Το σχολικό βιβλίο της γεωμετρίας Α Λυκείου

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑδη και των μετέπειτα γεωμετρών μέχρι το 19° αι. Ο Στο σύστημα του Χίλμπερτ τα αρχικά μαθηματικάίδιος ο Ευκλείδης επιχειρεί να ορίσει π.χ. το σημείο αντικείμενα είναι τριών ειδών: τα «σημεία», οι «ευ-ως «κάτι το οποίο δεν έχει μέρη», δηλαδή ως οντότητα θείες» και τα «επίπεδα», που συνδέονται μεταξύ τουςχωρίς εσωτερική δομή ή άτομο. Ο ορισμός αυτός, που με τις σχέσεις του «ανήκειν», του «μεταξύ» και τηςεπιχειρεί να επεξηγήσει τη μαθηματική έννοια κατα- «ισοδυναμίας». Το σύστημα του Χίλμπερτ εξετάζει τιςφεύγοντας σε αρχέτυπα του φυσικού χώρου, κατανοεί- αρχικές αυτές έννοιες και τις σχέσεις τους και οι πέντεται ποικιλοτρόπως από τους σχολιαστές του Ευκλείδη ομάδες αξιωμάτων που εισάγει συνιστούν έμμεσο ορι-και τους μετέπειτα μαθηματικούς. σμό των αρχικών αντικειμένων και των σχέσεών τους.Όμως μετά την ανακάλυψη των μη Ευκλείδειων γεω- (I) Τα αξιώματα συνδέσεως («ανήκειν») ορίζουν τιςμετριών έγινε σαφές ότι η προσέγγιση του Ευκλείδη ιδιότητες της αμοιβαίας θέσης μεταξύ σημείων,κατά τον ορισμό των αρχικών εννοιών είναι αδύνα- ευθειών και επιπέδων1.τη. Κάθε δυνατή Γεωμετρία έχει τις δικές της αρχικέςέννοιες, οι οποίες εξαρτώνται από τα αξιώματα του (II) Τα αξιώματα διάταξης ορίζουν τις ιδιότητες τηςγεωμετρικού συστήματος. Οι ορισμοί των αρχικών αμοιβαίας θέσης σημείων πάνω σε μια ευθεία ήεννοιών έτσι συνδέονται με το δεδομένο γεωμετρικό ένα επίπεδο2.σύστημα κι όχι πλέον με το φυσικό χώρο. (III) Τα αξιώματα ισοδυναμίας ορίζουν την έννοια τηςΑφού λοιπόν δεν είναι δυνατόν να δοθεί ορισμός των «ισότητας» δύο τμημάτων ή γωνιών3.αρχικών βασικών εννοιών για όλες τις δυνατές γε-ωμετρίες, οι αρχικές έννοιες έπρεπε να οριστούν ως (IV) Τα αξιώματα συνέχειας4.αντικείμενα οποιασδήποτε φύσης που ικανοποιούν τα (V) Το αξίωμα παραλληλίας5 .αξιώματα της Γεωμετρίας. Τα αξιώματα αυτά ορίζουνέμμεσα τις αρχικές έννοιες. Στο πλαίσιο αυτό τα αξιώ- Η έννοια της ερμηνείας (μοντέλου)ματα παύουν πλέον να θεωρούνται προφανείς αλήθειεςπου δε χρήζουν απόδειξης. Η έννοια του «προφανούς» Ας υποθέσουμε τώρα ότι ένα γεωμετρικό σύστημααντικαθίσταται τώρα από την έννοια της «απλότητας» δίνεται με τη βοήθεια ενός συστήματος αξιωμάτων.του αξιωματικού συστήματος. Τα αντικείμενα που ικανοποιούν τα αξιώματα αυτού του γεωμετρικού συστήματος μπορεί να είναι διάφορα. Τα διάφορα αυτά αντικείμενα συνιστούν διαφορετικές ερμηνείες ή μοντέλα του γεωμετρικού συστήματος.1. Τα αξιώματα αυτά είναι οκτώ: (Ι1) Από οποιαδήποτε δύο σημεία διέρχεται μία μόνο ευθεία. (Ι2) Σε κάθε ευθεία υπάρχουν τουλάχιστον δύο σημεία. (Ι3) Υπάρχουν τουλάχιστον τρία σημεία που δεν κείνται στην ίδια ευθεία. (Ι4) Από οποιαδήποτε τρία σημεία που δεν κείνται στην ίδια ευθεία, διέρχεται ένα μόνο επίπεδο. (I5) Σε οποιοδήποτε επίπεδο υπάρχει πάντοτε ένα σημείο που ανήκει σ’ αυτό. (Ι6) Αν δύο σημεία βρίσκονται σε ένα επίπεδο, τότε και η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία αυτά βρίσκεται σ’ αυτό το επίπεδο. (Ι7) Αν δύο επίπεδα έχουν κοινό σημείο, τότε έχουν τουλάχιστον ένα ακόμα κοινό σημείο. (Ι8) Υπάρχουν τουλάχιστον τέσσερα σημεία που δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο.2. Τα αξιώματα διάταξης είναι τέσσερα: (II1) Από τρία διαφορετικά σημεία μιας ευθείας ένα και μόνον ένα βρίσκεται μεταξύ των δύο άλλων. (ΙΙ2) Για οποιαδήποτε δύο σημεία Α και Γ υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο Β στην ευθεία ΑΓ τέτοιο, ώστε το σημείο Γ να βρίσκεται μεταξύ του Α και του Β. (ΙΙ3) Για οποιαδήποτε τρία σημεία μιας ευθείας υπάρχει όχι περισσότερο από ένα σημείο που βρίσκεται μεταξύ των δύο άλλων. Η σχέση του «μεταξύ» για σημεία σε μια ευθεία μας επιτρέπει να ορίσουμε την έννοια του ευθύγραμμου τμήματος. (II4) Έστω Α, Β, Γ τρία σημεία που δε βρίσκονται στην ίδια ευθεία και έστω ε ευθεία στο επίπεδο των Α, Β, Γ που δε διέρχεται από κανένα από τα σημεία Α, Β, Γ. Αν η ευθεία ε διέρχεται από ένα σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, τότε πρέπει να διέρχεται κι από ένα σημείο του τμήματος ΑΓ ή από ένα σημείο του τμήματος ΒΓ (αξίωμα του Πας).150

