Μαθηματικά Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Διαφορικός λογισμός

www.mathschool-online.com Διαδικτυακό Φροντιστήριο ΜαθηματικώνΓενικά Επαναληπτικά Θέματα και Απαντήσεις για εξάσκηση της Γ΄ Λυκείου Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Διαφορικός Λογισμός 1. Ι) Αν f (x) = 1 / x και g(x) = (x-1) / (x2-x) Nα βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g. ΙΙ) Να βρείτε το όριο της g(x) = (x-1) / (x2-x) Όταν το x τείνει στο 1. Δηλαδή το lim x-1 x→1 x2 -12.Ι) Πότε μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο π.ο της Α.ΙΙ) Να εξετάσετε εάν η συνάρτηση f (x) = 2x+1 / x είναι συνεχής στο π.ο της. 3.I) Να βρεθεί για τη συνάρτηση f (x) = x2 o ρυθμός μεταβολής της ως προς x, όταν το www.mathschool-online.com 1

www.mathschool-online.com x = x0= 2 II) Nα βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της f με f (x) = -2 / x στο σημείο της Α (4,f(4)) εάν f ΄(4) = 1 / 8. 4 . Με τη βοήθεια της ιδιότητας ( αf(x) )΄ = α(f(x))΄ να υπολογισθεί η παράγωγος της i) f (x) = (-π/2).ημx ii) f (x) = -συνx 5.I) Πως συνδέεται το ελάχιστο μιας συνάρτησης με την πρώτη παράγωγό της; II) Nα βρεθεί το ακρότατο της συνάρτησης f(x)=x2+4x. Aπαντήσεις 1.Ι) f (x) = 1 / x Η f έχει νόημα ύπαρξης εάν και μόνο αν oπαρονομαστής δεν είναι μηδέν , δηλ. , εάν και μόνο αν x ≠ 0. Άρα π.ο, f : R-{0} Η g(x) = (x-1) / (x2-x) έχει νόημα ύπαρξης εάν και μόνο αν o παρονομαστής δεν είναι μηδέν, δηλαδή (x2-x ) ≠ 0→ x(x-1) ≠ 0→x ≠ 0 και x ≠ 1. www.mathschool-online.com 2

www.mathschool-online.comΆρα π.ο, g : R-{0,1} ΙΙ)=lxi→m1 xx2--11 li=m x-1 x→1 x(x-1)lim 1= 1= 1x→1 x 12.Ι) Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο π.ο της Α, όταν για κάθε x0 € A, ισχύειlim f ( x ) =f ( x0 )x → x0ΙΙ) f (x) = 2x+1 / xπ.ο της f το R-{0}Επομένως για κάθε x0 € R-{0}→x0 ≠ 0, 2x+1 = 2x0 +1 = f (x0) lim x0xx→x0 ≠0Eπομένως η f είναι συνεχής στο π.ο της , το R-{0}3.I) O ρυθμός μεταβολής της συνάρτησηςf (x) = x2 ως προς x, όταν το x = x0= 2www.mathschool-online.com 3

www.mathschool-online.com είναι=f ΄( x0 ) lim f (x0 +h) -f (x0 ) ⇒ h→0 hf ΄(2) = lim f (2+h) -f (2) = h→0 h (2+h )2 -22 li=m 22 +2.2.h+h2 -22=limh→0 h h→0 h=lim 4h+h2 li=m h (4+h) lim (4+h) =h→0 h h→0 h h→04+0=4 ⇒ f ΄(2) = 4 II) Η εξίσωση της εφαπτομένης της f με f (x) = -2 / xστο σημείο της Α (4,f(4)) όταν f ΄(4) = 1 / 8, είναι η y = λx+β (Ι) Επειδή λ = f ΄(4) = 1 / 8 έχω , y = (1 / 8)x + β (Ι)www.mathschool-online.com 4

www.mathschool-online.com Επειδή το σημείο Α (4,f(4)) = Α(4,-1/2) είναι σημείο της εφαπτομένης ,οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την (Ι). Επομένως -1/2 = (1/8).4+β → β = -1Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης της f με f (x) = -2 / x στο σημείο της Α (4,f(4))=Α(4,-1/2) είναι η y = - 1 x-1 8 4 . Με τη βοήθεια της ιδιότητας ( αf(x) )΄ = α(f(x))΄ έχωii) (f (x))΄ =( (-π/2).ημx)΄= (-π/2).(ημx)΄= =(-π/2)συνx iii) (f (x) )΄= (-συνx)΄ = -1.(-ημx) = ημx www.mathschool-online.com 5

www.mathschool-online.com5.Ι) Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν : f ′(x0 ) = 0 Για x0 ∈ (α, β) και f ′(x) < 0 στο (α, x0 ) ενώ f ′(x) > 0 στο (x0 , β) τότε η f παρουσιάζει στο x = x0 ελάχιστο www.mathschool-online.com 6

www.mathschool-online.com y f ΄(x)<0 f ΄(x)>0 f ΄(x0)=0 O x0 x II) Nα βρεθεί το ακρότατο της συνάρτησης f (x) = x2 + 4x To π.ο της f είναι το Rf ΄(x)=(x2+4x)΄=(x2)΄+(4x)΄=2x+4 , για κάθε x € R f ΄(x )= 0 →2x+4 = 0 → x = -2x -∞ -2 +∞f΄ - +f ↓ φθίνουσα ↑ αύξουσα www.mathschool-online.com www.mathschool-online.com 7

www.mathschool-online.com f(x0) = f(-2) = (-2)2+4(-2) = - 4 επομένως η f παρουσιάζει στο A (-2 , f(-2) ) = A(-2, - 4 ) ελάχιστοΕάν έχεις οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το mathschool-online ! Kαλή Ανάγνωση! www.mathschool-online.com 8