การจัดเรียง

1 วิธีเรยี งสับเปล่ียนและการจดั หมู่ ช่อื ................................................................................................... ชน้ั ................... เลขท่ี ........... 1 ปรีชามเี ส้ือ 4 ตวั แตกตา่ งกนั มกี างเกง 3 ตวั แตกตา่ งกนั จงหาวา่ ปรีชาจะมวี ธิ ีแตง่ กาย จากชดุ ที่ กาํ หนดให้ไดก้ ว่ี ธิ ี วธิ ที า ให้ ส1, ส2, ส3, ส4 แทน เสื้อตวั ที่หน่ึงถึงเสื้อตวั ที่สี่ ก1, ก2, ก3 แทน กางเกงตวั ทห่ี น่ึงถึงเสื้อตวั ทสี่ าม สามารถจบั คเู่สื้อและกางเกง ดงั น้ี ส1 ก1, ส1 ก2, ส1 ก3, ส2 ก1, ส2 ก2, ส2 ก3, ส3 ก1, ส3 ก2, ส3 ก3, ส4 ก1, ส4 ก2, ส4 ก3 อาจใชแ้ ผนภาพตน้ ไมแ้ สดงการจบั คเู่ส้ือและกางเกง ดงั น้ี ก1 ส ก2 1 ก3 ส ก1 2 ก2 ก3 ก1 ส ก2 3 ก3 ก1 ส ก2 4 ก3 จะสังเกตไดว้ า่ สามารถหาจาํ นวนวธิ ีแตง่ กายจากชดุ ที่กาํ หนดให้ไดโ้ ดยการคณู คือ นําจาํ นวนชดุ ของ เส้ือคณู จาํ นวนชดุ ของกางเกง จะได้ 43 = 12 วธิ ี กฎเบือ้ งตน้ เกยี่ วกบั การนับ (The fundamental principle of counting) หรือเรียกวา่ กฎการคณู (multiplication rule) กาํ หนดดงั น้ี

2 กฎข้อที่ 1 ถา้ สามารถทาํ งานอย่างแรกวธิ ีตา่ งๆ ได้ n1 วธิ ี และแตล่ ะวธิ ีของการทาํ งานอย่างแรก สามารถทาํ งานอยา่ งทส่ี องวธิ ีตา่ งๆ ได้ n2 วธิ ี ดงั น้นั จาํ นวนวธิ ีทง้ั หมดทจี่ ะเลอื กทาํ งานอย่างทหี่ น่ึงตามดว้ ย การทาํ งานอยา่ งทสี่ อง สามารถทาํ วธิ ตี า่ งๆ ได้ n1 n2 วธิ ี 2 ในการเลอื กรบั ประทานอาหารประเภทละหน่ึงอยา่ ง จากอาหารสามประเภท คอื มแี กงอยู่ 2 อยา่ ง มตี ม้ จดื อยู่ 3 อยา่ ง และมขี นมหวานอยู่ 2 อยา่ ง จะมวี ธิ ีเลือก รับประทานไดท้ ้งั หมดกว่ี ธิ ี วิธที า ให้ ก1, ก2 แทน แกงอยา่ งทห่ี น่ึงและอยา่ งท่ีสองตามลาํ ดบั จ1, จ2, จ3 แทน ตม้ จืดอยา่ งทีห่ น่ึงถงึ อยา่ งทีส่ ามตามลาํ ดบั ข1, ข2 แทน ขนมอยา่ งทหี่ น่ึงและอยา่ งที่สองตามลาํ ดบั วธิ ีเลือกรับประทานอาหารประเภทละหน่ึงอยา่ ง พิจารณาได้จากแผนภาพตน้ ไม้ ดงั น้ี ข2 ก1จ1ข2 จ1 ข1 ก1จ2ข1 ก1 จ2 ข2 ก1จ2ข2 ข1 ก1จ3ข1 จ3 ข2 ก1จ3ข2 ข1 ก2จ1ข1 ข2 ก2จ1ข2 จ1 ข1 ก2จ2ข1 ก2 จ2 ข2 ก2จ2ข2 ข1 ก2จ3ข1 จ3 ข2 ก2จ3ข1 ข2 ก2จ3ข2 ซ่งึ จะได้ 12 วธิ ี คือ ก1 จ1 ข1, ก1 จ1 ข2, ก1 จ2 ข1, ก1 จ2 ข2, ก1 จ3 ข1, ก1 จ3 ข2 ก2 จ1 ข1, ก2 จ1 ข2, ก2 จ2 ข1, ก2 จ2 ข2, ก2 จ3 ข1, ก2 จ3 ข2 วธิ ีเลอื กท้งั หมดพิจารณาไดจ้ ากการทาํ งานสามงาน คือ

3 1) มวี ธิ ีเลือกแกงได้ 2 วธิ ี 2) แตล่ ะวธิ ีของการเลือกแกงจะมีวธิ ีเลอื กตม้ จืดได้ 3 วธิ ี 3) แตล่ ะวธิ ีของการเลือกแกง และเลอื กตม้ จดื จะมวี ธิ ีเลือกขนมหวานได้ 2 วธิ ี ดงั น้นั จะมวี ธิ ีเลอื กทง้ั หมด เป็น 2 3  2 = 12 วธิ ี กฎข้อที่ 2 ถา้ สามารถทาํ งานอยา่ งแรกวธิ ีตา่ งๆ ได้ n1 วธิ ี แตล่ ะวธิ ีของการทาํ งานอยา่ งแรกสามารถทาํ งานอยา่ งท่ี สองวธิ ีตา่ งๆ ได้ n2 วธิ ี และแตล่ ะวธิ ีของการทาํ งานอยา่ งแรก และอยา่ งทีส่ องสามารถทาํ งานอยา่ งทสี่ าม ตา่ งๆ กนั ได้ n3 วธิ ี ... เป็นเชน่ น้ีถึงการทาํ งานอยา่ งที่ k ซ่งึ สามารถทาํ งานวธิ ีตา่ งๆ กนั ได้ nk วธิ ี ดงั น้นั จาํ นวนวธิ ีทง้ั หมดที่จะเลือกทาํ งานอยา่ งแรกตามดว้ ยการทาํ งานอยา่ งที่สอง ตามดว้ ยการทาํ งานอยา่ งที่ สาม ... จนถงึ การทาํ งานอยา่ งท่ี k สามารถทาํ วธิ ีตา่ งๆ ได้ n1 n2 n3 ...nk วธิ ี ตรวจสอบความก้าวหน้า 1 1. ถา้ มวี ธิ ีเดินทางจากปราจนี บุรีไปกรุงเทพมหานคร ปราจีนบรุ ี กรงุ เทพมหานคร สมทุ รสาคร ส1 ได้ 3 วธิ ี และมวี ธิ ีเดินทางจากกรุงเทพมหานครไป ส2 สมทุ รสาครได้ 4 วธิ ี จะมวี ธิ ีเดนิ ทางจากปราจนี บุรี ผา่ นกรุงเทพมหานครไปสมทุ รสาครไดท้ ง้ั หมดก่ีวธิ ี ป1 ก ส3 ส4 เส้นทางมไี ดท้ ง้ั หมด 12 เส้นทาง คอื ส1 ป1ส1, ป1ส2,ป1ส3, ป1ส4, ป2ส1, ป2ส2,ป2ส3, ป2ส4, ป2 ก ส2 ป3ส1, ป3ส2,ป3ส3, ป3ส4 ส3 ส4 ส1 ป3 ก ส2 ส3 ส4 2. มดี ินสอแตกตา่ งกนั 3 แทง่ ไมบ้ รรทดั แตกตา่ งกนั 4 อนั และสมดุ แตกตา่ งกนั 5 เลม่ ถา้ ตอ้ งการเลอื ก ดนิ สอ ไมบ้ รรทดั และสมดุ อยา่ งละ 1 เลม่ จะมวี ธิ ีเลอื กตา่ งๆ กนั ไดก้ วี่ ธิ ี

4 มวี ธิ ีเลอื กตา่ ง ๆ กนั ได้ 3  4  5  60 3 สถาบนั ทดสอบความพร้อมเพ่อื เขา้ เรียนตอ่ ในมหาวทิ ยาลยั ไดก้ าํ หนดรหสั ของ นกั ศกึ ษาดว้ ย อกั ษรภาษาไทย 1 ตวั และตามดว้ ยตวั เลขสี่ตวั สถาบนั จะมวี ธิ ีกาํ หนดรหัสของผเู้ ขา้ สอบไดแ้ ตกตา่ งกนั ทง้ั หมดกวี่ ธิ ี ถา้ 1) ไมม่ ขี อ้ กาํ หนดใดๆ เพิ่มเติม 2) หา้ มออกบตั รทีต่ ัวเลขเป็นศูนย์พรอ้ มกนั ทง้ั ส่ีหลกั วิธที า 1) ไมม่ ขี อ้ กาํ หนดใดๆ เพิม่ เตมิ ดงั น้นั การจดั รหัสจะเหมอื นกบั การทาํ งาน 5 ข้นั ตอน ขน้ั ทหี่ น่ึง มวี ธิ ีเลอื กอกั ษรภาษาไทยได้ 44 วธิ ี ขน้ั ทส่ี องถงึ ขน้ั ทห่ี ้า มวี ธิ ีเลอื กตวั เลขได้ ขน้ั ตอนละ 10 วธิ ี ดงั น้นั จะออกรหสั ไดท้ ง้ั หมด 44 10101010 = 440,000 วธิ ี 2) กรณีท่ีออกบตั รท่ีตวั เลขเป็นศูนยพ์ ร้อมกนั ท้งั ส่ีหลกั มวี ธิ ีออกบัตรได้ 44 111 1 = 44 วธิ ี ดงั น้นั กรณที ี่ออกบัตรท่ตี วั เลขไมเ่ป็นศูนย์พร้อมกนั ท้งั สี่หลักจะมวี ธิ ีออกบตั รได้ 440,000 - 44 = 439,956 วธิ ี ตรวจสอบความก้าวหน้า 2

