Β Λυκείου άλγεβρα 103 σελίδες

Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών http://www.mathschool-online.gr 3α-3-2β+4=0-> 3α-2β=-1(1) -6-2α=0->-2α=6->α=-3 (2) Η (1) λόγω της (2) γίνεται 3(-3)-2β=-1->-9-2β=-1->-2β=-1+9->-2β=8->β=-4 Επομένως α=-3 και β=-4 2η άσκηση Δίνονται τα σημεία Α(-1,0) Β(2,-3) Γ(0,1) Να βρεθεί το διάνυσμα w έτσι ώστε    2=w AB − 5.AΓ (1)Υπολογίζω τις συντεταγμένες των διανυσμάτων ΑΓ και ΑΒ  ΑΓ = (0 +1,1− 0) = (1,1)  ΑΒ = (2 +1, −3 − 0) = (3, −3) Οπότε η σχέση (1) γίνεται    2=w AB − 5.AΓ -> 2(x,y)=(3,-3)-5.(1,1)->(2x,2y)=(3,-3)-(5,5)-> (2x,2y)=(3-5,-3-5)->(2x,2y)=(-2,-8)-> 2x=-2->x=-1 και 2y=-8->y=-4 Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών http://www.mathschool-online.gr 2

Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών http://www.mathschool-online.gr  Άρα w =(−1, −4) 3η άσκηση Δίνονται τα σημεία Α(-2,1) και Β(3,-2) Να βρεθεί το σημείο Μ τέτοιο ώστε   2.ΑΜ − 3.ΒΜ =0 (1) Λύση Έστω Μ(x,y)Yπολογίζω τις συντεταγμένες των διανυσμάτων ΑΜ και ΒΜ  AM =(x + 2, y −1)  ΒΜ =(x − 3, y + 2) Επομένως η σχέση (1) γράφεται 2.(x+2,y-1)-3.(x-3,y+2)=0-> 2x+2-3x+9=0 (Ι) και 2y-2-3y-6=0 (ΙΙ) (Ι) -> 2x+2-3x+9=0 ->-x=-11->x=11 (II) -> 2y-2-3y-6=0 -> -y=8 -> y=8 Άρα το σημείο Μ έχει συντεταγμένες x=11 , y =8 Δηλαδή Μ=(11,8) Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών http://www.mathschool-online.gr 3

Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών http://www.mathschool-online.gr 4η άσκησηΝα βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος το συμμετρικό του σημείου Α(1,0) ως προς Β(0,3) Λύση Πρόκειται για συμμετρία ως προς κέντρο Έστω Α΄(x,y) το συμμετρικό του Α ως προς Β Θα ισχύει AB = A΄Β (Ι)Yπολογίζω τις συντεταγμένες των διανυσμάτων ΑΒ και Α΄Β Για το ΑΒ:  ΑΒ = ( 0-1,3-0)=(-1,3) Για το Α΄Β:  Α΄Β = ( 0-x,3-y)=(-x,3-y) Eπομένως η σχέση (Ι) γράφεται 1+ 9 = (−x)2 + (3 − y)210= x2 + (3 − y)2 →10 = x2 + (y − 3)2 → 2 = (x − 0)2 + (y − 3)210Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών http://www.mathschool-online.gr 4

Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών http://www.mathschool-online.gr Αυτό σημαίνει ότι οι συντεταγμένες x και y του σημείου Α΄ ικανοποιούν την εξίσωση του κύκλου κέντρου Κ(0,3) και ακτίνας ρ = 10 Επομένως το συμμετρικό σημείο Α΄του σημείου Α ως προς το σημείο Β ανήκει στο κύκλο κέντρου Κ(0,3) και ακτίνας ρ = 10 Και οι συντεταγμένες x , y του Α΄ ικανοποιούν επίσης την εξίσωση της ευθείας ΑΒ : y=λx+β Η ευθεία y=λx+β ικανοποιείται από τα σημεία Α(1,0) και Β(0,3) Οπότε υπολογίζεται ότι είναι y=-3x+3Eπομένως οι συντεταγμένες του σημείου Α΄αποτελούν λύση του συστήματος y=-3x +3 (1) 10 = x2 + (y − 3)2 (2) Λύνω το σύστημα Η (2) λόγω της (1) γίνεται 10=x2 +(-3x+3-3)2 -> 10=x2 + (-3x)2 ->10=x2 +9x2 -> 10=10x2 -> x2 =1 -> x=1και x=-1 Άρα η σχέση (1) για x=1 γίνεται y=-3.1+3 -> y=0 Δηλαδή Α΄(1,0) που ταυτίζεται με το Α και δεν θέλουμε Για x=-1 η (1) γίνεται Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών http://www.mathschool-online.gr 5

Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών http://www.mathschool-online.gr y=-3.(-1)+3=3+3=6 Επομένως Α΄ (-1,6) Καλή μελέτη !Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών http://www.mathschool-online.gr 6

www.mathschool-online.comΜαθηµατικά Β΄ Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Επαναληπτικά Θέµατα Απαντήσεις Θέµα 10 1. A) Τι ονοµάζουµε διάνυσµα θέσεως; Έστω Ο ένα σταθερό σηµείο του χώρου. Τότε για κάθε σηµείο Μ του χώρου ορίζεται το διάνυσµα → ΟΜ , το οποίο λέγεται διάνυσµα θέσεως του Μ ή διανυσµατική ακτίνα του Μ. Το σηµείο Ο, που είναι η κοινή αρχή όλων των διανυσµατικών ακτίνων των σηµείων του χώρου, λέγεται σηµείο αναφοράς στο χώρο. Β) Έστω Ο ένα σηµείο αναφοράς στο χώρο και ένα τυχαίο διάνυσµα. Να εκφράσετε το συναρτήση των διανυσµατικών ακτίνων και . Έχουµε : ΑΒ=ΟΒ-ΟΑ Α Β O www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com2.Να εκφράσετε το διάνυσµα σε καθένα από τα παρακάτω σχήµατα ως συνάρτηση των άλλων διανυσµάτων. r ur r r α) x = α + β + γ r ur r r β) x = α + β − γ 3.Να συµπληρώσετε τα κενά:α) Αν αr ↑↑ r , τότε … αr = r κβ ββ) Αν αr ↑↓ r , τότε … αr = r −κβ βγ) Αν αr = r , τότε … αr = 0 r 0 ⋅β δ) αr // r ⇔ αr = r , λ ∈ R λβ β www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com4. Να δειχτεί ότι : uuur uuuruuuur +OM = OA OB 2Όπου Ο είναι ένα σηµείο αναφοράς , ένα τυχαίο διάνυσµα και Μ το µέσο του τµήµατος ΑΒ.mathschool-online.com Α Μ ΒΟ →Φέρνω τη διανυσµατική ακτίνα OM του µέσου Μ του τµήµατος ΑΒ και έχω:→ → →OM = OA+ AM (1) και→ → →OM = OB+ BM (2)Από (1)+(2) έχω → → → → → → →2 OM = OA+ AM+ OB+ BM = OA+ OB Άραuuuur uuur uuurOM + = OA OB 2www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com Θέµα 2ο 1α) Έστω το παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆. Αν =Και = να βρείτε το διάνυσµα καθώς και το διάνυσµα . Έχουµε: =+ -+ β) Στο τρίγωνο ΑΒΓ η ΒΕ είναι διάµεσος.Με τι ισούται το άθροισµα + ; www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.comΓνωρίζω ότι η διανυσµατική ακτίνα του µέσου Ε τουτµήµατος ΑΓ ισούται µε:uuur uuur uuurΒΕ ΒA + ΒΓ = 22α) Έστω =(1,-1) και =(1,2).Να υπολογίσετε το διάνυσµα -2 = Έχω :2β=2(1,2)=(2,4) Eποµένως:α -2β=(1,-1)-(2,4) = (-1, + 3) β) Έστω Α(1,2) και Β(2,0).Να υπολογισθούν οισυντεταγµένες του µέσου του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ. Έστω Μ(x,y) Έχω: x = x1 + x2 2 και y = y1 + y2 2 Όπου:Α(1,2)=Α(x1, y1)Β(2,0)=B(x2,y2)www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com Eποµένως: x = 1+ 2 = 3 22 y = 2+0 = 2 =1 22 Άρα Μ(x,y)=Μ(3/2 ,1) γ) Έστω Α(-2,-1) και Β(2,0).Να υπολογισθούν οισυντεταγµένες του διανύσµατος και το µέτρο του. Έστω x , y οι συντεταγµένες του διανύσµατος ΑΒ ∆ηλαδή ΑΒ(x,y) Έχω: (x, y) = (x2 , y2 ) − (x1, y1) = (x2 − x1, y2 − y1) Όπου: Α(-2,-1)= Α(x1, y1) Β(2,0)= B(x2,y2) Eποµένως: (x, y) = (x2 , y2 ) − (x1, y1) = (x2 − x1, y2 − y1) (x, y) = (2 − (−2), 0 − (−1)) = (2 + 2, +1) = (4,1) www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com Mέτρο του : ΑΒ = x2 + y2 → ΑΒ = 42 +12 →ΑΒ = 16 +1 = 17 Θέµα 3ο1.