Βασικές έννοιες των συναρτήσεων Α λυκείου

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΑΣΚ.2.ΣΕΛ.135.ΣΧ.Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Από  σε  ελάχιστοΣτο σημείο με τετμημένη x  1 δηλαδή στο σημείο 1, 1όπου αλλάζει η μορφή της καμπύλης από φθίνουσα  σε αύ-ξουσα  παρουσιάζει ελάχιστο και μάλιστα εφόσον δενυπάρχει άλλο ελάχιστο είναι το ολικό ελάχιστο.

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗΑΣΚ.2.ΣΕΛ.135.ΣΧ.Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Από  σε  μέγιστοΣτο σημείο με τετμημένη x  0, δηλαδή στο σημείο 0, 2που αλλάζει η μορφή της g από αύξουσα  σε φθίνουσα παρουσιάζει μέγιστο και μάλιστα εφόσον δεν υπάρχει άλλομέγιστο είναι το ολικό μέγιστο.

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΑΣΚ.2.ΣΕΛ.135.ΣΧ.Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Από  σε  ελάχιστοΣτο σημείο με τετμημένη x  2, δηλαδή στο σημείο 2, 2όπου αλλάζει η μορφή της καμπύλης από φθίνουσα  σε αύξου-σα  παρουσιάζει ελάχιστο , και μάλιστα εφόσον δεν υπάρ-χει άλλο ελάχιστο είναι το ολικό ελάχιστο.

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΑΣΚ.2.ΣΕΛ.135.ΣΧ.Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΜε τον ίδιο τρόπο το π.ο Α=R της συνάρτησης γράφεταιΑ= , 1  1  1,0  0  0,1  1, Στο , 1 η h  φθίνουσα,στο1, 0 η h  αύξουσα,άραστο x  1, y  2 τοπ.ελάχιστοΣτο 1, 0 η h  αύξουσα, στο 0,1 η h  φθίνουσα, άραστο x  0, y  2 ολ.μέγιστοΣτο 0,1 η h  φθίνουσα,στο 1,  η h  αύξουσα,άραστο x  1, y  2 τοπ.ελάχιστο

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣf  x  ax2   x ,  0

ΧΡΗΣΙΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ f  x   x2   x  i a  0 ii a  0 x   x   2 2      ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ    ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ                

ΧΡΗΣΙΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ f  x   x2   x  Παρατηρώ ότι η γραφική παράσταση τηςf (x)  ax2   x   είναι καμπύλη,ονομάζεταιπαραβολή και παρουσιάζει τα εξής: ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ1 Στρέφει τα κοίλα άνω όταν το i   0Στρέφει τα κοίλα κάτω όταν το ii   02 Έχει το σημείο Κ   ,   κορυφή  2  4όπου    2  4 είναι η διακρίνουσατης f (x)  ax2   x  3 Είναι συμμετρική ως προς τον άξονα x   2

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ f  x  2x2  0x 1 έχει π.ο το Α=R και  2  0,   0,  11 Στέφει τα κοίλα άνω εφόσον   2  02 Έχει κορυφή το σημείο Κ   ,   ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ  2  ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 4  0  0,    2  4  0  4.2.1    82 2.2    8 8  1. Άρα Κ   ,    Κ  0,1 8  2 4 4.2 43 Είναι συμμετρική ως προς τον άξονα x   2δηλαδή τον x  0 που παριστά τον κατακόρυφοάξονα yy΄

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΤα παραπάνω συμπεράσματα θα τα παραστήσω γραφικά1 Πρώτα παρατηρώ ότι   2  0 επομένως η καμπύλη στρέφει τα κοίλα άνω.2 Βρίσκω το σημείο Κ 0,1, δηλαδή τη κορυφή3 Στη συνέχεια φέρνω τον άξονα συμμετρίας x  0 που στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι ο κατακόρυφος άξονας yy΄. y x0 f x  2x2  0x 1  0,1 y΄

