Το σχολικό βιβλίο γεωμετρίας Β Λυκείου

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Ορισμός Διαστάσεις ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου λέγο- νται τα μήκη των τριών ακμών που έχουν κοινό το ένα άκρο τους. Γʹ Βʹ Θεώρημα ιΙ Αʹ Σε κάθε ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο το τετράγωνο της δ διαγωνίου δ ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των Β τριών διαστάσεων του ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου,Δʹ γ δηλαδή δ 2 = α 2 + β 2 + γ 2. Αγ Γ Σχήμα 11 Απόδειξη β Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΓ (σχ.11), προκύπτει ότιΔα ΑΓ 2 = ΑΔ 2 + ΔΓ 2 ⇔ ΑΓ 2 = α 2 + β 2 (1). Από το επίσης ορθογώνιο τρίγωνο ΑΓΓʹ έχουμε ΑΓʹ 2 = ΑΓ 2 + ΓΓʹ 2 ⇔ δ 2 = ΑΓ 2 + γ 2 (2) Αντικαθιστώντας στη (2) το ΑΓ 2 από την (1), έχουμε το ζητούμενο: δ 2 = α 2 + β 2 + γ 2. ΠΟΡΙΣΜΑ ΙΙ Η διαγώνιος δ κύβου ακμής α είναι δ = α . α4 13.4 Μέτρηση πρίσματος α5 α3 ► Ε μβαδόν επιφάνειας ορθού πρίσματος α6 α1 α2 Η επιφάνεια ενός ορθού ν-γωνικού πρίσματος (σχ.12) απο- τελείται από ν παράπλευρες έδρες και δύο βάσεις. Το εμβα- υ δόν της παράπλευρης επιφάνειας ορθού πρίσματος Επ είναι το άθροισμα των εμβαδών των παράπλευρων εδρών του Σχήμα 12 πρίσματος ενώ το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας του πρί- σματος Εο είναι το άθροισμα του εμβαδού της παράπλευρης επιφάνειας και του εμβαδού των δύο βάσεων. Αν υ είναι το ύψος του ορθού πρίσματος και α1, α2, ... αν είναι τα μήκη των πλευρών των βάσεων, τότε έχουμε την ακόλουθη πρόταση. Πρόταση Το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας Επ και της ολι- κής επιφάνειας Εο ενός ορθού πρίσματος με ύψος υ και150

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13. ΣΤΕΡΕΑ ΣΧΗΜΑΤΑ Δ μήκη πλευρών των βάσεων α1, α2, ..., αν, δίνεται από τις σχέσεις: ΑΓ υΒ Επ = s∙υ και Εο = Επ + 2Β, α4Δʹ α3 όπου s είναι η περίμετρος και Β το εμβαδόν της μίας βάσης του. Αʹ Γʹ α1 α2 Απόδειξη Βʹ Καθεμία από τις παράπλευρες έδρες είναι ορθογώνιο πα- Δ0 Γ0 Δ0 A0 ραλληλόγραμμο, που η μία του πλευρά είναι ίση με το ύψος Β Β0 Γ0 υ του ορθού πρίσματος, ενώ η άλλη πλευρά είναι μία από τις πλευρές των ίσων βάσεων. Το εμβαδόν λοιπόν της πα-A0 ράπλευρης επιφάνειας του ορθού πρίσματος Επ δίνεται από υ τη σχέση:Αʹ0 α1 Βʹ0 Γ0ʹ Δ0ʹ Επ = α1∙ υ + α2 ∙ υ +... + αν ∙ υ = (α1 + α2 +...+ αν) ∙ υ = s ∙ υ, Β α2 α3 α4 Αʹ0 όπου s είναι η περίμετρος της βάσης.Δʹ0 Γ0ʹ Αν Β είναι το εμβαδόν της βάσης του ορθού πρίσματος, το Σχήμα 13 εμβαδόν της ολικής επιφάνειας προφανώς δίνεται από τη σχέση Εο = Επ + 2Β. ► Α νάπτυγμα ορθού πρίσματος Θεωρούμε το ορθό τετραγωνικό πρίσμα ΑΒΓΔ-ΑʹΒʹΓʹΔʹ (σχ.13). Η παράπλευρη επιφάνεια του πρίσματος αποτελείται από ορθογώνια παραλληλόγραμμα, τα οποία όμως ανήκουν σε διαφορετικά επίπεδα. Κατασκευάζουμε το ανάπτυγμα της παράπλευρης επιφάνειας του πρίσματος ως εξής: Στο επίπε- δο μίας έδρας κατακλίνουμε όλες τις έδρες του πρίσματος με τη σειρά που αυτές είναι τοποθετημένες στο χώρο, σαν να ξετυλίγουμε τις παράπλευρες έδρες του πρίσματος και τις δύο βάσεις του πάνω στο επίπεδο μίας έδρας. Το σχήμα που προκύπτει από την ανάπτυξη της παράπλευρης επιφάνειας του πρίσματος αποτελείται από ορθογώνια παραλληλόγραμ- μα ίσα με τις αντίστοιχες έδρες του πρίσματος, τοποθετημένα το ένα δίπλα στο άλλο, με τη σειρά που οι αντίστοιχες έδρες είναι τοποθετημένες στο χώρο. Λόγω της ισότητας αυτής, από το ανάπτυγμα του πρίσματος μπορούμε να υπολογίσου- με το εμβαδόν της παράπλευρης και ολικής επιφάνειας του πρίσματος και γενικά να λύσουμε προβλήματα που έχουν σχέση με την επιφάνεια του πρίσματος. Από το ανάπτυγμα του πρίσματος μπορούμε να κατασκευά- σουμε πρακτικά το πρίσμα. Αν, δηλαδή, κόψουμε το σχήμα Α0Β0Γ0Δ0Α0Α0ʹΔ0ʹΓ0ʹΒ0ʹΑ0ʹ με ένα ψαλίδι και τσακίσουμε το 151

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ χαρτί κατά μήκος των ευθύγραμμων τμημάτων Β0Β0ʹ, Γ0Γ0ʹ και Δ0Δ0ʹ, ώστε να ταυτιστούν τα δύο ευθύγραμμα τμήματα με άκρα τα σημεία Α0 και Α0ʹ, έχουμε ένα πρίσμα με αυτό το ανάπτυγμα. Για να κατασκευάσουμε το συγκεκριμένο πρίσμα χρειαζόμαστε και τις δύο βάσεις του, ώστε να προσ- διοριστούν οι δίεδρες γωνίες του πρίσματος. Από το ανάπτυγμα του πρίσματος είναι φανερό ότι το εμβα- δόν της παράπλευρης επιφάνειας ορθού πρίσματος ισούται με το εμβαδόν ορθογώνιου παραλληλογράμμου που η μία του πλευρά είναι το ύψος υ του πρίσματος και η άλλη του πλευρά είναι η περίμετρος μίας βάσης του. ► Όγκος πρίσματος Ορισμός Όγκος ενός πολυέδρου Π με μονάδα μέτρησης το πολύεδρο Πʹ λέγεται ο αριθμός που δηλώνει ότι το πολύεδρο Π γίνεται με επαναλήψεις του Πʹ ή των μερών του. Ο όγκος δηλαδή είναι ο λόγος δύο πολυέδρων και είναι θε- τικός αριθμός. Ως μονάδα μέτρησης των όγκων λαμβάνε- ται ο κύβος με ακμή μήκους μία μονάδα. Δύο πολύεδρα λέγονται ισοδύναμα αν έχουν ίσους όγκους. Τον όγκο ενός πολυέδρου Π τον συμβολίζουμε με (Π). Ιδιότητες του όγκου: • Δύο ίσα πολύεδρα έχουν ίσους όγκους. • Το μέρος ενός πολυέδρου έχει όγκο μικρότερο του αρ- χικού πολυέδρου. V2 • Αν ένα πολύεδρο χωρισθεί σε άλλα πολύεδρα, τα(α) οποία δεν έχουν κοινά εσωτερικά σημεία, τότε ο όγκος του αρχικού πολυέδρου ισούται με το άθροισμα των V1 όγκων των μερών του (σχ.14α). (Τα επίπεδα σχήματα έχουν μηδενικό όγκο). V = V1 + V2 Στο σχ.14β έχουμε ένα παράδειγμα μέτρησης του κύβου(β) Κ με μονάδα τον κύβο Κʹ. Επειδή ο κύβος Κʹ δε χωράει α ακέραιες φορές στον κύβο Κ, υποδιαιρούμε τον κύβο Κʹ σε μικρότερους κύβους, εδώ σε 8, και ο κύβος Κ γίνεται με 27 επαναλήψεις του 1 του κύβου Κʹ, δηλαδή (Κ) =  27  (Κʹ).1 K 88 Kʹ Σχήμα 14 Επομένως, με μονάδα τον κύβο Κʹ ο κύβος Κ έχει όγκο: (Κ) =  27  =  32 3. 8152

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13. ΣΤΕΡΕΑ ΣΧΗΜΑΤΑ γ (α) Αποδεικνύεται ότι ισχύουν τα ακόλουθα θεωρήματα:βα Γʹ ΘεώρημαΤΑ Δʹ i) Ο όγκος V ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου ισούται Αʹ Βʹ με το γινόμενο των τριών διαστάσεών του, δηλαδή ΔΓ υ V = αβγ (σχ. 15α). ii) Ο όγκος V κάθε παραλληλεπιπέδου ισούται με το Β (β) γινόμενο του εμβαδού της βάσης Β επί το αντίστοιχοΑΒ ύψος υ, δηλαδή V = B ∙ υ (σχ.15β). Σχήμα 15 ΠΟΡΙΣΜΑτα Ι Δ Γ • Ο όγκος κύβου ακμής μήκους α ισούται με α3.Δ1 • Ο όγκος ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου ισούται Β Α Γ1 με το εμβαδόν της βάσης του επί το αντίστοιχο ύψος. Α1 Β1 Αν τμήσουμε ένα πλάγιο πρίσμα (σχ.16α) σε δύο μέρη με έναΔʹ Γʹ επίπεδο κάθετο στις ακμές του, που το τέμνει μεταξύ των βά- σεων, και μετακινήσουμε τα δύο μέρη έτσι ώστε να έρθουν σε Δʹ1 Αʹ Βʹ επαφή οι δύο βάσεις του πρίσματος, ταυτίζοντας τις αντίστοι- Αʹ1 (α) χες κορυφές, τότε δημιουργείται ένα ορθό πρίσμα (σχ.16β) που έχει βάσεις ίσες με την κάθετη τομή και ύψος ίσο με τηνΔ Γʹ1 ακμή του πρίσματος. Ισχύει δηλαδή το επόμενο θεώρημα:Δ1 Β1ʹ Θεώρημα Ι Α Γ Α1 Κάθε πλάγιο πρίσμα είναι ισοδύναμο με ορθό πρίσμα που Β έχει ως βάση μία κάθετη τομή του πλάγιου πρίσματος και Γ1 ως ύψος την ακμή του. (β) Όπως είδαμε παραπάνω, ο όγκος ενός παραλληπεπιπέδου ισούται με το γινόμενο του εμβαδού της βάσης επί το αντί- Β1 στοιχο ύψος του. Τώρα θα αποδείξουμε ότι αυτό ισχύει σε Σχήμα 16 κάθε πρίσμα. Θεώρημα ΙΙ Κάθε διαγώνιο επίπεδο ενός παραλληλεπιπέδου το χωρί- ζει σε δύο ισοδύναμα τριγωνικά πρίσματα. Απόδειξη Αν το παραλληλεπίπεδο είναι ορθό, χωρίζεται από ένα δια­ γώνιο επίπεδο σε δύο ίσα ορθά πρίσματα, που έχουν ίσες βάσεις και ίσα ύψη, επομένως είναι ισοδύναμα. Έστω ΑΒΓΔ-ΑʹΒʹΓʹΔʹ τυχαίο παραλληλεπίπεδο και ΓʹΓΑΑʹ ένα διαγώνιο επίπεδο (σχ.17), που το χωρίζει σε δύο τρι- 153