α) Με βάση την εξής συνθήκη παραλληλίας :αr / r ⇔ x1 y1 = 0 /β x2 y2να εξετάσετε εάν τα διανύσµατα (1,3)= (x1, y1) και (2,6)= (x2,y2) είναι παράλληλα. Έχω: 1 3 = 1.6 − 2.3 = 6 − 6 = 0 26Εποµένως τα και είναι παράλληλα. β) Να συµπληρώσετε τα κενά :i) Αν α//xx΄ τότε ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσµατος α είναι ... λ=0www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com ii) Αν α//yy΄ τότε …δεν ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσµατος αiii) α // β αν και µόνο αν ... λ1=λ2 , όπου λ1,λ2 οι συντελεστές διεύθυνσης των α , β αντίστοιχα.2.α) ∆ίνεται το διάνυσµα =(λ-2 , λ2-4) , λ ∈R. Για ποια τιµή του λ είναι i) //xx΄ ii) = .i) Θέλω α//xx΄ , αυτό σηµαίνει ότι πρέπει συντελεστής διεύθυνσηςτου α να είναι µηδέν. ∆ηλαδή: λ ur = 0 αλ ur =0→ αλ ur = λ2 − 4 = 0 → α λ−2λ ur = λ2 − 22 = 0→ α λ−2λ ur = (λ − 2)(λ + 2) = 0 → α λ−2λ ur = λ + 2 = 0 → αλ + 2 = 0 → λ = −2www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com ii) Θέλω =Αυτό σηµαίνει ότι πρέπει oι συντεταγµένες του α να είναι µηδέν. ∆ηλαδή: λ-2=0 και λ2-4=0 Τα παραπάνω πρέπει να συµβαίνουν ταυτόχρονα.Εποµένως πρέπει να επαληθεύονται και οι δύο εξισώσεις. Έχω: (1) λ-2= 0→λ=2 και(2) λ-2=0→(λ-2)(λ+2)=0→λ=2 ή λ=-2Η τιµή λ=-2 δεν επαληθεύει τη πρώτη (1) εξίσωση. Εποµένως δεκτή λύση είναι η λ=2.β) ∆ίνονται τα διανύσµατα (1,µ) και (3,2).Για ποιά τιµή του µ είναι // .Υπόδειξη : Θα χρησιµοποιήσεις τη συνθήκηαr / r ⇔ x1 y1 = 0 /β x2 y2www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com Θέλω α // β Αυτό σηµαίνει ότι πρέπει : 1 µ = 0 →1.2 − 3.µ = 0 → 32 2 − 3µ = 0 → −3µ = −2 → −3µ = −2 → µ = 2 −3 −3 3 3.α) Τί ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο µη µηδενικών διανυσµάτων και ;Ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο µη µηδενικών rδιανυσµάτων αr και και το συµβολίζουµε µε β αr ⋅ r β τον πραγµατικό αριθµό αr ⋅ r =| αr | ⋅ | r | ⋅συνϕ , β βόπου ϕ η γωνία των διανυσµάτων αr και r β. β) Να συµπληρώσετε τα κενά:α) Αν αr r ή r αr ⋅ r = 0 =0 β = 0 , τότε …. β www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com β) Αν αr ⊥ r , τότε … αr r = 0 β ⋅β και αντιστρόφως. r rγ) Αν αr ↑↑ r τότε ... αr ⋅ β =| αr | ⋅ | β | β, και αντιστρόφως. r r β∆) Αν αr ↑↓ r , τότε ... αr ⋅ β = − | αr | ⋅ | | β και αντιστρόφως. ε) αr 2 =| αr |2στ) Aν α (x1, y1) και β(x2,y2) τότε ... r αr = x1 x2 + y1 y2 ⋅β ζ) Αν αr ⊥ r τότε ... λ1. λ2 = −1 β,όπου λ1 , λ2 οι συντελεστές διεύθυνσης των α και β ;γ) Αν (1,2)= (x1,y1) και (3,1)= (x2,y2)να υπολογισθεί η γωνία θ των διανυσµάτωνκαι . Έχω: συνθ = x1x2 + y1y2 x12 + y12 ⋅ x 2 + y22 2 www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com Eποµένως :συνθ = 1⋅3 + 2 ⋅1 → 12 + 22 ⋅ 32 +12συνθ = 5 =1= 2 5 ⋅ 10 2 2συνθ=συν π/4→θ=2κπ+π/4 (1) ή θ=2κπ- π/4 (2)Επειδή όµως η γωνία θ είναι η γωνία των διανυσµάτων α και β ,δηλαδή : 0 ≤ θ ≤ 1800Η (2) απορίπτεταιΕποµένως έχω ότι :(1) θ=2κπ+π/4 → θ=π/4 , κ=04. Αν (1,0)= (x1,y1) και (1,1)= (x2,y2) να βρείτε το λΏurστε ταuurδιανrύσµαταα και α + λβνα είναι κάθετα.Γνωρίζω ότι : αr r ↔ αr r =0 ⊥β ⋅β Εποµένως :www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.comur ur rα(α + λβ) = 0ur ur rα(α + λβ) = 0 →ur ur urrα.α + λαβ = 0 →ur 2 + ur r = 0 →α λαβur 2 + ur r =α λαβ 0 (1)Yπολογίζω το µέτρο του ακαrα⋅ιβrτο εσωτερικό γινόµενοurα = 12 + 02 = 1ur rα.β = 1.1+ 0.1 = 1Εποµένως : ur 2 + ur r = → α λαβ(1) : 012 + λ.1 = 0 →1+ λ = 0 → λ = −1Θέµα 4ο1.α) Με τι ισούται ο συντελεστήςδιεύθυνσης λ µιας ευθείας πουδιέρχεται από τα σηµείαΑ(x1, y1)και B(x2,y2), µε x1≠x2 Ο συντελεστής διεύθυνσης λwww.mathschool-online.com