5 สถาบนั ทดสอบศกั ยภาพทางภาษาองั กฤษของสถาบนั แหง่ หน่ึงมีวธิ ีกาํ หนดรหสั ประจาํ ตวั ของผเู้ ขา้ สอบดว้ ยอกั ษรภาษาองั กฤษ 2 ตวั และตามดว้ ยตวั เลขอีก 4 ตวั สถาบนั จะมวี ธิ ีกาํ หนดรหสั ของผเู้ ขา้ เรียนได้ แตกตา่ งกนั ท้งั หมดกวี่ ธิ ี ถา้ 1. ไมม่ ขี อ้ กาํ หนดใดๆ เพิม่ เติม    อกั ษรภาษาองั กฤษ ตวั เลข วธิ ีกาํ หนดรหสั ไดแ้ ตกตา่ งกนั 26  26  10  10  10 10 = 6,760,000 วธิ ี จาํ นวนวธิ ีทอ่ี อกบตั รท่ีตัวเลขเป็นศนู ยพ์ ร้อมกนั ทง้ั สี่ตวั เป็น = 26261111 = 676 วธิ ี ดงั น้นั วธิ ีทีอ่ อกบตั รตัวเลขไมเ่ป็นศนู ยพ์ ร้อมกนั ท้งั ส่ีตวั เป็น 6,760,000 - 676 = 6,759,324 วธิ ี แบบฝึ กหดั 1.1 1. มเี ส้นทางจากตาํ บล ก ไปตาํ บล ข อยู่ 4 เส้นทาง มเี สน้ ทางจากตาํ บล ข ไปตาํ บล ค อยู่ 3 เสน้ ทาง ถา้ เดนิ ทางจากตาํ บล ก ไปยงั ตาํ บล ค โดยผา่ นตาํ บล ข จะมเี ส้นทางการเดินทางแตกตา่ งกนั ไดก้ วี่ ธิ ี จากตาํ บล ก ไปตาํ บล ข มี 4 เสน้ ทาง จากตาํ บล ข ไปตาํ บล ค มี 3 เสน้ ทาง ดงั น้ัน จะมกี ารเดนิ ทางแตกตา่ งกนั 4  3  12 … 2. เพญ็ ศรีมกี ระโปรง 4 ตวั มเี ส้ืออยู่ 5 ตวั และเข็มขดั 2 เส้น จะมวี ธิ ีแตง่ ตวั แตกตา่ งกนั ได้ ทง้ั หมด กวี่ ธิ ี มกี ระโปรงอยู่ 4 ตวั . มเี ส้ืออยู่ 5 ตวั . มเี ขม็ ขดั 2 เสน้ . จากกฎขอ้ ท่ี 2 วธิ ี จะมวี ธิ ีแตง่ ตวั แตกตา่ งกนั ได้ท้งั หมด 4 5 2 = 40 วธิ ี . 3. มเี รือขา้ มฟากระหวา่ งทา่ น้าํ ราษฎร์บูรณะและทา่ น้าํ สะพานสูงอยู่ 8 ลาํ ถา้ สมนึกตอ้ งการ ขา้ ม ฟากไปและกลบั ระหวา่ งทา่ น้าํ ราษฎร์บูรณะและทา่ น้าํ สะพานสูง โดยขากลบั จะไมข่ ้นึ ซ้ําเรือลาํ เดยี วกบั ขาไป สมนึกจะมวี ธิ ีใชเ้ รือขา้ มฟากไดท้ ง้ั หมดกีว่ ธิ ี

6 วธิ ีเลือกเรือขา้ มฟากขาไปได้ 8 วธิ ี . วธิ ีเลอื กเรือขา้ มฟากขากลับได้ 7 วธิ ี (เลอื กขาไปไปแลว้ 1 ลาํ  8 – 1 = 7) มวี ธิ ีใชเ้ รือขา้ มฟากไดท้ ้งั หมด 8  7 = 56 วธิ ี 4. บริษทั ผลติ รถยนต์แหง่ หน่ึง ตอ้ งการผลิตรถยนต์4 แบบ แตล่ ะแบบมสี ีอยู่ 5 สี ถา้ จะจดั ห้องแสดง รถยนตท์ กุ แบบทุกสีอยา่ งละหน่ึงคนั จะตอ้ งจดั ท่จี อดรถท้งั หมดกท่ี ่ี ผลิตรถยนต์ 4 แบบ . แตล่ ะแบบมสี ีอยู่ 5 สี . จะตอ้ งจดั ท่ีจอดแสดงรถยนต์ท้งั หมด 4  5 = 20 ที่ . . 5. บตั รพนักงานประกอบดว้ ยตัวอกั ษรในภาษาไทย 2 ตวั และตวั เลข 3 ตวั สามารถออกบตั รให้ พนกั งานไดแ้ ตกตา่ งกนั กวี่ ธิ ี ถา้ 1) ไมม่ ขี อ้ จาํ กดั อ่ืน 44 44 10 10 10 อกั ษรภาษาไทย ตวั เลข . ออกบตั รพนกั งานแตกตา่ งกนั ได้ 44  44  10 10  10 . . = 1,936,000 วธิ ี 2) ถา้ ไมใ่ ชต่ วั เลขเป็นศูนย์ท้งั สามหลกั พรอ้ มกนั ถา้ ออกบตั รโดยใชต้ วั เลขเป็นศนู ย์ทง้ั สามหลกั พร้อมกนั จะออกบตั รได้ 44  44 10 10 10 = 1,936 วธิ ี ดงั น้นั วธิ ีออกบตั รทต่ี วั เลขไมเ่ป็นศนู ยพ์ ร้อมกนั ทง้ั สามหลักเป็น . 1,936,000 - 1,936 = 1,934,064 วธิ ี 6. อาหารปิ่นโตเสนอรายการอาหาร ดงั น้ี แกง 3 ชนิดแตกตา่ งกนั ตม้ จดื 4 ชนิดแตกตา่ งกนั ผดั ผกั 2 ชนิด แตกตา่ งกนั และขนมหวาน 5 ชนิดแตกตา่ งกนั ถา้ ผูส้ ัง่ อาหารปิ่นโตแตล่ ะ รายเลอื กแกงไดห้ น่ึงอยา่ ง

7 ตม้ จดื หน่ึงอยา่ ง ผดั ผกั หน่ึงอยา่ ง และขนมหวานหน่ึงอยา่ ง จะมวี ธิ ีเลอื กรายการอาหารตา่ งๆ ไดท้ ง้ั หมด กวี่ ธิ ี วธิ ีเลอื กรายการอาหารวธิ ีตา่ ง ๆ ไดท้ ้งั หมด 3  4  2  5 = 120 วธิ ี 7. มหี นังสือคณติ ศาสตร์แตกตา่ งกนั 3 เลม่ วทิ ยาศาสตร์แตกตา่ งกนั 4 เลม่ ภาษาองั กฤษ แตกตา่ งกนั 6 เลม่ และภาษาไทยแตกตา่ งกนั 5 เลม่ ในการเลอื กหนงั สือวางบนโตะ๊ ชดุ หน่ึง ซ่งึ ประกอบดว้ ย คณิตศาสตร์หน่ึงเลม่ วทิ ยาศาสตร์หน่ึงเลม่ ภาษาองั กฤษหน่ึงเลม่ และ ภาษาไทยหน่ึงเลม่ จะมวี ธิ ี เลือกตา่ งๆ กนั ไดท้ ง้ั หมดกว่ี ธิ ี วธิ ีเลอื กตา่ ง ๆ กนั ไดท้ ง้ั หมด 3  4  6  5 = 360 วธิ ี 8. มวี ธิ ีท่ีจดั คน 8 คนให้น่ังเกา้ อ้ีท่วี างอยูเ่ป็นแถวจาํ นวน 4 ตวั ไดก้ วี่ ธิ ี โดยในแตล่ ะวธิ ีจะมคี น ไมไ่ ด้ นั่งสี่คน ตาํ แหนง่ 1 234 . ในตาํ แหนง่ ท่ี 1 มวี ธิ ีเลอื กคนใหน้ ่งั ได้ 8 วธิ ี ตาํ แหนง่ ท่ี 2 มวี ธิ ีเลอื กได้ 7 วธิ ี ในตาํ แหนง่ ท่ี 3 มวี ธิ ีเลอื กได้ 6 วธิ ี ตาํ แหนง่ ท่ี 4 มวี ธิ ีเลอื กได้ 5 วธิ ี วธิ ีจดั คนใหน้ ่งั ไดท้ ง้ั หมด 8  7 6  5 = 1,650 วธิ ี 9. ถา้ โยนลกู เต๋าสองลูก เราจะใชค้ อู่ นั ดบั แสดงหนา้ ทีแ่ ตม้ ปรากฏของลกู เต๋าลกู ทห่ี น่ึง และลกู เต๋าลกู ท่ี สอง เชน่ (4, 2) บอกใหท้ ราบวา่ ลูกเต๋าลกู ทห่ี น่ึงข้ึนหนา้ 4 แตม้ และลูกเต๋าลูกท่สี อง ข้นึ หนา้ 2 แตม้ ดงั น้นั เมอ่ื โยนลกู เต๋าสองลูก จะมคี อู่ นั ดบั แสดงหนา้ ที่ปรากฏตา่ งๆ กนั ท้งั หมดกวี่ ธิ ี อะไรบา้ ง มี 6  6 = 36 คอู่ นั ดบั ดงั น้ี (1,1) , (1,2) ,(1,3) ,(1,4) , (1,5) , (1,6) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) , (3,1) ,(3,2) ,(3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6) , (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) ,(4,5) , (4,6),(5,1) ,(5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6) , (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) ,(6,6) . 10. ในการทอดลูกเต๋าสองลูกพร้อมๆ กนั จงหาจาํ นวนวธิ ีทจ่ี ะไดเ้ หตุการณด์ งั น้ี 1) ผลรวมของแตม้ เทา่ กบั 8 (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) . . มจี าํ นวนวธิ ีทจ่ี ะไดเ้ หตกุ ารณ์ดงั กลา่ ว 5 วธิ ี มจี าํ นวนวธิ ีทจี่ ะไดเ้ หตุการณด์ งั กลา่ ว 5 วธิ ี 2) ผลรวมของแตม้ มากกวา่ 8 (3,6), (4,5), (4,6), (5,4), (5,5), (5,6), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)

8 มจี าํ นวนวธิ ีทจ่ี ะไดเ้ หตุการณ์ดงั กลา่ ว 10 วธิ ี ตวั . 11. หาจาํ นวนหมายเลขโทรศพั ทท์ ่ีใชต้ วั เลข 9 ตวั เมอื่ หมายเลขตวั ทหี่ น่ึงเป็น 0 และหมายเลข ท่สี องเป็นตวั เลข 1 และตวั เลข 7 หลกั 1) ตวั เลขท่เี หลือไมเ่ป็นศนู ยพ์ รอ้ มกนั ท้งั เจด็ ตวั 01 หมายเลขทีเ่ หลอื เป็นศูนยพ์ ร้อมกนั ท้งั เจ็ดตวั เป็น 1111111 = 1 วธิ ี ตวั เลขทเ่ี หลือไมเ่ป็นศูนยพ์ ร้อมกนั ทง้ั เจด็ ตวั (1010  10  10  10  10  10) - 1 = 9,999,999 วธิ ี 2) ตวั เลขทเี่ หลอื ไมใ่ ชต้ วั เลขซ้าํ 10  9  8  7  6  5  4 วธิ ีท้งั หมด 10  9  8  7  6  5  4 = 604,800 วธิ ี 12. จงหาว่า 1) จาํ นวนเต็มบวกซ่งึ มหี กหลกั มที ้งั หมดกี่จาํ นวน 9  10  10  10  10  10 จาํ นวนท้งั หมด 9  10  10  10  10  10 = 900,000 วธิ ี 2) จาํ นวนเตม็ บวกท่เี ป็นจาํ นวนคี่ซ่งึ มหี กหลักมกี ีจ่ าํ นวน หลกั แสน หนว่ ย วธิ ีท้งั หมด 9  10  10  10  10  5 จาํ นวนทง้ั หมด 9  10  10  10  10  5 = 450,000 วธิ ี 3) จาํ นวนเต็มบวกซ่งึ มหี กหลัก และหลกั หนว่ ยเป็น 9 มที ง้ั หมดกจ่ี าํ นวน หลกั แสน หนว่ ย วธิ ีทง้ั หมด 9  10  10  10  10  1 จาํ นวนท้งั หมด 9  10  10  10  10  1 = 90,000 วธิ ี

9 2 แฟกทอเรยี ล (Factorial) สําหรับจาํ นวนเต็มบวก n n แฟกทอเรียล [หรือแฟกทอเรียล n] (n factorial) เขยี นแทนดว้ ย n! คือผล คณู ของจาํ นวนนบั n จาํ นวนแรก แฟกทอเรียลศนู ย์ กาํ หนดให้เป็น 1 โดยมี สัญลกั ษณ์ n แฟกทอเรียล n! = n(n - 1)(n - 2)(n - 3) ... 3 2 1 1! = 1 0! = 1 สังเกตวา่ n! = n(n - 1)! ตวั อย่างที่ 1 1) 6! = 6  5  4  3  2 1 = 720 2) 8! = 8 7  6! 6! = 56 6! 3) 50! = 5049484746! 46!4! 46!4321 = 230,300 หมายเหตุ ในการเขียนแสดงการคณู เชน่ 3! 6! มกั เขยี นโดยละเคร่ืองหมายคณู โดยเขยี นเป็น 3! 6!