Π Α Ρ Α Ρ Τ Η Μ Α Α΄Έστω π.χ. ότι ερμηνεύουμε τα αρχικά αντικείμενα ως αυτά ξεχωριστά. Αυτό όμως διευρύνει το πεδίο εφαρ-εξής: ως «σημείο» θεωρούμε οποιαδήποτε σφαίρα μογής της Γεωμετρίας και καθιστά τη σύγχρονη αξι-ακτίνας R, ως «ευθεία» κάθε άπειρο κυκλικό κύλινδρο ωματική μέθοδο ισχυρότατο επιστημονικό εργαλείο.ακτίνας R, και ως «επίπεδο» οποιοδήποτε τμήμα τουχώρου που περιέχεται μεταξύ δύο επιπέδων που βρί- Εκτός από τη Γεωμετρία, η μέθοδος του μοντέλουσκονται σε απόσταση 2R το ένα από το άλλο. Θα λέμε χρησιμοποιείται και σε άλλους κλάδους των μαθηματι-ότι ένα «σημείο» κείται επʹ «ευθείας» αν η αντίστοιχη κών, αλλά και σε άλλους κλάδους της επιστήμης. Στηνσφαίρα περιέχεται στον κύλινδρο. Η απόσταση μεταξύ άλγεβρα π.χ. γνωρίζουμε ότι το σύνολο των ακεραίωνδύο σημείων μπορεί να ορισθεί ως η απόσταση μεταξύ είναι μοντέλο της αφηρημένης έννοιας της ομάδας.των κέντρων των αντίστοιχων σφαιρών. Με ανάλογο Ένα άλλο μοντέλο της ομάδας είναι το σύνολο τωντρόπο μπορούν να οριστούν διάφορα «σχήματα». Τότε ρητών, το οποίο είναι ταυτόχρονα και μοντέλο τηςόλα τα αξιώματα (και επομένως και τα θεωρήματα της αφηρημένης έννοιας του σώματος.Ευκλείδειας Γεωμετρίας) θα πρέπει να ικανοποιούνταιστην ερμηνεία (μοντέλο) αυτή. Η νέα αντίληψη της αξιωματικής μεθόδου που διαμορ- φώθηκε στα τέλη του 19ου αι. είναι συνυφασμένη μεΜε τον παραπάνω τρόπο κατασκευάσαμε ένα μοντέ- την ιδέα του μοντέλου και συνίσταται στο ότι αντικεί-λο του Ευκλείδειου γεωμετρικού συστήματος. Όλες οι μενο μιας αξιωματικής θεωρίας αποτελεί οποιοδήποτειδιότητες και τα θεωρήματα που προκύπτουν από το μοντέλο (ερμηνεία) της θεωρίας αυτής.αφηρημένο σύστημα των αξιωμάτων «μεταφέρονται»στα συγκεκριμένα αντικείμενα που είναι ερμηνείες Το πρόβλημα της μη αντιφατικότηταςτων βασικών εννοιών του αξιωματικού συστήματος. της ΓεωμετρίαςΕπομένως, οποιασδήποτε φύσης κι αν είναι τα αντικεί-μενα αυτά και σε οποιοδήποτε κλάδο της επιστήμης κι Η αξιωματικοποίηση της Γεωμετρίας από τον Χίλ-αν ανήκουν οι ιδιότητές τους μπορούν να θεωρηθούν μπερτ επέτρεψε στον Φ. Κλάιν και τον Α. Πουανκα-γνωστές εκ των προτέρων, επειδή προκύπτουν από τις ρέ να αποδείξουν τη σχετική μη αντιφατικότητα τηςιδιότητες του αφηρημένου αξιωματικού συστήματος. Γεωμετρίας Λομπατσέφσκι-Μπόλυαϊ ως προς τη Γε-Έτσι δεν απαιτείται να μελετηθούν τα αντικείμενα ωμετρία του Ευκλείδη. Αυτή η απόδειξη, που βασίζε- ται στην ιδέα του μοντέλου της αξιωματικής θεωρίας, συνίσταται στο να δείξει κανείς έναν τρόπο ερμηνείας3. Τα αξιώματα αυτά είναι πέντε: (ΙΙΙ1) Αν Α και Β είναι δύο διαφορετικά σημεία στην ευθεία ε και Αʹ είναι ένα σημείο της ίδιας ευθείας ή άλλης ευθείας εʹ, τότε μπορεί πάντοτε να βρεθεί σημείο Βʹ που βρίσκεται στο δεδομένο από το σημείο Αʹ μέρος της ευθείας εʹ τέτοιο, ώστε το τμήμα ΑΒ να είναι ισοδύναμο (ίσο) με το τμήμα ΑʹΒʹ. (ΙΙΙ2) Αν δύο τμήματα είναι ισοδύναμα προς τρίτο, τότε είναι και μεταξύ τους ισοδύναμα. (ΙΙΙ3) Έστω ΑΒ και ΒΓ δύο τμήματα της ευθείας ε που δεν έχουν κοινό σημείο και έστω επίσης ΑʹΒʹ και ΒʹΓʹ δύο τμήματα της ίδιας ευθείας ή άλλης ευθείας εʹ που επίσης δεν έχουν κοινό σημείο. Αν τώρα ΑΒ = ΑʹΒʹ, ΒΓ = ΒʹΓʹ, τότε και ΑΓ = ΑʹΓʹ. Η γωνία ορίζεται ως το σχήμα που αποτελείται από δύο διαφορετικές ημιευθείες με κοινό αρχικό σημείο. (ΙΙΙ4) Από δεδομένη ημιευθεία σε δεδομένο ημιεπίπεδο που ορίζεται από αυτή την ημιευθεία και την προέκτασή της, μπορεί να σχηματιστεί μια μοναδική γωνία ισοδύναμη με τη δεδομένη γωνία. (ΙΙΙ5) Αν δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α1Β1Γ1 έχουν ΑΒ = Α1Β1, ΑΓ = Α1Γ1 και /Α = /Α1, τότε και /Β = /Β1, ˂Γ = /Γ1.4. Τα αξιώματα συνέχειας είναι δύο: (IV1) Έστω ΑΒ και ΓΔ δύο οποιαδήποτε τμήματα. Τότε στην ευθεία ΑΒ υπάρχει πεπερασμένος αριθμός σημείων Α1, Α2, ..., Αn, τέτοιων ώστε τα τμήματα ΑΑ1, Α1Α2, ..., Αn-1Αn, να είναι ισοδύναμα με το τμήμα ΓΔ και το σημείο Β να βρίσκεται μεταξύ Α και Αn (αξίωμα Ευδόξου-Αρχιμήδη). (IV2) Τα σημεία μιας ευθείας σχηματίζουν σύστημα, το οποίο, τηρουμένης της γραμμικής διάταξης, του πρώτου αξιώ- ματος ισοδυναμίας και του αξιώματος Ευδόξου-Αρχιμήδη δεν είναι επεκτάσιμο, δηλ. σ’ αυτό το σύστημα σημείων δεν είναι δυνατόν να προστεθεί ένα ακόμα σημείο, έτσι ώστε στο επεκτεταμένο σύστημα που αποτελείται από το αρχικό σύστημα και το συμπληρωματικό σημείο να ικανοποιούνται τα παραπάνω αξιώματα (αξίωμα γραμμικής πληρότητας).5. Έστω ε τυχούσα ευθεία και σημείο Α εκτός αυτής. Στο επίπεδο που ορίζεται από την ευθεία ε και το σημείο Α υπάρχει όχι περισσότερο από μία ευθεία που διέρχεται από το σημείο Α και δεν τέμνει την ευθεία ε. 151

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑτων εννοιών και προτάσεων της μη Ευκλείδειας Γε- ματα της θεωρίας αυτής, αρκεί να κατασκευαστεί έναωμετρίας με όρους της Ευκλείδειας (στην περίπτωση μοντέλο της θεωρίας Τ, στο οποίο το αξίωμα Α είναιτης μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας η μέθοδος απέδειξε ψευδές, ενώ τα υπόλοιπα αξιώματα είναι αληθή.ότι αν η Ευκλείδεια Γεωμετρία είναι μη αντιφατική,τότε και η μη Ευκλείδεια Γεωμετρία είναι επίσης μη Η ύπαρξη της μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας αποδεικνύ-αντιφατική). ει την ανεξαρτησία του αξιώματος παραλληλίας από τα υπόλοιπα αξιώματα της Γεωμετρίας του Ευκλείδη.Όσον αφορά τη μη αντιφατικότητα της ίδιας της Το σύστημα αξιωμάτων της Υπερβολικής ΓεωμετρίαςΕυκλείδειας Γεωμετρίας, αυτή ανάγεται στη μη είναι ένα σύστημα που λαμβάνεται από το παραπάνωαντιφατικότητα της αριθμητικής των φυσικών αριθ- αξιωματικό σύστημα της Γεωμετρίας του Ευκλείδη μεμών. Ωστόσο, δεν υπάρχει απόλυτη απόδειξη της μη την αλλαγή του αξιώματος παραλληλίας με το παρα-αντιφατικότητας της αριθμητικής (αν και υπάρχουν κάτω αξίωμα:αποδείξεις μη αντιφατικότητας υποσυστημάτων τηςαριθμητικής). Έτσι δεχόμαστε ότι μια αξιωματική θε- «Έστω ε τυχούσα ευθεία και σημείο A εκτός αυ-ωρία είναι μη αντιφατική αν μπορεί να κατασκευαστεί τής. Στο επίπεδο που ορίζεται από την ευθεία εαριθμητικό μοντέλο της θεωρίας αυτής. Τα παραπάνω και το σημείο Α άγονται περισσότερες από μίααποκαλύπτουν τον ιδιαίτερο ρόλο της αριθμητικής στο ευθείες που διέρχονται από το σημείο Α και δενπρόβλημα της μη αντιφατικότητας, δεδομένου ότι το τέμνουν την ευθεία ε».ανάλογο πρόβλημα για μια σειρά άλλες μαθηματικέςθεωρίες ανάγεται επίσης στο πρόβλημα της μη αντιφα- Με ανάλογο τρόπο μπορεί να αποδειχθεί η ανεξαρ-τικότητας της αριθμητικής. Η μέθοδος της απόδειξης τησία των αξιωμάτων συνέχειας. Η ανεξαρτησία τουτης σχετικής μη αντιφατικότητας μιας θεωρίας με τη αξιώματος Ευδόξου-Αρχιμήδη αποδεικνύεται με τηβοήθεια της κατασκευής ενός μοντέλου εφαρμόζεται βοήθεια της κατασκευής ενός μοντέλου «μη Αρχιμή-σήμερα ευρύτατα στα θεμέλια των μαθηματικών και δειας Γεωμετρίας».τη μαθηματική λογική για την απόδειξη της σχετικήςμη αντιφατικότητας διάφορων μαθηματικών και λο- Ιδιαίτερο ρόλο έχει το αξίωμα (Ι7), το οποίο στην ου-γικών θεωριών. σία εξασφαλίζει ότι ο χώρος έχει τρεις διαστάσεις. Η ανεξαρτησία αυτού του αξιώματος από τα υπόλοιπαΤο πρόβλημα της ανεξαρτησίας αποδεικνύεται, π.χ. με την κατασκευή ενός μοντέλουτων αξιωμάτων της Γεωμετρίας τετραδιάστατoυ Ευκλείδειου χώρου.Η μέθοδος του μοντέλου μας επιτρέπει επίσης να λύ- Έτσι το πρόβλημα της ανεξαρτησίας των αξιωμάτωνσουμε το πρόβλημα της ανεξαρτησίας των αξιωμάτων. της Ευκλείδειας Γεωμετρίας οδηγεί στη μελέτη νέωνΠροκειμένου να αποδειχθεί ότι ένα αξίωμα Α της θε- «γεωμετρικών χώρων», που διαφέρουν σημαντικά ωςωρίας Τ δεν είναι αποδείξιμο από τα υπόλοιπα αξιώ- προς τις ιδιότητές τους από το συνήθη χώρο του Ευ- κλείδη.152

ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Αποδεικτικές Ασκήσεις 3. Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΟΑΓ 1. Είναι ΟΑ = ΟΔ και ΟΒ = ΟΓ. και ΟΒΔ.§2.1 - 2.10 2. Η ΟΓ είναι διχοτόμος της ΑÔΒ.Ασκήσεις Eμπέδωσης §3.3 - 3.4 §2.19 Ασκήσεις Eμπέδωσης1. i) 6 τμήματα, ii) 10 τμήματα.2. i) 3 σημεία, ii) 3 τμήματα και Ασκήσεις Eμπέδωσης 1. i) Να συγκρίνετε τα τρίγω- να ΑΒΔ και ΑʹΒʹΔʹ καθώς και 12 ημιευθείες. 1. i) Είναι: P͡ Α = P͡ M – A͡ M και τα ABE και ΑʹΒʹΕʹ. ii) Να συ-3. ΑΓ = ΑΒ + ΒΓ =... P͡ Β = P͡ M + M͡ B. γκρίνετε τα τρίγωνα ABE και4. ΑΓ = ΑΜ + ΜΒ + ΒΝ + ΝΓ =... ΑʹΒʹΕʹ.Αποδεικτικές Ασκήσεις ii) Είναι: Σ͡ Α = Σ͡ M + M͡ A και Σ͡ B = M͡ B – Σ͡M. ΔΔ1. Υπολογίστε τα ΑΔ, ΒΓ ως συ- νάρτηση του ΕΖ. 2. α) (A͡ Γ) = 130°, (Γ͡ Β) = 50°. 2. α) Είναι ΑΔΓ = ΑʹΔʹΓʹ β) Χρησιμοποιήστε το α).2. Υπολογίστε τα ΓΑ, ΓΒ ως συ- 3. 30° και 60°. 3. Να βρείτε τρεις πλευρές ίσες. νάρτηση του ΓΜ. Αποδεικτικές Ασκήσεις 4. 72°.3. α) Να διακρίνετε περιπτώσεις. 1. Εφαρμογή του κριτηρίου ΓΠΓ. β) προκύπτει από το α). Αποδεικτικές Ασκήσεις 2. Εφαρμογή των κριτηρίων ΠΓΠΣύνθετα Θέματα 1. 45°. και ΠΠΠ.1. Να εξετάσετε δύο περιπτώσεις. 3. Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΒΓΔ είναι Αν το Α είναι μεταξύ των Β, Γ ή 2. 35° και 55°. όχι. ίσα. 3. ΑÔΒ = 36° κτλ. Σύνθετα Θέματα2. 6 τροχονόμοι. Γενικές Ασκήσεις 1. α) Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑʹΒʹΔʹ. 1. Αν Ο μέσο ΑΒ τότε ΕΖ = ΟΖ – ΟΕ κτλ. ΔΔ 2. Αν Ο μέσο ΒΖ αρκεί ΔΒ = ΖΕ. β) ΑΒΜ = ΑʹΒʹΜʹ. ΔΔ 3. ΑΕ = ΑΒ + ΒΔ , ΒΔ = ΒΓ + ΓΔ κτλ. 2 γ) ΑΒΘ = ΑʹΒʹΘʹ.§2.11 - 2.16 2. Χαρακτηριστική ιδιότητα μεσο- 4. Αποδείξτε ότι ΑÔx = 180°.Ασκήσεις Eμπέδωσης καθέτου. 5. 45°. 3. α) Απλό,1. Αφαιρούμε την yÔz. β) Αποδείξτε ότι ΕÂΓ = ΑB̂ Δ .2. 1 ορθής. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 §3.5 - 3.6 2 Ασκήσεις Eμπέδωσης3. Ορθή γωνία. Μετά από 6 ώρες. §3.1 - 3.2 1. Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΔΒΓ και ΕΒΓ, ΒΔ και ΓΕ τα ύψη.Αποδεικτικές Ασκήσεις Ασκήσεις Eμπέδωσης 2. α) Αν ΚΔ, ΛΕ'ΒΓ, να συγκρί-1. ΔÔΕ = ΔÔy + yÔE =…. 1. Τα τρίγωνα ABE και ΑΔΓ είναι νετε τα τρίγωνα ΔΒΚ και ΕΓΛ. ίσα.2. Υπολογίστε τις ΓÔΑ, ΓÔΒ ως β) Αν ΚΗ'ΑΓ και ΛΖ'ΑΒ, να συνάρτηση της ΓÔΔ. 2. Τα τρίγωνα ΜΑΚ, ΚΒΛ και συγκρίνετε τα τρίγωνα ΗΑΚ ΛΓΜ είναι ίσα. και ΖΑΛ.3. Όμοια με την προηγούμενη άσκηση. 3. Συγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΒΜ 3. Να συγκρίνετε τα δύο ορθογώ- και ΑʹΒʹΜʹ όπου Μ, Μʹ τα μέ- νια τρίγωνα που προκύπτουν.Σύνθετα Θέματα σα των ΒΓ και ΒʹΓʹ αντίστοιχα. 4. Αν ΑΔ'ΒΓ και ΑʹΔʹ'ΒʹΓʹ να1. Υπολογίστε τις ΑÔΔ, ΒÔΓ ως 4. Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΓΕ συγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΒΔ και συνάρτηση της xÔy. και ΑΒΖ. ΑʹΒʹΔʹ.2. ΔÔΕ = ΒÔΔ – ΒÔΕ = …. Αποδεικτικές Ασκήσεις§2.17 - 2.18 Αποδεικτικές Ασκήσεις 1. Αν ΜΕ'ΑΒ και ΜΔ'ΑΓ, ναΑσκήσεις Eμπέδωσης1. Άπειροι. 1. Είναι ΔΔ2. Απλή. ΔΔ ΑΚΒ = ΔΚΕ και ΑΚΓ = ΔΚΖ. 2. Να συγκρίνετε τα τρίγωνα MΔΒ και ΜΕΓ. 153