www.mathschool-online.comµιας ευθείας που διέρχεταιαπό τα σηµείαΑ(x1, y1) καιB(x2,y2) µε x1≠x2 ισούται µε :λ = y2 − y1 x2 − x1β) Να υπολογισθεί ο συντελεστήςδιεύθυνσης της ευθείας που διέρχεταιαπό τα σηµεία Α(4,2) και Β(6,4)λ = 4 − 2 → 6 − 4λ = 2 →λ =1 2γ) Να συµπληρώσετε τα κενά:i) ε1//ε2 αν και µόνο αν ... λ1= λ2ii) ε1 ⊥ ε2 ⇔ .... λ1.λ2 = −1δ) Τι παριστάνει η εξίσωση y-y0 = λ(x-x0) ; H εξίσωση y-y0=λ(x-x0) παριστάνει ευθεία µε συντελεστή διεύθυνσης το λ ,η οποία διέρχεται από το σηµείο Α(x0,y0). ε) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείαςwww.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ=-1 και η οποία διέρχεται από το σηµείο Α(x0,y0)=Α(2,0) Έχω : y-y0=λ(x-x0)→y-0=-1(x-2)→ y = -x+2 στ) Τι εκφράζει η ευθεία x=x0; Ποια είναι η εξίσωση της κατακόρυφης ευθείας που διέρχεται από το σηµείο Α(x0,y0)=Α(5,4) Η ευθεία x=x0 εκφράζει τη κάθετη(κατακόρυφη) στον άξονα xx΄ευθεία. Η εξίσωση της κατακόρυφης ευθείας που διέρχεται από το σηµείο Α(x0,y0)=Α(5,4) είναι : x = 5 ζ) Τι εκφράζει η ευθεία y=y0; Ποια είναι η εξίσωση της παράλληλης στον άξονα xx΄ ευθείας που διέρχεται από το σηµείο Α(x0,y0)=Α(-2,6) Η ευθεία y=y0 εκφράζει τηwww.mathschool-online.com

