หน่วยที่ 1

ตัวประกอบของจานวนนับ ตวั ประกอบ หมายถึง จานวนนบั ทหี่ ารจานวนนบั ทเ่ี รากาหนดให้ได้ลงตัว เช่น a จะเป็นตวั ประกอบของ b ก็ต่อเมอ่ื b หารดว้ ย a ลงตวั หรือกลา่ วอีกนยั หนงึ่ ก็คือ a หาร b ลงตวั ตัวอยา่ ง 30 หารดว้ ย 6 ลงตัว แสดงวา่ 6 เป็นตวั ประกอบของ 30 ในขณะที่ 30 หารดว้ ย 4 ไม่ลงตัว แสดงวา่ 4 ไมเ่ ปน็ ตวั ประกอบของ 30 เป็นตน้ หรอื จานวนทห่ี าร 18 ลงตวั ประกอบดว้ ย 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 แสดงว่า 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 เป็น ตวั ประกอบของ 18 จานวนเฉพาะ หมายถงึ จานวนท่ีมีตวั ประกอบเพยี ง 2 ตัว คือ 1 กบั ตัวของมันเอง การหาตวั ประกอบของจานวนนับใด ๆ จะพบวา่ บางจานวนทตี่ ัวประกอบเพียง 1 ตวั บางจานวน มตี ัวประกอบ 2 ตวั ในขณะทีบ่ างตวั มตี วั ประกอบมากกวา่ 2 ตวั 1 มีตวั ประกอบ 1 ตวั คือ 1 6 มีตวั ประกอบ 4 คือ 1 , 2 , 3 , 6 2 มีตัวประกอบ 2 คือ 1 , 2 หรอื อีกนัยหน่ึงวา่ 2 มตี ัวประกอบ 2 คือ 1 กบั ตวั ของมนั เอง 3 มตี ัวประกอบ 2 คอื 1 , 3 หรอื อกี นยั หนง่ึ ว่า 3 มีตัวประกอบ 2 คือ 1 กบั ตัวของมันเอง จากตัวอยา่ งด้านบน เราพบว่า 1 มีตัวประกอบ 1 ตวั 6 มีตัวประกอบ 4 ตวั ในขณะที่ 2 และ 3 มตี ัวประกอบ 2 ตัว คือ 1 กับ ตวั ของมนั เอง เราเรียกจานวนที่มีตัวประกอบเพยี ง 2 ตัวนี้ว่า จานวนเฉพาะ ตัวประกอบเฉพาะ ตัวประกอบของจานวนนับใดท่ีเปน็ จานวนเฉพาะ การหาตวั ประกอบเฉพาะของจานวนนบั ใด ๆ นั้น เราจะตอ้ งหาตัวประกอบท้งั หมดของจานวน นบั นน้ั ๆก่อน จากนัน้ จึงคอ่ ยพจิ ารณา ตัวประกอบเหล่าน้ันว่า มีจานวนใดเป็นจานวนเฉพาะบ้าง ซง่ึ จานวน เฉพาะเหล่านน้ั เราเรนี กวา่ ตวั ประกอบเฉพาะ ตวั อยา่ ง ตัวประกอบของ 12 ประกอบ 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 ตวั ประกอบเฉพาะของ 12 ประกอบด้วย 2 , 3 ทง้ั นี้เพราะวา่ 2 , 3 เป็นตวั ประกอบของ 12 และเปน็ จานวนเฉพาะด้วย การแยกตัวประกอบ การแยกตัวประกอบ หมายถึง การเขียนในรูปการคูณของตัวประกอบเฉพาะของจานวนนบั นน้ั ๆ ตวั อยา่ ง 12 สามารถแยกตวั ประกอบไดเ้ ปน็ 2 x 2 x 3 จากตัวอย่างจะพบวา่ 2 และ 3 เป็นตัวประกอบเฉพาะของ 12 ซึง่ อาจมีการคณู ซา้ กันหลายครง้ั ก็ ได้ และการคูณซ้ากนั หลายครัง้ สามารถเขยี นในรปู ของเลขยกกาลงั