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γʹ Δʹ γωνικά πρίσματα. Αν ΚΛΜΝ είναι μία τομή κάθετη στην ακμή ΑΑʹ, τότε, σύμφωνα με το θεώρημα I οι όγκοι των δύο Βʹ Αʹ πρισμάτων ΑΒΓ-ΑʹΒʹΓʹ είναι (ΚΛΜ) ∙ ΑΑʹ και (ΚΜΝ) ∙ ΔΔʹ Λ Μ αντίστοιχα. Αλλά ΑΑʹ = ΔΔʹ και (ΚΛΜ) = (ΚΜΝ), διότι το ΚΛΜΝ είναι παραλληλόγραμμο που χωρίζεται από τη Γ Κ Ν διαγώνιό του και σε δύο ίσα τρίγωνα. Επομένως τα δύο πρί-Β Δ σματα είναι ισοδύναμα. Α ΠΟΡΙΣΜΑτα ΙΙ Σχήμα 17 i) Ο όγκος τριγωνικού πρίσματος ισούται με το γινόμε- νο του εμβαδού της τριγωνικής βάσης επί το ύψος. Γʹ Δʹ Βʹ Αʹ ii) Ο όγκος κάθε πρίσματος ισούται με το εμβαδόν της βάσης επί το ύψος. Γ Δ ΑπόδειξηΒΑ i) Έστω το τριγωνικό πρίσμα ΑΒΓ-ΑʹΒʹΓʹ (σχ.18). Σχη- ματίζουμε το παραλληλεπίπεδο ΑΒΓΔ-ΑʹΒʹΓʹΔʹ, του Σχήμα 18 οποίου ο όγκος ισούται με το γινόμενο του εμβαδού της βάσης επί το ύψος. Όμως, το διαγώνιο επίπεδο ΓʹΓΑΑʹ χωρίζει το παραλληλεπίπεδο σε δύο ισοδύναμα τριγωνικά πρίσματα. Άρα, ο όγκος V του τριγωνικού πρίσματος δίνεται από τη σχέση: V =  1  εμβ(ΑΒΓΔ) ∙ υ = εμβ(ΑΒΓ) ∙ υ = Β ∙ υ, 2 όπου Β το εμβαδόν του τριγώνου της βάσης ΑΒΓ και υ το ύψος του πρίσματος. ii) Εφαρμόζουμε το Πόρισμα i) σε κάθε ένα από τα (ν–2) τριγωνικά πρίσματα στα οποία χωρίζεται ένα ν-γωνικό πρίσμα από τα διαγώνια επίπεδα που διέρχονται από μία παράπλευρη ακμή του.εφαρμογη Οι τέσσερις διαγώνιοι ενός παραλληλεπιπέδου διχοτομούνται. Απόδειξη Γʹ Βʹ Έστω το παραλληλεπίπεδο ΑΒΓΔ-ΑʹΒʹΓʹΔʹ και οι δια- γώνιοι ΑΓʹ, ΑʹΓ, ΒΔʹ και ΒʹΔ (σχ.19). Θα αποδείξουμε Δʹ Αʹ ότι δύο από αυτές, έστω οι ΑΓʹ και ΑʹΓ διχοτομούνται. Γ Ο Το τετράπλευρο ΑΑʹΓʹΓ είναι παραλληλόγραμμο, διότι Β έχει δύο απέναντι πλευρές, τις ΑΑʹ και ΓΓʹ, ίσες και πα- Δ Α ράλληλες, ως παράπλευρες ακμές του παραλληλεπιπέ- Σχήμα 19 δου. Επομένως οι διαγώνιοί του διχοτομούνται. Όμοια αποδεικνύεται ότι η διαγώνιος ΑΓʹ διχοτομείται με τις ΒΔʹ και ΒʹΔ.154

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13. ΣΤΕΡΕΑ ΣΧΗΜΑΤΑΑΣΚΗΣΕΙΣ για λυση Ασκήσεις Εμπέδωσης γινόμενο της παράπλευρης επιφάνειας επί το μισό της ακτίνας του κύκλου. 1. Να αποδείξετε ότι το ύψος πλάγιου πρί- σματος είναι μικρότερο από την ακμή του. 3. Δίνονται τρεις παράλληλες ευθείες που δεν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και τρία ίσα ευ- 2. Να αποδείξετε ότι οι κάθετες τομές ορθού θύγραμμα τμήματα ΑΑʹ, ΒΒʹ και ΓΓʹ που πρίσματος είναι ίσες με τις βάσεις του και ολισθαίνουν πάνω σε αυτές. Να αποδείξετε τα ύψη ίσα με τις ακμές του. ότι το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνει- ας και ο όγκος του πρίσματος ΑΒΓ-ΑʹΒʹΓʹ 3. Να αποδείξετε ότι όλες οι ακμές πλάγιου είναι σταθερά. πρίσματος σχηματίζουν ίσες γωνίες με τα επίπεδα των βάσεων. 4. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των τετρα- γώνων των προβολών ενός ευθύγραμμου 4. Κανονικό τριγωνικό πρίσμα έχει ύψος α τμήματος σε τρεις ευθείες, ανά δύο ορθο- και βάση ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς α. γώνιες μεταξύ τους, ισούται με το τετρά- Να υπολογίσετε το εμβαδόν της ολικής γωνο του τμήματος. επιφάνειας και τον όγκο του πρίσματος. 5. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των τετρα- 5. Να υπολογίσετε το εμβαδόν της ολικής γώνων των προβολών ενός ευθύγραμμου επιφάνειας κανονικού πρίσματος ύψους τμήματος σε τρία επίπεδα, ανά δύο κάθετα υ με βάση κανονικό πολύγωνο εγγεγραμ- μεταξύ τους, ισούται με το διπλάσιο του τε- μένο σε κύκλο ακτίνας ρ, αν η βάση είναι τραγώνου του τμήματος. τρίγωνο, τετράγωνο ή εξάγωνο. 6. Σε έναν κύβο, να αποδείξετε ότι: i) οι δια- 6. Να αποδείξετε ότι κάθε ευθύγραμμο τμήμα γώνιοι σχηματίζουν ίσες γωνίες με τις ακ- που διέρχεται από το κέντρο παραλληλεπι- μές και ii) η προβολή μιας ακμής σε μία πέδου και έχει τα άκρα του στην επιφάνειά διαγώνιο ισούται με το ένα τρίτο της δια- του διχοτομείται από το κέντρο. γωνίου. 7. Για την κατασκευή μιας κυβικής δεξαμε- 7. Δίνεται παραλληλεπίπεδο ΑΒΓΔ-ΑʹΒʹΓʹΔʹ. νής, κλειστής από παντού, χρησιμοποιή- Να αποδείξετε ότι τα επίπεδα (Α, Γ, Δʹ) και θηκαν 216 m 2 λαμαρίνας. Να υπολογίσε- (Αʹ, Γʹ, Β) τριχοτομούν τη διαγώνιο ΔΒʹ. τε την ακμή του κύβου. Σύνθετα Θέματα 8. Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έχει δια- στάσεις 8, 12, 16. Να υπολογίσετε τη δια­ 1. Να αποδείξετε ότι η τομή κύβου με επίπε- γώνιο, το εμβαδόν της επιφάνειας και τον δο που ορίζεται από τα άκρα τριών ακμών όγκο του. που διέρχονται από την ίδια κορυφή είναι ισόπλευρο τρίγωνο. 9. Να υπολογίσετε το εμβαδόν της ολικής επι- φάνειας και τον όγκο ενός κύβου αν γνω- 2. Να αποδείξετε ότι τα τρία επίπεδα που ρίζετε: i) την ακμή του, ii) τη διαγώνιο ορίζονται από μία διαγώνιο κύβου και μιας έδρας του, iii) τη διαγώνιό του. από τις τρεις ακμές που διέρχονται από το ένα άκρο της διαγωνίου σχηματίζουν 10. Κύβος έχει όγκο 125. Να υπολογίσετε το ίσες δίεδρες. εμβαδόν της ολικής επιφάνειάς του. 3. Εάν τμηθεί κύβος ΑΒΓΔ-ΑʹΒʹΓʹΔʹ με επί- Αποδεικτικές Ασκήσεις πεδο που διέρχεται από τα μέσα των ακ- μών ΑΒ, ΒΓ και ΓΓʹ, να αποδείξετε ότι η 1. Να αποδείξετε ότι ο όγκος ενός τριγωνικού τομή είναι κανονικό εξάγωνο. πρίσματος ισούται με το ημιγινόμενο μιας παράπλευρης έδρας επί την απόστασή της 4. Το άθροισμα των τετραγώνων των ακ- από την απέναντι ακμή. μών ενός παραλληλεπιπέδου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των τεσσά- 2. Να αποδείξετε ότι ο όγκος ενός πρίσματος ρων διαγωνίων του. που η κάθετη τομή του είναι πολύγωνο πε- ριγεγραμμένο σε έναν κύκλο, ισούται με το 155

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ 1. Σε ένα τετραγωνικό πρίσμα, να αποδείξετε ότι: i) οι διαγώνιοι αποτελούν δύο ομάδες τεμνόμε- νων ευθειών, ii) η απόσταση αυτών των κοινών σημείων ισούται με την απόσταση των μέσων των δια­γωνίων της βάσης και iii) να χρησιμοποιηθεί αυτή η ιδιότητα για να βρείτε ικανή και ανα- γκαία συνθήκη ώστε το πρίσμα να είναι παραλληλεπίπεδο. 2. Να αποδείξετε ότι σε ένα τριγωνικό πρίσμα: i) απέναντι ίσων εδρών βρίσκονται ίσες δίεδρες, ii) απέναντι της μεγαλύτερης έδρας βρίσκεται η μεγαλύτερη δίεδρη και iii) το εμβαδόν κάθε έδρας είναι μικρότερο του αθροίσματος των δύο άλλων. ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ 1. Εμβαδόν • Το εμβαδόν παράπλευρης επιφάνειας ορθού πρίσματος ισούται με την περίμετρο της βάσης επί το μήκος της ακμής. • Το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας πρίσματος ισούται με το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας αυξημένο κατά το εμβαδόν των δύο βάσεων. 2. Όγκος • Ο όγκος πρίσματος ισούται με το εμβαδόν της βάσης επί το ύψος του. • Ο όγκος πρίσματος ισούται με το εμβαδόν της κάθετης τομής επί το μήκος της ακμής του. • Ο όγκος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου ισούται με το γινόμενο των τριών διαστάσεών του. • Ο όγκος κύβου ισούται με τον κύβο της ακμής του. 3. Άλλες ιδιότητες • Οι απέναντι έδρες παραλληλεπιπέδου είναι ίσες και παράλληλες. • Οι διαγώνιοι παραλληλεπιπέδου διχοτομούνται. • Κάθε διαγώνιο επίπεδο παραλληλεπιπέδου το διαιρεί σε δύο ισοδύναμα τριγωνικά πρίσματα. • Αν α, β, γ οι διαστάσεις ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου και δ η διαγώνιος, ισχύει δ 2 = α 2 + β 2 + γ 2 Πυραμίδες 13.5 Ορισμός και στοιχεία πυραμίδας Θεωρούμε ένα επίπεδο κυρτό πολύγωνο Α1Α2…Αν με ν κο- ρυφές και ένα σημείο Κ εκτός του επιπέδου του πολυγώνου. Το πολύεδρο, που έχει έδρες τα ν τρίγωνα ΚΑ1Α2, ΚΑ2Α3, .., ΚΑνΑ1 και το πολύγωνο Α1Α2....Αν, λέγεται ν-γωνική πυ- ραμίδα και σημειώνεται Κ.Α1Α2...Αν. Το πολύγωνο λέγε- ται βάση της πυραμίδας, ενώ τα τρίγωνα με κοινή κορυφή το σημείο Κ και απέναντι πλευρές τις πλευρές της βάσης156

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13. ΣΤΕΡΕΑ ΣΧΗΜΑΤΑΚ λέγονται παράπλευρες έδρες. Το κοινό σημείο Κ λέγεται κορυφή της πυραμίδας. Ανά δύο οι διαδοχικές παράπλευρεςΑ Γ έδρες τέμνονται σε ευθύγραμμα τμήματα που λέγονται πα- Η ράπλευρες ακμές της πυραμίδας. Το σύνολο των παράπλευ- ρων εδρών λέγεται παράπλευρη επιφάνεια της πυραμίδας.πΒ Η πυραμίδα λέγεται τριγωνική, τετραγωνική, πενταγωνική κτλ., αν η βάση είναι τρίγωνο, τετράπλευρο, πεντάγωνο κτλ.Κ Στο σχ.20 παριστάνονται μία τριγωνική πυραμίδα, με κορυφή Ε το σημείο Κ και βάση το τρίγωνο ΑΒΓ που σημειώνεται με Κ.ΑΒΓ, και μία πενταγωνική πυραμίδα, με κορυφή το σημείο Κ Δ και βάση το πεντάγωνο ΑΒΓΔΕ που σημειώνεται με Κ.ΑΒΓΔΕ.ΑΗ To ευθύγραμμο τμήμα που άγεται από την κορυφή Κ της πυ- ραμίδας κάθετα στο επίπεδο της βάσης λέγεται ύψος της πυρα- ΒΓ μίδας. Στο σχ.20 το τμήμα ΚΗ είναι το ύψος των πυραμίδων. Σχήμα 20 Θεώρημα Αν μία πυραμίδα τμηθεί με επίπεδο παράλληλο στη βάση της, τότε: i) Οι παράπλευρες ακμές και το ύψος της πυραμίδας χωρίζονται σε μέρη ανάλογα. ii) Η τομή είναι πολύγωνο όμοιο της βάσης με λόγο ομοιότητας το λόγο των αποστάσεων της κορυφής από τη βάση και την τομή. ΑπόδειξηΚ Αποδεικνύουμε το θεώρημα για μια τριγωνική πυραμίδα. Η απόδειξη για τυχούσα ν-γωνική πυραμίδα γίνεται με όμοιο τρόπο. Αʹ Η΄ Γʹ Έστω η πυραμίδα Κ.ΑΒΓ και ΚΗ το ύψος της (σχ.21). Φέ- Γ ρουμε ένα επίπεδο παράλληλο στη βάση, το οποίο τέμνειΑ Β΄ τις ακμές και το ύψος της πυραμίδας στα σημεία Αʹ, Βʹ, Γʹ Η και Ηʹ αντίστοιχα. i) Στην έδρα ΚΑΒ, οι πλευρές ΑΒ και ΑʹΒʹ είναι παράλ- ληλες ως τομές των παράλληλων επιπέδων με την έδρα Β ΚΑΒ. Από τα όμοια τρίγωνα ΚΑΒ και ΚΑʹΒʹ προκύ- Σχήμα 21 πτει η σχέση: ΚΑ  =  ΚΒ  = ΑΑʹΒΒʹ . ΚΑʹ ΚΒʹ Εφαρμόζοντας τον ίδιο συλλογισμό για τις υπόλοιπες έδρες της πυραμίδας, προκύπτουν οι σχέσεις: ΚΑ  =  ΚΒ  =  ΚΓ  =  ΑΒ  =  ΒΓ  =  ΓΑ  = λ. ΚΑʹ ΚΒʹ ΚΓʹ ΑʹΒʹ ΒʹΓʹ ΓʹΑʹ 157

