Β Γυμνασίου

Διαδικτυακό φροντιστήριο Μαθηματικών http://www.mathschool-online.gr Στατιστική Β΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις – Απαντήσεις – Λυμένα παραδείγματα 1η Ερώτηση Τί ονομάζουμε πληθυσμό τί δείγμα και τί μεταβλητή ; Απάντηση Ένα σύνολο του οποίου τα στοιχεία μελετάμε ως προς κάποιο χαρακτηριστικό τους, λέγεται πληθυσμός. Δείγμα ονομάζεται το υποσύνολο του πληθυσμού που θα μελετήσω Το χαρακτηριστικό ως προς το οποίο μελετάμε τα στοιχεία ενός πληθυσμού, ονομάζεται μεταβλητή. 1ο Παράδειγμα Για να εκτιμήσουμε το αποτέλεσμα των ερχομένωνβουλευτικών εκλογών, ρωτήσαμε 30.000 φοιτητές για το κόμμα που θα ψηφίσουν. α) Ποιος είναι ο πληθυσμός και ποιο είναι το δείγμα; Είναι το δείγμα αντιπροσωπευτικό; β) Αν οι φοιτητές προτίμησαν τα κόμματα Α, Β με ποσοστά 20%, 5% αντίστοιχα,να βρείτε πόσοι από αυτούς προτίμησαν το Α κόμμα, πόσοι το Β και πόσοι το Γ; Απάντηση α) Ο πληθυσμός είναι όλοι οι Έλληνες ψηφοφόροι, ενώ το δείγμα είναι οι 30.000 φοιτητές.

Διαδικτυακό φροντιστήριο Μαθηματικών http://www.mathschool-online.grΤο δείγμα αυτό δεν είναι αντιπροσωπευτικό του πληθυσμού,γιατί οι φοιτητές αποτελούν μια ειδική κατηγορία ψηφοφόρων . β) To κόμμα Α το προτίμησαν 3000=0 20 3=00.20 6000 100 Το κόμμα Β το προτίμησαν 30000=5 3=00.5 1500 100 2η Ερώτηση Τί ονομάζουμε συχνότητα ενός δείγματος; Απάντηση Συχνότητα νi ονομάζεται ο φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή xi της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ 2η Ερώτηση Tί ονομάζουμε σχετική συχνότητα μιας τιμής; Απάντηση Η σχετική συχνότητα fi μιας τιμής, είναι ο αριθμός που προκύπτει αν διαιρούμε τη συχνότητα της τιμής αυτής με το πλήθος όλων των παρατηρήσεων. Στη συνέχεια, εκφράζουμε τον αριθμό αυτό ως ποσοστό επί τοις εκατό (%),fi%. 2ο Παράδειγμα Για ένα δείγμα 40 μαθητών μιάς σχολικής τάξης έχουμε τον

Διαδικτυακό φροντιστήριο Μαθηματικών http://www.mathschool-online.grπαρακάτω πίνακα κατανομής συχνοτήτων για τη μεταβλητή Χ: απασχόληση των μαθητών μιας τάξης στον ελεύθερο χρόνο i Xi νi fi fi% 1 Μουσική 18 0,45 45 2 30 3 Τηλεόραση 12 0,3 12,5 4 7,5 5 Αθλητισμός 5 0,125 5Σύνολο Η/Υ 3 0,075 100 Ξένες 2 0,05 γλώσσες 40 1 www.mathschool-online.com Eπομένως ν1=18 μαθητές στον ελεύθερο χρόνο τουςασχολούνται με τη μουσική,ν2=12 «βλέπουν» τηλεόραση,κ.λ.πΆρα f1%=(ν1/ν)%=(18/40)%=45% των μαθητών ασχολείται με τη μουσική,30% παρακολουθεί τηλεόραση,κ.λπ Παρατηρούμε ότι: το άθροισμα όλων των συχνοτήτων ισούται με το πλήθος των παρατηρήσεων του δείγματος,δηλαδή ν1+ν2+ν3+ν4+ν5=18+12+5+3+2=40 3η Ερώτηση Με τι ισούται το άθροισμα όλων των συχνοτήτων ενός δείγματος;