ได้ กลา่ วคือเราจะแยกตัวประกอบของ 12 เปน็ x 3 แทน 2 x 2 x 3 ก็ได้ ( อ่านว่า 2 ยกกาลงั 2 ) ตวั อยา่ งเพ่ิมเติม 75 สามารถแยกตัวประกอบไดเ้ ป็น 5 x 5 x 3 หรือ x 3 100 สามารถแยกตัวประกอบได้เปน็ 5 x 5 x 2 x 2 หรือ x การแยกตวั ประกอบสามารถกระทาได้ดงั น้ี วิธที ี่ 1 วิธเี ขยี นในรูปกระจายของผลคณู ของตัวประกอบ การแยกตัวประกอบโดยวธิ ีน้ี เปน็ การนาจานวนนบั ที่กาหนดมาเขียนในรูปผลคูณของตวั ประกอบ ทีละ 2 จานวน โดยเขียนไปเรื่อย ๆ จนกระทั่งกลายเปน็ ผลคูณของตัวประกอบเฉพาะ

ตัวอยา่ ง จงแยกตัวประกอบของ 80 80 = 8 x 10 =2x4x2x5 =2x2x2x2x5 ดังนนั้ 80 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5 หรือ 80 = x 5 วิธีที่ 2 วธิ ตี ้งั หาร การแยกตัวประกอบโดยวิธตี ั้งหาร ใช้วิธหี ารสั้น ซ่งึ มขี นั้ ตอนงา่ ย ๆ ดงั น้ี 1) หารจานวนนบั ทก่ี าหนดใหด้ ว้ ยตวั ประกอบเฉพาะของมนั 2) หารผลหารทไี่ ดจ้ ากขอ้ 1 ดว้ ยตวั ประกอบเฉพาะ 3) ดาเนนิ การเช่นเดียวกับขอ้ 2 จนกระทงั่ ผลหารสุดทา้ ยมคี า่ เทา่ กับ 1 4) นาตัวหารทั้งหมดคณู กัน จะกลายเป็นการแยกตวั ประกอบของจานวนในขอ้ 1 ตวั อย่าง จงแยกตัวประกอบของ 80 2 )80 2 )40 2 )20 2 )10 5)5 1 ดงั น้ัน 80 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5 หรือ 80 = x 5 ตวั หารรว่ ม ตวั หารร่วมหรอื ตัวประกอบร่วม หมายถึง จานวนท่ีสามารถหารจานวนนบั ท่ีกาหนดให้ตงั้ แต่ 2 จานวนลงตวั ขน้ั ตอนในการหาตวั หารร่วมจะต้องเริ่มจาก 1) หาตวั ประกอบของจานวนที่กาหนดให้ 2) พจิ ารณาตวั วา่ ตัวประกอบในขอ้ 1 ซ้ากนั หรือไม่ 3) นาตวั ประกอบท่ีซ้ากนั เปน็ ตวั หารรว่ ม ตัวอยา่ ง จงหาตัวหารร่วมของ 12 , 18 ตวั ประกอบของ 12 คอื 1 , 2 , 3 , 4 ,6 , 12 ตัวประกอบของ 18 คอื 1 , 2 , 3 , 6 , 9 ,18 ดังน้นั ตวั ประกอบรว่ มของ 12 และ 18 คอื 1 , 2 , 3 , 6 ห.ร.ม. ห.ร.ม. บางทเี รียกว่า หารรว่ มมาก หมายถึง ตวั หารรว่ มทม่ี คี ่ามากท่สี ุด ห.ร.ม. จะเกิดข้ึนเม่อื มจี านวนนับต้งั แต่ 2 จานวนข้ึนไป การหาร ห.ร.ม. สามารถหาได้หลายวธิ ี ดงั น้ี วธิ ที ี่ 1 วธิ ีหาตัวประกอบ มีข้ันตอนดังนี้ 1) หาตัวประกอบของจานวนนับท่ีกาหนดให้ 2) หาตัวประกอบร่วม (ตัวหารรว่ ม) ของจานวนนับในขอ้ 1 3) นาตวั หารรว่ มทีม่ ีคา่ มากทส่ี ดุ ในขอ้ 2 เปน็ ห.ร.ม.

