6-7 المعادلات التربيعية المربعات الكاملة

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻳﺴﻘﻂ ﺍﻟﺤﺠﺮ ﻭﺍﻟﻜﻴﺲ ﺑﺎﻟﺴﺮﻋﺔ ﻧﻔﺴﻬﺎ؛ ﻟﺬﺍ ﺳﺘﺤﺘﺎﺝ ﺇﻟﻰ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫‪٥- = ٠‬ﻥ‪ +٢‬ﻝ‪ ،٠‬ﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺍﻟﺰﻣﻦ ﺍﻟﺬﻱ ﻳﺤﺘﺎﺝ ﺇﻟﻴﻪ ﺍﻟﺠﺴﻢ ﻛﻲ ﻳﺼﻞ ﺇﻟﻰ ﺍﻷﺭﺽ ﺇﺫﺍ‬ ‫‪‬‬ ‫ﺳﻘﻂ ﻣﻦ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﺍﺑﺘﺪﺍﺋﻲ )ﻝ‪ (٠‬ﻣﺘ ﹰﺮﺍ ﻓﻮﻕ ﺍﻷﺭﺽ‪ ،‬ﺣﻴﺚ )ﻥ( ﺗﻤ ﹼﺜﻞ ﺍﻟﺰﻣﻦ ﺑﺎﻟﺜﻮﺍﻧﻲ‬ ‫‪ ‬‬ ‫ﺑﻌﺪ ﺳﻘﻮﻁ ﺍﻟﺠﺴﻢ‪.‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬ﺗﻌﻠﻤﺖ ﻗﺎﻋﺪﺓ ﻣﻔﻜﻮﻙ ﺛﻨﺎﺋﻴﺘﻲ ﺍﻟﺤﺪ‬ ‫‪‬‬ ‫)ﺃ ‪ +‬ﺏ(‪)،٢‬ﺃ ‪ -‬ﺏ(‪ .٢‬ﺗﺬ ﹼﻛﺮ ﺑﺄﻥ ﺗﻠﻚ ﻧﻮﺍﺗﺞ ﺿﺮﺏ ﺧﺎﺻﺔ ﺗﺘﺒﻊ ﻗﺎﻋﺪﺓ ﻣﻌﻴﻨﺔ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫)ﺃ – ﺏ(‪) = ٢‬ﺃ ‪ -‬ﺏ()ﺃ ‪ -‬ﺏ(‬ ‫)ﺃ ‪ +‬ﺏ(‪) = ٢‬ﺃ ‪ +‬ﺏ()ﺃ ‪ +‬ﺏ(‬ ‫‪  ‬‬ ‫= ﺃ‪ - ٢‬ﺃﺏ ‪ -‬ﺃﺏ ‪ +‬ﺏ‪٢‬‬ ‫= ﺃ‪ + ٢‬ﺃﺏ ‪ +‬ﺃﺏ ‪ +‬ﺏ‪٢‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ﺃ‪٢ - ٢‬ﺃﺏ ‪ +‬ﺏ‪٢‬‬ ‫= ﺃ‪٢ + ٢‬ﺃﺏ ‪ +‬ﺏ‪٢‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺗﻜﻮﻥ ﻧﻮﺍﺗﺞ ﺍﻟ ﹼﻀﺮﺏ ﻫﺬﻩ ﻋﻠﻰ ﺻﻮﺭﺓ ﻣﺮﺑﻊ ﻛﺎﻣﻞ ﻟﺜﻼﺛﻴﺔ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ؛ ﻷﻧﻬﺎ ﻣﺮﺑﻌﺎﺕ ﺛﻨﺎﺋﻴﺎﺕ ﺣﺪ‪ .‬ﻭﺗﺴﺎﻋﺪﻙ‬ ‫ﺍﻟﻘﻮﺍﻋﺪ ﺃﻋﻼﻩ ﻋﻠﻰ ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺛﻼﺛﻴﺔ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ ﺍﻟﺘﻲ ﺗﺸ ﹼﻜﻞ ﻣﺮﺑ ﹰﻌﺎ ﻛﺎﻣ ﹰﻼ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭﻟﺘﻜﻮﻥ ﺛﻼﺛﻴﺔ ﺣﺪﻭﺩ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﺘﺤﻠﻴﻞ ﻋﻠﻰ ﺻﻮﺭﺓ ﻣﺮﺑﻊ ﻛﺎﻣﻞ‪ ،‬ﻳﺠﺐ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﺤﺪﺍﻥ ﺍﻷﻭﻝ ﻭﺍﻷﺧﻴﺮ ﻣﺮﺑﻌﻴﻦ‬ ‫ﻛﺎﻣﻠﻴﻦ‪ ،‬ﻭﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻷﻭﺳﻂ ﺿﻌﻒ ﻧﺎﺗﺞ ﺿﺮﺏ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻲ ﻟﻠﺤﺪﻳﻦ ﺍﻷﻭﻝ ﻭﺍﻷﺧﻴﺮ ﺑﺈﺷﺎﺭﺓ ﻣﻮﺟﺒﺔ‬ ‫ﺃﻭ ﺳﺎﻟﺒﺔ‪.‬‬ ‫ﻓﻤﺜ ﹰﻼ ﺛﻼﺛﻴﺔ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ ‪١٦‬ﺱ‪٢٤ +٢‬ﺱ ‪ ٩ +‬ﺗﺸ ﹼﻜﻞ ﻣﺮﺑ ﹰﻌﺎ ﻛﺎﻣ ﹰﻼ‪ ،‬ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﻮﺿﺢ ﺃﺩﻧﺎﻩ‪.‬‬ ‫‪١٦‬ﺱ‪٢٤ + ٢‬ﺱ ‪٩ +‬‬ ‫ﻫﻞ ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻷﺧﻴﺮ ﻣﺮﺑﻊ‬ ‫ﻫﻞ ﺍﻟﺤ ﹼﺪ ﺍﻷﻭﺳﻂ ﺿﻌﻒ ﻧﺎﺗﺞ‬ ‫ﻫﻞ ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﺮﺑﻊ‬ ‫ﻛﺎﻣﻞ؟ ﻧﻌﻢ؛ ﻷﻥ ‪.٢٣ = ٩‬‬ ‫ﺿﺮﺏ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻲ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ‬ ‫ﻛﺎﻣﻞ؟ ﻧﻌﻢ؛ ﻷﻥ‬ ‫‪١٦‬ﺱ‪٤)=٢‬ﺱ(‪.٢‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ ﺍﻷﻭﻝ ﻭﺍﻷﺧﻴﺮ؟ ﻧﻌﻢ؛ ﻷﻥ‬ ‫‪٢٤‬ﺱ=‪٤)٢‬ﺱ()‪.(٣‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺃ‪٢ + ٢‬ﺃﺏ ‪ +‬ﺏ‪) = ٢‬ﺃ ‪ +‬ﺏ()ﺃ ‪ +‬ﺏ( = )ﺃ ‪ +‬ﺏ(‪٢‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺃ‪٢ - ٢‬ﺃﺏ ‪ +‬ﺏ‪) = ٢‬ﺃ ‪ -‬ﺏ()ﺃ ‪ -‬ﺏ( = )ﺃ ‪ -‬ﺏ(‪٢‬‬ ‫ﺱ‪٨ + ٢‬ﺱ ‪) = ١٦ +‬ﺱ ‪)(٤ +‬ﺱ ‪) = (٤ +‬ﺱ ‪٢(٤ +‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺱ‪٦ - ٢‬ﺱ ‪) = ٩ +‬ﺱ ‪)(٣ -‬ﺱ ‪) = (٣ -‬ﺱ ‪٢(٣ -‬‬ ‫‪  ‬‬

