Ejercicios-y-problemas-de-funciones-reales-de-varias-variables

9−x2 9−x2 − y2 1 π ∫ ∫z 2 dz dy dx 35 ( )3 2 2π 3 (ρ cos(Φ)ρ)ρ sen(Φ) ∫ =∫ ∫ ∫ x2 + y2 + z2 2 dρ dθ dΦ = π −3 − 9−x2 0 0 00 5 π 16. Dada I = 3 2π secΦ ρ 2 sen Φ dρ dθ dΦ , grafique el sólido sobre el cual se integra y plantee la ∫ ∫ ∫ 00 0 integral en coordenadas rectangulares: Solución: A partir de los límites de integración, se tiene que 0 ≤ ρ ≤ sec Φ ; 0 ≤ θ ≤ 2π y 0 ≤ Φ ≤ π 3 A partir de las ecuaciones de transformación, se tiene ρ = sec Φ ⇒ ρ = 1 ⇒ ρ cos Φ = 1 ⇒ z = 1 (1) cos Φ Por otra parte, Φ = π ⇒ z = ρcos π ⇒ z = ρ 1 ⇒ 4z 2 = ρ 2 ⇒ 4z 2 = x 2 + y 2 + z 2 ⇒ 3z 2 = x 2 + y 2 ⇒ 3 32 ⇒ z2 = x2 + y2 (2) 33 Que corresponde a la ecuación de un cono de eje z. De (1) y (2), se tiene que x 2 + y 2 ≤ z ≤ 1, es 3 decir, z varía entre la gráfica de z = x 2 + y 2 , 3 que corresponde a la parte superior del cono, y el plano de ecuación z = 1. Como se muestra en la figura. Para obtener la curva que limita la proyección en el plano xy, se halla la intersección de ambas z =1  superficies, es decir, se resuelve el sistema  x2 + y2 , z = 3 201

z =1 x2 + y2 ⇒ x2 + y2 =1⇒ x2 + y2 = 3  33  x2 + y2 ⇒ 1= z = 3 Luego, ambas superficies se intersecan la circunferencia de ecuación x2 + y 2 = 3 en el plano z = 1 En consecuencia, la proyección del sólido en el plano xy es el círculo centrado en el origen y radio 3 , que se muestra en la figura anexa. Por lo tanto, π 3 2π sec Φ 3 3- x2 1 3 3- x 2 1 ∫ ∫ ∫ ρ2 sen Φ dρ dθ dΦ = ∫ ∫ ∫ dz dy dx = 4 ∫ ∫ ∫ dzdydx 00 0 - 3 - 3- x2 x2 + y2 0 0 x2 + y2 3 3 Observe que, como la función a integrar es 1, la integral triple corresponde al volumen del sólido que corresponde a la región de integración. 17. Cambie a coordenadas esféricas y calcule la integral 3 9- y2 18-x2-y2 ∫∫ ∫ (x 2 + y 2 + z 2 ) dz dx dy 00 x2+ y2 Solución: A partir de los límites de integración, se tiene que x 2 + y 2 ≤ z ≤ 18 - x 2 - y 2 0≤ x ≤ 9- y2 y 0≤ y≤3 202

En este caso, z varía entre la parte del cono de ecuación x 2 + y 2 = z 2 que se encuentra por encima del plano xy y el casquete superior de la esfera de ecuación x 2 + y 2 + z 2 = 18 , que se observa en la figura. Como, 0 ≤ x ≤ 9 - y 2 y 0 ≤ y ≤ 3 se considera sólo la parte del sólido que está en el primer octante, y cuya proyección está en el primer cuadrante, sombreada en la figura anexa. Luego, 0≤θ≤ π 2 Al usar las ecuaciones de transformación, se tiene que z = 18 - x 2 - y 2 , se transforma en: z = 18 - x 2 - y 2 ⇒ z 2 + x 2 + y 2 = 18 ⇒ ρ 2 = 18�ρ = 3 2 Mientras que, x 2 + y 2 = z ⇒ ρ cos Φ = ρ 2sen 2Φcos 2θ + ρ 2sen 2Φsen 2θ �ρ 2cos2Φ = ρ 2sen 2Φ � cos2Φ - sen 2Φ = 0 � cos2 Φ = 0 � Φ = π ó Φ = 3π 44 Como 0 ≤ Φ ≤ π por encontrarse en el primer octante, se tiene que la solución es φ = π . 24 Dado que la región es sólida, 0 ≤ Φ ≤ π y 0 ≤ ρ ≤ 3 2 . 4 Luego, el sólido sobre el cual se integra es descrito por: 0≤θ≤ π 0≤ρ≤3 2 y 0≤Φ≤ π 2 4 203

