Μαθηματικά γενικής παιδείας τρίτης λυκείου διαφορικός λογισμός

Διαφορικός λογισμός / Κουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης 1Στέλλα Σερεμετάκη,Μαθηματικός,MSc in Pure Mathematicshttp://www.mathschoolonline.org/Διαφορικός λογισμός : Η έννοια της συνάρτησης / Πεδίο ορισμούσυνάρτησηςΠαρουσίαση βασικών σημείων της θεωρίας με παραδείγματαΟρισμός συνάρτησηςΣυνάρτηση (function) είναι μια διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο χενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σεένα ακριβώς στοιχείο κάποιου y άλλου συνόλου ΒΠεδίο ορισμού συνάρτησηςΤο σύνολο Α όπου παίρνει τιμές το χ ονομάζεται π.οΠεδίο τιμών συνάρτησηςΤο σύνολο Β όπου παίρνει τιμές το y ονομάζεται π.τΤύπος (αλγόριθμος) της συνάρτησης f(x)=yείναι η σχέση που συνδέει το χ με το yΠαράδειγμαΔίνεται η συνάρτηση με τύπο : f(x)=χ+1με πεδίο ορισμού το σύνολο Α={1,2,3}Εύρεση του πεδίου τιμών της συνάρτησηςΓια χ=1 , f(1)=1+1=2

Διαφορικός λογισμός / Κουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης 2Στέλλα Σερεμετάκη,Μαθηματικός,MSc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/Για χ=2 , f(1)=2+1=3Για χ=3 , f(1)=3+1=4Επομένως το πεδίο τιμών είναι το Β={2,3,4}ΓενικάΓια την εύρεση του πεδίου ορισμού της συνάρτησης πρέπει να λάβουμευπόψην μας κάποιους περιορισμούςΠαράδειγμαΗ συνάρτησηoρίζεται όταν τοΕπομένως το π.ο της συνάρτησης είναι ταΔηλαδή π.ο :ΠαράδειγμαΗ συνάρτησηoρίζεται όταν τοΕπομένως το π.ο της συνάρτησης είναι τα

Διαφορικός λογισμός / Κουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης 3Στέλλα Σερεμετάκη,Μαθηματικός,MSc in Pure Mathematicshttp://www.mathschoolonline.org/Δηλαδή π.ο :ΠαράδειγμαΗ συνάρτηση f(x)=lnx , ορίζεται όταν χ>0Επομένως π.ο :Aν μια συνάρτηση έχει τύπο που είναι συνδιασμός των προηγούμενωνπεριπτώσεων τότε βρίσκουμε ταγια τα οποία κάθε παράσταση χωριστά έχει νόημα πραγματικού αριθμούκαι συναληθεύουμε τα συμπεράσματά μαςΠαράδειγμαΝα βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησηςΠαρατηρούμε ότι ο τύπος της συνάρτησης f είναι κλάσμα του οποίου οαριθμητής είναι ρίζαΕπομένως θα βρούμε πρώτα ταγια τα οποία έχει νόημα το κλάσμα και στη συνέχεια ταγια τα οποία έχει νόημα η ρίζαΕπομένως το κλάσμαέχει νόημα πραγματικού αριθμού όταν

Διαφορικός λογισμός / Κουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης 4Στέλλα Σερεμετάκη,Μαθηματικός,MSc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/και η ρίζα έχει νόημα πραγματικού αριθμού ότανEπομένως η συνάρτηση f ορίζεται όταν καιΆρα π.ο :Δηλαδή , π.ο :Όριο- Συνέχεια συνάρτησηςΟ συμβολισμόςεκφράζει το γεγονός ότι όταν οι τιμές της μεταβλητής χ προσεγγίζουν τονπραγματικό αριθμό χ0 τότε οι τιμές της συνάρτησης f προσεγγίζουν τονπραγματικό αριθμό l.Ο συμβολισμόςδιαβάζεται \"τό όριο της f στο σημείο χ0 είναι το l\"Πράξεις με συναρτήσεις - ΣυστηματοποίησηΣυνάρτηση Πεδίο ορισμού Τύπος f(x)

Διαφορικός λογισμός / Κουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης 5Στέλλα Σερεμετάκη,Μαθηματικός,MSc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/ΠαράδειγμαΔίνονται οι συναρτήσειςκαιΤο πεδίο οριμού τηςείναι τοκαι το πεδίο οριμού τηςείναι τοTo πεδίο ορισμού της συνάρτησηςείναι το