www.mathschool-online.comπαράλληλη στον άξονα xx΄ευθεία.Η εξίσωση της παράλληληςστον xx΄ευθείας που διέρχεταιαπό το σηµείο Α(x0,y0)=Α(-2,6)είναι : y = 52. ∆ίνεται τρίγωνο µε κορυφέςΤα σηµεία Α(2,0),Β(-6,4) καιΓ(-4,2).Να βρεθούν οι εξισώσεις:i) Του ύψους που άγεται από την κορυφή Α.ii) Tης διαµέσου που άγεται από την κορυφή Β.iii) Της µεσοκαθέτου της πλευράς ΑΓ.i) Έχω:λ BΓ = 2−4 = −2 −4 − (−6) −4 + 6λ BΓ = −2 → λ BΓ = −1 2Όµως:λυ. λΒΓ = -1 → λυ.(-1) = -1→-λυ=-1→λυ = 1Εποµένως, η εξίσωση του ύψους που άγεται από το Α είναι: www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com y − 0 = 1(x − 2) → y = x−2 ii) To µέσο Μ(x,y) του τµήµατος ΑΓ έχει συντεταγµένες: x = x1 + x2 → 2 x = 2−4 → 2 x = −2 = −1 2 και y = y1 + y2 → 2 y = 0+2 =1 2 Άρα Μ(x,y)=M(-1,1)Εποµένως, ο συντελεστής διεύθυνσης της διαµέσου ΒΜ είναι : λ = y2 − y1 x2 − x1 Όπου : Μ(x,y)=M(-1,1)=Μ(x2,y2) www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com Β(-6,4)=B(x1,y1) Eποµένως: λ = y2 − y1 → x2 − x1 λ = 1− 4 → −1− (−6)λ = 1− 4 → −1− (−6)λ = −3 → λ = −3 −1+ 6 5Άρα η εξίσωση της διαµέσου ΒΜ είναι:y - y0 = λ(x - x0) →y-1=-3/5(x-(-1))→y-1=-3/5(x+1)→y −1 = − 3 (x +1) → 5y = − 3 x − 3 +1→ 55y = −3x+ 2 55 iii)Η ευθεία ΑΓ έχει συντελεστή διεύθυνσης www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com λ = y2 − y1 x2 − x1 Όπου:Α(2,0)=Α(x1, y1)καιΓ(-4,2)=Γ(x2, y2)Εποµένως:λ = y2 − y1 → x2 − x1λ = 2−0 → −4 − (−2)λ = 2 → −4 + 2λ = 2 → λ = −1 −2H κάθετος σε αυτήν έχει συντελεστήδιεύθυνσης λκαθ. και ισχύει :λκαθ..λΑΓ = -1→ λκαθ.(-1) = - 1→- λκαθ..= -1→ λκαθ..=1To µέσο Μ(x,y) του τµήµατος ΑΓ έχει συντεταγµένες : Μ(x,y)=M(-1,1) www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com Εποµένως η εξίσωση της µεσοκαθέτου της ΑΓ είναι: y-y0=λ(x-x0)→y-1=1(x-(-1)) →y-1=x+1→y=x+2 3.α)Nα γράψετε την εξίσωση κύκλου κέντρου Ο(0,0) και ακτίνας ρ. Έχω: x2+y2=ρ2 3.β)Nα γράψετε την εξίσωση κύκλου κέντρου Κ(x0,y0) και ακτίνας ρ. Έχω: (x-x0)2+(y-y0) 2=ρ2 γ)Να βρείτε την εξίσωση κύκλου κέντρου Ο(0,0) και ακτίνας ρ σε καθεµια από τις περιπτώσεις: i)Οταν διέρχεται από το σηµείο (Α −1, 3)ii) Οταν διέρχεται από το σηµείο B(0,-4) www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com Έχω: i) x2+y2=ρ2→ (-1)2+(√3)2=ρ2→ 1+3=ρ2→ρ2=4→ρ=2 Άρα η εξίσωση του κύκλου είναι: x2+y2=4 ii) x2+y2=ρ2→ 0+(-4)2= ρ2→ 16= ρ2→ ρ=√16→ ρ=4 Άρα η εξίσωση του κύκλου είναι: x2+y2=16δ)Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου µε κέντρο το Κ(2,3), όταν διέρχεται από το σηµείο Α(0,1). Έχω: (x-x0)2+(y-y0)2=ρ2→ (x-2)2+(y-3)2= ρ2 Όµως διέρχεται από το σηµείο Α(0,1) Εποµένως: (0-2)2+(1-3)2=ρ2→ 4+(-2)2= ρ2→ 4+4= ρ2→ www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com 8= ρ2→ ρ=√8 Εποµένως:H εξίσωση του κύκλου µε κέντρο το Κ(2,3), που διέρχεται από το σηµείο Α(0,1) είναι: (x-2)2+(y-3)2= 8 Kαλή Ανάγνωση! http://mathschool-online.pblogs.gr/ www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com Διαδικτυακό Φροντιστήριο Μαθηματικών Γενικά Επαναληπτικά θέματα και απαντήσεις για εξάσκηση Β΄ Λυκείου Τεχνολογικής και Θετικής Κατεύθυνσης Διανύσματα1.Ι) Να δείξετε ότι κάθε διάνυσμα στο χώρο είναι ίσο με τη διανυσματική ακτίνα του πέρατος μείον τη διανυσματική ακτίνα της αρχής.ΙΙ) Δίνονται 4 σημεία Α,Β,Γ,Δ και έστω Ο το μέσο του ΑΓ. Να δ.ο :     OB+OΔ= ΑΒ-ΔΓ2. Με τι ισούται η διανυσματική ακτίνα του μέσου τμήματος ; (Να δοθεί απόδειξη)3. Ποιές είναι οι τρεις συνθήκες παραλληλίας δύο διανυσμάτων   α και βΙ) Αν ���⃗��� είναι ένα διάνυσμα , τι συμπεραίνετε για το διάνυσμα ������⃗��� , με www.mathschool-online.com 1

