زوايا المضلع 1

‫رابط الدر �س الرقمي‬ ‫زوايا الم�ضلع‬ ‫‪5 - 1‬‬ ‫‪www.ien.edu.sa‬‬ ‫‪Angles of Polygon‬‬ ‫فيما �سبق‪:‬‬ ‫لماذا؟‬ ‫در�س ُت أ��سماء الم�ضلعات‬ ‫و(تم�هصانريةفه�اس‪.‬ابقة)‬ ‫تنتج عاملات النحل اليافعة شم ًعا تش ِّكله بعناية نحلات أخريات‬ ‫على صورة خلايا سداس ّية‪ .‬ومع أ ّن ُس ْم َك جدران الخلايا ‪،0.1 mm‬‬ ‫وا آلن‪:‬‬ ‫إ ّل أ ّنها تتح ّمل ثق ًل يعادل ‪ 25‬مثل وزنها‪ .‬وتش ِّكل جدران الخلايا‬ ‫ أ� ِج ُد مجموع قيا�سات‬ ‫الزاوية نفسها عند كل التقاء‪ .‬وقياس هذه الزاوية يساوي قياس‬ ‫الزوايا الداخل ّية‬ ‫الزاوية الداخلية للسداسي المنتظم‪.‬‬ ‫لم�ضلع‪ ،‬و�أ�ستعمله‪.‬‬ ‫ أ� ِج ُد مجموع قيا�سات‬ ‫مجموع قيا�سات الزوايا الداخل ّية لم�ضلع‪  :‬‬ ‫الزوايا الخارج ّية‬ ‫قطر المضلع هو قطعة مستقيمة تصل بين أي رأسين غير متتاليين فيه‪ .‬رأسا المضلع‬ ‫لم�ضلع‪ ،‬و أ��ستعمله‪.‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫هما‪ R, S :‬؛‬ ‫‪ PQRST‬غير التاليين للرأس ‪P‬؛‬ ‫‪T‬‬ ‫‪R‬‬ ‫___‬ ‫___‬ ‫من الرأس ‪P‬؛‬ ‫لذا فالمضلع ‪ PQRST‬له قطران‬ ‫المفردات‪:‬‬ ‫‪.​PR  ​,‬‬ ‫هما‪P​ S ​:‬‬ ‫القطر‬ ‫لاحظ أن هذين القطرين يقسمان الشكل الخماسي إلى ثلاثة‬ ‫‪diagonal‬‬ ‫مثلثات‪S .‬‬ ‫مجموع قياسات زوايا المضلع يساوي مجموع قياسات زوايا المثلثات التي تتش ّكل عند رسم جميع الأقطار‬ ‫الممكنة من أحد الرؤوس‪.‬‬ ‫‪            ‬‬ ‫مراجعة المفردات‬ ‫بما أن مجموع قياسات زوايا المثلث ˚‪ ،180‬فإ ّنه يمكننا إنشاء جدول والبحث عن نمط لإيجاد مجموع قياسات‬ ‫الم�ضلع  ‪  :‬‬ ‫زوايا أي مضلع مح ّدب‪.‬‬ ‫هو �شكل مغلق‪ ،‬يتك ّون‬ ‫من ثلاث قطع م�ستقيمة‬ ‫مجموع قيا�سات الزوايا الداخلية‬ ‫عدد المثلثات‬ ‫عدد الأ�ضلاع‬ ‫الم�ضلع‬ ‫أ�و �أكثر‪ ،‬تلتقي كل‬ ‫˚‪180˚ (1) = 180‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫مثلث‬ ‫قطعة بطرفي قطعتين‬ ‫˚‪180˚ (2) = 360‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫رباعي‬ ‫�أخريين من الم�ضلع‪ ،‬ولا‬ ‫˚‪180˚ (3) = 540‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫خماسي‬ ‫تقع أ�ي قطعتين منها‬ ‫˚‪180˚ (4) = 720‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫سداسي‬ ‫‪n-2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ذو ‪ n‬من الأضلاع‬ ‫على ا�ستقامة واحدة‪،‬‬ ‫)‪180˚ (n - 2‬‬ ‫وتكون ر ؤ�و�س الم�ضلع‬ ‫وهذا يقودنا إلى النظرية الآتية‪:‬‬ ‫هي �أطراف القطع‬ ‫الم�ستقيمة فيه‪.