2-4 حل المعادلات الخطية بيانيا

‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫حل المعادلات الخطية بيان ًّيا‬ ‫فيما �سبق‬ ‫‪‬‬ ‫لماذا؟‬ ‫در�ست تمثيل المعادلات‬ ‫‪‬‬ ‫الخطية بيان ًّيا با�ستعمال‬ ‫‪‬‬ ‫يب ِّين الشكل المجاور المبلغ المتبقي بعد أن يدفع أحمد عد ًدا‬ ‫الجداول �أو المقطعين‪  .‬‬ ‫‪‬‬ ‫من أقساط تكلفة تقويم أسنانه‪ ،‬الذي تم ِّثله الدالة‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫وا آلن‬ ‫‪‬‬ ‫ب = ‪ 85-‬أ ‪5100 +‬‬ ‫ أ�حل المعادلات الخطية‬ ‫‪       ‬‬ ‫حيث تمثل أ عدد الدفعات التي قيمة كل منها ‪ 85‬ريا اًل‪ ،‬و ب المبلغ‬ ‫بيان ًّيا‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫المتبقي‪.‬‬ ‫ أ�ق ّدر حل المعادلة‬ ‫الحل بيان ًّيا‪  :‬الدالة الخطية هي دالة تم ِّثل بيان ًّيا بمستقيم‪.‬‬ ‫الخطية بيان ًّيا‪.‬‬ ‫وأبسط دالة خطية هي د (س) = س‪ ،‬وتسمى الدالة المولدة (الأم) لمجموعة الدوال الخطية‪.‬‬ ‫المفردات‬ ‫�أ�ضف إ�لى‬ ‫الدالة الخطية‬ ‫مفهوم �أ�سا�سي‬ ‫الدالة الخطية‬ ‫د (س) = س‬ ‫الدالة المولدة (ا ألم)‬ ‫‪‬‬ ‫خط مستقيم‬ ‫الدالة المولدة (ا ألم )‬ ‫نوع التمثي ل البياني ‬ ‫الجذر‬ ‫جميع الأعداد الحقيقية‬ ‫المجال ‬ ‫ا أل�صفار‬ ‫جميع الأعداد الحقيقية‬ ‫المدى ‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫حل المعادلة أو الجذر هو أي قيمة تجعل المعادلة صحيحة‪ .‬وللمعادلة الخطية جذر واحد على الأكثر‪ ،‬ويمكنك‬ ‫إيجاد جذر المعادلة بتمثيل الدالة المرتبطة بها‪ ،‬ولكتابة هذه الدالة بمعادلة‪ ،‬ع ّوض صف ًرا بد اًل من د (س)‪.‬‬ ‫الدالة المرتبطة‬ ‫المعادلة الخطية‬ ‫د (س) = ‪ 2‬س – ‪  8‬أو  ص = ‪ 2‬س ‪8 -‬‬ ‫‪2‬س–‪0=8‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫تسمى قيم س التي تجعل د (س) = ‪ 0‬أصفار الدالة‪.‬‬ ‫ويقع صفر الدالة عند المقطع السيني لها‪ ،‬وجذر المعادلة‬ ‫‪‬‬ ‫هو قيمة المقطع السيني؛ ولذا فإن‪:‬‬ ‫ • ‪ 4‬هو المقطع السيني للمعادلة‪2 :‬س – ‪0 = 8‬‬ ‫• ‪ 4‬هو حل المعادلة‪ 2 :‬س – ‪0 = 8‬‬ ‫ • ‪ 4‬هو جذر المعادلة‪ 2 :‬س – ‪0 = 8‬‬ ‫• ‪ 4‬هو صفر الدالة‪ :‬د (س) = ‪2‬س – ‪8‬‬ ‫الدر�س ‪  :4-2‬حل المعادلات الخطية بيان ًّيا  ‪71‬‬

