ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ KAI ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Μαθηματικά &Στοιχεία Στατιστικής Γ Λύκείου / Eπαναληπτικά 1 θέματα & απαντήσεις σε όλη την ύλη http://www.mathschoolonline.org/Επαναληπτικά θέματα & απαντήσεις σε Διαφορικό λογισμός &ΠιθανότητεςΤί πρέπει να γνωρίζω(Ι) Για να αποδείξουμε ανισοτικές σχέσεις στις πιθανότητες , στηριζόμαστεστους εξής ισχυρισμούς: • Για κάθε ενδεχόμενο Α ισχύει • Αντότε • Ισχύεικαι ισχύει επίσηςεπομένωςκαι αντιστοίχως • Ισχύει http://www.mathschoolonline.org/

Μαθηματικά &Στοιχεία Στατιστικής Γ Λύκείου / Eπαναληπτικά 2 θέματα & απαντήσεις σε όλη την ύλη http://www.mathschoolonline.org/και ισχύει επίσηςεπομένωςκαι αντιστοίχως(II) Ένας άλλος τρόπος για να αποδεικνύουμε ανισοτικές σχέσεις στιςπιθανότητες είναι:με ισοδύναμες πράξεις να καταλήγουμε σε μια ανισότητα η οποία είναιπροφανής(III) Για να αποδείξουμε ότι δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικούχώρου Ω δεν είναι ασυμβίβαστα , δεχόμαστε ότι είναι ασυμβίβαστα και μετη βοήθεια της ισότηταςκαταλήγουμε σε άτοποΆσκηση 1ηΓια δυο οποιαδήποτε ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω νααποδειχθεί ότιΑπόδειξηΘέλω να δείξω ότι (1): http://www.mathschoolonline.org/

Μαθηματικά &Στοιχεία Στατιστικής Γ Λύκείου / Eπαναληπτικά 3 θέματα & απαντήσεις σε όλη την ύλη http://www.mathschoolonline.org/Γνωρίζω ότι (2):Επομένως η (1) γίνεταιπου ισχύει,διότιΣτη συνέχεια θέλω να δείξω ότιΗ παραπάνω σχέση γράφεται λόγω της (2)που ισχύειΕπομένως http://www.mathschoolonline.org/

Μαθηματικά &Στοιχεία Στατιστικής Γ Λύκείου / Eπαναληπτικά 4 θέματα & απαντήσεις σε όλη την ύλη http://www.mathschoolonline.org/Άσκηση 2ηΈστω ο δειγματικός χώρος Ω ενός πειράματος τύχης και Χ,Υ δύοενδεχόμενα του τέτοια ώστεΘεωρούμετις πιθανότητες των αντίστοιχαΑν οι πραγματικοί αριθμοί ,είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης με τότε1) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα2) Να υπολογισθούν οι πιθανότητεςόπουτο αντίθετο ενδεχόμενο τουΛύση http://www.mathschoolonline.org/

Μαθηματικά &Στοιχεία Στατιστικής Γ Λύκείου / Eπαναληπτικά 5 θέματα & απαντήσεις σε όλη την ύλη http://www.mathschoolonline.org/1) Υπολογίζω τη παράγωγο συνάρτηση της fΛύνω την εξίσωσηIσοδύναμαΣχηματίζω το πίνακα μονοτονίας της f2) Από την υπόθεση έχωΕπομένωςΆρα http://www.mathschoolonline.org/

Μαθηματικά &Στοιχεία Στατιστικής Γ Λύκείου / Eπαναληπτικά 6 θέματα & απαντήσεις σε όλη την ύλη http://www.mathschoolonline.org/ΓνωρίζωοπότεκαιΆρακαιΑπό το διάγραμμα Venn έχω http://www.mathschoolonline.org/

