5-2 معدل التغير والميل

‫معدل التغير والميل‬ ‫فيما �سبق‬ ‫لماذا؟‬ ‫در�ست تمثيل الأزواج‬ ‫المرتبة في الم�ستوى‬ ‫تسمح لك إحدى الألعاب المائية بالانحدار لمسافة‬ ‫‪ 20‬مت ًرا‪ ،‬ويصف مع ّدل التغير في هذه اللعبة نسبة تغير‬ ‫ا إلحداثي‪.‬‬ ‫المسافة التي يقطعها الشخص بالنسبة للتغير في الزمن‪.‬‬ ‫وا آلن‬ ‫معدّل التغير‪  :‬مع ّدل التغير هو نسبة تصف معدل تغير‬ ‫ أ��ستعمل معدل التغير‬ ‫كمية بالنسبة لتغير كمية أخرى‪.‬‬ ‫لحل الم�سائل‪.‬‬ ‫أ��ضف إ�لى‬ ‫مع ّدل التغير‬ ‫مفهوم أ��سا�سي‬ ‫ أ�جد ميل م�ستقيم‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫المفردات‬ ‫إذا كانت س هي المتغير المستقل‪ ،‬وص المتغير التابع فإن‪:‬‬ ‫مع ّدل التغير‬ ‫مع ّدل التغير = ​ االلتتغغييرر ففيي سص ​ _  ‬ ‫مثال ‪  1‬من واقع الحياة �إيجاد مع ّدل التغير‬ ‫عدد أ�لعاب الحا�سوب التكلفة (ريال)‬ ‫�ألعاب م�سلية‪  :‬استعمل الجدول المجاور لإيجاد‬ ‫(�س) (�ص)‬ ‫‪78 2‬‬ ‫مع ّدل التغير‪ ،‬ثم ف ِّسر معناه‪.‬‬ ‫‪156 4‬‬ ‫‪234 6‬‬ ‫الريالات‬ ‫مع ّدل التغي ر = ​ االلتتغغييرر ففيي س ​ص_    ‬ ‫الألعاب‬ ‫ = التغايلرتغف يير فع_يد​دالاتلكأللفعاةب ​  _   ‬ ‫ = ‪   ​ _7​  8- 21-546‬ع ّوض‬ ‫ = ‪ ​ ​  _3 19  ​=  _​7 28‬ب ّسط‬ ‫مع ّدل التغير هو​ ‪   _​3 19‬وهذا يعني أن كل لعبة تكلف ‪ 39‬ريالاً ‪.‬‬ ‫✓ تحقق من فهمك‬ ‫الم�ساحة المبلطة (�سم‪)2‬‬ ‫عدد البلاطات‬ ‫ ‪ )1‬تبليط‪  :‬يب ِّين الجدول المجاور كيف تتغير مساحة‬ ‫(�ص)‬ ‫(�س)‬ ‫‪1200‬‬ ‫‪3‬‬ ‫السطح المبلط مع التغير في عدد البلاطات‪.‬‬ ‫‪2400‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3600‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ أ� ) أوجد مع ّدل التغير‪  .‬‬ ‫ ب) َف ِّسر معنى مع ّدل التغير‪  .‬‬ ‫‪  76‬الف�صل ‪  :2‬العلاقات والدوال الخطية‬

‫تعرفت من الأمثلة السابقة على معدلات التغير الثابتة‪ ،‬إلا أن كثي ًرا من المواقف من واقع الحياة تتضمن‬ ‫مع ّدلات تغير ليست ثابتة‪.‬‬ ‫مثال ‪  2‬من واقع الحياة معدل التغير غير الثابت‬ ‫‪ÜÜÉÉ©©dd’C ’C GGááææjjóóee‬‬ ‫مدينة أ�لعاب‪  :‬يب ِّين التمثيل البياني المجاور‬ ‫‪QGhõdG OóY‬‬ ‫‪335‬‬ ‫‪335‬‬ ‫ع ِّدد زوار إحدى مدن الألعاب‪.