حالات خاصة من ضرب كثيرات الحدود

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻳﺮﻳﺪ ﻣﺤﻤﺪ ﺗﺜﺒﻴﺖ ﻟﻮﺣﺔ ﺍﻟﺮﻣﻲ ﺑﺎﻟﺴﻬﺎﻡ ﺇﻟﻰ ﻟﻮﺡ ﺧﺸﺒﻲ ﻣﺮﺑﻊ ﺍﻟﺸﻜﻞ‪ .‬ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻧﺼﻒ‬ ‫ﻗﻄﺮ ﻟﻮﺣﺔ ﺍﻟﺴﻬﺎﻡ ﻫﻮ )ﻧﻖ ‪ ،(١٢ +‬ﻓﻤﺎ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻟﻮﺡ ﺍﻟﺨﺸﺐ ﺍﻟﺬﻱ ﻳﺤﺘﺎﺝ ﺇﻟﻴﻪ؟‬ ‫‪‬‬ ‫ﻳﻌﺮﻑ ﻣﺤﻤﺪ ﺃﻥ ﻗﻄﺮ ﻟﻮﺣﺔ ﺍﻟﺴﻬﺎﻡ ﻫﻮ ‪) ٢‬ﻧﻖ ‪٢ = (١٢ +‬ﻧﻖ ‪ .٢٤ +‬ﻓﻴﻜﻮﻥ ﻃﻮﻝ‬ ‫‪‬‬ ‫ﻛﻞ ﺿﻠﻊ ﻣﻦ ﺃﺿﻼﻉ ﺍﻟﻤﺮﺑﻊ ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪٢‬ﻧﻖ ‪ .٢٤ +‬ﻭﻹﻳﺠﺎﺩ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻟﻮﺡ ﺍﻟﺨﺸﺐ‬ ‫‪ ‬‬ ‫ﺍﻟﺬﻱ ﻳﺤﺘﺎﺝ ﺇﻟﻴﻪ‪ ،‬ﻓﺈﻥ ﻋﻠﻴﻪ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻤﺮﺑﻊ‪ .‬ﻡ= )‪٢‬ﻧﻖ ‪٢(٢٤ +‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬ﺑﻌﺾ ﺃﺯﻭﺍﺝ ﺛﻨﺎﺋﻴﺎﺕ ﺍﻟﺤﺪ‪ ،‬ﻛﺎﻟﻤﺮﺑﻌﺎﺕ ﻣﺜﻞ )‪٢‬ﻧﻖ ‪ ٢(٢٤ +‬ﻟﻬﺎ‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻧﺎﺗﺞ ﺿﺮﺏ ﻳﺘﺒﻊ ﻗﺎﻋﺪﺓ ﻣﻌﻴﻨﺔ‪ .‬ﻭﺍﺳﺘﻌﻤﺎﻝ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ ﻳﺴﻬﻞ ﻣﻦ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻧﺎﺗﺞ ﺍﻟﻀﺮﺏ‪ .‬ﻓﻤﺮﺑﻊ ﺍﻟﻤﺠﻤﻮﻉ‬ ‫)ﺃ ‪ +‬ﺏ(‪) = ٢‬ﺃ ‪ +‬ﺏ( )ﺃ ‪ +‬ﺏ( ﻫﻮ ﺃﺣﺪ ﻧﻮﺍﺗﺞ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺗﻠﻚ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ +  +  + ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ +  +  +  = ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬ﻣﺮﺑﻊ )ﺃ ‪ +‬ﺏ( ﻫﻮ ﻣﺮﺑﻊ ﺃ ﺯﺍﺋﺪ ﻣﺜﻠﻲ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﺃ ﻓﻲ ﺏ ﻣﻀﺎ ﹰﻓﺎ ﺇﻟﻴﻪ ﻣﺮﺑﻊ ﺏ‪.‬‬ ‫)ﺃ ‪ +‬ﺏ(‪) = ٢‬ﺃ ‪ +‬ﺏ()ﺃ ‪ +‬ﺏ(= ﺃ‪٢ + ٢‬ﺃ ﺏ ‪ +‬ﺏ‪٢‬‬ ‫‪‬‬ ‫)ﺱ ‪) = ٢(٤ +‬ﺱ ‪)(٤ +‬ﺱ ‪ = (٤ +‬ﺱ‪٨ + ٢‬ﺱ ‪١٦ +‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻣﺮﺑﻊ ﺍﻟﻤﺠﻤﻮﻉ‬ ‫‪ ‬‬ ‫ﺃ = ‪٣‬ﺱ‪ ،‬ﺏ = ‪٥‬‬ ‫ﺑ ﹼﺴﻂ‪ .