Ανάλογα ποσά

Επιμέλεια : Στέλλα Σερεμετάκη , Μαθηματικός [email protected]Αναλογία / Ορισμός : Η ισότητα λόγων ονομάζεται αναλογία , π.χ οισχέσεις α/β = γ/δ , α/β = 3/5 εκφράζουν αναλογίεςΆσκηση 1. σελ 92 σχ.βΝα βρεθούν οι λογοι των ευθυγράμμων τμημάτων του σχεδίου στη σελίδα92 του σχολικού βιβλίου .Λύση : Παρατηρώ από το σχήμα της άσκησης του σχ.β στη σελίδα 92 ότιΑΒ=4 μ.μ , ΓΔ =1 μ.μ , ΕΖ=5μ.μ , ΗΘ=2μ.μ, ΚΛ=3μ.μΕπομένως οι αναλογίες έχουν ώς εξήςα) ΑΒ/ΓΔ = 4/1 , ΕΖ/ΗΘ = 5/2 , ΚΛ/ΑΒ = 3/4 , ΑΒ/ΚΛ = 4/3 , ΗΘ/ΕΖ =2/5 , ΓΔ / ΑΒ = 1/4β) ΓΔ/ΕΖ = 1/5 , ΗΘ/ΚΛ = 2/3 , ΑΒ/ΑΒ = 4/4 =1 , ΕΖ/ΓΔ = 5/1 =5 ,ΚΛ / ΗΘ = 3/2 , ΓΔ/ΓΔ = 1/1 =1Άσκηση 2 σελ.92 σχ βΔίνεται το ορθογώνιο ΑΒΓΔ . Να σχεδιαστεί ένα άλλο ορθογώνιο μεπλευρές ανάλογες των πλευρών του ΑΒΓΔ έτσι ώστε ο λόγος τωναντίστοιχων πλευρών τους να είναι 2:1Λύση: ΑΒ=4,5μ και ΒΔ=2,5 μΈστω το ζητούμενο ορθογώνιο με πλευρές x και y . Από την υπόθεση τηςάσκησης σχηματίζω τις αναλογίες 4,5/χ= 2/1 (1) και 2,5/β = 2/1 (2)Από την (1) πολλαπλασιάζοντας χιαστή έχω 2x=4,5 διαιρώ και τα δύο μέλημε το 2 και έχω x= 2,25Από την (2) πολλαπλασιάζοντας χιαστή έχω 2y=2,5 διαιρώ και τα δύο μέλημε το 2 και έχω y= 1,25Άσκηση 3. σελ 92 σχ.βΠραγματικό ύψος 1,76 m =176 cm , Φανταστικό 4cm. Πόσο έχουνσμικρυνθεί τα αντικείμενα ;Λύση: Η αναλογία είναι Π/Φ = 176/4=44 .Άρα έχω σμίκρυνη κατά 44φορέςΆσκηση 4. σελ 92 σχ.β

