Η έννοια της συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΊΑΣΤΑΤΙΣΤΙΚΉΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ Διαφορικός Λογισμός 1.Η Έννοια της Συνάρτησης Ορισμός, Πεδίο ορισμού, Όρια 2.Εφαρμογές των Παραγώγων Ορισμός, ιδιότητες των παραγώγων1.ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ2.ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ3.ΜΕΘΟΔΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΟΥΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ4.ΓΡΑΦΗΜΑΤΑΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

H ENNOIA THΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣια να έχω συνάρτηση f : y  f (x) πρέπει να έχω :1oν Ένα σύνολο από το οποίο παίρνει τιμέςτο x , δηλαδή το π.ο .2ον Ένα σύνολο από το οποίο παίρνει τιμέςτο y , δηλαδή το π.τ .3ον Τον αλγόριθμο της συνάρτησης fπ . χ , f (x)  2x 1 , π.ο = R , π.τ = R

H ENNOIA THΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣπ.ο = A ο αλγόριθμος της f : π.τ = Β y  f (x) 1/ 2 0 2κ.λ.π 1 1 1 κ.λ.π ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 3  1O μηχανισμός της συνάρτησης έχει ως εξής :Σε κάθε x του π.ο αντιστοιχίζω ένα και μόνο y.Δηλαδή , για κάθε x υπάρχει ένα μόνο y.Π.χ , f (x)  2x 1 , π.ο : A = R , π.τ : B = Rx: 0 1 1 1 κ.λ.πy: 1 3 1 2 2

Πεδίο ορισμού της ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗσυνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΓια να βρω το π.ο μιας συνάρτησης εξετάζω εάνυπάρχουν περιορισμοί έτσι ώστε να είναι καλώςορισμένη η συνάρτηση. Για παράδειγμα , η συνάρ-τηση f (x)  1 x2 για να είναι καλώς ορισμένη πρέπει η υπόριζη ποσότητα 1 x2 να είναι θετικήή ίση με το μηδέν (όπως έχει ορισθεί η τετραγωνικήρίζα θετικού αριθμού).Επομένως , πρέπει 1 x2  0 1 x1 x  0  1  x  1. Άρα το π.ο της fείναι τα πραγματικά x που ανήκουν στο 1,1.

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 5. ΣΕΛ. 17 ,ΣΧ.ΒΙΒΛΙΟΥΠαραδείγματα5. f (x)  2x ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (x -1)(x - 2) f ορίζεται σε όλο το R εκτός από τις τιμέςεκείνες για τις οποίες μηδενίζεται ο παρονο-μαστής. Πρέπει λοιπόν να θέσω το περιορισμό(x -1)(x - 2)  0  x  1 x2Επομένως το π.ο της f είναι το R-{1,2}

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 7. ΣΕΛ. 17 ,ΣΧ.ΒΙΒΛΙΟΥ ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΈστω η συνάρτηση f (x)  3x2  2x 1 και ηg(x)  2x 1 , θέλω να βρω τη συνάρτησηf (x)  g(x). Το πρώτο που πρέπει να βρω είναιπου ορίζεται η συνάρτηση,δηλαδή το πεδίο ορισμούκαι στη συνέχεια να υπολογίσω το τύπο της συνάρ.f  x  g  x. Eπομένως , έχω : π.ο , f : R , π.ο ,g : R , άρα π.ο της f  g : R. Δεύτερον , βρίσκωτο τύπο της f  g . Έχω : f  x  g  x  3x2  2x 1  2x 1  3x2  2

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΤΗΣ ΛΥΣΗΣ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 7. ΣΕΛ. ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ17 ,ΣΧ.ΒΙΒΛΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΈστω η συνάρτηση f (x)  3x2  2x 1 και ηg(x)  2x 1 , θέλω να βρω τη συνάρτησηf (x).g(x). Το πρώτο που πρέπει να βρω είναιπου ορίζεται η συνάρτηση ,δηλαδή το πεδίο ορισμούκαι στη συνέχεια να υπολογίσω το τύπο της συνάρ.f  x g  x. Eπομένως έχω : π.ο , f : R , π.ο , g : R ,άρα π.ο της f .g : R. Δεύτερον , βρίσκω το τύπο τηςf .g . Έχω : f  x g  x  3x2  2x 12x 1 6x3  4x  2x  3x2  2x 1  6x3  3x2  4x 1

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΤΗΣ ΛΥΣΗΣ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 7. ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗΣΕΛ. 17 ,ΣΧ.ΒΙΒΛΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΈστω η συνάρτηση f (x)  3x2  2x 1 και η g(x)  2x 1 , θέλω να βρω τη συνάρτηση f (x) . Για να ορίζεται το κλάσμα πρέπει ο παρονο- g(x)μαστής να μην είναι μηδέν. Επομένως 2x 1  0 x  1 . Άρα το π.ο της f (x) είναι το : R {1}, 2 g(x) 2 και ο τύπος είναι ο εξής : f (x)  3x2  2x 1 g(x) 2x 1