‬‬ ‫نظرية ‪ 5.1‬مجموع قيا�سات الزوايا الداخلية للم�ضلع‬ ‫أ��ضف �إلى‬ ‫‪BC‬‬ ‫مجموع قيا�سات الزوايا الداخلية لم�ضلع مح ّدب‬ ‫مراجعة المفردات‬ ‫عدد أ��ضلاعه ‪ n‬ي�ساوي ˚‪.S = (n - 2) ⋅ 180‬‬ ‫الزاوية الداخلية  ‪  :‬‬ ‫‪A‬‬ ‫مثال‪  :‬‬ ‫هي الزاوية المح�صورة‬ ‫بين �ضلعين متجاورين‬ ‫ ˚‪D m∠A + m∠B + m∠C + m∠D + m∠E = (5 - 2) ⋅ 180‬‬ ‫في م�ضلع وتقع داخله‪.‬‬ ‫‪E‬‬ ‫˚‪= 540‬‬ ‫ ‬ ‫‪n=5‬‬ ‫�ستبرهن نظرية ‪ 5.1‬في ال�س�ؤال ‪38‬‬ ‫‪  140‬الف�صل ‪  5‬ا أل�شكال الرباعية‬

‫يمكنك استعمال النظرية ‪ 5.1‬لإيجاد مجموع قياسات الزوايا الداخل ّية للمضلع والقياسات المجهولة لزواياه‪.‬‬ ‫مثال ‪� 1‬إيجاد مجموع قيا�سات الزوايا الداخل ّية لم�ضلع‬ ‫مراجعة المفردات‬ ‫‪ )a‬أوجد مجموع قياسات الزوايا الداخل ّية للسباعي المح ّدب‪.‬‬ ‫الم�ضلع المح ّدب‪   :‬‬ ‫م�ضلع يكون قيا�س �أ ّي‬ ‫ السباعي المحدب له سبعة أضلاع‪ .‬استعمل النظرية‪ 5.1‬؛ لإيجاد مجموع قياسات زواياه الداخل ّية‪.‬‬ ‫من زواياه الداخلية �أقل‬ ‫من ˚‪ ،180‬ولا يقطع‬ ‫‪n=7‬‬ ‫ ˚‪ (n - 2) ⋅ 180˚ = (7 - 2) ⋅ 180‬‬ ‫امتداد �أي �ضلع فيه �أي‬ ‫�ضلع �آخر من أ��ضلاع‬ ‫بالتب�سيط‬ ‫ ˚‪ = 5 ⋅ 18 0˚ = 900‬‬ ‫الم�ضلع‪.‬‬ ‫ إذن فمجموع قياسات الزوايا الداخل ّية للسباعي المح ّدب يساوي ‪.900°‬‬ ‫‪145° 140°‬‬ ‫‪87°‬‬ ‫  ارسم سباع ًّيا مح ّد ًبا‪ ،‬واستعمل المنقلة لقياس‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪128°‬‬ ‫كل زاوية داخل ّية مقر ًبا إلى أقرب درجة‪ ،‬ثم أوجد‬ ‫‪130°‬‬ ‫‪134°‬‬ ‫مجموع هذه القياسات‪.‬‬ ‫‪136°‬‬ ‫✓ ˚‪128˚+145˚+140˚+87˚+134˚+136˚+130˚ = 900‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ ) b‬جبر‪  :‬أوجد قياسات جميع الزوايا الداخلية للرباعي المجاور‪B .‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫الخطو  ة ‪ : 1‬أوجد قيمة )‪.(x‬‬ ‫إ�ر�شادات للدرا�سة‬ ‫‪x‬‬ ‫‪D‬‬ ‫بما أن للشكل الرباعي ‪ 4‬زوايا‪ ،‬فإن مجموع‬ ‫الم�ضلع  ‪  :‬‬ ‫عند ذكر كلمة م�ضلع في‬ ‫قياسات زواياه الداخل ّية يساوي ‪C‬‬ ‫˚‪.(4 – 2) ⋅ 180˚ = 360‬‬ ‫هذا الف�صل ف�إننا نعني‬ ‫الم�ضلع المح ّدب‪.‬‬ ‫مجموع قيا�سات الزوايا الداخل ّية‬ ‫‪3 60˚ = m∠A + m∠B + m∠C + m∠D‬‬ ‫ ‬ ‫بالتعوي�ض‬ ‫ ‬ ‫‪ 360˚ = 3x + 90˚ + 90˚ + x‬‬ ‫ ‬ ‫˚‪ 360˚ = 4x + 180‬بتجميع الحدود المت�شابهة‬ ‫ ‬ ‫‪ 1 80˚ = 4x‬بطرح ˚‪ 180‬من كلا الطرفين‬ ‫ ‬ ‫بق�سمة كلا الطرفين على ‪4‬‬ ‫‪ 45˚ = x‬‬ ‫ ‬ ‫الخطوة ‪ : 2‬استعمل قيمة ‪ x‬لإيجاد قياس كل زاوية‪.‬‬ ‫‪m∠A = 3x‬‬ ‫˚‪m∠B = 90‬‬ ‫‪m∠D = x‬‬ ‫˚‪= 3(45˚) m∠C = 90‬‬ ‫˚‪= 45‬‬ ‫˚‪= 135‬‬ ‫ ‬ ‫ اكتب قياسات الزوايا الداخلية للرباعي‪ ،‬ثم أوجد مجموع هذه القياسات‪.