ضرب كثيرات الحدود

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻟﺨﻴﺎﻃﺔ ﺛﻮﺏ ﻧﺴﺘﻌﻤﻞ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻘﻤﺎﺵ ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﺔ ﺍﻟﺸﻜﻞ‪.‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ﻭ ﹸﻳﺤ ﹼﺪﺩ ﹸﺑﻌﺪﺍﻫﺎ ﺑﻨﺎ ﹰﺀ ﻋﻠﻰ ﻃﻮﻝ ﺻﺎﺣﺐ ﺍﻟﺜﻮﺏ ﻭﻋﺮﺿﻪ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻃﻮﻝ ﻗﻄﻌﺔ ﺍﻟﻘﻤﺎﺵ ﺍﻟﻤﺮﺍﺩ ﺗﻔﺼﻴﻠﻬﺎ ﻛﺜﻮﺏ ﻷﻳﻤﻦ‬ ‫‪‬‬ ‫ﻳﺴﺎﻭﻱ ﻃﻮﻝ ﺃﻳﻤﻦ ﻉ ﺯﺍﺋﺪ ‪ ١٨٠‬ﺳﻢ‪ ،‬ﺃﻭ ﻉ ‪١٨٠ +‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ﻭ‪٧‬ﻋ‪٢‬ﺮﺳﻢﺽ‪،‬ﺍﺃﻟﻘﻭﻄ‪_١٢‬ﻌﺔﻉﻳ‪+‬ﺴﺎﻭ‪٢٧‬ﻱ‪.‬ﻧﻭﺼﻹﻳﻒﺠﺎﻃﺩﻮﺍﻟﻝﻤﺃﻳﺴﺎﻤﺣﻦﺔﻣﺍﻟﺘﻀﻘﺎ ﹰﻓﺮﺎﻳﺒﺇﻴﻟﺔﻴﻪﻟﻘﻄﻌﺔ‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍ)ﻟﻘﻉﻤﺎ‪٠ +‬ﺵ‪ ٨،‬ﻓ‪١‬ﺈ(ﻧ )ﻚ‪٢‬ﺗ‪_١‬ﺤﻉﺘﺎ‪+‬ﺝ‪٧‬ﻹ‪٢‬ﻳ(‪.‬ﺠﺎﺩ ﻧﺎﺗﺞ‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ﻭﻳﻤﻜﻦ‬ ‫‪.٢٧‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﻉ‬ ‫‪_١‬‬ ‫‪،١٨٠‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﻉ‬ ‫ﺗﺴﺘﻌﻤﻞ ﺧﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﻟﻀﺮﺏ ﺛﻨﺎﺋﻴﺘﻲ ﺣﺪ ﻣﺜﻞ‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﺿﺮﺏ ﺛﻨﺎﺋﻴﺘﻲ ﺍﻟﺤﺪ ﺃﻓﻘ ﹼﹰﻴﺎ ﺃﻭ ﺭﺃﺳ ﹰﹼﻴﺎ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺃﻭﺟﺪ ﻧﺎﺗﺞ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٢) ‬ﺱ ‪) (٣ +‬ﺱ ‪(٥ +‬‬ ‫ﺍﺟﻤﻊ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ ﺍﻟﻤﺘﺸﺎﺑﻬﺔ‬ ‫ﺍﺿﺮﺏ ﻓﻲ ‪٥‬‬ ‫‪٢‬ﺱ ‪٣ +‬‬ ‫‪٢‬ﺱ ‪٣ +‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫)_×_(__ﺱ__‪٥__+‬‬ ‫)_×_(__ﺱ__‪_٥__+‬‬ ‫ﺍﺿﺮﺏ ﻓﻲ ﺱ‬ ‫‪٢‬ﺱ‪٣ + ٢‬ﺱ‬ ‫‪٢‬ﺱ ‪٣ +‬‬ ‫‪٢‬ﺱ‪٣ + ٢‬ﺱ‬ ‫‪١٠‬ﺱ ‪١٥ +‬‬ ‫)_×_(__ﺱ__‪٥__+‬‬ ‫‪١٠‬ﺱ ‪١٥ +‬‬ ‫‪٢‬ﺱ‪٣ + ٢‬ﺱ‬ ‫‪٢‬ﺱ‪١٣ + ٢‬ﺱ ‪١٥ +‬‬ ‫ﺱ)‪٢‬ﺱ ‪٢ = (٣ +‬ﺱ‪٣ + ٢‬ﺱ ‪٢)٥‬ﺱ ‪١٠ = (٣ +‬ﺱ ‪١٥ +‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻛﺘﺒﻬﺎ ﻛﻤﺠﻤﻮﻉ ﻧﺎﺗﺠﻲ ﺿﺮﺏ‬ ‫)‪٢‬ﺱ ‪) (٣ +‬ﺱ ‪٢ = (٥ +‬ﺱ)ﺱ ‪)٣ +(٥ +‬ﺱ ‪(٥ +‬‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ‬ ‫= ‪٢‬ﺱ‪١٠ + ٢‬ﺱ ‪٣ +‬ﺱ ‪١٥ +‬‬ ‫ﺍﺟﻤﻊ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ ﺍﻟﻤﺘﺸﺎﺑﻬﺔ‬ ‫= ‪٢‬ﺱ‪١٣ +٢‬ﺱ ‪١٥ +‬‬ ‫ﺍﺟﻤﻊ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ ﺍﻟﻤﺘﺸﺎﺑﻬﺔ‬ ‫ﺍﺿﺮﺏ ﻓﻲ ‪٤‬‬ ‫‪) ‬ﺱ‪٣) (٢ -‬ﺱ‪(٤ +‬‬ ‫ﺱ‪٢-‬‬ ‫ﺱ‪٢-‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫)_×_(_‪__٣‬ﺱ__‪_٤_+‬‬ ‫)_×_(_‪__٣‬ﺱ__‪_٤_+‬‬ ‫ﺍﺿﺮﺏ ﻓﻲ ‪٣‬ﺱ‬ ‫‪٣‬ﺱ‪٦ - ٢‬ﺱ‬ ‫‪٣‬ﺱ‪٦ - ٢‬ﺱ‬ ‫‪٤‬ﺱ ‪٨ -‬‬ ‫‪٤‬ﺱ ‪٨ -‬‬ ‫ﺱ‪٢-‬‬ ‫)_×_(_‪__٣‬ﺱ__‪_٤_+‬‬ ‫‪٣‬ﺱ‪٦ - ٢‬ﺱ‬ ‫‪٣‬ﺱ‪٢ - ٢‬ﺱ ‪٨ -‬‬ ‫‪٣‬ﺱ)ﺱ ‪٣ = (٢ -‬ﺱ‪٦ - ٢‬ﺱ ‪)٤‬ﺱ ‪٤ = (٢ -‬ﺱ ‪٨ -‬‬ ‫‪  ‬‬

‫ﺍﻛﺘﺒﻬﺎ ﻛﻔﺮﻕ ﺑﻴﻦ ﺣﺎﺻﻠﻲ ﺿﺮﺏ‬ ‫‪ ‬‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ‬ ‫)ﺱ ‪٣)(٢ -‬ﺱ ‪ = (٤ +‬ﺱ)‪٣‬ﺱ ‪٣)٢ - (٤ +‬ﺱ ‪(٤ +‬‬ ‫ﺍﺟﻤﻊ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ ﺍﻟﻤﺘﺸﺎﺑﻬﺔ‬ ‫= ‪٣‬ﺱ‪٤ + ٢‬ﺱ ‪٦ -‬ﺱ ‪٨ -‬‬ ‫= ‪٣‬ﺱ‪٢ - ٢‬ﺱ ‪٨ -‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٥)  ‬ﺹ ‪)(٢ -‬ﺹ ‪(٨ +‬‬ ‫ﺑ ﹼﺴﻂ ﻛﻞ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻓﻴﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪٣)   ‬ﻡ ‪)(٤ +‬ﻡ ‪ (٥ +‬‬ ‫ﻭ ﹸﺗﺴﻤﻰ ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ ﺍﻟﻤﺨﺘﺼﺮﺓ ﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﻓﻲ ﺿﺮﺏ ﺛﻨﺎﺋﻴﺘﻲ ﺣﺪ ﺑﻄﺮﻳﻘﺔ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺑﺎﻟﺘﺮﺗﻴﺐ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ﹸﺗﻘﺮﺃ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ )ﺱ‪) (٤ +‬ﺱ‪(٢-‬‬ ‫‪ ‬ﻟﻀﺮﺏ ﺛﻨﺎﺋﻴﺘﻲ ﺣﺪ‪ ،‬ﺃﻭﺟﺪ ﻧﺎﺗﺞ ﺟﻤﻊ ﻛﻞ ﻣﻦ‪ :‬ﺿﺮﺏ ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ ﺍﻷﻭﻟﻴﻦ‪ ،‬ﻭﺿﺮﺏ ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺱ ﺯﺍﺋﺪ ‪٤‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻄﺮﻓﻴﻦ‪ ،‬ﻭﺿﺮﺏ ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ ﺍﻷﻭﺳﻄﻴﻦ‪ ،‬ﻭﺿﺮﺏ ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ ﺍﻷﺧﻴﺮﻳﻦ ﺑﺎﻟﺘﺮﺗﻴﺐ‪.