‬ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎﻝ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺑﺎﻟﺘﺮﺗﻴﺐ‪ ،‬ﻭﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﺣﻠﻚ‬ ‫ﺃﻭﺟﺪ ﻧﺎﺗﺞ‪ ٣) :‬ﺱ ‪.٢(٥ +‬‬ ‫)ﺃ ‪ +‬ﺏ(‪= ٢‬ﺃ‪٢ + ٢‬ﺃ ﺏ ‪ +‬ﺏ‪٢‬‬ ‫)‪٣‬ﺱ ‪٣) = ٢(٥ +‬ﺱ(‪٣)٢ + ٢‬ﺱ()‪٢٥ + (٥‬‬ ‫= ‪٩‬ﺱ‪ ٣٠ + ٢‬ﺱ ‪٢٥ +‬‬ ‫‪٣) ‬ﺱ ‪٤ +‬ﺹ(‪٢‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺃﻭﺟﺪ ﻧﺎﺗﺞ ﻛﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪٨)   ‬ﺟـ ‪٣ +‬ﺩ(‪ ٢‬‬ ‫‪  ‬‬

‫ﻭﻹﻳﺠﺎﺩ ﻗﺎﻋﺪﺓ ﻣﺮﺑﻊ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﻴﻦ ﺣﺪﻳﻦ‪ ،‬ﺍﻛﺘﺐ ﺃ‪ -‬ﺏ ﻋﻠﻰ ﺻﻮﺭﺓ ﺃ ‪ -) +‬ﺏ(‪ ،‬ﻭﺭ ﹼﺑﻊ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎﻝ ﻗﺎﻋﺪﺓ‬ ‫ﻣﺮﺑﻊ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺣﺪﻳﻦ‪.‬‬ ‫ﻣﺮﺑﻊ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺣﺪﻳﻦ‬ ‫)ﺃ ‪ -‬ﺏ(‪] = ٢‬ﺃ ‪-) +‬ﺏ([‪ = ٢‬ﺃ‪)٢ + ٢‬ﺃ()‪-‬ﺏ( ‪-) +‬ﺏ(‪٢‬‬ ‫= ﺃ‪٢ - ٢‬ﺃﺏ ‪ +‬ﺏ‪ ٢‬ﺑ ﹼﺴﻂ‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬ﻣﺮﺑﻊ )ﺃ ‪ -‬ﺏ( ﻫﻮ ﻣﺮﺑﻊ ﺃ ﻧﺎﻗﺺ ﻣﺜﻠﻲ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﺃ ﻓﻲ ﺏ ﻣﻀﺎ ﹰﻓﺎ ﺇﻟﻴﻪ ﻣﺮﺑﻊ ﺏ‪.‬‬ ‫)ﺃ ‪ -‬ﺏ(‪) =٢‬ﺃ ‪ -‬ﺏ()ﺃ ‪ -‬ﺏ(= ﺃ‪٢ - ٢‬ﺃ ﺏ ‪ +‬ﺏ‪٢‬‬ ‫‪‬‬ ‫)ﺱ ‪) = ٢(٣ -‬ﺱ ‪)(٣ -‬ﺱ ‪ = (٣ -‬ﺱ‪٦ - ٢‬ﺱ ‪٩ +‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻣﺮﺑﻊ ﺍﻟﻔﺮﻕ‬ ‫ﺃﻭﺟﺪ ﻧﺎﺗﺞ‪٢) :‬ﺱ ‪٥ -‬ﺹ(‪.٢‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ﺃ = ‪٢‬ﺱ ‪ ،‬ﺏ = ‪٥‬ﺹ‬ ‫)ﺃ ‪ -‬ﺏ(‪ = ٢‬ﺃ‪٢ - ٢‬ﺃ ﺏ ‪ +‬ﺏ‪٢‬‬ ‫ﺗﺬ ﹼﻛﺮ ﺃﻥ ﻧﺎﺗﺞ )ﺱ ‪٢(٧ -‬‬ ‫)‪٢‬ﺱ ‪٥ -‬ﺹ(‪٢) = ٢‬ﺱ(‪٢)٢ - ٢‬ﺱ()‪٥‬ﺹ( ‪٥) +‬ﺹ(‪٢‬‬ ‫ﺑ ﹼﺴﻂ‬ ‫= ‪٤‬ﺱ‪٢٠ - ٢‬ﺱ ﺹ ‪٢٥ +‬ﺹ‪٢‬‬ ‫ﻻ ﻳﺴﺎﻭﻱ ﺱ‪ ٢٧ -٢‬ﺃﻭ‬ ‫ﺱ‪ ،٤٩ -٢‬ﻭﺃﻥ‬ ‫)ﺱ ‪= ٢(٧ -‬‬ ‫)ﺱ ‪) (٧ -‬ﺱ ‪= (٧ -‬‬ ‫ﺱ‪١٤ -٢‬ﺱ ‪٤٩ +‬‬ ‫‪) ‬ﺃ ‪٢ -‬ﺏ(‪٢‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٦)    ‬ﺏ ‪٢ (١ -‬‬ ‫ﹸﻳﺴﻤﻰ ﻧﺎﺗﺞ ﻣﺮﺑﻊ ﺍﻟﻤﺠﻤﻮﻉ ﺃﻭ ﻣﺮﺑﻊ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﻴﻦ ﺣﺪﻳﻦ ﺑﺎﻟﻤﺮﺑﻊ ﺍﻟﻜﺎﻣﻞ ﺃﻭ ﺛﻼﺛﻲ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ ﺍﻟﺬﻱ ﻳﺸﻜﻞ ﻣﺮﺑ ﹰﻌﺎ‬ ‫ﻛﺎﻣ ﹰﻼ‪ .‬ﻭﻳﻤﻜﻨﻚ ﺍﺳﺘﻌﻤﺎﻝ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻘﻮﺍﻋﺪ ﻹﻳﺠﺎﺩ ﺃﻧﻤﺎﻁ ﻟﺤﻞ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﻣﻦ ﻭﺍﻗﻊ ﺍﻟﺤﻴﺎﺓ‪.‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪  ‬ﻃﻮﻝ ﺿﻠﻊ ﻣﻜﻌﺐ ﺃﻟﻤﻨﻴﻮﻡ ﺃﻗﻞ ﻣﻦ ﻃﻮﻝ ﺿﻠﻊ ﻣﻜﻌﺐ ﻧﺤﺎﺱ ﺑـﹺ ‪٤‬ﺳﻢ‪ .‬ﺍﻛﺘﺐ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺗﻤﺜﻞ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ ﻣﻜﻌﺐ ﺍﻷﻟﻤﻨﻴﻮﻡ ﺑﺪﻻﻟﺔ ﻃﻮﻝ ﺿﻠﻊ ﻣﻜﻌﺐ ﺍﻟﻨﺤﺎﺱ‪.‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ﺟـ ﻃﻮﻝ ﺿﻠﻊ ﻣﻜﻌﺐ ﺍﻟﻨﺤﺎﺱ‪ ،‬ﺇﺫﻥ ﻃﻮﻝ ﺿﻠﻊ ﻣﻜﻌﺐ ﺍﻷﻟﻤﻨﻴﻮﻡ ﺟـ ‪ ٤-‬‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ ﺍﻟﻤﻜﻌﺐ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺴﻄﺢ = ‪٦‬ﻝ‪٢‬‬ ‫ﻋ ﱢﻮﺽ ﻋﻦ ﻝ ﺑﹺـ )ﺟـ‪(٤ -‬‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺴﻄﺢ = ‪)٦‬ﺟـ ‪٢(٤ -‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻣﺮﺑﻊ ﺍﻟﻔﺮﻕ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺴﻄﺢ = ‪] ٦‬ﺟـ‪)(٤)٢ - ٢‬ﺟـ( ‪[٢٤ +‬‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺴﻄﺢ = ‪) ٦‬ﺟـ‪٨ - ٢‬ﺟـ ‪ (١٦ +‬ﺑ ﹼﺴﻂ‬ ‫‪‬‬ ‫‪   ‬ﻟﺪ￯ﻋﻤﺎﺩﺣﺪﻳﻘﺔ‪،‬ﻃﻮﻟﻬﺎﻭﻋﺮﺿﻬﺎﻝﻣﺘ ﹰﺮﺍ‪،‬ﻭﻳﺮﻳﺪﺇﺿﺎﻓﺔ‪٣‬ﺃﻣﺘﺎﺭﺇﻟﻰﻛﻞﻣﻦﺍﻟﻄﻮﻝﻭﺍﻟﻌﺮﺽ‪.‬‬ ‫‪  ‬ﺑ ﱢﻴﻦ ﻛﻴﻒ ﻳﻤﻜﻦ ﺍﻟﺘﻌﺒﻴﺮ ﻋﻦ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺤﺪﻳﻘﺔ ﺍﻟﺠﺪﻳﺪﺓ ﺑﻤﺮﺑﻊ ﺛﻨﺎﺋﻴﺔ ﺣﺪ‪.‬‬ ‫‪  ‬ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺮﺑﻊ ﺛﻨﺎﺋﻴﺔ ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ‪.‬‬ ‫‪  ‬‬

