Οι φυσικοί αριθμοί

Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου Κεφάλαιο Πρώτο Δυνάμεις των φυσικών αριθμών 1.Στοιχεία θεωρίας 2.Παραδείγματα 3.Μεθοδική επίλυση ασκήσεων του σχολικού βιβλίου4.Προτεινόμενες ασκήσεις του σχολικού βιβλίου για εξάσκηση ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

 νιοστή δύναμη του φυσικού αριθμού α ονομαζουμε το γινόμενο του α επί τον εαυτό του ν φορές. Δηλαδή      π.χ, για ν=3 και α=2 α  23  2.2.2  8  φορέςΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Λύση άσκησης 3 σελίδα 22 σχολικού βιβλίου21  222  2  2  423  2  2  2  2  4  824  2  2  2  2  2  8  1625  2  2  2  2  2  2  16  3226  2  2  2  2  2  2  2  32  6427  2  2  2  2  2  2  2  2  64  12828  2  2  2  2  2  2  2  2  2  128  25629  2  2  2  2  2  2  2  2  2  2  256  512210  2  2  2  2  2  2  2  2  2  2  2  512  1024 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Λύση άσκησης 4 σελίδα 22 σχολικού βιβλίου102  10  10  100202  2020  2 102 10  22 10 10  4  100  400302  30 30  3  10 3  10  3  3  10 10  9 100  900Λύση της άσκησης 5 σελ.22 του σχολικού βιβλίου 103  10  10  10  1000 203  20  20  20  2  10  2  10  2  10  2  2  2  10  10  10  8  1000  8000 303  30  30  30  3  10  3  10  3  10  3  3  3  10  10  10  27  1000  27000 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Πράξεις μεταξύ φυσικών αριθμώνΣειρά πού εκτελούμε τις πράξεις :Πρώτα οι δυνάμειςΈπειτα οι πολλαπλασιασμοίκαι οι διαιρέσεις καιΤέλος οι προσθέσεις και οιαφαιρέσειςΠροσοχή οι πράξεις μέσαστις παρενθέσεις προηγούνταιΠαράδειγμα : Λύση τηςάσκηση 6 σελ.22 σχολ.β.α) 3 52  3  25  75πρώτα η δύναμη μετά ο πολαπλασιασμός ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Λύση τηςάσκηση 6 σελ.22 σχολ.β. (β) 3 52  2  3  25  2  75  2  77 πρώτα η δύναμη ,μετά ο πολ/σμός και τέλος η πρόσθεση (γ) 3 52  22  3 25  4  75  4  79 (δ) 3 5  22  3 5  4  15  4  19 (ε) 3 (5  2)2  3  72  3  49  147 πρώτα η πράξη μέσα στη παρένθεση, μετά ο πολ / σμός και τέλος η πρόσθεσηΠροσπάθησε με τον ίδιο τρόπο να λύσεις τις άσκησεις 8,11 ,12 του βιβλίου.Αν έχεις πρόβλημα επικοινώνησε με το mathschool-online! Kαλή επιτυχία ! ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Προσοχή! (α) a  a  a  3 a ενώ (β) a a a  a3 π.χ, 222  8π.χ, 2  2  2  6Δες την άσκηση 9 του σχ.βιβ.Ευκλείδεια ΔιαίρεσηΤαυτότητα της ευκλ.διαίρεσηςΔ=δ.π+υόπου ο Δ είναι ο Διαιρετέος , ο δ είναι οδιαιρέτης, το π είναι το πηλίκο τηςδιαίρεσης και το υ είναι το υπόλοιπο,επιπλέον ,0    Παράδειγμα: Δ=30 και δ=5 τότε 30 5  6δηλαδή το πηλίκο π είναι 6 και το υπόλοιπο υείναι 0 και η ευκλειδεια ταυτοτητα είναι , 30=5.6+0προσοχή !