Por lo tanto, 9- y2 18-x2 - y2 π π (x 2 + y 2 + z 2 ) dz dx dy 4 23 2 ( )3 ∫ ∫∫ ρ 2ρ 2 sen Φ dρ dθ dΦ = 35 ⋅ 2 π − 1 + ∫ ∫ ∫ 00 0 = 5 2 00 x2 + y2 18. Considere el sólido Q limitado inferiormente por la superficie de ecuación z = x 2 + y 2 y superiormente por superficie de ecuación x 2 + y 2 + z 2 = 6 . a) Dibuje el sólido Q. b) Dibuje la proyección de Q en el plano xy y plantee una integral triple en coordenadas cartesianas que dé el volumen del sólido. c) Dibuje la proyección de Q en el plano xz y plantee una integral triple en coordenadas cartesianas que dé el volumen del sólido. d) Dibuje la proyección de Q en el plano yz y plantee una integral triple en coordenadas cartesianas que dé el volumen del sólido. e) Plantee una integral triple en coordenadas cilíndricas que dé el volumen del sólido f) Plantee una integral triple en coordenadas esféricas que dé el volumen del sólido g) Calcule el volumen del sólido Q. (utilice la integral que considere más sencilla). Solución: a) z = x 2 + y 2 es la ecuación de un paraboloide que abre hacia arriba, y x 2 + y 2 + z 2 = 6 es la ecuación de una esfera centrada en el origen y radio 6 . El sólido Q es la región del espacio limitada por ambas superficies. b) Ambas superficies se intersecan en una circunferencia cuya ecuación se obtiene resolviendo el sistema de ecuaciones  z = x 2 + y 2 (1)   x 2 + y2 + z2 = 6 (2) Al sustituir el valor de (1) en (2) se obtiene z + z 2 = 6 ⇒ z 2 + z − 6 = 0 ⇒ (z + 3)(z − 2) = 0 Como z ≥ 0 , la solución del sistema es z = 2 , luego ambas superficies se intersecan en la circunferencia de ecuación x 2 + y 2 = 2 en el plano z = 2 . La proyección sobre el plano xy es el conjunto 204

{ }S = (x , y )∈ R 2 / x2 + y 2 ≤ 2 mostrada en la figura. V = ∫∫∫ dV = ∫− 2 ∫ 2−x2 ∫ 6−x2 − y2 dz dy dx 2 2−x2 Q − x2 +y2 c) La proyección sobre el plano xz es la región limitada inferiormente por la parábola de ecuación z = x 2 y superiormente por la semicircunferencia de ecuación z = 6 − x 2 , mostrada en la figura. V = ∫∫∫ dV = ∫02 ∫− z ∫ z−x2 dy dx dz z z−x2 Q − 6 6−z 6−x2 −z2 +∫ ∫ ∫ dy dx dz 2 − 6−z − 6−x2 −z2 d) La proyección sobre el plano yz es la región limitada inferiormente por la parábola de ecuación z = y 2 y superiormente por la semicircunferencia de ecuación z = 6 − y 2 , mostrada en la figura. V = ∫∫∫ dV = ∫02 ∫− z ∫ z−y2 dx dy dz z z−y2 Q − 6 6−z 6− y2 −z2 +∫ ∫ ∫ dx dy dz 2 − 6−z − 6− y2 −z2 e) Las ecuaciones de las superficies en coordenadas cilíndricas vienen dadas por 205