‬‬ ‫ﻣﻀﺮﻭ ﹰﺑﺎ ﻓﻲ ﺱ ﻧﺎﻗﺺ ‪٢‬‬ ‫ﻧﺎﺗﺞ ﺿﺮﺏ‬ ‫ﻧﺎﺗﺞ ﺿﺮﺏ‬ ‫ﻧﺎﺗﺞ ﺿﺮﺏ ﻧﺎﺗﺞ ﺿﺮﺏ ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ ﺍﻷﺧﻴﺮﻳﻦ‬ ‫ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ ﺍﻷﻭﺳﻄﻴﻦ‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻄﺮﻓﻴﻦ‬ ‫ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ ﺍﻷﻭﻟﻴﻦ‬ ‫ﺃ‬ ‫ﺥ‬ ‫)ﺱ ‪) (٤ +‬ﺱ ‪) = (٢ -‬ﺱ( )ﺱ( ‪) +‬ﺱ( )‪)(٤) + (٢-‬ﺱ( ‪(٢-) (٤) +‬‬ ‫= ﺱ‪٢ - ٢‬ﺱ ‪٤ +‬ﺱ ‪٨ -‬‬ ‫ﻭ‬ ‫= ﺱ‪٢ + ٢‬ﺱ ‪٨ -‬‬ ‫ﻁ‬ ‫‪ ‬‬ ‫ﺃﻭﺟﺪ ﻧﺎﺗﺞ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪٢) ‬ﺹ ‪٣)(٧ -‬ﺹ ‪(٥ +‬‬ ‫ﺃﺥ‬ ‫)‪٢‬ﺹ ‪٣)(٧ -‬ﺹ ‪٢) = (٥ +‬ﺹ()‪٣‬ﺹ( ‪٢) +‬ﺹ()‪٣)(٧-) + (٥‬ﺹ( ‪ (٥)(٧-) +‬ﻃﺮﻳﻘﺔ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺑﺎﻟﺘﺮﺗﻴﺐ‬ ‫ﺍﺿﺮﺏ‬ ‫= ‪٦‬ﺹ‪١٠ + ٢‬ﺹ ‪٢١ -‬ﺹ ‪٣٥ -‬‬ ‫ﻭ‬ ‫ﺍﺟﻤﻊ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ ﺍﻟﻤﺘﺸﺎﺑﻬﺔ‬ ‫= ‪٦‬ﺹ‪١١ - ٢‬ﺹ ‪٣٥ -‬‬ ‫ﻁ‬ ‫‪ ٤) ‬ﺃ ‪ ٢) (٥ -‬ﺃ ‪(٩ -‬‬ ‫)‪ ٤‬ﺃ ‪ ٢) (٥ -‬ﺃ ‪(٩ -‬‬ ‫ﻃﺮﻳﻘﺔ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺑﺎﻟﺘﺮﺗﻴﺐ‬ ‫= )‪ ٤‬ﺃ()‪ ٢‬ﺃ( ‪ ٤) +‬ﺃ()‪ ٢)(٥-) + (٩-‬ﺃ( ‪(٩-)(٥-) +‬‬ ‫ﺍﺿﺮﺏ‬ ‫= ‪ ٨‬ﺃ‪ ٣٦ - ٢‬ﺃ ‪ ١٠ -‬ﺃ ‪٤٥ +‬‬ ‫ﺍﺟﻤﻊ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ ﺍﻟﻤﺘﺸﺎﺑﻬﺔ‬ ‫= ‪ ٨‬ﺃ‪ ٤٦ - ٢‬ﺃ ‪٤٥ +‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٢)  ‬ﺹ ‪) (٥ -‬ﺹ ‪(٦ -‬‬ ‫‪٤)  ‬ﺏ ‪٣) (٥ -‬ﺏ ‪ (٢ +‬‬ ‫ﻻﺣﻆ ﺃﻧﻪ ﻋﻨﺪ ﺿﺮﺏ ﻋﺒﺎﺭﺗﻴﻦ ﺧﻄﻴﺘﻴﻦ‪ ،‬ﺗﻜﻮﻥ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺗﺮﺑﻴﻌﻴﺔ‪ .‬ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﻫﻲ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺫﺍﺕ ﻣﺘﻐﻴﺮ‬ ‫ﻭﺍﺣﺪ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‪ .‬ﻭﻧﺘﻴﺠﺔ ﺿﺮﺏ ﺛﻼﺙ ﻋﺒﺎﺭﺍﺕ ﺧﻄﻴﺔ‪ ،‬ﻫﻲ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ‪ .‬ﻭﻳﻤﻜﻨﻚ ﺍﺳﺘﻌﻤﺎﻝ‬ ‫ﻃﺮﻳﻘﺔ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺑﺎﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ﻹﻳﺠﺎﺩ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺗﻤﺜﻞ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ﹸﺃﻋﻄﻲ ﺑﻌﺪﺍﻩ ﻋﻠﻰ ﺻﻮﺭﺓ ﺛﻨﺎﺋﻴﺘﻲ ﺣﺪ‪.‬‬ ‫‪  ‬‬