παντα πρέπει να εξετάζουμε εάν το υπόλοιπο υ ειναι μικρότεροτου διαιρέτη δ,διαφορετικα δεν έχουμε ευκλείδεια διαίρεση!ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Παράδειγμαστην άσκηση 3 ,σελίδα 26 του σχ.βιβ.(β)η 762  38  19  40δεν ειναι ευκλ.διαίρεση ,διότι το υπόλοιπο της διαίρεσηςδηλαδή το 40 είναι μεγαλύτερο και του 38 και του 19.Λύση της άσκησης 3 σελ.263(α) είναι, 3(β) δεν είναι ,3(γ) είναι, 3(δ) είναιΛύση της άσκησης 2 σελ.26 σχ. βιβ.(α) Τα 5μ κοστίζουν 65 ευρώΤο 1μ πόσο κοστίζει ;Από τα πολλά για να πάμε στα λίγα διαιρούμε,δηλαδήΤο 1μ κοστίζει 65 5  13 ευρώΜε τον ίδιο τρόπο υπολόγισε εσύ το (β)και το(γ).Αν έχειςαπορία επικοινώνησε με το mathschool-online! ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Λύση της άσκησης 4 σελ.26 σχ.βιβ.Εάν διαιρέσω το ν με το 8 θα δώσει η διαίρεση ένα πηλίκο π και ένα υπόλοιπο υΓκναωι τρόίζτωε μόπμοωρςώόνται0γράψω την ευκλ.ταυτότητα Δ=δ.π+υ, δηλαδή, ν=8.π+υΔηλαδή, το υπόλοιπο υ ειναι μεγαλύτερο ή ίσο με το μηδέν και μικρότεροή το πολύ ίσο με το διαιρέτη που είναι το 8 .Άρα το υπόλοιπο υ μπορεί ναείναι 0,1,2,3,4,5,6,7,8.Λύση της άσκησης 5 σελ.26 σχ.βιβ.Έστω Δ ο αριθμός που ψάχνω . ‘Αν διαιρεθεί με το 9 ,δηλαδή το 9 είναι οδιαιρέτης δ, τότε αφήνει πηλίκο π , 73 και υπόλοιπο υ, 4.Επομένως η ευκλείδεια ταυτότητα γράφεται ως εξής:Δ=δπ+υ ,δηλαδή, Δ=9.73+4=661, δηλαδή Δ=661. ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού αΕίναι οι αριθμοί που προκύπτουν απο το πολ/σμότου αριθμού α με όλους τους Φυσικoύς,δηλ.το1.α ,το 2.α, το 3.α, το 4.α, κλπ (Δες και τη παράγραφο Α.1.5 σελ.27 σχ.βιβ.)Παράδειγματα πολ/σια του 2 είναι:1.2=2, 2.2=4, 3.2=6, 4.2=8, 5.2=10, 6.2=12, κλπ.τα πολ/σια του 3 είναι 1.3 =3, 2.3=6, 3.3=9, 4.3=12, 5.3=15, 6.3=18,7.3=21,8.3=24, κλπτο πολ/σιο που είναι κοινο και για το 2 και για το 3 είναι το 6 και λέγεται κοινόπολ/σιο των 2 και 3.Τα πολ/σια του 4 είναι 1.4=4, 2.4=8, 3.4=12, 4.4=16, 5.4=20, 6.4=24,κλπΤα κοινά πολ/σια των 3και 4 είναι τα 12 και 24 .Το μικρότερο από αυτά δηλαδή το 12 και λέγεται Ελάχιστο Κοίνο Πολ/σιοτων αριθμών 3 και 4.Γράφουμε λοιπόν ΕΚΠ(3,4)=12 Δες και την Εφαρμογή 1. σελιδά 27 σχ.βιβ. ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Ποιοί φυσικοί αριθμοί διαιρούνται με ποιούςΚριτήρια διαιρετότητας(α) Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 2 αν το τελευταίο ψηφίο του είναι0,2,4,6,8.Πχ οι αριθμοί 50,22,324,236,58,κλπ(β) Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 3 αν το άθροισμα των ψηφίωντου διαιρείται με το 3Πχ 33,12,63,66,κλπ(γ) Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 5 αν το τελευταίο ψηφίο του είναι0ή5Πχ 20,35,55,450,675,κλπΠαράδειγμαΛύση άσκησης 11 σελ.30 σχ.βιβ.