Βσικές έννοιες της στατιστικής

Διαδικτυακό φροντιστήριο μαθηματικώνhttp://www.mathschool-online.grΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΒασικές έννοιες

Eρωτήματα προς απάντησηΣε ένα δείγμα μεγέθους ν :1) Tι ονομάζεται συχνότητα της τιμής μιας μεταβλητής χ;2)Tι ονομάζεται σχετική συχνότητα της τιμής μιας μεταβλητήςχ;3) Ποιές ιδιότητες ισχύουν για τη συχνότητα και ποιές για τησχετική συχνότητα μιας μεταβλητής χ;4) Τι είναι ο πίνακας κατανομής συχνοτήτων μιας μεταβλητής χ;

Ας δούμε μία προς μία τις ερωτήσεις και να δώσουμε τιςκατάλληλες απαντήσειςΣε ένα δείγμα μεγέθους ν :1) Tι ονομάζεται συχνότητα της τιμής μιας μεταβλητής χ;AπάντησηΥποθέτω ότι χ1 ,χ2, .., χ κ είναι οι τιμές της μεταβλητής χ πουαφορά τα στοιχεία ενός δείγματος μεγέθους ν , κ  νΣυχνότητα της τιμής χ i, i=1, 2, 3, ..,κ, ονομάζεται ο φυσικόςαριθμός νi που μας δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή χiτης εξεταζόμενης μεταβλητής χ στο σύνολο των παρατηρήσεων

2) Tι ονομάζεται σχετική συχνότητα της τιμής μιας μεταβλητής χAπάντησηΣχετική συχνότητα fi της τιμής χi ,i =1, 2, 3,.., κ ονομάζεται τοπηλίκο fi=νi/ν , όπου νi είναι η συχνότητα της τιμής χi και ν τομέγεθος του δείγματος.Συνήθως τις σχετικές συχνότητες τις εκφράζουμε επί τοις 100οπότε συμβολίζουμε με fi% =100.fi, όπου i=1,2,…,κ , κ  ν3) Ποιές ιδιότητες ισχύουν για τη συχνότητα και ποιές για τησχετική συχνότητα μιας μεταβλητής χ;Aπάντησηα)Το άθροισμα των συχνοτήτων των τιμών μιας μεταβλητής χ σεένα δείγμα μεγέθους ν είναι ίσο με το μέγεθος του δείγματος,δηλαδή ν1+ν2+..+νκ=ν

β) Για τη σχετική συχνότητα f i ισχύουν οι ιδιότητες γιαi=1,2,3,..,κ :i)0  fi  1 ii)f1  f2  ...  fκ  1ΑπόδειξηΓια τη πρώτη έχω :0  νi  ν  0  νi  ν  0  fi  1 ννΓια τη δεύτερη έχω :ii)f1  f2  ...  fκ  ν1  ν2  ...  νκ  ν1  ...  νκ  ν 1 ν ν ν ν ν

Σε ένα δείγμα μεγέθους ν :4) Τι είναι ο πίνακας κατανομής συχνοτήτων μιας μεταβλητής χ;AπάντησηΟ πίνακας κατανομής συχνοτήτων μιας μεταβλητής χ ενόςδείγματος μεγέθους ν είναι ένας συνοπτικός πίνακας στονοποίο τοποθετούνται οι τιμές των χi ,νi και fi,i=1,2,3,...,kμε κ μικρότερο ή ισο του ν .Το σύνολο των ζευγών (χi,νi) αποτελεί την κατανομήσυχνοτήτων και το σύνολο των ζευγών (χi,fi%) τηνκατανομή σχετικών συχνοτήτων επί τοις 100

ΠαράδειγμαΣτον παρακάτω πίνακα κατανομής συχνοτήτων εμφανίζονται οι τιμέςτης μεταβλητής χi , i =1,2,3,…,6 της μεταβλητής χ και οι αντίστοιχεςσυχνότητές τους.Να βρεθούν1) Οι σχετικές συχνότητες fi,i=1,2,3,4,5,62) Οι σχετικές συχνότητες % fi%,i=1,2,3,4,5,63) Να συμπληρωθεί ο πίνακας κατανομής συχνοτήτων xi νi x1 ν1=8 x2 ν2=6 x3 ν3=10 x4 ν4=12 x5 ν5=4 x6 ν6=10