‫‪ ‬ﺳﻨﺮ￯ ﺍﻵﻥ ﻧﺎﺗﺞ ﺿﺮﺏ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺣﺪﻳﻦ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ‪،‬‬ ‫‪‬‬ ‫)ﺃ‪ +‬ﺏ( )ﺃ‪ -‬ﺏ(‪ .‬ﺗﺬﻛﺮ ﺃﻧﻪ ﻳﻤﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺔ ﺃ ‪ -‬ﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺃ ‪ -) +‬ﺏ(‪.‬‬ ‫‪  ‬ﻋﻨﺪ ﺍﺳﺘﻌﻤﺎﻝ‬ ‫ﺃﻱ ﻣﻦ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻘﻮﺍﻋﺪ ﻓﺈﻥ‬ ‫‪ôØ°U‬‬ ‫‪Ü - GC‬‬ ‫ﺃ‪ ،‬ﺏ ﻗﺪ ﻳﻜﻮﻧﺎﻥ ﻋﺪﺩﻳﻦ‪،‬‬ ‫‪Ü- GC‬‬ ‫ﺃﻭ ﻣﺘﻐﻴﺮﻳﻦ‪ ،‬ﺃﻭ ﻋﺒﺎﺭﺗﻴﻦ‬ ‫‪2Ü - + 2GC = 2Ü - + Ü GC -‬‬ ‫‪Ü GC + 2CG‬‬ ‫‪= Ü CG - 2GC‬‬ ‫‪CG Ü + GC‬‬ ‫ﺑﺄﻋﺪﺍﺩ ﻭﻣﺘﻐﻴﺮﺍﺕ‪.‬‬ ‫‪2Ü - Ü CG Ü‬‬ ‫ﻻﺣﻆ ﺃﻥ ﻛ ﹰﹼﻼ ﻣﻦ ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ ﺍﻷﻭﺳﻄﻴﻦ ﻫﻮ ﻣﻌﻜﻮ ﹲﺱ ﺟﻤﻌﻲ ﻟﻶﺧﺮ‪ ،‬ﻭﻣﺠﻤﻮﻋﻬﻤﺎ ﺻﻔﺮ‪.‬‬ ‫ﻟﺬﺍ ﻓﺈﻥ )ﺃ ‪ +‬ﺏ()ﺃ ‪ -‬ﺏ( = ﺃ‪ - ٢‬ﺃﺏ ‪ +‬ﺃﺏ ‪ -‬ﺏ‪ = ٢‬ﺃ‪ - ٢‬ﺏ‪.٢‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬ﻧﺎﺗﺞ ﺿﺮﺏ )ﺃ ‪ +‬ﺏ(‪) ،‬ﺃ ‪ -‬ﺏ( ﻫﻮ ﻣﺮﺑﻊ ﺃ ﻧﺎﻗﺺ ﻣﺮﺑﻊ ﺏ‪.‬‬ ‫)ﺃ ‪ +‬ﺏ()ﺃ ‪ -‬ﺏ( = )ﺃ ‪ -‬ﺏ()ﺃ ‪ +‬ﺏ(= ﺃ‪ - ٢‬ﺏ‪٢‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﺍﻟﻤﺠﻤﻮﻉ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﺮﻕ‬ ‫ﺃﻭﺟﺪ ﻧﺎﺗﺞ‪٢) :‬ﺱ‪٢)(٣ + ٢‬ﺱ‪.(٣ - ٢‬‬ ‫)ﺃ ‪ +‬ﺏ()ﺃ ‪ -‬ﺏ( = ﺃ‪ - ٢‬ﺏ‪٢‬‬ ‫ﺃ = ‪٢‬ﺱ‪ ، ٢‬ﺏ = ‪٣‬‬ ‫)‪٢‬ﺱ‪٢)(٣ + ٢‬ﺱ‪٢) = (٣ - ٢‬ﺱ‪٢(٣) - ٢(٢‬‬ ‫ﺑ ﹼﺴﻂ‬ ‫= ‪٤‬ﺱ‪٩ - ٤‬‬ ‫‪٤) ‬ﺟـ ‪٧ -‬ﺩ()‪٤‬ﺟـ ‪٧ +‬ﺩ(‬ ‫‪‬‬ ‫‪٣)   ‬ﻥ ‪٣)(٢ +‬ﻥ ‪ (٢ -‬‬ ‫‪٢)  ‬ﺱ ‪٧ +‬ﺹ(‪٢‬‬ ‫‪ - ١١)  ‬ﺃ(‪ ٢‬‬ ‫ﺃﻭﺟﺪ ﻧﺎﺗﺞ ﻛﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪) ‬ﺱ ‪ ٢(٥ +‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪)  ‬ﺟـ ‪٤ -‬ﻫـ()ﺟـ ‪٤ -‬ﻫـ( ‪٣)   ‬ﺟـ ‪٦ +‬ﺩ(‪٢‬‬ ‫‪٣)  ‬ﻡ ‪٣)(٤ -‬ﻡ ‪ (٤ -‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬ﺗﺤﻮﻱ ﻟﻌﺒﺔ ﺍﻟﻘﺮﺹ ﺍﻟﻄﺎﺋﺮ ﻗﺮ ﹰﺻﺎ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ )ﺱ ‪ (٤ +‬ﺳﻢ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬ﺍﻛﺘﺐ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺗﻤﺜﻞ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﺮﺹ ﺍﻟﻄﺎﺋﺮ‪.‬‬ ‫‪  ‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻗﻄﺮ ﺍﻟﻘﺮﺹ ﺍﻟﻄﺎﺋﺮ ‪ ٢٤‬ﺳﻢ‪ ،‬ﻓﻤﺎ ﻣﺴﺎﺣﺘﻪ؟ )ﻁ ≈ ‪.(٣٬١٤‬‬ ‫‪)  ‬ﺱ ‪)(٥ +‬ﺱ ‪٦)    (٥ -‬ﺹ ‪٦)(٧ -‬ﺹ ‪(٧ +‬‬ ‫ﺃﻭﺟﺪ ﻧﺎﺗﺞ ﻛﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪)  ‬ﺃ ‪)(٣ -‬ﺃ ‪ (٣ +‬‬ ‫‪  ‬‬

‫‪) ‬ﻫـ ‪٢(٧ +‬‬ ‫‪)  ‬ﺏ ‪)(٦ -‬ﺏ ‪ (٦ -‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬ﺃﻭﺟﺪ ﻧﺎﺗﺞ ﻛ ﱟﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪)  ‬ﺃ ‪)(١٠ +‬ﺃ ‪ (١٠ +‬‬ ‫‪٢ - ٩) ‬ﺹ(‪٢‬‬ ‫‪ - ٨)  ‬ﻡ(‪ ٢‬‬ ‫‪)  ‬ﺱ ‪ ٢(٦ +‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٨) ‬ﻫـ ‪٤ -‬ﻥ(‪٢‬‬ ‫‪٥) ‬ﻥ ‪٢(٢ -‬‬ ‫‪٢)  ‬ﺏ ‪٢(٣ +‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪    ‬ﺗﻜﻮﻥ ﺳﺠﺎﺩﺓ ﺍﻟﻤﺼﺎﺭﻋﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻌﺎﺩﺓ ﻣﺮﺑﻌﺔ ﺍﻟﺸﻜﻞ‪ ،‬ﻃﻮﻝ‬ ‫‪‬‬ ‫ﺿﻠﻌﻬﺎ ‪ ١٢‬ﻣﺘ ﹰﺮﺍ ﺗﻘﺮﻳ ﹰﺒﺎ‪ ،‬ﻭﺗﺤﺘﻮﻱ ﻋﻠﻰ ﺩﺍﺋﺮﺗﻴﻦ ﻛﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜﻞ‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ‪ .‬ﺍﻓﺘﺮﺽ ﺃﻥ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﺪﺍﺧﻠﻴﺔ )ﺭ( ﻣﺘﺮ‪ ،‬ﻭﺃﻥ ﻧﺼﻒ‬ ‫ﻗﻄﺮ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﺨﺎﺭﺟﻴﺔ ﻳﺰﻳﺪ ﻋﻠﻰ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﺪﺍﺧﻠﻴﺔ ﺑﹺـ ‪ ٣‬ﺃﻣﺘﺎﺭ‪ .