‫مثال ‪ 1‬حل المعادلة التي لها جذر واحد‬ ‫حل كل معادلة فيما يأتي‪:‬‬ ‫ أ� ) ا‪0‬ل=ط​ ر‪_​13‬ي  قةس‪ 2:-1‬الحل جبر ًّيا‬ ‫المعادلة الأصلية‬ ‫      ‪ _​13  ​  _​ 1_​133​3  ​​===02) 2+ ( 30‬س س‪-‬س‪) (2 + 22 ​ -‬‬ ‫أضف ‪ 2‬إلى الطرفين‬ ‫اضرب كل طرف في ‪3‬‬ ‫    ‪ =6‬س ب ّسط‬ ‫ الحل هو ‪.6‬‬ ‫ب) ‪3‬س ‪2- = 1 +‬‬ ‫ الطريقة ‪ :2‬الحل بيان ًّيا‬ ‫ أوجد الدالة المرتبطة‪ ،‬وأعد كتابة المعادلة بحيث يكون طرفها الأيسر صف ًرا‪.‬‬ ‫المعادلة الأصلية‬ ‫   ‪3‬س ‪2 - = 1 +‬‬ ‫أضف ‪ 2‬إلى الطرفين‬ ‫  ‪3‬س ‪2 + 2- = 2 + 1 +‬‬ ‫إ�ر�شاداتللدرا�سة‬ ‫‪‬‬ ‫ ‪3‬س ‪ 0 = 3 +‬ب ّسط‬ ‫ ‬ ‫الأ�صفار من الجدول‪  :‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ ‬ ‫صفر الدالة هو المقطع‬ ‫وبذلك تكون الدالة المرتبطة هي‪ :‬د (س) = ‪3‬س ‪3 +‬‬ ‫السيني الذي قيمة ص‬ ‫ولتمثيل الدالة بيان ًّيا ك ّون جدو ًال‪.‬‬ ‫عنده تساوي صف ًرا‪.‬‬ ‫(�س ‪ ،‬د (�س) )‬ ‫د (�س) = ‪�3‬س ‪ 3 +‬د (�س)‬ ‫�س‬ ‫( ‪) 3- ، 2-‬‬ ‫د (‪3- 3 + 2- × 3 = )2-‬‬ ‫‪2-‬‬ ‫(‪)3،0‬‬ ‫د (‪3 3 + 0 × 3 = )0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ الخط المستقيم الذي يمثل الدالة يقطع محور السينات عند ‪ ،1-‬لذا فإن الحل هو س = ‪.1-‬‬ ‫✓ تحقق من فهمك‬ ‫‪1‬ب) ‪1.25-‬س‪  0= 3+‬‬ ‫ ‪ 1‬أ� ) ‪  _​52 ​=0‬س‪  6 +‬‬ ‫إذا تضمنت المعادلة المتغير نفسه في كلا طرفيها‪ ،‬فضع المتغير في طرف واحد باستعمال الجمع أو الطرح‪ ،‬ثم‬ ‫أوجد الحل‪.‬‬ ‫مثال ‪ 2‬معادلات لي�س لها حل‬ ‫حل كل معادلة فيما يأتي‪:‬‬ ‫ المعادلة الأصلية‬ ‫�أ)  ‪3‬س ‪3 = 7 +‬س ‪1 +‬‬ ‫ الطريقة ‪ :1‬الحل جبر ًّيا‬ ‫ ‪3‬س ‪3 = 7 +‬س ‪1 +‬‬ ‫ ‪3‬س ‪3 = 1 - 7 +‬س ‪ 1 - 1 +‬اطرح ‪ 1‬من الطرفين‬ ‫ ب ّسط‬ ‫    ‪3‬س ‪3 = 6 +‬س‬ ‫ ‪3‬س ‪3 -‬س ‪3 = 6 +‬س ‪3 -‬س اطرح ‪3‬س من الطرفين‬ ‫ ب ّسط‬ ‫‪0=6‬‬ ‫ ‬ ‫‪  72‬الف�صل ‪  :2‬العلاقات والدوال الخطية‬

‫ وهذا مستحيل‪ ،‬وتكون الدالة المرتبطة هي د(س) = ‪ .6‬وبما أن جذر المعادلة الخطية هو قيمة س‬ ‫عندما يكون د (س) = ‪ ، 0‬وحيث د (س) يساوي ‪ 6‬دائ ًما فليس للمعادلة حل‪.‬‬ ‫ب) ‪2‬س ‪2 = 4 -‬س ‪6 -‬‬ ‫ الطريقة ‪ :2‬الحل بيان ًّيا ‪‬‬ ‫   ‪2‬س ‪2 = 4 -‬س ‪ 6 -‬المعادلة الأصلية‬ ‫‪ ‬‬ ‫     ‪2‬س ‪2 = 6 + 4 -‬س ‪       6 + 6 -‬أضف ‪ 6‬إلى الطرفين‬ ‫   ‪2‬س ‪2 = 2 +‬س ب ّسط‬ ‫ ‪2‬س ‪2 -‬س ‪2 = 2 +‬س ‪2 -‬س اطرح ‪2‬س من الطرفين‬ ‫ ‪ 0 = 2‬ب ّسط‬ ‫ ‬ ‫ م ِّثل الدالة المرتبطة د(س) = ‪ 2‬بيان ًّيا‪ ،‬وبما أن المستقيم لا يقطع محور السينات‪ ،‬لذلك لا يوجد حل‬ ‫للمعادلة‪.