10 ตรวจสอบความก้าวหน้า 3 จงหาคา่ ของ 1. 7! 5!3! 7! 76 5!3!  32  7 2. 10! 3!7! 10! 1098 3!7!  32  120 3. 12! 12! 121110 9!3! 32 (12  3)!3! 12! = = = 220 9! (12  3)!3! (9  9)!9! 4. 9! = 9! = 1 (9  9)!9! 0!9!

11 วธิ ีเรยี งสับเปล่ียน (Permutation) พจิ ารณาตวั อยา่ งตอ่ ไปน้ี bc ถา้ จดั วางหนังสือ 3 เลม่ ซ่งึ a จะเรียกชอื่ วา่ หนงั สือ a, b และ c เรียง cb เป็นแถวตรง จะจดั เรียงไดเ้ ป็นแบบตา่ งๆ ac ดงั แผนภาพตน้ ไม้ b นนั่ คือ จะจดั เรียงได้ 6 วธิ ี ca ดงั น้ี abc, acb, bac, bca, cab, cba ab c ba เมอ่ื พิจารณาการทาํ งาน งานท่หี น่ึง คอื เลอื กหนังสือวางในตาํ แหนง่ แรก จะมวี ธิ ีเลือกได้ 3 วธิ ี งานท่สี อง คอื เลือกหนงั สือวางในตาํ แหนง่ ที่สอง แตล่ ะวธิ ีของการทาํ งานทหี่ น่ึงจะมวี ธิ ีเลือก ทาํ งานท่สี องได้ 2 วธิ ี งานทสี่ าม คอื เลือกหนังสือวางในตาํ แหนง่ ท่ีสามซ่งึ เหลือหนงั สือให้เลือกเพยี งเลม่ เดียว แตล่ ะวธิ ี ของการทาํ งานที่หน่ึงและทาํ งานท่สี องจะมวี ธิ ีเลือกทาํ งานทส่ี ามได้ 1 วธิ ี ดงั น้ัน จาํ นวนวธิ ีทีจ่ ะจดั หนังสือวางในแนวตรงได้ 3! = 3 2  1 = 6 วธิ ี วธิ ีเรียงลาํ ดบั ของสมาชกิ ในเซตจาํ กดั ในแนวเส้นตรง เชน่ ยืนเรียงแถวถา่ ยรูป เรา เรียกวา่ วธิ ี เรยี งสับเปล่ียน แตถ่ า้ เรียงลาํ ดบั ของสมาชิกในเซตจาํ กดั ในแนววงกลม เชน่ จดั เรียงกระถางตน้ ไมร้ อบเสาธง เรียกวา่ การเรียงสับเปลี่ยนเชงิ วงกลม ถา้ มขี อง n ส่ิงแตกตา่ งกนั นาํ มาจดั เรียงสบั เปลีย่ น ไดด้ งั น้ี ตาํ แหนง่ ที่หน่ึง มสี ่ิงของอยู่ n ช้นิ จงึ เลอื กสิ่งของนํามาจดั ได้ n วธิ ี ตาํ แหนง่ ท่ีสอง เหลือส่ิงของอยู่ n - 1 ชน้ิ แตล่ ะวธิ ีของการเลือกสิ่งของในตาํ แหนง่ ทีห่ น่ึง จะมวี ธิ ี เลือกสิ่งของในตาํ แหนง่ ท่สี องได้ n - 1 วธิ ี ตาํ แหนง่ ทส่ี าม เหลือสิ่งของอยู่ n - 2 ช้นิ แตล่ ะวธิ ีของการเลอื กสิ่งของในตาํ แหนง่ ทหี่ น่ึง และตาํ แหนง่ ทีส่ อง จะมวี ธิ ีเลอื กสิ่งของในตาํ แหนง่ ทส่ี ามได้ n - 2 วธิ ี ตาํ แหนง่ ทส่ี ่ี เหลอื ส่ิงของอยู่ n - 3 ชิ้น แตล่ ะวธิ ีของการเลอื กสิ่งของในตาํ แหนง่ ท่หี น่ึง ตาํ แหนง่ ท่ีสอง และตาํ แหนง่ ทีส่ าม จะมวี ธิ ีเลือกสิ่งของในตาํ แหนง่ ทส่ี ี่ได้ n - 3 วธิ ี ...

12 ตาํ แหนง่ ที่ n เหลือสิ่งของอยู่ 1 ช้ิน จะมวี ธิ ีเลือกส่ิงของในตาํ แหนง่ ท่ี n ได้ 1 วธิ ี ดงั น้นั วธิ ี ทง้ั หมดทจี่ ะจดั วางสิ่งของ n สิ่งทีแ่ ตกตา่ งกนั ในแนวเสน้ ตรงไดเ้ ป็นวธิ ีตา่ งๆ เทา่ กบั n(n - 1)(n - 2)(n - 3) ... 3 2  1 = n! วธิ ี กฎข้อท่ี 3 จาํ นวนวธิ ีเรียงสับเปล่ยี นสิ่งของ n สิ่งทแ่ี ตกตา่ งกนั ทง้ั หมดเทา่ กบั n! วธิ ี ตวั อย่างท่ี 2 ตอ้ งการถา่ ยรูปนักเรียน 5 คน โดยให้นักเรียนยืนเขา้ แถวเป็นแนวตรง จะมวี ธิ ีจดั ใหค้ น ยนื ในตาํ แหนง่ ตา่ งๆ กนั ไดก้ วี่ ธิ ี วิธที า การให้นกั เรียน 5 คน ยืนถา่ ยรูปในแนวตรงเทียบไดก้ บั การทาํ งาน 5 งาน งานทห่ี น่ึงมวี ธิ ีเลือกทาํ งานได้ 5 วธิ ี ในแตล่ ะวธิ ีของการทาํ งานที่หน่ึงมวี ธิ ีเลอื กทาํ งานที่สองได้ 4 วธิ ี ในแตล่ ะวธิ ีของการทาํ งานที่หน่ึงและงานทีส่ องมวี ธิ ีเลอื กทาํ งานที่สามได้ 3 วธิ ี ในแตล่ ะวธิ ีของการทํางานท่ีหน่ึง งานท่สี องและงานที่สามมวี ธิ ีเลอื กทาํ งานที่ส่ีได้ 2 วธิ ี ในแตล่ ะวธิ ีของการทาํ งานทห่ี น่ึง งานทสี่ อง งานทีส่ ามและงานทีส่ ี่มวี ธิ ีเลอื กทาํ งานทห่ี า้ ได้ 1 วธิ ี จาํ นวนวธิ ีเรียงสับเปลย่ี นทง้ั หมด เทา่ กบั 5432 1 = 120 วธิ ี ตรวจสอบความก้าวหน้า 4 ตอ้ งการแสดงเสื้อ 6 แบบแตกตา่ งกนั ในตแู้ สดงสินคา้ โดยแสดงเป็นแนวตรง จะจดั วางแตกตา่ ง กนั ไดท้ ง้ั หมดกวี่ ธิ ี งานทห่ี น่ึงมวี ธิ ีเลอื กทาํ งานได้ 6 วธิ ี แตล่ ะวธิ ีของการทาํ งานทหี่ น่ึงมวี ธิ ีเลอื กทาํ งานท่ีสองได้ 5 วธิ ี . . ในแตล่ ะวธิ ีของการทาํ งานทีห่ น่ึงงานท่ีสอง ... งานทห่ี ้า มวี ธิ ีเลือกทาํ งานที่หกได้ 1 วธิ ี จาํ นวนวธิ ีจดั วางแตกตา่ งกนั ท้งั หมด 65 4 3 2 1 = 720 วธิ ี จากตวั อยา่ งและตรวจสอบความกา้ วหนา้ ท่ีกลา่ วแลว้ ขา้ งตน้ เป็นวธิ ีเรียงสับเปลยี่ นของสมาชกิ ทง้ั หมดในเซตจาํ กดั พิจารณาตวั อยา่ งการเรียงสบั เปลี่ยนของสมาชกิ บางส่วนของเซต จากตวั อยา่ งตอ่ ไปน้ี มนี กั กฬี าอยู่ 5 คน สมมตุ ิช่อื เป็น a, b, c, d และ e ถา้ ตอ้ งการคดั ตวั นักกฬี ามอื หน่ึง มอื สอง และมอื สาม โดยกาํ หนดอกั ษร อกั ษรท่อี ยใู่ นลาํ ดบั แรกแทนนักกฬี ามอื หน่ึง อกั ษรในลาํ ดบั ทส่ี องแทน

13 นกั กฬี ามอื สอง และอกั ษรในลาํ ดบั ทีส่ ามแทนนักกฬี ามอื สาม ถา้ นักกฬี าทกุ คนมีโอกาสไดร้ บั การคดั เลือก เทา่ ๆ กนั จะมวี ธิ ีคดั เลือกเป็นแบบตา่ งๆ ซ่งึ แสดงไดด้ ว้ ยแผนภมู ติ น้ ไมต้ อ่ ไปน้ี c abc b d abd e abe b acb c d acd e ace a b adb d c adc e ade b aeb e c aec d aed จากกรณีทขี่ ้ึนตน้ ดว้ ย a จดั ได้ 12 วธิ ี เชน่ เดียวกนั กรณีท่ีข้นึ ตน้ ดว้ ย b จดั ได้ 12 วธิ ี กรณีที่ข้ึนตน้ ดว้ ย c จดั ได้ 12 วธิ ี กรณีทข่ี ้นึ ตน้ ดว้ ย d จดั ได้ 12 วธิ ี กรณที ข่ี ้นึ ตน้ ดว้ ย e จดั ได้ 12 วธิ ี รวมวธิ ีทจี่ ดั ไดท้ ้งั หมด 5  12 = 60 วธิ ี เมอื่ พจิ ารณาการจดั นักกฬี าเป็นนกั กฬี ามอื หน่ึงมอื สองและมอื สามเป็นการทาํ งาน 3งานจะพบวา่ งานขน้ั ที่หน่ึงสามารถเลอื กทาํ งานได้ 5 วธิ ี (เลอื กตวั อกั ษร a, b, c, d หรือ e) ในแตล่ ะวธิ ีของการทาํ งานในขน้ั ท่ีหน่ึง จะเลือกทาํ งานในขน้ั ทส่ี องได้ 4 วธิ ี ในแตล่ ะวธิ ีของการทาํ งานในข้นั ที่หน่ึงและข้นั ที่สอง จะเลือกทาํ งานในข้นั ท่สี ามได้ 3 วธิ ี ดงั น้ัน วธิ ีจดั นักกฬี าเป็นนกั กฬี ามอื หน่ึงมอื สอง และมอื สาม จะจดั ไดท้ ้งั หมด 543 = 60 วธิ ี นัน่ คือ 5! = 5 4  3 2! = 5  4  3 = 60 วธิ ี วธิ ีท้งั หมดคอื  5  3! 2!