ΓΕΝΙΚΑ ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΈστω ότι το π.ο της f είναι το Α και της g το Β.Για να ορίζονται τα π.ο των f  g, f - g, f .g, f / g,πρέπει να υπάρχει το Α  Β, δηλαδή τα Α και Β ναέχουν κοινό ή κοινά στοιχεία. Τότε ορίζονται τα π.οτων f  g , f - g , f .g , f / g, και είναι το Α  Β.Επιπλέον για την f / g πρέπει το g(x)  0. Δηλ.το π.ο της f/g είναι τα x  A  B για τα οποία g(x)  0

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ –ΑΣΚΗΣΗ 9 ΣΕΛ.18,ΣΧ.Βi) lim x 2  4  . Eπειδή δεν μπορώ να θέσω το -2  2 x2 3 xστο παρονομαστή διότι μηδενίζεται , παραγοντοποιώ ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣτον αριθμητή και έχω : x2 4   x  2x  2  3x  2 3x  2x  2 Επομένως lim x2 4  lim  x  2  3 . x2 3x  2 x2 32  2  0 3

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ –ΑΣΚΗΣΗ 9 ΣΕΛ.18,ΣΧ.Βii) lim 5 x2 1 . Eπειδή δεν μπορώ να θέσω το - 1 x2  x1στο παρονομαστή διότι μηδενίζεται ,προσθέτω ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣκαι αφαιρώ από το παρονομαστή το 2x γιανα δημιουργήσω τη ταυτ /τα (x 1)2. Eπομένωςέχω : 5x2  5x2  5x2 x2 1 x2 1 2x  2x x2  2x 1 2x 5x2   5x  . Eπομένως  x 12  2x x  12 2lim 5x2  lim 5x  5  5 x2 1 02 2x1 x1  x 12  2

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ –ΑΣΚΗΣΗ 9 ΣΕΛ.18,ΣΧ.Βiii) lim[ x 1 x].Yπάρχουν τα όρια των  x 1 x0και  x , επομένως μπορώ να εφαρμόσω τηνπαρακάτω ιδιότητα : ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣlim [ x 1 x]  lim  x 1.lim x  1. 0x0 x0 x0 1.1  1. Oι ασκήσεις iv),v),vi) λύνονται με παρα-γοντοποίηση των αριθμητών με το τρόπο που πε-ριγράφεται στην άσκηση i). Mπορείς να τις λύσειςγια να εξασκηθείς. Εάν υπάρχει δυσκολία είμαιστη διαθεσή σου. Καλή επιτυχία !

y C H ENNOIA THΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥf (x0+h) Μf (x0) Α ε Ο Μ ωφ Γ x0 x0+h x ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗΈστω f μια συνάρτηση και ένα σημείο Α της γρα- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣφικής της παράστασης C. Παίρνουμε και ένα άλ-λο σημείο M ( x0  h , f (x0  h) ) της C με h  0.Παρατηρούμε ότι καθώς το Μ κινούμενο πάνωστη C πλησιάζει το Α, όταν δηλαδή h  0 τότεη ευθεία  φαίνεται να παίρνει μια οριακή θέσηη οποία λέγεται εφαπτομένη της C στο Α. Από τοσχήμα έχουμε ότι ο συντελεστής διεύθυνσης τηςΑΜ είναι : εφφ  MΓ  f (x0  h)  f (x0 ) AΓ h

y Cf (x0+h) Μf (x0) Α ε ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ Ο Μ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ωφ Γ x0 x0+h xΑπό το σχήμα έχουμε ότι ο συντελεστής διεύθυνσηςτης ΑΜ είναι : εφφ  MΓ  f (x0  h)  f (x0 ) AΓ hοπότε ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένηςε της C στο Α θα είναι : εφω  lim f (x0  h)  f (x0 ) h0 h

y Cf (x0+h) Μf (x0) Α ε ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ Ο Μ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ωφ Γ x0 x0+h xΑν το όριο lim f (x0  h)  f (x0 ) , υπάρχει και είναι h0 hπραγματικός αριθμός, τότε λέμε ότι η f είναι παρα-γωγίσιμη στο σημείο x0 του πεδίου ορισμού της.Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο x0,συμβολίζεται με f (x0 ) και ισούται :f (x0 )  lim f ( x0  h)  f (x0 ) h0 h