Μαθηματικά &Στοιχεία Στατιστικής Γ Λύκείου / Eπαναληπτικά 7 θέματα & απαντήσεις σε όλη την ύλη http://www.mathschoolonline.org/Άσκηση 3ηΑν για δυο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουνP(A)=0,8 και P(B)=0,4να αποδείξετε ότι τα Α και Β δεν είναι ασυμβίβασταΑπόδειξηΈστω ότι τα Α και Β είναι ασυμβίβαστατότεΆτοπο , διότι γνωρίζω ότιΕπομένως τα Α και Β δεν είναι ασυμβίβασταΘέμα 1οΑνΝα δείξετε ότιΙσχύει το αντίστροφο; http://www.mathschoolonline.org/

Μαθηματικά &Στοιχεία Στατιστικής Γ Λύκείου / Eπαναληπτικά 8 θέματα & απαντήσεις σε όλη την ύλη http://www.mathschoolonline.org/AπόδειξηΑπό την υπόθεση έχωΑυτό σημαίνει ότιΕπομένωςΑντιστρόφωςθα εξετάσω όταναν ισχύειΜέθοδος απόδειξης με αντιπαράδειγμαΈστωκαι τα ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα Α και Β μεκαιΈχω http://www.mathschoolonline.org/

Μαθηματικά &Στοιχεία Στατιστικής Γ Λύκείου / Eπαναληπτικά 9 θέματα & απαντήσεις σε όλη την ύλη http://www.mathschoolonline.org/Παρατηρώ δηλαδή ότιΕνώ δεν ισχύειΔηλαδή το Α δεν είναι υποσύνολο του ΒΘέμα 2οΈστω ο δειγματικός χώρος Ω={1,2,3,...,15} στον οποίο ορίζεται ηπιθανότητα κάθε στοιχείου ω από τον τύποP(ω)=λω , λ>0 σταθερός αριθμόςα) Να βρείτε τον λβ) Αν Α και Β είναι ασυμβίβαστα ενδεχόμενα του Ω μενα βρείτε τον χΑπόδειξηα) Γνωρίζω ότιΠαρατηρώ ότι το (1)είναι το άθροισμα 15 όρων μιας αριθμητικής προόδου με βήμα το λ http://www.mathschoolonline.org/

Μαθηματικά &Στοιχεία Στατιστικής Γ Λύκείου / Eπαναληπτικά 10 θέματα & απαντήσεις σε όλη την ύλη http://www.mathschoolonline.org/Άρα το άθροισμα αυτό δίνεται από το τύποόπου ν=15,α1=λ,α15=15λΕπομένωςΆρα η σχέση (1) γίνεταιβ) Τα Α και Β είναι ασυμβίβαστα ενδεχόμενα του ΩεπομένωςΌμωςΕπομένωςΆρα http://www.mathschoolonline.org/

Μαθηματικά &Στοιχεία Στατιστικής Γ Λύκείου / Eπαναληπτικά 11 θέματα & απαντήσεις σε όλη την ύλη http://www.mathschoolonline.org/ΌμωςΕπομένως ηαληθεύει μόνο ότανδιπλή ρίζαΕπαναληπτικά θέματα σε όλη την ύλη & απαντήσειςΘέμα 1οA.α) Πότε μια συνάρτηση f λέγεται παράγωγίσιμη σε ένα σημείοτου πεδίου ορισμού της και τι εκφράζει η παράγωγος της f στοστη γραφική της παράσταση;Μονάδες 4β) Αν η συνάρτηση f(x) είναι παραγωγίσιμη και c είναι η πραγματικήσταθερά να αποδείξετε ότι http://www.mathschoolonline.org/

Μαθηματικά &Στοιχεία Στατιστικής Γ Λύκείου / Eπαναληπτικά 12θέματα & απαντήσεις σε όλη την ύλη http://www.mathschoolonline.org/Μονάδες 4Aπάντησηα) Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείοτου πεδίου ορισμού της όταν τουπάρχει και είναι πραγματικός αριθμόςΗ παράγωγος της f στοστη γραφική της παράσταση εκφράζει το συντελεστή διεύθυνσης τηςεφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείοβ)Έστωπαραγωγίζω http://www.mathschoolonline.org/