‬‬ ‫‪  ‬ﺍﻛﺘﺐ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺗﻤ ﱢﺜﻞ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻜﺒﺮ￯‪.‬‬ ‫‪  ‬ﺍﻛﺘﺐ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺗﻤ ﱢﺜﻞ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺟﺰﺀ ﺍﻟﻤﺮﺑﻊ ﺧﺎﺭﺝ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻜﺒﺮ￯‪.‬‬ ‫‪ - ٤) ‬ﺱ()‪ + ٤‬ﺱ(‬ ‫‪ ‬ﺃﻭﺟﺪ ﻧﺎﺗﺞ ﻛ ﱟﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪) ‬ﻝ ‪)(٣ +‬ﻝ ‪ (٣ -‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٣) ‬ﺃ‪٧ + ٢‬ﺏ()‪٣‬ﺃ‪٧ - ٢‬ﺏ(‬ ‫‪٢)  ‬ﻙ ‪٥ +‬ﺭ()‪٢‬ﻙ ‪٥ -‬ﺭ( ‪‬‬ ‫‪١٠ - ٨) ‬ﺃ(‪٢‬‬ ‫ﺃﻭﺟﺪ ﻧﺎﺗﺞ ﻛ ﱟﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٥) ‬ﺹ ‪ ٢(٧ +‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪) ‬ﺃ ‪٤ +‬ﺏ(‪٢‬‬ ‫‪٣)  ‬ﻥ ‪٣)(١٢ +‬ﻥ ‪(١٢ -‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٢) ‬ﺟـ ‪٩ -‬ﺩ(‪٢‬‬ ‫‪٣)  ‬ﻙ ‪٥ -‬ﺭ(‪٢‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٥) ‬ﺱ‪ - ٢‬ﺹ‪٢(٢‬‬ ‫‪٣) ‬ﺃ‪ - ٤‬ﺏ()‪٣‬ﺃ‪ + ٤‬ﺏ(‬ ‫‪ _٤٣)  ‬ﻙ ‪٢(٨ +‬‬ ‫‪٨)  ‬ﺃ‪٩ - ٢‬ﺏ‪٨)(٣‬ﺃ‪٩ + ٢‬ﺏ‪ (٣‬‬ ‫‪٧) ‬ﻉ‪٥+٢‬ﺹ‪٧)(٢‬ﻉ‪٥-٢‬ﺹ‪(٢‬‬ ‫‪ _٥٢) ‬ﺹ ‪٢(٤ -‬‬ ‫‪) ‬ﺭ ‪)(٢ +‬ﺭ ‪)(٥ -‬ﺭ ‪)(٢ -‬ﺭ ‪(٥ +‬‬ ‫‪٢) ‬ﻡ ‪٢)(٣ +‬ﻡ ‪)(٣ -‬ﻡ ‪(٤ +‬‬ ‫‪   ‬ﺍﻛﺘﺐ ﻛﺜﻴﺮﺓ ﺣﺪﻭﺩ ﺗﻤ ﱢﺜﻞ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺃﺩﻧﺎﻩ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬

‫ﺃﻭﺟﺪ ﻧﺎﺗﺞ ﻛ ﱟﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪) ‬ﻑ ‪ +‬ﺟـ()ﻑ ‪ -‬ﺟـ()ﻑ ‪ +‬ﺟـ(‬ ‫‪)  ‬ﺟـ ‪ +‬ﺩ()ﺟـ ‪ +‬ﺩ()ﺟـ ‪ +‬ﺩ( ‪٢) ‬ﺃ ‪ -‬ﺏ(‪٣‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪)  ‬ﻙ ‪ -‬ﻡ()ﻙ ‪ +‬ﻡ()ﻙ ‪ -‬ﻡ( ‪) ‬ﻥ ‪ -‬ﺏ(‪)٢‬ﻥ ‪ +‬ﺏ( ‪)   ‬ﻙ ‪ +‬ﺭ(‪)٢‬ﻙ ‪ -‬ﺭ(‬ ‫‪‬‬ ‫‪    ‬ﺳﻮﻑ ﺗﻜﺘﺸﻒ ﻓﻲ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ﻗﺎﻋﺪﺓ ﺗﻤﺜﻞ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺣﺪﻳﻦ ﻓﻲ‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ‪ ،‬ﺍﺑﺪﺃ ﺑﻮﺭﻗﺔ ﻣﺮﺑﻌﺎﺕ‪ .