ΛύσηΤο μέγεθος του δείγματος είναι ν1+ν2+..+νκ=ν ->8+6+10+12+4+10=ν -> ν=50Επομένως1)f1=ν1/ν ->f1= 8/50 ->f1=0,16 ομοίως f2=0,12 ,…,f6=0,2Oι σχετικές συχνότες επί τοις 100 είναι οι εξής:2)f1 % =100.f1=100.0,16=16 Ομοίως f2%=100.f2=100.0,12=12,..,f6%=100.f6=100.0,2=203) Ο Πίνακας έχει ως εξής :xi νi fi fi %x1 ν1=8 0,16 16x2 ν2=6 0,12 12x3 ν3=10 0,2 20x4 ν4=12 0,24 24x5 ν5=4 0,08 8x6 ν6=10 0,2 20

Aθοιστική συχνότητα Ni Αθροιστική σχετική συχνότητα Fi Αθροιστική σχετική συχνότητα επί τοις εκατό Fi%1) Τι εκφράζει η αθοιστική συχνότητα Ni;2) Τι δείχνει η αθροιστική σχετική συχνότητα Fi3)Τι εκφράζει η αθροιστική σχετική συχνότητα επί τοις εκατόFi%

ΠαράδειγμαΟι βαθμοί του 1ου τετραμήνου 40 μαθητών της Γ΄ Λυκείου στομάθημα της Στατιτικής ήταν οι παρακάτω:1)Να γίνει διαλογή των βαθμών και να κατασκευασθεί ο πίνακαςσυχνοτήτων της μεταβλητής x: «Bαθμός 1ου τετραμήνου στομάθημα της Στατιστικής»10 10 13 13 15 17 17 19 19 1717 10 19 13 13 15 13 15 15 1717 13 19 13 19 13 13 19 19 1915 15 19 15 19 15 15 19 19 17

2)Να συμπληρωθεί ο πίνακας με τις στήλες των συχνοτήτων, τωναθροιστικών συχνοτήτων, των σχετικών συχνοτήτων, των σχετικώνσυχνοτήτων επί τοις εκατό και των αθροιστικών σχετικώνσυχνοτήτων επί τοις εκατό3)Τι εκφράζει η αθροιστική συχνότητα Ν4 ;4)Τι εκφράζει η αθροιστική σχετική συχνότητα F3%5) Τι εκφράζει η αθροιστική σχετική συχνότητα Fi6) Τι εκφράζει η αθοιστική συχνότητα Ni;7)Τι εκφράζει η αθροιστική σχετική συχνότητα επί τοις εκατό Fi%8) Nα κατασκευασθεί το πολύγωνο συχνοτήτων και σχετικώνσυχνοτήτων %

10 10 13 13 15 17 17 19 19 1717 10 19 13 13 15 13 15 15 1717 13 19 13 19 13 13 19 19 1915 15 19 15 19 15 15 19 19 171)Ο πίνακας συχνοτήτων της μεταβλητής x: «Bαθμός 1ουτετραμήνου στο μάθημα της Στατιστικής»είναι ο εξής :Βαθμοί xi Συχνότητα νi10 313 915 917 719 12Σύνολο 40

Yπολογίζω τις αθροιστικές συχνότητες ΝiΝ1=ν1=3 , Ν2=Ν1+ν2=3+9=12 , Ν3=Ν2+ν3=12+9=21,Ν4=Ν3+ν4=21+7=28 , Ν5=Ν4+ν5=28+12=40Yπολογίζω τις σχετικές συχνότητες fif1=ν1/ν = 3/40 = 0,075 , f2=ν2/ν = 9/40 =0,225 , f3=ν3/ν =9/40 =0,225 ,f4=ν4/ν = 7/40 =0,175 , f5=ν5/ν =12/40 =0,3Yπολογίζω τις σχετικές συχνότητες fi %f1%=100.f1 = 100.0,075 = 7,5 , oμοίως f2% =22,5 , f3% =22,5 ,f4% =17,5 , f5% =30Yπολογίζω τις αθροιστικές σχετικές συχνότητες % :F1 %=f1 % =7,5 , F2%=F1%+f2% =7,5+22,5 ,F3%=F2%+f3%=30+22,5=52,5 , F4%=F3%+f4%=52,5+17,5=70F5%=F4%+f5%=70+30=100