ตวั อยา่ ง จงหา ห.ร.ม.ของ 12 , 18 ตวั ประกอบของ 12 คอื 1 , 2 , 3 , 4 ,6 , 12 ตวั ประกอบของ 18 คอื 1 , 2 , 3 , 6 , 9 ,18 ตวั ประกอบร่วมของ 12 และ 18 คอื 1 , 2 , 3 , 6 ดังนน้ั ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 คอื 6 วธิ ีที่ 2 วิธแี ยกตัวประกอบ มีขน้ั ตอนดังน้ี 1) แยกตัวประกอบของจานวนนับทก่ี าหนดให้ 2) พิจารณาผลในข้อ 1 ว่ามจี านวนใดซา้ กันทุกบรรทัดบ้าง 3) นาจานวนท่ซี า้ กนั ในข้อ 1 คณู กัน 4) ผลคูณท่ีได้จากขอ้ 3 เปน็ ห.ร.ม. ตัวอยา่ ง จงหา ห.ร.ม.ของ 12 , 18 12 = 2 x 2 x 3 18 = 2 x 3 x 3 ดงั นน้ั ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 คอื 2 x 3 = 6 วธิ ีท่ี 3 วิธีตง้ั หาร มีขนั้ ตอนดังนี้ 1) หารจานวนนบั ท่ีกาหนดให้ดว้ ยตัวประกอบเเฉพาะของมัน 2) หารผลหารทไ่ี ด้จากข้อ 1 ด้วยตวั ประกอบเฉพาะ 3) ในกรณที ไี่ ม่มีตวั ประกอบเฉพาะใดหารผลหารไดล้ งตัวทัง้ หมด จะหยดุ ทาการหารทันที 4) นาตัวหารท้งั หมดคณู กัน ผลคูณทไี่ ด้คอื ห.ร.ม. ตัวอยา่ ง จงหา ห.ร.ม.ของ 12 , 18 2 ) 12 , 18 3) 6, 9 2,3 ดงั น้นั ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 คอื 2 x 3 = 6 วิธที ี่ 4 วธิ ียคู ลกิ เป็นวธิ ีการหา ห.ร.ม. ทเ่ี หมาะในกรณที ่มี ีจานวนนบั 2 จานวน และจานวนนบั นั้นมีคา่ มาก ๆ ซ่ึงมขี น้ั ตอนดังน้ี 1) นาจานวนนบั ท่ีมคี ่านอ้ ยไปหารจานวนนับทีม่ คี ่ามาก 2) จากขอ้ 1 ถ้ามีเศษ ให้นาเศษไปหารานวนนับที่เป็นตัวหารในขอ้ 1 3) ปฎิบตั ิเชน่ นไ้ี ปเรื่อย ๆ จนกระท่ังพบว่าจานวนนบั ใดท่เี หลือจากการหารแลว้ หารลงตวั จานวนน้นั แหละคอื ห.ร.ม. ค.ร.น. ค.ร.น. บางทเี รยี กว่า คณู รว่ มนอ้ ย หมายถึง ตวั คณู รว่ มท่มี คี า่ นอ้ ยที่สุด ค.ร.น.. จะเกิดข้ึนเมื่อมจี านวนนับต้งั แต่ 2 จานวนขึ้นไป การหาร ค.ร.น.สามารถหาไดห้ ลายวิธี ดงั น้ี วิธที ่ี 1 วธิ หี าตัวประกอบ มีขน้ั ตอนดังนี้ 1) หาวา่ จานวนนบั ที่กาหนดมาใหเ้ ป็นตวั ประกอบของจานวนใดบ้าง 2) หาตวั คูณรว่ มของข้อ 1 3) นาตัวคณู ร่วมที่มีค่านอ้ ยท่สี ดุ ในข้อ 2 เปน็ ค.ร.น. ตัวอยา่ ง จงหา ค.ร.น. ของ 12 , 18 12 เปน็ ตัวประกอบของ 12 , 24 , 36 , 48 , 60 , 72 , ... 18 เป็นตัวประกอบของ 18 , 36 , 54 , 72 , 90 , ... ตวั คณู ร่วมของ 12 และ 18 คอื 36 ,72 , ... ดงั นน้ั ค.ร.น.. ของ 12 และ 18 คอื 36

วธิ ีที่ 2 วิธแี ยกตัวประกอบ มขี ั้นตอนดังนี้ 1) แยกตวั ประกอบของจานวนนบั ท่กี าหนดให้ 2) พจิ ารณาผลในขอ้ 1 ว่ามีจานวนใดซ้ากันทุกบรรทัดบา้ ง ในกรณที ไี่ ม่มจี านวนซา้ กนั ทุกบรรทดั สามารถลดหล่ันลงได้ 3) นาจานวนท่ไี ดใ้ นข้อ 2 คูณกัน 4) ผลคณู ที่ไดจ้ ากขอ้ 3 เป็น ค.ร.น. ตวั อยา่ ง จงหา ห.ร.ม.ของ 12 , 18 12 = 2 x 2 x 3 18 = 2 x 3 x 3 ดงั นั้น ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 คอื 2 x 3 x 2 x 3 = 36 หรือ ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 คอื x วิธีที่ 3 วธิ ตี ง้ั หาร มีข้ันตอนดังนี้ 1) หารจานวนนบั ที่กาหนดให้ดว้ ยตวั ประกอบเเฉพาะของมัน 2) ในกรณีท่ีหารไม่ลงตัวท้งั หมด สามารถลดหล่นั ไดต้ ามลาดบั 3) หารไปเรือ่ ย ๆ จนผลหารของทกุ จานวนมคี ่าเทา่ กบั 1 4) นาตวั หารท้งั หมดคูณกนั ผลคูณท่ไี ด้คอื ค.ร.น. ตวั อยา่ ง จงหา ห.ร.ม.ของ 12 , 18 2 ) 12 , 18 3) 6, 9 2 )2 , 3 3 )1 , 3 1,1 ดังน้นั ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 คอื 2 x 3 x 2 x 3 = 36 หรือ ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 คอื x