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Κ Επίσης, από τα όμοια τρίγωνα ΚΗΑ και ΚΗʹΑʹ προκύ- πτει: ΚΚʹΑΑʹ =  ΚΗ  = λ. ΚΗʹ Ε Δ ii) Η βάση και η τομή της πυραμίδας είναι δύο τρίγωνα Γ (ν-γωνα) με τα ζεύγη των ομόλογων πλευρών τους πα- Ζ ράλληλα και ομόρροπα, επομένως έχουν τις ομόλογες Ο γωνίες ίσες. Επιπλέον, από τις παραπάνω σχέσεις τα ζεύγη των ομόλογων πλευρών είναι ανάλογα, άρα τα Η τρίγωνα είναι όμοια, με λόγο ομοιότητας λ. ΑΒ Σχήμα 22 Δ 13.6 Κανονική πυραμίδα-Τετράεδρο υ Μία πυραμίδα λέγεται κανονική, αν η βάση είναι κανονικό ΑΓ πολύγωνο και η προβολή της κορυφής της πυραμίδας στο επίπεδο της βάσης είναι το κέντρο του κανονικού πολυγώ- Ηʹ Η νου (σχ.22). Σε μία κανονική πυραμίδα, οι παράπλευρες έδρες είναι ισοσκελή τρίγωνα, ίσα μεταξύ τους και το ύψος Β κάθε παράπλευρης έδρας που άγεται από την κορυφή της πυραμίδας λέγεται απόστημα ή παράπλευρο ύψος της κα- Σχήμα 23α νονικής πυραμίδας (σχ.22). Αποδεικνύεται επίσης, ότι αν οι παράπλευρες έδρες μιας πυραμίδας είναι ίσα ισοσκελή Δ τρίγωνα, τότε η πυραμίδα είναι κανονική. αα Γ Μία τριγωνική πυραμίδα (σχ.23α) λέγεται τετράεδρο, γιατί υ έχει τέσσερις τριγωνικές έδρες. Οποιαδήποτε έδρα του τε- τραέδρου μπορεί να θεωρηθεί ως βάση. Κανονικό λέγεται το Αα τετράεδρο που όλες οι έδρες του είναι ίσα ισόπλευρα τρίγω- α α Ηα να (σχ.23β). Το τετράεδρο είναι το απλούστερο πολύεδρο. Β 13.7 Μέτρηση πυραμίδας Σχήμα 23β ► Εμβαδόν κανονικής πυραμίδας Το ανάπτυγμα της επιφάνειας κανονικής ν-γωνικής πυραμί- δας στο επίπεδο της βάσης αποτελείται από το κανονικό πο- λύγωνο της βάσης και από τα ν ισοσκελή τρίγωνα των παρά- πλευρων εδρών τοποθετημένα αστεροειδώς στις πλευρές της βάσης (σχ.24). Από το ανάπτυγμα υπολογίζεται η παράπλευ- ρη και η ολική επιφάνεια κανονικής ν-γωνικής πυραμίδας. Η παράπλευρη επιφάνεια Επ είναι το άθροισμα των εμβαδών των ν ισοσκελών τριγώνων που αποτελούν τις παράπλευρες έδρες της πυραμίδας, ενώ το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας Εο είναι το άθροισμα της παράπλευρης επιφάνειας και της βά- σης. Το ανάπτυγμα πυραμίδας κατασκευάζεται επίσης, όταν158

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13. ΣΤΕΡΕΑ ΣΧΗΜΑΤΑ K χρειάζεται να κατασκευασθεί πρακτικά η πυραμίδα.ΕΔ Θεώρημα ΙΖ Γ Το εμβαδόν της παράπλευρης Επ και της ολικής Εο επιφά- Ο νειας κανονικής πυραμίδας δίνεται από τις σχέσεις Η Α Β Επ = τ ∙ μ και Εο = τ ∙ (μ + α), K όπου τ είναι η ημιπερίπετρος, α είναι το απόστημα της βάσης και μ το απόστημα της πυραμίδας. Απόδειξη Η παράπλευρη επιφάνεια κανονικής πυραμίδας αποτελείται από ν ισοσκελή τρίγωνα, με βάση λ και απόστημα α, που K K έχουν εμβαδόν: ΕΔ K Επ = ν ∙  1  αλ =   21 να  ∙ λ = τ ∙ μ Ο 2   ΖΓ  μ λαK ΑΒ Για τον υπολογισμό του εμβαδού της συνολικής επιφάνειας της πυραμίδας, στην παράπλευρη επιφάνεια προσθέτουμε και το εμβαδόν της βάσης που είναι κανονικό ν-γωνο: K Εο = Επ + ν ∙  1  λα = Επ +   21 .νλ  ∙ α = Επ + τ ∙ α = τ ∙ (μ + α) Σχήμα 24 2    ► Ό γκος πυραμίδας Δεχόμαστε χωρίς απόδειξη ότι: Θεώρημα Ιι Δύο τριγωνικές πυραμίδες με ίσα ύψη και ίσες ή ισοδύ- ναμες βάσεις είναι ίσες ή ισοδύναμες. Το επόμενο θεώρημα είναι πολύ σημαντικό γιατί συσχετίζει τους όγκους ενός πρίσματος και μιας πυραμίδας που έχουν ίσες βάσεις και ίσα ύψη. Θεώρημα Ιιι Ο όγκος πυραμίδας ισούται με το ένα τρίτο του όγκου πρίσματος που έχει την ίδια βάση και το ίδιο ύψος. Απόδειξη Έστω η τριγωνική πυραμίδα Κ.ΑΒΓ. Από τις κορυφές Β και Γ (σχ.25), φέρουμε τις παράλληλες και ίσες στην ΚΑ και σχηματίζεται το πρίσμα ΑΒΓ-ΚΒʹΓʹ. Χωρίζουμε το πρίσμα στις εξής τρεις πυραμίδες: Κ.ΑΒΓ, Β.ΚΒʹΓʹ και Κ.ΒΓΓʹ. Οι δύο πρώτες πυραμίδες είναι ισοδύναμες, γιατί έχουν ως 159

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γʹ βάσεις τις ίσες βάσεις του πρίσματος και κοινό ύψος. Η Κ Βʹ δεύτερη και η τρίτη είναι επίσης ισοδύναμες, διότι αν θε- Γ Β ωρήσουμε ότι έχουν κοινή κορυφή το σημείο Κ, οι βάσεις τους ΒΒʹΓʹ και ΒΓΓʹ είναι τα δύο ίσα τρίγωνα στα οποία χωρίζεται το παραλληλόγραμμο ΒΓΓʹΒʹ με τη διαγώνιό του ΒΓʹ. Επίσης έχουν ίσα ύψη, αφού οι βάσεις τους είναι συνε- πίπεδες. Παρατηρούμε δηλαδή ότι το πρίσμα χωρίστηκε σε τρεις ισοδύναμες πυραμίδες, άρα ο όγκος κάθε τριγωνικής Α πυραμίδας ισούται με το τρίτο του όγκου του πρίσματος Γʹ Γʹ που έχει την ίδια βάση και το ίδιο ύψος, δηλαδή συμβολικά Κ Κ Βʹ V =  E∙υ , όπου V ο όγκος, Ε το εμβαδόν της βάσης και υ το Γ Β 3 ΓΚ ύψος της πυραμίδας. Β Αν η πυραμίδα είναι ν-γωνική, τη χωρίζουμε σε (ν-2) τρι- γωνικές πυραμίδες, φέροντας τις διαγωνίους της βάσης από μία κορυφή της. Για κάθε μία από τις τριγωνικές πυραμίδες αποδείξαμε ότι ισχύει το Θεώρημα, επομένως ο συνολικός Α όγκος της πυραμίδας ισούται με το άθροισμα των όγκων των Σχήμα 25 τριγωνικών πυραμίδων, δηλαδή: V =  1  (Ε1 + Ε2 + ... + Εv-2) ∙ υ =  E∙υ , 3 3 όπου Ε1, Ε2, ... είναι τα εμβαδά των (ν-2) τριγώνων που χωρίζεται η βάση, Ε το εμβαδόν της βάσης και υ το ύψος της πυραμίδας.εφαρμογη Να υπολογισθεί το εμβαδόν της συνολικής επιφάνειας Δ και ο όγκος κανονικού τετραέδρου, ακμής α. Λύση Η επιφάνεια του τετραέδρου αποτελείται από τέσ- υ Γ σερα ισόπλευρα τρίγωνα πλευράς α, επομένως η Α συνολική επιφάνεια του τετραέδρου έχει εμβαδόν Ε = 4⋅α2 3= 3 ⋅α2. Η Κ 4 Ο όγκος του κανονικού τετραέδρου, θεωρούμενο ως τριγωνική πυραμίδα, ισούται με το τρίτο του εμβαδού Β της βάσης ΑΒΓ που είναι ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς Σχήμα 26 α, επί το ύψος ΔΚ. Το Κ όμως είναι κέντρο βάρους της βάσης και από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΚ έχουμε ∆Κ = α 6 . 3 1 ⋅ α2 α3 2 Επομένως, ο όγκος του τετραέδρου είναι V= 34 3 ⋅ α6 = 12 . 3160

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13. ΣΤΕΡΕΑ ΣΧΗΜΑΤΑ Κ 13.8 Ορισμός και στοιχεία κόλουρης πυραμίδας Δʹ Αν τμήσουμε μία πυραμίδα μεταξύ κορυφής και βάσης, με Αʹ ΔΛ Γʹ επίπεδο παράλληλο στη βάση, τότε το μέρος της πυραμίδαςΑ Ηυ Γ που περιλαμβάνεται μεταξύ των δύο παράλληλων επιπέδων λέγεται κόλουρη πυραμίδα. Τα δύο όμοια πολύγωνα λέγο- Βʹ νται βάσεις (μικρή και μεγάλη) της κόλουρης πυραμίδας υʹ Λʹ και το ευθύγραμμο τμήμα που έχει άκρα στα επίπεδα των βάσεων και είναι κάθετο σε αυτά λέγεται ύψος της κόλου- Ηʹ ρης πυραμίδας. Β Σχήμα 27 Οι παράπλευρες έδρες μιας κόλουρης πυραμίδας είναι τρα- πέζια και τα ύψη τους λέγονται παράπλευρα ύψη της κόλου- ρης πυραμίδας. Ισοσκελής λέγεται η κόλουρη πυραμίδα που κατασκευάζεται από κανονική πυραμίδα και οι παράπλευρες έδρες της είναι ισοσκελή τραπέζια. Στο σχ.27 παριστάνεται μια κόλουρη ισοσκελής τετραγωνι- κή πυραμίδα, η οποία σημειώνεται με ΑΒΓΔ-ΑʹΒʹΓʹΔʹ, έχει ύψος ΛΛʹ και παράπλευρο ύψος ΗΗʹ. 13.9 Μέτρηση κόλουρης ισοσκελούς πυραμίδας ► Εμβαδόν επιφάνειας κόλουρης ισοσκελούς πυραμίδας Το εμβαδόν Επ της παράπλευρης επιφάνειας κόλουρης ισο- σκελούς πυραμίδας με βάσεις κανονικά ν-γωνα, ισούται με: Επ = (τ + τʹ) ∙ υʹ, όπου τ και τʹ είναι οι ημιπερίμετροι των βάσεων και υʹ είναι το παράπλευρο ύψος της. Το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας δίνεται από τον τύπο: Εο = Επ + Β + β, όπου Β και β είναι τα εμβαδά των δύο βάσεων. ► Ό γκος κόλουρης ισοσκελούς πυραμίδας Ο όγκος κόλουρης πυραμίδας δίνεται από τον τύπο: V = υ ⋅ (Β + β + Ββ ) . 3 161

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑεφαρμογη 1η Να αποδειχθεί ότι τα μεσοκάθετα επίπεδα στις Α έξι ακμές ενός τετραέδρου διέρχονται από το ίδιο ΒΟ σημείο. Επίσης, οι ευθείες που είναι κάθετες στις έδρες τετραέδρου στα περίκεντρα των εδρών δι- έρχονται από το ίδιο σημείο. Απόδειξη Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράεδρο, τα μεσοκάθετα επίπε- Δ δα στις ακμές ΑΒ, ΑΓ και ΑΔ τέμνονται σε σημείο Ο, διότι είναι κάθετα σε τρεις τεμνόμενες ευθείες. Γ Σχήμα 28 Το σημείο Ο (σχ.28), ισαπέχει από τις κορυφές Α, Β, Γ και Δ άρα θα ανήκει και στα μεσοκάθετα επίπεδα των υπολοίπων ακμών. Επίσης, το σημείο Ο ανήκει στα μεσοκάθετα επίπεδα των τριών ακμών κάθε έδρας, άρα προβάλλεται στα περίκεντρα των εδρών.εφαρμογη 2η Να βρεθεί σημείο που να ισαπέχει από τα επίπεδα Α των εδρών ενός τετραέδρου ΑΒΓΔ. ΟΔ Απόδειξη Β Χ Γ Τα σημεία της κοινής ευθείας ΑΧ (σχ.29), των επιπέ- Σχήμα 29 δων που διχοτομούν τις δίεδρες ΑΒ(Γ,Δ), ΑΔ(Β,Γ) και ΑΓ(Β,Δ) ισαπέχουν από τις τρεις έδρες ΑΒΓ, ΑΒΔ και ΑΓΔ. Το επίπεδο που διχοτομεί τη δίεδρη ΒΔ(Α,Γ) τέ- μνει την ΑΧ σε ένα σημείο Ο, που ισαπέχει και από τις τέσσερις έδρες.ΑΣΚΗΣΕΙΣ για λυση Ασκήσεις Εμπέδωσης εμβαδόν παράπλευρης επιφάνειας 200 και απόστημα 10. 1. Να υπολογίσετε το ύψος και το απόστημα κανονικής i) εξαγωνικής, ii) τετραγωνικής 5. Η μεγάλη πυραμίδα της Αιγύπτου έχει και iii) τριγωνικής πυραμίδας (κανονικό βάση τετράγωνο πλευράς 234m και ύψος τετράεδρο), αν έχει πλευρά βάσης μήκους 146m. Να υπολογίσετε την παράπλευρη μ και ακμή μήκους λ. επιφάνεια και τον όγκο της πυραμίδας. 2. Να αποδείξετε ότι οι παράπλευρες έδρες 6. Να υπολογίσετε το εμβαδόν της παρά- κανονικής ν-γωνικής πυραμίδας σχηματί- πλευρης επιφάνειας και τον όγκο κανονι- ζουν ίσες γωνίες με το επίπεδο της βάσης. κής τετραγωνικής πυραμίδας ως συνάρτη- ση της πλευράς της βάσης, αν έχει ακμή 3. Να υπολογίσετε το εμβαδόν της παράπλευ- ίση με τη διαγώνιο της βάσης. ρης επιφάνειας και της ολικής επιφάνειας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας, με 7. Να βρείτε το λόγο των όγκων κύβου και πλευρά βάσης 4 και ακμή 7. κανονικού τετραέδρου που έχει ακμή ίση με τη: i) διαγώνιο του κύβου και ii) δια- 4. Να υπολογίσετε το εμβαδόν της βάσης κα- γώνιο της έδρας του κύβου. νονικής τετραγωνικής πυραμίδας που έχει162