ΕΠΙΠΛΕΟΝ f  x   x2   x   ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΕάν Δ=0 τέμνει τον xx΄ στο   , 0  , άν 0  2 τέμνει τον xx΄ στα  x1, 0 και  x2, 0 όπου x1, x2    , 2εάν   0 δεν τέμνει πουθενά τον xx΄

ΕΠΙΠΛΕΟΝ f  x   x2   x   ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΕάν Δ=0 τέμνει τον xx΄ στο   , 0  , άν 0  2 τέμνει τον xx΄ στα  x1, 0 και  x2, 0 όπου x1, x2     2 ,εάν   0 δεν τέμνει πουθενά τον xx΄

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 3.I) ΣΕΛ.156 ΣΧ.Β.f  x  2x2  4x 1, έχει π.ο το R , a  2  0,   4, 1 a  2  0.1 Στέφει τα κοίλα άνω εφόσον2 Έχει κορυφή το σημείο Κ   ,   ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ  2  ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 4   2  4  16  4.2.1    16  8    8,Κ   ,      4 , 8  =  4 , 8     1, 1  2   2.2 4.2   4 8  43 Έχει άξονα συμμετρίας τον x    1 24 Επειδή Δ=8>0 τέμνει τον άξονα xx΄ στα σημείαμε τετμημένες x1, x2     2

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 3.I) ΣΕΛ.156 ΣΧ.Β. Επομένως η καμπύλη τέμνει τον xx΄  στα   2 2  σημεία Α  , 0 και    2    2 2  ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ,0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ x1 x2 Β 2  x1, x2      4  8  4  23  4  2.22 2 2.2 4 4   4  2  2  4  2 2  2 2  2 2   4  2 x1 4 2      4   4 2 2 2 2 2  2 2 4    x2 4  2

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 3.I) ΣΕΛ.156 ΣΧ.Β. ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 0,1 x1 x2Τέλος θέτω στην f  x  2x2  4x 1 το x  0 για να βρώτο σημείο που τέμνει η παραβολή τον άξονα yy΄. Έχωf 0  0  0 1  1, άρα τέμνει τον yy΄ στο σημείο Γ0,1

ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ 0,11Στο διάστημα , 1 η καμπύλη είναι φθίνουσα  ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΣτο διάστημα 1,  η καμπύλη είναι αύξουσα και στο σημείο με τετμημένη x  1 δηλαδή στοσημείο Κ 1,1 παρουσιάζει Ελάχιστο.Έχει άξονα συμμετρίας τον x  1.   Τέμνει   2 2  Β   2 2 τον xx΄στα Α  2 ,0 και  , 0   2   και τον κάθετο άξονα yy΄ στο Γ0,1.

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 3.I) ΣΕΛ.156 ΣΧ.Β. x  1 f x  2x2  4x 1 Τα συμπεράσματα της μελέτης συνοψίζονται στον πίνακα. ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΣτο διάστημα , 1 η καμπύλη είναι φθίνουσα Στο διάστημα 1,  η καμπύλη είναι αύξουσα και στο σημείο με τετμημένη x  1 δηλαδή στο σημείοΚ 1,1 παρουσιάζει Ελάχιστο.Έχει άξονα συμμετρίας τον x  1   Τέμνει   2 2    2 2 τον xx΄στα Α  2 ,0 και Β ,0    2     και τον άξονα yy΄ στο Γ0,1.