‬ﻭﺍﺭﻣﺰ ﺇﻟﻰ ﻃﻮﻝ ﻛﻞ ﺿﻠﻊ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺮﺑﻊ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ﺃ‪ ،‬ﺛﻢ ﺍﺭﺳﻢ ﻣﺮﺑ ﹰﻌﺎ ﺻﻐﻴ ﹰﺮﺍ ﻓﻲ‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ﺇﺣﺪ￯ ﺯﻭﺍﻳﺎﻩ‪ ،‬ﻭﺍﺭﻣﺰ ﺇﻟﻰ ﻃﻮﻝ ﺿﻠﻌﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ﺏ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪    ‬ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻛﻞ ﻣﺮﺑﻊ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪    ‬ﻗﺺ ﺍﻟﻤﺮﺑﻊ ﺍﻟﺼﻐﻴﺮ ﻣﻦ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‪ .‬ﻣﺎ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺸﻜﻞ‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺒﻘﻴﺔ؟‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   ‬ﺍﻓﺼﻞ ﺍﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻞ ﺍﻟﺼﻐﻴﺮ ﺍﻟﺴﻔﻠﻲ‪ ،‬ﺛﻢ ﺩ ﹼﻭﺭﻩ ﻭﺍﺳﺤﺒﻪ ﺇﻟﻰ ﺟﻮﺍﺭ‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻞ ﺍﻟﻌﻠﻮﻱ‪ .‬ﻣﺎ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻞ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﺠﺪﻳﺪ؟ ﻭﻣﺎ ﻋﺮﺿﻪ؟‬ ‫؟‬ ‫ﻭﻣﺎ ﻣﺴﺎﺣﺘﻪ؟‬ ‫‪    ‬ﻣﺎ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﺗﻮﺻﻠﺖ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﻣﻦ ﺍﻟﻔﻘﺮﺗﻴﻦ ﺏ‪ ،‬ﺟـ؟ ؟‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬ﺣﺪﺩ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻋﻦ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﺜﻼﺙ ﺍﻷﺧﺮ￯ ﻓﻴﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪٢) ‬ﺟـ ‪ -‬ﺩ()‪٢‬ﺟـ ‪ -‬ﺩ( )‪٢‬ﺟـ ‪ +‬ﺩ()‪٢‬ﺟـ ‪ -‬ﺩ( )‪٢‬ﺟـ ‪ +‬ﺩ()‪٢‬ﺟـ ‪ +‬ﺩ( )ﺟـ ‪ +‬ﺩ()ﺟـ ‪ +‬ﺩ(‬ ‫‪    ‬ﻫﻞ ﻳﻮﺟﺪ ﻗﺎﻋﺪﺓ ﻟﻤﻜﻌﺐ ﺍﻟﻤﺠﻤﻮﻉ )ﺃ‪ +‬ﺏ(‪٣‬؟‬ ‫‪ ‬ﺍﺳﺘﻘ ﹺﺺ ﺇﺟﺎﺑﺔ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ ﺑﺈﻳﺠﺎﺩ ﻧﺎﺗﺞ‪) :‬ﺃ‪ +‬ﺏ( )ﺃ‪ +‬ﺏ( )ﺃ‪ +‬ﺏ(‪.‬‬ ‫‪‬ﺍﺳﺘﻌﻤﻞ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﻭﺟﺪﺗﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﺮﻉ ﺃ ﻹﻳﺠﺎﺩ ﻧﺎﺗﺞ‪) :‬ﺱ‪.٣(٢ +‬‬ ‫‪   ‬ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺟـ ﺍﻟﺘﻲ ﺗﺠﻌﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪٢٥‬ﺱ‪٩٠ -٢‬ﺱ‪ +‬ﺟـ ﻣﺮﺑ ﹰﻌﺎ ﻛﺎﻣ ﹰﻼ‪.‬‬ ‫‪   ‬ﺻﻒ ﻛﻴﻒ ﺗﺠﺪ ﻣﺮﺑﻊ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺣ ﹼﺪﻳﻦ ﻭﻣﺮﺑﻊ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﻴﻦ ﺣ ﹼﺪﻳﻦ‪ ،‬ﻭﻛﻴﻒ ﺗﺠﺪ ﻧﺎﺗﺞ ﺿﺮﺏ ﻣﺠﻤﻮﻉ‬ ‫ﺣ ﹼﺪﻳﻦ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ‪.‬‬ ‫‪  ‬‬

 ‫ ﻛﻢ ﺩﻗﻴﻘﺔ‬.‫ﻛﻠﻢ ﻓﻲ ﻡ ﺩﻗﻴﻘﺔ ﺑﺴﻴﺎﺭﺗﻪ‬٦ ‫ ﻳﻘﻄﻊ ﻣﺮﻭﺍﻥ ﻣﺴﺎﻓﺔ‬  ‫(؟‬٣ -‫ﺃ‬٢) (٣ -‫ﺃ‬٢) ‫ ﻣﺎ ﻧﺎﺗﺞ ﺿﺮﺏ‬  ‫ ﻛﻠﻢ ﺑﻬﺬﺍ ﺍﻟﻤﻌﺪﻝ؟‬٣٠ ‫ﺳﻴﺤﺘﺎﺝ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﻟﻘﻄﻊ‬ ٩ - ‫ﺃ‬١٢ - ٢‫ﺃ‬٤    ٩ + ‫ﺃ‬١٢ + ٢‫ﺃ‬٤    ‫ﻡ‬٥    ‫ﻡ‬ _٣    ٩ + ‫ﺃ‬١٢ - ٢‫ﺃ‬٤    ٩ + ٢‫ﺃ‬٤    ١٥ _‫ﻡ‬   ‫ﻡ‬١٨٠   ٥   :(٧ - ‫ﻫـ‬٢)(٣ - ‫ﻫـ‬٤) ‫ ﺃﻭﺟﺪ ﻧﺎﺗﺞ‬  ( )-٢‫ﺏ‬_١٢ + (٤ - ‫ﺏ‬٦)‫ﺏ‬٣ ‫ﺑ ﱢﺴﻂ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ‬  : ‫ﺏ‬٣ ٢   .(٧ ،٤) ،(١ ،١) ‫ ﺍﻛﺘﺐ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ‬     :‫ﺣﻠﻞ ﻛ ﹼﹰﻼ ﻣﻦ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺇﻟﻰ ﻋﻮﺍﻣﻠﻬﺎ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ‬ ١٦٥    ٩٠٠  ١٢٠   ٤٠    