2) Πίνακας Αθρ.συχν. Σχετ.συχ. Σχετ.συχ. Αθρ.σχετ.Bαθμός xi Συχν/τα Νi fi fi% συχν. Fi% νi10 3 3 0,075 7,5 7,513 9 12 0,225 22,5 3015 9 21 0,225 22,5 52,517 7 28 0,175 17,5 7019 12 40 0,3 30 100Σύνολο 40 1 100

3)Η αθροιστική συχνότητα Ν4=28 δείχνει ότι 28 από τους 40μαθητές βαθμολογήθηκαν στο μάθημα της Στατιστικής με βαθμό από10 έως και 174)Η αθροιστική σχετική συχνότητα F2%=30 δείχνει ότι το 30% τωνμαθητών βαθμολογήθηκαν με βαθμό από 10 έως και 13Bαθμός xi Συχν/τα Αθρ.συχν. Σχετ.συχ. Σχετ.συχ. Αθρ.σχετ. νi Νi fi fi% συχν. Fi%10 3 3 0,075 7,5 7,513 9 12 0,225 22,5 3015 9 21 0,225 22,5 52,517 7 28 0,175 17,5 7019 12 40 0,3 30 100Σύνολο 40 1 100

Επομένως :5),7)H αθροιστική σχετική συχνότητα Fi ή Fi % εκφράζει το ποσοστότων παρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής xi6)Η αθροιστική συχνότητα Νi εκφράζει το πλήθος των παρατηρήσεωνπου είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής xiΚατασκευή διαγράμματος συχνοτήτων και σχετικώνσυχνοτήτων %Το διάγραμμα συχνοτήτων αποτελείται από κάθετες γραμμές τωνοποίων η αρχή βρίσκεται πάνω στον οριζόντιο άξονα και αντιστοιχείστη τιμή xi και έχουν μήκος ίσο με την αντίστοιχη συχνότητα νi

Το διάγραμμα συχνοτήτων αποτελείται από κάθετες γραμμές τωνοποίων η αρχή βρίσκεται πάνω στον οριζόντιο άξονα και αντιστοιχείστη τιμή xi και έχουν μήκος ίσο με την αντίστοιχη συχνότητα νi Διάγραμμα συχνοτήτων (xi ,νi )1412 1210 8 99 674320 5 1 234 10 13 15 17 19

8)Πολύγωνο συχνοτήτων είναι η πολυγωνική γραμμή που προκύπτειαν ενώσουμε τα σημεία (xi,νi) του διαγράμματος συχνοτήτων Πολύγωνο συχνοτήτων νi (15,9) (19,12)14 (17,7)12 15 2010 (13,9) 8 6 4 (10,3) 2 0 0 5 10

8)Πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων % είναι η πολυγωνική γραμμή πουπροκύπτει αν ενώσουμε τα σημεία (xi,fi%) του διαγράμματοςσχετικών συχνοτήτων % Πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων % fi%35 (19,30)3025 (13,22,5) (15,22,5)2015 (10,7,5) (17,17,5)1050 0 5 10 15 20

Διαδικτυακό φροντιστήριο μαθηματικώνhttp://www.mathschool-online.gr/elearning Μέθοδος ομαδοποίησης παρατηρήσεων Ιστόγραμμα και πολύγωνο συχνοτήτων

Μέθοδος ομαδοποίησης παρατηρήσεωνΓια την ομαδοποίηση των παρατηρήσεων ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα :1o Bρίσκουμε τον αριθμό κ των κλάσεων που θα χρησιμοποήσουμε.Για τηνεπιλογή του κατάλληλου αριθμού μπορεί να χησιμοποιηθεί ο παρακάτωπίνακας:Μέγεθος δείγματος ν Αριθμός κλάσεων κ ν<20 5 20<ν<50 6 50<ν<100 7 100<ν<200 8