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 3.II) ΣΕΛ.156 ΣΧ.Β.g  x  2x2  8x  9, π.ο το R, a  2  0,   8,  91 Στέφει τα κοίλα άνω εφόσον a  2  0.2 Έχει κορυφή το σημείο Κ   ,   ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ  2  ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 4   2  4  64  4.2.9  64  72   8Κ   ,      8 , 8  = Κ 2, 1  2    4 2.  2  4.  2 2 τρόπος υπολογισμού των συντ/νων του σημ.Κ   2, g 2  2.22  8.2  9  1 , Κ 2, 1 23 Έχει άξονα συμμετρίας τον x    2 24 Επειδή Δ=  8<0 δεν τέμνει τον άξονα xx΄

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 3.II) ΣΕΛ.156 ΣΧ.Β. ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΤέλος θέτω στην g  x  2x2  8x  9 το x  0 για να βρώτο σημείο που τέμνει η παραβολή τον άξονα yy΄. Έχωg 0  0  0  9  9, άρα τέμνει τον yy΄ στο σημείο Γ 0, 9

ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΣτο διάστημα , 2 η καμπύλη είναι αύξουσα Στο διάστημα 2,  η καμπύλη είναι φθίνουσα και στο σημείο με τετμημένη x  2 δηλαδή στο Κ 2, 1παρουσιάζει Μέγιστο.Έχει άξονα συμμετρίας τον x  2 και τέμνει τον yy΄ στοΓ  0,1 .

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 3.II) ΣΕΛ.156 ΣΧ.Β.x  2 g  x  2x2  8x  9  ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΤα συμπεράσματα της μελέτης συνοψίζονται στον πίνακα.Στο διάστημα , 2 η καμπύλη είναι αύξουσα Στο διάστημα 2,  η καμπύλη είναι φθίνουσα και στο σημείο με τετμημένη x  2 δηλαδή στο σημείοΚ 2, 1 παρουσιάζει Μέγιστο.Έχει άξονα συμμετρίας τον x  2Τέμνει τον άξονα yy΄ στο Γ 0, 9

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 4.ΣΕΛ.156 ΣΧ.Β. γραφική παράσταση της f2 στρέφει τα κοίλα κάτω επομένως ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣτο α<0. H κορυφή έχει τετμημένη x      2.x  2  2.x. Tο α<0 και το x  0, επομένως  x  0  2ax  0   0. Το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f2με τον άξονα yy΄ έχει τετμημένη x  0 και y  f2 0  a.02 .0    y  f2 0   . Όμως f2 0  0    0. Τέλοςη γραφική παράσταση της f2 τέμνει τον xx΄ σε ένα μόνο σημείο,άρα Δ=0.

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 4.ΣΕΛ.156 ΣΧ.Β. γραφική παράσταση της f3 στρέφει τα κοίλα άνω, επομένως ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣτο α>0. H κορυφή έχει τετμημένη x      2.x  2  2.x. Tο α>0 και το x  0, επομένως  x  0  2ax  0   0. Το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f3με τον άξονα yy΄ έχει τετμημένη x  0 και y  f2 0  a.02 .0    y  f2 0   . Όμως f2 0  0    0. Τέλοςη γραφική παράσταση της f3 τέμνει τον xx΄ σε δύο σημεία, άραΔ>0.

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 4.ΣΕΛ.156 ΣΧ.Β. γραφική παράσταση της f4 στρέφει τα κοίλα κάτω επομένως ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣτο α<0. H κορυφή έχει τετμημένη x      2.x  2  2.x. Tο α<0 και το x  0, επομένως  x  0  2ax  0   0. Το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f4με τον άξονα yy΄ έχει τετμημένη x  0 και y  f2 0  a.02 .0    y  f2 0   . Όμως f2 0  0    0. Τέλοςη γραφική παράσταση της f4 τέμνει τον xx΄ σε δύο σημεία, άραΔ>0.

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 4.ΣΕΛ.156 ΣΧ.Β. ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΤα παραπάνω συμπεράσματα συνοψίζονται στο πινακάκι.Με τον ίδιο τρόπο προσπάθησε να δώσεις τις αντίστοιχεςαπαντήσεις και για τις γραφικές παραστάσεις των f5, f6, f7.Άν συναντήσεις δυσκολία επικοινώνησε με το mathschool-online !Καλή επιτυχία! x2   x   f1 f 2 f3 f4 a   0       0  0 