Το σχολικό βιβλίο μαθηματικών θετικών σπουδών Γ Λυκείου

iv) α = 1. f (x) = −| x |.8. Να εφαρμόσετε διαδοχικά το Θεώρημα του 8. i) ΟΒ: y = x, ΑΓ : y = −x + 1 .Bolzano στα [λ, μ] και [μ, ν]. ii) Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις f ( x) – x295. 0Ε ργαστείτε όπως στο σχόλιο του ΘεωρήΥ-ΠΟΔΕΙΞ=Ε0ΙΣκα-ι ΑfΠ(xΑ) +ΝxΤΗ– 1ΣΕ= Ι0ΣσΑτοΣ[Κ0Η, 1Σ] ΕέχΩουΝν κάποια λύση.ματος Bolzano.10. i) [–1, 0] ii) (0, 2) iii) [1, 2) 9. i) d = d (x) = (x − x0 )2 + ( f (x) − y0 )2 , iv) (1, 2]. x ∈ [α, β ] .§ 1.8 B΄ Ομάδας ii) Να εφαρμόσετε το Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής για την d στο [α, β].1. κ = – 1. 2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ2. (α = 4, β = 1) ή (α = – 3, β = 8).3. i) f (0) = lim f (x) = 0 § 2.1 A΄ Ομάδας x→0 1. i) 0 ii) – 2 iii) 0ii) lim g(x) = 1, lim g(x) = 1, οπότε 2. i) 0 ii) Δεν παραγωγίζεταιx→0+ x→0− iii) 1 iv) 1g(0) = lim g (x) = 1. 3. g′(0) = f ( 0). x→0 4. i) Δεν είναι συνεχής στο 0 και άρα δεν πα-4. Εφαρμόσετε Θεώρημα Bolzano για τη συ- ραγωγίζεται νάρτηση Φ(x) = f ( x) – g(x) στο [0, 1]. ii) Δεν παραγωγίζεται στο 1.5. α) Θεώρημα Bolzano για τη συνάρτηση f(x) = (x – 2)(x4 + 1) + (x6 + 1)(x – 1) στο [1, 2].β) Όμοια για τη συνάρτηση f ( x) = ex(x – 2) + (x – 1)ln x. 5. Από την άσκηση 1 i) y = 1 ii) y = – 2x + 3 iii) y = 0.6. i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = g(x) Από την άσκηση 2 i) y = 0 ii) Δεν ορίζεται στο (0, +∞) έχει μια ακριβώς λύση. iii) y = x + 1 iv) y = x + 1. ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( x) = g(x) στο (0, +∞) έχει μια ακριβώς λύση.7. i) α) x = 1 ή – 1 § 2.1 Β΄ Ομάδας β) Η συνάρτηση f στο (– 1, 1) δεν μη- δενίζεται και είναι συνεχής. 1. f ′ (0) = – 1. γ) f (x) = 1 − x2 x∈[−1,1] ή 2. f ′ (1) = 3. f (x) = − 1 − x2 x∈ [−1,1] 3. f ′ (0) = 1. ii) α) x = 0 4. f ′ (0) = 1/2. β) η f στο (−∞, 0) συνεχής και δεν μη- δενίζεται. Ομοίως και στο (0, +∞) γ) 5. Με κριτήριο παρεμβολής βρίσκουμε ότι f ′ (0) = 1. f(x) = x ή f(x) = – x ή f (x) =| x | ή f (x) = −| x |. 