Επιμέλεια : Στέλλα Σερεμετάκη , Μαθηματικός [email protected]α =7mm το ύψος του πεοβολέα Α στη διαφάνεια και β=4,2 cm=42mm τούψος του προβολές Α στο τοίχο.Πόση μεγένθυση δίνει ο προβολέας ;Λύση :Η αναλογία είναι β/α = 42/7 =6 .Άρα ο προβολές δίνει 6 φορέςμεγένθυση.Άσκηση 5. σελ 92 σχ.βΗ μπλούζα περιέχει 80% βαμβάκι και 20% πολυεστέρα και το βάρος τηςμπλούζας είναι 820 gr . Zητώ το βάρος του πολυεστέρα.Λύση : H αναλογία Β/Π είναι 80/20=4 .Έστω x gr ο πολυεστέρας στημπλούζα. Επομένως 820= 4χ+χ=5χ <-> 820 =5χ διαιρώ και τα δύο μέλη μετο 5 και έχω χ=164grΛυμένες ασκήσεις παρόμοιες με του βιβλίου για εξάσκηση:1. Δίνεται το ορθογώνιο ΑΒΓΔ με πλευρά ΑΒ =4 και ισχύει η σχέση ΑΒ=6.ΓΔ. (1) Να εξετάσετε αν οι πλευρές ΑΒ και ΓΔ είναι ανάλογες.Λύση : Aπό τη σχέση (1) έχω : AB/ΓΔ = 6/1 . Έχω δηλαδή ισότητα λόγων ,επομένως πρόκειται για αναλογία.Γενικά : Μία σχέση της μορφής α = κ.β , όπου το κ είναι φυσικός αριθμόςεκφράζει μια αναλογία μεταξύ των α και β2. Δίνεται ορθογώνιο με πλευρές x και x+1 .1) Να βρεθεί η περίμετροςτου Π .2) Αν x=2 , να εξετασθεί αν τα ποσά χ και Π είναι ανάλογαΛύση : 1) Π=χ+1 + χ+1 +χ + χ =4χ+2. 2) Για χ=2 έχω Π=10 , επομένωςΠ/χ = 10 / 2= 5 . Τα ποσά Π και χ είναι ανάλογα3. Αν οι διαστάσεις ενός δωματίου σε ένα σχέδιο με κλίμακα 1: 100 είναι2χ5 .Να βρεθούν οι πραγματικές διαστάσεις του δωματίου.Λύση : Έστω x και y οι πραγματικές διαστάσεις του δωματίου.Θα έχω 2/ χ = 1/100 ισοδύναμα χ=200 και 5/y = 1/100 ισοδύναμαy=500 .Άρα οι πραγματικές διαστάσεις είναι 200χ5004. Αν αναμείξω 2kgr λευκού χρώματος με 5 kgr κόκκινου θα πάρω μιασυγκεκριμένη απόχρωση ρόζ χρώματος .Αν αναμείξω 2kgr λευκού χρώματος με 6 kgr κόκκινου θα πάρω τηνίδια απόχρωση ρόζ χρώματος ;

Επιμέλεια : Στέλλα Σερεμετάκη , Μαθηματικός [email protected]Λύση : Στη πρώτη περίπτωση η αναλογία είναι 2/5 .Στη δεύτερη περίπτωσηη αναλογία είναι 2/6= 1/3 .Οι αναλογίες είναι άνισες ,επομένως δεν θα πάρωτην ίδια απόχρωση του ρόζ.5. Δίνεται ο πίνακαςα2 4β6 12Να εξετάσετε αν τα ποσά α και β είναι ανάλογαΛύση : Παρατηρώ ότι 2/6 = 4/12 ισοδύναμα (απλοποιώ) 1/3 = 1/3.Επομένως α/β = 2/6 = 4/12 = 1/3 .Αυτό σημαίνει ότι τα ποσά α και β είναιανάλογα.Ασκήσεις της σελίδας 30 του σχολικού βιβλίου λυμένες από τοmathschool-onlineΛύση της άσκ 1 σελ 30 σχ βα) Ένα κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 5 και 8 είναι ο αριθμός 40 και τοΕΚΠ(5,8)=40Β) Αν το ΕΚΠ(α,β)=β, ο β είναι πολλαπλάσιο του αγ) Πρώτοι λέγονται οι αριθμοί που διαιρούνται με τον εαυτό τους και τημονάδαδ) Δύο αριθμοί ονομάζονται πρώτοι μεταξύ τους όταν ο ΜΚΔ τους είναι ημονάδαΛύση της άσκ 2 σελ 30 σχ βΘέλω ο αριθμός να διαιρείται με το 9,επομένως πρέπει το άθροισμα τωνψηφίων του να είναι αριθμός που διαιρείται με το 9Άρα : α) 684 β) 9504 γ) 6012Λύση της άσκ 3 σελ 30 σχ βα) ΕΚΠ(3,5)=15, β) ΕΚΠ(11,6)=66, γ) ΕΚΠ(5,10)=10, δ) ΕΚΠ(3,2,5)=30 ,ε) ΕΚΠ(3,6,9)=18, στ) ΕΚΠ(8,12,15)=60Λύση της άσκ 7 σελ 30 σχ β