‬‬ ‫  ‬ ‫‪90°, 90°, 45°, 135°‬‬ ‫✓ ‪90° + 90° + 45°+ 135° =360°‬‬ ‫‪H 2x°‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪2x° K‬‬ ‫ ✓  تحقق من فهمك‬ ‫‪142°‬‬ ‫ ‪ )1A‬أوجد مجموع قياسات الزوايا الداخل ّية‬ ‫للثماني المح ّدب‪  .‬‬ ‫‪(3x + 14)° M‬‬ ‫‪L (3x + 14)°‬‬ ‫ ‪ ) 1B‬أوجد قياسات جميع الزوايا الداخلية‬ ‫للخماسي المجاور‪.‬‬ ‫الدر�س ‪141  ������������  5-1‬‬

‫تذ ّكر أن جميع الزوايا الداخل ّية للمضلع المنتظم متطابقة‪ .‬ويمكنك استعمال هذه الحقيقة ونظرية مجموع قياسات‬ ‫مراجعة المفردات‬ ‫الزوايا الداخل ّية للمضلع لإيجاد قياس الزواية الداخلية لأي مضلع منتظم‪.‬‬ ‫الم�ضلع المنتظم‪   :‬‬ ‫مثال ‪  2‬من واقع الحياة قيا�س الزاوية الداخل ّية لم�ضلع منتظم‬ ‫هو م�ضلع مح ّدب جميع‬ ‫مظلة‪  :‬في المنظر العلوي للمظلة المجاورة‪ ،‬تش ّكل الأعمدة رؤوس مضلع‬ ‫�أ�ضلاعه متطابقة‪،‬‬ ‫وجميع زواياه متطابقة‪.‬‬ ‫سداسي منتظم‪ .‬أوجد قياس الزاوية التي تتشكل عند أي من أركان المظلة‪.‬‬ ‫المعطيات‪ :‬منظر علوي لمظلة سداسية منتظمة الشكل‪.‬‬ ‫ افهم ‪:‬‬ ‫المطلوب‪ :‬إيجاد قياس الزاوية التي تتشكل عند أي ركن من‬ ‫ ‬ ‫أركان المظلة‪.‬‬ ‫ ارسم شك ًل يم ِّثل المنظر العلوي للمظلة‪.‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫ ‬ ‫ الزاوية التي تتش ّكل عند أي من أركان المظلة هي زاوية داخل ّية لسداسي منتظم‪.‬‬ ‫ ‬ ‫خطط ‪ :‬استعمل نظرية مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع لإيجاد مجموع قياسات الزوايا‬ ‫الداخل ّية للسداسي‪ .‬وبما أن الزوايا الداخلية للسداسي المنتظم متطابقة‪ ،‬فإن قياس كل زاوية‬ ‫داخلية يساوي ناتج قسمة المجموع على عدد الزوايا‪.‬‬ ‫حل ‪  :‬أو ًل‪ :‬أوجد مجموع قياسات الزوايا الداخل ّية‪.‬‬ ‫ ‬ ‫�صيغة مجموع قيا�سات الزوايا الداخلية‬ ‫˚‪ S = (n - 2) ⋅ 180‬‬ ‫ ‬ ‫‪n=6‬‬ ‫˚‪ = (6 - 2) ⋅ 180‬‬ ‫ ‬ ‫بالتب�سيط‬ ‫˚‪ = 4 ⋅ 180˚ = 720‬‬ ‫ ‬ ‫  ثان ًيا‪ :‬أوجد قياس كل زاوية داخل ّية‪.‬‬ ‫   ‪​ =  ​7_260°‬مجمو  ع عقيد _اد اس لازوت اايلا زالوا د_ياا اخلليدا ةخلية​  _ ​ بالتعوي�ض‬ ‫بالق�سمة‬ ‫ ˚‪ = 1 20‬‬ ‫ إذن قياس الزاوية المتك ِّونة عند كل ركن يساوي ‪.120°‬‬ ‫‪120° 120°‬‬ ‫تحقق ‪ :‬للتحقق من أ ّن هذا القياس صحيح‪ ،‬استعمل المسطرة والمنقلة‬ ‫ ‬ ‫‪120°‬‬ ‫لرسم سداسي منتظم قياس زاويته الداخل ّية ‪.120°‬‬ ‫‪120°‬‬ ‫سيرتبط الضلع الأخير بنقطة البداية لأول قطعة مستقيمة ُرسمت‪✓ .‬‬ ‫✓   تحقق من فهمك‬ ‫ ‪� ) 2A‬سجاد‪  :‬أوجد قياس الزاوية الداخلية لسجادة على شكل ثماني منتظم‪  .‬‬ ‫ ‪ ) 2B‬نوافير‪  :‬تز ِّين النوافير الأماكن العامة‪ ،‬ويقام بعضها على شكل مضلعات منتظمة‪ .‬أوجد قياس الزاوية‬ ‫الداخلية لنافورة على شكل تساعي منتظم‪.‬‬ ‫‪  142‬الف�صل ‪  5‬الأ�شكال الرباعية‬