6. lim f (x) = 0 , οπότε f (0) = 0 και με κριτή- x→08. i) ΟΒ: y = x, ΑΓ : y = −x + 1 . ριο παρεμβολής βρίσκουμε f ′(0) = 1. ii) Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις f ( x) – x = 0 και f(x) + x – 1 = 0 στο [0, 1] έχουν 7. i) lim f (x) = 0 , οπότε f (0) = 0. κάποια λύση. x→09. i) d = d (x) = (x − x0 )2 + ( f (x) − y0 )2 , 8. i) Είναι x ∈ [α, β ] . f (x0 − h) − f (x0 ) = − f (x0 + (−h)) − f (x0 ) h −h

f ′ (0) = 1.  − 4 / 3, x ∈ (6,9)6. lim f (x) = 0 , οπότε f (0) = 0 και με κριτή- 5. Ευθ. τμήμα με κλίση 2 για x∈ [0, 2], ευθύ- x→0ΥΠρΟιοΔπΕαΙρΞεμΕβΙοΣλή-ςΑβΠρίΑσκΝοΤυμΗεΣf Ε′(0Ι)Σ=Α1.ΣΚΗΣΕΩΝ γραμμο τμήμα με κλίση – 1, για x∈ [2, 4]2κ5α1ι7. i) lim f (x) = 0 , οπότε f (0) = 0. ευθ. τμήμα με κλίση 1 για x ∈ [4, 8]. x→08. i) Είναι § 2.2 B΄ Ομάδας f (x0 − h) − f (x0 ) = − f (x0 + (−h)) − f (x0 ) 1. α = – 1, β = π. h −h κ.τ.λ. 2. Η εξίσ. εφαπτ. της Cf στο (ξ, f ( ξ)) είναι ii) Είναι y= 1 x+ ξ f (x0 + h) − f (x0 − h) = η οποία διέρχεται από το h 2ξ 2 = f (x0 + h) − f (x0 ) − f (x0 − h) + f (x0 ) , h Β(– ξ, 0). κ.τ.λ. 3. Ν(– 2α, – 8α3) και f ′(–2α) = 4 f ′(α).9. i) το Β. ii) το Γ. 4. i) Είναι Α(2ξ, 0), Β  0, 2  και Μ ξ , 1 . iii) t = 2 αλλάζει το Β, t = 4 το Α και ξ ξ t = 5 το Β ii) 2. iv) το Α v) το Β vi) το Α. § 2.3 Α΄ Ομάδας§ 2.2 Α΄ Ομάδας 1. i) f ′(x) = 7x6 x3 + 61. i) 4 ii) 1/6 ii) f ′(x) = 6x2 + 1 iii) − 1 iv) 1/e v) 2. x 2 iii) f ′(x) = x3 x2 + x 12. i) Δεν παραγωγίζεται στο 1. iv) f ′(x) = −ημx − 3συνx ii) f ′(x) = συνx, x <0. 2. i) f ′( x) = 3x2 6 x 1.  x≥0 ii) f ′( x) = ex(ημx + συνx).  1, iii) Δεν παραγωγίζεται στο 2. iii) f ′( x) = −4x . iv) Δεν παραγωγίζεται στο 2/3. (1 + x2 )23. f ′(x1) = f ′(x2 ) ⇔ x1 = x2 άτοπο αφού iv) f ′( x) = 1 − ημx + συνx . x1 ≠ x2 , ενώ για την f (x) = x3 υπάρχουν (1 + συνx)2 τα (x1, x13), (−x1,−x13). v) f ′(x) = x(ημ2x + xσυν2x)  1, x ∈ (−2,0) ex  ln x − 1  x ∈ (0, 2)  x   − 2, x ∈ (2, 4) . 3. i) f ′(x) = (ln .  0, x ∈ (4,6) x)24. f ′( x) =  x ∈ (6,9)  4, ii) f ′(x) = −4συν2 x .  ημ2 2x − 4 / 3,5. Ευθ. τμήμα με κλίση 2 για x∈ [0, 2], ευθύ- iii) f ′(x) = συνx − ημx . γραμμο τμήμα με κλίση – 1, για x∈ [2, 4] και ex ευθ. τμήμα με κλίση 1 για x∈ [4, 8]. 4( x 2 + 1) iv) f ′(x) = (x2 − 1)2 .§ 2.2 B΄ Ομάδας  4x + 3, x < 01. α = – 1, β = π. 4. i) f ′(x) = 6 1 + 1 x > 0,