‫‪    ‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺣ ﹼﺪﺩ ﺇﻥ ﻛﺎﻧﺖ ﻛﻞ ﺛﻼﺛﻴﺔ ﺣﺪﻭﺩ ﻓﻴﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﺗﺸ ﹼﻜﻞ ﻣﺮﺑ ﹰﻌﺎ ﻛﺎﻣ ﹰﻼ ﺃﻡ ﻻ‪ ،‬ﻭ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻛﺬﻟﻚ ﻓﺤ ﱢﻠﻠﻬﺎ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪٤ ‬ﺹ‪١٢ + ٢‬ﺹ ‪٩ +‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻟﺜﺎﺑﺖ ﻓﻲ‬ ‫‪  ‬ﻧﻌﻢ‪٤ ،‬ﺹ‪٢) = ٢‬ﺹ(‪.٢‬‬ ‫‪ ١‬ﻫﻞ ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﺮﺑﻊ ﻛﺎﻣﻞ؟‬ ‫‪‬‬ ‫ﺛﻼﺛﻴﺔ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ ﺳﺎﻟ ﹰﺒﺎ‪ ،‬ﻓﺈﻥ‬ ‫‪  ‬ﻧﻌﻢ‪.٢٣ = ٩ ،‬‬ ‫‪ ٢‬ﻫﻞ ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻷﺧﻴﺮ ﻣﺮﺑﻊ ﻛﺎﻣﻞ؟‬ ‫‪‬‬ ‫ﺛﻼﺛﻴﺔ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ ﻻ ﺗﺸ ﹼﻜﻞ‬ ‫‪ ٣‬ﻫﻞ ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻷﻭﺳﻂ ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪٢ ) ٢‬ﺹ ( ) ‪ ( ٣‬؟ ‪‬ﻧﻌﻢ‪١٢ ،‬ﺹ = ‪٢)٢‬ﺹ()‪.(٣‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻣﺮﺑ ﹰﻌﺎ ﻛﺎﻣ ﹰﻼ‪ ،‬ﻟﺬﺍ ﻟﻴﺲ ﻣﻦ‬ ‫ﺍﻟﻀﺮﻭﺭﻱ ﺍﻟﺘﺤﻘﻖ ﻣﻦ‬ ‫ﺑﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺸﺮﻭﻁ ﺍﻟﺜﻼﺛﺔ ﻣﺘﻮﻓﺮﺓ‪ ،‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪٤‬ﺹ‪١٢ +٢‬ﺹ‪ ٩ +‬ﺛﻼﺛﻴﺔ ﺣﺪﻭﺩ ﺗﺸ ﹼﻜﻞ ﻣﺮﺑ ﹰﻌﺎ ﻛﺎﻣ ﹰﻼ‪.‬‬ ‫‪٤‬ﺹ‪١٢ + ٢‬ﺹ ‪٢) = ٩ +‬ﺹ(‪٢)٢ + ٢‬ﺹ()‪ ٢٣ + (٣‬ﺍﻛﺘﺐ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺻﻮﺭﺓ ﺃ‪٢ + ٢‬ﺃ ﺏ ‪ +‬ﺏ‪٢‬‬ ‫ﺍﻟﺸﺮﻭﻁ ﺍﻷﺧﺮ￯‪.‬‬ ‫ﺣ ﹼﻠﻞ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎﻝ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ‬ ‫= )‪٢‬ﺹ ‪٢(٣ +‬‬ ‫‪٩ ‬ﺱ‪٦ - ٢‬ﺱ ‪٤ +‬‬ ‫‪  ‬ﻧﻌﻢ‪٩ ،‬ﺱ‪٣) = ٢‬ﺱ(‪.٢‬‬ ‫‪ ١‬ﻫﻞ ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﺮﺑﻊ ﻛﺎﻣﻞ؟‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬ﻧﻌﻢ‪.٢٢ = ٤ ،‬‬ ‫‪ ٢‬ﻫﻞ ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻷﺧﻴﺮ ﻣﺮﺑﻊ ﻛﺎﻣﻞ؟‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ٣‬ﻫﻞ ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻷﻭﺳﻂ ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪٣)٢-‬ﺱ()‪(٢‬؟ ‪ ‬ﻻ‪٦- ،‬ﺱ ≠ ‪٣)٢-‬ﺱ()‪.(٢‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺑﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻷﻭﺳﻂ ﻻ ﻳﺤﻘﻖ ﺍﻟﺸﺮﻁ‪ ،‬ﻟﺬﺍ ﻓﺈﻥ ﺛﻼﺛﻴﺔ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ ‪٩‬ﺱ‪ ٦ -٢‬ﺱ‪ ٤ +‬ﻻ ﺗﺸ ﹼﻜﻞ ﻣﺮﺑ ﹰﻌﺎ ﻛﺎﻣ ﹰﻼ‪.‬‬ ‫‪٢  ‬ﺃ‪١٠ + ٢‬ﺃ ‪٢٥ +‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٩  ‬ﺹ‪٢٤ + ٢‬ﺹ ‪ ١٦ +‬‬ ‫ﻳﻜﻮﻥ ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺛﻼﺛﻴﺔ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ ﺗﺤﻠﻴ ﹰﻼ ﺗﺎ ﹼﹰﻣﺎ ﺇﺫﺍ ﻛﺘﺐ ﻋﻠﻰ ﺻﻮﺭﺓ ﻧﺎﺗﺞ ﺿﺮﺏ ﻛﺜﻴﺮﺍﺕ ﺣﺪﻭﺩ ﺃﻭﻟﻴﺔ‪ .‬ﻭﻗﺪ ﺗﺴﺘﻌﻤﻞ‬ ‫ﺃﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﻟﺘﺤﻠﻴﻞ ﻛﺜﻴﺮﺓ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ ﺗﺤﻠﻴ ﹰﻼ ﺗﺎ ﹼﹰﻣﺎ‪ .‬ﻭﻳﺴﺎﻋﺪﻙ ﻣﻠﺨﺺ ﺍﻟﻤﻔﻬﻮﻡ ﺍﻵﺗﻲ ﻟﺘﻘﺮﺭ ﻣﻦ ﺃﻳﻦ ﺗﺒﺪﺃ ﻋﻨﺪ‬ ‫ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻛﺜﻴﺮﺓ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ ﺗﺤﻠﻴ ﹰﻼ ﺗﺎ ﹼﹰﻣﺎ‪ ،‬ﻭﺇﺫﺍ ﻟﻢ ﻳﻨﺎﺳﺐ ﻛﺜﻴﺮﺓ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ ﺃﻱ ﻧﻤﻂ‪ ،‬ﺃﻭ ﻻﻳﻤﻜﻦ ﺗﺤﻠﻴﻠﻬﺎ ﻓﺈﻧﻬﺎ ﺗﻜﻮﻥ ﺃﻭﻟ ﹼﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺃﻱ ﻋﺪﺩ ‪٤‬ﺱ‪٢ + ٣‬ﺱ‪٦ - ٢‬ﺱ = ‪٢‬ﺱ)‪٢‬ﺱ‪ + ٢‬ﺱ ‪(٣ -‬‬ ‫‪ ‬ﺣ ﹼﻠﻞ ﺑﺈﺧﺮﺍﺝ ) ﻕ ‪ .