‫يمكنك أي ًضا استعمال نظرية مجموع قياسات الزوايا الداخلية لمضلع لإيجاد عدد أضلاع مضلع منتظم إذا ُعلم‬ ‫قياس زاوية داخلية له‪.‬‬ ‫مثال ‪ 3‬إ�يجاد عدد الأ�ضلاع �إذا ُعلم قيا�س زاوية داخل ّية‬ ‫إذا كان قياس الزاوية الداخل ّية لمضلع منتظم يساوي ‪ ،135°‬فأوجد عدد أضلاعه ‪.‬‬ ‫افترض أن عدد أضلاع المضلع يساوي ‪ .n‬وبذلك يكون مجموع قياسات زواياه الداخل ّية ‪ 135n‬؛ لأن جميع‬ ‫الزوايا الداخل ّية للمضلع المنتظم متطابقة‪ .‬وبنا ًء على نظرية مجموع قياسات الزوايا الداخل ّية يمكن التعبير‬ ‫أي ًضا عن مجموع قياسات الزوايا الداخل ّية بالعبارة ‪. S = (n - 2) ⋅ 180‬‬ ‫كتابة معادلة‬ ‫ ‪1 35°n = (n - 2) ⋅ 180°‬‬ ‫خا�صية التوزيع‬ ‫بطرح ‪ 180n‬من كلا الطرفين‬ ‫ ‪ 135°n = 180°n - 360°‬‬ ‫بق�سمة كلا الطرفين على ‪-45‬‬ ‫‪ -45°n = -360°‬‬ ‫ ‬ ‫‪n = 8‬‬ ‫ ‬ ‫إذن للمضلع ‪ 8‬أضلاع‪.‬‬ ‫✓   تحقق من فهمك‬ ‫مراجعة المفردات‬ ‫ ‪ )3‬إذا كان قياس الزاوية الداخل ّية لمضلع منتظم يساوي ˚‪ ،144‬فأوجد عدد أضلاعه‪  .‬‬ ‫الزاوية الخارج ّية  ‪  :‬‬ ‫الزاوية الخارجية‬ ‫مجموع قيا�سات الزوايا الخارج ّية للم�ضلع‪  :‬هل توجد علاقة بين عدد أضلاع مضلع مح ّدب ومجموع‬ ‫لم�ضلع محدب هي‬ ‫قياسات زواياه الخارجية؟ انظر المضلعات أدناه التي ُأعطي في كل منها قياس زاوية خارجية عند كل رأس‪.‬‬ ‫زاوية مح�صورة بين‬ ‫�أحد أ��ضلاعه وامتداد‬ ‫‪105° 40°‬‬ ‫‪120°‬‬ ‫�ضلع‪  ‬آ�خر‪.‬‬ ‫‪105°‬‬ ‫‪140°‬‬ ‫‪110°‬‬ ‫˚‪x‬‬ ‫‪105° + 110° + 105° + 40°= 360°‬‬ ‫‪65°‬‬ ‫‪ 100°‬‬ ‫‪111°‬‬ ‫‪120° + 100° + 140° = 360°‬‬ ‫‪98° 50°‬‬ ‫‪36°‬‬ ‫‪65° + 98° + 36° + 50° + 111°= 360°‬‬ ‫لاحظ أ ّن مجموع قياسات الزوايا الخارج ّية بأخذ زاوية واحدة عند كل رأس في كل حالة يساوي ˚‪ .360‬وتقودنا‬ ‫إ�ر�شادات للدرا�سة‬ ‫هذه الملاحظة إلى النظرية الآتية ‪:‬‬ ‫قيا�س الزاوية‬ ‫�أ�ضف إ�لى‬ ‫مجموع قيا�سات الزوايا الخارجية للم�ضلع‬ ‫نظرية ‪5.2‬‬ ‫الخارج  ية‪  :‬‬ ‫قيا�س الزاوية الخارجية‬ ‫‪1‬‬ ‫مجموع قيا�سات الزوايا الخارج ّية للم�ضلع المح ّدب‬ ‫لم�ضلع منتظم عدد‬ ‫‪6‬‬ ‫ب�أخذ زاوية واحدة عند كل ر أ��س ي�ساوي ‪.360°‬‬ ‫�أ�ضلاعه ‪ n‬ي�ساوي‬ ‫  ​‪_​ 36n0  °‬‬ ‫‪52‬‬ ‫مثال‪  :‬‬ ‫˚‪m∠1 + m∠2 + m∠3 + m∠4 + m∠5 + m∠6 = 360‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫�ستبرهن نظرية ‪ 5.2‬في ال�س�ؤال ‪39‬‬ ‫الدر�س ‪143  ������������  5-1‬‬