z = x2 + y2 ⇒ z = r2 y z = 6 − x2 − y2 ⇒ z = 6 − r2 Además, de b) se tiene que la proyección de Q en el plano xy es un círculo, por lo tanto el sólido Q es descrito en coordenadas cilíndricas por 0 ≤ θ ≤ 2π , 0 ≤ r ≤ 2 , r 2 ≤ z ≤ 6 − r 2 Luego V = ∫∫∫ dV = ∫02π ∫0 2 6− r 2 r dz dr dθ 2 Q ∫ r f) Las ecuaciones de las superficies en coordenadas esféricas vienen dadas por z = x 2 + y 2 ⇒ ρ cos φ = ρ2 sen2φ ⇒ ρ = cos φ ⇒ ρ = cotanφ csc φ sen 2 φ y x2 + y2 + z2 = 6⇒ρ = 6 Por otra parte, z = 2 ⇒ ρ cosφ = 2 r cosφ = 2 y r = 6 ⇒ cosφ = 2 = 2 ⇒ φ = arccos 2  6 3 3 Además, de b) se tiene que la proyección de Q en el plano xy es un círculo, por lo tanto el sólido Q es descrito en esféricas por 0 ≤ θ ≤ 2π , 0 ≤ ρ ≤ 6 , 0 ≤ φ ≤ arccos 2  3 Y 0 ≤ θ ≤ 2π , 0 ≤ ρ ≤ cotanφ csc φ , arccos 2  ≤ φ ≤ π 3 2 Por lo tanto, π V = ∫∫∫ dV = ∫K2π0 ∫ 0aρccos 2  6 ρ 2 senφ dρ dφ dθ + 2π 2 cotanφ csc φ ρ 2sen φ dρ dφ dθ 3 ∫ ∫ Q ∫0 0 ∫  0 aρccos 2 3 g) El volumen puede ser determinado a partir de cualquiera de las integrales planteadas, por ejemplo, la obtenida en e). 206

3 2 2π 2 r  − r 2 dr dθ 2π  3  2 2π  3 − 1  ∫ ∫  2   3 V = ∫∫∫ dV = ∫02π ∫0 2 ∫ 6−r r dz dr dθ =2 ∫ 0 6 − r2 = − 2 0 2 − 6 dθ =8 r 2 3 Q 0 19. Sea S la porción del cono de ecuación z 2 = x 2 + y 2 comprendida entre los planos de ecuaciones z = 0 y z = 1. Determine, utilizando coordenadas esféricas el valor de ∫∫∫ 1 dV . S x2 + y2 + z2 Solución: La intersección del plano de ecuación z = 1 con el cono se obtiene resolviendo el sistema z =1 ⇒ x2 + y2 =1   z 2 = x2 + y2 Las gráficas del cono y del plano se muestran en la figura. Luego, ambas superficie se intersecan en la circunferencia de ecuación x 2 + y 2 = 1, z = 1 . En consecuencia la proyección de S en el plano xy viene dada por el conjunto { }D = (x , y)∈ R 2 / x2 + y 2 ≤ 1 Se tiene que 0≤ z ≤1 A partir de las ecuaciones de transformación, se tiene z = 1 ⇒ ρ cos Φ = 1 ⇒ ρ = 1 cosφ En consecuencia, 207