Μαθηματικά &Στοιχεία Στατιστικής Γ Λύκείου / Eπαναληπτικά 13 θέματα & απαντήσεις σε όλη την ύλη http://www.mathschoolonline.org/Β . α) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις σημειώνοντας τοαντίστοιχο γράμμα Σ (ΣΩΣΤΌ )ή Λ (ΛΑΘΟΣ)i) Η συνάρτησηείναι παραγωγίσιμη στο σημείοii)O ρυθμός μεταβολής της θέσης ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμαπάνω σε άξονα ως προς το χρόνο είναι η επιτάχυνση του κινητούiii)Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησηςστο σημείοείναιAπάντησηi)Λ,ii)Λ (είναι η ταχύτητα)iii)ΣEπεξήγηση του iii) ερωτήματοςΗ εξίσωση εφαπτομένης στοείναι http://www.mathschoolonline.org/

Μαθηματικά &Στοιχεία Στατιστικής Γ Λύκείου / Eπαναληπτικά 14 θέματα & απαντήσεις σε όλη την ύλη http://www.mathschoolonline.org/Εύρεση του αεπομένως ηγράφεταιΆραΜονάδες 9Β. β) Να αντιστοιχίσετε κάθε συνάρτηση της στήλης Αμε τη παράγωγοτης στήλης Β Στήλη Β α Στήλη Α β1 γ23 δ41δ (απόδειξη) http://www.mathschoolonline.org/

Μαθηματικά &Στοιχεία Στατιστικής Γ Λύκείου / Eπαναληπτικά 15 θέματα & απαντήσεις σε όλη την ύλη http://www.mathschoolonline.org/Οπότε2α (απόδειξη)Οπότε3β (απόδειξη)Οπότε4γ(απόδειξη) http://www.mathschoolonline.org/

Μαθηματικά &Στοιχεία Στατιστικής Γ Λύκείου / Eπαναληπτικά 16 θέματα & απαντήσεις σε όλη την ύλη http://www.mathschoolonline.org/ΟπότεΜονάδες 8Θέμα 2οΗ πιθανότητα ένας φοιτητής να γράψει καλά ένα μάθημα Α είναιP(A)=70% και για να γράψει καλά και στο μάθημα Α και σε ένα άλλομάθημα Β είναιανάλογα με το χρόνο διαβάσματος στο μάθημαΑ . Να βρεθεί η πιθανότητα ώστε ο μαθητής να γράψει καλά στο μάθημα Βή να μη γράψει καλά στο μάθημα ΑΜονάδες 10Β.Να αποδειχθεί ότια)Μονάδες 8β) η μεγαλύτερη πιθανότητα για να μη γράψει καλά ο μαθητής ούτε στομάθημα Α ούτε στο μάθημα Β είναι 30%Μονάδες 7Λύση http://www.mathschoolonline.org/

Μαθηματικά &Στοιχεία Στατιστικής Γ Λύκείου / Eπαναληπτικά 17 θέματα & απαντήσεις σε όλη την ύλη http://www.mathschoolonline.org/Η πιθανότητα ο μαθητής να γράψει καλά στο μάθημα Β ή να μη γράψεικαλά στο μάθημα Α είναιΓνωρίζω ότιΌμωςοπότε η (1) γίνεταιΌμωςάρα η (2) γίνεταιΒ.α) http://www.mathschoolonline.org/

Μαθηματικά &Στοιχεία Στατιστικής Γ Λύκείου / Eπαναληπτικά 18 θέματα & απαντήσεις σε όλη την ύλη http://www.mathschoolonline.org/ΆραΓνωρίζω ότιΌμωςΕπομένως η (2) γίνεταιΑπό τις (1) και (3) έχωβ) Η πιθανότητα για να μη γράψει καλά ο μαθητής ούτε στο μάθημα Αούτε στο μάθημα Β είναιΌμως http://www.mathschoolonline.org/

Μαθηματικά &Στοιχεία Στατιστικής Γ Λύκείου / Eπαναληπτικά 19 θέματα & απαντήσεις σε όλη την ύλη http://www.mathschoolonline.org/Επομένως η (1) γίνεταιΈδειξα ότιΕπομένως η (4) γίνεταιΗ παραπάνω σχέση λόγω της (5) γίνεταιΕπομένως η μεγαλύτερη πιθανότητα για να μη γράψει καλά ο μαθητήςούτε στο μάθημα Α ούτε στο μάθημα Β είναι 30%Θέμα 3ο http://www.mathschoolonline.org/