‫مثال ‪ 4‬إ�يجاد قيا�سات الزوايا الخارج ّية للم�ضلع‬ ‫‪(2x - 5)°‬‬ ‫‪ )a‬جبر‪  :‬أوجد قيمة ‪ x‬في الشكل المجاور‪.‬‬ ‫‪(3x + 10)°‬‬ ‫ استعمل نظرية مجموع قياسات الزوايا الخارج ّية للمضلع لكتابة ‪5x°‬‬ ‫‪(6x - 5)°‬‬ ‫معادلة‪ ،‬ث ّم ُح ّلها لإيجاد قيمة ‪2x° .x‬‬ ‫ ‪(2x - 5)° + 5x° + 2x° + (6x - 5)° + (3x + 10)° = 360 °‬‬ ‫ ‪(2x + 5x + 2x + 6x + 3x)° + [-5 + (-5) + 10]° = 360°‬‬ ‫ ‪18x° = 360°‬‬ ‫ ‪x° =_​3 1680 °​  = 20‬‬ ‫‪ ) b‬أوجد قياس الزاوية الخارج ّية للتساعي المنتظم‪.‬‬ ‫�إر�شادات للدرا�سة‬ ‫ تتطابق الأضلاع والزوايا الداخلية في التساعي المنتظم وتكون الزوايا الخارجية متطابقة لأن المكملات‬ ‫طريقة بديلة‪   :‬‬ ‫لإيجاد قيا�س زاوية‬ ‫للزوايا المتطابقة تكون متطابقة أي ًضا‪.‬‬ ‫افترض أن قياس كل زاوية خارج ّية يساوي ‪ ، x‬ثم اكتب معادلة وح ّلها‪.‬‬ ‫خارج ّية لم�ضلع‬ ‫منتظم يمكنك �إيجاد‬ ‫نظرية مجموع قيا�سات الزوايا الخارجية للم�ضلع‬ ‫ ‪ 9x = 360°‬‬ ‫قيا�س زاوية داخل ّية‬ ‫بق�سمة كلا الطرفين على ‪9‬‬ ‫ ‪x = 40°‬‬ ‫وطرح هذا القيا�س من‬ ‫‪6x°‬‬ ‫ إذن قياس كل زاوية خارج ّية للمضلع التساعي المنتظم يساوي ‪.40°‬‬ ‫˚‪180‬؛ أل ّن الزاوية‬ ‫‪9x°‬‬ ‫الخارج ّية والزاوية‬ ‫✓   تحقق من فهمك‬ ‫الداخل ّية المرتبطة بها‬ ‫ ‪ ) 4A‬أوجد قيمة ‪ x‬في الشكل المجاور‪  .‬‬ ‫متكاملتان‪.‬‬ ‫‪139°‬‬ ‫ ‪ )4B‬أوجد قياس الزاوية الخارج ّية لمضلع منتظم ذي ‪ 12‬ضل ًعا‪  .‬‬ ‫‪2x°‬‬ ‫✓ ت�أكــــد‬ ‫أوجد مجموع قياسات الزوايا الداخل ّية لكل من المضلعين المحدبين الآتيين‪:‬‬ ‫المثال ‪1‬‬ ‫‪ ) 2‬الخماسي  ‬ ‫‪ )1‬العشاري   ‬ ‫ ‬ ‫أوجد قياسات جميع الزوايا الداخلية لكل من المضلعين الآتيين‪:‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B (x - 8)°‬‬ ‫‪  )4‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪  )3‬‬ ‫ ‬ ‫‪(x + 2)°‬‬ ‫‪x°‬‬ ‫‪2x°‬‬ ‫‪(x + 7)°‬‬ ‫‪F (x - 4)°‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪3x° 4x° Z‬‬ ‫‪(x + 6)°‬‬ ‫‪W‬‬ ‫‪(x - 3)°‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ ) 5‬عجلة دوارة‪  :‬العجلة الد ّوارة في الصورة المجاورة‬ ‫المثال ‪2‬‬ ‫ ‬ ‫على شكل مضلع منتظم عدد أضلاعه ‪ 15‬ضل ًعا‪.‬‬ ‫ أوجد قياس الزاوية الداخل ّية له‪  .‬‬ ‫إذا كان قياس إحدى الزوايا الداخلية لمضلع منتظم معطى‪،‬‬ ‫المثال ‪3‬‬ ‫فأوجد عدد الأضلاع في كل مما يأتي‪:‬‬ ‫‪  170˚ )7‬‬ ‫‪   150˚ ) 6‬‬ ‫ ‬ ‫‪  144‬الف�صل ‪  5‬ا أل�شكال الرباعية‬