‬‬ ‫إ�ر�شاداتللدرا�سة‬ ‫)‪(∞ Bd’ÉH‬‬‫‪330 324 325‬‬ ‫‪`g 143286‬‬ ‫‪325 317‬‬ ‫�أ ) أوجد مع ّدل التغير في الفترة من ‪1432‬هـ‪1434 – ‬هـ‪، ‬‬ ‫المع ّدل‪  :‬يشير مع ّدل‬ ‫‪320‬‬ ‫التغير الموجب إلى الزيادة‬ ‫وفي الفترة من ‪1434‬هـ‪1436 – ‬هـ ‪.‬‬ ‫‪`g1432 `g1434 `g1436‬‬ ‫مع تغير الزمن‪.‬‬ ‫‪áæ°ùdG‬‬ ‫ مع ّدل التغير في الفترة ‪ 1432‬هـ – ‪1434‬هـ ‪:‬‬ ‫أما مع ّدل التغير السالب‬ ‫فيشير إلى نقصان الكمية‪.‬‬ ‫ ع ّوض‬ ‫ الز ّوار‬ ‫  ​ الاتلغتيغريرف في_يعالدزدمالنز وا ​_ر  =  ​ ‪   _ ​1341372- - _3124434‬‬ ‫ب ّسط‬ ‫ السنوات‬ ‫= ‪ 3.​5 =   _​72‬‬ ‫ ‬ ‫ ازداد عدد الزوار خلال هاتين السنتين ‪ 7‬آلاف‪ ،‬وذلك بمعدل تغير مقداره ‪ 3.5‬آلاف في السنة‪.‬‬ ‫ مع ّدل التغير في الفترة ‪ 1434‬هـ – ‪1436‬هـ ‪:‬‬ ‫  ​ االتلتغيغيررففيي_ اعلدزدمالنزو ا ​ر _ =   ​ ‪     _ ​1342344  --_3124536‬ع ّوض‬ ‫ = ‪ 0٫​5 =   _​12‬ب ّسط‬ ‫ زاد عدد الزوار خلال هاتين السنتين أل ًفا‪ ،‬وذلك بمع ّدل تغير مقداره ‪ 500‬زائر في السنة‪.‬‬ ‫ب) ف ِّسر معنى مع ّدل التغير في كل حالة‪.‬‬ ‫ في الفترة من ‪1432‬هـ – ‪1434‬هـ ‪:‬‬ ‫زاد عدد الذين زاروا مدن الألعاب بمعدل ‪ 3500‬زائر كل سنة ‪.‬‬ ‫في الفترة من ‪1434‬هـ – ‪1436‬هـ‬ ‫ ‬ ‫زاد عدد الذين زاروا مدن الألعاب بمعدل ‪ 500‬زائر كل سنة ‪.‬‬ ‫جـ) كيف تظهر معدلات التغير المختلفة على التمثيل البياني؟‬ ‫ هناك تغير رأسي أكبر في الفترة من ‪1432‬هـ – ‪1434‬هـ عن الفترة من ‪1434‬هـ – ‪1436‬هـ‪. ‬‬ ‫ولذا يكون الجزء الذي يمثل الفترة من ‪1432‬هـ – ‪1434‬هـ أكثر ميلاً ‪.‬‬ ‫✓ تحقق من فهمك‬ ‫ ‪ )2‬عد إلى التمثيل البياني أعلاه‪ ،‬وأوجد ‪ -‬دون إجراء عمليات حسابية ‪ -‬فترة السنتين ذات معدل التغير‬ ‫الأكبر‪ ،‬ثم احسب للتحقق من إجابتك‪  .‬‬ ‫الدر�س ‪  :5-2‬معدل التغير والميل  ‪77‬‬

‫يكون معدل التغير للدالة ثاب ًتا إذا لم تتغير قيمته بين أي نقطتين على التمثيل البياني لتلك الدالة‪ .‬والدوال‬ ‫�إر�شاداتللدرا�سة‬ ‫الخطية لها مع ّدل تغير ثابت‪.‬‬ ‫دالةخطية أ�مغيرخطية؟  ‬ ‫مثال ‪ 3‬معدلات التغير الثابتة‬ ‫حتى تكون الدالة خطية‬ ‫يجب أن يكون معدل‬ ‫ح ِّدد ما إذا كانت كل دالة فيما يأتي خطية أم لا‪ ،‬وف ِّسر إجابتك‪:‬‬ ‫التغير ثاب ًتا؛ أي يجب أن‬ ‫يكون التغير في كل من‬ ‫ب)   �س �ص‬ ‫�أ)   �س �ص‬ ‫قيم س‪،‬ص ثاب ًتا‪.‬‬ ‫‪10 3-‬‬ ‫‪6- 1‬‬ ‫‪12 1-‬‬ ‫‪8- 4‬‬ ‫‪16 1‬‬ ‫‪10- 7‬‬ ‫‪18 3‬‬ ‫‪12- 10‬‬ ‫‪22 5‬‬ ‫‪14- 13‬‬ ‫�س �ص مع ّدل التغير‬ ‫�س �ص    مع ّدل التغير‬ ‫‪ _1 =   ​)130--(-112- ​ 10 3-‬‬ ‫‪ _  _ ​23 ​-=  )​6- 1(--48-  ​  6- 1‬‬ ‫​  ‪ _2 =  1 ​)21--( 1-61‬‬ ‫‪12‬‬ ‫ ​ ‪ _  _ ​23 ​-= ) ​8- 4(--71 0-‬‬ ‫‪4‬‬ ‫​ ‪ _1 =  1 ​  61--138‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫​ ‪ _  _ ​23 ​-=   )​ 10 -7(--1012-‬‬ ‫‪8-‬‬ ‫‪7‬‬ ‫​ ‪ _2 =  1 ​  83--252‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪1‬‬ ‫​ ‪ _  _ ​23 ​-=  ) ​ 12 1-0(--1134-‬‬ ‫‪10-‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪12-‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪14-‬‬ ‫بما أن مع ّدل التغير ليس ثاب ًتا‪،‬‬ ‫بما أن مع ّدل التغير ثابت‪،‬‬ ‫فالدالة ليست خطية‪.‬‬ ‫فالدالة خطية‪.‬‬ ‫✓ تحقق من فهمك‬ ‫�ص  ‬ ‫‪3‬ب) �س‬ ‫�ص  ‬ ‫ ‪�3‬أ ) �س‬ ‫‪4-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪3-‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪2-‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪2‬‬ ‫إ�يجاد الميل‪  :‬ميل المستقيم غير الرأسي هو نسبة التغير في الإحداثي الصادي إلى التغير في الإحداثي‬ ‫السيني كلما انتقلت من نقطة إلى أخرى‪ .‬وبالتالي يمكن استعماله لوصف معدل التغير‪.‬‬ ‫إن ميل المستقيم يصف درجة انحداره‪ ،‬وكلما زادت القيمة المطلقة للميل كان المستقيم أشد انحدا ًرا‪.‬‬ ‫ُيظهر الرسم البياني المجاور مستقي ًما ما ًّرا بالنقطتين (‪.)2- ، 2( ، )3 ، 1-‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫الميل = االل تتغ​غييررااللأرفأقسي​ ي_  ‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ = ففررقق االلسصي​ناادات​ ت_  ‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ = ‪  ​_53 ​-  =     _​​)31--( 2--2‬‬ ‫‪‬‬ ‫لذا‪ ،‬فميل المستقيم هو ‪.  _​53 ​-‬‬ ‫ الف�صل ‪  :2‬العلاقات والدوال الخطية‬ ‫‪78‬‬

‫وبما أن مع ّدل تغير الدالة الخطية ثابت‪ ،‬فيمكنك استعمال أي نقطتين على المستقيم غير الرأسي لتحديد ميله‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫مفهوم �أ�سا�سي الميل‬ ‫الر�سم‬ ‫التعبير اللفظي‪ :‬ميل المستقيم غير الرأسي هو نسبة‬ ‫قراءةالريا�ضيات‬ ‫التغير الرأسي إلى التغير الأفقي‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫تقرأ ص‪ 1‬على الصورة‬ ‫صاد واحد‪ .