Γ Γυμνασίου

www.mathschoolonline.org Επαναληπτικό διαγώνισμα στη Τριγωνομετρία Γ΄Γυμνασίου ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 10 Πώς ορίζονται με τη βοήθεια ενός ορθοκανονικούσυστήματος αξόνων οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας γωνίας ω ΑΠΑΝΤΗΣΗΈστω ένα σημείο Μ(χ,y) στο ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων χΟy και έστω ΜΟχ η γωνία που σχηματίζεται από την ΟΜ και τον άξονα χχ΄ www.mathschoolonline.org

www.mathschoolonline.org Ορίζω ημχ=y/ΟΜ συνχ=χ/ΟΜ εφχ=y/χ ΘΕΜΑ 20Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με ένα Σωστό ή ΛάθοςΑ) Αν η γωνία ω είναι οξεία, τότε είναι x>0, y>0, ρ>0, οπότε: ημω>0, συνω>0, εφω>0 ΑΠΑΝΤΗΣΗ Σωστό Β) Αν η γωνία ω είναι αμβλεία, τότε είναι x<0, y>0, ρ>0, οπότε: ημω>0, συνω<0, εφω<0 ΑΠΑΝΤΗΣΗ Σωστό Γ) Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Oxyπαίρνουμε το σημείο Μ(-4, 3). Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας ω = XôΜ είναι 1)ημω=3/5 www.mathschoolonline.org

www.mathschoolonline.org 2)συνω=4/5 3)εφω=3/4 ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1)Σ,2)Λ,3)ΛΔ) Για δύο παραπληρωματικές γωνίες ω και 180º − ω ισχύουν: 1)ημ(180-ω)=ημω 2)συν(180-ω)=-συνω 3)εφ(180-ω)=-εφω ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1)Σ,2)Σ,3)Σ ΘΕΜΑ 30 Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης Α = συν120º + ημ120º + συν120º Υπόδειξη Να γίνει χρήση της ιδιότητας των παραπληρωματικών αριθμών www.mathschoolonline.org

www.mathschoolonline.org ΑΠΑΝΤΗΣΗ Α=συν(1800-600)+ ημ(1800-600)+συν(1800-600) Α=-συν600+ ημ600- συν600 Α=-2συν600+ ημ600 Γνωρίζω όμως ημ600=√������/2 συν600=1/2 Επομένως Α=-2.(1/2)+ (√������/2) Α=-1+(√3/2) ΘΕΜΑ 40 1)Να γράψετε τις βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες 2) Αν για την αμβλεία γωνία ω ισχύει ημω =4/5 ,τότε να υπολογίσετε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω 3) Να αποδείξετε ότι: (ημω + συνω)2 + (ημω - συνω)2 = 2 www.mathschoolonline.org

www.mathschoolonline.org ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1) ημ2ω+συν2ω=1 εφω =ημω/συνω2)Θέτω στη σχέση ημ2ω+συν2ω=1 , ημω =4/5 Οπότε έχω(4/5)2+ συν2ω=1-> συν2ω=1-(4/5)2-> συν2ω=1- (16/25)-> συν2ω=(25/25)-(16/25)-> συν2ω=(9/25)-> συνω=3/5Θέτω στη σχέση εφω =ημω/συνω ημω =4/5 και συνω=3/5 Επομένως 4εφω =5 =4 → εφω =4 3 3 3 5www.mathschoolonline.org

www.mathschoolonline.org 2)Κάνω τις πράξεις στο 1ο μέλος και έχω (ημω + συνω)2 + (ημω - συνω)2=ημ2ω+2 ημω.συνω + συν2ω + ημ2ω-2 ημω.συνω + συν2ω= 2 ημ2ω + 2 συν2ω=2(ημ2ω + συν2ω)=2.1=2 Επομένως (ημω + συνω)2 + (ημω - συνω)2=2 Καλή επιτυχία ! www.mathschoolonline.org