Α Λυκείου Γεωμετρία

http://www.mathschool-online.com Διαδικτυακό Φροντιστήριο ΜαθηματικώνΓενικά επαναληπτικά θέματα και απαντήσεις για εξάσκηση Α΄ Λυκείου Γεωμετρία Τρίγωνα-Παράλληλες ευθείες Παραλληλόγραμμα 1.Ι) Να αναφέρετε τα τρια κριτήρια ισότητας ΤριγώνωνΙΙ)Αν δυο τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ είναι ίσα και α και α΄ οι πλευρές τους αντίστοιχα, Να δείξετε ότι: μα=μα΄ ΙΙΙ) Να δείξετε ότι το ύψος ισοσκελούςτριγώνου που άγεται από την κορυφή του είναι διάμεσος και διχοτόμος. http://www.mathschool-online.com 1

http://www.mathschool-online.com2.Στον επόμενο πίνακα δίνονται τα μήκη των ακτίνων και της διακέντρου δύο κύκλων.Να βρεθεί ο αριθμός των κοινών σημείων τωνδύο κύκλων και να γίνει το αντίστοιχο σχήμα. Μήκος Μήκος Μήκος Αριθμός Σχήμαδιακέντρου ακτίνας ακτίνας κοινών σημείων Α δR ρ Β 73 Γ 54 2 Δ 62 Ε 48 3 7 10 4 2 33.I)Ποιες γωνίες ονομάζονται εντός εκτός και επί τα αυτά; Ti σχέση έχουν; http://www.mathschool-online.com 2

http://www.mathschool-online.com II)Στο παρακάτω σχήμα είναι ε1//ε2.Να υπολογίσετε το μέτρο της γωνίας Α του τριγώνου ΑΒΓ.4.Ι) Ποια είναι τα κριτήρια για να είναι ένα τετράπλευρο ρόμβος;II)Εξετάστε εάν το παρακάτω σχήμα είναι ρόμβος http://www.mathschool-online.com 3

http://www.mathschool-online.com5.Ι) Να διατυπώσετε τη σχέση που συνδέει τοτμήμα που ενώνει τα μέσα των διαγωνίων ενός τραπεζίου με τις βάσεις του. ΙΙ) Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ με βάσεις τις ΑΒ και ΓΔ και τέτοιες ώστε ΑΒ=3ΓΔ.Αν Ε και Ζ τα μέσα των ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΖΓΔ είναι ορθογώνιο. http://www.mathschool-online.com 4

http://www.mathschool-online.com Aπαντήσεις 1.Ι) Kριτήρια ισότητας τριγώνων 1ο κριτήριοΥπόθεση Συμπέρασμα α=α΄ β=β΄ τριγ.ΑΒΓ=τριγ.Α΄Β΄Γ΄ γ=γ΄ Τρεις πλευρές ίσεςhttp://www.mathschool-online.com 5

http://www.mathschool-online.com 2ο κριτήριοΥπόθεση Συμπέρασμα β=β΄ Aˆ=Aˆ΄ τριγ.ΑΒΓ=τριγ.Α΄Β΄Γ΄ γ=γ΄ Δύο πλευρές και τη περιεχόμενη γωνίαhttp://www.mathschool-online.com 6

http://www.mathschool-online.com 3Ο κριτήριοΥπόθεση Συμπέρασμα α=α΄ Βˆ=Βˆ΄ τριγ.ΑΒΓ=τριγ.Α΄Β΄Γ΄ Γˆ=Γˆ΄ μία πλευρα και οι προσκείμενες γωνίεςΙΙ)Αν δυο τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ είναι ίσα και α και α΄ οι πλευρές τους αντίστοιχα,http://www.mathschool-online.com 7

http://www.mathschool-online.com Να δείξετε ότι: μα=μα΄ Υπόθεση Συμπέρασμα μα=μα΄τριγ.ΑΒΓ=τριγ.Α΄Β΄Γ΄ μα, μα΄διάμεσοι των τριγ. ΑΒΓκαι Α΄Β΄Γ΄ αντίστοιχαhttp://www.mathschool-online.com 8