14 ในการเรียงสบั เปลี่ยนส่ิงของ n ส่ิงซ่ึงแตกตา่ งกนั ท้งั หมด นํามาเรียงสับเปล่ียน คร้งั ละ r สิ่ง เมอ่ื r  n ตาํ แหนง่ ทจ่ี ดั เรียงจะมอี ยู่ r ตาํ แหนง่ ตาํ แหนง่ ท่ี 1 มวี ธิ ีวางได้ n วธิ ี ตาํ แหนง่ ที่ 2 ในแตล่ ะวธิ ีทว่ี างตาํ แหนง่ ท่ี 1 มวี ธิ ีวางในตาํ แหนง่ ที่ 2 ได้ n - 1 วธิ ี ตาํ แหนง่ ที่ 3 ในแตล่ ะวธิ ีทว่ี างตาํ แหนง่ ที่ 1 และ 2 มวี ธิ ีวางในตาํ แหนง่ ท่ี 3 ได้ n - 2 วธิ ี ตาํ แหนง่ ที่ 4 ในแตล่ ะวธิ ีทวี่ างตาํ แหนง่ ที่ 1, 2 และ 3 มวี ธิ ีวางในตาํ แหนง่ ที่ 4 ได้n - 3 วธิ ี . . . ตาํ แหนง่ ที่ r ในแตล่ ะวธิ ีท่วี างตาํ แหนง่ ท่ี 1, 2, 3, ..., r - 1 มวี ธิ ีวางในตาํ แหนง่ ที่ r ได้ n - (r - 1) = n - r + 1 วธิ ี เรียง ดงั น้ัน มสี ิ่งของ n ส่ิงแตกตา่ งกนั ทง้ั หมด นาํ มาเรียงสับเปลีย่ นคร้ังละ r ส่ิง จะ สบั เปลยี่ นได้ n(n - 1)(n - 2)(n - 3) ... (n - r + 1) = n! วธิ ี  n - r! กฎข้อท่ี 4 จาํ นวนวธิ ีเรียงสบั เปลีย่ นของสิ่งของ n ส่ิง แตกตา่ งกนั ทง้ั หมด โดยเรียงสบั เปล่ยี นคร้ัง ละ r สิ่ง เทา่ กบั n! วธิ ี, ( r  n) (n  r)! จาํ นวนวธิ ีเรียงลาํ ดบั เปลีย่ นของส่ิงของ n สิ่งแตกตา่ งกนั ทง้ั หมด โดยจดั ทีละ r สิ่ง อาจเขยี น แทนไดใ้ นหลายแบบ เชน่ เขียนแทนดว้ ย n Pr , Pn,r หรือ P ( n , r ) สําหรบั ในทนี่ ้ีจะใช้ Pn,r โดยท่ี Pn,r = n! , r  n (n  r)! ตวั อย่างท่ี 3 เขียนรายชื่อพนกั งาน 15 คน ลงในสลากรายชอ่ื ละ 1 ใบ ใสล่ งในภาชนะ แลว้ สุม่ หยบิ สลาก วธิ ีทา ข้นึ มาทลี ะหน่ึงใบสองคร้งั เพื่อแจกรางวลั ท่หี น่ึงและรางวลั ที่สองตาม ลาํ ดบั จงหา จาํ นวนวธิ ีท่ีอาจเกดิ ข้ึนได้ท้งั หมดหรือจาํ นวนวธิ ีเรียงสับเปล่ียน จาํ นวนวธิ ีท่อี าจเกดิ ข้นึ ไดท้ ง้ั หมด คอื

15 P15,2 = 15! 15  2! = 1514 13 13! = 210 วธิ ี ตวั อย่างท่ี 4 มวี ธิ ีจดั คน 3 คน จากคน 10 คนให้ทาํ หนา้ ที่ ประธาน รองประธาน และเลขานุการ ของ คณะกรรมการจดั งานปีใหม ่ จะจดั ไดท้ ง้ั หมดกวี่ ธิ ี วธิ ีทา วธิ ีท้งั หมด คอื P10,3 = 10! 10  3! = 10  9  8  7 7! = 10  9  8 = 720 วธิ ี ตรวจสอบความก้าวหน้า 5 จดั คนคร้ังละ 3 คน จากคน 5 คน ใหย้ ืนเกบ็ ตวั๋ ทีป่ ระตหู มายเลข 1 หมายเลข 2 และ หมายเลข 3 ตามลาํ ดบั จะมวี ธิ ีจดั ไดท้ ง้ั หมดกี่วธิ ี วธิ ีท้งั หมด คอื P5,3 = 5! (5  3)! 5! = 2! = 5 4  3 2! 2! = 60 วธิ ี

16 พิจารณาการจดั วางซมุ้ แสดงสินคา้ 4 ประเภท คอื ซมุ้ a, b, c และ d โดยจดั เชงิ วงกลม ดงั น้ี a b c d db ac bd ca c d a b จะเห็นไดว้ า่ ทางซา้ ยของ a เป็น b และทางดา้ นขวาของ a เป็น d ในทุกภาพ และเมอื่ พิจารณาใน ตาํ แหนง่ อ่ืนๆ กเ็ ป็นทาํ นองเดียวกนั เราจะกาํ หนดวา่ การจดั วางในลกั ษณะขา้ งบนน้ีเป็นแบบเดยี วกนั กลา่ วคือ นับเป็นหน่ึงวธิ ี การเรียงสบั เปลีย่ นที่จดั เรียงวตั ถุเชงิ วงกลมเชน่ น้ีเรียกวา่ การเรยี งสับเปล่ียนเชงิ วงกลม (circular permutations) ในการหาจาํ นวนวธิ ีท้งั หมดของการจดั เรียงสับเปลยี่ นเชิงวงกลม จากตวั อยา่ งขา้ งตน้ หาได้ โดยใหต้ าํ แหนง่ หน่ึงเสมอื นอยกู่ บั ท่ี แลว้ สลบั ตาํ แหนง่ อนื่ ๆ ดงั น้นั จะเหลอื ตาํ แหนง่ ทีส่ ลบั กนั ไดอ้ ยู่ 3 ตาํ แหนง่ จดั เรียงสับเปล่ยี นได้ 3! = 6 วธิ ี ดงั แสดงดว้ ยภาพประกอบ ตอ่ ไปน้ี aaaaa c bd c b cc db d dbdbc ในการเรียงสบั เปล่ียน ของ n สิ่ง เป็นวงกลม อาจกาํ หนดใหข้ องส่ิงหน่ึงเสมอื นอยูก่ บั ท่ี ณ ตาํ แหนง่ ใดตาํ แหนง่ หน่ึง แลว้ จดั สิ่งของทีเ่ หลอื อยู่ n - 1 ส่ิง จะเรียงสบั เปล่ียนได้ เทา่ กบั (n - 1)(n - 2) ... 2 1 = (n - 1)! วธิ ี กฎข้อท่ี 5 จาํ นวนวธิ ีเรียงสบั เปล่ียนเชงิ วงกลมของสิ่งของ n ส่ิงซ่ึงแตกตา่ งกนั ทง้ั หมด เทา่ กบั (n - 1)! วธิ ี ตวั อย่างท่ี 5 จดั ชาย 6 คน หญงิ 6 คน ยืนรอบกองไฟ ไดก้ วี่ ธิ ี 1) ถา้ ไมม่ ขี อ้ กาํ หนดอน่ื เพ่มิ เติม 2) ถา้ หญงิ ยืนสลบั กบั ชาย

17 วิธีทา 1) ไมม่ ขี อ้ กาํ หนดอื่นเพิ่มเติม ดงั น้ันจะมคี น 12คน ยืนรอบกองไฟ เมอื่ ใหค้ นหน่ึงอยู่ กบั ท่ี ดงั น้นั จะมอี กี 11 คนทีเ่ หลอื เรียงสบั เปล่ียนกนั ได้ 11! วธิ ี 2) ให้หญิงคนหน่ึงอยูก่ บั ท่ี ดงั น้ัน หญงิ อีก 5 คนที่เหลอื เรียงสบั เปลย่ี นได้ 5! วธิ ีแตล่ ะวธิ ีทห่ี ญิงยนื ชายจะเรียงสับเปลยี่ นได้ 6! วธิ ี ดงั น้นั จดั ชาย 6 คน หญิง 6 คน ยืนสลบั รอบกองไฟได้ 5! 6! = 86,400 วธิ ี ตรวจสอบความก้าวหน้า 6 1. จดั บูธแสดงสินคา้ 8 บูธแตกตา่ งกนั เชงิ วงกลม จะจดั เป็นแบบตา่ งๆ ไดท้ ง้ั หมดกวี่ ธิ ี จดั จดั เป็นแบบตา่ ง ๆ ได้ ท้งั หมด (8-1)! = 7! = 5,040 วธิ ี 2. จดั กระถางโป๊ ยเซียน 7 กระถางแตกตา่ งกนั และกระถางหงอนไก ่ 7 กระถางแตกตา่ งกนั เรียง สับเปลยี่ นเชงิ วงกลมไดก้ ว่ี ธิ ี ถา้ 1) ไมม่ ขี อ้ กาํ หนดอนื่ เพ่ิมเติม มกี ระถางแตกตา่ งกนั ทง้ั หมด 14 กระถาง จดั เป็นแบบตา่ ง ๆ ได้ (14 – 1)! = 13! วธิ ี = 6,27,020,800 วธิ ี 2) วางกระถางโป๊ ยเซยี นสลบั กบั กระถางหงอนไก ่ ใหก้ ระถางโป๊ ยเซยี นกระถางหนี่งอยกู่ บั ที่ ดงั น้ัน กระถางโป๊ ยเซยี นท่ีเหลือจดั เรียงสบั เปล่ียนได้ 6! วธิ ี แตล่ ะวธิ ีท่ีวางกระถางโป๊ ยเซียน กระถางหงอนไกจ่ ะเรียงสบั เปลยี่ นได้ 7! วธิ ี ดงั น้ัน จดั เป็นแบบตา่ ง ๆ ได้ 6!7! = 3,628,800 วธิ ี

18 แบบฝึ กหัดท่ี 1.2 1. จงหาคา่ ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ี 1) 7! 5! 7! = 76 = 42 5! 2) 8! 4! 8! = 8765 = 1,680 4! 3) 8! 7! 8! =8 7! 4) 12! 11! 12! = 12 11! 5) 10! 3!7! 10! = 1098 = 120 3!7! 321 6) 9! 2!7! 9! = 98 = 36 2!7! 21 7) 9! 9 3!3! 9! = 9! = 987 = 84 9 3!3! 6!3! 321

