Μιγαδικοί αριθμοί - γεωμετρικοί τόποι

Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών http://www.mathschool-online.grΜιγαδικοί : Θέματα εξετάσεωνΆσκηση1. Αν για τον μιγαδικό z ισχύει z = 3 να υπολογισθεί η παράστασηA = z − 3i 2 + z + 3i 2 . Να δοθεί γεωμετρική ερμηνεία για την περίπτωσηπου z ≠ ±3iΛύσηA = z − 3i 2 + z + 3i 2 = (z − 3i)( z + 3i) + (z + 3i)( z − 3i) = .....Εκτελώ επιμεριστικά τις πράξεις και θέτω z = 3 οπότε καταλήγωΑ=36 (1)Έστω Μ ,Ν ,Κ οι εικόνες των z, (με z ≠ ±3i ) , 3i,-3i αντίστοιχα.Το Μ λόγω της σχέσης z = 3 είναι σημείο του κύκλου (Κ(0,0),ρ=3)Φτιάχνω το κύκλο και τα σημεία Ν,Μ,Κ : Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών http://www.mathschool-online.gr

Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών http://www.mathschool-online.gr Παρατηρώ ότι z − 3i = (MN), z + 3i =(MK)Επιπλέον z − 3i 2 + z +=3i 2 (MN )2 + (MK=)2 36 λόγω της (1 )Όμως (ΚΝ)= (KN) =−3i − 3i =−6i =6 → (KN)2 =36Άρα (MN )2 + (MK)2 =(KN)2Επομένως η γεωμετρική ερμηνεία είναι ότι πρόκειται για το ορθογώνιοτρίγωνο ΝΜΚΣημείωσηΤο παραπάνω συμπέρασμα είναι αναμενώμενο διότι η γωνία ΝΜΚ είναιεγγεγραμμένη στο κύκλο (Κ(0,0),3) και βαίνει σε ημικύκλιο , άρα είναιορθή και το τρίγωνο ΝΜΚ είναι οθογώνιο.Άσκηση2.Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z για τουςοποίους ισχύει z − 3 ≥ z − 5 + 3iΛύσηz − 3 ≥ z − 5 + 3i → z − 3 ≥ z − (5 − 3i)Έστω Μ ,Ν,Κ οι εικόνες των μιγαδικών z , 3 , 5-3iΔηλαδή Ν(0,3),Κ(5,-3) .Βρίσκω τα σημεία Ν και Κ στο μιγαδικό επίπεδο Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών http://www.mathschool-online.gr

Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών http://www.mathschool-online.gr Καθώς και τη μεσοκάθετο ε του ευθυγράμμου τμήματος ΝΚ z − 3 ≥ z − 5 + 3i → z − 3 ≥ z − (5 − 3i)Η παραπάνω εξίσωση εκφράζει τις εικόνες των μιγαδικών z πουβρίσκονται στο ημιεπίπεδο με ακμή την μεσοκάθετο ε του ΝΚ το οποίοπεριέχει και το σημείο Κ(5,-3)Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι το ημιεπίπεδο με ακμή την μεσοκάθετο ετου ΝΚ το οποίο περιέχει και το σημείο Κ(5,-3)Θέμα Β - Πανελλαδικές 2012Θεωρούμε τους μιγαδικούς z , w με z −1 2 + z + 1 2 4, και w − 5w =12καιΒ1 Ν.δ.ο ,ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι ο κύκλος(Κ(0,0) ,ρ=1)Β2 Αν z1,z2 δύο μιγαδικοί του παραπάνω γεωμ.τόπου και z1 − z2 =2να βρεθεί το z1 + z2Β3 Ν.δ.ο,ο γεωμ.τόπος των εικόνων των w είναι έλλειψη με εξίσωσηx2 + y2 =1 94Στη συνέχεια να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του w Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών http://www.mathschool-online.gr

Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών http://www.mathschool-online.grB4 Για τους z ,w που επαληθεύουν τις z −1 2 + z + 1 2 =4 καιw − 5w =12 ν.δ.ο 1 ≤ z − w ≤ 4ΛύσηΒ1 Έστω z=x+yi , x, y ∈ R , η σχέση z −1 2 + z + 1 2 =4 γράφεται(x −1) + yi 2 + (x +1) + yi 2 =4 ↔ (x −1)2 + y2 + (x +1)2 + y2 =4 ↔x2 + y2 =12Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z στομιγαδικό επίπεδο είναι κύκλος κέντρου Κ(0,0) και ακτίνας ρ=1Β2 Από τον κανόνα του παραλληλογράμμου έχωz1 + z2 2 + z1 − z2 2 =2 z1 2 + 2 z2 2 ↔ z1 + z2 2 + 2 2 =2.1+ 2.1 ↔z1 + z2 2 + 2 =4 ↔ z1 + z2 2 =2 ↔ z1 + z2 = 2Β3 Έστω w=x+yi , x, y ∈ R , η σχέση w − 5w =12 , γράφεται w − 5w = 12 ↔ x + yi − 5(x − yi) = 12 ↔ −4x + 6yi = 12 ↔ −4x + 6yi 2= 122 ↔ (−4x )2 + (6y)2= 144 ↔ 16x2 + 36y2= 144Επομένως16x2 + 36y2 = 144 ↔ 16x2 + 36y2 = 144 ↔ x2 + y2 = 1 144 144 144 32 22Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των w στο μιγαδικό επίπεδο είναιέλλειψη με α=3 ,β=2 και γ2 = α2 − β2 = 9 − 4 = 5 ↔ γ = 5 Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών http://www.mathschool-online.gr

Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών http://www.mathschool-online.gr( ) ( )και εστίες τα σημεία Ε 5,0 και Ε′ − 5,0Αναζητώ τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή του wΓνωρίζω ότι (Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου σελίδα 104)α ≤ w ≤β→  w min =β  w max   = α Όπου α>0 ,β>0Β4 Από την τριγωνική ανισότητα έχω z − −w ≤ z + (−w) ≤ z + −w (Ι)Στο Β1 ερώτημα απέδειξα ότι x2 + y2 =12 → z =1Επομένως η (Ι) γίνεται1− −w ≤ z + (−w) ≤ 1 + −w ↔ 1− w ≤ z − w ≤ 1+ w (Ι)Όμως  w min= β= 2 Επομένως  w max= α= 3 1 + w ≤ 1 + wmax ↔ 1 + w ≤ 1 + 3 ↔ 1 + w ≤ 4 (ΙΙ)1 − w ≥ 1 − wmin ↔ 1 − w ≥ 1 − 2 ↔ 1 − w ≥ 1 (ΙΙΙ)Η σχέση (Ι) λόγω των (ΙΙ) και (ΙΙΙ) έχω : 1 ≤ z − w ≤ 4 Kαλή μελέτη Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών http://www.mathschool-online.gr