Διαγράμματα Στατιστικής

www.mathschool-online.com ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΡΑΒΔΟΓΡΑΜΜΑΧρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών Απασχ/ληση Συχνότητα Σχ.συχνότητα Σχ.συχνότηταi xi νi fi %1 Διασκέδαση 18 0,45 452 Τηλεόραση 12 0,3 303 Αθλητισμός 5 0,125 12,5 4 Η/Υ 3 0,075 7,5 5 5 Άλλο 2 0,05Σύνολο 100 40 1 www.mathschool-online.com μιας ποιοτικής μεταβλητής. www.mathschool-online.com 1

www.mathschool-online.com ΠαράδειγμαΓια ένα δείγμα 40 μαθητών μιάς σχολικής τάξης έχουμε τον παρακάτω πίνακα κατανομής συχνοτήτων για τη μεταβλητή Χ: απασχόληση των μαθητών μιας τάξης στον ελεύθερο χρόνο. Τα αντίστοιχα ραβδογράμματα συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων είναι τα επόμενα 18 18 ΡΑΒΔΟΓΡΑΜΜΑ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 16 12 www.mathschool-online.com 14 12 5 10 32 8 Συχνότητα 6 18 4 12 2 5 0 3 2ΔιασκέδασηΤηλεόρασηΑθλητισμόςΗ/ΥΆλλο www.mathschool-online.com 2

www.mathschool-online.com 45 45 ΡΑΒΔΟΓΡΑΜΜΑ ΣΧΕΤΙΚΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 40 30 www.mathschool-online.com 35 30 12,5 25 7,5 20 5 15 10 Σχετική Συχνότητα % 5 0 45 30Διασκέδαση 12,5Τηλεόραση 7,5Αθλητισμός 5Η/ΥΆλλο www.mathschool-online.com 3

www.mathschool-online.com ΚΥΚΛΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΑν συμβολίσουμε με αi το αντίστοιχο τόξο του κυκλικούτμήματος στο κυκλικό διάγραμμα ,έχουμεαi = , 360 0 fi , , οπότε:i= 1 2,3, ... ,κ(Αναφορικά με το προηγούμενο παράδειγμα) Σχετική συχνότητα % www.mathschool-online.comΔιασκέδαση Τηλεόραση Αθλητισμός Η/Υ Άλλο 12%8%5% 45% 30%www.mathschool-online.com 4

www.mathschool-online.com Απασχ/ληση Σχ.συχνότητα αi = 360 0 fii xi fi%1 Διασκέδαση 45 162 02 Τηλεόραση 30 108 03 Αθλητισμός 12,5 45 04 Η/Υ 7,5 27 0 5 Άλλο 5 18 0Σύνολο 100 360 0 www.mathschool-online.com ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝΤο ιστόγραμμα συχνοτήτων είναι η γραφική παράστασηενός πίνακα συχνοτήτων μα ομαδοποιημένα δεδομένα.Στον οριζόντιο άξονα σημειώνουμε τα όρια των κλάσεων και στη συνέχεια κατασκευάζουμε ορθογώνια που η www.mathschool-online.com 5

www.mathschool-online.com βάση τους β είναι ίση με το πλάτος c της κλάσης και το ύψος τους υ i είναι τέτοιο ώστε Ε i = β.υi = ν i όπου β = c το πλάτος της κλάσης. Εάν οι κλάσεις είναι ίσου πλάτους τότε το πλάτος θεωρείται ως μονάδα μέτρησης στον οριζόντιο άξονα,ενώ το ύψος κάθε ορθογωνίου είναι ίσο με τη συχνότητα της αντίστοιχης κλάσης. Επομένως Στον κατακόρυφο άξονα του ιστογράμματος παριστάνονται οι συχνότητες. ΠΟΛΥΓΩΝΟ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ Εάν στο ιστόγραμμα συχνοτήτων θεωρήσουμε δυο ακόμη υποθετικές κλάσεις ,στην αρχή και το τέλος,συχνότητας μηδέν, και στη συνέχεια ενώσουμε τα μέσα των άνω βάσεων των ορθογωνίων,δηλαδή τα σημεία( )x i , ν i , όπου x i η κεντρική τιμή της κλάσης i και www.mathschool-online.com 6