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13. ΣΤΕΡΕΑ ΣΧΗΜΑΤΑ 8. Να βρείτε το λόγο των όγκων κανονικού 5. Αν δύο τετράεδρα έχουν κοινή μία τρίεδρη τετραέδρου ακμής α και κανονικής εξαγω- γωνία, τότε ο λόγος των όγκων τους ισού- νικής πυραμίδας πλευράς α και ύψους α. ται με το λόγο του γινομένου των ακμών της τρίεδρης. 9. Επίπεδο παράλληλο στη βάση κανονικής εξαγωνικής πυραμίδας, με πλευρά α και 6. Αν Αʹ, Βʹ, Γʹ είναι τα μέσα των ακμών ύψος υ, διχοτομεί το ύψος της. Να υπο- ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ τετράεδρου ΟΑΒΓ, τότε λογίσετε το εμβαδόν της παράπλευρης επι- φάνειας και τον όγκο της κόλουρης πυρα- 7. (ΚΟαΑνοʹΒνʹιΓκήʹ) τ=ρ ιγ18ω(νΟικΑήΒπΓυ)ρ.αμίδα Ο.ΑΒΓ έχει μίδας που προκύπτει. πλευρά βάσης α και οι παράπλευρες ακμές της σχηματίζουν γωνία 60° με τη βάση. Αποδεικτικές Ασκήσεις Να υπολογίσετε τον όγκο της. 1. Δίνεται το παραλληλεπίπεδο ΑΒΓΔ-ΑʹΒʹΓʹΔʹ. Σύνθετα Θέματα Να αποδείξετε ότι το τετράεδρο ΑΓΒʹΔʹ έχει το ένα τρίτο του όγκου του παραλλη- 1. Να αποδείξετε ότι ο όγκος τετραέδρου λεπιπέδου. ισούται με το γινόμενο της προβολής του σε επίπεδο κάθετο σε μία ακμή επί το ένα 2. Να αποδείξετε ότι σε κάθε τετράεδρο, το τρίτο της ακμής αυτής. γινόμενο του εμβαδού κάθε έδρας επί το αντίστοιχο ύψος είναι σταθερό. 2. Αν η κάθετη τομή τριγωνικού πρίσματος έχει ίσες πλευρές, τότε το άθροισμα των 3. Να αποδείξετε ότι ο όγκος τετραέδρου δε αποστάσεων κάθε εσωτερικού σημείου μεταβάλλεται αν μία ακμή μετακινηθεί από τις βάσεις και από τις παράπλευρες στο φορέα της χωρίς να αλλάξει μήκος. έδρες είναι σταθερό. 4. Αν δύο τετράεδρα έχουν κοινή μία ακμή 3. Να αποδείξετε ότι το στερεό που έχει κο- και τη δίεδρη που αντιστοιχεί σε αυτήν, ρυφές τα μέσα των ακμών ενός κύβου έχει τότε ο λόγος των εμβαδών ισούται με το ίσες ακμές και να υπολογίσετε τον όγκο λόγο του γινομένου των εμβαδών των δύο του. εδρών που πρόσκεινται στη δίεδρη. ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ1. Αν τυχαία πυραμίδα τμηθεί με επίπεδο παράλληλο στη βάση της (σχ.29), έχουμε:• ΚΑ  =  ΚΒ  =  ΚΓ  =  ΚΗ  = λ και ΚΑʹ ΚΒʹ ΚΓʹ ΚΗʹ• ΑΒΓ ≈ ΑʹΒʹΓʹ με λόγο ομοιότητας λ.2. Μέτρηση κανονικής πυραμίδας:• Εμβαδόν παράπλευρης επιφάνειας: Επ = τ ∙ μ• Όγκος: V =  B ∙ υ , 3 όπου μ το απόστημα, τ η ημιπερίμετρος της βάσης, υ το ύψος της πυραμίδας και Β το εμβαδόν της βάσης.3. Μέτρηση κόλουρης πυραμίδας• Εμβαδόν παράπλευρης επιφάνειας: Επ = (τ + τʹ) ∙ υʹ• Όγκος: V = υ ⋅(Β + β + Ββ ) , τ και τʹ οι ημιπερίμετροι των βάσεων, Β και β τα εμ- 3 βαδά των βάσεων, υ το ύψος και υʹ το παράπλευρο ύψος της πυραμίδας. 163

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σχήμα 30 13.10 Στερεά εκ περιστροφής Τα στερεά εκ περιστροφής είναι η δεύτερη οικογένεια στε- ρεών που θα μελετήσουμε σε αυτό το κεφάλαιο. Τα στερεά αυτά είναι χρήσιμα τόσο από θεωρητική όσο και από πρα- κτική άποψη γιατί κατασκευάζονται εύκολα με τη χρήση ειδικών μηχανημάτων. Τα στερεά εκ περιστροφής λέγονται έτσι γιατί δημιουργούνται κατά την περιστροφή μιας επίπε- δης γραμμής γύρω από άξονα περιστροφής μία ευθεία που βρίσκεται στο επίπεδο της γραμμής (σχ.30). Τα σημεία της γραμμής αυτής κατά την περιστροφή γράφουν κύκλους που βρίσκονται σε επίπεδα κάθετα στον άξονα περιστροφής και έχουν τα κέντρα τους στον άξονα. Στις επόμενες παραγρά- φους θα μελετήσουμε τον κύλινδρο, τον κώνο και τη σφαίρα ως στερεά εκ περιστροφής. Κύλινδρος 13.11 Ορισμός και στοιχεία κυλίνδρου Ορισμοί Ορθός κύλινδρος ή κύλινδρος εκ περιστροφής ή κύλιν- δρος λέγεται το σχήμα που παράγεται από ένα ορθο- γώνιο παραλληλόγραμμο, το οποίο εκτελεί μία πλήρη περιστροφή στο χώρο γύρω από τη μία πλευρά του. Το ευθύγραμμο τμήμα ΑʹΒʹ γύρω από το οποίο περιστρέφε- ται το παραλληλόγραμμο ΑΒΒʹΑʹ (σχ.31), μένει αμετακίνητοΓ Αʹ Α κατά την περιστροφή, λέγεται άξονας ή ύψος του κυλίνδρου. Κατά την περιστροφή, η πλευρά ΑΒ παραμένει παράλληλη και σε σταθερή απόσταση από τον άξονα ΑʹΒʹ και η τυχαία Μʹ Μ θέση της πλευράς ΑΒ λέγεται γενέτειρα του κυλίνδρου. Η επιφάνεια που δημιουργείται από την κίνηση της πλευράς ΑΒ λέγεται παράπλευρη ή κυρτή επιφάνεια του κυλίνδρου.Δ Β Οι πλευρές ΑʹΑ και ΒʹΒ του παραλληλογράμμου, ως κάθε- Βʹ τες στην ΑʹΒʹ και ίσες μεταξύ τους, κατά την περιστροφή, Σχήμα 31 γράφουν ίσους και παράλληλους κυκλικούς δίσκους που ανήκουν σε επίπεδα κάθετα στον άξονα στα σημεία Αʹ και Βʹ. Οι κύκλοι (Αʹ, ΑʹΑ) και (Βʹ, ΒʹΒ) είναι παράλληλοι, λέ- γονται βάσεις του κυλίνδρου και η ακτίνα ΑʹΑ = ΒʹΒ λέγε- ται ακτίνα του κυλίνδρου. Ο κύλινδρος θα συμβολίζεται με (ΑʹΒʹ, ΑʹΑ), όπου ΑʹΒʹ είναι ο άξονας του κυλίνδρου και ΑʹΑ είναι η ακτίνα του.164

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13. ΣΤΕΡΕΑ ΣΧΗΜΑΤΑ Ζʹ Εʹ 13.12 Μέτρηση κυλίνδρουΗʹ Αʹ Δʹ Έστω κύλινδρος (ΑΑʹ, ρ). Αν στη μία βάση του κυλίνδρου Θʹ ρ (σχ.32) εγγράψουμε ένα πολύγωνο και από τις κορυφές του Γʹ πολυγώνου φέρουμε ευθύγραμμα τμήματα παράλληλα και ίσα με τον άξονα του κυλίνδρου, τα τμήματα αυτά είναι γενέτει- ΖΕ ρες του κυλίνδρου, οι οποίες ξεκινάνε από σημεία της μίας βάσης, βρίσκονται στην κυρτή επιφάνεια του κυλίνδρου καιΗΑ Δ καταλήγουν στην άλλη βάση ως κορυφές ενός πολυγώνου, ίσου και παράλληλου στο αρχικό πολύγωνο. Σχηματίζεται έτσιΘΓ ένα ορθό πρίσμα που λέγεται εγγεγραμμένο στον κύλινδρο. Σχήμα 32 Αν στη μία βάση του κυλίνδρου (ΒΒʹ, ρ), περιγράψουμε Νʹ Μʹ ένα πολύγωνο (σχ.33) και από τις κορυφές του πολυγώνου φέρουμε ευθύγραμμα τμήματα παράλληλα και ίσα με τονΚʹ Βʹ άξονα του κυλίνδρου ΒΒʹ, σχηματίζεται ένα ορθό πρίσμα, οι Ν ρ έδρες του οποίου είναι επίπεδα εφαπτόμενα στον κύλινδρο κατά μήκος γενετειρών και οι βάσεις του είναι ίσα πολύ- Λʹ γωνα περιγεγραμμένα στις δύο βάσεις. Ένα τέτοιο πρίσμα Μ λέγεται περιγεγραμμένο στον κύλινδρο. Β ► Ανάπτυγμα του κυλίνδρουΚΛ Εγγράφουμε στον κύλινδρο (ΑΑʹ, ρ), ένα κανονικό πρίσμα, Σχήμα 33 το οποίο αναπτύσσουμε στο επίπεδο (σχ.32). Το ανάπτυγμα του πρίσματος είναι ένα ορθογώνιο με το ένα ζεύγος απέναντιΚ 2πρ Ν πλευρών ίσες με τις γενέτειρες και το άλλο ίσο με την περίμε-Λ υ τρο της βάσης του πρίσματος. Αν διπλασιάζουμε συνεχώς τον αριθμό των πλευρών του πρίσματος, η περίμετρος της βάσης Μ του τείνει στο μήκος του κύκλου. Άρα, στο όριο, το ανάπτυγ- μα της κυρτής επιφάνειας του κυλίνδρου είναι ορθογώνιο με Σχήμα 34 πλευρές τη γενέτειρα και το μήκος του κύκλου της βάσης, δηλαδή υ και 2ρπ αντίστοιχα, όπου υ το ύψος, ρ η ακτίνα του κυλίνδρου (σχ.34). Το ανάπτυγμα της ολικής επιφάνειας απο- τελείται από το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΚΛΜΝ που περιγράψαμε και από δύο κυκλικούς δίσκους ακτίνας ρ, που αντιστοιχούν στις δύο βάσεις του κυλίνδρου (σχ.34). ► Εμβαδόν επιφάνειας κυλίνδρου Σύμφωνα με τους συλλογισμούς που κάναμε για την κατα- σκευή του αναπτύγματος, προκύπτει αμέσως το ακόλουθο θεώρημα: Θεώρημα Ι Το εμβαδόν της κυρτής και της ολικής επιφάνειας ενός κυλίνδρου ακτίνας ρ και ύψους υ είναι Εκ = 2πρυ και Ε0 = 2πρ(υ + ρ) αντίστοιχα. 165

