Επαναληπτικά θέματα & απαντήσεις - Α Λυκείου

www.mathschool-online.comΔιαδικτυακό Φροντιστήριο Μαθηματικών Προαγωγικές εξετάσεις Α΄ Λυκείου -Άλγεβρα Περιόδου Μαίου –Ιουνίου Σχολικού έτους 2009-2010 Θέματα και απαντήσεις από το mathschool-online Θέμα 1ο Α.Δίνονται Ζητείται x1,x2 ρίζες της Nδο S = -β/2α , όπουαx2+βx+γ=0, α≠0 S=x1+x2www.mathschool-online.com Aπόδειξηx1=+ x2 −β + ∆ + −β − ∆ → 2α 2α=x1 + x2 −β + ∆ −β− ∆→ 2αwww.mathschool-online.com 1

www.mathschool-online.com x1 + x2= −2β → 2α x1 + x2 =−β α(Mονάδες 12) B.Να δοθεί ο αλγεβρικός ορισμός της απόλυτης τιμής ενός πραγματικού αριθμού α(Μονάδες 5) Απάντηση  α, α > 0   =α  0,=α 0  −α, α < 0 Γ. Να συμπληρωθούν οι ισότητες1. Η εξίσωση αx+β=0 έχει μοναδική λύση ... 2. Η εξίσωση αx2+βx+γ=0 , α≠0 έχει ...www.mathschool-online.com 2

www.mathschool-online.comαν και μόνο αν Δ=0, όπου Δ η διακρίνουσα της εξίσωσης 3. Ισχύει α2 =... Για κάθε α στο R 4. Οι διακεκριμένες ευθείες δ1,δ2, με εξισώσεις y=α1x+β1 , y=α2x+β2 αντίστοιχα ,είναι παράλληλες αν και μόνο αν ... (Μονάδες 8) Απάντηση1. Η εξίσωση αx+β=0 έχει μοναδική λύση όταν α≠0 2. Η εξίσωση αx2+βx+γ=0 , α≠0 έχει διπλή λύση α≠0 www.mathschool-online.com 3

www.mathschool-online.com αν και μόνο αν Δ=0, όπου η διακρίνουσα της εξίσωσης 3. Ισχύει α2 =α Για κάθε α στο R 4. Οι διακεκριμένες ευθείες δ1,δ2, με εξισώσεις y=α1x+β1 , y=α2x+β2 αντίστοιχα ,είναι παράλληλες αν και μόνο ανοι συντελεστές της διευθυνσής τους είναι ίσοι . Δηλαδή αν και μόνο αν α1= α2 Θέμα 2ο Να λυθούν οι παρακάτω ελισώσεις και ανισώσεις Α. 2x − 5 + 9 = 0 → www.mathschool-online.com 4

www.mathschool-online.com 2x − 5 =−9 Αδύνατη (διότι το απόλυτο είναι πάντα θετικό) (Μονάδες 3) Β. 2x − 5 − 9 = 0 → 2x − 5 =9 → 2x − 5 =±9 → 2x-5=9→2x=9+5→2x=14→x=14/2=7 και2x-5=-9→2x=-9+5→2x=-4→x=-4/2=-2 (Μονάδες 7) Γ. 2x − 5 ≤ 9 → 2x − 5 ≤ 9 → −9 ≤ 2x − 5 ≤ 9 → -9≤2x-5 και 2x-5≤9 www.mathschool-online.com 5

www.mathschool-online.com -9≤2x-5 → 2x-5 ≥-9→2x≥-9+5→2x≥-4→ 2x/2≥-4/2→x≥-2 (I) 2x-5≤9→2x≤9+5→2x≤14→x≤14/2→x≤7 (II)Πρέπει να βρω που συναληθεύουν οι (Ι) και (II) : (Μονάδες 7) Δ.2 2x − 5 +2 ≤ 2x −5 −1 3 Θέτω 2x − 5 =y Επομένως: 2y + 2 ≤ y − 1 3www.mathschool-online.com 6

www.mathschool-online.com EKΠ=33 2y + 3.2 ≤ 3.y − 3.1 → 3 2y + 6 ≤ 3y − 3 → 2y + 6 ≤ 3y − 3 → 2y − 3y ≤ −3 − 6 → −y ≤ −9 → −y ≥ −9 → −1 −1 y≥9(Όταν διαιρώ με αρνητικό αριθμό και τα δύο μέλη της ανισότητας αλλάζει η φορά της) Όμως 2x − 5 =y επομένως: 2x − 5 ≥ 9 → 2x − 5 ≥ 9 ή 2x − 5 ≤ −9 Έχω:2x-5 ≥ 9→2x ≥ 9+5→2x ≥ 14→ x ≥ 14/2 → x ≥ 7www.mathschool-online.com 7