‬ﻡ ‪ .‬ﺃ (‬ ‫‪٩‬ﺱ‪٣) = ١٦ - ٢‬ﺱ ‪٣)(٤ +‬ﺱ ‪(٤ -‬‬ ‫‪ ٢‬ﺃﻭ ‪٣‬‬ ‫‪ ‬ﺗﺤﻘﻖ ﻫﻞ ﻛﺜﻴﺮﺓ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ ﺗﺸﻜﻞ ﻓﺮ ﹰﻗﺎ‬ ‫‪١٦‬ﺱ‪٢٤ + ٢‬ﺱ ‪٤) = ٩ +‬ﺱ ‪٢(٣ +‬‬ ‫‪ ٣‬ﺃﻭ ‪٤‬‬ ‫ﺑﻴﻦ ﻣﺮﺑﻌﻴﻦ ﺃﻡ ﺃﻧﻬﺎ ﺛﻼﺛﻴﺔ ﺣﺪﻭﺩ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺻﻮﺭﺓ ﻣﺮﺑﻊ ﻛﺎﻣﻞ‪.‬‬ ‫ﺱ‪٨ - ٢‬ﺱ ‪) = ١٢ +‬ﺱ ‪)(٢ -‬ﺱ ‪(٦ -‬‬ ‫‪١٢‬ﺹ‪٩ + ٢‬ﺹ ‪٨ +‬ﺹ ‪٦ +‬‬ ‫‪ ‬ﻃ ﹼﺒﻖ ﺃﻧﻤﺎﻁ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻞ ﻟـﹺ‬ ‫ﺱ‪ + ٢‬ﺏ ﺱ ‪ +‬ﺟـ ﺃﻭ‬ ‫= )‪١٢‬ﺹ‪٩ + ٢‬ﺹ( ‪٨) +‬ﺹ ‪(٦ +‬‬ ‫ﺃ ﺱ‪ + ٢‬ﺏ ﺱ ‪ +‬ﺟـ ﺃﻭ ﺣ ﹼﻠﻞ‬ ‫= ‪٣‬ﺹ)‪٤‬ﺹ ‪٤)٢ + (٣ +‬ﺹ ‪(٣ +‬‬ ‫ﺑﺘﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ‪.‬‬ ‫= )‪٤‬ﺹ ‪٣)(٣ +‬ﺹ ‪(٢ +‬‬ ‫‪  ‬‬

‫‪ ‬‬ ‫ﺣ ﹼﻠﻞ ﻛ ﹰﹼﻼ ﻣﻦ ﻛﺜﻴﺮﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ ﺍﻵﺗﻴﺔ‪ ،‬ﻭﺇﺫﺍ ﻟﻢ ﻳﻜﻦ ﺫﻟﻚ ﻣﻤﻜﻨﹰﺎ‪ ،‬ﻓﺎﻛﺘﺐ ”ﺃﻭﻟﻴﺔ“‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٥ ‬ﺱ‪٨٠ - ٢‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ﻳﻤﻜﻨﻚ ﺍﻟﺘﺤﻘﻖ ﻣﻦ‬ ‫‪)  ‬ﻕ‪ .‬ﻡ‪ .‬ﺃ( ﻟﻠﺤﺪﻳﻦ ‪٥‬ﺱ‪ ٨٠- ،٢‬ﻫﻮ ‪ ،٥‬ﺣ ﹼﻠﻞ ﺑﺈﺧﺮﺍﺝ )ﻕ‪ .‬ﻡ‪ .‬ﺃ(‪.‬‬ ‫ﺇﺟﺎﺑﺘﻚ ﻣﻦ ﺧﻼﻝ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺳﺘﻌﻤﺎﻝ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ‬ ‫‪  ‬ﺑﻤﺎ ﺃﻥ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ ﺍﺛﻨﺎﻥ‪ ،‬ﻟﺬﺍ ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﺃﻥ ﻛﺜﻴﺮﺓ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ ﺗﺸ ﹼﻜﻞ ﻓﺮ ﹰﻗﺎ ﺑﻴﻦ ﻣﺮﺑﻌﻴﻦ‪.‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺮﺗﻴﺐ‪.‬‬ ‫)ﻕ‪ .‬ﻡ‪ .‬ﺃ( ﻟﻠﺤﺪﻳﻦ ‪٥‬‬ ‫‪٥‬ﺱ‪)٥ = ٨٠ - ٢‬ﺱ‪(١٦ - ٢‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺳﺘﻌﻤﺎﻝ ﺧﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ‬ ‫ﺱ‪ = ٢‬ﺱ × ﺱ ‪٤ × ٤ = ١٦ ،‬‬ ‫= ‪)٥‬ﺱ‪(٢٤ - ٢‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ -‬ﺗﻤﺜﻴﻞ ﻛ ﱟﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ‬ ‫ﺍﻷﺻﻠﻴﺔ ﻭﺗﺤﻠﻴﻠﻬﺎ ﺑﺎﻟﺮﺳﻢ‬ ‫ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﻴﻦ ﻣﺮﺑﻌﻴﻦ‬ ‫= ‪)٥‬ﺱ ‪)(٤ -‬ﺱ ‪(٤ +‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭﺍﻟﻤﻘﺎﺭﻧﺔ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ‪.‬‬ ‫‪٩ ‬ﺱ‪٦ - ٢‬ﺱ ‪٣٥ -‬‬ ‫‪) ‬ﻕ‪ .‬ﻡ‪ .‬ﺃ( ﻟﻠﺤﺪﻭﺩ‪٩ :‬ﺱ‪٦- ،٢‬ﺱ‪ ٣٥- ،‬ﻫﻮ ‪.١‬‬ ‫‪ ‬ﺑﻤﺎ ﺃﻥ ‪ ٣٥‬ﻟﻴﺲ ﻣﺮﺑ ﹰﻌﺎ ﻛﺎﻣ ﹰﻼ‪ ،‬ﻓﺜﻼﺛﻴﺔ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ ﻻ ﺗﺸ ﹼﻜﻞ ﻣﺮﺑ ﹰﻌﺎ ﻛﺎﻣ ﹰﻼ‪.‬‬ ‫‪ ‬ﺣ ﹼﻠﻞ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎﻝ ﺍﻟﻨﻤﻂ ﺃ ﺱ‪ +٢‬ﺏ ﺱ‪ +‬ﺟـ ‪ .‬ﻫﻞ ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪﺩﺍﻥ ﻧﺎﺗﺞ ﺿﺮﺑﻬﻤﺎ ‪،(٣٥-)٩‬‬ ‫ﺃﻭ ‪ ٣١٥-‬ﻭﻣﺠﻤﻮﻋﻬﻤﺎ ‪٦-‬؟ ﻧﻌﻢ‪ ٢١- ،‬ﹶﻭ ‪ ١٥‬ﻧﺎﺗﺞ ﺿﺮﺑﻬﻤﺎ ‪ .