‬وتقرأ س‪ 2‬على‬ ‫‪‬‬ ‫يمكن إيجاد الميل (م) للمستقيم غير‬ ‫الرموز ‪:‬‬ ‫الصورة سين اثنين‪ .‬ويشير‬ ‫الرقمان ‪ 2 ،1‬إلى النقطتين‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫الرأسي المار بالنقطتين‬ ‫ ‬ ‫الأولى والثانية اللتين ترتبط‬ ‫ ‬ ‫‪‬‬ ‫(س ‪،‬ص )‪(،‬س ‪،‬ص )‬ ‫بهما قيم س‪ ،‬ص‪.‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪‬‬ ‫على النحو الآتي‪:‬‬ ‫التغير في ص‬ ‫م = ​ سص‪--22‬سص‪  _1 ​1‬‬ ‫التغير في س‬ ‫يمكن أن يكون ميل مستقيم موج ًبا أو سال ًبا أو صف ًرا أو غير ُمع َّرف‪ .‬فإذا لم يكن المستقيم أفق ًّيا ولا رأس ًّيا‪،‬‬ ‫فميله إما موجب وإما سالب‪.‬‬ ‫مثال ‪ 4‬الميل الموجب �أو ال�سالب �أو ال�صفر‬ ‫أوجد ميل المستقيم الما ّر بكل نقطتين من النقاط الآتية‪:‬‬ ‫تنبيه !‬ ‫‪‬‬ ‫أ� ) (‪)5 ،1( ، )0 ،2-‬‬ ‫ترتيب‪  :‬ك�ن حري ًص�ا عل�ى‬ ‫عدم تبديل قيم س أو قيم ص‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫م =​ سص‪--22‬سص‪ ​     _1​ 1‬االلتتغغييررااللرأأفقسيي ​_  ‬ ‫ =  ‪(​ = )0 ،2-(     _​ )20--( 5-​1‬س​ ​‪​،1‬ص​ ​‪(​ = )5 ،1( ، )1‬س​ ​‪​، 2‬ص​ ‪)​2‬‬ ‫ ‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ =  ‪   ​  ​_53‬ب ّسط‬ ‫‪‬‬ ‫ب) (‪ )3- ،2( ، )4 ،3-‬‬ ‫ م =​ سص‪--22‬سص‪ ​     _1​ 1‬االلتتغغييرر اا_للأرأفقسيي ​_  ‬ ‫= ‪(​ = )4 ،3-(      _​)43--(3--​ 2‬س​ ​‪​،1‬ص​ ​‪(​ = )3- ،2( ، )1‬س​ ​‪​، 2‬ص​ ​‪)2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫=  ‪   ​  _75 ​- =   _​7 5​-‬ب ّسط‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫جـ) (‪)1- ،2( ، )1- ،3-‬‬ ‫‪‬‬ ‫م =​ سص‪--22‬سص‪ ​     _1​ 1‬االلتتغغييرر االلرأأفقسيي ​_  ‬ ‫ ‬ ‫ =  ‪     _)​ 1)3--((--1​2-‬ع ّوض‬ ‫ =  ‪     0 =  _​​05‬ب ّسط‬ ‫✓ تحقق من فهمك‬ ‫أوجد ميل المستقيم المار بكل نقطتين من النقاط الآتية‪:‬‬ ‫‪4‬ب) (‪ ​ )4 ،6-( ،)2 ،2-‬‬ ‫ ‪ 4‬أ� ) (‪  )2- ،0( ،)2- ،4-‬‬ ‫الدر�س ‪  :5-2‬معدل التغير والميل  ‪79‬‬