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ ► Ό γκος κυλίνδρουΑν αντί των εγγεγραμμένων πρι- Αν εγγράψουμε στον κύλινδρο ένα ορθό κανονικό πρίσμασμάτων στον κύλινδρο χρησιμο- με βάση κανονικό ν-γωνο, ο όγκος του πρίσματος ισούται μεποιούσαμε τα περιγεγραμμένα το εμβαδόν της βάσης επί το ύψος του. Θεωρούμε τώρα ότιθα βρίσκαμε τους ίδιους ακρι- το ν διπλασιάζεται συνεχώς, ώστε το πλήθος των πλευρώνβώς τύπους για την επιφάνεια της βάσης του πρίσματος να τείνει στο άπειρο, οπότε τοκαι τον όγκο του κυλίνδρου. εμβαδόν της βάσης τείνει στο εμβαδόν του κύκλου. Τότε, στο όριο, ο όγκος του κυλίνδρου ισούται με το εμβαδόν του κύκλου της βάσης επί το ύψος, δηλαδή: Θεώρημα Ιι Ο όγκος κυλίνδρου ύψους υ και ακτίνας ρ ισούται με V = πρ 2υ.ΑΣΚΗΣΕΙΣ για λυση Ασκήσεις Εμπέδωσης Αποδεικτικές Ασκήσεις 1. Να υπολογίσετε το εμβαδόν της κυρτής 1. Κύλινδρος έχει όγκο V και ύψος υ. Να και ολικής επιφάνειας και τον όγκο του υπολογίσετε την ολική του επιφάνεια. κυλίνδρου που έχει ύψος 1 και ακτίνα 1. 2. Θεωρούμε τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς α 2. Το ίδιο για κύλινδρο με ακτίνα 15 και και Μ το μέσο του ΑΒ. Να υπολογίσε- ύψος 8. τε τον όγκο του στερεού που σχηματίζε- ται από το ορθογώνιο ΜΝΓΒ, (ΜΝ//ΑΔ) 3. Να υπολογίσετε τον όγκο, την κυρτή και κατά την περιστροφή του γύρω από την τη συνολική επιφάνεια κυλίνδρου που έχει πλευρά ΑΔ. Σε ποια θέση πρέπει να είναι ύψος διπλάσιο της ακτίνας του. το Μ, ώστε ο παραγόμενος όγκος να είναι το μισό του κυλίνδρου που παράγεται από 4. Κυλινδρική δεξαμενή έχει ακτίνα 1μ. Να το τετράγωνο; υπολογίσετε τη χωρητικότητα σε λίτρα της δεξαμενής για κάθε εκατοστό του μέτρου 3. Θεωρούμε ορθογώνιο ΑΒΓΔ που περι- ύψος. στρέφεται γύρω από άξονα του επιπέδου του που δεν το τέμνει και είναι παράλλη- 5. Το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας ενός λος στην πλευρά ΑΒ. Να υπολογίσετε τον κυλίνδρου με ύψος 2 είναι ίσο με το εμβα- όγκο και την ολική επιφάνεια που παρά- δόν κύκλου ακτίνας 4. Να βρεθεί η ακτίνα γεται από το ορθογώνιο και να αποδείξε- ρ του κυλίνδρου. τε ότι ισούται με το μήκος του κύκλου που γράφει το κέντρο Ο του ορθογωνίου επί το εμβαδόν και την περίμετρο του ορθο- γωνίου αντίστοιχα. ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ1. Εμβαδόν επιφάνειας κυλίνδρου: κυρτής: ΕΚ = 2πρυ, ολικής: 2. Όγκος κυλίνδρου: Ε0 = 2πρ(υ+ρ) V = πρ 2υ.166

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13. ΣΤΕΡΕΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΚώνοςΚ 13.13 Ορισμός και στοιχεία κώνουΟ Ορισμοί Α Ορθός κώνος ή κώνος εκ περιστροφής ή απλώς κώ- Σχήμα 35 νος λέγεται το στερεό σχήμα που παράγεται από την περιστροφή ενός ορθογώνιου τριγώνου γύρω από μίαΚ κάθετη πλευρά του. Γ Β Θεωρούμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΚΟΑ, με την ορθή γωνίαΔ στο Ο (σχ.35), το οποίο περιστρέφεται γύρω από την κάθετη πλευρά ΚΟ. Η υποτείνουσα ΚΑ του ορθογώνιου τριγώνου, Ο κατά την περιστροφή, διέρχεται από το σταθερό σημείο Κ και γράφει μία κυρτή επιφάνεια, ενώ η κάθετη πλευρά ΟΑ ρ γράφει έναν κυκλικό δίσκο κέντρου Ο και ακτίνας ΟΑ, που βρίσκονται στο επίπεδο που είναι κάθετο στην ΚΟ στο Ο.Α Το στερεό σχήμα που παράγεται με αυτόν τον τρόπο από Σχήμα 36 το τρίγωνο ΚΟΑ λέγεται κώνος. Η κυρτή επιφάνεια που παράγεται από την υποτείνουσα ΚΑ λέγεται παράπλευρη ήK κυρτή επιφάνεια του κώνου, η τυχαία θέση της ΚΑ λέγεται γενέτειρα ή πλευρά του κώνου. Η κάθετη πλευρά ΚΟ, που Γ Β παραμένει σταθερή κατά την περιστροφή, λέγεται άξονας ή ύψος, το σημείο Κ λέγεται κορυφή, ο κύκλος που γράφειΔ η κάθετη πλευρά ΟΑ λέγεται βάση και η ακτίνα της βάσης ρΟ λέγεται ακτίνα του κώνου. Είναι προφανές ότι όλες οι γε- νέτειρες ενός κώνου είναι ίσες. Ο κώνος συμβολίζεται μεΑ (ΚΟ, ΟΑ), όπου ΚΟ ο άξονας και ΟΑ η ακτίνα της βάσης Σχήμα 37 του κώνου. 13.14 Μέτρηση του κώνου Θεωρούμε έναν κώνο (ΚΟ, ρ) (σχ.36), και ένα πολύγωνο εγγεγραμμένο στη βάση του κώνου, π.χ. ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Αν ενώσουμε την κορυφή Κ του κώνου με τις κορυ- φές του πολυγώνου, οι ακμές της πυραμίδας είναι γενέτειρες του κώνου. Η πυραμίδα λοιπόν που έχει με τον κώνο κοινή κορυφή και η βάση της είναι εγγεγραμμένη στη βάση του κώνου λέγεται εγγεγραμμένη στον κώνο. Αν τώρα θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, περιγεγραμμένο στη βάση ενός κώνου, π.χ. ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ (σχ.37) και συνδέσουμε την κορυφή Κ του κώνου με τις κορυφές του 167

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Κ πολυγώνου, προκύπτει μία πυραμίδα που λέγεται περιγε- γραμμένη στον κώνο. Η πυραμίδα αυτή έχει έδρες που εφάπτονται στην κυρτή επιφάνεια του κώνου κατά μήκος γενετειρών. λ ► Α νάπτυγμα του κώνου Ο Ζ Η κυρτή επιφάνεια ενός κώνου μπορεί να αναπτυχθεί στο Ε επίπεδο. Για το σκοπό αυτό εγγράφουμε στον κώνο (ΚΟ, ρ) (σχ.38), μία κανονική ν-γωνική πυραμίδα, την οποία στη Αρ Δ συνέχεια αναπτύσσουμε στο επίπεδο. Το ανάπτυγμα της πα- ράπλευρης επιφάνειας της κανονικής πυραμίδας αποτελείται ΒΓ από ν ίσα ισοσκελή τρίγωνα (σχ.39), τα οποία κατασκευά- ζουμε το ένα δίπλα στο άλλο ως εγγεγραμμένα τρίγωνα στον Σχήμα 38 κύκλο (Κʹ, λ), όπου Κʹ τυχόν σημείο του επιπέδου και λ το μήκος της γενέτειρας του κώνου. Αʹ Κʹ Διπλασιάζοντας συνεχώς τον αριθμό ν των κορυφών της εγ- γεγραμμένης πυραμίδας, τα μήκη των ίσων χορδών ΑΒ, ΒΓ, λ Εʹ κτλ. γίνονται συνεχώς μικρότερα και η πολυγωνική γραμμήΑʹ Δʹ ΑʹΒʹ...Αʹ στο ανάπτυγμα τείνει να συμπέσει με το τόξο του Βʹ Γʹ κύκλου (Κʹ, λ). Στο όριο λοιπόν, το ανάπτυγμα του κώνου Σχήμα 39 είναι ένας τομέας του κύκλου (Κʹ, λ), το τόξο του οποίου έχει μήκος A͡ Aʹ = 2πρ. Αν ονομάσουμε φ τη γωνία ΑʹK̂ ʹΑʹ του τομέα, μετρημένη σε μοίρες, έχουμε τη σχέση (σχ.40): 360  =  φ  ⇔ φ =  ρ  ∙ 360º. 2πλ 2πρ λ Κ φ Άρα, το ανάπτυγμα της κυρτής επιφάνειας κώνου με λ πλευρά λ και ακτίνα ρ είναι τομέας κύκλου ακτίνας λ που βλέπει τόξο μήκους 2πρ ή σε μοίρες: φ =  ρ  ∙ 360º λ Σχήμα 40 ► Ε μβαδόν επιφάνειας και όγκος του κώνου Σύμφωνα με τους συλλογισμούς που κάναμε για την κατα- σκευή του αναπτύγματος, προκύπτει αμέσως το ακόλουθο Θεώρημα. Θεώρημα ι Το εμβαδόν της κυρτής Εκ και της ολικής Εο επιφάνειας ενός κώνου με ακτίνα ρ και γενέτειρα λ, ισούται με: Εκ = πρλ και Ε0 = πρ(ρ + λ). Απόδειξη Το ανάπτυγμα της κυρτής επιφάνειας του κώνου είναι το-168

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13. ΣΤΕΡΕΑ ΣΧΗΜΑΤΑ μέας κύκλου ακτίνας λ που έχει μήκος τόξου 2πρ. Για το εμβαδόν Εκ αυτού του τομέα ισχύει η σχέση: πλ 2  =  Εκ  ⇔ Εκ = πρλ. 2πλ 2πρ Το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας προκύπτει αν στο εμβα- δόν της παράπλευρης επιφάνειας προσθέσουμε το εμβαδόν της βάσης του κώνου, δηλαδή: Ε0 = πρ 2 + πρλ = πρ (ρ + λ). Θεώρημα ιι Ο όγκος κώνου ακτίνας ρ και ύψους υ ισούται με: V = πρ 2 υ . 3ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ ΑπόδειξηΑντί των εγγεγραμμένων πυρα-μίδων μπορούμε να χρησιμοποι- Θεωρούμε κανονική πυραμίδα εγγεγραμμένη στον κώνο, ηήσουμε τις περιγεγραμμένες. Ο Β∙ υόγκος του κώνου είναι μικρό- οποία έχει όγκο V =  3 , όπου Β το εμβαδόν της βάσηςτερος από τον όγκο των περιγε-γραμμένων πυραμίδων και με- της. Αν ο αριθμός των πλευρών της πυραμίδας συνεχώς δι-γαλύτερος των εγγεγραμμένων. πλασιάζεται, τότε στο όριο, το εμβαδόν της βάσης της πυ- Κ ραμίδας είναι το εμβαδόν της βάσης του κώνου και ο όγκος ρ Οʹ Αʹ του κώνου ισούται με V =  πρ 2υ . 3 λυ ρʹ Ο 13.15 Κόλουρος κώνος Α Έστω κώνος (ΚΟ, ρ), ο οποίος τέμνει ένα επίπεδο κάθετο Σχήμα 41 στον άξονά του στο σημείο Οʹ μεταξύ Κ και Ο (σχ.41). Δη- μιουργείται έτσι ένας μικρότερος κώνος, με την ίδια κορυφή και βάση έναν κύκλο παράλληλο προς τον αρχικό, με μι- κρότερη ακτίνα, ο οποίος αφαιρείται από τον αρχικό κώνο. Το σχήμα που απομένει λέγεται κόλουρος κώνος και αποτε- λείται από το μέρος του κώνου που περιλαμβάνεται μεταξύ της βάσης και ενός επιπέδου παράλληλου σε αυτό, μεταξύ κορυφής και βάσης. Οι δύο παράλληλοι κύκλοι λέγονται βάσεις του κόλουρου κώνου (μικρή και μεγάλη) και το ευ- θύγραμμο τμήμα ΟΟʹ που συνδέει τα κέντρα των βάσεων λέγεται άξονας ή ύψος. Το τμήμα ΑΑʹ λέγεται γενέτειρα ή πλευρά. Για τον όγκο και την επιφάνεια ενός κόλουρου κώνου ισχύ- ουν τα επόμενα Θεωρήματα. 169

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεώρηματα • Το εμβαδόν της κυρτής Εκ και της ολικής Εο επιφάνειας κόλουρου κώνου με ακμή λ και ακτίνες βάσεων ρ και ρʹ, ισούται με: Εκ = πλ (ρ + ρʹ) και Ε0 = πλ (ρ + ρʹ) + π (ρ 2 + ρʹ 2). • Ο όγκος κόλουρου κώνου, με ύψος υ και ακτίνες ρ και ρʹ, ισούται με: V =  πυ (ρ 2 + ρʹ 2 + ρρʹ). 3ΑΣΚΗΣΕΙΣ για λυση Ασκήσεις Εμπέδωσης Αποδεικτικές Ασκήσεις 1. Κώνος έχει ακτίνα 3 και ύψος 4. Να υπο- 1. Να χωριστεί η κυρτή επιφάνεια κώνου σε λογίσετε τον όγκο, την κυρτή και την ολι- δύο ισοδύναμα μέρη με επίπεδο κάθετο κή επιφάνεια του κώνου. στον άξονα του κώνου. Το ίδιο για τους όγκους των κώνων. 2. Κώνος έχει ύψος 4 και επιφάνεια 6π. Να βρείτε την ακτίνα του κώνου. 2. Ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ προεκτείνου- με την πλευρά ΑΒ κατά ίσο μήκος και 3. Κατασκευάζεται αποθήκη οικοδομικών στο σημείο αυτό φέρουμε ευθεία ξ κάθε- υλικών σε σχήμα αντεστραμμένου κώνου τη στην ΑΒ. Να υπολογίσετε τον όγκο που (σιλό), χωρίς κάλυμμα, με ακτίνα βάσης παράγεται από το ισόπλευρο τρίγωνο, αν ρ και γενέτειρα 2ρ. Να υπολογίσετε το εμ- αυτό περιστραφεί γύρω από την ευθεία ξ. βαδόν της λαμαρίνας που χρειάζεται για την κατασκευή της και τον όγκο της απο- 3. Κώνος έχει ακτίνα ρ και γενέτειρα 2ρ. θήκης. Να χωρίσετε τον κώνο με δύο παράλλη- λα επίπεδα στη βάση σε τρία μέρη, ώστε 4. Κώνος παράγεται από την περιστροφή ορ- οι κυρτές επιφάνειες που προκύπτουν να θογώνιου και ισοσκελούς τριγώνου γύρω είναι ισοδύναμες. από το ύψος του. Αν ρ είναι η ακτίνα της βάσης του κώνου, να υπολογίσετε τον 4. Να αποδείξετε ότι ο όγκος ενός κώνου όγκο και την κυρτή επιφάνεια του κώνου. ισούται με το εμβαδόν του ορθογώνιου 5. Το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας κώνου 1 είναι ίσο με το εμβαδόν κύκλου ακτίνας τριγώνου που τον παράγει επί το 3 του α. Να βρείτε την κυρτή επιφάνεια και τον μήκους του κύκλου της βάσης. όγκο του κώνου, αν έχει ακτίνα ρ. 5. Να αποδείξετε ότι τα εμβαδά των κυρτών 6. Να βρείτε το λόγο του εμβαδού της βάσης επιφανειών δύο κώνων που παράγονται ενός κώνου προς το εμβαδόν της κυρτής από δύο όμοια ορθογώνια τρίγωνα είναι επιφάνειάς του, αν έχει ύψος ίσο με τη ανάλογα προς τα τετράγωνα των ακτίνων διά­μετρο της βάσης του. τους. 7. Κώνος και κύλινδρος έχουν ίσες βάσεις 6. Το εμβαδόν της κυρτής επιφάνειας ενός και ίσα ύψη. Να βρείτε το λόγο των κυρ- τών επιφανειών τους. κώνου ισούται με το εμβαδόν κύκλου 8. Να βρείτε τη γωνία του κυκλικού τομέα ακτίνας α. Να υπολογίσετε: i) τον όγκο που παριστάνει το ανάπτυγμα του κώνου ακτίνας ρ και ύψους υυ ==  15ρ. του κώνου, αν έχει ακτίνα ρ και ii) τον όγκο του κώνου, αν α = 1 και ρ =  2 . 3170