Μαθηματικά &Στοιχεία Στατιστικής Γ Λύκείου / Eπαναληπτικά 20 θέματα & απαντήσεις σε όλη την ύλη http://www.mathschoolonline.org/Η θέση ενός σώματος που κινείται πάνω σε έναν άξονα την τυχαία χρονικήστιγμή (ο χρόνος μετριέται σε second)t≥0δίνεται σε από τη συνάρτησηα) Να βρείτε τη χρονική στιγμήπου τοείναι ελάχιστοΕπίσης να εξετάσετε αν ισχύειΜονάδες 15β)Να εξετάσετε αν η ταχύτητα του κινητού συνεχώς αυξάνεταιΜονάδες 10Λύσηα)Παραγωγίζω τη συνάρτησηΕπομένως έχω http://www.mathschoolonline.org/

Μαθηματικά &Στοιχεία Στατιστικής Γ Λύκείου / Eπαναληπτικά 21 θέματα & απαντήσεις σε όλη την ύλη http://www.mathschoolonline.org/Σχηματίζω το πίνακα της μονοτονίας της SΠαρατηρώ από το πίνακα ότι τη χρονική στιγμήτοείναι ελάχιστοΕξετάζω αν ισχύειΈχωΈστωΙσχύει εφόσον http://www.mathschoolonline.org/

Μαθηματικά &Στοιχεία Στατιστικής Γ Λύκείου / Eπαναληπτικά 22 θέματα & απαντήσεις σε όλη την ύλη http://www.mathschoolonline.org/β)H ταχύτητα του κινητού δίνεται από τη σχέσηγια κάθεΕπομένωςηείναι γνησίως αύξουσα , επομένως η ταχύτητα του σώματος συνεχώςαυξάνεταιΘέμα 4οΣε μια εταιρεία εργάζονται 120 υπάλληλοι ειδικευμένοι και ανειδίκευτοι μεμέσο εβδομαδιαίο μισθό 200 ευρώ.Οι ανειδίκευτοι έχουν μέσοεβδομαδιαίο μισθό 168 ευρώ και οι ειδικευμένοι 208 ευρώΑ Να βρείτε πόσοι είναι οι ανειδίκευτοι και πόσοι οι ειδικευμένοιυπαλληλοι τη παραπάνω εταιρείαςΜονάδες 12Β Αν οι εβδομαδιαίοι μισθοί των ανειδίκευτων είναι ίδιοι,καθώς επίσηςκαι των ειδικευμένων να εξατάσετε αν οι μισθοί όλων των 120 υπαλλήλωναποτελούν ένα δείγμα ομοιογενές http://www.mathschoolonline.org/

Μαθηματικά &Στοιχεία Στατιστικής Γ Λύκείου / Eπαναληπτικά 23 θέματα & απαντήσεις σε όλη την ύλη http://www.mathschoolonline.org/Μονάδες 13ΛύσηA Έστω χ οι ανειδίκευτοι και y οι ειδικευμένοι υπάλληλοιΈχωΕπομένως η μέση τιμή όλου του δείγματος των ειδικευμένοι και τωνανειδίκευτων είναιAπό τις (1) και (2) έχωΛύνω το σύστημα με τη μέθοδο της αντικατάστασης και βρίσκωκαιB Oι εβδομαδιαίοι μισθοί των ανειδίκευτων είναι ίδιοι και ίσοι με 168ευρώ,καθώς επίσης και των ειδικευμένων είναι ίδιοι και ίσοι με 208 ευρώτότε http://www.mathschoolonline.org/

Μαθηματικά &Στοιχεία Στατιστικής Γ Λύκείου / Eπαναληπτικά 24 θέματα & απαντήσεις σε όλη την ύλη http://www.mathschoolonline.org/CV=8%<10%Επομένως το δείγμα είναι ομοιογενέςΚαλή μελέτη! http://www.mathschoolonline.org/ http://www.mathschoolonline.org/