‫أوجد قيمة ‪ x‬في ك ٍّل من الشكلين الآتيين ‪:‬‬ ‫المثال ‪4‬‬ ‫ ‬ ‫‪(x + 10)°‬‬ ‫‪ )9‬‬ ‫‪  2x°‬‬ ‫‪) 8‬‬ ‫ ‬ ‫‪2x°‬‬ ‫‪79°‬‬ ‫‪52°‬‬ ‫‪(x - 1)°‬‬ ‫‪(x + 2)°‬‬ ‫‪88°‬‬ ‫‪(x + 10)°‬‬ ‫أوجد قياس الزاوية الخارج ّية لكل من المضلعين المنتظمين الآتيين‪:‬‬ ‫‪ُ ) 11‬ثماني  ‬ ‫‪ )10‬رباعي   ‬ ‫ ‬ ‫تدرب وحل الم�سائل‬ ‫أوجد مجموع قياسات الزوايا الداخل ّية لكل من المضلعات المحدبة الآتية‪:‬‬ ‫المثال ‪1‬‬ ‫‪ ) 15‬ذو ‪ 32‬ضل ًعا  ‬ ‫‪ ) 14‬ذو ‪ 29‬ضل ًعا   ‬ ‫‪ ) 13‬ذو ‪ 20‬ضل ًعا   ‬ ‫‪ ) 12‬ذو ‪ 12‬ضل ًعا   ‬ ‫ ‬ ‫أوجد قياسات جميع الزوايا الداخلية لكل من المضلعات الآتية‪:‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪ )17‬‬ ‫‪ Q‬‬ ‫‪) 16‬‬ ‫ ‬ ‫‪J‬‬ ‫ ‬ ‫‪(3x - 6)°‬‬ ‫‪(2x - 8)°‬‬ ‫‪(2x + 5)°‬‬ ‫ ‬ ‫‪R x° (2x + 7)° x° T‬‬ ‫‪(x + 10)°‬‬ ‫‪x°‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪- 10)°‬‬ ‫‪ )19‬‬ ‫‪ )18‬‬ ‫‪(2x‬‬ ‫‪W‬‬ ‫‪AE‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪32)°‬‬ ‫‪(2x -6)°‬‬ ‫‪(2x + 10)°‬‬ ‫‪x° D‬‬ ‫‪(2x - 20)°‬‬ ‫‪Z x° Y‬‬ ‫‪(2x - 20)°‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪ ) 20‬ما مجموع قياسات الزوايا الداخل ّية للمضلع‬ ‫في الشكل المجاور؟‬ ‫المثال ‪ 2‬أوجد قياس زاوية داخل ّية لكل من المضلعات المنتظمة الآتية‪:‬‬ ‫‪ )24‬ال ُّتساعي  ‬ ‫‪ )23‬العشاري   ‬ ‫‪ ) 22‬الخماسي  ‬ ‫‪ )21‬ذو‪ 12‬ضلع ًا  ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫إذا كان قياس إحدى الزوايا الداخلية لمضلع منتظم معطى‪ ،‬فأوجد عدد الأضلاع في كل مما يأتي‪:‬‬ ‫المثال ‪3‬‬ ‫ ‬ ‫‪  156˚ )28‬‬ ‫‪   120˚ )27‬‬ ‫‪  90˚ )26‬‬ ‫‪   60˚ )25‬‬ ‫أوجد قيمة ‪ x‬في كل من الشكلين الآتيين‪:‬‬ ‫المثال ‪4‬‬ ‫ ‬ ‫‪2x° ) 30‬‬ ‫  ‬ ‫‪) 29‬‬ ‫‪x°‬‬ ‫‪(x + 10)°‬‬ ‫‪(x - 11)°‬‬ ‫‪(x + 10)°‬‬ ‫‪(x - 1)°‬‬ ‫‪(x + 18)°‬‬ ‫‪31°‬‬ ‫‪3x°‬‬ ‫‪(2x - 42)°‬‬ ‫الدر�س ‪145  ������������  5-1‬‬

‫أوجد قياس زاوية خارج ّية لكل من المضلعات المنتظمة الآتية‪:‬‬ ‫‪ ) 34‬ذو ‪ 15‬ضل ًعا  ‬ ‫‪ )33‬السداسي  ‬ ‫‪ ) 32‬الخماسي   ‬ ‫‪ ) 31‬العشاري  ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪ ) 35‬ت�صوير‪  :‬تش ّكل الفتحة التي ينفذ منها الضوء إلى عدسة‬ ‫ ‬ ‫آلة التصوير في الشكل المجاور مضل ًعا منتظ ًما ذا ‪ 14‬ضل ًعا‪.‬‬ ‫ ‬ ‫‪ )a‬أوجد قياس الزاوية الداخلية مق ّربة إلى أقرب عُشر‪  .‬‬ ‫‪ )b‬أوجد قياس الزاوية الخارجية مقرّبة إلى أقرب ُعشر‪  .