‫‪ ‬‬ ‫‪  ‬ﻳﺤﻴﻂ ﻣﻤﺮ ﺑﺒﺮﻛﺔ ﺳﺒﺎﺣﺔ ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﺔ ﺍﻟﺸﻜﻞ‪ .‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ‬ ‫ﻋﺮﺽ ﺍﻟﻤﻤﺮ ﻫﻮ ﺱ ﻣﺘﺮ‪ .‬ﻓﺎﻛﺘﺐ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺗﻤﺜﻞ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ ﺍﻟﺒﺮﻛﺔ ﻭﺍﻟﻤﻤﺮ ﻣ ﹰﻌﺎ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺏ ﻛﺘﺎﺑﺔ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻟﻤﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ ﺍﻟﺒﺮﻛﺔ ﻭﺍﻟﻤﻤﺮ ﺣﻮﻟﻬﺎ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   ‬ﺍﺳﺘﻌﻤﻞ ﺻﻴﻐﺔ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻞ ﺑﻌﺪ ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻃﻮﻝ‬ ‫ﺍﻟﺒﺮﻛﺔ ﻭﻋﺮﺿﻬﺎ ﺑﺎﻹﺿﺎﻓﺔ ﺇﻟﻰ ﻋﺮﺽ ﺍﻟﻤﻤﺮ‪.‬‬ ‫‪  ‬ﺑﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻤﺮ ﻣﻨﺘﻈﻢ ﻣﻦ ﺟﻤﻴﻊ ﺟﻬﺎﺕ ﺍﻟﺒﺮﻛﺔ‪ ،‬ﻓﺈﻥ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻞ ﺍﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺒﺮﻛﺔ ﻭﺍﻟﻤﻤﺮ‬ ‫‪‬‬ ‫ﻳﺰﻳﺪ ﻋﻠﻰ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﺒﺮﻛﺔ ﺑﻤﻘﺪﺍﺭ ‪٢‬ﺱ‪ ،‬ﻭﻛﺬﻟﻚ ﺍﻟﻌﺮﺽ؛ ﻟﺬﺍ ﻳﻤﻜﻦ ﺗﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﻄﻮﻝ ﺑ ﹺـ ‪٢‬ﺱ‪٧ +‬‬ ‫ﻭﺍﻟﻌﺮﺽ ﺑـﹺ ‪٢‬ﺱ‪٥ +‬‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻞ‬ ‫‪  ‬ﺍﻟﻤﺴﺎﺣﺔ = ﺍﻟﻄﻮﻝ × ﺍﻟﻌﺮﺽ‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ‬ ‫‪٢) =  ‬ﺱ‪٢) (٧ +‬ﺱ‪(٥ +‬‬ ‫ﺗﻌﺘﻤﺪ ﺗﻜﻠﻔﺔ ﺑﺮﻛﺔ ﺍﻟﺴﺒﺎﺣﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻋﺪﺓ ﻋﻮﺍﻣﻞ‪ .‬ﻣﻨﻬﺎ‪ :‬ﻛﻮﻥ ﺍﻟﺒﺮﻛﺔ‬ ‫ﻃﺮﻳﻘﺔ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺑﺎﻟﺘﺮﺗﻴﺐ‬ ‫‪٢ =  ‬ﺱ)‪٢‬ﺱ(‪٢ +‬ﺱ)‪٢) (٧) +(٥‬ﺱ(‪(٥) (٧) +‬‬ ‫ﻓﻮﻕ ﻣﺴﺘﻮ￯ ﺳﻄﺢ ﺍﻷﺭﺽ‪،‬‬ ‫ﺃﻭ ﺩﻭﻥ ﻣﺴﺘﻮ￯ ﺳﻄﺤﻬﺎ‪ ،‬ﻭﻧﻮﻉ‬ ‫‪٤ =  ‬ﺱ‪١٠ +٢‬ﺱ‪١٤ +‬ﺱ‪ ٣٥ +‬ﺍﺿﺮﺏ‬ ‫ﺍﻟﻤﺎﺩﺓ ﺍﻟﻤﺴﺘﻌﻤﻠﺔ ﻓﻲ ﺗﺒﻠﻴﻄﻬﺎ‪.‬‬ ‫ﺍﺟﻤﻊ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ ﺍﻟﻤﺘﺸﺎﺑﻬﺔ‬ ‫‪٤ =  ‬ﺱ‪٢٤ +٢‬ﺱ‪٣٥ +‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬ﻟﺬﺍ ﺗﻜﻮﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ﻟﻠﻤﻤﺮ ﻭﺍﻟﺒﺮﻛﺔ ﻣ ﹰﻌﺎ ﻫﻲ ‪٤‬ﺱ‪٢٤ +٢‬ﺱ‪٣٥ +‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬ﺍﺧﺘﺮ ﻗﻴﻤﺔ ﻟﹺـ ﺱ ﻭﻋ ﹼﻮﺿﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺗﻴﻦ )‪٢‬ﺱ‪٢) (٧ +‬ﺱ‪٤ ،(٥ +‬ﺱ‪٢٤ +٢‬ﺱ ‪٣٥ +‬‬ ‫ﻋﻨﺪ ﺿﺮﺏ ﻛﺜﻴﺮﺓ ﺣﺪﻭﺩ‬ ‫ﺗﺤﻮﻱ ﻡ ﺣ ﹰﹼﺪﺍ ﻓﻲ ﺃﺧﺮ￯‬ ‫ﺳﺘﺠﺪ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﻫﻲ ﻧﻔﺴﻬﺎ ﻟﻜﻠﺘﺎ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺗﻴﻦ‪.