‬‬ ‫✓ تحقق من فهمك‬ ‫‪2‬ب) ‪3 - 2‬س = ‪3 - 6‬س‬ ‫ ‪�2‬أ ) ‪4‬س ‪4 = 3 +‬س ‪5 -‬‬ ‫تقدير الحل با�ستعمال التمثيل البياني‪ :‬قد يزودك التمثيل البياني بحل تقديري‪ .‬وفي هذه الحالة‪،‬‬ ‫استعمل الطريقة الجبرية لإيجاد الحل الدقيق‪.‬‬ ‫مثال ‪  3‬من واقع الحياة التقدير با�ستعمال التمثيل البياني‬ ‫‪‬‬ ‫مواقف �سيارات‪  :‬تم ِّثل الدالة م = ‪ 0.75 – 20‬ر المبلغ (م)‬ ‫‪‬‬ ‫المتبقي مع أحمد بعد توقف سيارته (ر) ساعة في موقف للسيارات‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫أوجد صفر الدالة‪ ،‬وب ِّين ما يعنيه في هذا السياق‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫(ر‪،‬م)‬ ‫م‬ ‫م =‪ 0٫75- 20‬ر‬ ‫ر‬ ‫‪‬‬ ‫( ‪) 20 ، 0‬‬ ‫‪20‬‬ ‫م = ‪0 × 0٫75- 20‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫( ‪) 16٫25 ، 5‬‬ ‫‪16٫25‬‬ ‫م = ‪5 × 0٫75- 20‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫يب ِّين التمثيل البياني أن المستقيم يقطع محور السينات عند ر ≈ ‪.27‬‬ ‫‪‬‬ ‫وللتأكد استعمل طريقة الحل الجبري‪.‬‬ ‫‪          ‬‬ ‫‪‬‬ ‫المعادلة الأصلية‬ ‫ ‬ ‫      م = ‪0.75 - 20‬ر‬ ‫تظهر أهمية مواقف انتظار‬ ‫السيارات في استيعابها عد ًدا‬ ‫عوض القيمة صف ًرا بد ًال من م‬ ‫  ‪0.75 - 20 = 0‬ر ‬ ‫ ‬ ‫كبي ًرا من السيارات بما يقضي‬ ‫           ‬ ‫على معاناة المواطنين وإعاقة‬ ‫سير المركبات والمشاة بسبب‬ ‫‪0.75 + 0‬ر = ‪0.75 - 20‬ر ‪0.75 +‬ر  أضف ‪ 0.75‬ر إلى الطرفين‬ ‫توقف السيارات على جوانب‬ ‫بسط‬ ‫ ‬ ‫ ‪0٫75‬ر = ‪20‬‬ ‫الطرق‪.‬‬ ‫اقسم على ‪0٫75‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ​ ‪​ 00٫٫7755‬ر_  =​ ‪  _​0 2٫075‬‬ ‫بسط‬ ‫ ر ≈ ‪26٫67‬‬ ‫فيكون صفر هذه الدالة هو ‪ 26.67‬تقري ًبا؛ لذا فأقصى عدد من الساعات الكاملة التي يمكن لأحمد‬ ‫إيقاف سيارته خلالها هو ‪ 26‬ساعة‪.‬‬ ‫الدر�س ‪  :4-2‬حل المعادلات الخطية بيان ًّيا  ‪73‬‬