19 8) 7! 0!7! 7! = 7! = 1 7! 0!7! 2. 1) มวี ธิ ีเรียงสบั เปลย่ี นตวั อกั ษร 6 ตวั จากคาํ วา่ SUNDAY ไดท้ ้งั หมดกว่ี ธิ ี มวี ธิ ีเรียงที่แตกตา่ งกนั ได้ 6! = 720 วธิ ี 2) ถา้ อกั ษรตวั แรก เป็นอกั ษร S จะจดั เรียงสบั เปลีย่ นไดท้ ้งั หมดก่ีวธิ ี S อกั ษรตวั แรกเป็น S จะเหลอื ตาํ แหนง่ อ่นื ให้เรียงสับเปลี่ยนไดอ้ ีก 5 ตาํ แหนง่ มวี ธิ ีจดั เรียงสับเปลยี่ นได้ท้งั หมด 5! = 120 วธิ ี 3) ถา้ ใชอ้ กั ษรตวั แรกเป็น S และอกั ษรตวั สุดทา้ ยเป็น Y จะจดั เรียงสับเปลย่ี นไดท้ ้งั หมดกวี่ ธิ ี จะเรียงสบั เปลี่ยนไดท้ ้งั หมด s Y = 4! = 24 วธิ ี 3. ตอ้ งการเขยี นจาํ นวนที่มี 4 หลกั จากตวั เลข 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ไดก้ วี่ ธิ ี ถา้ และ 1) ไมม่ ขี อ้ กาํ หนดอ่ืน 910  10  10 = 9,000 วธิ ี 2) จาํ นวนทเ่ี ขียนเป็นจาํ นวนคู่ 910  10  5 = 4,500 วธิ ี 3) จาํ นวนทเ่ี ขยี นเป็นจาํ นวนค่ี 910  10  5 = 4,500 วธิ ี 4. ตอ้ งการเขียนจาํ นวนท่มี ี 3 หลกั จากตวั เลข 0, 1, 2, 3, 4, 5 จะจดั ไดก้ วี่ ธิ ี ถา้ 1) ไมม่ ขี อ้ กาํ หนดเพมิ่ เติม 56  6 = 180 วธิ ี 2) จาํ นวนทีเ่ ขยี นเป็นจาํ นวนคู่ 56  3 = 90 วธิ ี 3) จาํ นวนที่เขียนเป็นจาํ นวนคี่ 56  3 = 90 วธิ ี 5. มผี สู้ มคั รเลน่ เทนนิส 5 คน ถา้ ตอ้ งการทีมละ 2 คน โดยแตล่ ะทีมประกอบดว้ ยเดีย่ วมอื หน่ึง เด่ียวมอื สอง จะมวี ธิ ีจดั ไดท้ ้งั หมดกี่วธิ ี

20 จะมวี ธิ ีจดั ได้ P5,2 = 5 5! = 5 4  3! = 54 = 20วธิ ี  2 ! 3! 6. มหี ้องแสดงสินคา้ อยู่ 7 หอ้ ง ถา้ ตอ้ งการจดั อนั ดบั เขา้ ชมห้องแสดงสินคา้ 4 หอ้ ง จะจดั อนั ดบั ไดท้ ง้ั หมด กว่ี ธิ ี จะจดั อนั ดบั ไดท้ ้งั หมด P7,4=  7 7! ! = 7  6  5 4  3! = 7 6 5 4 = 840 วธิ ี 4 3! 7. ชมุ นุมหมากกระดานของนกั เรียนชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 1 ประกอบดว้ ยสมาชกิ 10 คน มวี ธิ ีกว่ี ธิ ี ที่จะ เลือกคณะกรรมการ 4 คน ประกอบดว้ ยประธาน รองประธาน เลขานุการ และเหรญั ญกิ จากสมาชิก 10 คนน้ี จาก Pn,r = P10,4 ดงั น้นั มวี ธิ ีเลอื กได้ 10! = 10 4! = 109876! 6! = 5,040 วธิ ี 8. มกี ระถางกลว้ ยไมอ้ ยู่ 9 กระถาง แตกตา่ งกนั นํามาจดั เรียงสับเปลีย่ นเชิงวงกลมรอบศาลาพกั จะมวี ธิ ีจดั วางท้งั หมดกว่ี ธิ ี จะมวี จี ดั วางสับเปลี่ยนเชงิ วงกลมได้ (n-1)! = (9-1)! = 8! วธิ ี = 40,320 วธิ ี 9. จดั นกั เรียนชาย 6 คน นักเรียนหญิง 6 คนยืนเรียงแถวในแนวตรงไดท้ ้งั หมดกว่ี ธิ ี ถา้ 1) ไมม่ ขี อ้ กาํ หนดเพิ่มเติม จดั นักเรียนชายและหญงิ ไดท้ ง้ั หมด 12! วธิ ี 2) ชายและหญงิ ยืนสลบั กนั จดั นกั เรียนชายได้ 6! วธิ ี และจดั นกั เรียนหญงิ ได้ 6! วธิ ี = 6!6! + 6!6! = 2(6!6!) วธิ ี 3) ชายสามคนยืนสลบั กบั หญิงสามคน จะจดั ได้ 2  6!6! วธิ ี 10. จดั นักเรียนหญงิ 6 คน นักเรียนชาย 6 คน ยนื เรียงกนั เป็นวงกลมไดท้ ง้ั หมดกวี่ ธิ ี ถา้ 1) ไมม่ ขี อ้ กาํ หนดเพมิ่ เติม จาก (n – 1)! = (12 - 1)! = 11! วธิ ี

21 2) หญิงสองคน และชายสองคนยนื สลบั กนั จะจดั ได้ 5!6! วธิ ี 11. มวี ธิ ีจดั หนงั สือ 6 เลม่ แตกตา่ งกนั ใหน้ กั เรียนซ่งึ มอี ยู่ 8 คนยมื ไปอา่ นท่บี า้ น ไดท้ ง้ั หมดกว่ี ธิ ี ถา้ กาํ หนดให้ นกั เรียนหน่ึงคนยมื หนงั สือไดเ้ พยี งหน่ึงเลม่ จะมวี ธิ ีจดั ได้ Pn,r จะได้ 8! = 8! = 87654  3 8 6! 2! = 20,160 วธิ ี 12. มวี ธิ ีท่จี ะจดั คน 4 คน ใหน้ งั่ เกา้ อ้ีซ่ึงมอี ยู่ 7 ตวั ไดก้ ว่ี ธิ ี จะมวี ธิ ีจดั ได้ Pn,r จะได้  7 7! = 7! = 7 6 5 4  4! 3! = 540 วธิ ี วิธเี รียงสับเปล่ียนของสิ่งของทไี่ ม่แตกต่างกนั ทง้ั หมด พจิ ารณาการเรียงสับเปลย่ี นส่ิงของทีแ่ ตกตา่ งกนั ทง้ั หมด เชน่ ให้ ก, ข, ค และ ง เป็นส่ิงของส่ีอยา่ งท่ี แตกตา่ งกนั ทง้ั หมด เมอ่ื นาํ มาเรียงสบั เปลย่ี นจะได้ 4! = 24 วธิ ี ดงั น้ี กขคง, กขงค, กคขง, กคงข, กงขค, กงคข, ขกคง, ขกงค, ขคกง, ขคงก, ขงกค, ขงคก, คกขง, คกงข, คขกง, คขงก, คงกข, คงขก, งกขค, งกคข, งขกค, งขคก, งคกข, งคขก ถา้ ก และ ข แทนสิ่งที่เหมอื นกนั โดยเขยี นแทน ก และ ข ดว้ ย x และ ค และ ง แทนสิ่งท่เี หมอื นกนั โดย เขยี นแทน ค และ ง ดว้ ย y จะไดว้ ธิ ีตา่ งๆ ดงั น้ี xxyy, xxyy, xyxy, xyyx, xyxy, xyyx, xxyy, xxyy, xyxy, xyyx, xyxy, xyyx, yxxy, yxyx, yxxy, yxyx, yyxx, yyxx, yxxy, yxyx, yxxy, yxyx, yyxx, yyxx เมอื่ พจิ ารณาแลว้ จะพบวา่ มวี ธิ ีทแี่ ตกตา่ งกนั 4! = 4321 2!2! 22 = 6 วธิ ี ดงั น้ี xxyy, xyxy, xyyx, yxxy, yxyx และ yyxx ถา้ นํา ก, ก, ก, ข, ข มาเรียง สบั เปลี่ยนจะเห็นทีแ่ ตกตา่ งกนั อยเู่พยี ง 5! = 10 วธิ ี 3!2! ไดแ้ ก ่กกกขข, กกขขก, กขขกก, ขขกกก, กกขกข, กขกกข, กขกขก, ขกกกข, ขกกขก, ขกขกก

22 ในกรณที ม่ี สี ่ิงของ n ส่ิง โดยที่ มสี ่ิงของเหมอื นกนั n1สิ่งในกลมุ่ ที่ 1 มสี ิ่งของเหมอื นกนั n2 สิ่งในกลุม่ ที่ 2 มสี ่ิงของเหมอื นกนั n3 ส่ิงในกลุม่ ท่ี 3 . . . มสี ่ิงของเหมอื นกนั nk สิ่งในกลมุ่ ที่ k และ n1 + n2 + n3 + … + nk = n จะมวี ธิ ีเรียงสับเปลีย่ นท่เี ห็นความแตกตา่ งอยู่ n! วธิ ี n1!n2!...n k! กฎข้อที่ 6 ถา้ มสี ่ิงของอยู่ n สิ่ง ในจาํ นวนสิ่งของ n สิ่งน้ีมี n1 ส่ิงเหมอื นกนั เป็นกลุม่ ที่ 1 มี n2 ส่ิง เหมอื นกนั เป็นกลมุ่ ท่ี 2 มี n3 ส่ิงเหมอื นกนั เป็ นกลุม่ ที่ 3 ..., มี nk สิ่งเหมอื นกนั เป็นกลมุ่ ที่ k โดยท่ี n1 + n2 + n3 + ... + nk = n จาํ นวนวธิ ีเรียงสับเปล่ยี นของสิ่งของ n ส่ิงน้ี เทา่ กบั n! วธิ ี n1!n2!...n k! ตัวอย่างท่ี 1 จดั ธงสีขาว 3 ธง ธงสีแดง 2 ธง และธงสีน้ําเงิน 4 ธง แขวนในแนวเสน้ ตรงจะเรียง สับเปลย่ี นไดล้ กั ษณะตา่ ง ๆ กนั ไดท้ ้งั หมดกวี่ ธิ ี วธิ ีทาํ วธิ ีทง้ั หมด = 9! 3!4!2! 98 7 6 5 4! = 3!4!2! = 1,260 วธิ ี ตรวจสอบความก้าวหน้า 7 จดั แสดงหนงั สือภาษาไทยท่ีเหมอื นกนั 3 เลม่ หนงั สือสงั คมศึกษาท่เี หมอื นกนั 4 เลม่ และหนงั สือภาษาองั กฤษทเ่ี หมอื นกนั 2 เลม่ ในตแู้ สดงหนงั สือในแนวตรง จะเรียงสบั เปล่ียนได้ แตกตา่ งกนั ทง้ั หมดกวี่ ธิ ี วธิ ีท้งั หมด = 9! 3!4!2! 98 7 6 5 4! = 3!4!2! = 1,260 วธิ ี