http://www.mathschool-online.com Απόδειξη Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΜΒ και Α΄Μ΄Β΄ (i) ΑΒ=Α΄Β΄ (ii) Βˆ=Βˆ΄ (iii) α/2=α΄/2 → ΜΒ=Μ΄Β΄ Από τις σχέσεις (i) , (ii) , (iii) έχω τριγ.ΑΜΒ = τριγ.Α΄Μ΄Β΄ → ΑΜ=Α΄Μ΄→ μα=μα΄http://www.mathschool-online.com 9

http://www.mathschool-online.com ΙΙΙ) Να δείξετε ότι το ύψος ισοσκελούςτριγώνου που άγεται από την κορυφή του είναι διάμεσος και διχοτόμος. Υπόθεση Συμπέρασμα1. ΑΒΓ ισοσκελές ΑΔ , διάμεσος και 2. ΑΔ ⊥ ΒΓ διχοτόμοςhttp://www.mathschool-online.com 10

http://www.mathschool-online.com Απόδειξη ΑΒΓ ισοσκελές → β=γ και Βˆ=Γˆ Συγκρίνω τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΔΒ και ΑΔΓ (i) β=γ (ii) Βˆ=Γˆ Από τις σχέσεις (i) , (ii) έχω τριγ. ΑΔΒ =τριγ. ΑΔΓ(Μία κάθετη πλευρά και μία οξεία γωνία , σε ορθογώνια τρίγωνα) http://www.mathschool-online.com 11

http://www.mathschool-online.com Eπομένως:τριγ. ΑΔΒ =τριγ. ΑΔΓ → ΔΒ=ΔΓ και Α1=Α2 → ΑΔ διάμεσος και διχοτόμος 2. Μήκος Μήκος Μήκος Αριθμός Σχήμαδιακέντρου ακτίνας ακτίνας κοινών δR ρ σημείων7 320Α5 432Β6 24 1Γ4 82 0Δ7 10 3 1 Εhttp://www.mathschool-online.com 12

http://www.mathschool-online.com Α) δ=7 , R+ρ=3+2=5 δ > R+ρ → δεν έχουν κοινά σημεία Β) δ=5 , R+ρ=4+3=7R-ρ < δ < R+ρ → έχουν δύο κοινά σημεία http://www.mathschool-online.com 13

http://www.mathschool-online.com Γ) δ=6 , R+ρ=2+4=6δ =R+ρ → έχουν ένα κοινό εξωτερικό σημείο Δ) δ=4 , R+ρ=8+2=10 δ < R-ρ → δεν έχουν κοινά σημεία(και ο ένας βρίσκεται στο εσωτερικό του άλλου) http://www.mathschool-online.com 14

http://www.mathschool-online.com Ε) δ=7 , R+ρ=10+3=13 δ = R-ρ → έχουν ένα κοινό εσωτερικό σημείο 3.I)Έστω ε1 και ε2 δύο παράλληλες ευθείεςκαι ε μία τρίτη ευθεία που τέμνει τις ε1 και ε2 Οι γωνίες ωˆ και φˆ http://www.mathschool-online.com 15

http://www.mathschool-online.comονομάζονται εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες και είναι ίσες II)Στο παρακάτω σχήμα είναι ε1//ε2.Να υπολογίσετε το μέτρο της γωνίας Α του τριγώνου ΑΒΓ. http://www.mathschool-online.com 16

http://www.mathschool-online.com Δίνονται Ζητείται ε1//ε2 Αˆ ;ε τέμνει τις ε1 , ε2 Γˆ=400 , φˆ=600 Απόδειξη ωˆ =φˆ=600ως εντός εκτός και εναλλάξ γωνίες επομένωςhttp://www.mathschool-online.com 17