‫مثال ‪ 5‬الميل غير المع ّرف‬ ‫‪‬‬ ‫أوجد ميل المستقيم المار بالنقطتين ( ‪:)3- ، 2- ( ،) 4 ، 2-‬‬ ‫إ�ر�شاداتللدرا�سة‬ ‫‪‬‬ ‫ م =​ سص‪ --22‬سص‪ ​   _1​ 1‬ا اللتتغغييررااللأرفأقسي ​ ي_  ‬ ‫الميل الذي قيمته �صفر‬ ‫ = ‪   _ ​) 24--( 3--​2 -‬ع ّوض‬ ‫والميل غير المع ّرف‪  :‬‬ ‫ = ‪   _​70 ​-‬أو غير مع ّرف ب ّسط‬ ‫إذا كان الفرق في قيم ص‬ ‫✓ تحقق من فهمك‬ ‫صف ًرا‪ ،‬فسيكون الخط‬ ‫أفق ًّيا‪ .‬وإذا كان الفرق في‬ ‫أوجد ميل المستقيم المار بكل زوجين من النقاط الآتية‪:‬‬ ‫قيم س صف ًرا‪ ،‬فسيكون‬ ‫‪5‬ب) (‪ )1- ، 3-( ، )2 ، 3-‬‬ ‫ ‪�5‬أ) ( ‪  )7 ، 6( ، ) 3 ، 6‬‬ ‫الميل غير مع ّرف‪،‬‬ ‫وسيكون الخط رأس ًّيا‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫وفيما يلي ملخص الرسوم البيانية للمستقيمات المختلفة الميل‪:‬‬ ‫الميل غير معرف‬ ‫مفهوم �أ�سا�سي الميل‬ ‫‪‬‬ ‫الميل �صفر‬ ‫الميل �سالب‬ ‫الميل موجب‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫أحيا ًنا قد تعطى قيمة الميل ويطلب إليك إيجاد الإحداثي المجهول‪.‬‬ ‫‪ _.‬‬ ‫مثال ‪ 6‬إ�يجاد الإحداثي إ�ذا ُعلم الميل‬ ‫​ ‪ ​13‬‬ ‫يساوي‬ ‫ر)‬ ‫‪،‬‬ ‫(‪5-‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪)4‬‬ ‫‪،‬‬ ‫(‪1‬‬ ‫بالنقطتين‬ ‫المار‬ ‫التي تجعل ميل المستقيم‬ ‫أوجد قيمة (ر)‬ ‫   م  =‬ ‫الميل‬ ‫​ سص‪--22‬سص‪   _1​  1‬صيغة‬ ‫ضع (س ‪ ،‬ص ) = (‪( ، )4 ،1‬س ‪ ،‬ص ) = (‪ ،5-‬ر)‬ ‫   ​ ‪- ​ =   _​13‬ر‪   ​  _14--5‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪11‬‬ ‫   ​ ‪ ​ =   _​13‬ر‪ ​   _4 6--‬اطرح‬ ‫اضرب تبادل ًّيا‬ ‫  ‪(3‬ر ‪ )6-(1 = )4 -‬‬ ‫خاصية التوزيع‬ ‫ ‪3‬ر ‪ 6- = 12 -‬‬ ‫أضف ‪ 12‬إلى كلا الطرفين‪ ،‬وب ّسط‬ ‫     ‪3‬ر  = ‪ 6‬‬ ‫اقسم على ‪ ، 3‬وب ّسط‬ ‫     ر  = ‪ 2‬‬ ‫لذلك فإن المستقيم يمر بالنقطة ( ‪.)2 ،5-‬‬ ‫✓ تحقق من فهمك‬ ‫ ‪ )6‬أوجد قيمة (ر) التي تجعل ميل المستقيم المار بالنقطتين (‪( ،)6 ،2-‬ر ‪ )4- ،‬يساوي ‪ . 5-‬‬ ‫‪  80‬الف�صل ‪  :2‬العلاقات والدوال الخطية‬

‫أوجد مع ّدل التغير الممثل في ك ٍّل من التمثيل البياني أو الجدول فيما يأتي‪:‬‬ ‫✓ ت أ�كد‬ ‫مثال ‪1‬‬ ‫‪� ) 2‬س �ص  ‬ ‫‪​  ​   ‬‬ ‫‪ )1‬‬ ‫ ‬ ‫‪6- 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪10 7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪18 9‬‬ ‫‪26 11‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ºYÉ£ŸG ‘ äÉÑLƒdG QÉ©°SGC ∫ó©e‬‬ ‫مثال ‪ ) 3 2‬مطاعم‪  :‬استعمل الشكل المجاور في الإجابة عما يأتي‪:‬‬ ‫ ‬ ‫‪24 20 23‬‬ ‫ �أ) أوجد مع ّدل التغير في الأسعار من ‪1436‬هـ‪1438 – ‬هـ‪، ‬‬ ‫وف ِّسر معناه‪  .