23 บอ่ ยคร้ังทเี่ ราเกยี่ วขอ้ งกบั จาํ นวนวธิ ีของการแบง่ เซตของส่ิงของเป็น r เซตยอ่ ย ซ่งึ แตล่ ะเซตยอ่ ยใดๆ ไมม่ ี สมาชิกรว่ มกนั และยเู นียนของทกุ เซตยอ่ ย คอื เซตด้งั เดิม พจิ ารณาการแบง่ {a, b, c, d, e} ออกเป็น 2 เซตยอ่ ย ซ่งึ เซตหน่ึงมสี มาชิก 4 ตวั อกี เซตหน่ึงมสี มาชกิ 1 ตวั จะแบง่ ไดว้ ธิ ีตา่ งๆ ดงั น้ี {a, b, c, d} กบั {e}, {a, b, c, e} กบั {d}, {a, b, d, e} กบั {c}, {a, c, d, e} กบั {b} และ {b, c, d, e} กบั {a} น่นั คอื แบง่ ไดเ้ ป็นวธิ ีตา่ งๆ 5 วธิ ี จาํ นวนวธิ ีการแบง่ ปัญหาขา้ งตน้ น้ี หาไดจ้ าก ( )45,1 = 5! = 5 4!1! กฎข้อที่ 7 วธิ ีแบง่ สิ่งของ n สิ่งท่ีแตกตา่ งกนั เป็น k กลมุ่ โดยกลมุ่ ทห่ี น่ึงมี n1 ส่ิง กลมุ่ ที่สอง มี n2 ส่ิง กลมุ่ ท่ี สามมี n3 ส่ิง ... กลมุ่ ท่ี k มี nk สิ่งจะจดั เป็นวธิ ีตา่ งๆ ได้ ( n1n2n....nk ) = n! วธิ ี n1!n2!...n k! เมอื่ n1 + n2 + n3 + … + nk = n ตวั อย่างที่ 2 จดั คน 7 คนใหข้ ้ึนรถสามคนั โดยคนั ทีห่ น่ึงจดั ใหข้ ้นึ 3 คน คนั ท่ีสองจดั ให้ข้ึน 2 คน และ คนั ทส่ี ามจดั ใหข้ ้นึ 2 คน จะมวี ธิ ีจดั ไดท้ ง้ั หมดกี่วธิ ี วธิ ีทา จดั เป็นวธิ ีตา่ งๆ ได้  3,27,2  = 7!   3!2!2! = 210 วธิ ี

24 1.4 การจัดหมู่ (Combination) ในปัญหาทว่ั ๆ ไป เราจะสนใจจาํ นวนวธิ ีของการเลอื กสิ่งตา่ งๆ r ส่ิง จากส่ิงตา่ งๆ n ส่ิง โดยไมส่ นใจ อนั ดบั ที่ การเลอื กน้ีเรียกวา่ การจดั หมู่ (combination) การจดั หมเู่ป็นการแบง่ สิ่งตา่ งๆ ออกเป็นสองกลุม่ กลุม่ หน่ึงบรรจุ r สิ่ง และอีกกลมุ่ หน่ึงบรรจุ n - r ส่ิงทีเ่ หลอื อาจเขียนแทน จาํ นวนของการจดั หมไู่ ด้ ( )หลายแบบ เชน่ Cn,r , nr หรือ  r,nnr สาํ หรบั หนงั สือเลม่ น้ีเมอ่ื กลา่ วถงึ การจดั หมมู่ กั จะใชส้ ญั ลกั ษณ์ สองแบบแรก กฎข้อท่ี 8 จาํ นวนวธิ ีของการจดั หมขู่ องส่ิงของทแ่ี ตกตา่ งกนั r สิ่ง ส่ิงท่นี ํามาจดั คร้ังละ r สิ่ง   cคือ1n=n,R= n! r! n  r! ตวั อย่างท่ี 3 เลือกรถเดก็ เลน่ 2 คนั จากรถเด็กเลน่ 5 คนั ซ่งึ จะเรียกช่ือรถเด็กเลน่ 5คนั น้ีเป็น ก,ข,ค,ง และ จ มวี ธิ ีการเลือกวธิ ีตา่ ง ๆ ได้ 10 วธิ ี ดงั น้ี กข, กค, กง, ขค, ขง, ขจ ,คง , คจ, งจ 5! วธิ ีทาํ ซ่งึ หาไดจ้ ากสูตร C5,2 = 2!3! 10 วธิ ี = ตัวอย่างท่ี 4 มคี ณะกรรมการท่ีเป็นชาย 4 คน และหญงิ 3 คน ตอ้ งการเลอื กคณะทาํ งาน 3 คนจาก วิธที า คณะกรรมการชดุ น้ี โดยตอ้ งการชาย 1 คน หญงิ 2 คน จะมวี ธิ ีเลอื กคณะทาํ งานไดท้ ง้ั หมดก่ี วธิ ี จาํ นวนวธิ ีท่ีจะเลอื กชาย 1 คน จากชาย 4 คน ได้ C4,1 = 4! 3!1! = 4 วธิ ี จาํ นวนวธิ ีทจ่ี ะเลอื กหญงิ 2 คน จากหญิง 3 คน ได้ C3,2 = 3! 1!2! = 3 วธิ ี

25 และโดยใชก้ ฎขอ้ ท่ี 1 จะไดว้ ธิ ีท้งั หมดทจ่ี ะเลอื กชาย 1 คน หญิง 2 คน เป็น 43 = 12 วธิ ี สังเกตวา่ จาก Pn,r = n! และ Cn,r = n! ,r  r! n  r! n  r! ดงั น้ัน r! Cn,r = n! = Pn,r n  r! ตรวจสอบความก้าวหน้า 8 มคี ณะกรรมการทีเ่ ป็นชาย 4 คน และหญงิ 3 คน ตอ้ งการเลอื กคณะทาํ งาน 3 คน จาก คณะกรรมการชดุ น้ี โดยตอ้ งการชายอยา่ งน้อย 2 คน จะมวี ธิ ีเลือกคณะทาํ งานไดท้ ้งั หมดกว่ี ธิ ี จาํ นวนวธิ ีท่จี ะเลอื กคณะทาํ งาน 3 คน โดยเป็นชายอยา่ งน้อย 2 คน      เป็น 42 13  43 03 =  4!  3!    4!  3!  วธิ ี  2!2 2!1! 1!3! 3!0! = (6  3) + 4 วธิ ี = 22 วธิ ี แบบฝึ กหัด 1.3 1. จงหาคา่ ของ  46 = 6! = 15 2!4!  1) 46  2) 55  55 = 5! =1  3) 220 0!5!  4) 1280  220 = 20! = 190 18!2!  1280 = 20! = 190 2!18!

26 5)  n 1  n n 1  n 1!  n  = 1! n! = n+1 6)  n 1  n 1 n 1  n 1!  n 1  = 2! n 1! = n 1n 2 2. จงแสดงวา่ Cn,r = C n,n-r Cn,r = n!  n - r!r! C n,n-r = n! = n! r! n - r!  n - r!r! ดงั น้ัน Cn,r = C n,n-r 3. จงแสดงวา่ Cn+1,r + Cn+1,r-1= Cn+2,r Cn+1,r + Cn+1,r-1 =  n 1!   n  n 1! 1! n 1 r!r! r 2! r =  n 1!n  r  2  n 1r! n r  2!r!  n  r  2!r!  =  n 1!n - r  2 - r  n  r  2!r! =  n  2!  n  r  2!r! และ Cn+2,r =  n  2!  n  r  2!r! ดงั น้ัน Cn+1,r + Cn+1,r-1 = Cn+2,r 4. จงหาจาํ นวนวธิ ีทีจ่ ะเลือกของแถม 3 ช้ิน จากของแถมท่ีมอี ยู่ 8 ชนิ้  จาํ นวนวธิ ี คอื 183 = 8! 5!3! 876 = 32 = 56

27 5. หาจาํ นวนวธิ ีทจ่ี ะเลือดดนิ สอสี 3 สี จากดินสอท่มี อี ยู่ 12 สี จาํ นวนวธิ ี คือ 132  = 12! = 121110 = 220 วธิ ี 32 9!3! 6. จงหาคา่ n จากสมการตอ่ ไปน้ี   1) 8n = 3202 n! 30! วธิ ีทาํ  n 8!8! = 8!22! 1n0 = 1n5 จะได้ n = 30    2) n! n!  n 10!10! =  n 15!15! จะได้  n 10!  15!  n 15! 10! (n-10)(n-11)(n-12)(n-13)(n-14) = 1514131211 จะได้ n = 25 3) Pn,4 =4Cn,5 n! n!  n 4!  5!5! = 4   n 5! = 4  n  4!  n 5! 5! = 4  (n – 4) n – 4 = 30 n = 34 7. ไพส่ าํ รบั หน่ึง มี 4 ชดุ คือ โพดาํ โพแดง ดอกจิก ขา้ วหลามตดั โดยแตล่ ะชดุ มี 13 ใบ คอื A ,K ,Q , J และ 2 ถงึ 10 จงหาจาํ นวนวธิ ีท่ีจะหยบิ ไพต่ ามเงื่อนไขตอ่ ไปน้ี 1) 4 ใบ ซ่ึงเป็นไพจ่ ากทง้ั ส่ีชดุ        113  113  113  113 = 13  13  13  13 = 28,561 วธิ ี 2) 4 ใบ ซ่งึ เป็นไพช่ ดุ เดียวกนั เลือกไพโ่ พดาํ 4 ใบ หรือโพแดง 4 ใบ หรือดอกจกิ 4 ใบ หรือขา้ วหลามตดั 4 ใบ 143       จะได้+ 143 143 + 143 + = 4  13! 9!4!