‬‬ ‫ﺗﺤﻮﻱ ﻥ ﺣ ﹰﹼﺪﺍ‪ ،‬ﺳﻴﻜﻮﻥ‬ ‫ﻧﺎﺗﺞ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﻗﺒﻞ ﺍﻟﺘﺒﺴﻴﻂ‬ ‫‪‬‬ ‫ﻛﺜﻴﺮﺓ ﺣﺪﻭﺩ ﺗﺤﻮﻱ ﻡ × ﻥ‬ ‫ﺣ ﹼﹰﺪﺍ‪ ،‬ﻭﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ )‪٤‬ﺃ( ﻧﺎﺗﺞ‬ ‫‪   ‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﺒﺮﻛﺔ ‪ ٩‬ﻡ ﻭﻋﺮﺿﻬﺎ ‪ ٧‬ﻡ‪ .‬ﻓﺄﻭﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ ﺍﻟﺒﺮﻛﺔ ﻭﺍﻟﻤﻤﺮ ﻣ ﹰﻌﺎ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻀﺮﺏ ﻳﺤﻮﻱ ‪٦ =٣×٢‬‬ ‫‪ ‬ﻳﻤﻜﻨﻚ ﺍﺳﺘﻌﻤﺎﻝ ﺧﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺃﻳ ﹰﻀﺎ ﻹﻳﺠﺎﺩ ﻧﺎﺗﺞ ﺿﺮﺏ ﻛﺜﻴﺮﺗﻲ ﺣﺪﻭﺩ‪.‬‬ ‫ﺣﺪﻭﺩ ﻗﺒﻞ ﺍﻟﺘﺒﺴﻴﻂ‪.‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ﺃﻭﺟﺪ ﻧﺎﺗﺞ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ‬ ‫‪٦) ‬ﺱ‪٢) (٥ +‬ﺱ‪٣ -٢‬ﺱ‪(٥ -‬‬ ‫) ‪٦‬ﺱ ‪٢ )(٥ +‬ﺱ‪٣ - ٢‬ﺱ ‪(٥ -‬‬ ‫= ‪٦‬ﺱ)‪٢‬ﺱ‪٣ - ٢‬ﺱ ‪٢)٥ + (٥ -‬ﺱ‪٣ - ٢‬ﺱ ‪(٥ -‬‬ ‫ﺍﺿﺮﺏ‪.‬‬ ‫= ‪١٢‬ﺱ‪١٨ - ٣‬ﺱ‪٣٠ - ٢‬ﺱ ‪١٠ +‬ﺱ‪١٥ - ٢‬ﺱ ‪٢٥ -‬‬ ‫ﺍﺟﻤﻊ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ ﺍﻟﻤﺘﺸﺎﺑﻬﺔ‬ ‫= ‪١٢‬ﺱ‪٨ - ٣‬ﺱ‪٤٥ - ٢‬ﺱ ‪٢٥ -‬‬ ‫‪٢) ‬ﺹ‪٣ + ٢‬ﺹ ‪٣)(١ -‬ﺹ‪٥ - ٢‬ﺹ ‪(٢ +‬‬ ‫)‪٢‬ﺹ‪٣ + ٢‬ﺹ ‪٣)(١ -‬ﺹ‪٥ - ٢‬ﺹ ‪(٢ +‬‬ ‫= ‪٢‬ﺹ‪٣)٢‬ﺹ‪٥-٢‬ﺹ‪٣+ (٢+‬ﺹ)‪٣‬ﺹ‪٥-٢‬ﺹ ‪٣)١- (٢ +‬ﺹ‪٥ -٢‬ﺹ ‪ (٢ +‬ﺧﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ‬ ‫= ‪٦‬ﺹ‪١٠ - ٤‬ﺹ‪٤ + ٣‬ﺹ‪٩ + ٢‬ﺹ‪١٥ - ٣‬ﺹ‪٦ + ٢‬ﺹ ‪٣ -‬ﺹ‪٥ + ٢‬ﺹ ‪ ٢ -‬ﺍﺿﺮﺏ‬ ‫ﺍﺟﻤﻊ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ ﺍﻟﻤﺘﺸﺎﺑﻬﺔ‬ ‫= ‪٦‬ﺹ‪ - ٤‬ﺹ‪١٤ - ٣‬ﺹ‪١١ + ٢‬ﺹ ‪٢ -‬‬ ‫‪)  ‬ﻡ‪٢ + ٢‬ﻡ ‪٤)(٣ -‬ﻡ‪٧ - ٢‬ﻡ ‪(٥ +‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٣)   ‬ﺱ ‪٢)(٥ -‬ﺱ‪٧ + ٢‬ﺱ ‪ (٨ -‬‬ ‫‪  ‬‬