‬‬ ‫‪(∫ÉjQ)ô©°ùdG‬‬ ‫‪20 12‬‬ ‫‪16 9‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪19‬‬ ‫ب) دون إجراء الحسابات‪ ،‬أوجد فترة العامين التي كان مع ّدل‬ ‫ ‬ ‫‪8‬‬ ‫‪11‬‬ ‫تغيرها أكبر من معدل التغير في الفترة من ‪1436‬هـ‪1438 – ‬هـ‪،‬‬ ‫‪48‬‬ ‫‪0‬‬ ‫وف ِّسر إجابتك‪  .‬‬ ‫‪1111111444444433323328806264‬‬ ‫‪ΩÉ©dG‬‬ ‫ح ِّدد ما إذا كانت كل دالة فيما يأتي خطية أم لا‪ ،‬وف ِّسر إجابتك‪:‬‬ ‫مثال ‪3‬‬ ‫‪  24 20 16 12‬‬ ‫�س ‪8‬‬ ‫‪� )4‬س ‪) 5   5 2 1- 4- 7-‬‬ ‫‪2- 0 3 5‬‬ ‫�ص ‪7‬‬ ‫�ص ‪1 2 3 4 5‬‬ ‫المثالان ‪ 5 ، 4‬أوجد ميل المستقيم المار بكل نقطتين من النقاط الآتية‪:‬‬ ‫‪ )4 ،3-( ،)7 ،3-( ) 7‬‬ ‫‪  )1 ،2-( ،)3 ،4-( ) 6‬‬ ‫ ‬ ‫أوجد قيمة (ر) التي تجعل ميل المستقيم المار بكل نقطتين من النقاط الآتية كما هو ُمعطى‪:‬‬ ‫مثال ‪6‬‬ ‫‪ ،7-( ،)2 ،5( ) 9‬ر)‪ ،‬م =​ ‪   ​_56‬‬ ‫‪ ،4-( )8‬ر)‪ ،)3 ،8-( ،‬م = ‪  5-‬‬ ‫ ‬ ‫تدرب وحل الم�سائل‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫أوجد مع ّدل التغير لكل من الدالتين الممثلتين بالجدولين الآتيين‪:‬‬ ‫مثال ‪1‬‬ ‫مثال ‪2‬‬ ‫ ‬ ‫‪� ) 11‬س ‪  4 3 2 1‬‬ ‫‪� ) 10‬س ‪ ​ ​   20 15 10 5‬‬ ‫مثال ‪3‬‬ ‫�ص ‪3- 3 9 15‬‬ ‫�ص ‪5 4 3 2‬‬ ‫عدد �سكان‬ ‫ال�سنة‬ ‫‪� ) 12‬سكان‪  :‬أوجد المع ّدل السنوي للتغير في عدد سكان المملكة‬ ‫المملكة العربية ال�سعودية‬ ‫العربية السعودية من عام ‪1431‬هـ إلى ‪1438‬هـ؟ وف ِّسر معناه‪  .‬‬ ‫‪27136977‬‬ ‫‪1431‬هـ‬ ‫‪32552336‬‬ ‫‪1438‬هـ‬ ‫الم�صدر‪ :‬الهيئة العامة ل إلح�صاء‬ ‫ح ِّدد ما إذا كانت كل دالة فيما يأتي خطية أم لا‪ ،‬وف ِّسر إجابتك‪:‬‬ ‫‪� ) 14‬س ‪  0.6 0.4 0.2 0 0.2-‬‬ ‫‪� ) 13‬س ‪ 0 1- 3- 5- 7-‬‬ ‫�ص ‪0.6 0.3 0.1 0.4 0.7‬‬ ‫�ص ‪23 20 17 14 11‬‬ ‫الدر�س ‪  :5-2‬معدل التغير والميل  ‪81‬‬

‫أوجد ميل المستقيم المار بكل نقطتين من النقاط الآتية‪:‬‬ ‫المثالان ‪5 ، 4‬‬ ‫مثال ‪6‬‬ ‫‪ )14 ،6( ،)10- ،6( ) 17‬‬ ‫‪  )2- ،2-( ،)2 ،2( ) 16‬‬ ‫‪ ​   )1 ،1( ،)2- ،8( ) 15‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫أوجد قيمة (ر) التي تجعل ميل المستقيم المار بكل نقطتين من النقاط الآتية كما هو ُمعطى‪:‬‬ ‫‪( )19‬ر‪ ،)13 ،3( ،)5- ،‬م = ‪​ ​  8‬‬ ‫‪ ،2-( ،)10 ،12( ) 18‬ر)‪ ،‬م = ‪4 -‬‬ ‫‪ ) 20‬مع ّدل نمو ال�شعر‪  :‬طول شعر فاطمة ‪ 25‬سنتمت ًرا‪ .