Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου ΔιανύσματαΆσκησηΔίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με Α(0,0) Β(α,β),Γ(α+2,β) και Δ(2,0),νδοΙ) το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμοΙΙ)αν ΒΓ =2ΑΒ και Μ είναι το μέσο της ΑΔ τότε το ΜΒ είναι κάθετο στοΜΓΓια να λύσω την άσκηση θα χρησιμοποιήσω τις παρακάτω έννοιες1)Ισότητα διανυσμάτων2) Oι συντεταγμένες του διανύσματος AB με άκρα τα Α(x1,y1) καιΒ(x2,y2) είναι AB  x, y  x2  x1, y2  y1 3)Οι συντεταγμένες μέσου Μ(x,y) τμήματος AB με Α(x1,y1) και Β(x2,y2)είναι Μ[(x1+x2)/2 , (y1+y2)/2]4)Aναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινομένου : Αν α  x1, y1  ,β  x2,y2 Τότε α.β  x1x2  y1y2ΛύσηΙ)Υπολογίζω τα διανύσματα ΑΔ και ΒΓΣτέλλα Σερεμετάκη

ΑΔ  (2,0) και ΒΓ  (2,0) όπως περιγράφω στο 2) , επομένως ΑΔ  ΒΓAυτό σημαίνει ότι (ΑΔ)=(ΒΓ) και τα ΑΔ , ΒΓ είναι παράλληλαΆρα το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμοΙΙ)Το σημείο Μ (x,y) είναι το μέσο της (ΑΔ) άρα οι συντεταγμένες όπωςπεριγράφω στο 3) είναι x=(0+2)/2 και y=0 ,επομένως Μ(1,0)Υπολογίζω τα ΜΒ, ΜΓ και έχω ΜΒ  (α 1,β), ΜΓ  (α 1,β)ΕπομένωςΜΒ.ΜΓ  (α 1) α 1  β2  α2 1 β2 (1)Υπολογίζω τα ΑΒ, ΒΓ και έχω ΑΒ  (α,β), ΒΓ  (2,0)Από την υπόθεση ΒΓ  2 ΑΒ  α2  β2  1 (2)Η σχέση (1) λόγω της (2) γίνεται ΜΒ.ΜΓ  α2 1 β2  11  0Επομένως το ΜΒ είναι κάθετο στο ΜΓ .Στέλλα Σερεμετάκη