Απόλυτες τιμές α λυκείου

Aπόλυτη τιμήπραγματικού αριθμούΟρίζω x  x εάν το x  0 και x  x εάν το x  0 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Παραδείγματαi) 5  5 ενώ 5  5  5i i A=2  x  2έχω x  2  x  2, όταν x  2  0 x  2και x  2   x  2, όταn x  2  0x  2 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Συνέχειαx  2   x  2, όταν x  2  0δηλ. όταν x  2Συνεπώς η παράσταση Α γράφεται ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

α Α=2   x  2  2  x  2   0 x  x  Α  xόταν x  2β   2    x  2   2x  2  2 x  2   4  x, όταν x  2 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Mε παρόμοιο τρόπο προσπάθησε ναλύσεις την Β=3+ x  3 . Aν έχειςδυσκολία επικοινώνησε μαζί μου,καλή επιτυχία! ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Πώς λύνουμε εξισώσεις με απόλυτες τιμές1 x  a, a  0  x  a2 x    x    ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Παραδείγματαi x 5 x  5   x 5  x  5 ii x  4  6   x  4   6 x  4  6  x  6  4  10x  4  6  x  6  4  2 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ii i x  4  2  x 1  2 x 1 x  4  2 x 1 .Εδώ διακρί-νουμε δύο περιπτώσεις ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

1ηπερίπτωσηx  4  2 x 1 x  4  2x  2 x  2x  2 4 x  2  x  2 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

2ηπερίπτωσηx  4  2 x 1 x  4  2x  2 x  2x  2  4 3x  6  x  6 3 x  2 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Συνεπώς x  4  2  x 1  x  2ή x  2Λύση της άσκησης 15,σελ.61,σχ.β.ii x 4 x 4 2   3 53θέτω x  y και έχω ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Συνέχεια της άσκ.15 σελ. 61σχ.β.y4 y4  2, ΕΚΠ=15 3 53πολ/ζω με το ΕΚΠ=15 και ταδύο μέλη της ισότητας και έχωΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

15 y  4 15 y  4  15 2  3 53Απλοποιώ το 15 με καθένα απότους παρονομαστές των κλα-σμάτων και η εξίσωση γίνεται5. y  4  3 y  4  5 2  ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Εκτελώ επιμεριστικά τις πρά-ξεις προσέχοντας τα πρόσημα5 y  5.4 - 3y - 3.4  10 5 y  20  3y 12  10. Χωρίζωγνωστούς από αγνώστους ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Συνέχεια της άσκ.15.ii) σελ.61 σχ.β.5y  3y  20 12 10 2y  2 1  y  2  y 1 n2Έχω όμως θέσει x  y ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Επομένως x  1  x  1. Με τονίδιο τρόπο λύνεται και η 15. ii σελ.61σχ.β. Θέτεις x  y και δουλεύεις μετον ίδιο τρόπο, αν έχεις απορία επι-κοινώνησε μαζί μου! ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

1 αν a  0 τότε x  a a  x  a a x a x a,a Δηλαδή x  a και x  a ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΠαράδειγμαΛύση της άσκησης 5.σελ.80 σχ.βi x  3  3  x  3, δηλ. 3 0 3 x  3,3x  3 και x  3ii x 1  4  4  x 1  4 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Συνέχεια της άσκ.5.ii)σελ.80 σχ.β.Εδώ έχουμε να λύσουμε διπλήανίσωσηa 4  x 1β x 1 4 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Συνέχεια της άσκ.5.ii)σελ.80 σχ.β.Από την πρώτη ανίσωση έχω  x 1  4  x  1 4 x  3Από τη δεύτερη ανίσωση έχωβ x 1 4  x 1 4 x5 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Συνέχεια της άσκ.5.ii) σελ.80 σχ.β. 3 5   x 3,5Συνεπώς η λύση της ανίσωσης x 1  4 είναι  3  x  5 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Με τον ίδιο τρόπο προσπάθησενα λύσεις την iii 2x 1  5Αν έχεις πρόβλημα επικοινώ-νησε μαζί μου! ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

2οναν   0 τότε x  a x  a ή x  a a x  , a x a,  ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΠαράδειγμαΛύση της άσκ.6. σελ.80 σχ.β.i x  3  x  3 ή x  3 3 3  x 3, x  , 3ii x 1  4  1 x 1  4 ή2 x 1  4 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Λύση της άσκ.6.ii) σελ.80 σχ.β.1  x 1  4  x  1 4 x52  x 1  4  x  1 4 x  3 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Λύση της άσκ. 6.ii) σελ.80, σχ.β.Επομένως x  5 ή x  3Με τον ίδιο τρόπο προσπάθησενα λύσεις την iii 2x 1  5.Αν έχεις δυσκολία επικοινώνησεμαζί μου, καλή επιτυχία! ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Διπλές Ανισώσεις με Απόλυτεςτιμές.Λύση της άσκ. 2., Β ομάδας, σελ.81σχ.β. Παράδειγμα i 2  x  4Εδώ έχω να λύσω διπλή ανίσωση ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

την 1 2  x και την 2 x  41  2  x  x  2  x  2ή x  22  x  4   4  x  4 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Συνέχεια της 2.i) Β ομάδας ,σελ.42 σχ.β.Επειδή όμως η αρχική δηλ. η 2  x  4είναι διπλή ανίσωση πρέπει να δούμετα αποτελέσματα1 x  2 ή x  2 και 2  4  x  4που συναληθεύουν ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Συνέχεια της 2.i),B ομάδας σελ.42 σχ.β. 4 2 0 2 4      x 4, 2 x 2, 4Επομένως η i) 2  x  4 αληθεύειόταν  4  x  2 και 2  x  4 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Συνέχεια της άσκ. 2.i),Β ομάδας σελ.42 σχ.β.Δηλαδή, οι 1 x  2 ή x  2 και 2  4  x  4συναληθεύουν εκεί που όλες οι γραμμές τουγραφήματος συναντιούνται στο ίδιο διάστημαπου είναι το4, 2 και το 2, 4.Δηλαδή η λύσητης ανίσωσης 2  x  4 είναι τα x που ανήκουνστο 4, 2 και το 2, 4. ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Κλασματικές Ανισώσεις με Απόλυτεςτιμές.Λύση της άσκησης 8. σελ.81σχ.β.i) x 1  4  5  x 1 2 33 Όπως και στις κλασματικές εξισώσεις με απόλυτες τιμές θέτω x 1  y ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

i) y  4  5  y ,   6 2 33Πολ/ζω με το ΕΚΠ=6 και τα δύομέλη της ανισότητας6  y  4  6 5  6 y  2 33 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Συνέχεια της άσκ. 8 i) σελ.81,σχ.β.3 y  4  2.5  2 y 3y 12 10  2 y 3y  2 y  12 10  y  2Όμως έχω θέσει x 1  y ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Επομένως x 1  2  2< x 1  2. Έχω ναλύσω τώρα μια διπλή α-νίσωση1  2  x 1 και2 x 1 2 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Συνέχεια της άσκ.8 i) σελ.81 σχ.β.1  x 1  2  x  1 2  x  12  x 1 2  x 1 2  x  3Επομένως από τις 1 και 2 έχω1  x  3 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Με τον ίδιο τρόπο προσπάθησε να λύσειςτην επόμενη 8.ii) σελ.81, σχ.β. Θέτειςx  y και προχωράς. Αν αντιμετωπίσειςοποιοδήποτε πρόβλημα επικοινώνησεμαζί μου. Προσοχή! να θυμάσαι πάνταότι η απόλυτη τιμή είναι θετική, δηλαδήx  0, εάν x  0 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

x =0 στη περίπτωση που x  0Να σημειώσω εδώ ότι ισχύει καιαντίστροφα, δηλαδή, εάν x  0τότε x  0 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Π.χ. εάν x  0 τότε x  0  0και εάν x  0  x  0.Προσοχή!Eάν σε μια εξίσωση καταλήξεις σεx  a όπου   0 τότε αυτή είναιΑδύνατη. Π.χ. η x  2 είναι Αδύ-νατη ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Εάν σε μια ανίσωση καταλήξεις στοx  a , όπου   0 τότε αυτή είναιΑδύνατη. Π.χ. η x  2 είναι Αδύ-νατη, διότι η απόλυτη τιμή είναιπάντα θετική. ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Εάν σε μια ανίσωση καταλήξεις στοx  a όπου   0 τότε αυτή ΕίναιΑόριστη, δηλ. αληθεύει για όλα ταπραγματικά x ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Παράδειγμα η x  2 Είναι Αόριστηεφόσον η απόλυτη τιμή είναι πάντα θετικήκαι άρα αληθεύει για όλα τα x που ανήκουνστο σύνολο των πραγματικών αριθμών ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Παραδείγματαi) x  2  1 Αδύνατηii) x 1  3 Αδύνατηiii x  5  2 Αόριστηiv 2x 1  0  2x 1  02x 1 2x  1  x  122 2ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Να δείξετε ότι : Αν  >0 τότεx      x  ΑπόδειξηΕφόσον τα  και x είναι θετικάμπορώ να υψώσω την ανισότηταx   στο τετράγωνο. ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

x 2   2  x 2  2  0  x2  2  0Σημειώνω εδώ ότι x 2  x2, οπότεεφαρμόζοντας τη ταυτότητα της δια-φοράς των τετραγώνων η x2  2  0γράφεται  x    x    0 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Πρέπει να λύσω την  x   x    0οπότε σχηματίζω το παρακάτω πινακάκι     x   0  0   x   x  x  ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Από το πινακάκι που σχημάτησα φαί-νεται ότι το γινόμενο  x    x    0είναι αρνητικό ή ίσο με το μηδέν όταντο x παίρνει τιμές στο διάστημα θ, +θδηλαδή όταν    x  . Αυτό πουήθελα να αποδείξω. ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