iii) f ′(x) = συνx − ημx . ii) f ′(x) = 2 , x ∈ (1,+∞) . ex 33 x −1252iv ) f ′(x) = 4( x2 + 1) . ΥΠΟΔiΕii)ΙΞfΕ′(ΙxΣ) =- ΑσυΠνΑ 1Ν+1ΤxΗ2 Σ⋅Ε(1ΙΣ+−2xΑx2Σ)2Κ. ΗΣΕΩΝ (x 2 − 1)2  4x + 3, x < 0 iv) f ′(x) = − (1 + x2) . f ′(x) = 6 x(1 − x2)4. i) 1 + 1 x > 0, x v) f ′(x) = e−x2 (−2x). ενώ δεν παραγωγίζεται στο 0. 13. i) f ′(2) = 20. ii) f ′( x) = 2x + συνx, x ≤ 0. ii) f ′(4) = 5.  x>0 6  1,5. i) ( 2, 4 ) και (2, 4).     ii)  1, 1 . iii) f ′ 1  = 1 6 + 3π .  e 6 12 48 iii) ( 1, 2 ), (1, 2). iv) f ′(3) = 5.6. f ′(x) = −4 , x∈R − {1} και 14. i) f ′(x) = xlnx 2ln x 1 . (x −1)2 x g′(x) = −4 , x ∈ [0, + ∞) − {1}. ii) f ′(x) = 25x 3 ·5ln2. (x −1)2 iii) f ′(x) = (ln x)x  ln(ln x) + 1  .  ln x  iv) f ′(x) = eσυνx(συνx ημ2x).Οι συναρτήσεις f ′ , g′ δεν είναι ίσες αφού δεν 15. f ′(x) = ημ2x καιέχουν το ίδιο πεδίο ορισμού. f ″(x) = 2συν2x, οπότε ισχύει η ισότητα. 7. f ′(1)g′(1) = 2 − 1  = −1 .  28. α = 2.9. i) ( 2, 3) και (2, 7). § 2.3 B΄ Ομάδας 1. Το κοινό σημείο είναι το (1, 1) και ισχύει ii)  2 3 , − 10 3 + 45  και  3 9  f ′ (1)·g′(1) = – 1. − 2 3 , 10 3+ 45  . 2. Τα κοινά σημεία είναι (1, 1) 3 9  και (– 2, – 8). Η y = 3x – 2 εφάπτεται στο (1, 1).10. y = 2x 1 και 3. α = 0, β = – 1. y = 2x 1.11. α = 1, β = 1, γ = 0. 4. Η y = x + 1 εφάπτεται της Cg στο σημείο (– 1, 0).12. i) f ′(x) = −24(x + 1) . x7 (3x + 4)3 5. f(x) = x3 – 4x2 – 9x + 4.ii) f ′(x) = 2 , x ∈ (1,+∞) . 6. Έστω ότι υπάρχει το f ( x) = αx2 + βx + γ και 33 x −1 καταλήγουμε σε αδύνατο σύστημα.iii) f ′( x) = συν 1  ⋅ (1 −2x )2. 7. i) Προσθέτουμε και αφαιρούμε στον αριθ-  1+ x2  + x2 μητή την ποσότητα x f ( α).iv) f ′(x) = − (1 + x2) . ii) Προσθέτουμε και αφαιρούμε στον αριθ- x(1 − x2) μητή την ποσότητα exf ( α). Να λάβετε ex − eα