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13. ΣΤΕΡΕΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ1. Εμβαδόν επιφάνειας κώνου ακτίνας ρ και γενέτειρας λ: • κυρτής: Εκ = πρλ, • ολικής: Εο = πρ(ρ + λ).2. Το ανάπτυγμα κώνου ακτίνας ρ και γενέτειρας λ είναι κυκλικός τομέας γωνίας: φ =  ρ  ∙ 360º . λ3. Όγκος κώνου ύψους υ και ακτίνας ρ: V =  πρ 2υ . 34. Κόλουρος κώνος με ακτίνες ρ, ρʹ, ύψος υ και γενέτειρα λ: • εμβαδόν κυρτής επιφάνειας Εκ = πλ(ρ + ρʹ) Εο = πλ(ρ + ρʹ) + π(ρ 2 + ρʹ 2) • εμβαδόν ολικής επιφάνειας • όγκος V =  πυ (ρ2 + ρʹ2 + ρρʹ). 3 Μ Α Σφαίρα Μʹ ρ 13.16 Ορισμός και στοιχεία σφαίρας Β Ο Η σφαίρα, ένα στερεό σχήμα που είναι γνωστό από την επο- Αʹ πτεία, μπορεί να οριστεί γεωμετρικά με δύο τρόπους. Κατά τον ένα τρόπο, θεωρείται ότι προκύπτει ως επιφάνεια εκ Σχήμα 42 περιστροφής, ενώ κατά τον δεύτερο τρόπο ότι είναι γεωμε- τρικός τόπος σημείων του χώρου. Ακολουθούν και οι δύο Β Αʹ ορισμοί: ΜΟ Ορισμοί Α i) Σφαίρα είναι το σχήμα που παράγεται από την Σχήμα 43 περιστροφή ενός κύκλου (Ο, ρ) με άξονα περι- στροφής μία διάμετρό του. ii) Σφαίρα είναι το σύνολο των σημείων του χώρου που απέχουν από ένα σταθερό σημείο Ο σταθερή απόσταση ρ. Το σημείο Ο λέγεται κέντρο (σχ.42) και το τμήμα ΟΒ = ρ λέγεται ακτίνα της σφαίρας. Η σφαίρα συμβολίζεται με (Ο, ρ), όπου Ο είναι το κέντρο της σφαίρας και ρ η ακτίνα της. Κάθε ευθεία που περνάει από το κέντρο Ο της σφαίρας τέμνει τη σφαίρα σε δύο σημεία Α και Αʹ, τα οποία λέγονται αντιδιαμετρικά σημεία (σχ.43) και το ευθύγραμμο τμήμα ΑΑʹ λέγεται διάμετρος της σφαίρας. Το ευθύγραμμο τμήμα 171

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ξ ΑΒ που ενώνει δύο τυχαία σημεία της σφαίρας λέγεται χορ- δή. Τα σημεία του χώρου που απέχουν από το κέντρο της Β σφαίρας απόσταση μικρότερη από την ακτίνα της σφαίρας λέγονται εσωτερικά σημεία της σφαίρας, ενώ εκείνα των Κ Γ οποίων η απόσταση από το κέντρο είναι μεγαλύτερη από Α την ακτίνα λέγονται εξωτερικά. Ο Ως άμεση συνέπεια του ορισμού προκύπτουν οι εξής προ- τάσεις:πΔ Προτάσεις Σχήμα 44 • Κάθε σφαίρα έχει μόνο ένα κέντρο Ο. α Ο π ρ • Όλες οι διάμετροι της σφαίρας είναι ίσες. β δ • Κάθε χορδή σφαίρας είναι μικρότερη από τη διάμετρο. π Κ γ • Αν ΑΒ είναι χορδή σφαίρας και Μ το μέσο της χορδής, π Ορ τότε η ΟΜ είναι κάθετη στη χορδή. Κδ172 Πρόταση Ορ δ Τέσσερα σημεία του χώρου, που δεν ανήκουν στο ίδιο ΚΜ επίπεδο, ορίζουν μοναδική σφαίρα. x Απόδειξη Σχήμα 45 Θεωρούμε τα σημεία Α, Β, Γ και Δ, που δεν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο. Τα σημεία της ευθείας ξ που είναι κάθετη στο επίπεδο του τριγώνου ΑΒΓ στο περίκεντρο Κ ισαπέχουν από τα Α, Β και Γ (σχ.44). Κατασκευάζουμε τώρα το επίπεδο π που είναι μεσοκάθετο στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΔ, που τέμνει την ευθεία ξ σε ένα σημείο Ο. Το σημείο Ο ισαπέχει και από τα τέσσερα σημεία Α, Β, Γ και Δ. Τέλος, επειδή το κέντρο κάθε σφαίρας που περνάει από τα σημεία Α, Β και Γ είναι σημείο της ξ και το κέντρο κάθε σφαίρας που περνάει από τα Α και Δ είναι σημείο του π, έπεται ότι η σφαίρα αυτή είναι μοναδική. 13.17 Θέσεις ευθείας και επιπέδου ως προς σφαίρα ► Σχετική θέση επιπέδου και σφαίρας Έστω σφαίρα (Ο, ρ), επίπεδο π που απέχει απόσταση ΟΚ = δ από το κέντρο Ο της σφαίρας (σχ.45). i) Αν δ > ρ (σχ.45α), τότε όλα τα σημεία του επιπέδου είναι εξωτερικά σημεία της σφαίρας, επομένως το επί- πεδο και η σφαίρα δεν έχουν κοινά σημεία.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13. ΣΤΕΡΕΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ii) Αν δ = ρ (σχ.45β), τότε το σημείο Κ είναι κοινό σημείο της σφαίρας και του επιπέδου, ενώ κάθε άλλο σημείο του επιπέδου είναι εξωτερικό σημείο της σφαίρας. Τότε το επίπεδο λέγεται εφαπτόμενο επίπεδο της σφαίρας και το σημείο Κ λέγεται σημείο επαφής. iii) Αν δ < ρ (σχ.45γ), τότε το σημείο Κ είναι εσωτερικό σημείο της σφαίρας. Τότε το επίπεδο τέμνει τη σφαίρα και η τομή είναι κύκλος του επιπέδου π με κέντρο το σημείο Κ και ακτίναρρʹ' = ρ2 − δ2 . ε Όταν το επίπεδο περνάει από το κέντρο της σφαίρας, Μ τότε η τομή της σφαίρας με το επίπεδο είναι κύκλος ρ που έχει κέντρο Ο και ακτίνα ρ και λέγεται μέγιστος Οδ Κ κύκλος. Η τομή της σφαίρας με επίπεδο που δεν περνά-α ει από το κέντρο λέγεται μικρός κύκλος της σφαίρας. Ν ► Σ χετική θέση ευθείας και σφαίρας ε Θεωρούμε σφαίρα (Ο, ρ) και ευθεία ε που δε διέρχεται από το ρ κέντρο Ο. Στο επίπεδο (Ο, ε) γράφουμε τον κύκλο (Ο, ρ), που είναι μέγιστος κύκλος της σφαίρας και έστω ΟΚ = δ η από- σταση του σημείου Ο από την ευθεία ε. Η εύρεση των κοινών σημείων της ευθείας και της σφαίρας ανάγεται στην εύρεση των κοινών σημείων της ευθείας ε και του κύκλου (Ο, ρ).β Ο Κ i) Έστω ότι δ < ρ (σχ.46α). Τότε η ευθεία ε τέμνει τον δ κύκλο (Ο, ρ) σε δύο σημεία Μ και Ν. Άρα η ευθεία ε τέμνει τη σφαίρα σε δύο σημεία, τα Μ και Ν. ρ ii) Έστω ότι δ = ρ (σχ.46β). Τότε ο κύκλος (Ο, ρ) που Ο ε βρίσκεται στο επίπεδο (Ο, ε), εφάπτεται στην ευθείαγδ ε και το σημείο Κ είναι το μοναδικό κοινό σημείο της ευθείας ε και της σφαίρας (Ο, ρ). Στην περίπτωση αυτή η ευθεία ε λέγεται εφαπτομένη της σφαίρας και σημείο Κ Κ λέγεται σημείο επαφής. Σχήμα 46 iii) Έστω ότι δ > ρ (σχ.46γ). Ο κύκλος (Ο, ρ) δεν τέμνει την ευθεία ε, επομένως η ευθεία και η σφαίρα δεν έχουν κοινά σημεία. Αν η ευθεία ε διέρχεται από το Ο, τότε η ε τέμνει τη σφαίρα σε δύο αντιδιαμετρικά σημεία. 13.18 Μέτρηση σφαίρας ► Εμβαδόν και όγκος παραγόμενος από την περιστροφή επίπεδης πολυγωνικής γραμμής Για τον υπολογισμό του εμβαδού της επιφάνειας της σφαί- ρας και του όγκου της θα χρειαστούμε τα επόμενα θεωρήμα- 173

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Κ τα που αναφέρονται ως θεωρήματα του Πάππου. Ο Πάππος έζησε τον 3ο μ.Χ. αιώνα και εδίδαξε στο Πανεπιστήμιο της Α Αʹ Αλεξάνδρειας. Μ Ν Βʹ Θεώρημα ιΒ Γ Το εμβαδόν της επιφάνειας που παράγεται κατά την πλή- ρη περιστροφή ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ (σχ.47), ξ με άξονα περιστροφής ευθεία ξ συνεπίπεδη με το τμήμα, Σχήμα 47 που δεν το τέμνει σε εσωτερικό σημείο και δεν είναι κά- θετη σε αυτό, ισούται με το γινόμενο του κύκλου που έχει ακτίνα το τμήμα ΜΝ που είναι κάθετο στο μέσο του ευθύγραμμου τμήματος μέχρι τον άξονα, επί το μήκος της προβολής ΑʹΒʹ του τμήματος στον άξονα, δηλαδή εμβ(ΑΒ) = 2π ∙ΜΝ ∙ ΑʹΒʹ. ξ Θεώρημα ιι Γ Ο όγκος του στερεού που παράγεται κατά την περιστροφήΒυΑ τριγώνου ΑΒΓ γύρω από άξονα ξ, που ανήκει στο επίπεδο Σχήμα 48 του τριγώνου και διέρχεται από την κορυφή Α, χωρίς να το τέμνει σε εσωτερικά σημεία, ισούται με το γινόμενο του εμβαδού της επιφάνειας που παράγει η πλευρά ΒΓ επί το ένα τρίτο του ύψους που αντιστοιχεί στην κορυφή Α του τριγώνου (σχ.48), δηλαδή: ογκ(ΑΒΓ) =  1 υ ∙εμβ(ΒΓ). 3 Α ► Εμβαδόν επιφάνειας σφαίρας Β Βʹ Θεώρημα ιιι Ο Το εμβαδόν της επιφάνειας σφαίρας (Ο, ρ) ισούται με το Γʹ εμβαδόν τεσσάρων μέγιστων κύκλων, δηλαδή: Γ Ε = 4πρ 2. Δ Σχήμα 49 Απόδειξη174 Θεωρούμε ότι η σφαίρα (Ο, ρ) παράγεται από την περι- στροφή ενός μέγιστου κύκλου της, με άξονα μία διάμετρο. Στο μέγιστο κύκλο εγγράφουμε ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος κορυφών, π.χ. ένα εξάγωνο (σχ.49). Κατά την περιστροφή γύρω από τη διάμετρο ΑΔ, η πολυγωνική γραμ- μή ΑΒΓΔ, σύμφωνα με το θεώρημα I του Πάππου, παράγει επιφάνεια εμβαδού: Ε6 = 2πα6(ΑΒʹ + ΒʹΓʹ + ΓʹΔ) = 2πα6 ∙ ΑΔ = 4πρα6 ,