2ο Προσδιορίζουμε το πλάτος των κλάσεων χρησιμοποιώντας τον τύποc=R/κ όπου R είναι το εύρος του δείγματος δηλαδή η διαφορά τηςμικρότερης παρατήρησης από τη μεγαλύτερη παρατήρηση του συνολικούδείγματος και κ ο αριθμός των κλάσεωνΑν ο αριθμός c που προκύπτει από τη διαίρεση δεν είναι ακέραιος τότεστρογγυλοποιούμε πάντα προς τα πάνω3ο Κατασκευάζουμε τις κλάσεις :Ξεκινάμε από τη μικρότερη παρατήρηση ή για πρακτικούς λόγους λίγο πιοκάτω από τη μικρότερη και προσθέτοντας κάθε φορά τον αριθμό cδημιουργούμε τις κ κλάσεις4ον Κάνουμε τη διαλογή των παρατηρήσεων : Ονομάζουμε συχνότητα νiτης κλάσης i ή συχνότητα της κεντρικής τιμής xi το πλήθος τωνπαρατηρήσεων που προκύπτουν από τη διαλογή για την κλάση xiΚέντρο της κλάσης [α,β) ή κεντρική τιμή ονομάζεται ο αριθμός (α+β )/2

ΠαράδειγμαΖυγίστηκαν 30 αθλητές της άρσης βαρών και τα βάρη τους σε kg πουπροέκυψαν ήταν :Nα ομαδοποιηθούν οι παραπάνω παρατηρήσεις1) Πόσες κλάσεις θα χρησιμοποιηθούν2)Ποιό είναι το πλάτος κάθε κλάσης3)Να κατασκευασθεί πίνακας συχνοτήτων με στήλες για τη συχνότητα , τηναθροιστική συχνότητα, τη σχετική συχνότητα επί τοις 100, την αθροιστικήσχετική συχνότητα επί τοις 100 και την κεντρική τιμή κάθε κλάσης4)Ποιό ποσοστό των αθλητών έχει βάρος μικρότερο από 57 kg και ποιόμεγαλύτερο ή ίσο από 57 kg5)Ο προπονητής της ομάδας συμπέρανε ότι το 30% των αθλητών είναιυπέρβαροι.Πόσοι σε πλήθος είναι οι υπέρβαροι αθλητές 55 70 69 73 72 59 54 71 67 62 60 54 63 52 80 73 74 70 63 64 65 58 53 45 56 50 48 57 60 62

Λύση1) Το πλήθος των παρατηρήσεων είναι 30, οπότε θα τις χωρίσουμε σε κ=6κλάσεις2)Η μεγαλύτερη παρατήρηση είναι 80 και η μικρότερη 45,οπότε το εύρος Rείναι ίσο με R=80-45=35Άρα το πλάτος c κάθε είναι ίσο με c=R/κ = 35/6 =5,83Eπομένως θα δημιουργήσουμε 6 κλάσειςΚλάσεις Κεντρικές Συχνό/τα Αθρ.συχν. Σχετ.συχν Αθρ σχ[,) τιμές xi νi Νi %fi% συχν45-51 48 351-57 54 6 %Fi%57-63 60 763-69 66 5 3 10 1069-75 72 875-81 78 1 9 20 30Σύνολο 30 16 23,33 53,33 21 16,67 70 29 26,67 96,67 30 3,33 100 100

4)Από τη στήλη των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων προκύπτει ότιτο 30%=F2% των αθλητών έχει βάρος μικρότερο από 57 kg και το70%=F6%-F2%=100%-30% μεγαλύτερο ή ίσο από 57 kg5)Παρατηρούμε ότι το 30% = f5%+f6%=26,67%+3,33% αντιστοιχείστις δύο τελευταίες κλάσεις.Άρα το πλήθος των υπέρβαρων αθλητώνείναι ίσο με 8+1=9Κλάσεις Κεντρικές Συχνό/τα Αθρ.συχν. Σχετ.συχν Αθρ σχ[,) τιμές xi νi Νi %fi% συχν45-51 48 351-57 54 6 %Fi%57-63 60 763-69 66 5 3 10 1069-75 72 875-81 78 1 9 20 30Σύνολο 30 16 23,33 53,33 21 16,67 70 29 26,67 96,67 30 3,33 100 100