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΘέλουμε να υπολογίσουμε την παράγωγο τηςσυνάρτησης f (x)  3x2, π.ο: R, στο σημείο x0 = 4 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗEργαζόμαστε ως εξής: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣf (x0  h)  f (x0 )  f (4  h)  f (4)  3(4  h)2  3 42  3(42  8h  h2  42 ) 3h(8  h). Eπομένως : f (x0  h)  f (x0 )  hf (4  h)  f (4)  3h(8  h)  24  3h. Άρα hhlim f (x0  h)  f (x0 )  lim f (4  h)  f (4)h0 h h0 h lim 24  3h  24  f (4)  24 h0

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΔίνεται η συνάρτηση f (x)  3 .i Να βρεθεί η f (3). xii Να βρεθεί η εξίσωσητης εφαπτομένης της καμπύ-λης της f στο σημείο της M(3, f (3)) και να σχε-διαστεί η εφαπτομένη αυτή.Λύσηπ.ο , f : R-{0}(i) f (3  h)  f (3)  3  3  3  3  h   h , 3h 3 3h 3hh0

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΤΟΥ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΟΥΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΟΣf (3  h)  f (3)  h  h  1 3h h h h(3  h) 3  h ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΕπομένως f (3)  lim f (3  h)  f (3)  h0 hlim   3 1 h    1 . (ii) Η εφαπτομένη της    3h0καμπύλης της f στο σημείο της με x0  3έχει συντελεστή διεύθυνσης ίσο με f (3).Επομένως, η εξίσωση της είναι y  ax   y  1 x . 3

y y 3 xy   1 x 2  3 3 1x O 123456Επειδή όμως το σημείο Μ (3, f (3))  (3, 1) ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣανήκει στην εφαπτομένη , η y   1 x   3γίνεται: 1   1 3    1  1     2. 3Άρα, η εξίσωση της εφαπτομένης είναι :y  1 x2 3

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝ/ΣΗΣ ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΈστω μια συνάρτηση f με π.o το Α και Ατο σύνολο των x  A στα οποία η f είναιπαραγωγίσιμη. Τότε ορίζεται μια νέα συνάρ-τηση,με την οποία κάθε x  Α αντιστοιχίζεταιστο f (x)  lim f (x  h)  f (x) . Η συνάρτηση h0 hαυτή λέγεται πρώτη παράγωγος της f καισυμβολίζεται με f . Για παράδειγμα, ανf (x)  3x2 , π.ο : R , έχουμε:f (x  h)  f (x)  3(x  h)2  3x2 3(x2  2xh  h2  x2 )  3h(2x  h) f (x  h)  f (x)  3h(2x  h)  6x  3h hhΕπομένως , f (x)  lim(6x  3h)  6x, π.ο , f  : R h0

ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΚΑΙ ΚΑΝΟΝΕΣΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ1.(c)  0, 2.(x)  1, 3. (xρ )  ρxρ1, 4. ( x)  1 , ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ 2x ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ5. (ημx)  συνx , 6. (συνx)  ημx , 7. (ex )  ex,8. ( nx)  1 . xα) (cf (x))  cf (x),β) ( f (x)  g(x))  f (x)  g(x)γ) ( f (x)g(x))  f (x)g(x)  f (x)g(x)  f (x) ΄ f (x)g(x)  f (x)g(x)  ( g ( x))2δ)  g(x)   ε)  f (g(x))  f (g(x))  g(x)

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ1.Να υπολογιστεί η παράγωγος της συνάρτησηςf (x)  εφx. Έχουμε f (x)  (εφx)   ημx   ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ  συνx  ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ( ημ x)συνx  ημx(συνx)  συν2x  ημ2x  1 συν2 x συν2 x συν2 x (εφx)  1 συν2 x

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ2. Να υπολογιστεί η παράγωγος τηςσυνάρτησης f (x)  ημ23x. Έχουμε :f (x)  [(ημ3x)2 ]  2  ημ3x  (ημ3x) 2  ημ3x  συν3x  (3x)  3 2ημ3x  συν3x 3 ημ(2 3x)  3ημ6x. Εδώ χρησιμο-ποιήθηκε ο τύπος  f (g(x))  f (g(x))  g(x)Αναλυτικότερα :

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣAναλυτικότερα [(ημ3x)2 ]  [( f  g(x) )2 ]΄ =2. f  g (x) .g΄(x) = 2  ημ3x  (ημ3x).Εφαρμόζω ξανά τον τύπο  f (g(x)) f (g(x))  g(x) για το (ημ3x)   f (g(x)) (ημ3x).(3x)΄  συν3x  (3x)  3.συν3xΕπομένως [(ημ3x)2 ]  3 2ημ3x  συν3xκαι με εφαρμογή του τριγων. τύπου ημ2 2ημ συν τελικά έχω [(ημ3x)2 ]  3ημ6x