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑσυγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΜΕ 6. Φέρουμε ΔΕ'ΒΓ. Αποδεικτικές Ασκήσειςκαι ΑΜΔ. 7. Τα τρίγωνα ΟΒΜ και ΟΓΛ εί- 1. Βρείτε ισοσκελή τρίγωνα.2. Το τρίγωνο με πλευρές υα, μα ναι ίσα. 2. Φέρτε τη ΜΟ και αποδείξτε ότι είναι ίσο με το τρίγωνο που 8. Είναι ΒΔ = ΓΔ. ΟM̂ Β = ΒM̂ Γ.έχει πλευρές υαʹ, μαʹ. 9. Εφαρμογή του: B̂  = Γ̂ συνεπά- 3. Η ΟΡ είναι μεσοκάθετος του3. Αν Β Δ ' Α Γ, Β ʹ Δ ʹ ' Α ʹ Γ ʹ , γεται β = γ. ΑΒ.ΓΕ'ΑΒ και ΓʹΕʹ'AʹBʹ απο- 10. Εφαρμογή της τριγωνικής ανι- §3.16 σότητας. Ασκήσεις Eμπέδωσηςδείξτε ότιΔΔ ΔΔ 1. Σχετικές θέσεις δύο κύκλων. ΒΕΓ = BʹΕʹΓʹ και ΒΔΓ = ΒʹΔʹΓʹ. 2. Εφάπτονται εσωτερικά. Αποδεικτικές Ασκήσεις 3. Εφάπτονται εξωτερικά.4. Να συγκρίνετε τα τρίγωνα Αποδεικτικές Ασκήσεις ΑΔΒ και ΕΔΒ και στη συνέ- 1. Από την μα < α προκύπτουν χεια τα ΑΒΓ και ΕΒΖ. 2 1. i) Αποδείξτε ότι ΑΜ < ΒΜ και AM < ΜΓ. PO – 2R < PO < PO + 2R. ii) Το Α είναι μέσο του ΟΓ.5. Σε ίσες χορδές αντιστοιχούν 2. Εφαρμογή §3.12. 2. i) απλό, ίσα τόξα. ii) Ο1Ο2 < Ο1Α + ΑΒ + ΒΟ2, 3. Προεκτείνουμε τη διάμεσο AM iii) ΑΒ < ΑΟ1 + Ο1Ο2 + Ο2Β.Σύνθετα Θέματα κατά ίσο τμήμα ΜΑʹ. 3. Η διακεντρική ευθεία διχοτο-1. i) Είναι ΔΒ = ΔΓ και ΔΕ = ΔΖ 4. Αν τα Σ, Ο, Μ δεν είναι συνευ- μεί τη γωνία των εφαπτόμε- ii) Είναι ΑΕ = ΑΖ και ΓΖʹ = BEʹ. νων τμημάτων. θειακά, εφαρμόζουμε την τρι-2. Αν γ = γʹ προεκτείνετε τις ΑΓ, Δ §3.17 - 3.18 ΑʹΓʹ κατά τμήματα ΓΔ  =  α, Ασκήσεις Eμπέδωσης ΓʹΔʹ = αʹ αντίστοιχα. γωνική ανισότητα στο ΣΟΜ. Δ 1. Διχοτομούμε μια ορθή γωνία.§3.7 2. Απλή.Ασκήσεις Eμπέδωσης 5. Αν Μ το μέσο της ΑΓ, το ΑΒΜ 3. Κατασκευή 3 §3.18. 4. Αρχικά κατασκευάζουμε τη με-1. Είναι ο κύκλος (Μ, ΜΑ) χωρίς είναι ισοσκελές. τα σημεία τομής του με την ευ- 6. Παίρνουμε το μέσο του A͡ B. σοκάθετο του ΒΓ = α. θεία ΒΓ. 5. i), ii) Αρχικά κατασκευάζουμε 7. Εφαρμογή §3.12.2. Είναι ο κύκλος (Ο, 2R). μια ορθή γωνία xÂy. Σύνθετα Θέματα Γενικές Ασκήσεις 1. i) τριγωνική ανισότητα στα 1. Στη ΓʹΒʹ παίρνουμε σημείο Βʹʹ τρίγωνα ΑΟΒ, ΒΟΓ, ΓΟΔ και τέτοιο ώστε ΓʹΒʹʹ = ΓΒ. ΔΟΑ. 2. Ισότητα τριγώνων.§3.8 - 3.9 ii) Όταν το O ταυτίζεται με το 3. Πάνω στον κύκλο παίρνουμεΑσκήσεις Eμπέδωσης σημείο τομής των διαγωνίων. σημείο Ε τέτοιο ώστε ΓΕ = ΑΒ.2. Εφαρμογή §3.8. 2. Αποδείξτε ότι ΜÊΒ = ΜB̂ Ε. ΔΔ3. Να λάβετε υπόψη την προη- 3. Εφαρμόστε την τριγωνική ανι- 4. Eίναι ΑΒΕ = ΒΓΖ κτλ. γούμενη άσκηση. σότητα. 5. Φέρουμε τη διχοτόμο ΑΔ και4. Εφαρμογή §3.8.5. Αποδείξτε ότι το συμμετρικό 4. Θεωρήστε τα συμμετρικά του Γ παίρνουμε το μέσο Ε της ΑΓ. ως προς τις πλευρές της γωνίας. 6. Φέρουμε τη διχοτόμο ΒΔ και κάθε σημείου της γωνίας ως προς τη διχοτόμο είναι σημείο §3.13 παίρνουμε το μέσο Μ της ΒΓ. της γωνίας. Ασκήσεις Eμπέδωσης 7. Προεκτείνουμε τις διαμέσους6. Ιδιότητες μεσοκαθέτου. 1. Σύγκριση πλαγίων τμημάτων. AM και ΑʹΜʹ κατά ίσα τμήματα.§3.10 - 3.11 - 3.12 2. Σύγκριση πλαγίων τμημάτων. 8. Ιδιότητα μεσοκαθέτου. 3. Σύγκριση κάθετου και πλάγιουΑσκήσεις Eμπέδωσης τμήματος.1. Θεώρημα εξωτερικής γωνίας.2. Είναι ΒÂΓ = ΒΓ̂ Α. §3.14 - 3.153. Διακρίνετε περιπτώσεις για τη Ασκήσεις Eμπέδωσης θέση του ίχνους του ύψους στη 1. Να συγκρίνετε τα αποστήματα ΒΓ. των χορδών.4. Θεώρημα εξωτερικής γωνίας. 2. Ιδιότητες διακεντρικής ευθείας5. ΑM̂ Β > Γ̂ κτλ. ενός σημείου. 3. Ισότητα εφαπτόμενων τμημά- των.154

ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 5. Υπολογίστε την  από τρίγ. 4. Τρίγ. ΑΕΔ ισοσκελές. ΑΒΓ και την ΕΔ̂ Γ από τρίγ. Αποδεικτικές Ασκήσεις§4.1 - 4.5 ΔΕΓ.Ασκήσεις Eμπέδωσης 1. ΜΕ = ΑΔ και τρίγ. ΜΔΒ ισο-1. Αποδείξτε ότι Δ̂  = Ê. 6. Αποδείξτε ότι Ẑ = Ê . σκελές.2. Αποδείξτε ότι Ô1 = Â1.3. Αποδείξτε ότι Â1 = B̂ 1. 7. Αποδείξτε ότι Ẑ = Ĥ. 2. Να συγκρίνετε τα τρίγωνα4. Βρείτε δύο κατάλληλες γωνίες ABE και ΔΖΓ. Σύνθετα Θέματα ίσες. 3. Φέρουμε την ΑΓ.5. Όμοια με την προηγούμενη 1. Αν η ΔΕ τέμνει την ΒΓ στο Κ αποδείξτε ότι το τρίγ. ΒΔΚ εί- 4. Τα ΑΖΒΓ και ΑΒΓΗ είναι πα- άσκηση. ναι ορθογώνιο. ραλληλόγραμμα.6. Είναι ΟΜ'Β, ....Αποδεικτικές Ασκήσεις 2. Παρατηρήστε ότι το τρίγ. ABE 5. Γράφουμε κύκλο (Ο, λ), όπου Ο είναι ισοσκελές. τυχαίο σημείο της μιας ευθείας.1. ΑΜ'ΒΓ οπότε ΑΜ//Γx.2. Αποδείξτε ότι ΑΒ = ΑΕ. 3. Αρκεί ΔÂΒ + Â + ΓÂΕ = 180°. Σύνθετα Θέματα3. Αποδείξτε ότι ΑΔ = ΑΒ. 4. α) Αποδείξτε ότι ΔB̂ Γ = Ê4. ΔΕ = ΔΙ + ΙΕ = ... 1. i) Να συγκρίνετε τα τρίγωνα5. ΒΓ = ΒΔ + ΔΕ + ΔΓ = .... β) Προκύπτει από τα τρίγ. ΒΔΓ ΑΕΚ και ΓΗΖΣύνθετα Θέματα και ΔΓΕ. ii) Τα παραλληλόγραμμα, ανά1. Αποδείξτε ότι ΕΖ//ΒΓ και 5. i) απλό δύο έχουν μια κοινή διαγώνιο. ΜΚ//ΒΓ. ii) ΖÂΗ = ΖÂΔ + ΓÂΗ , κτλ. 2. Αποδείξτε ότι ΓΖ, ΓΕ διχοτό-2. Φέρουμε ΓZ//Ax//By. μοι.3. ΔΕ = ΙαΕ – ΙαΔ. 6. Αν η διχοτόμος της Β τέμνει4. α) απλό την ΔΓ στο Ε, από τρίγ. ΔΖΕ... 3. Αρκεί Γ̂  + ΒΓ̂ Ε + ΔΓ̂ Ζ = 180°. β) ΒΕ + ΓΖ = ΒΑ+ΑΓ = σταθερό. γ) Προεκτείνουμε την ΕΜ κα- 7. Αποδείξτε ότι α//β. 4. Φέρουμε από το Δ παράλληλη στην ΑΒ. τά ίσο τμήμα. Γενικές Ασκήσεις 1. Υπολογίστε τις ΒΔ̂ Γ και ΓÊΑ 5. Αν ΓΔ η θέση της γέφυρας φέ- ρουμε ΒΕ//=ΓΔ. ως συνάρτηση των Â, B̂ , Γ̂ . Εί- ναι B̂  + Γ̂  = 120° ( = 60°). 2. Παίρνουμε το μέσο Ζ του ΕΓ. §5.3 - 5.5 3. Φέρουμε ΔΗ'ΑΒ και ΔΚ'ΑΓ. Ασκήσεις Eμπέδωσης 4. Είναι B̂  + Δ̂  = 180° (αφού  = Γ̂  = 90°). 1. ΑΕ//=ΓΖ. 5. i) Είναι B̂  > Γ̂ (ΑΒ < ΑΓ) .§4.6 - 4.8 2. ΖΕ = ΒΔ = ΑΓ. 2 ii) προεκτείνουμε την AM κα-Ασκήσεις Eμπέδωσης 3. Να λάβετε υπόψη σας την εφαρ-1. α) B̂  = 60°, Γ̂  = 30° τά ίσο τμήμα β) B̂  = 36°, Γ̂  = 54°. μογή της §4.4.  iii) BÂE = EÂΓ = 2 οπότε 4. Να συγκρίνετε τα τρίγωνα από i) και ii) …. ΑΔΕ και ΔΓΖ.2.  = 36° οπότε ΒÎΓ = 108°.3. B̂  = Γ̂  = 36°. 6. Έχουμε τρία ισοσκελή τρίγω- 5. Να βρείτε τις ιδιότητες των να. δια­γωνίων του.4. Οξείες γωνίες με κάθετες πλευ- 7. Παρατηρήστε τα ίσα εφαπτόμε- 6. Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ρές. να τμήματα που σχηματίζονται. ΑΚΝ, ΒΚΛ, ΜΓΛ και MAN.5. Δ̂  = 36°. Αποδεικτικές Ασκήσεις6. ω = 45°, φ = 55°. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 1. Το ΔΕΒΖ είναι παραλληλό- γραμμο και η ΒΔ διχοτόμος.7. v = 7. §5.1 - 5.2 Ασκήσεις EμπέδωσηςΑποδεικτικές Ασκήσεις 1. Τρίγ. ΑΔΕ ισοσκελές. 2. i) Να συγκρίνετε τα τρίγωνα1. B̂ εξ = Â + Γ̂ οπότε…. B̂  = Γ̂ . 2. Οι διαγώνιοι διχοτομούνται. ΑΒΖ και ΑΔΕ 3. i) ΑΕ//=ΓΖ .2. Παρατηρήστε ότι είναι εξωτε- ii) Τα παραλληλόγραμμα έχουν ii) Με άθροισμα γωνιών σε κα- ρικές γωνίες τριγώνου. τάλληλο τρίγωνο. μια κοινή διαγώνιο.3. ΔÂΕ + ΑÊΔ = 90°, ΑÊΔ εξωτε- 3. Φέρουμε την ΕΖ. ρική στο τρίγ. ΑΕΓ. 4. Αν ΚΛ'ΕΖ, φέρουμε ΕΗ'ΔΓ B̂ και ΚΜ'ΒΓ.4. ΑÊΒ +  + 2 = 180° κτλ. 2 155

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣύνθετα Θέματα Σύνθετα Θέματα 9. Η ΖΗ είναι διάμεσος του τρα- πεζίου ΕΒΓΔ.1. Να συγκρίνετε τα τρίγωνα 1. Είναι EZ\\ΑΒ και ΔΕ = ΕΓ. ΜΕΔ και ΜΖΓ. 2. Φέρουμε τη διάμεσο AM, οπό- 10. Βρείτε κατάλληλα τραπέζια με2. Αρκεί γων. ΒΖΓ = γων. ΖΒΓ. τε ΑM̂ Γ = 30°. διάμεσο την ΚΚʹ.3. i) Το άθροισμα ισούται με το 3. Είναι ΖΗ//= ΚΓ και Κ βαρύκε- Σύνθετα Θέματα ύψος ΒΗ (σταθερό). ντρο. 2 1. Αν η διχοτόμος της Â τέμνει ii) Από το τυχαίο σημείο Μ φέ- 4. Παρατηρήστε ότι B̂  = 2Ê = 2Γ̂ . την ΒΓ στο Ε αρκεί ΔΕ διχοτό- ρουμε παράλληλη στη ΒΓ και μος της Δ̂ . εφαρμόζουμε το i). 5. Προεκτείνουμε την BE που τέ- μνει την ΑΓ στο Ζ. 2. Φέρουμε ΜΕ'ΑΔ.§5.6 - 5.9 6. Είναι ΒΜ\\ΕΓ και Η ορθόκε- 3. Αν Κ το κέντρο του ΑΒΓΔ φέ- ντρο του τριγώνου ΑΒΜ. ρουμε ΚΚʹ'ε.Ασκήσεις Eμπέδωσης 7. i) Απλό ii) Αν Ο το μέσο του 4. Η ΖΗ είναι διάμεσος του1. Τα Δ, Ε είναι μέσα των ΑΒ, ΑΓ. ΑΒ, αρκεί ΟΚ//ΒΓ. τραπεζίου ΔΕΓΑ, οπότε .... B̂  = 30°.2. Τα Δ, Η και Ζ, Ε είναι μέσα 8. i) Απλό. ii) Με άθροισμα γωνι- πλευρών. ών σε κατάλληλο τρίγωνο. iii) 5. i) Αποδείξτε ότι το ΑΒΜΕ εί- Αν Κ το σημείο τομής των AM ναι ισοσκελές τραπέζιο ii) Η3. Οι ΕΜ, ΔΜ είναι διάμεσα ορ- και ΔΖ αρκεί ΒΚ//ΕΖ. προέκταση της ΑΕ τέμνει την θογωνίων τριγώνων. ΔΓ στο Ζ.4. Τα Ε, Ζ είναι μέσα πλευρών §5.10 - 5.11 Γενικές Ασκήσεις και ΑΓ = Β2Γ. Ασκήσεις Eμπέδωσης 1. Αν ΑΒ < ΑΓ είναι5. Να λάβετε υπόψη σας την ιδι-ότητα του βαρύκεντρου. 1. Η ΕΖ διάμεσος τραπεζίου και ΑΔ = ΑΒ < ΑΓ και 2 26. Το Ε είναι ορθόκεντρο του τρι- Η, Θ μέσα πλευρών τριγώνου. 2. ΔΕ//ΒΓ και B̂  = Γ̂ .γώνου ΒΓΔ. ΑΕ = ΑΓ > Α2Β. 27. Το ΑΓΕΖ είναι παραλληλό- 3. ΕΗ = ΘΖ και Ε, Ζ, Η, Θ μέσα ΒΓγραμμο και ΑΓ = 2 . πλευρών τριγώνου. 2. Παίρνουμε το μέσο Μ του ΔΕ.Αποδεικτικές Ασκήσεις 4. ΚΕ = ΑΔ και ΚΛ//ΔΓ. 3. α) Τα τρίγωνα ΑΒʹΒ και ΑΕʹΕ 2 είναι ισοσκελή β) Αποδείξτε 5. Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ότι ΒʹΕʹ = ΓΕʹ.1. i) Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΒΖΓ.ΔΕΖ και ΑΕΖ 4. α) απλό β) Αρκεί ΗÊΖ = ΖÊΓ ii) Η ΔΜ διάμεσος και τα Ε, Ζ 6. Η ΜΔ είναι διάμεσος του τρα- ΑΒ 2μέσα πλευρών. πεζίου ΒΒʹΓʹΓ. γ) ΗΕ = = ΖΓ δ) Από το γ) Γ̂  = 2ΖÊΓ.2. Φέρουμε την ΔΒ. Αποδεικτικές Ασκήσεις προκύπτει ότι3. Είναι ΜÂΔ + ΔM̂ Α = 90° και 1. Αρκεί ΗΖ = ΒΖ. 5. Παίρνουμε το μέσο Δ του ΒΚ B̂  + Γ̂  = 90°. και φέρνουμε ΔʹΔ'ε. 2. Το Ζ είναι σημείο της μεσοκα-4. Να αποδείξετε ότι το ΔΕΒΖ εί- θέτου και το ΖΗΒΓ ισοσκελές 6. α) απλό β) Το Η είναι ορθόκε- ναι παραλληλόγραμμο. τραπέζιο. ντρο του τριγ. ΑΔΖ.5. Φέρουμε την ΑΓ. Τα Κ, Η είναι 3. Φέρουμε ΒΕ'ΔΓ, οπότε 7. Παρατηρήστε ότι βαρύκεντρα τριγώνων. ΕB̂ Γ = 30°. ΜΛ// = ΒΗ και ΜΚ// = ΕΓ .6. Παίρνουμε το μέσο Ζ του ΑΓ. 4. Παίρνουμε το μέσο Ε της ΑΔ. 2 2 8. α) Το Μ είναι το μέσο του ΟΓ7. i) Να αποδείξετε ότι το ΒΕΓΔ ΒΓ είναι παραλληλόγραμμο. 5. Αρκεί ΜΕ = 2 . και το Ζ βαρύκεντρο του τριγ. ii) Το Η είναι βαρύκεντρο του ΑΒ ΒΟΓ. 2 τριγώνου ΒΔΓ. 6. Είναι ΔΗ = και Δ, Ε, Ζ, β) Να λάβετε υπόψη σας το α).8. Είναι ΜΔ = ΑΔ και ΜΔ = Δ2Β.9. Αν Μ το σημείο τομής των ΕΗ μέσα πλευρών τριγώνου. 9. i) Φέρουμε ΟΚ διάμεσο στο τρίγ. ΟΑΒ. Αρκεί να τέμνει την και ΚΖ, αρκεί M̂  = 90°. 7. Να λάβετε υπόψη σας το πόρι- ΔΓ στο μέσο Λ. σμα.10. Ο δρόμος συνδέει τα μέσα των 8. Όμοια με την προηγούμενη 10. Φέρουμε από τα Δ και Ε κά- αποστάσεων. άσκηση. Για να είναι ορθογώ- θετες στις ΑΒ, ΒΓ και ΑΓ, ΒΓ νιο πρέπει ΑΓ = ΒΔ. αντίστοιχα.156

ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 §6.5 - 6.6 ΑΒ και του κύκλου (Δ, 4m).§6.1 - 6.4 Ασκήσεις Eμπέδωσης 4. Αν (O, R) είναι ο δοσμένος κύ- κλος ο γ.τ είναι ο κύκλος (Ο,Ασκήσεις Eμπέδωσης 1. Ιδιότητες εγγεγραμμένων τε- R/2). τραπλεύρων.1. Για το 1ο σχήμα είναι x = 40° Αποδεικτικές Ασκήσεις και y = 2x = 80°. B̂  = 120°, Γ̂  = 60° και Δ̂  = 80°. 1. Αν Ο το μέσο του ΒΓ είναι Για το 2ο σχήμα είναι x = 50° 2. Αρκεί Â = 90° . ΑΟ = ΒΓ = σταθ. οπότε ο γ.τ. και y = 180° – x – 35° = 105°. 3. Αποδείξτε μια γωνία ορθή. 22. Είναι B͡ E = 120° (Εφαρμογή Ο, Β2Γ . 4. Εφαρμογή 1 §6.6. του Α είναι ο κύκλος  §6.3). Αποδεικτικές Ασκήσεις3. Είναι x = 40° (γωνία χορδής 1. Φέρτε την κοινή χορδή ΑΒ και 2. Αν Μ η προβολή του Α πάνω αποδείξτε ότι: Γ̂  = Δ̂ εξ. και εφαπτ.). Επίσης σε ευθεία ε, που διέρχεται από 2y + B͡ Γ = 180° οπότε y = 140°. 2. Αποδείξτε ότι οι ευθείες ε, ΔΕ το Β, τότε ΑM̂ Β = 1z. τεμνόμενες από την ΑΓ σχημα- Για το 2ο σχήμα, είναι τίζουν δύο εντός εναλλάξ γωνί- 3. Είναι ΟΜ = ΜΑ. y – x = l20°. Από Γ̂   =  ΓB̂ Δ ες ίσες. 4. i) Είναι: ΒΓ = 2ΑΜ = 2μ, ii) Το προκύπτει x + y = 260° οπότε 3. Αν τα ύψη ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ τέμνο- τρίγωνο ΑΔΜ κατασκευάζεται. νται στο Η, παρατηρήστε ότι x = 70° και y = 190°. τα τετράπλευρα ΒΖΗΔ, ΔΗΕΓ Σύνθετα Θέματα4. Eίναι: Δ͡ Γ = 95° και B͡ Ε = 45°. και ΒΖΕΓ είναι εγγράψιμα. 1. Το Μ είναι και μέσο του ΑΡ.5. Είναι ΒÔΓ = Ζ = 140° και 4. Αποδείξτε ότι K̂  + M̂  = 180°. 2. i) Το Α είναι τομή δύο γ.τ. ΟB̂ Γ = ΟΓ̂ Β = 20°. Γι’ αυτό λάβετε υπόψη ότι τα ii) Από το Α φέρουμε ΑΚ//ΒΝ τρίγωνα ΚΑΔ και ΜΒΓ είναι Επίσης ισοσκελή (ΚΛΜΝ είναι το τε- οπότε Β μέσο ΚΓ. =ΒMΜ̂ ΓΓ̂ =Β 1=1012°. τράπλευρο που σχηματίζεται). ΜB̂ Γ 70° = 35° 3. Το ΑΒΔ κατασκευάζεται, οπό- οπότε Σύνθετα Θέματα τε το Γ είναι στην τομή δύο γ.τ.6. Είναι y εξωτερική γωνία τριγώ- 1. Αποδείξτε ότι ΕÂΟ + ΑÊΔ = Γενικές Ασκήσεις 90° ή φέρτε την εφαπτόμενη νου. Σωστή η α). στο Α. 1. i) Αρκεί ΔÂΕ = 180°,7. Βλέπε «τόξο που δέχεται γνω- 2. Αρκεί ΕΔ̂ Ο = ΟÊΔ. Παρατηρή- ii) Αποδείξτε ότι δύο απέναντι στε ότι ΟΒΔΜ και ΟΜΓΕ εί- γωνίες είναι παραπληρωματικές, στή γωνία». ναι εγγράψιμα. iii) Είναι ΔM̂ Ε = 90°.Αποδεικτικές Ασκήσεις 3. Αν Δ, Ε, Ζ είναι οι προβολές1. Έστω Μ το μέσο του A͡ B. Για ενός σημείου Μ του περιγ/νου 2. Ο κύκλος Κ, 2δ , κύκλου στις ΒΓ, ΑΓ, ΑΒ αντί-  το ευθύ αποδείξτε ότι η εφα- στοιχα, αποδείξτε ότι: όπου δ = ΑΓ – ΑΒ και Κ το μέ- πτομένη στο Μ και η ΑΒ τε- μνόμενες από την MB, σχημα- ΖÊΜ + ΜÊΔ = 180° (παρατη- σο της ΒΓ. τίζουν δύο εντός εναλλάξ γω- ρήστε ότι τα ΜΖΑΕ, ΜΕΔΓ εί- νίες ίσες. Για το αντίστροφο ναι εγγράψιμα). 3. Προεκτείνουμε εκατέρωθεν τη αποδείξτε ότι ΜÂΒ = ΜB̂ Α . 4. Αποδείξτε ότι τα τρίγωνα ΒΔΖ ΒΓ. και ΓΔΕ είναι ίσα.2. Αποδείξτε ότι 4. Το Β ανήκει σε κύκλο ακτίνας ΑB̂ Γ + ΑB̂ Δ = 1z. §6.7 R 2 . Ασκήσεις Eμπέδωσης3. Αν η MP τέμνει την ΑΔ στο Ν, 5. Αρκεί Ê + Ĥ = 180°. δείξτε ότι: ΝP̂ Δ + ΡΔ̂ Α = 1z. 1. i) Μεσοπαράλληλη ii) Κύκλος με κέντρο το κέντρο της γης. 6. Βρείτε κατάλληλα εγγράψιμα4. Είναι η τομή δύο κατάλληλων τετράπλευρα. τόξων. 2. i) Ο κύκλος (Ο, R–ρ) ii) Ο κύ- κλος (Α, ρ). 7. Μια εξωτερική γωνία ισούταιΣύνθετα Θέματα με την απέναντι εσωτερική. 3. Η θέση του θησαυρού είναι κοι-1. Φέρτε την κοινή εσωτερική (ή νό σημείο της μεσοκαθέτου του 8. i) Η1Μ1Μ2Μ3 ισοσκελές τραπέ- ζιο. εξωτερική) εφαπτομένη και δείξτε ότι B̂  = Γ̂ . ii) Αποδείξτε ότι δύο απέναντι γωνίες είναι παραπληρωματι-2. Έστω Ζ, Η τα δεύτερα κοινά ση- κές. μεία των ΑΒ, ΑΓ με το μικρότε- iii) Προκύπτει με συνδυασμό ρο κύκλο. Αρκεί Δ μέσο Z͡ H. των i) και ii).3. Αποδείξτε ότι ΑΔ̂ Ρ = ΔÂΡ. 157

ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΟΡΩΝ ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΟΡΩΝΑ Διαγώνιος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Κατακορυφήν γωνίες . ............. 26 Διάκεντρος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Κατασκευή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Ακτίνα κύκλου .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Διάκεντρη ευθεία .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Κέντρο παραλληλογράμμου .. 103Άκρα ευθύγραμμου Διάμεσος τραπεζίου .............. 117 Κέντρο συμμετρίας ................. 20τμήματος .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Διάμεσος τριγώνου ................. 40 Κεντρική συμμετρία . .............. 56Αμβλεία γωνία .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Διάμετρος κύκλου ................... 29 Κλειστή τεθλασμένηΑμβλυγώνιο .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Διερεύνηση .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 γραμμή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Ανάλυση .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Διχοτόμος .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23, 40 Κοινή εφαπτομένηΑντιδιαμετρικό σημείο ............ 29 δύο κύκλων .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143Αντικείμενες ημιευθείες .......... 17 Ε Κοινή χορδή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Άξονας συμμετρίας ........... 24, 57 Κοινό μέτρο ευθύγραμμωνΑξίωμα .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Εγγεγραμμένη γωνία ............. 128 τμημάτων .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149Απαγωγή σε άτοπο .................. 24 Εγγεγραμμένος κύκλος ........... 85 Κορυφή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Απλή τεθλασμένη γραμμή . ..... 35 Εγγεγραμμένο τετράπλευρο .. 135 Κύκλος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Απόδειξη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Εγγράψιμο τετράπλευρο ....... 136 Κύρια στοιχεία .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Απόστημα .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Έγκεντρο .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Κυρτή γωνία .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Απόσταση σημείου ................. 20 Εξωτερική .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Κυρτή τεθλασμένη γραμμή ..... 36Αρχή ημιευθείας .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Εξωτερική γωνία .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Επίκεντρη γωνία .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ΛΒ Επίπεδο .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Επίπεδο σχήμα .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Λόγος ομοιότητας ................. 172Βάση .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Επιφάνεια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Βάσεις παραλληλογράμμου . . 103 Ευθεία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 ΜΒαρύκεντρο (κέντρο βάρους) Ευθεία γωνία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22τριγώνου .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Εφαπτομένη .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Μεσοκάθετος .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Εφεξής γωνίες .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Μεσοπαράλληλος .................. 111Γ Μέσο τόξου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Η Μέσο τμήματος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Γεωμετρική κατασκευή ........... 18 Μέτρο γωνίας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Γεωμετρικά όργανα . ............... 18 Ημιεπίπεδο................................ 21 Μέτρο τόξου .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Γεωμετρικός τόπος . ................ 28 Ημιευθεία.................................. 17 Μη κυρτή γωνία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Γραμμές .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10, 16 Ημικύκλιο................................. 31 Μη κυρτή τεθλασμένηΓωνία .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 γραμμή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Γωνία δύο κύκλων ................ 131 Θ Μηδενική γωνία .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Γωνία κυρτή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Μήκος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Γωνία δύο τεμνουσών ........... 130 Θεώρημα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Μοίρα .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Γωνία χορδής καιεφαπτομένης .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 I ΟΓωνίες εκτός .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Γωνίες εναλλάξ .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Ισόπλευρο τρίγωνο . ................ 40 Ομόκεντροι κύκλοι ................. 32Γωνίες εντός . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Ισόπλευρο .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Οξεία γωνία .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Γωνίες επί τα αυτά μέρη . ........ 80 Ισοσκελές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Οξυγώνιο .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Ορθογώνιο .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40, 105Δ Κ Ορθογώνιοι κύκλοι ............... 131 Ορθή γωνία .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Δευτερεύοντα στοιχεία . .......... 40 Κάθετη ευθεία .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Ορθόκεντρο τριγώνου ........... 113Διαβήτης .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Κάθετες πλευρές .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Κανόνας .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 159

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΠ Ρ Τετράπλευρο .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Τόξο κύκλου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Παρεγγεγραμμένος κύκλος ..... 86 Ρόμβος .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105, 106 Τραπέζιο .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102Παράκεντρο .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Τριγωνική ανισότητα .............. 60Παράλληλες ευθείες .......... 17, 80 Σ Τρίγωνο .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Παραλληλόγραμμο . .............. 102Παραπληρωματικές γωνίες . .... 26 Σημεία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10, 16 ΥΠεντάγωνο .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Σκαληνό τρίγωνο .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Περιγεγραμμένος κύκλος .85, 135 Συμπληρωματικές γωνίες ........ 25 Υποτείνουσα .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Περίμετρος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Συμμετρικό σημείο . ................ 20 Ύψος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41, 47Περίκεντρο .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Σχήμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Περιγεγραμμένο Φτετράπλευρο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 ΤΠεριγράψιμο τετράπλευρο .... 137 Φορέας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Περίκεντρο τριγώνου ............ 100 Τεθλασμένη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Πολύγωνο .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Τέμνουσα κύκλου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 ΧΠόρισμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Τέταρτη ανάλογος ................. 150Προβολή .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Τεταρτοκύκλιο .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Χορδή τόξου .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Τετράγωνο .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105, 107 Χώρος .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10160

ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΟΝΟΜΑΤΩΝΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΟΝΟΜΑΤΩΝΑ Ιμπν Σίνα (Abu Ali al-Husain ibn Abdallah ibn Sīnā, 980-1037).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Αβικέννα (Avicenna) Βλ. Ιμπν Σίνα ΚΑγάνης (Āghānis, περ. 5ος-6ος αι.)........................ 97 Κατάλντι Πιέτρο A. (Cataldi Ρ.Α., 1548-1626)....... 98αλ-Αμπχαρί ή αλ-Αμπαχρί (Athīr al-Dīn Αλ-Κιντί (Abu Yusuf Yaqub ibn Ishaq al-Abharī, πέθανε το 1263).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 al-Sabbah al-Kindi, περ. 801-873)...................... 97Αλφόνσο του Βαλλαντολίντ (Alfonso of Κλάβιος Χριστόφορος (Clavius Valladolid, 1270-1346).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 (Schlüssel), 1537-1612).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Αμοδέο Φ. (Amodeo F.).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149Αριστοτέλης ο Σταγειρίτης Λ (384-322 π.Χ.).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96, 147 Λάμπερτ Γιόχαν Χάινριχ (Lambert Johann Heinrich 1728-1777). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Β Λεζάντρ Αντριέν Μαρί (Legendre AdrienΒιτέλο (Vitelo, περ. 1225-1280)............................. 97 Marie, 1752-1833).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Γ Λομπατσέφσκι Νικολάι I. (Lobachevsky Nikolai I., 1793-1856). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Γερσωνίδης (Gersonides ή Levi ben Gerson, 1288-1344).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 ΜΓκούριεφ Σιμεόν Ε. (Gur’ ev S.E. 1764?-1813)......98 αλ-Μαγκριμπί (Muhyi lʹdin al-Maghribi,Γκρισογκόνο Φεντερίκ Μπ. (Grisogono περ. 1220-1283).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Federik Β., 1472-1538).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Μoνζ Γκασπάρ (Monge Gaspard, 1746-1818). ...... 13 Μπερτράν Λουί (Bertrand Louis, 1731-1812)........ 98Δ αλ-Μπιρουνί (Abu Arrayhan Muhammad ibnΔιόδωρος (1ος αι. π.Χ.). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Ahmad al-Bīrūnī, 973-περ. 1048)...................... 97 Μπόλυαϊ Γιάνος (Bolyai Janos,Ε 1802-1860).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Ευκλείδης (περ. 325-265 π.Χ.)................. 96, 98, 124 Μπόλυαϊ Φαρκάς (Bolyai Farkas, 1775-1856)....... 98 Μπορέλλι Τζιοβάνι ΑλφόνσοΗ (Borelli Giovanni Alfonso, 1608-1679). ............. 98Ήρων ο Αλεξανδρινός (περ. 10-75 μ.Χ.).............. 124 ΝΘ αλ-Ναϊριζί (Abuʹl Abbas al-Fadl ibn HatimΘαμπίτ Ιμπν Κούρρα (Al-Sabi Thābit ibn al-Nayrīzī, περ. 865-922).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Qurra al-Harrani, 826-901).............................. 96-7 αλ-Ναντίμ, Ιμπν (Muhammad ibn Ishāq ibnI Abī Ya‘qūb al-Nadīm, πέθανε το 993). ............... 96Ιμπν αλ Χαϊθάμ (Abu Ali al-Hasan ibn al Νασίρ αντ-Ντιν αλ Τουσί (Nașīr al-Dīn Haytham, περ. 965-1039). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 al-Ṭūsī, 1201-1274).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97-8 ντα Βίντσι βλ. Λεονάρντο ντα Βίντσι Ντεζάργκ Ζιράρ (Desargues Gérard, 1593-1662)... 13 161