‬وفي غضون ثلاثة أشهر نما شعرها ثلاثة سنتمترات‬ ‫ ‬ ‫أخرى‪ .‬أجب عما يأتي مفتر ًضا أن شعرها ينمو بالمعدل نفسه‪  :‬‬ ‫الزمن (�شهر) ‪6 3 0‬‬ ‫ أ�) أكمل الجدول المجاور‪.‬‬ ‫ب) م ِّثل العلاقة بين نمو شعر فاطمة والزمن بالأشهر بيان ًّيا‪ .‬طول �شعر فاطمة (�سم)‬ ‫ ‬ ‫جـ) ما ميل المستقيم الذي يمثل العلاقة بين نمو الشعر والزمن؟ وماذا يمثل؟  ‬ ‫ ‬ ‫م�سائل مهارات التفكير العليا‬ ‫‪ ) 21‬تبرير‪  :‬لماذا لا تستعمل معادلة الميل في المستقيمات الرأسية؟ ف ِّسر ذلك‪  .‬‬ ‫ ‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ) 22‬تح ّد‪  :‬إذا كنت ترتفع ‪ 5‬أقدام لكل ‪ 13‬قد ًما تتحركها إلى الأمام‬ ‫سيارات الدفع الرباعي‬ ‫ بتنتمظيازم‬ ‫حركي يوفر لها الأمان‬ ‫عند قيادة سيارتك في طريق جبلي‪ ،‬فما ميل الطريق؟  ​ ​‬ ‫وسهولة الحركة على الطرق‬ ‫‪‬‬ ‫المار‬ ‫الجتـي‪،‬تدج)عيلساميولي​ا ل‪ ​_21‬م ‪.‬ست قيم‬ ‫د‬ ‫تح ّد‪  :‬أوجد قيمة‬ ‫‪) 23‬‬ ‫(‬ ‫ الرملية والجبلية والوعرة‪.‬‬ ‫بالنقطتين ( أ ‪ ،‬ب)‪،‬‬ ‫‪ ) 24‬اكتب‪  :‬ب ِّين العلاقة بين مع ّدل التغير والميل‪ ،‬وكيف يمكن إيجاد ميل مستقيم‪.‬‬ ‫ ‬ ‫تدريب على اختبار‬ ‫ ‪ )26‬احتمال‪ :‬ما احتمال ظهور العدد ‪ 5‬عند إلقاء مكعب‬ ‫ ‪ )25‬اشترت روان حاسو ًبا بقيمة ‪ 4000‬ريال‪ ،‬فإذا علمت أن‬ ‫أرقام‪ )6-1( ‬مرة واحدة؟  ‬ ‫سعره ينخفض بصورة ثابتة‪ ،‬وكانت قيمته بعد سنتين ‪2500‬‬ ‫​ ‪ ​ _1‬‬ ‫ب) ‬ ‫  جـ�أ )) ​​  ‪        ​​__615‬‬ ‫ريال‪ ،‬فما مقدار الانخفاض السنوي في سعره؟  ‬ ‫​ ‪  ​_15‬‬ ‫د) ‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ب ) ‪ 750‬ريالاً ‪.‬‬ ‫  �أ) ‪ 1500‬ريال‪  .‬‬ ‫د ) ‪1250‬ريال‬ ‫ جـ) ‪ 2500‬ريال‪  .‬‬ ‫مراجعة تراكمية‬ ‫‪12 = 0 ) 29‬س ‪  48 -‬‬ ‫‪8 ) 28‬س ‪   0 = 32 -‬‬ ‫ُح َّل ك َّل معادلة فيما يأتي بيان ًّيا‪  :‬الدر�س(‪)4-2‬‬ ‫‪ )2-( - 8- ) 34‬‬ ‫‪   3- 3- ) 33‬‬ ‫ ‪3 ) 27‬س ‪   0 = 18 +‬‬ ‫ ‪ُ ) 30‬ح َّل المعادلة | س‪  . 8 = | 3 -‬الدر�س(‪)5-1‬‬ ‫ا�ستعد للدر�س اللاحق‬ ‫مهارة �سابقة‪:‬‬ ‫أوجد ناتج الطرح في كل مما يأتي‪:‬‬ ‫‪   16 - 4 ) 32‬‬ ‫ ‪  )1-( - 13 ) 31‬‬ ‫‪  82‬الف�صل ‪  :2‬العلاقات والدوال الخطية‬