٣١٥-‬ﻭﻣﺠﻤﻮﻋﻬﻤﺎ ‪. ٦-‬‬ ‫ﺍﺳﺘﺨﺪﻡ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ‬ ‫‪٩‬ﺱ‪٦ - ٢‬ﺱ ‪٩ = ٣٥ -‬ﺱ‪ + ٢‬ﻡ ﺱ ‪ +‬ﻥ ﺱ ‪٣٥ -‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ‪٩‬ﺱ‪١٥ + ٢‬ﺱ ‪٢١ -‬ﺱ ‪ ٣٥ -‬ﻡ = ‪ ، ١٥‬ﻥ = ‪٢١-‬‬ ‫‪‬‬ ‫= )‪٩‬ﺱ‪١٥ + ٢‬ﺱ( ‪٢١-) +‬ﺱ ‪ (٣٥ -‬ﺟ ﹼﻤﻊ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ ﺫﺍﺕ‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻮﺍﻣﻞ ﺍﻟﻤﺸﺘﺮﻛﺔ‬ ‫‪‬‬ ‫= ‪٣‬ﺱ)‪٣‬ﺱ ‪٣)٧ - (٥ +‬ﺱ ‪ (٥ +‬ﺣ ﹼﻠﻞ ﻛﻞ ﺗﺠ ﹼﻤﻊ ﺑﺈﺧﺮﺍﺝ‬ ‫‪‬‬ ‫)ﻕ‪ .‬ﻡ‪ .‬ﺃ(‬ ‫= )‪٣‬ﺱ ‪٣)(٥ +‬ﺱ ‪(٧ -‬‬ ‫)‪٣‬ﺱ‪ (٥+‬ﻋﺎﻣﻞ ﻣﺸﺘﺮﻙ‬ ‫‪‬‬ ‫‪٢    ‬ﺱ‪ ٣٢ - ٢‬‬ ‫‪١٢  ‬ﺱ‪٥ + ٢‬ﺱ ‪٢٥ -‬‬ ‫‪ ‬ﻋﻨﺪ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺧﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﺼﻔﺮﻱ ﻓﻲ ﺣﻞ ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﺗﺘﻀﻤﻦ‬ ‫ﻋﻮﺍﻣﻞ ﻣﺘﻜﺮﺭﺓ ﻳﻜﻔﻲ ﻣﺴﺎﻭﺍﺓ ﺃﺣﺪ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻌﻮﺍﻣﻞ ﺑﺎﻟﺼﻔﺮ‪.‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪٩ :‬ﺱ‪٤٨ - ٢‬ﺱ = ‪.٦٤-‬‬ ‫‪٩‬ﺱ‪٤٨ - ٢‬ﺱ = ‪ ٦٤-‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺻﻠﻴﺔ‬ ‫ﺃﺿﻒ ‪ ٦٤‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻄﺮﻓﻴﻦ‬ ‫‪٩‬ﺱ‪٤٨ - ٢‬ﺱ ‪٠ = ٦٤ +‬‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ ﺇﻥ ﻛﺎﻧﺖ ﺛﻼﺛﻴﺔ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ ‪٩‬ﺱ‪٤٨-٢‬ﺱ‪ ٦٤+‬ﺗﻤ ﹼﺜﻞ ﻣﺮﺑ ﹰﻌﺎ ﻛﺎﻣ ﹰﻼ‬ ‫)‪٣‬ﺱ(‪٣)٢ - ٢‬ﺱ()‪٠ =٢(٨) + (٨‬‬ ‫ﺣ ﹼﻠﻞ ﺛﻼﺛﻴﺔ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ ﻋﻠﻰ ﺻﻮﺭﺓ ﻣﺮﺑﻊ ﻛﺎﻣﻞ‬ ‫)‪٣‬ﺱ ‪٠ = ٢(٨ -‬‬ ‫ﺍﻛﺘﺐ )‪٣‬ﺱ‪ ٢(٨-‬ﻛﺤﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﻋﺎﻣﻠﻴﻦ‬ ‫)‪٣‬ﺱ ‪٣)(٨ -‬ﺱ ‪٠ = (٨ -‬‬ ‫‪  ‬‬

‫ﺿﻊ ﺃﺣﺪ ﺍﻟﻌﻮﺍﻣﻞ ﺍﻟﻤﺘﻜﺮﺭﺓ = ‪٠‬‬ ‫‪٣‬ﺱ ‪٠ = ٨ -‬‬ ‫ﺃﺿﻒ ‪ ٨‬ﺇﻟﻰ ﻛﻼ ﺍﻟﻄﺮﻓﻴﻦ‬ ‫ﺍﻗﺴﻢ ﻛﻼ ﺍﻟﻄﺮﻓﻴﻦ ﻋﻠﻰ ‪٣‬‬ ‫‪٣‬ﺱ = ‪٨‬‬ ‫‪_٨‬‬ ‫=‬ ‫ﺱ‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺣﻞ ﻛ ﹼﹰﻼ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻦ ﺍﻵﺗﻴﺘﻴﻦ‪ ،‬ﻭﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﺻﺤﺔ ﺍﻟﺤﻞ ‪:‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫=‬ ‫‪_٤‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﺹ‬ ‫‪_٤‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ﺹ‪٢‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪    ‬ﺃ‪١٢ + ٢‬ﺃ ‪ ٠ = ٣٦ +‬‬ ‫‪٩‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﺳﺒﻖ ﺃﻥ ﺣﻠﻠﺖ ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﻣﺜﻞ ﺱ‪ ٠=١٦-٢‬ﺑﺎﻟﺘﺤﻠﻴﻞ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻌﻮﺍﻣﻞ‪ .‬ﻭﻳﻤﻜﻨﻚ ﺃﻳ ﹰﻀﺎ ﺍﺳﺘﻌﻤﺎﻝ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻲ‬ ‫‪‬‬ ‫ﻟﺤﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪.‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ﺱ‪٠ = ١٦ - ٢‬‬ ‫___‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺻﻠﻴﺔ‬ ‫ﺃﻭ‬ ‫‪±‬‬ ‫ﻳﻘﺮﺃ‬ ‫‪ ١٦‬ﻣﻮﺟﺐ‬ ‫ﺃﺿﻒ ‪ ١٦‬ﺇﻟﻰ ﻛﻼ ﺍﻟﻄﺮﻓﻴﻦ‬ ‫ﺱ‪١٦ = ٢‬‬ ‫ﺳﺎﻟﺐ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻲ ﻟـ ‪١٦‬‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻲ‬ ‫ﺱ = ‪١٦  ±‬‬ ‫ﺗﺬ ﹼﻛﺮ ﺃﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ ﺟﺬﺭﺍﻥ ﺗﺮﺑﻴﻌﻴﺎﻥ ﻟـﹺ ‪ ،١٦‬ﻫﻤﺎ ‪ ٤‬ﹶﻭ ‪ .٤-‬ﻟﺬﺍ ﻓﺈﻥ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ ﻫﻲ }‪ .{٤ ،٤-‬ﻭﻳﻤﻜﻨﻚ ﺍﻟﺘﻌﺒﻴﺮ‬ ‫ﻋﻦ ﺫﻟﻚ ﺑـ }‪.