Διαδικτυακό φροντιστήριο Μαθηματικών http://www.mathschool-online.gr Απάντηση Το άθροισμα όλων των συχνοτήτων ισούται με το πλήθος των παρατηρήσεων του δείγματος. Επίσης, παρατηρούμε ότι:το άθροισμα των σχετικών συχνοτήτων ισούται με 100. 4η ΕρώτησηΜε τι ισούται το άθροισμα όλων των σχετικών συχνοτήτων % ενός δείγματος; ΑπάντησηΤο άθροισμα όλων των σχετικών συχνοτήτων % ισούται με 100 5η Ερώτηση Τί τιμές μπορεί να πάρει μια μεταβλητή; Απάντηση Οι τιμές που μπορεί να πάρει μια μεταβλητή είναι ποιοτικές,δηλαδή όταν οι τιμές δεν είναι αριθμοί, π.χ απασχόληση των μαθητών μιας τάξης στον ελεύθερο χρόνοκαι ποσοτικές ,δηλαδή παίρνουν μόνο μεμονωμένες τιμές, π.χ 1,2,3, κλπ ή παίρνουν τιμές σε ένα διάστημα π.χ, (2,6) 6η Ερώτηση Τί είναι το ραβδόγραμμα συχνοτήτων;

Διαδικτυακό φροντιστήριο Μαθηματικών http://www.mathschool-online.gr Απαντηση Το ραβδόγραμμα συχνοτήτων αποτελείται από ορθογώνιεςστήλες που οι βάσεις τους είναι ισομήκεις και βρίσκονται πάνωστον οριζόντιο άξονα ή τον κατακόρυφο ενώ το ύψος τους είναι ίσο με τη συχνότητα ήτη σχετική συχνότητα της αντίστοιχης τιμής της μεταβλητής. Το ραβδόγραμμα συχνοτήτων χρησιμοποιείται για τη γραφική περάσταση των τιμών μιας ποιοτικής μεταβλητής 3ο Παράδειγμα Να γίνει το ραβδόγραμμα συχνοτήτων για το προηγούμενο παράδειγμα Λύση Ραβδόγραμμα συχνοτήτων20 18181614 1212108 5 36 Η/Υ4 22 Ξένες Γλώσσες0 Μουσική Τηλεόραση Αθλητισμός 7η Ερώτηση Τί είναι το κυκλικό διάγραμμα; Απάντηση

Διαδικτυακό φροντιστήριο Μαθηματικών http://www.mathschool-online.grΤο κυκλικό διάγραμμα είναι ένας κυκλικός δίσκος χωρισμένος σε κυκλικούς τομείς των οποίων τα εμβαδά ή ισοδύναμα τατόξα είναι ανάλογα προς τις αντίστοιχες σχετικές συχνότητες fi των τιμών της μεταβλητής που μελετάμε 4ο ΠαράδειγμαΝα γίνει το κυκλικό διάγραμμα για το προηγούμενο παράδειγμα Λύση Αν συμβολίσουμε με αi το αντίστοιχο τόξο του κυκλικού τμήματος στο κυκλικό διάγραμμα έχουμεi xi fi% αi=3600fi1 Μουσική 1620 45 1080 4502 Τηλεόραση 270 30 180 36003 Αθλητισμός 12,54 Η/Υ 7,55 Ξένες Γλώσσες 5Σύνολο 100

Διαδικτυακό φροντιστήριο Μαθηματικών http://www.mathschool-online.gr 8η ΕρώτησηΠοιά βήματα ακολουθούμε προκειμένου να ομαδοποιήσουμε τις παρατηρήσεις Απάντηση Για την ομαδοποίηση των παρατηρήσεων ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα : 1o Bρίσκουμε τον αριθμό κ των κλάσεων που θα χρησιμοποήσουμε. ο 2 Προσδιορίζουμε το πλάτος των κλάσεων χρησιμοποιώνταςτον τύπο c=R/κ όπου R είναι το εύρος του δείγματος δηλαδή η διαφορά της μικρότερης παρατήρησης από τη μεγαλύτερη παρατήρηση του συνολικού δείγματος και κ ο αριθμός των κλάσεων Αν ο αριθμός c που προκύπτει από τη διαίρεση δεν είναι ακέραιος τότε στρογγυλοποιούμε πάντα προς τα πάνω ο 3 Κατασκευάζουμε τις κλάσεις : Ξεκινάμε από τη μικρότερη παρατήρηση ή για πρακτικούςλόγους λίγο πιο κάτω από τη μικρότερη και προσθέτοντας κάθε φορά τον αριθμό c δημιουργούμε τις κ κλάσεις ον 4 Κάνουμε τη διαλογή των παρατηρήσεων : Ονομάζουμε συχνότητα νi της κλάσης i ή συχνότητα της κεντρικής τιμής xiτο πλήθος των παρατηρήσεων που προκύπτουν από τη διαλογή για την κλάση xi