‬‬ ‫أوجد قياس زاوية خارجية وزاوية داخلية للمضلع المنتظم المعطى عدد أضلاعه في كل مما يأتي‪ ،‬وق ّرب إجابتك‬ ‫�أمبوحمكادمبلن��ششججااععب‪6‬ن ‪�3‬أ‪�2‬س‪-‬لم‪8‬ب‪1‬ن‪ 3‬هـ‬ ‫إلى أقرب ُعشر‪:‬‬ ‫مهند��س وعال�م بالح�س�اب‪،‬‬ ‫ع�رف با�س�م » أ�ب�ي كام�ل‬ ‫�رن‬ ‫ االلثاحال�سث� البه«‪،‬جورعاي�‪ �،‬لشهف �ر�يسااللةق‬ ‫‪  13 ) 37‬‬ ‫‪   7 ) 36‬‬ ‫في‬ ‫‪ ) 38‬أثبت أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع الثماني يساوي ‪ ،1080°‬دون استعمال صيغة مجموع‬ ‫ »الم�ضلع ذي الزوايا الخم��س‬ ‫الزوايا الداخلية للمضلع‪  .‬‬ ‫وذي الزوايا الع�شر«‪.‬‬ ‫‪ ) 39‬برهان‪  :‬استعمل الجبر لإثبات نظرية مجموع قياسات الزوايا الخارج ّية للمضلع‪  .‬‬ ‫ ‬ ‫جبر‪  :‬أوجد قياسات جميع الزوايا الداخلية لكل من المضلعين الآتيين ‪:‬‬ ‫ ‬ ‫‪ )40‬عشاري قياسات زواياه الداخل ّية‪:‬‬ ‫‪(x + 5)°, (x + 10)°, (x + 20)°, (x + 30)°, (x + 35)°, (x + 40)°, (x + 60)°, (x + 70)°, (x + 80)°, (x + 90)°‬‬ ‫‪ )41‬الخماسي ‪ ABCDE‬الذي قياسات زواياه الداخل ّية‪  6x °, (4x + 13)°, (x + 9)°, (2x − 8)°, (4x − 1)° :‬‬ ‫ ‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ ) 42‬تمثيلات متع ّددة‪  :‬سوف تستقصي في هذه المسألة العلاقات بين الزوايا‬ ‫ ‬ ‫‪C‬‬ ‫ ‬ ‫والأضلاع في متوازي أضلاع‪  .‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ ‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ ) a‬هند�س ًّيا‪  :‬ارسم زوجين من المستقيمات المتوازية تتقاطع كما في الشكل‬ ‫ ‬ ‫المجاور‪ ،‬وس ِّم الشكل الرباعي الناتج ‪ .ABCD‬ثم ك ّرر هذه الخطوات‬ ‫ ‬ ‫لتكوين شكلين آخرين‪  .FGHJ , QRST :‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪ ) b‬جدول ًّيا‪  :‬أكمل الجدول الآتي ‪:‬‬ ‫‪146‬‬ ‫أ�طوال ا أل�ضلاع وقيا�سات الزوايا‬ ‫ال�شكل الرباعي‬ ‫‪m∠D‬‬ ‫‪m∠C‬‬ ‫‪m∠B‬‬ ‫‪m∠A‬‬ ‫‪ABCD‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪DA CD BC‬‬ ‫‪m∠J‬‬ ‫‪m∠H‬‬ ‫‪m∠G‬‬ ‫‪m∠F‬‬ ‫‪FGHJ‬‬ ‫‪JF‬‬ ‫‪HJ‬‬ ‫‪GH‬‬ ‫‪FG‬‬ ‫‪m∠R‬‬ ‫‪m∠Q‬‬ ‫‪QRST‬‬ ‫‪m∠T‬‬ ‫‪m∠S‬‬ ‫‪RS‬‬ ‫‪QR‬‬ ‫‪TQ‬‬ ‫‪ST‬‬ ‫ ‬ ‫‪ ) c‬لفظ ًّيا‪  :‬خ ّمن العلاقة بين كل زاويتين متقابلتين في الشكل الرباعي الناتج عن زوجين من المستقيمات‬ ‫المتوازية‪.‬‬ ‫‪ ) d‬لفظ ًّيا‪  :‬خ ّمن العلاقة بين كل زاويتين متحالفتين في الشكل الرباعي الناتج عن زوجين من المستقيمات‬ ‫المتوازية‪.‬‬ ‫‪ ) e‬لفظ ًّيا‪  :‬خ ّمنالعلاقةبينكلضلعينمتقابلينفيالشكلالرباعيالناتجعنزوجينمنالمستقيماتالمتوازية‪.‬‬ ‫ الف�صل ‪  5‬ا أل�شكال الرباعية‬