0 ≤ ρ ≤ 1 cos φ De la definición de D resulta que 0 ≤ θ ≤ 2π Finalmente, φ varía del eje z al cono: x 2 + y 2 = z ⇒ ρ cos φ = ρ 2sen 2φ cos 2θ + ρ 2sen 2φ sen 2θ ⇒ ρ 2cos 2φ = ρ 2sen 2φ � cos 2φ - sen 2φ = 0 � cos2φ = 0 ⇒ 2φ = π ó 2φ = 3π ⇒ φ = π ó φ = 3π 2 24 4 Como 0 ≤ φ ≤ π porque está en el primer octante, se tiene que la solución es φ = π 24 Por lo tanto, 0≤φ ≤ π 4 En consecuencia, π1 π sen φ cos 2 φ ∫∫∫ 1 dV = 2π 4 cosφ 1ρ 2sen φ dρ dφ dθ = 1 2π 4 dφ dθ = 1 2π  2 −1 dθ S ∫ ∫ ρ ∫ ∫ 2 ∫ ∫ 20 x2 + y2 + z2 0 0 0 0 20 = π ( )2 −1 20. Calcule la masa del sólido S que se encuentra dentro de la esfera de ecuación ρ = 2 y fuera de la esfera de ecuación ρ = 1, suponiendo que la densidad de masa en un punto P(x , y , z) cualquiera es proporcional al cuadrado de la distancia del P al centro de la esfera. Solución: Se sabe que M(S) = ∫∫∫d (x , y , z)dV S Como la densidad de masa en un punto P(x , y , z) cualquiera es proporcional al cuadrado de la distancia del P al centro de la esfera se tiene que ( )δ (x , y , z) = k ⋅ x 2 + y 2 + z 2 En coordenadas esféricas 208

Se tiene que δ (x , y , z) = k ⋅ ρ2 Luego 0 ≤ θ ≤ 2π 1 ≤ ρ ≤ 2 y 0 ≤ φ ≤ π 2π π 2 kρ 2ρ 2 sen φ dρ dφ dθ = 31k 2π π sen φ dφ dθ = 62k 2π dθ = 62k ⋅ 2π = 124 πk ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ M (S) = ∫ 50 0 50 55 0 01 21. Halle el volumen del tetraedro Q limitado por el plano de ecuación bcx + acy + abz = abc y los planos coordenados, con a, b y c positivos. Solución: Se sabe que V = ∫∫∫ dV Q Nota: observe que este problema es similar al ejercicio 1 resuelto, con f (x , y , z) = 1 . La región Q está acotada por la parte del plano de ecuación bcx + acy + abz = abc que está en el primer octante y los planos coordenados, por lo que Q es la región que se observa en la figura. La proyección de Q sobre el plano xy es la región triangular R, limitada por las rectas de ecuaciones bx + ay = ab , y = 0 y x = 0 , sombreada en la figura. Cuando (x , y)∈ R se tiene que 0 ≤ z ≤ abc − acy − bcx ab 209

Luego, ∫∫∫ dV = ∫ a ∫ b− bx ∫ c− c x− c y dz dy dx = a b− bx  c − c x − c y  dy dx = a  y − 1 xy − 1 y 2  b−b x 0 0a 0 a b ∫ a  a b   a 2b  E 0 ∫ c∫ 0 a dx 0 0 a  − b x − 1 x b − b x  − 1  b − b x 2  dx = cb a  − 1 x − 1 x1 − 1 x  − 1 1 − 1 x 2  dx b  ∫ 1  =c∫ 0  a a  a  2b  a   0  a a  a  2  a   a 1 − 1 x+ 1 x 2  dx = cb 1 x− 1 x2 + 1 x3  a = cb 1 a − 1a+ 1 a  = abc  2 a 2a 2   2 2a 6a 2  0 2 2 6 6 = cb ∫ 0 210

Problemas propuestos En los problemas del 1 al 6 evalúe la integral planteada. 1. 3z π 2. 1 2x z+x 2z 3 x dy dz dx 3. 4 2z y+2z ∫∫ ∫ 2z 3 ysen x dx dy dz ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 dx dy dz 0 0 −π 0 1+ x z 1 z−1 0 x 4. 2 x2 x+ y 16x 2 y dz dy dx 5. 2 z z 6. π 2 y y sen x dz dy dx ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2xyz dy dx dz ∫ ∫ ∫ −1 1 0 01 0 0 −2 0 Respuestas: 1) 0 2) − 37 3) 189 4) 513 5) 2 6) 32 70 3 3 7. Sea I = ∫∫∫ f (x , y , z) dV , donde Q es la región del espacio que está en el primer octante limitada Q por las gráficas de z + 2 y = 2 , x = 2 y . a) Dibuje la región de integración. b) Dibuje la proyección de Q sobre cada uno de los planos coordenados y plantee las integrales ∫∫∫ f (x , y , z) dzdydx , ∫∫∫ f (x , y , z) dydxdz , y ∫∫∫ f (x , y , z) dxdzdy . QQ Q Respuesta: a) La Región Q es la porción de la región del espacio limitada por la superficie que se muestra en la figura que está en el primer octante. b) Plano xy 2 1 2−2y ∫ ∫ ∫I = f (x , y , z) dz dy dx 0x 0 2 211