www.mathschool-online.com 1  αβ= .αΙΙ) Nα εξετάσετε αν τα διανύσματα ( ) ( )  α = 2, −1 , β =2, 2 Είναι παράλληλα. ΙΙΙ) Έστω τα διάνυσματα   α =(2, −1) , β =(4, y) ,   τ.ω : α / /βΝα βρεθούν οι συντεταγμένες του διανύσματος  β = (4, y) 4.Ι) Δίνονται τα σημεία Α(-1,0) και Β(0,2).Να βρεθούν : i) Οι συντεταγμένες του μέσου Μ του τμήματος ΑΒ. ii) Οι συντεταγμένες του τμήματος ΑΒ. iii) Tο μέτρο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ.5. Ι) Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων ; www.mathschool-online.com 2

www.mathschool-online.com Πότε   a.β = 0 ; ΙΙ) Διατυπώστε την αναλυτική έκφραση του εσωτερικoύ γινομένου. ΙΙΙ) Έστω   α =(0, −1) , β =(2,1) Να βρεθεί το εσωτερικό τους γινόμενο,   a.β ΙV) Αν θ είναι η γωνία των διανυσμάτων   =α (1=, 2) , β (3,1) Να βρεθεί η γωνία θ. Απαντήσεις1.Ι) Έστω Ο ένα σταθερό σημείο του χώρου που είναι η κοινή αρχή όλων των διανυσματικών ακτίνων των σημείων του χώρου και λέγεται σημείο αναφοράς στο χώρο. Έστω www.mathschool-online.com 3

www.mathschool-online.com → ΟΑ ,το διάνυσμα θέσεως του Α και → ΟΒ το διάνυσμα θέσεως του Βτότε για οποιοδήποτε διάνυσμα → ΑΒ Α ΒO έχουμε→ → → → → →OA+ AB =OB → A=B OB− OA ΙΙ) Έχουμε:www.mathschool-online.com 4

www.mathschool-online.com→ → →→ → →AB−∆Γ =(OB−OA)−(OΓ −O∆) →→ → → =OB−OA−OΓ +O∆ → →→ → =OB−(OA+OΓ )+O∆ →  → = OB+ Ο + O∆ .διότι τα→ →OA και OΓείναι αντίθεταwww.mathschool-online.com 5