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΝτεκάρτ Ρενέ ή Καρτέσιος (Descartes René, Σ 1596-1650).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Σακκέρι Τζιρόλαμο (Saccheri Girolamo,Ο 1667-1733).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Όυλερ Λεονάρντ (Euler Leonhard, Σιμπλίκιος (490-560).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 1707-1783) .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13, 98 αντ-Ντιν ασ-Σιράζι (S¯ adr ad-Din as-Shirazi,Ουώλλις Τζον (Wallis John, 1616-1703)................ 98 1236-1311). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Π ΤΠάππος (περ. 290-350 μ.Χ.). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 αλ-Τζαουχαρί (al-Abbas ibn Said al-Jawharī,Πασκάλ Μπλαιζ (Pascal Blaise, 1623-1662).......... 13 9ος αι.). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Πλάτων (429-348 π.Χ.).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141, 147Πονσελέ Βίκτωρ (Poncelet Victor, 1788-1867)...... 14 Τζορντάνο Βιτάλε (Giordano Vitale,Ποσειδώνιος ο Ρόδιος (135-51 π.Χ.)................ 96, 97 1633-1711) .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Πρόκλος (412-485).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97, 124Πτολεμαίος Κλαύδιος (περ. 85-165)...................... 97 Χ αλ-Χαγιάμ Ομάρ (al-Khayyām Omar, περ. 1050-1130).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96-8 αλ-Χαναφί (al-Hanafi, 1178-1258)......................... 97 αλ-Χουαρίζμι (Abu Jaʹfar Muhammad ibn Musa al-Khwārizmī, περίπου 780-850)............. 124162

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑΕΛΛΗΝΙΚΗ 1) Αλιμπινίση Α., Δημάκου Γ., κ.ά., Θεωρητική γεωμετρία Βʹ Λυκείου, ΟΕΔΒ. 2) F.G.-M., Ασκήσεις Γεωμετρίας (Ιησουϊτών), μετάφραση στα ελληνικά Δ. Γκιόκα, Εκδόσεις Καραββία, τόμοι 1-4, Αθήνα, 1952. 3) Ιωαννίδη I., Γεωμετρία, Εκδόσεις Κορφιάτη, τόμοι 1-12, Αθήναι, 1973. 4) Ιωαννίδη Ι., Επίπεδος Γεωμετρία, Εκδόσεις Π. Γρηγορόπουλου. 5) Κανέλλου Σ. Γ., Ευκλείδειος Γεωμετρία, ΟΕΔΒ, 1976. 6) Κισκύρα Ν.Α., Θεωρήματα και Προβλήματα Γεωμετρίας, 1957. 7) Νικολάου Ν., Θεωρητική Γεωμετρία, ΟΕΔΒ, 1973. 8) Νικολάου Ν., Μεγάλη Γεωμετρία, Αθήναι. 9) Ντάνη I., Γεωμετρία Τεύχη 1-2.10) Πάλλα Α., Μεγάλη Γεωμετρία.11) Πανάκη I. P., Γεωμετρία του Τριγώνου, Εκδόσεις Gutenberg.12) Παπαμιχαήλ Δ., Σκιαδά Α., Θεωρητική Γεωμετρία, ΟΕΔΒ.13) Παπανικολάου Γ., Θεωρητική Γεωμετρία, Αθήναι.14) Σταμάτη Ε., Ευκλείδεια Γεωμετρία, τόμοι I - III, ΟΕΣΒ, αρχαίο κείμενο και μετάφραση των Στοιχείων του Ευκλείδη, ΟΕΣΒ, Αθήνα, 1975.15) Τσαρούχη Χ., Θεωρήματα και Προβλήματα Γεωμετρίας, 1969.16) Τόγκα Π. Γ., Θεωρητική Γεωμετρία.17) Τόγκα Π. Γ., Ασκήσεις και Προβλήματα Γεωμετρίας.18) Τσίντσιφα Γ., Γεωμετρία, Εκδόσεις Σύγχρονου Βιβλιοπωλείου.ΞΕΝΗ 1) Berger Μ., Pansu P., Berry J., Saint-Raymond X., Problems in Geometry, Springer-Verlag, 1984. 2) Blumenthal L.M., A Modern View of Geometry, Dover, N.Y 1961. 3) Bonola R., Non-Euclidean Geometry, Dover, 1955. 4) Caronnet Th., Exercices de Geometrie, 8eme edition, Librairie Vuibert, 1-7 livres, Paris. 5) Coxeter H., Introduction to Geometry, Wiley & Sons Inc, N.Y. 1969. 6) Coxeter H. and Greitzer S., Geometry Revisited, MAA, 1975. 7) Dorrie H., 100 Great Problems of Elementary Mathematics, Dover Pub. Inc, N.Y., 1965. 8) Eves H., A survey of Geometry, Allyn of Bacon Inc, Boston, 1974. 9) Forder H., The Foundations of Euclidean Geometry, Dover, 1958.10) Hollinger Α., Problemes de Geometrie, Bucurest.11) Jacobs H., Geometry, W. H. Freeman & Co. 163

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ12) Knorr W.R., The Ancient Tradition of Geometric Problems, Dover, N.Y. 1986.13) Lebosse G., Hemery G., Geometrie, 1960.14) Ogilvy C.S., Excursions in Geometry, Dover Pub. Inc., N.Y. 1969.15) Posamentier Α., Salkid Ch., Challenging Problems in Geometry, Dover Pull. Inc., 1970.16) Sved M., Journey into Geometries, MAA, 1991.17) Tuller Α., Introduction to Geometries, Van Nostrand Reinhold, 1967.18) Yale P. B., Geometry and Symmetry, Dover Pub. Inc., N.Y., 1968.164

Βάσει του ν. 3966/2011 τα διδακτικά βιβλία του Δημοτικού,του Γυμνασίου, του Λυκείου, των ΕΠΑ.Λ. και των ΕΠΑ.Σ.τυπώνονται από το ΙΤΥΕ - ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ και διανέμονταιδωρεάν στα Δημόσια Σχολεία. Τα βιβλία μπορεί ναδιατίθενται προς πώληση, όταν φέρουν στη δεξιά κάτωγωνία του εμπροσθόφυλλου ένδειξη «ΔIΑΤΙΘΕΤΑΙ ΜΕΤΙΜΗ ΠΩΛΗΣΗΣ». Κάθε αντίτυπο που διατίθεται προςπώληση και δεν φέρει την παραπάνω ένδειξη θεωρείταικλεψίτυπο και ο παραβάτης διώκεται σύμφωνα με τιςδιατάξεις του άρθρου 7 του νόμου 1129 της 15/21 Μαρτίου1946 (ΦΕΚ 1946,108, Α').Απαγορεύεται η αναπαραγωγή οποιουδήποτε τμήματοςαυτού του βιβλίου, που καλύπτεται από δικαιώματα(copyright), ή η χρήση του σε οποιαδήποτε μορφή, χωρίςτη γραπτή άδεια του Υπουργείου Παιδείας, Έρευνας καιΘρησκευμάτων / IΤΥΕ - ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ.

Κωδικός βιβλίου: 0-22-0236 ISBN 978-960-06-5177-5(01) 000000 0 22 0236 5