Ασκήσεις Γ Λυκείου Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής

Στέλλα Σερεμετάκη ΜαθηματικόςΜαθηματικά καιΣτοιχείαΣτατιστικήςΕπίλυση ασκήσεωντου σχολικού βιβλίου

ΠεριεχόμεναΛύση της άσκ 7 σελ 83 σχ β .......................................................... 2Λύση της άσκ 1 σελ 78 σχ β .......................................................... 3Λύση της άσκ 5 σελ 79 σχ β .......................................................... 5Λύση της άσκ 4 σελ 79 σχ β .......................................................... 7Αναφορές .................................................................................... 12 1

Λυμένες ασκήσεις Γ Λυκείου Μαθηματικά & Στοιχεία Στατιστικής Λύση της άσκ 7 σελ 83 σχ βΟι χρόνοι σε λεπτά που χρειάστηκαν 55 μαθητές να λύσουν ένα πρόβλημα δίνονται παρακάτω 3,4 13,2 6,7 1,4 1,3 3,8 3,9 2,9 13,8 3,9 2,7 4,4 3,6 1,4 2,4 3,6 3,1 7,5 6,9 7,8 12,7 3,9 3,3 9,7 2,0 4,4 3,3 8,7 3,9 11,6 5,6 9,0 3,4 1,4 3,5 2,8 10,4 11,9 12,3 2,9 2,8 1,5 4,1 5,9 3,1 8,7 2,8 3,8 13,0 3,0 6,4 3,2 5,9 7,0 8,2 α) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομένα σε κατάλληλο αριθμό κλάσεων β) Να κατασκευάσετε τον πίνακα με τις συχνότητες νi,fi%,Νi,Fi% Λύση Επειδή ν=55 θα χρησιμοποιήσω 7 κλάσεις Το εύρος του δείγματος είναι R= Μεγαλύτερη τιμή - μικρότερη τιμή =13,8-1,3=12,5 Επομένως το πλάτος των κλάσεων είναιc=R/κ - > c=12,5/7 -> c=1,786 , δηλαδή το πλάτος είναι περίπου c=1,8 Εφαρμόζοντας τους τύπους 1) F1=f1 , F2=F1+F , .... ,F6=F5+f6 ,F6=1 2) N1=ν1 ,Ν2=Ν1+ν2,...,Ν6=Ν5+ν6 και τις παρακάτω σχέσεις 1) ν1+ν2+ν3+ν4+ν5+ν6=ν 2) f1 =ν1/ν , f2=ν2/ν , ... , f7=ν7/ν 2

3) f1+f2+f3+f4+f5+f6=1 ο πίνακας διαμορφώνεται ως εξής Κλάσεις νi fi% Ni Fi% xi [1,3-3,1) 14 25,5 14 25,5 2,2 [3,1-4,9) 19 34,5 33 60,0 4,0 [4,9-6,7) 4 7,3 37 67,3 5,8 [6,7-8,5) 6 10,9 43 78,2 7,6 [8,5-10,3) 4 7,3 47 85,5 9,4 [10,3-12,1) 3 5,4 50 90,9 11,2 [12,1-13,9) 5 9,1 55 100,0 13,0 Σύνολο 55 100 Λύση της άσκ 1 σελ 78 σχ β Η βαθμολογία 50 φοιτητών στις εξετάσεις ενός μαθήματος είναι 3 4 5 8 9 7 6 8 7 10 8765 9 3856 6 6356 4 2987 7 1631 5 8123 4 5 6 7 9 10 9 8 7 6 5 α) Να κατασκευάσετε τον πίνακα κατανομής συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων (απολύτων και αθροιστικών)β) Από το πίνακα αυτό να εκτιμήσετε το ποσοστό των φοιτητών που πήραν βαθμό 1) κάτω από τη βάση (μικρότερο του 5), 2) άριστα (9 ή 10) 3) τουλάχιστον 7 αλλά το πολύ 9 Πίνακας κατανομής συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων (απολύτων και αθροιστικών) 3