28 = 4 1312 1110 = 2,860 วธิ ี 4321 3) 5 ใบ โดยเป็นโพดาํ 1 ใบ โพแดง 2 ใบ และดอกจิก 2 ใบ      จะได้113 123 123 = 131312  1312 = 79,092 วธิ ี 2 2 8. มแี ผน่ วซี ีดเี พลงในกลอ่ งอยู่ 10 แผน่ เป็นเพลงของคา่ ย R จาํ นวน 3 แผน่ เพลงของคา่ ยจาํ นวน 3 แผน่ และเพลงของคา่ ย G จาํ นวน 4 แผน่ ถา้ หยบิ แผน่ วซี ดี ีจากกลอ่ งน้ีจาํ นวน 3 แผน่ จงหาจาํ นวนวธิ ี 1) หยิบแผน่ วซี ีดขี องคา่ ย R 2 แผน่    จะได้ 23 17 = 3  7 = 21 วธิ ี 2) หยิบแผน่ วซี ดี ขี องคา่ ย R 2 แผน่ และคา่ ย S 1 แผน่  จะได้ 13 876 = 3  3 = 9 วธิ ี 32 3) หยิบแผน่ วซี ดี ีของคา่ ย G อยา่ งนอ้ ย 1 แผน่        จะได้ 14 26 + 42 16 + 43 = ( 4 15) + (6 6) + 4 = 60 + 36 + 4 = 100 วธิ ี 9. มเี สื้อสีแดง 3 ตวั เสื้อสีเขียว 4 ตวั และเส้ือสีเหลือง 5 ตวั เลอื กเสื้อสีละ 2 ตวั จะมวี ธิ ีเลอื กไดท้ ้งั หมดก่ี วธิ ี 32  4 5 จะได้   2   2  = 3 610 = 180 วธิ ี 10. จากกลมุ่ ของชาย 4 คน หญงิ 3 คน จะมวี ธิ ีเลือกคณะกรรมการ 3 คน ไดก้ วี่ ธิ ี ถา้ 1) ไมม่ ขี อ้ จาํ กดั ใด ๆ  จะได้ 73 = 7! = 765 = 35 วธิ ี 4!3! 32 2) ประกอบดว้ ย ชาย 2 คน หญิง 1 คน   จะได้ 42 13 = 43 = 18 วธิ ี 2 3) ประกอบดว้ ยชาย 2 คน หญิง 1 คน เมอื่ มชี ายคนหน่ึงตอ้ งเป็นคณะกรรมการอยา่ ง แนน่ อน    จะได้ 11 13 13 = 1 33 = 9 วธิ ี 11. มกี วี่ ธิ ีท่ี เด็กชาย 7 คน และเด็กหญิง 6 คน ยนื เป็นแถว โดยเดก็ ชายและเดก็ หญิงยนื สลบั กนั ช ญ ช ญช ญ ช ญ ช ญ ชญ ช แบบทา่ ยืน             

29 จะได้ 7!6! วธิ ี 12. คน 8 คน ซ่งึ เป็นเพ่อื นกนั ไดเ้ ขา้ พกั ในโรงแรม โดยพกั ห้อง 3 ห้อง โดยหอ้ งท่ีหน่ึงพกั ได้ 2 คน หอ้ ง ที่สองพกั ได้ 3 คน ห้องท่สี ามพกั ได้ 3 คน จะมวี ธิ ีจดั คน 8 คนเขา้ หอ้ งพกั ไดก้ วี่ ธิ ี จะเขา้ หอ้ งพกั ได้ 8! = 560 วธิ ี 2!3!3! 13. คแู่ ตง่ งาน 4 คไู่ ดท้ น่ี ่ัง 8 ทน่ี งั่ เรียงติดกนั เป็นแนวตรงเพื่อดูดนตรี มกี วี่ ธิ ีทค่ี นแปดคนน้ีจะน่ังเกา้ อ้ี ถา้ 1) ไมม่ ขี อ้ จาํ กดั อื่น จะมวี ธิ ีจดั คนแปดคนน่งั เกา้ อ้ีได้ 8! = 87654321 = 40,320 วธิ ี 2) ถา้ แตล่ ะคนู่ ง่ั ตดิ กนั     สมมตจิ บั แตล่ ะคผู่ ูกแขนกนั ไว้ ดงั น้ัน จะเหลอื วธิ ีที่จะสลบั คน 4 คนู่ ้ีได้ 4! = 24 วธิ ี เมอื่ คทู่ ่ี 1 คทู่ ี่ 2 คทู่ ่ี 3 และคทู่ ่ี 4 สลบั ท่ีนั่งกบั คขู่ องตนได้อกี จงึ มวี ธิ ีตา่ ง ๆ เป็น 2 22224 = 384 วธิ ี 3) ถา้ ผชู้ ายทง้ั ส่ีคนนั่งตดิ กนั    มี 5 แบบ คอื           แตล่ ะแบบมี 4!4! วธิ ี ดงั น้นั วธิ ีทง้ั หมดเป็น 5! 4! 4! วธิ ี 14. มผี สู้ มคั รเป็นคณะกรรมการจดั การแขง่ ขนั กฬี าเป็นชาย 5 คน และหญงิ 4 คน ตอ้ งการเลอื ก คณะกรรมการ 3 คนจากผสู้ มคั รน้ี โดยตอ้ งการชายอยา่ งนอ้ ย 1 คน จะมวี ธิ ีเลอื กคณะทาํ งานได้ ทง้ั หมดกว่ี ธิ ี วธิ ีทง้ั หมด ( 15)( 42 ) + ( 25 )( 14 ) + ( 35)( 40 ) วธิ ี = (5  6) + (104) + (101) วธิ ี = 30 + 40 + 10 วธิ ี = 80 วธิ ี

30 5 ทฤษฎบี ททวนิ าม (Binomial Theorern) เมอ่ื a และ b เป็นจาํ นวนจริงใดๆ พจิ ารณาสมั ประสิทธ์ิของ (a + b)n เมอ่ื n เป็นจาํ นวนนับดงั น้ี การกระจายของ (a+b)n สัมประสิทธ์ขิ องแต่ละพจน์ (a+b)0 = 1 1 (a+b)1 = a+b (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 11 (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b2 121 1331 (a+b)4 = a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 14 6 4 1 (a+b)5 = a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 1 5 10 10 5 1 ปาสกาล (Pascal, Blaise) เป็นนกั คณติ ศาสตร์ชาวฝรั่งเศส เป็นคนแรกท่สี ังเกตพบ ความสัมพนั ธ์ของสัมประสิทธ์ิของการกระจายของ (a + b)n โดยสังเกตเห็นวา่ สมั ประสิทธ์ิของพจน์ ตา่ งๆ จะสัมพนั ธ์กบั สัมประสิทธ์ิของการกระจายของ (a + b)n-1 เมอ่ื n เป็นจาํ นวนนบั ท่มี ากกวา่ หรือ เทา่ กบั 2 ดงั ตารางขา้ งตน้ และโดยทจ่ี าํ นวนทีแ่ สดงคา่ สมั ประสิทธ์ิ เรียงตวั เป็นรูปสามเหลีย่ ม เรียกรูป สามเหลยี่ มปาสกาล (Pascal’s triangle) การกระจายทวนิ ามของ (a + b)n มขี ้อสังเกตดงั นี้ 1) การกระจายของ (a + b)n มี n + 1 พจน์ 2) เลขช้กี าํ ลงั ของ a เริ่มที่ n และลดลงทลี ะ 1 จนเป็น 0 ในพจน์สุดทา้ ย 3) เลขช้กี าํ ลงั ของ b เร่ิมท่ี 0 ในพจน์แรก และเพม่ิ ข้ึนทลี ะ1 จนกระทง่ั เป็น n ในพจน์สุดทา้ ย 4) ผลบวกของเลขช้กี าํ ลงั ของ a และ b ในแตล่ ะพจน์เทา่ กบั n 5) พจน์แรกและพจน์สุดทา้ ยมสี ัมประสิทธ์ิเป็น 1 6) สัมประสิทธ์ิของพจน์อ่ืนๆ เชน่ สมั ประสิทธ์ิของการกระจายของ (a + b)5 เมอ่ื เรียงพจน์ท่ี มเี ลขช้กี าํ ลงั ของ a จากมากไปนอ้ ย จะไดส้ ัมประสิทธ์ิของพจน์ทสี่ องถงึ พจน์ทห่ี า้ เป็น 5, 10, 10 และ 5 ตามลาํ ดบั นน่ั คือ (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 โดยทีส่ ัมประสิทธ์ิของแตล่ ะพจน์มีความเก่ยี วขอ้ งดงั น้ี

31 5 ไดจ้ าก 1 และ 4 เมอ่ื 1 และ 4 เป็นสมั ประสิทธ์ิของพจน์ทหี่ น่ึงและพจน์ทีส่ องของ การกระจาย ของ (a + b)4 ตามลาํ ดบั 10 ไดจ้ าก 4 และ 6 เมอื่ 4 และ 6 เป็นสัมประสิทธ์ิของพจน์ทีส่ องและพจน์ท่ีสามของการกระจาย ของ (a + b)4 ตามลาํ ดบั 10 ไดจ้ าก 6 และ 4 เมอื่ 6 และ 4 เป็นสัมประสิทธ์ิของพจน์ท่สี ามและพจน์ที่สี่ของ การกระจาย ของ (a + b)4 ตามลาํ ดบั 5 ไดจ้ าก 4 และ 1 เมอื่ 4 และ 1 เป็นสมั ประสิทธ์ิของพจน์ทส่ี ี่และพจน์ที่ห้าของการกระจายของ (a + b)4 ตามลาํ ดบั ดงั พิจารณาคา่ ไดจ้ ากตาราง เชน่ เดยี วกนั ในการหา (a + b)6 โดยใชห้ ลกั การหาสัมประสิทธ์ิดงั ทก่ี ลา่ ว จะได้ (a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6 ตัวอย่างที่ 1 จงเขียน (2a +b)4 ในรูปกระจาย วธิ ีทา (2a + b)4 = (2a)4 + ( 41 )(2a)3b + ( 42 )(2a)2b2 + ( 41 )(2a)b3 + b4 = 16a4 + 32a3b + 24a2b2 + 8ab3 + b4 ตวั อย่างท่ี 2 จงเขียน (2a - b)6 ในรูปกระจาย วิธที า (2a - b)6 = (2a)6 + ( 16 )(2a)5 (-b) + ( 26 )(2a)4(-b)2 + ( 63 )(2a)3 (-b)3 + ( 46 )(2a)2 (-b)4 + ( 65 )(2a)(-b)5 + (-b)6 = 64a6 - 192a5b + 240a4b2 - 160a3 b3 + 60a2b4 - 12ab5 + b6 ตรวจสอบความก้าวหน้า 9 จงเขยี นในรูปกระจาย 1. (a + 3b)6 (a+3b)6 = (a)6+( 16 )a5(3b)+( 62 )a4(3b)2+( 63 )a3(3b)3+( 46 )a2(3b)4+( 65 )a(3b)5+(3b)6 = a6+18a5b+135a4b2+540a3b3+1,215a2b4+1,458ab5+729b6 2. (a-3b)5

32 (a-3b)5 = a5+( 15)a4(-3b)+( 25 )a3(-3b)2+( 53)a2(-3b)3+( 45 )a(-3b)4+(-3b)5 = a5-15a4b+90a3b2-270a2b3+405ab4-243b5 สูตรทวินาม พิจารณา (a + b)n = (a + b)(a + b)(a + b) ... (a + b) มี (a + b) คณู กนั อยู่ n พจน์ การหาสมั ประสิทธ์ิของพจน์ตา่ งๆ ของการกระจาย คอื การหาจาํ นวนวธิ ีของการคณู แบบตา่ งๆ ดงั น้ี an ไดจ้ ากเลอื ก a มาจาก n วงเล็บ และเลือก b จาก 0 วงเล็บ พจิ ารณาการคณู เป็นการเลือก b จะไดจ้ าํ นวนวธิ ีทง้ั หมด คอื Cn,0 = 1 วธิ ี an-1b ไดจ้ ากเลือก a มาจาก n - 1 วงเลบ็ และเลอื ก b จาก 1 วงเล็บ พจิ ารณาการคณู เป็นการเลอื ก b จะไดจ้ าํ นวนวธิ ีทง้ั หมด คือ Cn,1 = n วธิ ี an-2b2 ไดจ้ ากเลือก a มาจาก n - 2 วงเล็บ และเลอื ก b จาก 2 วงเล็บ พจิ ารณาการคณู เป็นการเลอื ก b จะไดจ้ าํ นวนวธิ ีท้งั หมด คือ Cn,2 = n! วธิ ี (n - r)!r! ... an-rbr ไดจ้ ากเลอื ก a มาจาก n - r วงเลบ็ และเลอื ก b จาก r วงเล็บ พจิ ารณาการคณู เป็นการเลอื ก b จะไดจ้ าํ นวนวธิ ีทง้ั หมด คอื Cn,r = n! วธิ ี (n  2)2! . . a2bn-2 ไดจ้ ากเลอื ก a มาจาก 2 วงเลบ็ และเลอื ก b จาก n - 2 วงเล็บ พจิ ารณาการคณู เป็นการเลือก b จะไดจ้ าํ นวนวธิ ีทง้ั หมด คือ