www.mathschool-online.com ν i η αντίστοιχη συχνότητά της, τότε η γραμμή που προκύπτει ονομάζεται πολύγωνο συχνοτήτων. Παράδειγμα Δίνεται ο πίνακας των ομαδοποιημένων παρατηρήσεωντης μεταβλητής Χ: Μέγιστη θερμοκρασία μιας πόλης στη διάρκεια μιας ημέρας.Θερμοκρασία Συχν. Αθροιστική Σχετική Αθροιστικήσε βαθμούς συχνότητα συχνότητα Σχ. Συχν.Κελσίου fi % Fi % νi Νi[ 20 , 22 ) 3 3 5 5[ 22 , 24 ) 9 12 15 20[ 24 , 26 ) 70[ 26 , 28 ) 30 42 50 95[ 28 , 30) 100 Σύνολο 15 57 25 3 60 5 60 100 www.mathschool-online.com www.mathschool-online.com 7

www.mathschool-online.comΚλάση i Κεντρική τιμή της κλάσης i αρχ.τιμή κλάσης + τελ . τιμή κλάσης 2[ 20 , 22 ) 21[ 22 , 24 ) 23[ 24 , 26 ) 25[ 26 , 28 ) 27[ 28 , 30 ) 29 www.mathschool-online.com3530 Iστόγραμμα συχνοτήτων www.mathschool-online.com2520151050 [20,22) [22,24) [24,26) [26,28) [28,30) www.mathschool-online.com 8

www.mathschool-online.com Για τη κατασκευή του πολυγώνου συχνοτήτωνχρειάστηκαν οι κεντρικές τιμές των κλάσεων εφόσον οι κορυφές του πολυγώνου είναι τα σημεία με συντεταγμένες (xi,νi) Πολύγωνο συχνοτήτων www.mathschool-online.com35302520151050 [22,24) [24,26) [26,28) [28,30) [20,22) Κλάσεις Κεντρική τιμή των κλάσεων xi [20,22) (20+22)/2 =21 [22,24) (22+24)/2 =23 [24,26) (24+26)/2 =25 [26,28) (26+28)/2 =27 [28,30) (28+30)/2 =29 www.mathschool-online.com www.mathschool-online.com 9

www.mathschool-online.com Kορυφές πολυγώνου συχνοτήτων (xi,νi) (21,3) (23,9) (25,30) (27,15) (29,3) www.mathschool-online.com ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΚΑΙ ΠΟΛΥΓΩΝΟ ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ (ΚΑΙ ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΚΑΙ ΠΟΛΥΓΩΝΟ ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ % )Το ιστόγραμμα αθροιστικών συχνοτήτων κατασκευάζεται ανάλογα μα εκείνο των συχνοτήτων.Το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων σχηματίζεται εάν ενώσουμε τα δεξιά άκρα των άνω βάσεων των ορθογωνίων. www.mathschool-online.com 10

www.mathschool-online.com ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΚΑΙ ΠΟΛΥΓΩΝΟ ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΩΝ ΣΧΕΤΙΚΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ (ΚΑΙ ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΚΑΙ ΠΟΛΥΓΩΝΟΑΘΡΟΙΣΤΙΚΩΝ ΣΧΕΤΙΚΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ %) Το ιστόγραμμα αθροιστικών ΣΧΕΤΙΚΩΝ συχνοτήτωνκατασκευάζεται ανάλογα μα εκείνο των συχνοτήτων. Το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτωνσχηματίζεται εάν ενώσουμε τα δεξιά άκρα των άνω βάσεων των ορθογωνίων. Iστόγραμμα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων % www.mathschool-online.com 120 100 80 60 40 20 0 [20,22) [22,24) [24,26) [26,28) [28,30) www.mathschool-online.com 11

www.mathschool-online.com Πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων % www.mathschool-online.com120100806040200 [22,24) [24,26) [26,28) [28,30) [20,22) Kορυφές πολυγώνου σχ. αθρ. συχνοτήτων % (xi,Fi %) (22,5%) (24,20%) (26,70%) (28,95%) (30,100%) www.mathschool-online.com www.mathschool-online.com 12