Βαθμολογία Συχνότητα Σχετική Αθροιστική Αθροιστική χi νi συχνότητα συχνότητα Νi σχετ.συχνότητα Fi% fi% 1 3 6 36 2 2 4 5 10 3 5 10 10 20 4 3 6 13 26 5 7 14 20 40 6 9 18 29 58 7 7 14 36 72 8 7 14 43 86 9 5 10 48 96 10 2 4 50 100Σύνολο 50 100β) 1) Από τη στήλη των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων παρατηρώ ότι F4%=26% των φοιτητών παρουσιάζουν βαθμολογία κάτω από τη βάση (κάτω από το 5) 2) Από τη στήλη των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων παρατηρώ ότιF10%-F8%=100%-86%=14% των φοιτητών παρουσιάζουν βαθμολογία 9 ή 10 3 ) Έστω Χ η μεταβλητή που εκφράζει τη βαθμολογία Θέλω το ποσοστό των φοιτητών που παρουσιάζουν βαθμολογία τουλάχιστον 7 αλλά το πολύ 9 Δηλαδή 7< X< 9 Από τη στήλη των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων παρατηρώ ότι F9%-F6%=96%-58%=38% των φοιτητών παρουσιάζουν βαθμολογία τουλάχιστον 7 αλλά το πολύ 9 4

Λύση της άσκ 5 σελ 79 σχ β Να συμπληρώσετε τον πίνακα xi νi fi Νi Fi fi% Fi% 1 10 2 4 0,20 6 3 0,60 4 25 52 6 ΣύνολοΓια να συμπληρώσω το πίνακα θα κάνω χρήση των παρακάτω αλγορίθμων 1) F1=f1 , F2=F1+F , .... ,F6=F5+f6 ,F6=1 2) N1=ν1 ,Ν2=Ν1+ν2,...,Ν6=Ν5+ν6 και των παρακάτω σχέσεων 1) ν1+ν2+ν3+ν4+ν5+ν6=ν 2) f1+f2+f3+f4+f5+f6=1 Επομένως από το πίνακα παρατηρώ ότι : f2 =0,20->ν2/ν =0,20 ->4/ν =0,20->0,20ν=4->ν=4/0,20 ->ν=20 f4% =25 ->f4=0,25 ->ν4/ν =0,25 -> ν4 /20 =0,25->ν4 =20.0,25=5 F1% =10, όμως F1%=f1% Eπομένως f1%=10 ->f1=0,10 F3=0,60 ->F3%=60 F2=F1+f2 ->F2=0,10 + 0,20=0,30 F2%=30 5

F3=F2+f3 ->0,60=0,30+f3->f3=0,30 F4=F3+f4 =0,60+0,25=0,85 f5=ν5/ν ->f5= 2/20 =0,10f1+f2+f3+f4+f5+f6=1->f6=1-(-,10+0,20+0,30+0,25+0,10+0,05)=0,05 F5=F4+f5 =0,85+0,10=0,95 Ν2=Ν1+ν2 -> 6=Ν1+4 ->Ν1=6-4=2 Όμως Ν1=ν1 =2 f3=ν3/ν ->ν3 = f3 . 20 ->ν3=0,30.20=6 Ν3 =Ν2+ν3=6+6=12 Ν4=Ν3+ν5=12+5=17 Ν5=Ν4+ν5=17+2=19 ν6=ν-(ν1+ν2+ν3+ν4+ν5)=20-19=1 Επομένως ο πίνακας έχει ως εξήςxi νi fi Νi Fi fi% Fi%1 2 0,10 2 0,10 10 102 4 0,20 6 0,30 20 303 6 0,30 12 0,60 30 604 5 0,25 17 0,85 25 855 2 0,10 19 0,95 10 956 1 0,05 1 5 100Σύνολο 20 1 100 6