5. f(x) = x – 4x – 9x + 4.6. Έστω ότι υπάρχει το f ( x) = αx2 + βx + γ και § 2.4 B΄ Ομάδας καταλήγουμε σ-εΑαΠδύΑνΝατΤοΗσύΣσΕτηΙμΣαΑ. ΣΚΗΣΕΩ1Ν. 425 cm3/s. 253ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ7. i) Προσθέτουμε και αφαιρούμε στον αριθ- μητή την ποσότητα x f ( α). 2. (2ln5 + 2) cm2/s. ii) Προσθέτουμε και αφαιρούμε στον αριθ- 3. 0,75 m/s. μητή την ποσότητα exf ( α). Να λάβετε υπόψιν ότι το lim ex − eα είναι η παρά- 4. 0,25 rad/min. x→α x − α 5. 0,2 m/s. γωγος της h(x) = ex στο α. 6. 2 μονάδες μήκους .8. π , 5π , 9π , 13π . μονάδα χρόνου 88 8 8 7. i) − 1 rad/sec. ii) − 2, 75 m/s.9. i) f ′(x) = 23 x2 x≠0 και δεν παραγωγί- 25 25 , 3x 8. 3 3 m/s. ζεται στο 0. Η εξίσωση της εφαπτομένης στο (0, 0) είναι η x = 0. § 2.5 A΄ Ομάδας ii) f ′(x) = 4x , x ≠ 0 και f ′ (0) = 0. Η εξί- 1. i) 1 ii) π ή π 33 x 2 iii) π 62 2 σωση της εφαπτομένης στο (0, 0) είναι η iv) δεν ισχύει. y = 0.10. Η εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο 2. i) 2 ii) π Α(1, f ( 1)) είναι η y = x – 1 + f ( 1) που εφά- 4 πτεται της Cg στο (0, g(0)).11. i) f ′ (0) = 1. iii) ξ ∈ (−3,−1) και ξ = 1. ii) Η εξίσωση της εφαπτομένης είναι η y = 3. Έχουμε g′(x0) = 1 = ln β − ln α και x + 1 που σχηματίζει με τους άξονες ισο- x0 β−α σκελές τρίγωνο. 0 < α < x0 < β οπότε 1< 1 <1.§ 2.4 A΄ Ομάδας β x0 α1. E′(1) = – 48π cm2/s § 2.5 Β΄ Ομάδας V′(1) = – 72π cm3/s 1. i) Θ. Bolzano στα διαστήματα [– 1, 0] και2. 25 cm/s. [0, 1]. 81π ii) Θ. Rolle στο [x1, x2] όπου x1, x2 οι ρίζες της( )3. x ∈ 20 − 220, 20 + 220 . f στα διαστήματα (– 1, 0) και (0, 1).4. i) x(t) = 15t, y(t) = 20t. 2. i) Θ. Rolle στο [0, 1]. ii) d′(t) = 25 km/h. ii) εφx = 1 − x ⇔ f ′(x) = 0 που έχει ρίζα στο5. (2, 1). (0, 1).§ 2.4 B΄ Ομάδας 3. i) Υποθέτουμε ότι η εξίσωση f ( x) – x = 01. 425 cm3/s. έχει 2 ρίζες x1, x2 και εφαρμόζουμε Θ.2. (2ln5 + 2) cm2/s. Rolle για τη συνάρτηση g(x) = f ( x) – x,3. 0,75 m/s. x∈ [x1, x2]. ii) Εφαρμογή του ερωτήματος i) με f (x) = ημ x . 24. 0,25 rad/min. x1 2