Plano xz 2−z 2 2−z 2 ∫ ∫ ∫I = f (x , y , z) dy dx dz 00 x 2 Plano yz 1 2−2 y 2 y ∫ ∫ ∫I = f (x , y , z) dx dz dy 00 0 ∫∫∫8. Sea I = f (x , y , z) dV , donde R es la región del espacio que está en el primer octante R limitada por las gráficas de z + y = 1, y = x . a) Dibuje la región de integración. b) Dibuje la proyección de R sobre cada uno de los planos coordenados y plantee las integrales ∫∫∫ f (x , y , z) dzdydx , ∫∫∫ f (x , y , z) dxdzdy y ∫∫∫ f (x , y , z) dydxdz RR R Respuesta: a) La Región R es la porción de la región del espacio limitada por la superficie que se muestra en la figura que está en el primer octante. 212

b) Plano xy 1 1 1− y I = ∫ ∫ ∫ f (x , y , z) dz dy dx 0 x0 Plano xz 1 (1−z )2 1−z I = ∫ ∫ ∫ f (x , y , z) dy dx dz 00 x Plano yz 1 1− y y2 I = ∫ ∫ ∫ f (x , y , z) dx dz dy 00 0 ∫∫∫9. Sea I = f (x , y , z) dV , donde R es la región del espacio que está en el primer octante R limitada por las gráficas de z + y = 1, z = 1− x 2 . a) Dibuje la región de integración. b) Dibuje la proyección de R sobre cada uno de los planos coordenados y plantee las integrales ∫∫∫ f (x , y , z) dzdydx , ∫∫∫ f (x , y , z) dxdzdy y ∫∫∫ f (x , y , z) dydxdz RR R 213

Respuesta: a) La Región R es la porción de la región del espacio limitada por la superficie que se muestra en la figura que está en el primer octante. b) Plano xy 1 x2 1− x2 I = ∫ ∫ ∫ f (x , y , z) dz dy dx 00 0 1 1 1− y + ∫ ∫ ∫ f (x , y , z) dz dy dx 0 x2 0 Plano xz 1 1−z 1−z I = ∫ ∫ ∫ f (x , y , z) dy dx dz 00 0 Plano yz 1 1− y 1−z I = ∫ ∫ ∫ f (x , y , z) dx dz dy 00 0 214

En los problemas del 10 al 13 dibuje el sólido sobre el cual se integra y plantee la integral en el orden indicado. 1 2−2 y 2−2 y−x 1 1− y y ∫ ∫ ∫10. I = f (x , y , z)dz dx dy ; dx dy dz 11. I =∫ ∫ ∫ dx dz dy ; dz dy dx 00 0 0 0 −y 12. I 1 0 y2 xyz dzdy dx ; dy dx dz 13. I 1 1− y2 1− x2 − y2 4e x dzdx dy ; dx dz dy =∫ ∫ ∫ =∫ ∫ ∫ 0 −1 0 00 0 Respuestas: 10) 2−z 2 2 2−2 y− z (x , y , z ) dx dy dz I=∫ ∫ ∫f 00 0 11) 1 1 1− y I = ∫ ∫ ∫ dz dy dx −1 x2 0 12) 11− z I = ∫ ∫ ∫ xyz dy dx dz 0 0 −1 13) 1 1− y2 1− y2 − z 2 ∫ 4e x dx dz dy I=∫ ∫ 00 0 215

