Β λυκείου Μαθηματικά θετικής κατεύθυνσης

Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών http://www.mathschool-online.gr Μαθηματικά Β΄ Λυκείου Κατεύθυνσης Λύση ασκήσεων Πράξεις με διανύσματα Γεωμετρικοί τόποι Μέτρο διανύσματος 1η άσκησηΔίνονται τα διανύσματα v και w όπου v=(α-1,-2) και w=(β-2,α) Να βρεθούν τα α και β ώστε να ισχύουν τα εξής 1)v=w 2)3v-2w=0 Λύση 1) Θέλω v=w ισοδύναμα (α-1,-2)=(β-2,α) -> α-1=β-2 (1) και -2=α (2) Η (1) λόγω της (2) γίνεται -2-1=β-2->-3=β-2->-1=β->β=-1 Επομένως α=-2 και β=-1 2) 3v-2w=0 -> 3(α-1,-2)-2(β-2,α)=0-> (3α-3,-6)-(2β-4,2α)=0-> (3α-3-(2β-4),-6-2α)=(0,0)-> (3α-3-2β+4,-6-2α)=(0,0)-> Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών http://www.mathschool-online.gr 1

Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών http://www.mathschool-online.gr 3α-3-2β+4=0-> 3α-2β=-1(1) -6-2α=0->-2α=6->α=-3 (2) Η (1) λόγω της (2) γίνεται 3(-3)-2β=-1->-9-2β=-1->-2β=-1+9->-2β=8->β=-4 Επομένως α=-3 και β=-4 2η άσκηση Δίνονται τα σημεία Α(-1,0) Β(2,-3) Γ(0,1) Να βρεθεί το διάνυσμα w έτσι ώστε    2=w AB − 5.AΓ (1)Υπολογίζω τις συντεταγμένες των διανυσμάτων ΑΓ και ΑΒ  ΑΓ = (0 +1,1− 0) = (1,1)  ΑΒ = (2 +1, −3 − 0) = (3, −3) Οπότε η σχέση (1) γίνεται    2=w AB − 5.AΓ -> 2(x,y)=(3,-3)-5.(1,1)->(2x,2y)=(3,-3)-(5,5)-> (2x,2y)=(3-5,-3-5)->(2x,2y)=(-2,-8)-> 2x=-2->x=-1 και 2y=-8->y=-4 Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών http://www.mathschool-online.gr 2

Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών http://www.mathschool-online.gr  Άρα w =(−1, −4) 3η άσκηση Δίνονται τα σημεία Α(-2,1) και Β(3,-2) Να βρεθεί το σημείο Μ τέτοιο ώστε   2.ΑΜ − 3.ΒΜ =0 (1) Λύση Έστω Μ(x,y)Yπολογίζω τις συντεταγμένες των διανυσμάτων ΑΜ και ΒΜ  AM =(x + 2, y −1)  ΒΜ =(x − 3, y + 2) Επομένως η σχέση (1) γράφεται 2.(x+2,y-1)-3.(x-3,y+2)=0-> 2x+2-3x+9=0 (Ι) και 2y-2-3y-6=0 (ΙΙ) (Ι) -> 2x+2-3x+9=0 ->-x=-11->x=11 (II) -> 2y-2-3y-6=0 -> -y=8 -> y=8 Άρα το σημείο Μ έχει συντεταγμένες x=11 , y =8 Δηλαδή Μ=(11,8) Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών http://www.mathschool-online.gr 3

Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών http://www.mathschool-online.gr 4η άσκησηΝα βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος το συμμετρικό του σημείου Α(1,0) ως προς Β(0,3) Λύση Πρόκειται για συμμετρία ως προς κέντρο Έστω Α΄(x,y) το συμμετρικό του Α ως προς Β Θα ισχύει AB = A΄Β (Ι)Yπολογίζω τις συντεταγμένες των διανυσμάτων ΑΒ και Α΄Β Για το ΑΒ:  ΑΒ = ( 0-1,3-0)=(-1,3) Για το Α΄Β:  Α΄Β = ( 0-x,3-y)=(-x,3-y) Eπομένως η σχέση (Ι) γράφεται 1+ 9 = (−x)2 + (3 − y)210= x2 + (3 − y)2 →10 = x2 + (y − 3)2 → 2 = (x − 0)2 + (y − 3)210Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών http://www.mathschool-online.gr 4

Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών http://www.mathschool-online.gr Αυτό σημαίνει ότι οι συντεταγμένες x και y του σημείου Α΄ ικανοποιούν την εξίσωση του κύκλου κέντρου Κ(0,3) και ακτίνας ρ = 10 Επομένως το συμμετρικό σημείο Α΄του σημείου Α ως προς το σημείο Β ανήκει στο κύκλο κέντρου Κ(0,3) και ακτίνας ρ = 10 Και οι συντεταγμένες x , y του Α΄ ικανοποιούν επίσης την εξίσωση της ευθείας ΑΒ : y=λx+β Η ευθεία y=λx+β ικανοποιείται από τα σημεία Α(1,0) και Β(0,3) Οπότε υπολογίζεται ότι είναι y=-3x+3Eπομένως οι συντεταγμένες του σημείου Α΄αποτελούν λύση του συστήματος y=-3x +3 (1) 10 = x2 + (y − 3)2 (2) Λύνω το σύστημα Η (2) λόγω της (1) γίνεται 10=x2 +(-3x+3-3)2 -> 10=x2 + (-3x)2 ->10=x2 +9x2 -> 10=10x2 -> x2 =1 -> x=1και x=-1 Άρα η σχέση (1) για x=1 γίνεται y=-3.1+3 -> y=0 Δηλαδή Α΄(1,0) που ταυτίζεται με το Α και δεν θέλουμε Για x=-1 η (1) γίνεται Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών http://www.mathschool-online.gr 5

Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών http://www.mathschool-online.gr y=-3.(-1)+3=3+3=6 Επομένως Α΄ (-1,6) Καλή μελέτη !Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών http://www.mathschool-online.gr 6