x) cos(π ± x) = −sen(x) 8. Paridad de la función 9. Complemento, supemento de la función sen© − x = −sen(x) cos© − x = cos(x) tan© − x = −tan(x) Para el cálculo de los límites trigonométricos es necesario enunciar y demostrar el Teorema Fundamental Trigométrico. Teorema 1.7.  (1.3) sin(x) l´ım = 1 x→ 0 x 72