‫✓ تحقق من فهمك‬ ‫ ‬ ‫ ‪ )3‬مق�صف مدر�سة‪  :‬اشترى مقصف مدرسة علبة حلوى بمبلغ ‪ 45‬ريا اًل‪ .‬فإذا باع القطعة‬ ‫الواحدة بـ ‪ 1.5‬ريال‪ ،‬وكانت الدالة ص =‪ 1.5‬س – ‪ 45‬تمثل الربح الذي يحققه عند بيع‬ ‫س قطعة من الحلوى‪ ،‬فأوجد صفر الدالة‪ ،‬و ِصف ماذا يعني ذلك في سياق هذه المسألة‪  .‬‬ ‫‪4 ) 2‬س ‪​   0 = 2 -‬‬ ‫ُح َّل كل معادلة فيما يأتي‪:‬‬ ‫✓ ت أ�كد‬ ‫ ‬ ‫‪ - = 0 ) 4‬س ‪  8 -‬‬ ‫ ‬ ‫‪2- ) 1‬س ‪   0 = 6 +‬‬ ‫المثالان‪2 ، 1‬‬ ‫ ‬ ‫‪2 ) 6‬س ‪2 = 5 -‬س ‪  8 +‬‬ ‫‪9 ) 3‬س ‪​   0 = 3 +‬‬ ‫مثال ‪3‬‬ ‫ ‬ ‫‪4 ) 5‬س ‪4 = 11 +‬س ‪2 4 -‬‬ ‫‪ ) 7‬خ�ضار‪  :‬تم ِّثل الدالة و = ‪2 - 60‬ن كتلة الجزر المتبقي بالكيلوجرام في محل أحمد بعد بيعه (ن)‬ ‫كي ًسا‪ .‬أوجد صفر الدالة‪ ،‬وو ِّضح ما يعنيه في هذا السياق‪  .‬‬ ‫تدرب وحل الم�سائل‬ ‫‪3 ) 10‬س ‪3 + 21 = 10 -‬س  ‬ ‫‪8 - 5 ) 9‬س = ‪8 - 16‬س   ‬ ‫المثالان ‪ُ 2 ،1‬ح َّل كل معادلة فيما يأتي‪:‬‬ ‫ ‬ ‫‪7- )13‬س ‪7 - 20 = 35 +‬س‬ ‫‪7 = 0 ) 12‬س ‪ 10 +‬‬ ‫‪ = 0 ) 8‬س ‪   3 +‬‬ ‫ ‬ ‫‪4 ) 11‬س ‪0 = 36 -‬‬ ‫مثال ‪ ) 14 3‬أراد محمد شراء أقلام لأصدقائه بمبلغ ‪ 75‬ريا اًل‪ ،‬والمعادلة م = ‪ 3-‬د ‪ 75 +‬تم ِّثل المبلغ (م) بالريال‬ ‫ ‬ ‫المتبقي معه بعد شراء (د) قل ًما ‪ .‬أوجد صفر الدالة‪ ،‬وو ِّضح ما يعنيه في هذا السياق‪.‬‬ ‫ُح َّل كل معادلة فيما يأتي‪  :‬‬ ‫‪13 = 0 ) 16‬س ‪   34 +‬‬ ‫‪6 + 15 ) 15‬س = ‪  0‬‬ ‫ ‬ ‫‪  _​52 ​-  ​_43 ​= 0 ) 18‬س   ‬ ‫‪22 = 0 ) 17‬س ‪1 0-‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪ )19‬قالب ثلجي‪  :‬كانت درجة حرارة قالب ثلجي عند إخراجه من حافظة الثلج ‪ °10-‬س‪ .‬وتمثل المعادلة‪:‬‬ ‫ ‬ ‫ت = ‪ 1٫25‬هـ ‪ 10-‬درجة حرارة الثلج بعد هـ ساعة من إخراجه‪ .‬فما الوقت الذي يبدأ فيه القالب‬ ‫ ‬ ‫بالذوبان إذا تم إخراجه عند الساعة ‪ 8:00‬صبا ًحا ؟  ‬ ‫ُح َّل كل معادلة فيما يأتي بيان ًّيا‪ ،‬وتحقق من إجابتك جبر ًّيا‪  :‬‬ ‫‪3 + 19 ) 21‬س = ‪ + 13‬س  ‬ ‫‪3 - 7 ) 20‬س = ‪ 4 - 8‬س‬ ‫‪  ​_21 ​ ) 23‬س ‪3 = 5 -‬س ‪ 10 -‬‬ ‫‪15 ) 22‬س ‪5 = 30 -‬س ‪  50 -‬‬ ‫‪  74‬الف�صل ‪  :2‬العلاقات والدوال الخطية‬