http://www.mathschool-online.com ωˆ =Βˆ=600 Στο τρίγωνο ΑΒΓ έχω Αˆ+Βˆ+Γˆ=1800 → Αˆ+600 +400 =1800 → Αˆ=1800 -1000 Αˆ=8004.Ι) Tα κριτήρια για να είναι ένα τετράπλευρο ρόμβος είναι να : 1ο Έχει όλες τις πλευρές του ίσες 2ο Είναι παραλληλόγραμμο και να έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες3ο Είναι παραλληλόγραμμο και οι διαγώνιοί του να τέμνονται κάθετα 4ο Είναι παραλληλόγραμμο και μία διαγώνιος του να διχοτομεί μία γωνία του http://www.mathschool-online.com 18

http://www.mathschool-online.comII)Εξετάστε εάν το παρακάτω σχήμα είναι ρόμβος Υπόθεση ΣυμπέρασμαΟι διαγώνιοί του ΑΒΓΔ ρόμβος διχοτομούνταιΟι διαγώνιοί τουτέμνονται κάθετα ΑπόδειξηΑπό την Υπόθεση έχω ότι οι διαγώνιοί του ΑΒΓΔ διχοτομούνται, http://www.mathschool-online.com 19

http://www.mathschool-online.com επομένωςτο τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. Δείξαμε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. Από την Υπόθεση έχω ότι οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα , επομένως (σύμφωνα με το 3ο κριτήριο) το ΑΒΓΔ είναι ρόμβος5.Ι) Να διατυπώσετε τη σχέση που συνδέει τοτμήμα που ενώνει τα μέσα των διαγωνίων ενός τραπεζίου με τις βάσεις του. http://www.mathschool-online.com 20

http://www.mathschool-online.com Το τμήμα ΕΖ που ενώνει τα μέσα των διαγωνίωνΑΓ και ΒΔ ενός τραπεζίου ΑΒΓΔ είναι παράλληλο με τις βάσεις του τραπεζίου και ισούται με την ημιδιαφορά τους , δηλαδήΕΖ // = ΑΒ-ΓΔ , 2 με ΑΒ > ΓΔΙΙ) Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ με βάσεις τις ΑΒ και ΓΔ και τέτοιες ώστε ΑΒ=3ΓΔ. Αν Ε και Ζ τα μέσα των ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα ναδείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΖΓΔ είναι ορθογώνιο.http://www.mathschool-online.com 21

http://www.mathschool-online.com Υπόθεση Συμπέρασμα ΕΖΓΔ ορθογώνιοΑΒΓΔ ισοσκ. τραπέζιο(ΔΓ//ΑΒ και ΑΔ=ΒΓ) ΑΒ=3ΓΔ Ε μέσο της ΑΓΚαι Ζ μέσο της ΒΔ Απόδειξη Γνωρίζω ότιΕΖ // = ΑΒ-ΓΔ → 2ΕΖ // = 3ΓΔ-ΓΔ → 2ΕΖ //= 2ΓΔ → 2 ΕΖ //= ΓΔΑυτό σημαίνει ότι το ΕΖΓΔhttp://www.mathschool-online.com 22

http://www.mathschool-online.com είναι παραλληλόγραμμο Από την Υπόθεση έχω ότι το ΑΒΓΔ είναιισοσκελές τραπέζιο, αυτό σημαίνει ότι οι διαγώνιές του είναι ίσες,δηλαδή ΑΓ=ΒΔ→ ΑΓ/2=ΒΔ/2 → ΕΓ=ΖΔ Επομένως το ΕΖΓΔ είναι παραλληλόγραμμο και οι διαγώνιοί του είναι ίσες ( ΕΓ=ΖΔ).Άρα (από το κριτήριο για να είναι ένα τετράπλευρο ορθογώνιο ) Έχω ότι το ΕΖΓΔ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.Εάν έχεις οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το mathschool-online ! Kαλή Ανάγνωση! http://www.mathschool-online.com 23

http://www.mathschool-online.comhttp://www.mathschool-online.com 24