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13. ΣΤΕΡΕΑ ΣΧΗΜΑΤΑ όπου α6 είναι το απόστημα του κανονικού εξαγώνου. Διπλασιάζοντας συνεχώς τις πλευρές του εγγεγραμμένου πολυγώνου, στο όριο, η πλευρά του εγγεγραμμένου πολυ- γώνου συνεχώς μειώνεται, το πολύγωνο τείνει στο μέγιστο κύκλο και το απόστημα τείνει στην ακτίνα του κύκλου. Στο όριο λοιπόν, έχουμε: Ε = 4πρ ∙ ρ = 4πρ 2. ► Ό γκος σφαίρας Θεώρημα ιv Ο όγκος σφαίρας ακτίνας ρ είναι: V =  4 πρ 3. 3 Α Απόδειξη Β Βʹ Εγγράφουμε στον κύκλο που παράγει τη σφαίρα εκ περι- Ο στροφής ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος κορυφών, Γʹ π.χ. ένα εξάγωνο (σχ.49α). Κατά την περιστροφή γύρω από Γ τον άξονα ΑΔ, τα τρίγωνα ΟΑΒ, ΟΒΓ και ΟΓΔ παράγουν Δ όγκο, που σύμφωνα με το Θεώρημα II του Πάππου δίνεται Σχήμα 49α από τη σχέση:ΣΧΟΛΙΟΟ όγκος και το εμβαδόν της V6 =  1 (εμβ( ΑΒ) + εμβ(ΒΓ) + εμβ(ΓΔ)) ∙ α6 =επιφάνειας σφαίρας και ο όγκος 3και το εμβαδόν της κυρτής επι-φάνειας κώνου, κόλουρου κώ- =  1 εμβ(ΑΒΓΔ) ∙ α6νου και κυλίνδρου υπολογίστη- 3καν για πρώτη φορά από τονΑρχιμήδη με διαφορετική μέθο- όπου α6 είναι το απόστημα του κανονικού εξαγώνου καιδο από αυτήν που χρησιμοποι- εμβ(ΑΒ) είναι το εμβαδόν της επιφάνειας που παράγεταιούμε εδώ, που την αποκαλούσε«έφοδο». από το τμήμα ΑΒ κατά την περιστροφή του γύρω από τον άξονα ΑΔ. Διπλασιάζοντας συνεχώς τις πλευρές του εγγε- γραμμένου πολυγώνου, στο όριο, η πλευρά του εγγεγραμ- μένου πολυγώνου τείνει στο μηδέν, το εμβαδόν της πολυ- γωνικής γραμμής ΑΒ...Δ τείνει στο εμβαδόν του ημικυκλίου ακτίνας ρ, το εμβαδόν που παράγει η πολυγωνική γραμμή ΑΒ...Δ τείνει στο εμβαδόν της σφαίρας και το απόστημα τείνει στην ακτίνα ρ του κύκλου. Στο όριο, λοιπόν, έχουμε: V =  1  ∙ 4πρ 2 ∙ ρ =  4  πρ 3. 33 175

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΑΣΚΗΣΕΙΣ για λυση Ασκήσεις Εμπέδωσης (β) δύο όγκοι κυλίνδρου είναι τρεις σφαί- ρες και (γ) δύο ολικές επιφάνειες του κυ- 1. Σφαίρα ακτίνας 50 τέμνεται από επίπεδο λίνδρου ισοδυναμούν με τρεις φορές την που απέχει από το κέντρο απόσταση 20. επιφάνεια της σφαίρας. Να υπολογίσετε την ακτίνα της τομής. 2. Να αποδείξετε ότι αν δύο σφαίρες τέμνο- 2. Σφαίρα ακτίνας 40 τέμνεται από επίπεδο νται, η τομή τους είναι κύκλος. κατά κύκλο με εμβαδόν 900π. Να βρείτε την απόσταση του επιπέδου από το κέ- 3. Να αποδείξετε ότι ο όγκος σφαίρας ακτί- ντρο της σφαίρας. νας ρ, ο όγκος ισόπλευρου κυλίνδρου πε- ριγεγραμμένου στη σφαίρα (δηλαδή κυ- 3. Διαιρούμε μία ακτίνα σφαίρας (Ο, ρ) σε λίνδρου με ακτίνα ρ και ύψος 2ρ) και ο δύο ίσα τμήματα και από το σημείο της όγκος ισοσκελούς κώνου περιγεγραμμέ- διαίρεσης φέρουμε επίπεδο κάθετο στην νου στη σφαίρα (δηλαδή κώνου περιγε- ακτίνα. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του γραμμένου στη σφαίρα που έχει διάμετρο κύκλου της τομής. βάσης ίση με ακμή) είναι ανάλογοι των αριθμών 4, 6 και 9 αντίστοιχα. 4. Σφαίρα ακτίνας ρ φωτίζεται από φωτει- νή πηγή που βρίσκεται σε απόσταση δ>ρ Σύνθετα Θέματα από το κέντρο της σφαίρας. Να βρείτε την ακτίνα του κύκλου που χωρίζει το 1. Να βρείτε το λόγο του ύψους κυλίνδρου φωτιζόμενο μέρος της σφαίρας από το προς την ακτίνα σφαίρας αν έχουν ίσες σκοτεινό. ακτίνες και ισοδύναμες κυρτές επιφάνειες. 5. Να υπολογίσετε το εμβαδόν σφαίρας 2. Σε σφαίρα ακτίνας ρ εγγράφεται κώνος. ακτίνας ρ=10. Να βρείτε την απόσταση της βάσης του κώνου από το κέντρο ώστε ο κώνος να 6. Να βρείτε το λόγο των επιφανειών δύο έχει μέγιστο όγκο. Το ίδιο και για κύλιν- σφαιρών αν ο λόγος των ακτίνων τους δρο εγγεγραμμένο σε σφαίρα. είναι λ. 3. Να βρείτε το λόγο των εμβαδών και των 7. Να υπολογίσετε τον όγκο σφαίρας με όγκων σφαίρας και του εγγεγραμμένου σε ακτίνα 3. αυτήν i) κύβου, ii) κανονικού οκταέδρου. 8. Να υπολογίσετε το λόγο των όγκων δύο 4. Σφαίρα, κύλινδρος και κώνος έχουν ίσες σφαιρών αν ο λόγος των ακτίνων τους ακτίνες και τα ύψη του κώνου και του κυ- είναι λ. λίνδρου είναι ίσα με τη διάμετρο της σφαί- ρας. Να υπολογίσετε τους λόγους των κυρ- 9. Δίνονται δύο ομόκεντρες σφαίρες με ακτί- τών επιφανειών του κυλίνδρου και του κώ- νες ρ και ρʹ. Φέρουμε επίπεδο εφαπτόμενο νου προς την επιφάνεια της σφαίρας. Το στη μικρότερη σφαίρα. Να υπολογίσετε το ίδιο και για τους όγκους τους. εμβαδόν του κύκλου κατά τον οποίο τέ- μνεται η μεγάλη σφαίρα από επίπεδο που 5. Αν Vα, Vβ και Vγ είναι οι όγκοι που παρά- εφάπτεται στη μικρή. γονται από ορθογώνιο τρίγωνο αν αυτό 10. Κυλινδρικός λέβητας έχει ύψος ίσο με περιστραφεί γύρω από τις πλευρές α, β την ακτίνα του ρ και καταλήγει σε δύο ημισφαίρια. Να υπολογίσετε το ρ, ώστε και γ αντίστοιχα, τότε ισχύει: ο συνολικός όγκος να είναι 63π. 1  =  1  +  1  . Αποδεικτικές Ασκήσεις V a2 V β2 V γ2 1. Δίνονται τα στερεά: i) κύλινδρος ακτί- Να βρεθεί επίσης ο λόγος Vβ . νας ρ και ύψους 2ρ, ii) κώνος ακτίνας Vγ ρ και ύψους ρ και iii) σφαίρα ακτίνας ρ. Να αποδείξετε ότι (α) ο όγκος της σφαί- ρας ισούται με τέσσερις όγκους κώνου,176

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13. ΣΤΕΡΕΑ ΣΧΗΜΑΤΑΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΔίνεται τετραγωνική πυραμίδα Κ.ΑΒΓΔ, με βάση τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς α, η έδρα ΚΑΔ είναιισόπλευρο τρίγωνο και οι γωνίες ΚΑΒ και ΚΔΓ είναι ορθές. i) Να αποδειχθεί ότι η δίεδρη γωνία ΑΔ(Κ,Γ) είναι ορθή. ii) Από το σημείο Α φέρουμε την ΑΒʹ κάθετη στην ακμή ΚΒ και από το Βʹ επίπεδο παράλληλο στο ΑΒΓΔ που τέμνει τις ακμές ΚΑ, ΚΓ και ΚΔ στα σημεία Αʹ, Γʹ και Δʹ. Να υπολογισθεί ο όγκος της κόλουρης πυραμίδας ΑΒΓΔ-ΑʹΒʹΓʹΔʹ.iii) Να αποδειχθεί ότι η πυραμίδα Κ.ΑΒΓΔ είναι εγγράψιμη σε σφαίρα και να υπολογισθεί ο όγκος και η επιφάνειά της. ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ1. Η σχετική θέση σφαίρας (Ο, ρ) και επιπέδου π εξαρτάται από την απόσταση δ του επιπέδου από το κέντρο Ο ως εξής: • δ > ρ, το επίπεδο και η σφαίρα δεν έχουν κοινά σημεία, • δ = ρ, το επίπεδο και η σφαίρα έχουν ένα κοινό σημείο. Το επίπεδο εφάπτεται στη σφαίρα, • δ < ρ, το επίπεδο τέμνει τη σφαίρα σε κύκλο με ακτίνα ρ2 − δ2 και κέντρο την προβολή του κέντρου της σφαίρας στο επίπεδο.2. Η σχετική θέση σφαίρας (Ο, ρ) και ευθείας ε εξαρτάται από την απόσταση δ του κέ- ντρου Ο από την ευθεία ως εξής: • δ > ρ, η ευθεία δεν έχει κοινά σημεία με τη σφαίρα. • δ = ρ, η ευθεία έχει ένα κοινό σημείο με τη σφαίρα, δηλαδή η ευθεία εφάπτεται στη σφαίρα. • δ < ρ, η ευθεία τέμνει τη σφαίρα σε δύο σημεία.3. Εμβαδόν επιφάνειας σφαίρας (Ο, ρ): Ε = 4πρ 24. Όγκος σφαίρας (Ο, ρ): V =  4 πρ 3 3 177

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑγενικεσ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε σημείο του οποίου το άθροι- συνδέουν τα μέσα των απέναντι ακμών σμα των τετραγώνων των αποστάσεών διχοτομούνται. Τα τμήματα αυτά λέγο- του από τις κορυφές ενός τετραέδρου να νται διδιάμεσοι και το σημείο αυτό λέγε- είναι ελάχιστο. ται κέντρο βάρους του τετραέδρου. 2. Η τομή τετραέδρου με επίπεδο παράλληλο 6. Οι τέσσερις διάμεσοι τετραέδρου, δηλα- σε δύο απέναντι ακμές είναι παραλληλό- δή τα τμήματα που συνδέουν τις κορυφές γραμμο. με τα κέντρα βάρους των απέναντι εδρών, διέρχονται από το ίδιο σημείο και τις χω- 3. Δίνονται τρεις ευθείες ε, ζ και ξ ανά δύο ρίζει σε λόγο 1:3. ασύμβατες, που δεν είναι παράλληλες στο ίδιο επίπεδο. Να κατασκευάσετε παραλ- 7. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες που συνδέ- ληλεπίπεδο που έχει τρεις ακμές του στις ουν τα μέσα των απέναντι ακμών τετρα- ευθείες αυτές. έδρου (διδιάμεσοι) διέρχονται από το κέ- ντρο βάρους του τετραέδρου. 4. Το επίπεδο που διχοτομεί μία δίεδρη γω- νία ενός τετραέδρου χωρίζει την απέναντι 8. Να βρείτε εσωτερικό σημείο τετραέδρου ακμή σε μέρη ανάλογα των προσκείμενων τέτοιο ώστε τα τετράεδρα που σχηματίζο- εδρών. νται με κορυφή το σημείο αυτό και βάσεις τις έδρες του αρχικού τετραέδρου να είναι 5. Σε κάθε τετράεδρο οι τρεις ευθείες που ισοδύναμα. 13.19 Κανονικά πολύεδρα Ένα πολύεδρο λέγεται κανονικό όταν όλες οι έδρες του είναι ίσα κανονικά πολύγωνα και όλες οι πολυεδρικές γωνίες του είναι ίσες. Από τον ορισμό αυτό προκύπτει ότι όλες οι ακμές ενός κα- νονικού πολυέδρου είναι ίσα ευθύγραμμα τμήματα, καθώς επίσης και όλες οι επίπεδες γωνίες των εδρών του είναι ίσες. Από τα πολύεδρα που εξετάσαμε έως τώρα, κανονικά ήταν το κανονικό τετράεδρο και ο κύβος. Στην παράγραφο αυτή θα εξετάσουμε όλα τα κανονικά πολύεδρα που μπορούν να κατασκευασθούν. Όπως αναφέραμε στην §13.1, για το πλήθος των κορυφών Κ, των ακμών Α και των εδρών Ε ενός πολυέδρου, ισχύει το θεώρημα του Euler: Ε + Κ = Α + 2 (1). Ένα κανονικό πολύεδρο έχει έδρες που είναι κανονικά πο- λύγωνα και έστω ν ο αριθμός των πλευρών κάθε έδρας. Οι Ε έδρες έχουν συνολικά νΕ πλευρές, οι οποίες ανά δύο ταυ-178