‫‪ )24‬منتجات ال�شعر‪  :‬تستعمل بعض المستحضرات الطبية المواد الكيماوية لجعل الشعر أكثر لمعا ًنا‪.‬‬ ‫ ‬ ‫و ُتم ِّثل النسبة المئوية المتبقية لإكمال العملية بالمعادلة‪ :‬ص = ‪ 12.5-‬س ‪100 +‬؛ حيث س الزمن‬ ‫بالدقائق الذي يبقى فيه المستحضر على الشعر‪ ،‬ص النسبة المئوية المتبقية لإتمام العملية‪.‬‬ ‫�إر�شاداتللدرا�سة أ�) أوجد صفر الدالة‪  .‬‬ ‫�صفر الدالة‪  :‬‬ ‫ب) م ِّثل الدالة بيان ًّيا‪  .‬‬ ‫ُيسمى صفر الدالة أي ًضا‬ ‫ ‬ ‫جـ) ب ِّين ما يعنيه الصفر في هذه الحالة‪  .‬‬ ‫ جذر المعادلة أو المقطع‬ ‫ السيني ‪.‬‬ ‫د) اذكر كلاًّ من مجال الدالة ومداها‪.‬‬ ‫م�سائل مهارات التفكير العليا‬ ‫ ‪ ) 25‬تبرير‪   :‬و ِّضح متى يفضل استعمال الطريقة الجبرية لحل المعادلة‪ ،‬ومتى يفضل حلها بالتمثيل البياني؟‬ ‫ ‪ ) 26‬م�س أ�لة مفتوحة‪  :‬اكتب معادلة خطية جذرها ‪ .  ​_43 ​-‬واكتب الدالة المرتبطة بها‪.‬‬ ‫ ‪ ) 27‬اكتب‪  :‬ل ِّخص كيف تحل معادلة خطية جبر ًّيا وبيان ًّيا‪.‬‬ ‫تدريب على اختبار‬ ‫ ‪ )29‬يب ِّين الجدول أدناه التكلفة جـ لاستئجار زورق مدة هـ‪ ‬ساعة‪  .‬‬ ‫ ‪ ) 28‬ما التقدير الأفضل للمقطع السيني للتمثيل البياني للدالة‬ ‫الخطية الممثلة في الجدول؟  ‬ ‫ال�ساعات (هـ) ‪3 2 1‬‬ ‫�س �ص‬ ‫ ‬ ‫التكلفة بالريال(جـ) ‪75 50 25‬‬ ‫‪50‬‬ ‫�أ ) بين ‪   1 ،0‬جـ ) بين ‪2 ،1‬‬ ‫أي المعادلات الآتية تم ِّثل بيانات الجدول؟  ‬ ‫‪31‬‬ ‫د ) بين‪4 ،3‬‬ ‫ ب ) بين ‪   3، 2‬‬ ‫‪12‬‬ ‫جـ ) جـ = هـ ‪25+‬‬ ‫ �أ) جـ = ‪ 25‬هـ   ‬ ‫‪1- 3‬‬ ‫ ب ) جـ = ‪ 25-75‬هـ   د ) جـ = ‪25‬هـ ‪75+‬‬ ‫‪3- 4‬‬ ‫مراجعة تراكمية‬ ‫أوجد المقطعين السيني والصادي للتمثيل البياني لكل دالة خطية فيما يأتي‪(  :‬الدر�س ‪)3-2‬‬ ‫‪3 ) 31‬ص = ‪6‬س ‪  9 -‬‬ ‫ ‪ )30‬ص = ‪2‬س ‪   10 +‬‬ ‫ ‪ )32‬حل المعادلة‪ | :‬س‪(  .7 = | 1-‬الدر�س ‪)5-1‬‬ ‫ ‪ ) 33‬م ِّثل العلاقة‪ } )6، 4( ، )5، 3( ، )4، 2( ، )3، 1( { :‬بجدول‪ ،‬وبيان ًّيا‪ ،‬وبالمخطط السهمي‪ ،‬ثم ح ِّدد كلاًّ من مجالها ومداها‪(  .‬الدر�س‪  )1-2‬‬ ‫ا�ستعد للدر�س اللاحق‬ ‫مهارة �سابقة‪:‬‬ ‫ب ِّسط ك ًاّل مما يأتي‪:‬‬ ‫‪ ​   ​_3 6- ​ ) 37‬‬ ‫‪​    ​_ 6  ​ ) 36‬‬ ‫‪ ​​    ​_ 4- ​ ) 35‬‬ ‫ ‪ ​    ​ _25 ​ )34‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪12-‬‬ ‫‪12-‬‬ ‫‪10‬‬ ‫احسب قيمة​ أجـ‪--‬بد​_   في ك ٍّل مما يأتي‪:‬‬ ‫‪ ) 39‬أ = ‪ ، 4‬ب = ‪ ، 7-‬جـ = ‪ ، 1-‬د = ‪  2-‬‬ ‫ ‪ )38‬أ = ‪ ، 6‬ب = ‪ ، 2‬جـ = ‪ ، 9‬د = ‪ ​   3‬‬ ‫الدر�س ‪  :4-2‬حل المعادلات الخطية بيان ًّيا  ‪75‬‬