Επιμέλεια : Στέλλα Σερεμετάκη , Μαθηματικός [email protected]α) ΜΚΔ(5,8)=1 , β) ΜΚΔ(16,24)=8, γ) ΜΚΔ(30,15)=15, δ)ΜΚΔ(10,30,60)=10, ε) ΜΚΔ(22,32,50)=2Λύση της άσκ 8 σελ 30 σχ βΔύο αριθμοί έχουν ΜΚΔ το 24 αυτό σημαίνει ότι δεν είναι μεταξύ τουςπρώτοι , δηλαδή έχουν και άλλους κοινούς διαιρέτες εκτός της μονάδαςΛύση της άσκ 10 σελ 30 σχ βΈστω ο πρώτος αριθμός α.Το διπλάσιο γινόμενο δηλαδή το 2α είναι σύνθετος αριθμός διότι εκτός απότη μονάδα και τον εαυτό του διαιρείται και με το 22α:2=α2α:α=22α:1=2αΛύση της άσκ 12 σελ 30 σχ βα) Θέλω να αναλύσω τον 78 σε γινόμενο πρώτων παραγόντωνΔιαιρώ το 78 με το μικρότερο αριθμό που τον διαιρεί ,δηλαδή με τον αριθμό278:2=39To 39 δεν διαιρείται με το 2.Ο μικρότερος αριθμός που διαιρεί το 39 είναι ο339:3=13O αριθμός 13 είναι πρώτος και διαιρείται μόνο με τη μονάδα και τον εαυτότου , επομένως13:13=1Επομένως ο αριθμός 78 γράφεται ως γινόμενο παραγόντων :78=2.3.13β) Θέλω να αναλύσω τον 348 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

Επιμέλεια : Στέλλα Σερεμετάκη , Μαθηματικός [email protected]Διαιρώ το 348 με το μικρότερο αριθμό που τον διαιρεί ,δηλαδή με τοναριθμό 2348:2=174To 174 διαιρείται με το 2174:2=87Ο 87 δεν διαιρείται με το 2.Ο μικρότερος αριθμός που διαιρεί το 87 είναι ο387:3=29O αριθμός 29 είναι πρώτος και διαιρείται μόνο με τη μονάδα και τον εαυτότου , επομένως29:29=1Επομένως ο αριθμός 78 γράφεται ως γινόμενο παραγόντων :348=2.2.3.29γ) Θέλω να αναλύσω τον 1210 σε γινόμενο πρώτων παραγόντωνΔιαιρώ το 1210 με το μικρότερο αριθμό που τον διαιρεί ,δηλαδή με τοναριθμό 21210:2=605To 605 διαιρείται με το 5605:5=121O αριθμός 121 είναι πρώτος και διαιρείται μόνο με τη μονάδα και τον εαυτότου , επομένως121:121=1Επομένως ο αριθμός 1210 γράφεται ως γινόμενο παραγόντων :1210=2.5.121δ) Θέλω να αναλύσω τον 2344 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

Επιμέλεια : Στέλλα Σερεμετάκη , Μαθηματικός [email protected]Διαιρώ το 2344 με το μικρότερο αριθμό που τον διαιρεί ,δηλαδή με τοναριθμό 22344:2=1172Ο 1172 διαιρείται με το 21172:2=586Ο 586 διαιρείται με το 2586 : 2=293O αριθμός 293 είναι πρώτος και διαιρείται μόνο με τη μονάδα και τον εαυτότου , επομένως293:293=1Επομένως ο αριθμός 2344 γράφεται ως γινόμενο παραγόντων :2344=2.2.2.293ΕΡΓΑΣΙΑΝα λυθούν οι παρακάτω ασκήσεις :1) Aν στην ηλικία των 10 ετών ένας μαθητής έχει το 1/3 της ηλικίας τουπατέρα του ,όταν γίνει 20 ετών ο λόγος των ηλικιών τους θα παραμείνειίδιος ;2) Αν ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ έχει πλευρά χ1) Να βρεθεί η περίμετρός του Π σε συνάρτηση με τη πλευρά του χ2)Τα ποσά Π και χ είναι ανάλογα ;3) Αν x=3 , να υπολογισθεί η περίμετρος Π του τετραγώνου