Rolle για τη συνάρτηση g(x) = f ( x) – x, x x∈ [x1, x2]. ii) Η f έχει σύνολο τιμών το R, ενώ η g το ii) Εφαρμογή του ερωτήματος i) με διάστημα (–3, +∞).254 f (x) = ημ x . ΥΠΟΔiΕii)ΙΞΤΕο Ι0Σαν-ήΑκΠει ΑστΝοΤσύΗνΣολΕοΙτΣιμΑώΣν ΚτωΗνΣσΕυνΩαρΝ- τήσεων και είναι γνησίως αύξουσες. 24. i) x ≤ 1 ⇔ (| x |−1)2 ≥ 0. 6. i) f ′(x) = ex + 1 > 0. 1+ x2 2 1+ x ii) Θ.Μ.Τ. στο [α, β]. ii) f ( 0) = 0 και η f γνησίως αύξουσα.5. Θ.Μ.Τ. στο [0, 4]. § 2.6 Β΄ Ομάδας6. Δείξτε ότι f (0) ≤ 0 και f (0) ≥ 0 . 1. Με εφαρμογή του κριτηρίου παρεμβολής7. Υποθέτουμε ότι έχουν τρία κοινά σημεία με βρίσκουμε ότι f ′(x0) = 0, x0 ∈ R. τετμημένες ρ1 < ρ2 < ρ3 και εφαρμόζουμε Θ. Rolle για την φ(x) = f ( x) – g(x) στα διαστή- 2. i) f ′ (x) = 3(x2 – 1) < 0 για κάθε x ∈ (−1,1). ματα [ρ1, ρ2], [ρ2, ρ3]. ii) [α – 2, α + 2]§ 2.6 A΄ Ομάδας iii) Το 0 ανήκει στο σύνολο τιμών της f και είναι γνησίως φθίνουσα στο (– 1, 1).1. φ′(x) = 0, x ∈ R, οπότε φ(x) = c. 3. i) t = 1 ή t = 4.2. i) Γνησίως αύξουσα στο R. ii) Αριστερά όταν t ∈ (0, 4) και δεξιά όταν t ∈ (4,5). ii) Γνησίως αύξουσα στα διαστήματα (−∞, iii) Η ταχύτητα αυξάνεται στα διαστήματα [0, – 1], [2, +∞) και γνησίως φθίνουσα στο 1] και [3, 5] και μειώνεται στο διάστημα (1, 3). διάστημα [–1, 2].iii) Γνησίως αύξουσα στo [–1, 1] και γνησίως 4. V ′(t) = − 100t < 0 (t + 2)3 φθίνουσα στα διαστήματα (−∞, –1] και [1, +∞). lim V (t) = 25 και το σύνολο τιμών της V εί- t →+∞4. i) Γνησίως αύξουσα στο διάστημα (−∞, 1] ναι το (25, 50]. και γνησίως φθίνουσα στο [1, +∞). ii) Γνησίως αύξουσα στο (0, 1] και γνησίως 5. i) f ′(x) = (x2 + 3)2 >0 για κάθε (x2 −1)2 φθίνουσα στο [1, +∞). x ∈ R − {−1,1}. 0, π ,iii) Γνησίως αύξουσα στο 2 γνησίως ii) Όταν x ανήκει σε καθένα των διαστημά- φθίνουσα στο π , π  και σταθερή με τιμή των (−∞,−1) , ( −1, 1), (1,+∞) η f παίρνει  2 τιμές στο R και επειδή η εξίσωση γράφε- ται ισοδύναμα f ( x) = α με α∈ R, έχει 3 μηδέν στο [π, 2π]. ρίζες.5. i) f ' (x) = 5(x4 + 1) > 0 και 6. α ≥ 3. g′(x) = 1 + 1 > 0 , x ∈ (0,+∞). x 7. i) f ′ (x) = xημx > 0, x ∈ 0, π .  2  ii) Η f έχει σύνολο τιμών το R, ενώ η g το διάστημα (–3, +∞). ii) Ισχύει f ( x) > f ( 0), x ∈ 0, π  αφού f  2 iii) Το 0 ανήκει στο σύνολο τιμών των συναρ- γνησίως αύξουσα στο 0, π . τήσεων και είναι γνησίως αύξουσες. 2 6. i) f ′(x) = ex + 1 > 0. iii) f ′(x) = συνx ⋅ x − ημx < 0 1+ x x2 λόγω του ερωτήματος ii).