{٤±‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬ﻟﺤﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺱ‪ =٢‬ﻥ‪ ،‬ﹸﺧﺬ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻲ ﻟﻜﻞ ﻃﺮﻑ‪.‬‬ ‫ﻷﻱ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻥ ≤ ‪ ،٠‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺱ‪ = ٢‬ﻥ ﻓﺈ ﱠﻥ ﺱ = ‪  ±‬ﻥ ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺱ‪٢٥ = ٢‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺱ = ‪٥ ± = ٢٥ ±‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺱ‪ =٢‬ﻥ‪ ،‬ﻟﻴﺴﺖ ﻣﺮﺑ ﹰﻌﺎ ﻛﺎﻣ ﹰﻼ‪ ،‬ﻓﺘﺤﺘﺎﺝ ﺇﻟﻰ ﺗﻘﺮﻳﺐ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻲ‪ ،‬ﻟﺬﺍ ﺍﺳﺘﻌﻤﻞ ﺍﻵﻟﺔ‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ‪ .‬ﺃﻣﺎ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻥ ﻣﺮﺑ ﹰﻌﺎ ﻛﺎﻣ ﹰﻼ ﻓﺴﺘﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺇﺟﺎﺑﺔ ﺩﻗﻴﻘﺔ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺻﻠﻴﺔ‬ ‫‪ ‬‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻲ‬ ‫ﹸﺣ ﱠﻞ ﻛ ﹼﹰﻼ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪٩ × ٩ = ٨١‬‬ ‫‪)  ‬ﺹ ‪٨١ = ٢(٦ -‬‬ ‫ﺃﺿﻒ ‪ ٦‬ﺇﻟﻰ ﻛﻼ ﺍﻟﻄﺮﻓﻴﻦ‬ ‫ﺍﻓﺼﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺇﻟﻰ ﻣﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻦ‬ ‫)ﺹ ‪٨١ = ٢(٦ -‬‬ ‫ﺹ ‪٨١  ± = ٦ -‬‬ ‫ﺹ ‪٩± = ٦ -‬‬ ‫ﺹ=‪٩±٦‬‬ ‫ﺹ = ‪ ٩ + ٦‬ﺃﻭ ﺹ = ‪٩ - ٦‬‬ ‫ﺑ ﹼﺴﻂ‬ ‫= ‪٣- = ١٥‬‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺻﻠﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺠﺬﺭﺍﻥ ﻫﻤﺎ ‪ ١٥‬ﹶﻭ ‪٣-‬‬ ‫‪  ‬‬

‫‪) ‬ﺱ ‪١٢ = ٢(٦ +‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺻﻠﻴﺔ‬ ‫)ﺱ ‪١٢ = ٢(٦ +‬‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻲ‬ ‫ﺍﻃﺮﺡ ‪ ٦‬ﻣﻦ ﻛﻼ ﺍﻟﻄﺮﻓﻴﻦ‬ ‫___‬ ‫‪±‬‬ ‫=‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﺱ‬ ‫‪١٢‬‬ ‫___‬ ‫ﺱ = ‪± ٦-‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫___ ___‬ ‫ﺍﻟﺠﺬﺭﺍﻥ ﻫﻤﺎ ‪. ١٢ - ٦- ، ١٢ + ٦-‬‬ ‫‪٩٫٤٦-‬‬ ‫≈‬ ‫___‬ ‫‪-‬‬ ‫‪٦-‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪٢٫٥٤-‬‬ ‫≈‬ ‫___‬ ‫‪+‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎﻝ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ‪٦- ،‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪) ‬ﻉ ‪٢٦ = ٢(٣ +‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪)   ‬ﺃ ‪١٢١ = ٢(١٠ -‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ﻋﺪﺩ‬ ‫ﻹﻳﺠﺎﺩ‬ ‫ﹸﺗﺴﺘﻌﻤﻞ‬ ‫ﻉ‬ ‫= ‪٥-‬ﻥ‪+ ٢‬‬ ‫ﻉ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫ﺇﺫﺍ‬ ‫ﻣﺘ ﹰﺮﺍ‪.‬‬ ‫‪٦٨‬‬ ‫ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫‪ ‬ﹸﺃﺳﻘﻄﺖ ﻛﺮﺓ‬ ‫‪‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫ﺍﻟﺜﻮﺍﻧﻲ )ﻥ( ﺍﻟﺘﻲ ﺗﺤﺘﺎﺝ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﺍﻟﻜﺮﺓ ﻟﻠﻮﺻﻮﻝ ﺇﻟﻰ ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ )ﻉ( ﻣﻦ ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ ﺍﻻﺑﺘﺪﺍﺋﻲ ) ﻉ ( ﺑﺎﻟﻤﺘﺮ‪ ،‬ﻓﺄﻭﺟﺪ‬ ‫‪٠‬‬ ‫ﺍﻟﺰﻣﻦ ﺍﻟﺬﻱ ﺗﺴﺘﻐﺮﻗﻪ ﺍﻟﻜﺮﺓ ﻟﻠﻮﺻﻮﻝ ﺇﻟﻰ ﺍﻷﺭﺽ‪.