En los problemas del 14 al 17 dibuje el sólido sobre el cual se integra y plantee la integral en coordenadas cartesianas, en el orden que se indica. π π 14. I 3 2 3 r dz dθ dr ; dz dy dx 15. I = 4 3 9−r 2 dz dr dθ ; dz dx dy =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫zr 1 0r 00 0 16. I 2π 2 4−r2 3r 2 cos θ dz dr dθ ; dz dx dy 17. I = π 2sen θ 4 dr dθ ; dz dy dx =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 7rdz 00 r 000 Respuestas: 14) 1 9−x2 3 3 9−x2 3 I = ∫ ∫ ∫ dz dy dx + ∫ ∫ ∫ dz dy dx 0 1− x2 x2 + y2 10 x2+ y2 15) 3 9− y2 9−x2 − y2 2 ∫ ∫ z dz dx dy I= ∫ y0 0 16) 2 2− y2 4−x2 − y2 I= ∫ ∫ ∫ 3x dz dx dy − 2 − 2− y2 x2 + y2 216

17) 1 1+ 1− x2 4 I = ∫ ∫ ∫ 7 dz dy dx −1 1− 1− x2 0 En los problemas del 18 al 21 dibuje el sólido sobre el cual se integra y plantee la integral en coordenadas cilíndricas. 18. I = 1 1− x2 1 y dz dy dx 19. I = 2 2+ 4− y2 2 20. I = 3 9−x2 3 dy dz dx ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ xy dz dx dy −3 − 9−x2 x2 +z2 −1− 1− x2 x2 + y2 −2 2− 4− y2 0 −4 81− x2 9 4 − 16− x2 9 4 81− x2 9 9 81− x2 9 21. I = ∫ ∫ ∫ dz dy dx + ∫ ∫ ∫ ∫dz dy dx + ∫ ∫ ∫dz dy dx + ∫ ∫ dz dy dx −9 − 81− x2 −4− 81− x2 0 −4 16− x2 0 4 − 81− x2 x2 + y2 x2 +y2 Respuestas: 18) 2π 1 1 ∫ ∫ ∫I = r 2 senθ dz dr dθ 00r 19) π 4 cosθ 2 ∫ ∫ ∫I = r3cosθ sen θ dz dr dθ 000 217

20) 2π 3 3 I = ∫ ∫ ∫ r dy dr dθ 00r 21) 2π 4 9 2π 9 9 I = ∫ ∫ ∫ r dz dr dθ + ∫ ∫ ∫ r dz dr dθ 000 04r En los problemas del 22 al 25 dibuje el sólido sobre el cual se integra y plantee la integral en coordenadas cartesianas, en el orden que se indica. π 2π 9 π ∫ ∫ ∫22. I = ρ 3sen 2 φ cosθ dρ dθ dφ ; dz dx dy 23. I = 3 2π 4 ρ 2 sen φ dρ dθ dφ ; dz dy dx ∫ ∫ ∫ 0 00 000 24. I = π 2π 4 ρ 2 sen φ dρ dθ dφ ; dz dy dx 25. I 2π π 2 ρ 3 sen φ cos φ dρ dφ dθ ; dz dx dy ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ =∫ 0 π1 002 2 Respuestas: 22) 9 81− y2 81− x2 − y2 I= ∫ ∫ ∫ x dz dx dy −9 − 81− y2 − 81− x2 − y2 218

23) 2 3 12− x2 16− x2 − y2 I= ∫ ∫ dz dy dx ∫ x2+ y2 −2 3 − 12− x2 3 24) 4 16− x2 16− x2 − y2 2 4−x2 4−x2 − y2 I=∫ ∫ ∫ ∫dz dy dx − ∫ ∫ dz dy dx −4− 16− x2 − 16− x2 − y2 −2− 4−x2 − 4−x2 − y2 25) 2 4− y2 0 1 1− y2 0 ∫ ∫ ∫I = z dz dx dy − ∫ ∫ ∫ z dz dx dy −2− 4− y2 − 4−x2 − y2 −1− 1− y2 − 1− x2 − y2 En los problemas del 26 al 29 dibuje el sólido sobre el cual se integra y plantee la integral en coordenadas esféricas. 1 1− x2 1− x2 − y2 27. I = 2 4−x2 8−x2 − y2 26. I = ∫ ∫ ∫ y 2 dz dy dx ∫ ∫ ∫ z dz dy dx 00 0 −2 − 4−x2 x2 + y2 3 9−x2 3+ 9−x2 − y2 2 4−x2 2 28. I = ∫ ∫ ∫ x dz dy dx 29. I = ∫ ∫ ∫ dz dy dx −3 − 9−x2 3 −2 − 4−x2 x2 + y2 219