Διαφορικός λογισμός / Κουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης 6 Στέλλα Σερεμετάκη,Μαθηματικός,MSc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/ΌμωςΕπιπλέον πρέπει τοΕπομένως το πεδίο ορισμού τηςείναι ταΚουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησηςΕρώτηση 1ηΝα βρεθεί το π.ο της συνάρτησηςΕπιλογή μίας απάντησης. a. το π.ο της συνάρτησης είναι τα πραγματικά χ για τα οποία χ<1 b. π.ο της συνάρτησης είναι τα πραγματικά χ τα οποία είναι μικρότερα ή ίσα της μονάδαςΕρώτηση 2ηNα βρεθεί το π.ο της συνάρτησης

Διαφορικός λογισμός / Κουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης 7 Στέλλα Σερεμετάκη,Μαθηματικός,MSc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/Επιλογή μίας απάντησης. a. το π.ο είναι το R b. το π.ο είναι το R-{1}Ερώτηση 3ηNα βρεθεί το π.ο της συνάρτησηςΕπιλογή μίας απάντησης. a. το π.ο είναι το R-{2} b. το π.ο είναι το RΕρώτηση 4ηΠότε μια διαδικασία μεταξύ των στοιχείων δύο συνόλων Α και Β λέγεταισυνάρτηση;Επιλογή μίας απάντησης. a. H διαδικασία ονομάζεται συνάρτηση όταν σε κάθε στοιχείο χ του συνόλου Α αντιστοιχεί ένα στοιχείο y του συνόλου Β b. H διαδικασία ονομάζεται συνάρτηση όταν σε κάθε στοιχείο χ του συνόλου Α αντιστοιχεί ένα μόνο στοιχείο y του συνόλου ΒΕρώτηση 5ηΠότε μια συνάρτησηf : A->B λέγεται πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής;Επιλογή μίας απάντησης. a. όταν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι υποσύνολo του R b. όταν το πεδίο ορισμού και το πεδίο τιμών της συνάρτησης είναι υποσύνολα του RΕρώτηση 6ηΤί εκφράζει καθένα από τα σύμβολα που εμφανίζονται στη σχέση f(x)=y;

Διαφορικός λογισμός / Κουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης 8Στέλλα Σερεμετάκη,Μαθηματικός,MSc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/To x εκφράζει τη μεταβλητή που διατρέχει το π.ο της συνάρτησης , το yεκφράζει την αντίστοιχη τιμή που παίρνει η συνάρτηση και η σχέσηf(x)=y εκφράζει τη σχέση που συνδέει τα χ και yΑπάντηση: Σωστό ΛάθοςΕρώτηση 7ηTo παρακάτω διάγραμμα παριστάνει συνάρτηση ;Επιλογή μίας απάντησης. a. όχι b. ναιΕρώτηση 8ηΚάθε διαδικασία μεταξύ των στοιχείων δύο συνόλων είναι συνάρτησηΑπάντηση: Σωστό ΛάθοςΕρώτηση 9ηΑν α και β είναι δύο στοιχεία του π.ο μιας συνάρτησης f με f(α) = f(β)τότε θα είναι πάντα α=βΑπάντηση: Σωστό ΛάθοςΕρώτηση 10ηΌταν θα μας δίνεται μια συνάρτηση πριν κάνουμε οτιδήποτε άλλο θαβρίσκουμε το πεδίο ορισμού τηςΑπάντηση: Σωστό ΛάθοςΕρώτηση 11ηΝα απαντήσετε με ένα ῾Σ῾ ἠ῾Λ῾

Διαφορικός λογισμός / Κουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης 9 Στέλλα Σερεμετάκη,Μαθηματικός,MSc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/3η ερώτηση1η ερώτηση2η ερώτησηΕρώτηση 12ηΝα βρεθεί το όριοΛύσηΗ συνάρτησηoρίζεται ότανΠαρατηρούμε ότι τα όρια του αριθμητή και του παρονομαστή γιαείναι μηδένΈχουμε επομένως απροσδιόριστη μορφήΠαραγοντοποιούμε τον τύπο της συνάρτησηςΑπλοποιούμε

