θεματα και απαντησεις γ λυκ γενικης παιδειάς

ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ http://www.mathschoolonline.gr ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2012 Γ΄ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣΘΕΜΑ AΑ1 Σελίδα 31 σχ. βΑ2 Σελίδα 148 σχ. βΑ3 Σελίδα 96 σχ. βΑ4 α)Λ,β)Σ,γ)Λ,δ)Σ,ε)ΣΘΕΜΑ BΒ1 Η διάμεσος δ είναι η τιμή για την οποία το 50% των παρατηρήσεωνείναι μικρότερες από αυτήν και το 50% των παρατηρήσεων είναιμεγαλύτερες από αυτήν.Επομένως από το ιστόγραμμα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων % έχωδ=25 4∑Β2 Το μέγεθος του δείγματος είναι ν= ν1 =7α+4 i=1Από το ιστόγραμμα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων % έχωF2 =0,5 ↔ Ν2 =0,5 ↔ 4α − 2 =0,5 ↔ 4α − 2 =1 ν 7α + 4 7α + 4 24α − 2 = 1 ↔ 8α − 4 = 7α + 4 ↔ α = 87α + 4 2Συμπλήρωση του πίνακα συχνοτήτωνΜε τη βοήθεια του ιστόγραμμα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων %και των σχέσεων : fi % = 100 νi ,i=1,2,3,4 , Ni = ν1 + ν2 + ... + νi νFi = f1 + f2 + ... + fi 1

ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ http://www.mathschoolonline.grΣχηματίζω το παρακάτω πίνακα xi νi fi% Ni Fi% xi νi 12 20 120(5,15] 10 12 20 30 50 360 54 90 720(15,25] 20 18 30 60 100 1440(25,35] 30 24 40(35,45] 40 6 10Σύνολο 60 100∑Β3 Υπολογισμός της μέσης τι=μής : x 1 4 1=1440 24 ν 60 =xi νi i=1Υπολογισμός της διακύμανσης =xi − x 2 ν=i 610 i41 2 xi − 24 ν=i ∑( ) ∑( )s=2 1 4 84=ν i 1s2 = 84 ↔ s = 84 = 9,17Β4 Από το πίνακα συχνοτητων παρατηρώ ότι το 10% των χρόνων τωνμαθητών ανήκουν στο διάστημα (35,45]Έστω α% το ποσοστό των μαθητών που χρειάστηκαν τουλάχιστον 37λεπτά για να λύσουν το πρόβλημα, δηλαδή που οι χρόνοι τους ανήκουνστο [37,45]Επομένως: 45-35=10 λεπτά χρειάστηκε το 10% 45-37=8 λεπτά χρειάστηκε το α%Άρα : 10 = 10 ↔ 10α = 80 ↔ α = 8% 8αΘΕΜΑ ΓΓ1 Έστω Γ το ενδεχόμενο να μάθει Γαλλικά και Ι το ενδεχόμενο να μάθειΙσπανικά. 2

ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ http://www.mathschoolonline.gr=P (Γ ∪ Ι) limx=→−1 2 xx22 ++ 3x − 2 limx→−1 2( x2 + 3 −=2)( x2 + 3 + 2) (x2 + x)( x2 + 3 + 2) ( )2 2[(x2 + 3) − 4] 2[ x2 + 3 − 4]li=mx→−1 (x2 + x)( x2 + 3 + 2) li=mx→−1 (x2 + x)( x2 + 3 + 2) 2(x −1)(x +1) li=mx→−1 x (x + 1) x2 + 3 + 2( )l=imx→−1 (x2 + x2)[(x2x−21+] 3 + 2) 2(x −1) = 2(−1−1) =−4 =1 ↔ P (Γ ∪ Ι) =1 x2 + 3 + 2 −1 1+ 3 + 2 −4( ) ( )limx→−1 xΓ2 Εφαρμόζω το προσθετικό νόμοP (Γ ∪=Ι) P (Γ) + P (Ι) − P (Γ ∩ Ι) ↔=1 3ν + ν + 2 − ν +1 ν2 +1 ν2 +1 ν2 +11= 3ν + ν+2 − ν +1 ↔ ν2 +1= 3ν + ν + 2 − ν −1 ↔ ν2 +1= 3ν +1 ↔ ν2 +1 ν2 +1 ν2 +1ν2 − 3ν = 0 ↔ ν ( ν − 3) = 0 ↔ ν = 3, διότι ν ≠ 0Γ3 Τα ενδεχόμενα Γ-Ι και Ι-Γ είναι ασυμβίβασταΕπομένως :P[(Γ − Ι) ∪ (Ι − Γ)] = P(Γ − Ι) + P(Ι − Γ) = P(Γ) − P(Γ ∩ Ι) + P(Ι) − P(Γ ∩ Ι)P[(Γ − Ι) ∪ (Ι − Γ)=] P(Γ) + P(Ι) − 2P(Γ ∩ Ι)Για ν=3 , P=(Γ) 3=ν =3.3 9 , Ομοίως P(Ι) = 5 , ν2 +1 9 +1 10 10P (Γ ∩ Ι) =4 10 3

ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ http://www.mathschoolonline.grΆρα :P[(Γ − Ι) ∪ (Ι − Γ)] = P(Γ) + P(Ι) − 2P(Γ ∩ Ι) = 9 + 5 − 2 4 = 6 = 3 10 10 10 10 5Γ4 P(Γ∩Ι) = 4= 2 10 5Γνωρίζω ότι τα απλά ενδεχόμενα είναι ισοπίθαναΕπομένως :P (Γ ∩=Ι) ΝΝ( Γ( Ω∩=)Ι ) 32 ↔=2 32 ↔ 2Ν (=Ω) 32.5 ↔ Ν (=Ω) 80 5 Ν(Ω) Ν(Ω)ΘΕΜΑ ΔΔ1 Η f (x) = 1+ ln2 x , έχει πεδίο ορισμού το (0, +∞) και είναι xπαραγωγίσιμη σε αυτόΥπολογίζω τη παράγωγοΓια x>0 έχω 1 + ln2 x ′ x − x′ 1 + ln2 x 2 ln x 1 x −1 − ln2 x = x↔( ) ( )=f ′(x) =1+ lxn2 x ′ x2 x2( )f (ln x −1)2′ ( x ) =− ln2 x + 2 ln x −1 ln2 x − 2 ln x + 1 x2 =− =− x2 x2Παρατηρώ ότι ο αριθμητής και ο παρονομαστής της f΄(x) είναι θετικοίαριθμοί εφόσον είναι υψωμένοι στο τετράγωνοf΄(x) = 0 ↔ ln x −1 = 0 ↔ ln x = 1 → ln x = ln e ↔ x = eΕπομένως f΄(x)<0 για κάθε x ∈ (0,e) ∪ (e, +∞) 4

ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ http://www.mathschoolonline.grΔηλαδή η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, +∞)Δ2 Το εμβαδό Ε(x) του ορογωνίου ΟΚΜΛ ισούται μεΕ(x) =βάση.ύψος ↔ Ε(x) =x.f (x) ↔ Ε(x) =x 1+ ln2 x ↔ Ε(x) =1 + ln2 x xόπου x>0 και f(x)>0( )Ε′(x) =1+ ln2 x ′ =1 2 ln x, x>0 xΕ′(x) = 0 ↔ 1 2 ln x = 0 ↔ ln x = 0 ↔ x =1 xΣχηματίζω το πίνακα μονοτονίας της Ε(x)Aπό το πίνακα παρατηρώ ότι τo E(x) γίνεται ελάχιστο για x=1Άρα για x=1 , O(0,0), K(1,0), M(1,1), Λ(0,1)Επομένως : 1=ΟΚ=ΚΜ=ΜΛ=ΛΟ ,δηλαδή για x=1 το ορθογώνιο ΟΚΜΛγίνεται τετράγωνοΔ3 Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Σ(1,f(1))έχει συντελεστή διεύθυνσης το f΄(1)f ′(1) =− ( ln 1 − 1)2 =− 1 =−1 1 12Η εφαπτομένη όμως είναι παράλληλη στην ευθεία y=λx+β (Ι)Επομένως οι συντελεστές διεύθυνσης των παραπάνω ευθειών είναι ίσοι 5

ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ http://www.mathschoolonline.grΔηλαδή : f΄(1)= λ ↔ −1= λ ↔ λ= −1Άρα (Ι)-> y = -x+β , άρα yi=xi+β , i=1,2,3,…,10 καιy =−x + β =10 + β καιsy =−1 sx =s x =2Για να είναι το δείγμα ομοιογενές πρέπει CVy ≤ 10%Επομένως :CV=y s=y 2 , θέλω CVy ≤ 10% y −10 + βΆρα2 ≤ 10% ↔ 2 ≤ 10 ↔ 2 ≤ 1 ↔ 20 ≤ β −10 ↔−10 + β −10 + β 100 −10 + β 1020 ≤ β − 10 ↔ β − 10 ≥ 20 →  β −10 ≥ 20 ↔β ≥ 30  β −10 ≤ −20 ↔β ≤ −10Δ4 Γνωρίζω ότι A ⊆ A ∪ B → P (A) ≤ P (A ∪ B) , με0 < P (A) ≤ 1 και 0<P (A ∪ B) ≤ 1,δηλαδήP (A), P (A ∪ B)∈(0,1] ⊆ (0, +∞)Εφόσον P (A) ≤ P (A ∪ B) και η f είναι γνησίως φθίνουσα στο(0, +∞) έχω:f (P(A)) ≥ f (P(A ∪ B)) (1)Ομοίως A ∩ Β ⊆ A ∪ B → P (A ∩ Β) ≤ P (A ∪ B) , μεP (A ∩ Β), P (A ∪ B)∈(0,1] ⊆ (0, +∞)Εφόσον 6

ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ http://www.mathschoolonline.grP (A ∩ Β) ≤ P (A ∪ B) και η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, +∞)έχω:f (P (A ∩ Β)) ≥ f (P (A ∪ B)) (2)Προσθέτω τις σχέσεις (1) και (2) κατά μέλη και έχωf (P(A)) + f (P(A ∩ Β)) ≥ f (P(A ∪ B)) + f (P(A ∪ B))Αν έχεις οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το mathschool-online 7