33 Cn,n-2 = n! วธิ ี (n  2)2! abn-1 ไดจ้ ากเลอื ก a มาจาก 1 วงเล็บ และเลือก b จาก n - 1 วงเลบ็ พจิ ารณาการคณู เป็นการเลอื ก b จะไดจ้ าํ นวนวธิ ีท้งั หมด คอื Cn,n-1 = n วธิ ี bn ไดจ้ ากเลอื ก a มาจาก 0 วงเล็บ และเลือก b มาจาก n วงเลบ็ พิจารณาการคณู เป็นการเลือก b จะไดจ้ าํ นวนวธิ ีท้งั หมด คือ Cn,n = 1 วธิ ี ดงั น้ัน สูตรทวินาม (a + b)n = Cn,0anb0 + Cn,1an-1b + Cn,2an-2b2 + ... + Cn,n-2a2bn-2 + Cn,n-1abn-1 + Cn,nbn หรือ (a + b)n = n ( n ) an-kbk, n  1 k ∑ k=0 การพสิ ูจน์สูตรทวนิ ามขา้ งตน้ น้ีในรูปทว่ั ไปตอ้ งใชก้ ารพสิ ูจน์ที่เรียกวา่ การอปุ นยั ทางคณิตศาสตร์ (mathematical induction) ซ่ึงจะไมก่ ลา่ วในระดบั ช้นั น้ี ตัวอย่างท่ี 3 จงใชส้ ูตรทวนิ าม กระจาย (a + 1 b)7 2 วธิ ที า (a + 1 b)7 = ∑7 ( 7 ) a7-k ( 1 b)k 2 k 2 k=0 = ( 7 )a7 + ( 7 )a6 ( 1 b) + ( 7 )a5 ( 1 b)2 + ( 7 )a4 ( 1 b)3 + ( 7 )a3 ( 1 b)4 + ( 7 )a2 0 1 2 2 2 3 2 4 2 5 1 7 1 7 1 ( 2 b)5 + ( 6 )a ( 2 b)6 + ( 7 ) ( 2 b)7 = a7 + 7 a6b + 21 a5b2 + 35 a4b3 + 35 a3b4 + 21 a2b5 + 7 ab6 + 1 b7 2 4 8 16 32 64 128

34 ตรวจสอบความก้าวหน้า 10 จงใชส้ ูตรทวนิ าม กระจาย (x - y)7 แนะนํา (x - y)7 = [x + (-y)]7            = 07 x7+ 17 x6(-y)+ 27 x5(-y)2+ 73 x4(-y)3+ 47 x3(-y)4+ 75 x2(-y)5+    67 x(-y)6+ 77 (-y)7 = x7-7x6y+21x5y2-35x4y3+35x3y4-21x2y5+7xy6-y7 พิจารณาพจน์ตา่ งๆ ของการกระจายของ (a + b)n จะไดว้ า่ พจน์ท่ี 1 คอื Cn,0anb0 พจน์ที่ 2 คอื Cn,1an-1b พจน์ท่ี 3 คือ Cn,2an-2b2 พจน์ที่ 4 คือ Cn,3an-3b3 ... สูตรทวนิ าม พจน์ท่ี r + 1 พจน์ที่ r + 1 คอื Cn,ran-rbr =  n n! ! r! an-rbr r ตวั อย่างท่ี 4 จงใชส้ ูตรทวนิ าม หาพจน์ที่ 5 ของการกระจาย ( 1 a + 2b)8 2 วิธีทา พจน์ท่ี r + 1 คือ Cn,ran-rbr ดงั น้นั พจน์ท่ี 5 ของการกระจาย ( 1 a + 2b)8 คอื 2 1 8! 1 C8,4 ( 2 a)8-4 (2b)4 = 4!4! ( 16 a4  16b4) = 70a4b4 นนั่ คือ พจน์ที่ 5 ของการกระจายคอื 70a4b4

35 ตรวจสอบความก้าวหน้า 11 จงใชส้ ูตรทวนิ าม หาพจน์ท่ี 4 ของการกระจาย (2c + d)10 พจน์ท่ี 4 คอื (130 )(2c)7(d)3 = 120(128)c7d3 = 15,360 c7d3 แบบฝึ กหัด 1.4 1. จงเขยี นรูปสามเหลี่ยมของปาสกาลตอ่ ไปอีก 3บรรทดั แลว้ ใชส้ ามเหลีย่ มของปาสกาลหา (a + b)7 สามเหลี่ยมของปาสกาล 1 11 121 1331 14641 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 (a+b)7 = a7 + 7a6b + 21a5b2 + 35a4b3 + 35a3b4 + 21a2b5 + 7ab6 + b7 2. เขยี นในรูปกระจาย โดยใชส้ ูตรทวนิ าม 1) (a + 2)5            (a + 2)5 = 05 a5+ 15 a4(2)+ 25 a3(22)+ 53 a2(2)3+ 45 a(2)4+ 55 (2)5 = a5+10a4+40a3+80a2+80a+32 2) (x+y)8              (x+y)8 = 08 x8+ 18 x7y+ 82 x6y2+ 83 x5y3+ 84 x4y4+ 85 x3y5+ 86 x2y6    + 87 xy7+ 88 y8

36 = x8+8x7y+28x6y2+56x5y3+70x4y4+56x3y5+28x2y6+8xy7+y8 3) (x-y)10          100 x10+ 110 x9(-y)+ 120 x8(-y)2+ 130 x7(-y)3+ 140 x6(-y)4+ (x-y)10 =          150 x5(-y)5+ 160 x4(-y)6+ 170 x3(-y)7+ 180 x2(-y)8+ 190 x(-y)9+  1100 (-y)10 = x10-10x9y+45x8y2-120x7y3+210x6y4-252x5y5+210x4y6-120x3y7+45x2y8- 10xy9+y10 4) (x-2)5            (x-2)5 = 05 x5+ 15 x4(-2)+ 25 x3(-2)2+ 35 x2(-2)3+ 45 x(-2)4+ 55 (-2)5 = x5-10x4+40x3-80x2+80x-32 5) (a- 1 b)6 2 1        0616ba5)4(+- 1265b)a+(-26 1 63 a3(- 1 (a- 2 b)6 =      46a6+ a4(- 266 b)2+ b)6 2 b)3+ a2(- 1 1 b)5+ 2 2 (- 1 2 15 5 15 3 1 = a6-3a5b+ 4 a4b2- 2 a3b3+ 16 a2b4- 16 ab5 + 64 b6 6) ( 1 a-b)6 2 06 16 65a)5( (12-ba))+(-b26)5(+1266a)(4-(b-)b6)2+ 63           (1a-b)6=46(1a)6+(1 ( 1 a)3(-b)3+ 2 ( 2 2 2 1 2 a)2(-b)4+ = 1 a6- 3 a5b + 15 a4b2- 5 a3b3 + 15 a2b4 - 3ab5 + b6 64 16 16 2 4

37           7)(2x+1y)6 2 1 06 16y)(42+x)655((122xy))(+1262y)5(2+x)664((1212yy))26+ 63 1 (2x+ 2 y)6 = 46 (2x)6+ (2x)3( 2 y)3+ (2x)2( 1 2 15 3 1 = 64x6+96x5y+60x4y2+20x3y3+ 4 x2y4+ 8 xy5+ 64 y6 (4x           8)-1y)6 2 1 06 16 1 1262y)(54+x)466(-(-1212y)y2)+6 63 1 (4x - 2 y)6 = 46 (4x)6+ (4x)5(- 2 y)+ (4x)3(- 2 y)3+ (4x)2(- 1 y)4+ 65 2 (4x)(- = 4,096x6-3,072x5y+960x4y2-160x3y3+15x2y4- 3 xy5+ 1 y6 4 64 3. จงหาพจน์ตามท่รี ะบใุ นแตล่ ะขอ้ 1)จงหาพจน์ท่ี 4 ของการกระจายของ (3x + y)10  พจน์ท่ี 4 คือ 130 (3x)7(y)3 = (120  2,187)x7y3 = 262,440 x7y3 2)จงหาพจน์ที่ 4 ของการกระจายของ (3x - y)10  พจน์ที่ 4 คอื 130 (3x)7(-y)3 = -(120  2,187)x7y3 = -262,440 x7y3 3)จงหาพจน์ท่ี 6 ของการกระจายของ (x + 3y)10  พจน์ที่ 6 คือ 150 x5(3y)5 = (252  243)x5y5 = 61,236 x5y5 4)จงหาพจน์ที่ 6 ของการกระจายของ (x - 3y)10  พจน์ที่ 6 คอื 150 x5(-3y)5 = -(252  243)x5y5 = -61,236 x5y5 1 5)จงหาพจน์ที่ 4 ของการกระจายของ (6x + 3 y)10  พจน์ท่ี 4 คอื 120 (6x)8( 1 y)5= (45  186,624)x8y2 3 = 8,398,080 x8y2

38 6)จงหาพจน์ที่ 4 ของการกระจายของ (6x - 1 y)10 3  พจน์ท่ี 4 คอื 170 (6x)8(- 1 y)5= 8 3 -(120  81 x3y7 = - 320 x3y7 27 4. คาํ นวณ (1.01)12 ให้ไดท้ ศนิยมสี่ตาํ แหนง่ โดยใชส้ ูตรทวนิ าม (แนะนาํ : 1.01 = 1 + 0.01)        (1.01)12 = (1+0.01)12 = 102 1+ 112 (0.01)+ 122 (0.01)2+ 132 (0.01)3+        142 (0.01)4+ 152 (0.01)5+ 162 (0.01)6+...+ 1122 (0.01)12  1+12(0.01)+66(0.0001)+220(0.000001)+495(0.00000001)  1+0.12+0.0066+0.00022+0.00000495  1.1268 5. คาํ นวณ(0.99)12 ใหไ้ ดท้ ศนิยมส่ีตาํ แหนง่ โดยใชส้ ูตรทวนิ าม (แนะนํา : 10.99 = 1 - 0.01)        (0.99)12 = (1-0.01)12 = 102 1- 112 (0.01)+ 122 (0.01)2- 132 (0.01)3+      142 (0.01)4- 152 (0.01)5+ 162 (0.01)6 = 1-0.12+0.0066-0.00022+0.00000495  0.8864          6. จงแสดงวา่ 2n = 0n + 1n + 2n + ... + nn-1 + nn (แนะนํา : กระจาย (1 + 1)n ) 2n = (1+1)n =        0n 1n+ 1n 1n-1.1+ 2n 1n-2.12+ n3 1n-3.13+...+ 0nnn-1+11n.1n+-1n2++nn...+1nnn-1+ nn  =