Διαφορικός λογισμός / Κουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης 10 Στέλλα Σερεμετάκη,Μαθηματικός,MSc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/EπομένωςΑπάντηση: Σωστό ΛάθοςΕρώτηση 13ηTo όριο της συνάρτησηςστο σημείοείναιΕπιλογή μίας απάντησης. a. 1 b. 4/5Ερώτηση 14ηΣυνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β είναι μια διαδικασία με τηνοποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώςστοιχείο του συνόλου ΒΓράφουμε τότεμεΤο Α ονομάζεται πεδίο ορισμού της συνάρτησης και το Β πεδίο τιμών

Διαφορικός λογισμός / Κουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης 11 Στέλλα Σερεμετάκη,Μαθηματικός,MSc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/Απάντηση: Σωστό ΛάθοςΕρώτηση 15ηΜια συνάρτηση f:A->B , με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β ,ονομάζεται πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής ανΕπιλογή μίας απάντησης. a. τα σύνολα Α και Β είναι υποσύνολα του R b. τα σύνολα A και Β ταυτίζονται με το RΕρώτηση 16ηΓια να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης με γνωστό τύποθέτουμε τον εξής περιορισμούς:1.Οι παρονομαστές αν υπάρχουν να είναι διαφορετικοί από το μηδέν2.Τα υπόρριζα αν υπάρχουν πρέπει να είναι μεγαλύτερα ή ίσα από τομηδέν3.Όπου συναντάμε παράσταση της μορφήςήαπαιτούμε4.Όπου συναντάμε παράσταση της μορφήςαπαιτούμε

Διαφορικός λογισμός / Κουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης 12 Στέλλα Σερεμετάκη,Μαθηματικός,MSc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/5.Όπου συναντάμε παράσταση της μορφήςαπαιτούμε6.Αν μια συνάρτηση έχει τύπο που είναι συνδιασμός των προηγούμενωνπεριπτώσεωντότε βρίσκουμε ταγια τα οποία κάθε παράσταση χωριστά έχει νόημα πραγματικού αριθμούκαι συναληθεύουμε τα συμπεράσματά μαςΑπάντηση: Σωστό ΛάθοςΕρώτηση 17ηTο πεδίο πρισμού της συνάρτησηςείναιΕπιλογή μίας απάντησης. a. όλα τα χ που ανήκουν στο σύνολο των πραγματικών αριθμών και είναι μεγαλύτερα ή ίσα του πραγματικού αριθμού 3 b. το σύνολο των πραγματικών αριθμώνΕρώτηση 18ηTo πεδίο ορισμού της συνάρτησηςείναι

Διαφορικός λογισμός / Κουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης 13 Στέλλα Σερεμετάκη,Μαθηματικός,MSc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/Επιλογή μίας απάντησης. a. τα χ που ανήκουν στο σύνολο R τα οποία είναι διάφορα του 6 b. τα χ που ανήκουν στο σύνολο R τα οποία είναι διάφορα του 6 και του 0Ερώτηση 19ηΤο π.ο της συνάρτησηςείναιΕπιλογή μίας απάντησης. a. τα χ που ανήκουν στο σύνολο R και είναι μεγαλύτερα του μηδενός b. τα χ που ανήκουν στο σύνολο R τα οποία είναι διάφορα του μηδενόςΕρώτηση 20ηΔίνονται οι συναρτήσειςμε π.ο τοκαιμε π.ο τoH συνάρτηση

Διαφορικός λογισμός / Κουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης 14 Στέλλα Σερεμετάκη,Μαθηματικός,MSc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/έχει πεδίο ορισομούτοΕπιλογή μίας απάντησης. a. Λάθος b. ΣωστόΕρώτηση 21ηΠρουπόθεση για να είναι δύο συναρτήσεις ίσες είναι να έχουντο ίδιο πεδίο ορισμού και να έχουν ίσες τιμές για όλα τα χ του πεδίουορισμού τουςΑπάντηση: Σωστό ΛάθοςΕρώτηση 22ηΔίνονται οι συναρτήσειςμε πεδία ορισμού το RΓια ποια τιμή του χ οι συναρτήσεις είναι ίσεςΕπιλογή μίας απάντησης. a. x=1 b. x=-1Ερώτηση 23ηTo πεδίο ορισμού της συνάρτησης

Διαφορικός λογισμός / Κουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης 15 Στέλλα Σερεμετάκη,Μαθηματικός,MSc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/είναι ταΑπάντηση: Σωστό Λάθος