www.mathschool-online.com επομένως → → → → AB− ∆=Γ OB+ O∆ 2. Έστω ένα διάνυσμα → ABένα σημείο αναφοράς Ο και έστω η διανυσματική ακτίνα → OM του μέσου Μ του τμήματος ΑΒ Α Μ Β Ο www.mathschool-online.com 6

www.mathschool-online.com έχουμε:→ → →A=M OM − OA → → → →OM= OA+ AM→ → →B=M OM − OB → → → →OM= OB+ BM επομένως → → → → →2OM = OA+ AM + OB+ BM → → → → . = OA+ OB+ AM + BM → → = OA+ OB+ Ο → → = OA+ OB → →→ OA+ OB → = 2OMwww.mathschool-online.com 7

www.mathschool-online.com3. Οι τρεις συνθήκες παραλληλίας δύο διανυσμάτων   α και β είναι οι εξής : Πρώτη Αν α,  β είναι δύο διανύσματα, με  β ≠0, τότεα //  ⇔ α =  λ ∈R . β λβ , Δεύτερη ���⃗���//���⃗��� ↔det(���⃗���, ���⃗���) Τρίτη α //  ⇔ λ1 = λ2 βwww.mathschool-online.com 8

www.mathschool-online.comΙ) Στη σχέση 1  αβ= .α θέτω λ = 1 α  Το α εκφράζει το μέτρο του διανύσματος ακαι επομένως είναι ένας πραγματικός αριθμόςΕπομένως και το λ = 1 αείναι ένας πραγματικός αριθμός Άρα   β = λ.α Αυτό σημαίνει ότιwww.mathschool-online.com 9

www.mathschool-online.com α //  β και επειδή το =λ 1 > 0 α συμπεραίνω ότι  α ↑↑ β Δηλαδή ταα  είναι ομόρροπα και συγγραμμικά ,β ΙΙ) Γνωρίζω ότι ���⃗���//���⃗��� ↔det(���⃗���, ���⃗���) ( ) ( )  α = 2, −1 , β =2, 2 επομένως έχω: det(α,  = 2 −1 = 2− 2 = 0 β) 22 www.mathschool-online.com 10

www.mathschool-online.comαυτό σημαίνει ότι α //  βΙΙΙ) Γνωρίζω ότια //  ⇔ λ1 = λ2 β και ότι λ= y x α =(2, −1) , β =(4, y) επομένως λ  = −1 α2www.mathschool-online.com 11

www.mathschool-online.com ‘Ομως α //  β αυτό σημαίνει ότι λ  = λ  αβ−1 = y ⇒ −4 = 2 y ⇒ y = 2 = −224 −4Άρα οι συντεταγμένες του διανύσματος  β είναι  =β (4, y=) (4, −2) 4.Ι) Δίνονται τα σημεία Α(-1,0) και Β(0,2) ,και έστω Μ (x1 , x2) το μέσο του τμήματος ΑΒwww.mathschool-online.com 12

www.mathschool-online.com Ισχύει ότι x = x1+ x2 2 y = y1+ y2 2 επομένως x = -1+ 0 = −1 22 y = 0+ 2 = 1 2 Άρα Μ (x , y) = (-1/2 ,1) ii) Έστω (x,y) oι συντεταγμένες του τμήματος ΑΒ όπως γνωρίζω(x, y) = (x2 , y2 ) − (x1, y1) = (x2 − x1, y2 − y1) όπου Α (x1 , y1) = A (-1,0) και www.mathschool-online.com 13

www.mathschool-online.com Β(x2 , y2) = B (0,2) επομένως:(x, y)= (x2 , y2 ) − (x1, y1)= (0 − (−1), 2 − 0)(x, y) = (1, 2) Άρα ΑΒ (x,y) = (1,2) iii) Tο μέτρο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ (x,y) = (1,2) είναι (ΑΒ) = x2 + y2 (ΑΒ) = 12 + 22 (ΑΒ) = 1+ 4 =5 5. Ι) Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων α www.mathschool-online.com 14

www.mathschool-online.com και  βκαι το συμβολίζουμε με  α ⋅ βτον πραγματικό αριθμό  α ⋅ =| α |⋅| | ⋅συνφ , β β Όπου φη γωνία των διανυσμάτων α και  βwww.mathschool-online.com 15