Διαδικτυακό φροντιστήριο Μαθηματικών http://www.mathschool-online.gr Κέντρο της κλάσης [α,β) ή κεντρική τιμή ονομάζεται ο αριθμός (α+β )/2 5ο Παράδειγμα Ζυγίστηκαν 30 φοιτητές και τα βάρη τους σε kg είναι:55 70 69 73 72 59 54 71 67 6260 54 63 52 80 73 74 70 63 6465 58 53 45 56 50 48 57 60 62 Nα ομαδοποιηθούν οι παραπάνω παρατηρήσεις 1) Πόσες κλάσεις θα χρησιμοποιηθούν 2)Ποιό είναι το πλάτος κάθε κλάσης 3)Να κατασκευασθεί πίνακας συχνοτήτων με στήλες για τη συχνότητα , τη σχετική συχνότητα επί τοις 100, την αθροιστική σχετική συχνότητα επί τοις 100 και την κεντρική τιμή κάθε κλάσης Λύση 1) Το πλήθος των παρατηρήσεων είναι 30, οπότε θα τις χωρίσουμε σε κ=6 κλάσεις 2)Η μεγαλύτερη παρατήρηση είναι 80 και η μικρότερη 45,οπότε το εύρος R είναι ίσο με R=80-45=35 Άρα το πλάτος c κάθε είναι ίσο με c=R/κ = 35/6 =5,83 Eπομένως θα δημιουργήσουμε 6 κλάσεις

Διαδικτυακό φροντιστήριο Μαθηματικών http://www.mathschool-online.grΚλάσεις Κεντρικέςτιμές Συχνό/τα Σχετ.συχν%[ , ) xi νi fi% 45-51 48 3 10 51-57 54 6 20 57-63 60 7 23,33 63-69 66 5 16,67 69-75 72 8 26,67 75-81 78 1 3,33Σύνολο 30 100

Διαδικτυακό φροντιστήριο Μαθηματικών http://www.mathschool-online.gr 9η Ερώτηση Τί είναι το ιστόγραμμα συχνοτήτων , και πώς κατασκευάζεται ένα ιστόγραμμα συχνοτήτων; Απάντηση Το ιστόγραμμα συχνοτήτων είναι η γραφική παράσταση ενός πίνακα συχνοτήτων με ομαδοποιημένα δεδομένα. Κατασκευάζουμε ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων και στον οριζόντιο άξονα σημειώνουμε τα όρια των κλάσεων. Στη συνέχεια κατασκευάζουμε διαδοχικά ορθογώνια (ιστούς) καθένα από τα οποία έχει βάση με μήκος ίσο με το πλάτος της κλάσης και ύψος τέτοιο ώστε το εμβαδόν του ορθογωνίου να είναι ίσο με τη συχνότητα της κλάσης αυτής. Επομένως στον κατακόρυφο άξονα βάζουμε τις συχνότητες των κλάσεων Αν οι κλάσεις είναι ισοπλατείς το ύψος των ορθογωνίων είναι ίσο με την αντίστοιχη συχνότητα της κάθε κλάσης Aν στον κατακόρυφο άξονα τοποθετήσουμε τις σχετικές συχνότητες ή τις αθροιστικές σχετικές συχνότητες τότε παίρνουμε το ιστόγραμμα σχετικών ή αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων 6o ΠαράδειγμαΝα κατασκευασθεί το ιστόγραμμα και το πολύγωνο συχνοτήτων για τις παραπάνω παρατηρήσεις

Διαδικτυακό φροντιστήριο Μαθηματικών http://www.mathschool-online.gr Iστόγραμμα συχνοτήτων νi10 887 6 5643210 45-51 51-57 57-63 63-69 69-75 75-81 10η Ερώτηση Πώς βρίσκουμε τη μέση τιμή ενός συνόλου παρατηρήσεων; Απάντηση Για να βρούμε τη μέση τιμή ενός συνόλου παρατηρήσεων,προσθέτουμε όλες τις παρατηρήσεις και διαιρούμε με το πλήθος των παρατηρήσεων αυτών. 7o ΠαράδειγμαΟι βαθμολογίες δέκα μαθητών που συμμετείχαν σε διαγώνισμα των μαθηματικών είναι 10,12,13,15,17,10,14,19,18,20 α) Να βρείτε τη μέση τιμή της βαθμολογίας των 10 μαθητών που συμμετείχαν στο διαγώνισμα Λύση