Respuestas: ππ 26) 221 27) 28) ∫ ∫ ∫I = ρ4 sen3Φ sen2θ dρ dθdΦ 29) 000 π 4 2π 8 ρ3 senφ cos φ dρ dθdΦ ∫ I=∫ ∫ 00 0 π I = 4 2π 6cosφ ρ3 sen2Φ cosθ dρ dθdΦ ∫∫ ∫ 0 0 3secφ π 2π 4 2sec φ ∫ ∫ ∫I = ρ2 senΦ dρ dφ dθ 00 0 220

30. Plantee y calcule una integral triple para hallar el volumen del sólido limitado por las gráficas de ecuaciones: x = 4 − y 2 , z = 0 , z = x , con y ≥ 0 Respuesta: V (Q) = ∫∫∫ dV = ∫02 ∫04− y2 ∫0x dz dx dy = 128 15 Q 31. Plantee y calcule, en coordenadas cilíndricas, la integral que da el volumen del sólido Q acotado por las gráficas de las superficies de ecuaciones z = 2 , z = 4 , x 2 + y 2 = 1 y x 2 + y 2 = 25 Respuesta: V (Q) = 2π 5 4 r dz dr dθ = 48π ∫ ∫ ∫ 0 12 32. Plantee y calcule, en coordenadas esféricas, la integral que da el volumen del sólido Q acotado por las gráficas de las superficies de ecuaciones x 2 + y 2 + z 2 = 1 y x 2 + y 2 + z 2 = 25 . ∫ ∫ ∫2π 5 π ρ 2 senφ dφ dρ dθ = 496 π 3 Respuesta: V (Q) = 010 33. Calcule el volumen del sólido que está encima del cono de ecuación z 2 = x 2 + y 2 y dentro de la esfera de ecuación x 2 + y 2 + z 2 = 4z Respuesta: 8π 34. Calcule el volumen del sólido acotado por las superficies de ecuaciones z = y 2 , z = 0 , x = 1 , x = 0 , y = −1 , y = 0 . Respuesta: 1 3 35. Demuestre usando integrales triples que el volumen de un cilindro de radio R y altura h es V = π R2h . 36. Demuestre usando integrales triples que el volumen de una esfera de radio R es V = 4 π R3 . 3 37. Calcule la masa del sólido que está dentro de la esfera de ecuación ρ = 2 y fuera de la esfera de ecuación ρ = 1 , suponiendo que la densidad de masa en un punto P es directamente proporcional al cuadrado de la distancia de P al centro de la esfera. Respuesta: 124k π (k es la constante de proporcionalidad) 5 221

38. Halle la masa de un sólido cilíndrico de altura h y radio a, suponiendo que la densidad en cada punto P(x , y , z) es proporcional a la distancia entre el punto P y la base del sólido. Respuesta: Kh 2 a 2 π (k es la constante de proporcionalidad) 2 39. Determine las coordenadas del centro de masa de un sólido de densidad constante que está acotado inferiormente por el plano xy, superiormente por el cono de ecuación z = x 2 + y 2 y lateralmente por el cilindro de ecuación x 2 + y 2 = 1. Respuesta: xM = y M = 0, zM = 3 8 40. Halle el momento de inercia con respecto a cada uno de los ejes de coordenadas del sólido definido por: − a ≤ x ≤ a , − b ≤ y ≤ b y − c ≤ z ≤ c , si este tiene densidad de masa δ 22 22 22 constante. ( ) ( ) ( )Respuesta:abcδ , abcδ , abcδ Ix = 12 b2 +c2 Iy = 12 a2 +c2 Iz = 12 a2 +b2 222

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