www.mathschool-online.com Ανα =  0 ήβ =0 ήα⊥βτότεα⋅  = 0 βΙΙ) Αναλυτική έκφραση του εσωτερικoύγινομένου : Άν α = (x1 , y1 ) καιβ = (x2 , y2 ) Τότεwww.mathschool-online.com 16

www.mathschool-online.com  α ⋅ β = x1x2 + y1 y2 ΙΙΙ) Έστω   α =(0, −1) , β =(2,1) το εσωτερικό τους γινόμενο είναι α  = x1 x2 + y1 y2 ⋅βα ⋅  =0.2 + (−1).1 =0 −1 =−1 βΙV) θ είναι η γωνία των διανυσμάτων  =α (1=, 2) , β (3,1) γνωρίζω ότι συνθ = |αα|⋅⋅|ββ| α  = x1 x 2 + y1 y2 ⋅β |α|= x12 + y12 www.mathschool-online.com 17

www.mathschool-online.com  |β |= x22 + y22Επομένωςσυνθ = x1 x2 + y1 y2x12 + y12 ⋅ 2 y22 x 2 + συ=νθ 2 ⇒ 2 συνθ = συν π 4 =θ 2κπ + π (1) 4 ή =θ 2κπ − π (2) 4 κ ∈ΖΕπειδή η γωνία θ είναι κυρτήδηλαδή 00 ≤ θ ≤ 1800www.mathschool-online.com 18

www.mathschool-online.com η=θ 2κπ − π (2) απορρίπτεται 4 Επομένως από την (1) για κ=0 έχω : θ = π = 450 4Εάν έχεις οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το mathschool-online! Καλή Ανάγνωση! www.mathschool-online.com 19

www.matschool-online.com Διαδικτυακό Φροντιστήριο ΜαθηματικώνΓενικά Επαναληπτικά Θέματα και απαντήσεις για εξάσκηση Άλγεβρα Β΄ Λυκείου Τριγωνομετρία 1. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f με f(x) = ημx είναι περιοδική με περίοδο Τ = 2π 2. Να λυθούν οι εξισώσεις i) ημx = 0 , ii) ημx = -1/2 , iii) συνx = 0 , iv) συνx = -1/2 v) εφx = 0 3. Nα γράψετε σε απλούστερη μορφή τις παραστάσεις i) ημx.συν3x - συνx.ημ3x εφx-εφ2x ii) 1+εφx.εφ2x 4. Nα υπολογίσετε την τιμή της παράστασης συν (450- 300) www.matschool-online.com 1

www.matschool-online.com 5. I) Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις i) 4ημ α συν α 22 ημ2x ii) 2ημx II) Aν ημα = 1/2 , να υπολογισθεί το ημ2α Απαντήσεις 1.f(x+2π) = ημ(x+2π) = ημ(x-2π) = ημx = f(x) , (1) και f(x-2π) = ημ(x-2π) = ημx = f(x) , (2) Από την (1) και τη (2) έχω f(x+2π) = f(x-2π) = f(x)Άρα είναι περιοδική με περίοδο Τ = 2π. www.matschool-online.com 2

www.matschool-online.com Τριγωνομετρικές εξισώσεις ημx = 0 ⇒ ημx = ημ0 ⇒  x x = 2κπ +0 =2κπ +  με κ∈Ζ ή = 2κπ + π-0 = 2κπ π2.i) ημx = -1/2 ⇒ ημx =-ημ π ⇒ 3 ημx = ημ(- π ) , ii) 3 διότι : ημ(-x ) = -ημx Επομένως ημx = - 1 = ημ(- π ) ⇒ 23 www.matschool-online.com 3

www.matschool-online.com x = 2κπ - π/3 ή x = 2κπ + π - (- π/3) ⇒   με κ∈Ζx = 2κπ + π + π/3 = 2κπ + 4π/3 συνx = 0 ⇒ συνx = συν π ⇒ 2  x = 2κπ + π   2   π  με κ∈Ζ 2 iii) ή x = 2κπ -  συνx = -1/2 ⇒ συνx = - συν π ⇒ 3iv) συνx = συν  π - π  3  διότι: - συνx = συν (π - x) www.matschool-online.com 4