‫ﺃﻭﺟﺪ ﻧﺎﺗﺞ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪) ‬ﺏ ‪)(٧ -‬ﺏ ‪(٣ +‬‬ ‫‪)  ‬ﺹ ‪)(٢ -‬ﺹ ‪ (٤ +‬‬ ‫‪) ‬ﺱ ‪)(٥ +‬ﺱ ‪ (٢ +‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٨) ‬ﻫـ ‪٢)(١ -‬ﻫـ ‪٢)   (٣ -‬ﺃ ‪٥)(٩ +‬ﺃ ‪(٦ -‬‬ ‫‪٤) ‬ﻥ ‪)(٣ +‬ﻥ ‪ (٩ +‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   ‬ﺻ ﹼﻤﻢ ﺧﺎﻟﺪ ﺇﻃﺎ ﹰﺭﺍ ﻟﺼﻮﺭﺓ ﻛﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ‪ .‬ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻹﻃﺎﺭ ﻣﻨﺘﻈ ﹰﻤﺎ ﻣﻦ ﺟﻤﻴﻊ ﺟﻬﺎﺗﻪ‪،‬‬ ‫ﻓﺎﻛﺘﺐ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺗﻤﺜﻞ ﺍﻟﻤﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ﻟﻠﺼﻮﺭﺓ ﻭﺍﻹﻃﺎﺭ ﻣ ﹰﻌﺎ‪.‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ﺃﻭﺟﺪ ﻧﺎﺗﺞ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﻓﻲ ﻛﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪٤)  ‬ﺹ‪٤)(٣ - ٢‬ﺹ‪٧ + ٢‬ﺹ ‪ (٢ +‬‬ ‫‪)  ‬ﺱ‪٤ - ٢‬ﺱ ‪٥)(٥ +‬ﺱ‪٣ + ٢‬ﺱ ‪(٤ -‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٣) ‬ﻡ ‪٢)(٥ +‬ﻡ ‪(٣ +‬‬ ‫‪ ‬ﺃﻭﺟﺪ ﻧﺎﺗﺞ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﻓﻲ ﻛﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٥)  ‬ﺹ ‪٣)(٤ -‬ﺹ ‪٦)    (١ -‬ﺩ ‪٤)(٥ -‬ﺩ ‪(٧ -‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪١٢) ‬ﻥ ‪١٢)(٥ -‬ﻥ ‪٥)  (٥ +‬ﺭ ‪٥)(٧ +‬ﺭ ‪٨)    (٧ -‬ﻝ ‪٤ +‬ﺱ()‪٥‬ﻝ ‪٦ -‬ﺱ(‬ ‫‪‬‬ ‫‪    ‬ﻳﺤﻴﻂ ﻣﻤﺮ ﻋﺮﺿﻪ ﺱ ﺑﺤﺪﻳﻘﺔ ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﺔ ﺍﻟﺸﻜﻞ‪ ،‬ﻃﻮﻟﻬﺎ ‪ ٨‬ﺃﻣﺘﺎﺭ‪ ،‬ﻭﻋﺮﺿﻬﺎ ‪ ٦‬ﺃﻣﺘﺎﺭ ﺍﻛﺘﺐ ﻋﺒﺎﺭﺓ‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺗﻤﺜﻞ ﺍﻟﻤﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ﻟﻠﺤﺪﻳﻘﺔ ﻭﺍﻟﻤﻤﺮ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬ﺃﻭﺟﺪ ﻧﺎﺗﺞ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﻓﻲ ﻛﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪٤) ‬ﺃ ‪٩)(٧ +‬ﺃ‪٢ + ٢‬ﺃ ‪(٧ -‬‬ ‫‪٢)  ‬ﺹ ‪)(١١ -‬ﺹ‪٣ - ٢‬ﺹ ‪ (٢ +‬‬ ‫‪) ‬ﺱ‪٥ + ٢‬ﺱ ‪٥)(١ -‬ﺱ‪٦ - ٢‬ﺱ ‪٦)  (١ +‬ﻉ‪٥ - ٢‬ﻉ ‪٣)(٢ -‬ﻉ‪٢ - ٣‬ﻉ ‪(٤ -‬‬ ‫‪ ‬ﺑ ﱢﺴﻂ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪) :‬ﻡ ‪) ](٢ +‬ﻡ‪٣ + ٢‬ﻡ ‪)+ (٦ -‬ﻡ‪٢ - ٢‬ﻡ ‪[(٤ +‬‬ ‫‪  ‬ﺍﻛﺘﺐ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺗﻤﺜﻞ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻛﻞ ﻣﻨﻄﻘﺔ ﻣﻈﻠﻠﺔ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬

‫‪   ‬ﺗﻤﺜﻞ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺗﺎﻥ‪٧) :‬ﺹ‪ (٥ -‬ﻣﺘﺮ‪٨) ،‬ﺹ‪ (٢ +‬ﻣﺘﺮ ﺑﻌﺪﻱ ﻣﻠﻌﺐ ﻛﺮﺓ ﻃﺎﺋﺮﺓ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬ﺍﻛﺘﺐ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺗﻤﺜﻞ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻤﻠﻌﺐ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻃﻮﻝ ﻣﻠﻌﺐ ﻛﺮﺓ ﻃﺎﺋﺮﺓ ‪ ١٨‬ﻡ‪ ،‬ﻓﺄﻭﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺘﻪ‪.‬‬ ‫‪   ‬ﺍﻛﺘﺐ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺗﻤﺜﻞ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻣﺜﻠﺚ ﻃﻮﻝ ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ ‪٢‬ﺱ‪ ،٣ +‬ﻭﺍﺭﺗﻔﺎﻋﻪ ‪٣‬ﺱ‪١ -‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ –‬‬ ‫‪  ‬ﺗﺴﻤﺢ ﺍﻟﻘﻮﺍﻟﺐ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﺑﺼﻨﻊ ﺃﻟﻮﺍﺡ ﺷﻮﻛﻮﻻﺗﺔ ﻣﺮﺑﻌﺔ‬ ‫‪‬‬ ‫‪ –‬‬ ‫ﺃﻭ ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﺔ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﺒﻴﻦ ﺟﺎﻧ ﹰﺒﺎ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ –‬‬ ‫‪  ‬ﻣﺎ ﻗﻴﻢ ﺱ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ؟ ﻓ ﱢﺴﺮ ﺇﺟﺎﺑﺘﻚ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺴﻌﻮﺩﻱ ﺍﻟﻌﺴﻜﺮﻱ‬ ‫‪‬ﺑﻓﺒﺎﺯﻄ ﺍﻮﻟﻟﺔﻤﻨﺍﺘﻟﻌﺨﺎﻟﺐﻢ‬ ‫ﺍﻟﻌﺴﻜﺮﻳﺔ ﻓﻲ ﻛﺮﺓ‬ ‫‪  ‬ﺃ ﹼﻱ ﺍﻟﺸﻜﻠﻴﻦ ﻣﺴﺎﺣﺘﻪ ﺃﻛﺒﺮ؟‬ ‫‪‬ﺍﻟﻋﺎﻄﻡﺎﺋﺮ‪٨‬ﺓ‪٠‬ﺍﻟ‪٠‬ﺘ‪٢‬ﻲﻡﺍ‪.‬ﺳﺘﻀﺎﻓﺘﻬﺎ ﺃﻟﻤﺎﻧﻴﺎ ﻓﻲ‬ ‫‪ ‬ﻣﺎ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﻴﻦ ﻣﺴﺎﺣﺘﻲ ﺍﻟﻘﺎﻟﺒﻴﻦ؟‬ ‫‪  ‬ﺳﺘﻜﺘﺸﻒ ﻓﻲ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ ﻗﺎﻋﺪﺓ ﻣﺮﺑﻊ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺣﺪﻳﻦ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪    ‬ﺍﻧﻘﻞ ﺍﻟﺠﺪﻭﻝ ﺍﻵﺗﻲ ﻭﺃﻛﻤﻠﻪ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪    ‬ﺍﻛﺘﺐ ﺟﻤﻠﺔ ﺗﻮﺿﺢ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺍﻟﺤﺼﻮﻝ ﻋﻠﻰ ﻣﺮﺑﻊ‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺣﺪﻳﻦ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬ﺍﻛﺘﺐ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺗﻤﺜﻞ ﻣﺮﺑﻊ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ ﺃ ‪ +‬ﺏ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   ‬ﻭ ﱢﺿﺢ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ \"ﻳﻤﻜﻦ ﺍﺳﺘﻌﻤﺎﻝ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺑﺎﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ﻟﻀﺮﺏ ﺛﻨﺎﺋﻴﺔ ﺣﺪ ﻓﻲ ﺛﻼﺛﻴﺔ ﺣﺪﻭﺩ\"‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺻﺤﻴﺤﺔ ﺩﺍﺋ ﹰﻤﺎ‪ ،‬ﺃﻡ ﺻﺤﻴﺤﺔ ﺃﺣﻴﺎ ﹰﻧﺎ‪ ،‬ﺃﻡ ﻏﻴﺮ ﺻﺤﻴﺤﺔ ﺃﺑ ﹰﺪﺍ‪ ،‬ﹶﻭﻓ ﹼﺴﺮ ﺇﺟﺎﺑﺘﻚ‪.‬‬ ‫‪    ‬ﺃﻭﺟﺪ ﻧﺎﺗﺞ ‪) :‬ﺱﻡ ‪ +‬ﺱﻥ()ﺱﻡ ‪ - ١ -‬ﺱ‪ - ١‬ﻥ ‪ +‬ﺱﻥ(‪.‬‬ ‫‪   ‬ﺍﻛﺘﺐ ﺛﻨﺎﺋﻴﺔ ﻭﺛﻼﺛﻴﺔ ﺣﺪﻭﺩ ﺗﺘﻀﻤﻦ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﻤﺎ ﻣﺘﻐﻴ ﹰﺮﺍ ﻭﺍﺣ ﹰﺪﺍ‪ ،‬ﺛﻢ ﺃﻭﺟﺪ ﻧﺎﺗﺞ ﺿﺮﺑﻬﻤﺎ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   ‬ﻟ ﱢﺨﺺ ﺍﻟﻄﺮﻕ ﺍﻟﺘﻲ ﻳﻤﻜﻦ ﺍﺳﺘﻌﻤﺎﻟﻬﺎ ﻟﻀﺮﺏ ﻛﺜﻴﺮﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   ‬ﺃﻱ ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ ﺧﻂ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺗﻤ ﱢﺜﻞ ﻋﺪ ﹰﺩﺍ‬ ‫‪ ‬ﻣﺎ ﻧﺎﺗﺞ ﺿﺮﺏ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺗﻴﻦ‪٢ :‬ﺱ‪٣ ،٥ -‬ﺱ‪٤ +‬؟‬ ‫ﻣﻜﻌﺒﻪ ﺃﻛﺒﺮ ﻣﻨﻪ؟‬ ‫‪٦ ‬ﺱ‪٢٠ - ٢‬‬ ‫‪٥  ‬ﺱ ‪١ -‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪٦ ‬ﺱ‪٧ + ٢‬ﺱ ‪٢٠ -‬‬ ‫‪٦ ‬ﺱ‪٧ - ٢‬ﺱ ‪٢٠ -‬‬ ‫‪          ‬‬ ‫‪  ‬‬

 (‫ﺃﺏ‬٨ + ‫ﺃ‬٥ + ‫ﺏ‬٢) -(‫ﺏ‬٣ + ‫ﺃﺏ‬٤ + ‫ﺃ‬٣)   (٢‫ﻥ‬٦ - ‫ﻥ‬٤) +(٢‫ﻥ‬٢ - ‫ﻥ‬٨)     :‫ﺃﻭﺟﺪ ﻧﺎﺗﺞ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‬ ٣(٣‫ﺹ‬٣-) +٢(٣‫ﺹ‬٥-)٢   (١٠ +٢‫ﺃ‬٣-) +(٥ -٢‫ﺃ‬٧)   ٢(٣‫ﻫـ‬-)٢ -٣(٢‫ﻫـ‬٣-)   :‫ﺑ ﱢﺴﻂ ﻛ ﹰﹼﻼ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺍﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ‬  ٤(٣‫ﻥ‬٢-)٣ -٣(٤‫ﻥ‬٢-)   ٢(٢‫ ﻥ‬٢-) + ٢(٤‫ ﻥ‬٦-) ٣     :‫ﺑ ﹼﺴﻂ ﻛ ﹰﹼﻼ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‬  ٤(٣‫ ﺕ‬٢-) ٣- ٣(٤‫ ﺕ‬٢-)    