Λύση της άσκ 4 σελ 79 σχ β Χρησιμοποιώντας τον παρακάτω πίνακα συχνοτήτων, που δίνει τηνκατανομή του αριθμού των ημερών απουσίας από την εργασία τους λόγωασθένειας 50 εργατών, να βρεθεί ο αριθμός και το ποσοστό των εργατών που απουσίασαν:Aριθμός ημερών xi Συχνότητα νi0 121825344558607582 9 1Σύνολο 50 α) τουλάχιστον 1 ημέρα β) πάνω από 5 ημέρες γ) από 3 έως 5 ημέρες δ) το πολύ 5 ημέρες ε) ακριβώς 5 ημέρες. Λύση α) Στο σύνολο των ν=50 εργατών , ο αριθμός των εργατών που δεν απουσίασε (0 ημέρες απουσίας) σύμφωνα με το πίνακα είναι ν1=12Επομένως οι εργάτες που απουσίασαν πανω από 1 μέρα (σύμφωνα με το πίνακα) είναι ν-ν1=50-12=38 Το ποσοστό είναι 38/50 =0,76 =76% 7

Έστω x ο αριθμός των ημερών που απουσίασαν οι εργάτες β) Πάνω από 5 ημέρες , δηλαδή x>5 , απουσίασαν 0+5+2+1=8 εργάτες Ποσοστό 8/50 =0,16 =16% γ) Από 3 έως 5 , δηλαδή , 3 x 5 απουσίασαν 4+5+8=17 εργάτες Ποσοστό 17/50 =0,34=34% δ)Το πολύ 5 ημέρες x5 12+8+5+4+5+8=42 Ποσοστό 42/50 =0,84 =84% ε) Ακριβώς 5 ημέρες , δηλαδή , x=5 απουσίασαν 8 εργάτες Ποσοστό 8/50 =0,16 =16 % 1) Δίνονται ο δειγματικός χώρος Ω=[10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20]το ενδεχόμενο Α=[τα ω του δειγματικού χώρου Ω που είναι πολλαπλάσια του 3]=[12,14,18] και το ενδεχόμενο Β=[τα ω του δειγματικού χώρου Ω που είναι πολλαπλάσια του 4]=[12,16,20] Έστω ω ένα τυχαίο στοιχείο του δειγματικού χώρου Ω Η πιθανότητα να ανήκει το ω στο Α είναι 8

Η πιθανότητα να ανήκει το ω στο Β είναι Επομένως : η πιθανότητα να μην ανήκει το ω στο Β είναι 2) Έστω P(Λ)=30/100 η πιθανότητα να κερδίσει ο Λευτέρης P(Π)=20/100 η πιθανότητα να κερδίσει ο Παύλος και P(Ν) =40/100 η πιθανότητα να κερδίσει ο Νίκος Συμβολίζω με τη πιθανότητα να κερδίσει ο Λευτέρης ή ο ΠαύλοςΕπειδή το ενδεχόμενο να κερδίσει ο Λ και το ενδεχόμενο να κερδίσει ο Π είναι μεταξύ τους ασυμβίβαστα, έχω Επομένως : Άρα η πιθανότητα να κερδίσει ο Λευτέρης ή ο Παύλος είναι 50 % Συμβολίζω με τη πιθανότητα να μη κερδίσει ο Λ ή ο Ν Γνωρίζω όμως ότι : (1) 9

Tο ενδεχόμενο να κερδίσει ο Λ και το ενδεχόμενο να κερδίσει ο Ν είναι μεταξύ τους ασυμβίβαστα Επομένως (2) Η σχέση (1) λόγω της (2) γίνεται : Επομένως η πιθανότητα να μη κερδίσει ο Λ ή ο Ν είναι 30% 3) Έστω τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω , δίνονται Ζητώ να υπολογίσω τη πιΘανότητα Από το προσθετικό νόμο , έχω : 10

4)Να δειχτεί ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει : (1) Απόδειξη Από το προσθετικό νόμο , έχω : (2) Επομένως [από (1) και (2) ] αρκεί να δείξω ότι: Ισοδύναμα, αρκεί νδο Ισοδύναμα, αρκεί νδο Ισοδύναμα αρκεί νδο Ισχύει !Διότι εξ ορισμού γνωρίζω ότι για κάθε ενδεχόμενο Ε ενός δειγματικού χώρου 11

ΑναφορέςΑδαμόπουλος Λ.,Δαμιανού Χ.,Σβέρκος Α.,(2018). Μαθηματικά και ΣτοιχείαΣτατιστικής Γ΄ Γενικού Λυκείου.Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών καιΕκδόσεων «Διόφαντος». 12