‫م�سائل مهارات التفكير العليا‬ ‫‪ ) 43‬اكت�شف الخط أ�‪  :‬قالت مريم‪ :‬إ ّن مجموع قياسات الزوايا الخارج ّية للعشاري أكبر منه للسباعي؛ لأ ّن‬ ‫ ‬ ‫عدد أضلاع العشاري أكثر من أضلاع السباعي‪ .‬وقالت لبنى‪ :‬إ ّن مجموع قياسات الزوايا الخارجية لكلا‬ ‫ ‬ ‫المضلعين متسا ٍو ‪′′.‬فهل أ ٌّي منهما ادعاؤها صحيح‪ ′′‬؟ و ّضح تبريرك‪  .‬‬ ‫ ‬ ‫‪ ) 44‬تح ٍّد‪  :‬أوجدقيم‪ a, b, c‬فيالشكلالسداسيالمنتظم‪ QRSTVX‬المجاور‪.‬ب ّررإجابتك‪X a° Q .‬‬ ‫ ‬ ‫‪ )45‬تبرير‪  :‬إذا ُم َّد ضلعان لسداسي منتظم بحيث يلتقيان في نقطة خارجه‪ ،‬فهل‬ ‫ ‬ ‫يكون المثلث الناتج متطابق الأضلاع دائ ًما‪ ،‬أو أحيا ًنا‪ ،‬أو لا يمكن أن يكون ‪V b° R‬‬ ‫متطابق الأضلاع أب ًدا؟ ب ّرر إجابتك‪c°   .‬‬ ‫‪TS‬‬ ‫‪ ) 46‬م�س أ�لة مفتوحة‪  :‬ارسم مضل ًعا‪ ،‬وأوجد مجموع قياسات زواياه الداخل ّية‪.‬‬ ‫ما عدد أضلاع المضلع الذي مجموع قياسات زواياه الداخل ّية ِمثلا المجموع الذي أوجدته؟ ب ّرر إجابتك‪.‬‬ ‫‪ ) 47‬اكتب‪  :‬و ّضح العلاقة بين المثلثات ونظرية مجموع قياسات الزوايا الداخل ّية للمضلع‪.‬‬ ‫تدريب على اختبار‬ ‫ ‪ )49‬إذا كان مجموع قياسات الزوايا الداخل ّية لمضلع ِم ْثلي مجموع‬ ‫ ‪� ) 48‬إ‪ ℓ‬يجابحةوقي​ �ص_‪E‬ي_ر​_‪ A‬ة‪:.‬م االقيشاكسل)‪C(∠DyE‬؟‪ A B‬خماسي منتظم‪ ،‬والمستقيم‬ ‫قياسات زواياه الخارج ّية‪ ،‬فما نوع هذا المضلع؟  ‬ ‫‪C‬‬ ‫ ‪ C‬سداسي‬ ‫ ‪ A‬مربع ‬ ‫‪ D‬ثماني‬ ‫ ‪ B‬خماسي ‬ ‫‪BD‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪AE‬‬ ‫‪R 15‬‬ ‫مراجعة تراكمية‬ ‫‪S‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ ‪ )50‬جبر‪  :‬اكتب متباينة تم ِّثل مدى القيم الممكنة لِـ ‪(  x‬مهارة �سابقة)  ‬ ‫)‪60 (5x - 20‬‬ ‫ ‬ ‫‪UT‬‬ ‫ب ّين في كل مما يأتي أن المثلثين متطابقان‪ ،‬وح ِّدد حالة التطابق‪،‬‬ ‫‪) 53‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ثم اكتب عبارة تطابق ‪(  :‬مهارة �سابقة)  ‬ ‫‪AC‬‬ ‫  ‪  )52‬‬ ‫‪W‬‬ ‫ ‪ )51‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ZD‬‬ ‫‪ED‬‬ ‫‪S‬‬ ‫ا�ستعد للدر�س اللاحق‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ ‬ ‫___ ___‬ ‫‪61‬‬ ‫‪27‬‬ ‫في الشكل المجاور ​‪ ، ℓ ǁ m ,  A​ C​ ǁ B​ D‬ح ِّدد جميع أزواج الزوايا التي تصنف وف ًقا لما يلي‪:‬‬ ‫‪54‬‬ ‫‪38‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪ )55‬زاويتان متحالفتان‪.‬‬ ‫ ‪ ) 54‬زاويتان متبادلتان داخل ًّيا‪   .‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫الدر�س ‪147  ������������  5-1‬‬