Ερωτήσεις1)Τί είναι το ιστόγραμμα συχνοτήτων2)Πώς κατασκευάζεται ένα ιστόγραμμα συχνοτήτων3)Τί είναι το πολύγωνο συχνοτήτων4)Με τι είναι ίσο το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνοσυχνοτήτων και τον οριζόντιο άξοναΑπαντήσεις1) Το ιστόγραμμα συχνοτήτων είναι η γραφική παράσταση ενός πίνακασυχνοτήτων με ομαδοποιημένα δεδομένα2)Κατασκευάζουμε ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων και στονοριζόντιο άξονα σημειώνουμε τα όρια των κλάσεων.Στη συνέχειακατασκευάζουμε διαδοχικά ορθογώνια (ιστούς) καθένα από τα οποία έχει βάσημε μήκος ίσο με το πλάτος της κλάσης και ύψος τέτοιο ώστε το εμβαδόν τουορθογωνίου να είναι ίσο με τη συχνότητα της κλάσης αυτής.Επομένως στον κατακόρυφο άξονα βάζουμε τις συχνότητες τωνκλάσεωνΑν οι κλάσεις είναι ισοπλατείς το ύψος των ορθογωνίων είναι ίσο με τηναντίστοιχη συχνότητα της κάθε κλάσηςAν στον κατακόρυφο άξονα τοποθετήσουμε τις σχετικές συχνότητες ή τιςαθροιστικές σχετικές συχνότητες τότε παίρνουμε το ιστόγραμμα σχετικών ήαθροιστικών σχετικών συχνοτήτων

3) Θεωρούμε στο ιστόγραμμα συχνοτήτων δυο ακόμα υποθετικές κλάσεις μίαστην αρχή και μία στο τέλος με συχνότητα μηδέν και στη συνέχεια ενώνουμε ταμέσα των άνω βάσεων των ορθογωνίων ,τότε το πολύγωνο που σχηματίζεταιονομάζεται πολύγωνο συχνοτήτωνΜε ανάλογο τρόπο κατασκευάζεται το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων4) Το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τονοριζόντιο άξονα είναι ίσο με το άθροισμα των συχνοτήτων,δηλαδή είναι ίσο μετο μέγεθος του δείγματος νΑνάλογα,το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο των σχετικώνσυχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο με το άθροισμα των σχετικώνσυχνοτήτων δηλαδή ίσο με 1 ή ίσο με 100 αν πρόκειται για σχετικέςσυχνότητες επί τοις 100Παράδειγμα : Να κατασκευασθεί το ιστόγραμμα και το πολύγωνοσυχνοτήτων για τις παρακάτω παρατηρήσεις

Κλάσεις Κεντρικές Συχνό/ταν Αθρ.συχν. Σχετ.συχν Αθρ σχ[,) τιμές xi i Νi %fi% συχν %Fi%45-51 48 33 1051-57 54 69 20 1057-63 60 7 16 23,3363-69 66 5 21 16,67 3069-75 72 8 29 26,6775-81 78 1 30 3,33 53,33Σύνολο 30 100 70 96,67 100

Iστόγραμμα συχνοτήτων νi10 67588643210 45-51 51-57 57-63 63-69 69-75 75-81 Πολύγωνο συχνοτήτων νi9 (72,8)8 (60,7)7 (54,6)65 (66,5)4 (48,3)32 (78,1)10

Πώς κατασκευάζεται το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων μιας κατανομής Αν γνωρίζουμε το ιστόγραμμα αθροιστικών συχνοτήτων τότε ξεκινώντας από το κάτω αριστερό άκρο της πρώτης κλάσης ενώνουμε με γραμμές τις επάνω δεξιά κορυφές των ορθογωνίων των κλάσεων Iστόγραμμα αθροιστικών Πολύγωνο αθροιστικών σχετικών σχετικών συχνοτήτων % συχνοτήτων % , Fi%120 96,67 100 120 (81,100)100 100 80 100 (75,96,6)80 70 80 (69,70)60 53,33 60 (63,53,33)40 30 40 (57,30)20 10 20 (51,10) (45,0)00 45-51 51-57 57-63 63-69 69-75 75-81 20 40 60 0