www.mathschool-online.com ή2x-5≤ -9→2x ≤ -9+5→2x ≤ -4→ x ≤ -4/2 → x ≤ -2 (Μονάδες 8) Θέμα 3ο Δίνεται το σύστημα λx + 4y =4 x + λy =2 Όπου λ πραγματικός. A. Να βρεθούν οι ορίζουσες D,DX ,DY (Μονάδες 9) B.Να δείξετε ότι για λ=2 το σύστημα είναι αόριστο (Μονάδες 6) Γ. Να λυθεί το σύστημα για λ=-1 (Μονάδες 10) Απάντηση www.mathschool-online.com 8

www.mathschool-online.com Α.D λ 4 =λ2 − 4 =1 λDX = 4 4 4λ − 8 2 = λDy = λ 4 2λ − 4 1 2= Β.Για λ=2 το παρακάτω σύστημα λx + 4y =4 x + λy =2 γίνεται: 2x + 4y =4 x + 2y =2 Έχουμε:2x + 4y =4 → x + 2y =2 → 2x + 2.2y =2.2 → 2x + 4y =4Eπομένως το σύστημα είναι ισοδύναμο με την εξίσωση 2x+4y=4 www.mathschool-online.com 9

www.mathschool-online.com 2x+4y=4→2x=4-4y→2x/2=(4-4y)/2→ x=2(2-2y)/2→ x=2-2y , με το y να ανήκει στο R.Eπομένως επαληθεύεται για όλα τα x στο R με y∈ ������ Άρα είναι αόριστη Γ. Για λ= -1 το σύστημα λx + 4y =4 x + λy =2 γίνεται −1x + 4y =4 (1) x − 1y =2 (2) Από (1)+(2) →0.x-3y=6→ -3y = 6→ -3y / -3 = 6 / -3 → y = -2 Oπότε η (2) γίνεται: x-(-2)=2→x+2=2→x=2-2 → x=0 www.mathschool-online.com 10

www.mathschool-online.com Θέμα 4ο Δίνεται η συνάρτηση ( 3x 2 − 4x +1)( x2 − 9 )f ( x ) = 3x − 1 Α.Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης (Μονάδες 3) ( 3x 2 − 4x +1)( x2 − 9 )f ( x ) = 3x − 1 Απάντηση Εύρεση π.ο της f : πρέπει3x-1≠0→3x≠1→3x /3 ≠ 1/3→x ≠ 1/3 Άρα π.ο της f : R-{1/3} Β. Να λυθούν οι εξισώσεις 3x2 − 4x + 1 =0 x2- 9 = 0 (Μονάδες 10)www.mathschool-online.com 11

www.mathschool-online.com Λύση 3x2 − 4x + 1 =0 α=3, β=-4, γ=1 Δ=β2-4αγ→ Δ=(-4)2-4.3.1=16-12=4>0Επομένως η εξίσωση έχει δύο άνισες πραγματικές λύσεις=x1,2 −β ± ∆ → 2α=x1,2 −(−4) ± 4→ 2.3 x1=,2 ±2 → 6 x1=2/6→ x1 = 1/3x2=-2/6→ x2 = -1/3• x2- 9 = 0→ x2 - 32 = 0→(x-3)(x+3)=0→ (x-3)=0→x=3 ή (x+3)=0→x=-3 Γ. www.mathschool-online.com 12

www.mathschool-online.com Να απλοποιηθεί το κλάσμα f ( x ) = ( 3x2 − 4x +1)( x2 − 9 ) 3x − 1 (Μονάδες 5) Απάντηση Παραγοντοποιώ τον αρθμητή3x2 − 4x + 1 = (x − x1)(x − x2 )3x2 − 4x + 1= (x − 1 / 3)(x − (−1 / 3))3x2 − 4x + 1 = (x − 1 / 3)(x + 1 / 3)x2- 9 =x2 - 32 = (x-3)(x+3) Επομένως η f ( x ) = ( 3x2 − 4x +1)( x2 − 9 ) 3x − 1 γίνεται :f(x) ( x − 1 / 3) ( x +1 / 3)(x − 3)( x + 3) → 3x − 1www.mathschool-online.com 13

www.mathschool-online.comf(x) (x − 1 / 3) ( x +1 / 3)(x − 3)(x + 3) → 3(x − 1 / 3) f (x) =(x + 1 / 3)(x − 3)(x + 3) Δ. Να λυθεί η ανίσωση f(x)<0 (Μονάδες 7) Aπάντηση f(x)<0→f(x) (x − 1 / 3)(x +1 / 3) (x − 3) (x + 3) < 0 → 3(x − 1 / 3) (x +1 / 3)(x − 3)(x + 3) < 0 x -∞,-3 -3,1/3 -1/3,3 3, +∞(x+1/3) - - + + (x-3) - - - + (x+3) - + + + f(x) - + - + www.mathschool-online.com www.mathschool-online.com 14

www.mathschool-online.com Eπομένως f(x)<0→ x∈(-∞,-3) ή x∈(-1/3, 3)Εάν έχεις απορίες ή δυσκολίες στη κατανόηση τωνθεωριών και των ασκήσεων επικοινώνησε με το www.mathschool-online.com Kαλή Επιτυχία! www.mathschool-online.com 15