‬‬ ‫ﻋﻨﺪ ﻣﺴﺘﻮ￯ ﺍﻷﺭﺽ‪ ،‬ﻉ =‪ ٠‬ﻭﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ ﺍﻻﺑﺘﺪﺍﺋﻲ ‪ ، ٦٨‬ﺇﺫﻥ ﻉ = ‪٦٨‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺻﻠﻴﺔ‬ ‫ﻉ = ‪ ٥-‬ﻥ‪ + ٢‬ﻉ‬ ‫‪٠‬‬ ‫ﻋﻮﺽ ﻋﻦ ﻉ ﺑـ ﺻﻔﺮ‪ ،‬ﻭﻋﻦ ﻉ ﺑـ ‪٦٨‬‬ ‫‪ ٥- = ٠‬ﻥ‪٦٨ + ٢‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫ﺍﻃﺮﺡ ‪ ٦٨‬ﻣﻦ ﻛﻼ ﺍﻟﻄﺮﻓﻴﻦ‬ ‫‪ ٥- = ٦٨-‬ﻥ‪٢‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫)‪١٥٦٤‬ﻡ‪١٦٤٢-‬ﻡ(‬ ‫ﺍﻗﺴﻢ ﻋﻠﻰ ‪٥-‬‬ ‫‪ = ١٣٫٦‬ﻥ‪٢‬‬ ‫ﻛﺎﻥ ﺟﺎﻟﻴﻠﻴﻮ ﺃﻭﻝ ﻣﻦ ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ‬ ‫ﺍﻷﺟﺴﺎﻡ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﺍﻟﻜﺘﻞ ﺗﺴﻘﻂ‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻲ‬ ‫‪ ≈ ٣٫٧ ±‬ﻥ‬ ‫ﺑﺎﻟﺴﺮﻋﺔ ﻧﻔﺴﻬﺎ‪ ،‬ﻭﺫﻟﻚ ﺑﺈﺳﻘﺎﻁ‬ ‫ﺟﺴﻤﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﻲ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻣﻦ ﻗﻤﺔ‬ ‫ﺑﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺴﺎﻟﺐ ﻫﻨﺎ ﻟﻴﺲ ﻣﻨﻄﻘ ﹼﹰﻴﺎ‪ ،‬ﻟﺬﺍ ﺗﺴﺘﻐﺮﻕ ﺍﻟﻜﺮﺓ ‪ ٣٫٧‬ﺛﻮﺍ ﹴﻥ ﺗﻘﺮﻳ ﹰﺒﺎ ﻟﻠﻮﺻﻮﻝ ﺇﻟﻰ ﺍﻷﺭﺽ‪.‬‬ ‫ﺑﺮﺝ ﺑﻴﺰﺍ ﺍﻟﻤﺎﺋﻞ ﻓﻲ ﺇﻳﻄﺎﻟﻴﺎ ﻋﺎﻡ‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ١٥٨٩‬ﻣﻴﻼﺩﻳﺔ‪.‬‬ ‫‪  ‬ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻟﺰﻣﻦ ﺍﻟﺬﻱ ﺗﺴﺘﻐﺮﻗﻪ ﺍﻟﻜﺮﺓ ﻟﻠﻮﺻﻮﻝ ﺇﻟﻰ ﺍﻷﺭﺽ ﺇﺫﺍ ﹸﺃﺳﻘﻄﺖ ﻣﻦ ﺳﻄﺢ ﻣﺒﻨﻰ ﺍﺭﺗﻔﺎﻋﻪ ﻧﺼﻒ‬ ‫ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ ﺍﻟﻤﺬﻛﻮﺭ ﺃﻋﻼﻩ‪.‬‬ ‫‪  ‬‬

‫ﺣ ﹼﺪﺩ ﺇﻥ ﻛﺎﻧﺖ ﻛﻞ ﺛﻼﺛﻴﺔ ﺣﺪﻭﺩ ﻓﻴﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﺗﺸ ﱢﻜﻞ ﻣﺮﺑ ﹰﻌﺎ ﻛﺎﻣ ﹰﻼ ﺃﻡ ﻻ‪ ،‬ﻭﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻛﺬﻟﻚ ﻓﺤ ﹼﻠﻠﻬﺎ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٦  ‬ﺱ‪٣٠ + ٢‬ﺱ ‪٣٦ +‬‬ ‫‪٢٥ ‬ﺱ‪٦٠ + ٢‬ﺱ ‪ ٣٦ +‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺣ ﹼﻠﻞ ﻛ ﹼﹰﻼ ﻣﻦ ﻛﺜﻴﺮﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ ﺍﻵﺗﻴﺔ ‪ ،‬ﻭﺇﺫﺍ ﻟﻢ ﻳﻜﻦ ﺫﻟﻚ ﻣﻤﻜ ﹰﻨﺎ ﻓﺎﻛﺘﺐ ”ﺃﻭﻟﻴﺔ“ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٤ ‬ﺱ‪٩ + ٢‬ﺱ ‪١٦ -‬‬ ‫‪٤ ‬ﺱ‪٦٤ + ٢‬‬ ‫‪٢ ‬ﺱ‪ - ٢‬ﺱ ‪٢٨ -‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺣﻞ ﻛ ﹰﹼﻼ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ ‪ ،‬ﻭﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﺻﺤﺔ ﺍﻟﺤﻞ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٦٤ ‬ﺹ‪٤٨ - ٢‬ﺹ ‪)  ٩ = ١٨ +‬ﻉ ‪٤٧ = ٢(٥ +‬‬ ‫‪٤  ‬ﺱ‪٣٦ = ٢‬‬ ‫‪   ‬ﺳﻘﻄﺖ ﻓﺮﺷﺎﺓ ﺍﻟﺪﻫﺎﻥ ﻣﻦ ﻧﺎﻳﻒ ﺃﺛﻨﺎﺀ ﻗﻴﺎﻣﻪ ﺑﻄﻼﺀ ﻏﺮﻓﺔ ﻧﻮﻣﻪ‪ ،‬ﻣﻦ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ‪٢‬ﻡ‪ .‬ﺍﺳﺘﻌﻤﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫‪‬‬ ‫ﻉ = ‪ ٥-‬ﻥ‪ + ٢‬ﻉ ﻹﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺘﻘﺮﻳﺒﻲ ﻟﻠﺜﻮﺍﻧﻲ ﺍﻟﺘﻲ ﺗﺴﺘﻐﺮﻗﻬﺎ ﺍﻟﻔﺮﺷﺎﺓ ﻟﻠﻮﺻﻮﻝ ﺇﻟﻰ ﺍﻷﺭﺽ‪.‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬ﺣ ﹼﺪﺩ ﺇﻥ ﻛﺎﻧﺖ ﻛﻞ ﺛﻼﺛﻴﺔ ﺣﺪﻭﺩ ﻓﻴﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﺗﺸﻜﻞ ﻣﺮﺑ ﹰﻌﺎ ﻛﺎﻣ ﹰﻼ ﺃﻡ ﻻ‪ ،‬ﻭﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻛﺬﻟﻚ ﻓﺤ ﹼﻠﻠﻬﺎ‪:‬‬ ‫‪٤ ‬ﺱ‪٤٢ - ٢‬ﺱ ‪١٦  ١١٠ +‬ﺱ‪٥٦ - ٢‬ﺱ ‪٨١   ٤٩ +‬ﺱ‪٩٠ - ٢‬ﺱ ‪٢٥ +‬‬ ‫‪ ‬ﺣﻠﻞ ﻛ ﹼﹰﻼ ﻣﻦ ﻛﺜﻴﺮﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ ﺍﻵﺗﻴﺔ‪ ،‬ﻭﺇﺫﺍ ﻟﻢ ﻳﻜﻦ ﺫﻟﻚ ﻣﻤﻜﻨﹰﺎ ﻓﺎﻛﺘﺐ \" ﺃﻭﻟﻴﺔ \"‪:‬‬ ‫‪٨ ‬ﺱ‪١٠ + ٢‬ﺱ ‪٢١ -‬‬ ‫‪٢٤ ‬ﺩ‪٣٩ + ٢‬ﺩ ‪١٨ -‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪١٦ ‬ﺃ‪١٢١ - ٢‬ﺏ‪٢‬‬ ‫‪٢ ‬ﺏ‪١٢ + ٢‬ﺏ ‪٢٤ -‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٨  ‬ﺟـ‪٨٨ - ٢‬ﺟـ ‪٢٤٢ +‬‬ ‫‪١٢  ‬ﻡ‪٢٢ - ٣‬ﻡ‪٧٠ - ٢‬ﻡ ‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪١٢ ‬ﻝ‪٣ - ٣‬ﻝ‬ ‫‪  ‬ﻭ‪ - ٤‬ﻭ‪٢‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٤ ‬ﻥ‪١٠ + ٣‬ﻥ‪٨٤ - ٢‬ﻥ‬ ‫‪١٦  ‬ﻙ‪٤٨ - ٣‬ﻙ‪٣٦ + ٢‬ﻙ ‪‬‬ ‫‪٢ ‬ﺭ‪ - ٣‬ﺭ‪٧٢ - ٢‬ﺭ ‪٣٦ +‬‬ ‫‪٢ ‬ﺃ‪٢‬ﺏ‪٢-٢‬ﺃ‪٢-٢‬ﺃﺏ‪٢+٣‬ﺃﺏ ‪‬‬ ‫‪ ‬ﺟـ‪٢ + ٢‬ﺟـ ‪٣ -‬ﻫـ‪٤ + ٢‬ﻫـ‬ ‫‪٣  ‬ﻙ‪٢٤ - ٣‬ﻙ‪٤٨ + ٢‬ﻙ ‪‬‬ ‫‪٨  ‬ﺹ‪٢٠٠ - ٢‬ﻉ‪٢‬‬ ‫‪ ‬ﺣ ﹼﻞ ﻛ ﹰﹼﻼ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ‪ ،‬ﻭﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﺻﺤﺔ ﺍﻟﺤﻞ‪:‬‬ ‫‪) ‬ﺹ ‪٧ = ٢(٤ -‬‬ ‫‪٤ ‬ﻡ‪٢٤ - ٢‬ﻡ ‪٠ = ٣٦ +‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫=‬ ‫‪_٩‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﺱ‬ ‫‪_٣‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﺱ‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫=‬ ‫‪_٢٥‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﺃ‬ ‫‪_١٠‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﺃ‪٢‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪١٦‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٤٩‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪٥ ‬ﺱ‪٦٠ - ٢‬ﺱ = ‪١٨٠-‬‬ ‫‪ ‬ﺱ‪٨ + ٢‬ﺱ ‪٢٥ = ١٦ +‬‬ ‫‪٥٤ - ٩ ‬ﺱ = ‪٨١-‬ﺱ‪٢‬‬ ‫‪٤ ‬ﺱ‪٨٠ = ٢‬ﺱ ‪٤٠٠ -‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٤  ‬ﺟـ‪٤ + ٢‬ﺟـ ‪ ١٥ = ١ +‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬

‫‪    ‬ﹸﺃﺳﻘﻂ ﺑﺎﻟﻮﻥ ﻣﺎﺀ ﻓﻲ ﺗﺠﺮﺑﺔ ﻣﻦ ﻧﺎﻓﺬﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺪﺭﺳﺔ‪ .‬ﺍﺭﺗﻔﺎﻋﻬﺎ ‪٩‬ﻡ‪ .‬ﻣﺎ ﺍﻟﺰﻣﻦ ﺍﻟﺬﻱ ﻳﺴﺘﻐﺮﻗﻪ‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺎﻟﻮﻥ ﻟﻴﺼﻞ ﺇﻟﻰ ﺍﻷﺭﺽ؟ ﻗ ﹼﺮﺏ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺇﻟﻰ ﺃﻗﺮﺏ ﺟﺰﺀ ﻣﻦ ﻣﺌﺔ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   ‬ﹸﻣ ﱢﺜﻠ ﹾﺖ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻣﺮﺑﻊ ﺑﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪٩‬ﺱ‪٤٢ -٢‬ﺱ ‪ .٤٩ +‬ﺃﻭﺟﺪ ﻃﻮﻝ ﺿﻠﻊ ﺍﻟﻤﺮﺑﻊ‪.‬‬ ‫‪  ‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪٨‬ﺹ‪٤٠+٣‬ﺹ‪٥٠+٢‬ﺹ ﺗﻤ ﹼﺜﻞ ﺣﺠﻢ ﻣﻨﺸﻮﺭ ﺭﺑﺎﻋﻲ ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﺔ‪ .‬ﻓﺄﻭﺟﺪ‬ ‫ﺃﺑﻌﺎﺩ ﺍﻟﻤﻨﺸﻮﺭ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻋﻠﻰ ﺻﻮﺭﺓ ﻛﺜﻴﺮﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ ﺑﻤﻌﺎﻣﻼﺕ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺻﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬ﺣ ﹼﻠﻞ ﻣﻨﺼﻮﺭ ﻭﻓﻴﺼﻞ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ﺱ‪ -٨‬ﺱ‪ ٤‬ﺗﺤﻠﻴ ﹰﻼ ﺗﺎ ﹼﹰﻣﺎ ‪ ،‬ﻓﺄﻳﻬﻤﺎ ﺇﺟﺎﺑﺘﻪ ﺻﺤﻴﺤﺔ ؟ ﻓ ﹼﺴﺮ ﺫﻟﻚ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪–   – ‬‬ ‫‪ – –‬‬ ‫‪         ‬‬ ‫‪   ‬ﺣ ﹼﻠﻞ ﺱﻥ ‪ + ٦ +‬ﺱﻥ ‪ + ٢ +‬ﺱﻥ ﺗﺤﻠﻴ ﹰﻼ ﺗﺎ ﹼﹰﻣﺎ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   ‬ﺍﻛﺘﺐ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺛﻼﺛﻴﺔ ﺣﺪﻭﺩ ﺗﺸﻜﻞ ﻣﺮﺑ ﹰﻌﺎ ﻛﺎﻣ ﹰﻼ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻷﻭﺳﻂ ﺳﺎﻟ ﹰﺒﺎ‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭﺍﻟﺤﺪ ﺍﻷﺧﻴﺮ ﻛﺴ ﹰﺮﺍ ﺍﻋﺘﻴﺎﺩ ﹼﹰﻳﺎ‪ ،‬ﺛﻢ ﺣ ﹼﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   ‬ﺍﻛﺘﺐ ﻣﺜﺎﻻﹰ ﻣﻀﺎ ﹼﹰﺩﺍ ﻟﻠﻌﺒﺎﺭﺓ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪\"‬ﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻛﺜﻴﺮﺓ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﺛﻼﺛﺔ ﺣﻠﻮﻝ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ﺩﺍﺋ ﹰﻤﺎ\"‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬ﻓ ﹼﺴﺮ ﻛﻴﻒ ﺗﺤ ﹼﻠﻞ ﻛﺜﻴﺮﺓ ﺣﺪﻭﺩ ﺗﺤﻠﻴ ﹰﻼ ﺗﺎ ﹼﹰﻣﺎ‪.‬‬ ‫‪ ‬ﺣ ﹼﺪﺩ ﺛﻼﺛﻴﺔ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ ﺍﻟﺘﻲ ﺗﺨﺘﻠﻒ ﻋﻦ ﻛﺜﻴﺮﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ ﺍﻷﺧﺮ￯ ﻓﻴﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪ ،‬ﻭﻓ ﹼﺴﺮ ﺇﺟﺎﺑﺘﻚ‪:‬‬ ‫‪٩‬ﺱ‪٢٤ - ٢‬ﺱ ‪٤ ١٦ +‬ﺱ‪١٠ + ٢‬ﺱ ‪٢٥ ٤ +‬ﺱ‪١٠ + ٢‬ﺱ ‪٤ ١ +‬ﺱ‪٣٦ - ٢‬ﺱ ‪٨١ +‬‬ ‫‪  ‬ﻓ ﹼﺴﺮ ﻛﻴﻒ ﺗﺤ ﹼﺪﺩ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺛﻼﺛﻴﺔ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ ﺗﺸﻜﻞ ﻣﺮﺑ ﹰﻌﺎ ﻛﺎﻣ ﹰﻼ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺘﻬﺎ؟‬ ‫ﻓﻤﺎ‬ ‫ﻭﺣﺪﺓ‪،‬‬ ‫‪٦‬ﻁ_‬ ‫ﺩﺍﺋﺮﺓ‬ ‫ﻣﺤﻴﻂ‬ ‫ﻛﺎﻥ‬ ‫‪‬ﺇﺫﺍ‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬ﹸﺣ ﱠﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )ﺱ ‪.٢٥ = ٢(٣ -‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪  ‬ﻁ‪_‬ﻭﺣﺪﺓ ﻣﺮﺑﻌﺔ‬ ‫‪١٤ ،٤  ‬‬ ‫‪ ٢ ،٨-   ‬‬ ‫ﻣﺮﺑﻌﺔ‬ ‫ﻭﺣﺪﺓ‬ ‫‪١٢‬ﻁ_‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪١٤ ،٤-  ‬‬ ‫‪ ٨ ،٢-  ‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫ﻭﺣﺪﺓ ﻣﺮﺑﻌﺔ‬ ‫‪٩‬ﻁ_‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٢٥‬‬ ‫ﻭﺣﺪﺓ ﻣﺮﺑﻌﺔ‬ ‫‪٣٠‬ﻁ_‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٢٥‬‬ ‫‪  ‬‬

‫‪‬‬ ‫ﺣ ﹼﻠﻞ ﻛ ﹰﹼﻼ ﻣﻦ ﻛﺜﻴﺮﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ ﺍﻵﺗﻴﺔ‪ ،‬ﻭﺇﺫﺍ ﻟﻢ ﻳﻜﻦ ﺫﻟﻚ ﻣﻤﻜ ﹰﻨﺎ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎﻝ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﻓﺎﻛﺘﺐ \"ﺃﻭﻟﻴﺔ\"‪  :‬‬ ‫‪٢٥ ‬ﻥ‪١ - ٢‬‬ ‫‪٣ ‬ﺃ‪ ٢٠ - ٢‬‬ ‫‪١٠٠ - ١  ‬ﻝ‪ ٢‬‬ ‫‪٤  ‬ﺱ‪٨١ - ٢‬ﺹ‪ ٢‬‬ ‫ﺣ ﹼﻞ ﻛ ﹰﹼﻼ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ‪ ،‬ﻭ ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﺻﺤﺔ ﺍﻟﺤﻞ‪ :‬‬ ‫‪٢  ‬ﺱ‪١٠ - ٢‬ﺱ = ‪٤٨‬‬ ‫‪١٤ ‬ﺱ‪١٤ + ٢‬ﺱ = ‪ ٢٨‬‬ ‫‪٦  ‬ﺱ‪٤٨ - ٢‬ﺱ ‪٠ = ٩٠ +‬‬ ‫‪ ‬ﺃﻭﺟﺪ ﻣﻴﻞ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ )‪  .(٣- ،٢-) (٧ ،٥‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ﺃﻭﺟﺪ ﻣﻴﻞ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺎ ﹼﺭ ﺑﻜ ﱢﻞ ﺯﻭ ﹴﺝ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻘﺎﻁ ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹰﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪ (٣- ، ٥) (١- ، ٢) ‬‬ ‫‪(١- ، ٥-) (٤ ، ٥-) ‬‬ ‫‪(٣ ، ٨) (٣ ، ٢-) ‬‬ ‫‪  ‬‬