Διαδικτυακό φροντιστήριο Μαθηματικών http://www.mathschool-online.gr =μ 10 +12 +13 +15 +17 +10 +14 +19 +18 +=20 1=48 14,8 10 10 Μέση τιμή ομαδοποιημένης κατανομής 11η Ερώτηση Πώς βρίσκουμε τη μέση τιμή ομαδοποιημένης κατανομής; Απάντηση Eπομένως, για να βρούμε τη μέση τιμή ομαδοποιημένης κατανομής: Βρίσκουμε τα κέντρα των κλάσεων. Πολλαπλασιάζουμε το κέντρο κάθε κλάσης με τη συχνότητα της κλάσης αυτής. Προσθέτουμε όλα τα γινόμενα. Διαιρούμε το άθροισμα αυτό με το άθροισμα των συχνοτήτων. 8o Παράδειγμα Ο διπλανός πίνακας δείχνει τον αριθμό των τερμάτων που πέτυχε μια ομάδα ποδοσφαίρου στους 15 πρώτους αγώνες πρωταθλήματος.α) Πόσα τέρματα έχει πετύχει συνολικά η ομάδα αυτή και στους 15 αγώνες; β) Ποιος είναι ο μέσος αριθμός τερμάτων που πετυχαίνει η ομάδα αυτή σε κάθε αγώνα;

Διαδικτυακό φροντιστήριο Μαθηματικών http://www.mathschool-online.grΤέρματα Αγώνες 0 1 1 4 2 3 3 5 4 2 15ΣύνολοΣε 1 αγώνα έχει πετύχει 0 τέρματα, 1•0=0άρα σύνολοΣε 4 αγώνες έχει πετύχει 1 τέρμα, άρα 4•1=4σύνολοΣε 3 αγώνες έχει πετύχει 2 τέρματα, 3•2=6άρα σύνολοΣε 5 αγώνες έχει πετύχει 3 τέρματα, 5 • 3 = 15άρα σύνολοΣε 2 αγώνες έχει πετύχει 4 τέρματα, 4•2=8άρα σύνολο Οπότε, συνολικά έχει πετύχει:1 • 0 + 4 • 1 + 3 • 2 + 5 • 3 + 4 • 2 = 0 + 4 + 6 + 15 + 8 = 33 τέρματα.β) Αφού σε 15 αγώνες έχει πετύχει συνολικά 33 τέρματα, ο μέσος όρος για κάθε αγώνα είναι: μ=33/15 -> μ=2,2

Διαδικτυακό φροντιστήριο Μαθηματικών http://www.mathschool-online.gr 12η Ερώτηση Πώς ορίζεται η διάμεσος ενός δείγματος ν παρατηρήσεων Απάντηση Η Διάμεσος ενός δείγματος ν παρατηρήσεων οι οποίες έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά ορίζεται ως : α)Η μεσαία παρατήρηση όταν το πλήθος ν των παρατηρήσεων είναι περιττός αριθμός ήβ)Ο μέσος όρος (ημιάθροισμα) των δύο μεσαίων παρατηρήσεων όταν το πλήθος ν των παρατηρήσεων είναι άρτιος αριθμός 9o Παράδειγμα Να βρεθεί η διάμεσος για τις παρακάτω παρατηρήσεις α) 2,4,10,5,7,6 β) 10,11,4,4,8,9,9 Λύση α) ν=6 παρατηρήσεις . Διατάσω τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά 2,4,5,6,7,10 Άρα η διάμεσος είναι το ημιάθροισμα των δύο μεσαίων ης ης παρατηρήσεων της 3 και 4 στη σειρά Επομένως δ=(5+6)/2 =5,5 β)ν=7 παρατήρησεις . Διατάσω τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά 4,4,8,9,9,10,11 η Άρα η διάμεσος είναι η μεσαία παρατήρηση , η 4 κατά σειρά δηλαδή δ=9