(α) το τελευταίο ψηφίο του 28 είναι το 8 συνεπώς διαιρείται με το2(β) το τελευταίο ψηφίο του 82 είναι το 2 συνεπώς διαιρείται με το2(γ) το τελευταίο ψηφίο του 95 είναι το 5 συνεπώς διαιρείται με το5(δ) i) το άθροισμα των ψηφίων του 105 ε.ίναι 1+0+5=6 ,το 3 διαιρεί τον αριθμό6συνεπώς διαιρεί και τον 105 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Συνέχεια : ii) το τελευταίο ψηφίο του 105 είναι το 5 συνεπώςδιαιρείται με το 5,άρα ο 105 διαιρείται με τον 3 και τον 5(ε) ο 124 διαιρείται με τον 2 διότι το τελευταίο του ψηφίο είναι το 4(στ) i) για τον 345 έχουμε: 3+4+5=12, ο 3 διαιρεί τον 12 άρα διαιρεί και τον 345. ii) ο 345 διαιρείται με τον 5 διότι το τελευταίο του ψηφίο είναι το 5(ζ) ο1232 διαιρείται με τον 2 διότι το τελευταίο του ψηφίο είναι το 2(η) για τον 3999 έχουμε : 3+9+9+9=30, ο 3 διαιρεί τον 30 συνεπώς διαιρεί και τον3999.Πως αναλύουμε τους φυσικούς αριθμούς σε παράγοντεςΠαράδειγμαΆσκηση 12 σελίδα 30 σχ.βιβΛύση(α)78 2 78 2  3939 3 39 3  1313 131 13 13  1 78  2 3  13 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

(β) 2 348  2  174 2 174  2  87 348 3 174 29 87  3  29 87 29 29 29  1 1 1210 2  605348  22 3 29  348  22  3 29 605 5  121γ) 1210 2 121  121  1 605 5 121 121 1 1210  25121 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης( ΜΚΔ) δηλαδή ο μεγαλύτερος από τουςκοινούς διαιρέτες δύο ή περισσότερων αριθμώνΛύση άσκησης 7 σελ.30 σχ.βιβ.(α) ΜΚΔ(5,8)=1, οι διαιρέτες του 5 είναι ο 1 και ο 5 Ενώ οι διαιρέτες του 8 είναι ο 1,2,4 και ο 8 Ο κοινος τους διαιρέτης είναι ο 1 και μάλιστα ειναι ο ΜΚΔΑφού δεν υπάρχει άλλος.(β) ΜΚΔ(16,24)=8, οι διαιρέτες του 16 είναι οι 1, 2,4,8,16 Οι διαιρέτες του 24 είναι οι 1,2,3,4,6,8,12,24 Οι κοινοί διαιρέτες τους είναι οι 1,2,4,8 Ο μεγαλύτερος απο τους κοινούς διαιρέτες τους είναι ο 8Δηλαδή ο ΜΚΔ τους είναι ο 8.(γ) ΜΚΔ(30,15)=15οι διαιρέτες του 30 είναι οι 1,2,3,5,10,15,30οι διαιρέτες του 15 είναι οι 1,3,5,15Ο μεγαλύτερος απο τους κοινούς διαιρέτες τους είναι ο 15Δηλαδή ο ΜΚΔ τους είναι ο 15 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Συνέχεια της άσκησης 7 σελ.30 σχ.βιβ. :(δ) ΜΚΔ(10,30,60)=10οι διαιρέτες του 10 είναι οι 1,2,5,10του 30 είναι οι 1,2,3,5,10,15,30του 60 είναι οι 1,2,3,4,5,6,10Ο μεγαλύτερος απο τους κοινούς διαιρέτες τους είναι ο 10Δηλαδή ο ΜΚΔ τους είναι ο 10(ε)ΜΚΔ(22,32,50)=2οι διαιρέτες του 22 είναι οι 1,2,11,22του 32 είναι οι 1,2,4,8,16,32Ο μεγαλύτερος απο τους κοινούς διαιρέτες τους είναι ο 2Δηλαδή ο ΜΚΔ τους είναι ο 2ΣΥΜΒΟΥΛΗΝΑ ΜΑΘΕΙΣ ΠΟΛΥ ΚΑΛΑ ΤΗΝ ΠΡΟΠΑΙΔΕΙΑΒοηθα στο να βρίσκεις τους διαιρέτες των φυσικών αριθμώνΑν έχεις απορία να με ρωτήσεις! ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