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13. ΣΤΕΡΕΑ ΣΧΗΜΑΤΑτίζονται για να δώσουν μία ακμή του πολυέδρου, άρα οιακμές είναι: Α =  νΕ (2). 2Επίσης, κάθε έδρα του κανονικού πολυέδρου έχει ν κορυ-φές και το σύνολο των επίπεδων γωνιών όλων των εδρώντου είναι νΕ. Θεωρούμε ότι αυτές ενώνονται ανά μ για ναδώσουν μία στερεά γωνία του κανονικού πολυέδρου, πουαντιστοιχεί σε κάθε κορυφή του. Επομένως οι κορυφές είναι Κ =  νΕ (3). μΑντικαθιστώντας τα Α και Κ στην (1) από τις (2) και (3),έχουμεΕ =  (2μ + 4μ – μν) (4). 2νΑναζητούμε λοιπόν φυσικούς αριθμούς μ, ν και Ε που ναικανοποιούν τη σχέση (4), λαμβάνοντας υπόψη ότι ο πα-ρονομαστής πρέπει να είναι θετικός αριθμός και οι έδρεςπρέπει να είναι περισσότερες από τρεις. Οι λύσεις που ικα-νοποιούν όλες αυτές τις συνθήκες είναι οι εξής:• Για ν = 3 το μ παίρνει τις τιμές μ = 3, 4, 5 και το Ε = 4, 8, 20 αντίστοιχα, δηλαδή με τρίγωνα σχηματίζεται το κανονικό τετράεδρο, οκτάεδρο και εικοσάεδρο.• Για ν = 4 τότε μ = 4 και Ε = 6, δηλαδή με τετράγωνα σχηματίζεται μόνο ο κύβος.• Για ν = 5 τότε μ = 3 και Ε = 12, δηλαδή με κανονικά πε- ντάγωνα σχηματίζεται μόνο το κανονικό δωδεκάεδρο.Αυτές είναι οι μόνες λύσεις που επιδέχεται η σχέση (4),επομένως υπάρχουν μόνο πέντε κανονικά πολύεδρα, πουλέγονται και Πλατωνικά στερεά. Μελετήθηκαν στην Ακα-δημία του Πλάτωνα, στη Σχολή του Πυθαγόρα και ο Ευ-κλείδης ασχολείται με αυτά στο 13ο βιβλίο των Στοιχείωνόπου αποδεικνύει ότι αυτά είναι ακριβώς πέντε (βλ. σχετικόιστορικό σημείωμα). Στο σχ.50 εικονίζονται τα πέντε κανο-νικά πολύεδρα και δίπλα το ανάπτυγμά τους. Τα κανονικάπολύεδρα είναι εγγράψιμα και περιγράψιμα σε σφαίρα. Δη-λαδή υπάρχει εσωτερικό σημείο Ο, που είναι κέντρο δύοσφαιρών, αυτής που περνάει από όλες τις κορυφές του κανο-νικού πολυέδρου και αυτής που εφάπτεται όλων των εδρών,στα κέντρα τους. 179

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣΧΟΛΙΟ Τετράεδρο ΚύβοςΟ κύβος με το οκτάεδρο και το Οκτάεδροδωδεκάεδρο με το εικοσάεδρολέγονται συζυγή κανονικά πολύ- Δωδεκάεδρο Εικοσάεδροεδρα, γιατί, όπως παρατηρούμε Σχήμα 50από τον πίνακα, οι αριθμοί τωνεδρών και των κορυφών του Στον παρακάτω πίνακα παραθέτουμε τα βασικά στοιχείαενός ισούνται με τους αριθμούς των κανονικών πολυέδρων. Από τον πίνακα αυτό και το μή-των κορυφών και των εδρών κος της ακμής α κατασκευάζονται τα αναπτύγματα των κα-του άλλου, ενώ το πλήθος των νονικών πολυέδρων, αφού γνωρίζουμε το σχήμα των εδρών,ακμών μένει ίδιο. Για πληρότη- το πλήθος των εδρών συνολικά και τον αριθμό των εδρώντα λέμε ότι το τετράεδρο είναι που συνορεύουν σε κάθε κορυφή του πολυέδρου. Από τασυζυγές με τον εαυτό του. Μία αναπτύγματα μπορούν να κατασκευασθούν τα πολύεδρα.εφαρμογή αυτής της παρατήρη-σης είναι ότι αν με κορυφές τακέντρα των εδρών ενός κανονι-κού πολυέδρου κατασκευάσουμεάλλο κανονικό πολύεδρο, αυτόείναι το συζυγές του. Για πα-ράδειγμα, τα κέντρα των εδρώνκύβου είναι κορυφές κανονικούοκταέδρου.Κανονικό πολύεδρο Ε Κ Α Είδος εδρών Ακμές Ακτίνα ανά κορυφή περιγεγραμμένης σφαίρας Τετράεδρο 4 10 6 Τρίγωνα 3 R=α 6 4 Κύβος 6 8 12 Τετράγωνα 3 R=α 3 2 Οκτάεδρο 8 6 12 Τρίγωνα 4 R=α 2 3 2 Δωδεκάεδρο 12 20 30 Πεντάγωνα 5 R = α 3( 5 +1) Εικοσάεδρο 20 12 30 Τρίγωνα 4 R = α 10 + 2 5 4180

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13. ΣΤΕΡΕΑ ΣΧΗΜΑΤΑΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ τεία αυτή να ανάγονται οι κατασκευές των εγ- γεγραμμένων σε σφαίρα κανονικών πολυέδρωνΤα κανονικά πολύεδρα που απαντάμε στη «Συναγωγή» του Πάππου. Ο Υψικλής μας μεταφέρει επίσης τη μαρτυρία ότιΗ ιδέα να διακρίνουμε τα πολύεδρα σε ομάδες ο Απολλώνιος έγραψε μια συγκριτική μελέτη γιαπου παρουσιάζουν κάποια ιδιάζουσα κανονικό- το δωδεκάεδρο και το εικοσάεδρο, η οποία όμωςτητα ανάγεται στην αρχαία Ελλάδα. Πώς ακρι- δεν διασώθηκε.βώς και γιατί έγινε αυτή η ομαδοποίηση δεν είναιιστορικά γνωστό. Όλα τα ονομαζόμενα (κυρτά)κανονικά πολύεδρα ήταν γνωστά στους αρχαί-ους Έλληνες γεωμέτρες, και ορισμένα από αυτά(κύβος, τετράεδρο, οκτάεδρο) πρέπει να ήτανγνωστά και στους Αιγυπτίους. Τα πέντε Πλατωνικά στερεά: εικοσάεδρο, οκτάε- Τα αποκαλούμενα σήμερα Αρχιμήδεια στερεά: δρο, τετράεδρο, κύβος, δωδεκάεδρο κυβοκτάεδρο, (ρομβο)κόλουρο εικοσιδωδεκάεδρο, (ρομβο)κόλουρο κυβοκτάεδρο, κόλουρος κύβος, κό-Τα πολύεδρα αυτά συχνά ονομάζονται και Πλα- λουρο δωδεκάεδρο, κόλουρο εικοσάεδρο, κόλουροτωνικά ή κοσμικά στερεά. Στη φιλοσοφία του οκτάεδρο, εικοσιδωδεκάεδρο, ρομβοεικοσιδωδε-Πλάτωνα τα τέσσερα από αυτά συμβολίζουν κάεδρο, ρομβοκυβοκτάεδρο, πεπλατυσμένος κύβος,τέσσερα δομικά στοιχεία του σύμπαντος: το τε- πεπλατυσμένο δωδεκάεδρο, κόλουρο τετράεδρο.τράεδρο τη φωτιά, ο κύβος τη γη, το εικοσάεδροτο νερό και το οκτάεδρο τον αέρα. Το πέμπτο, το Σύμφωνα με μαρτυρία του Πάππου, ο Αρχιμήδηςδωδεκάεδρο, συμβόλιζε τον κόσμο (στα λατινικά στη χαμένη πραγματεία του για τα λεγόμενα ημι-ονομαζόταν quinta essentia - «πέμπτη ουσία»). κανονικά πολύεδρα διακρίνει δεκατρία νέα είδηΗ θεωρία της κατασκευής των πέντε κανονικών πολυέδρων, οι έδρες των οποίων είναι κανονικάπολυέδρων εκτίθεται στο τέλος των «Στοιχείων», πολύγωνα, αλλά διάφορων ειδών, και όλες οιΒιβλίο XIII, του Ευκλείδη, όπου οι ακμές τους κορυφές των οποίων είναι ισοδύναμες, δηλαδήεκφράζονται ως συνάρτηση της ακτίνας της πε- έχουν την ίδια διάταξη εδρών γύρω από κάθε κο-ριγεγραμμένης σφαίρας με τη βοήθεια της θε- ρυφή. Από αυτά άλλα έχουν δύο είδη πολυγώνωνωρίας των αρρήτων του Βιβλίου X και αποδει- και άλλα τρία. Ο αριθμός των εδρών κυμαίνεταικνύεται ότι υπάρχουν ακριβώς πέντε κανονικά μεταξύ 8 και 92. Σήμερα τα πολύεδρα αυτά ονο-πολύεδρα. Από αυτά ο κύβος, το τετράεδρο και μάζονται ημικανονικά ή Αρχιμήδεια στερεά.το δωδεκάεδρο πρέπει να μελετήθηκαν από τουςΠυθαγορείους, ενώ η μελέτη του οκταέδρου και To ενδιαφέρον στα κανονικά πολύεδρα αναζωο-του εικοσαέδρου αποδίδεται στο Θεαίτητο. Ο γονήθηκε τον 15ο αι. με τις εργασίες του ΠιέροΘεαίτητος ήταν μάλλον ο πρώτος που έγραψε ντελλα Φραντσέσκα (1457) και τη «Θεϊκή ανα-για τα κανονικά στερεά, ενώ σύμφωνα με μια λογία» του Λουκά Πατσόλι (1509), όπου εξετά-μαρτυρία του Υψικλή, μια δεύτερη πραγματεία ζονται Αρχιμήδεια στερεά και τρόποι κατασκευ-πάνω στο θέμα αυτό με τίτλο «Σύγκριση των πέ- ής τους. Στα κανονικά πολύερα αναφέρονται επί-ντε κανονικών στερεών» γράφηκε γύρω στο 320 σης στο έργο τους ο Φινέος (Orontius Finaeus,π.Χ. από τον Αρισταίο. Πιθανόν στην πραγμα- 1550) και ο Ράμος (1569). 181



Π Α Ρ Α Ρ Τ Η Μ Α Β΄ Π αράρτημα Β ΄Γεωμετρία της σφαίρας τόξο ή η γωνία μπορεί να μετρηθεί σε ορθές, μοίρες ή ακτίνια. Εάν τα σημεία είναι αντιδιαμετρικά, τότε τα1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ δύο τόξα του μέγιστου κύκλου είναι ίσα μεταξύ τους και επιλέγουμε ένα από τα δύο για να μετρήσουμε τηνΣτο Παράρτημα αυτό θα παρουσιαστεί μία σύντομη απόστασή τους.εισαγωγή στη Γεωμετρία της σφαίρας, θα μελετήσου-με δηλαδή, κατʹ αναλογία με τη γεωμετρία του επιπέ- Ονομάζουμε γωνία δύο μέγιστων κύκλων τη δίεδρηδου, ιδιότητες σχημάτων στην επιφάνεια της σφαίρας. γωνία που σχηματίζουν τα επίπεδα των δύο κύκλων. Άξονας ενός μέγιστου κύκλου λέγεται η ευθεία που2. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ είναι κάθετη στο επίπεδο του κύκλου, στο κέντρο της σφαίρας. Πόλοι ενός κύκλου λέγονται τα σημεία το-Σε μια σφαίρα κέντρου Ο (σχ.1), υπάρχουν άπειροι μής του άξονα του κύκλου με τη σφαίρα. Οι πόλοιμέγιστοι κύκλοι, που περνάνε από ένα σημείο της Α. είναι προφανώς αντιδιαμετρικά σημεία της σφαίρας.Οι μέγιστοι αυτοί κύκλοι ορίζονται ως τομή της σφαί- Όταν αναφερόμαστε στον πόλο ενός μέγιστου κύκλουρας με τα επίπεδα που περνάνε από την ακτίνα OA. θα εννοούμε έναν από τους δύο πόλους.Παρατηρούμε όμως ότι αυτοί οι κύκλοι διέρχονται καιαπό ένα δεύτερο σημείο Αʹ, το αντιδιαμετρικό σημείο Για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου επάνωτου Α. στη σφαίρα, χρησιμοποιείται το εξής σύστημα αναφο- ράς. Θεωρούμε ένα μέγιστο κύκλο, που τον λέμε ιση- Ο Αʹ Α μερινό, τους παράλληλους μικρούς κύκλους και τους Ο πόλους του Β και Ν (σχ.3). Ο ένας πόλος λέγεται βόρει-Α ος και ο άλλος νότιος. Οι μέγιστοι κύκλοι που περνάνε B από τους πόλους Β και Ν λέγονται μεσημβρινοί.Σχήμα 1 Σχήμα 2 B BΔύο σημεία Α και Β μη αντιδιαμετρικά στην επιφάνεια M Ο Αʹτης σφαίρας (σχ.2), ορίζουν έναν και μόνο ένα μέγιστο ΑOκύκλο που περιέχει τα σημεία αυτά. Αποδεικνύεται ΑΓότι το μικρότερο από τα δύο τόξα του μέγιστου κύ- Γκλου είναι η συντομότερη απόσταση μεταξύ των δύοαυτών σημείων, μετρημένη πάνω στην επιφάνεια της Ν Σχήμα 4σφαίρας. Κάθε άλλη γραμμή που συνδέει τα δύο αυτά Σχήμα 3σημεία, πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας έχει μήκοςμεγαλύτερο από αυτό του τόξου ΑΒ. Έχουμε λοιπόν Το σημείο τομής Α του ισημερινού με έναν συγκε-τις προτάσεις: κριμένο μεσημβρινό θεωρείται αρχή των μετρήσεων. Ένα σημείο της σφαίρας Μ βρίσκεται στην τομή ενός• Από κάθε σημείο μιας σφαίρας διέρχονται άπει- παραλλήλου και ενός μεσημβρινού (σχ.3). Το τόξο ΓΜ ροι μέγιστοι κύκλοι. από τον ισημερινό μέχρι τον παράλληλο του σημείου Μ λέγεται πλάτος, ενώ το τόξο επί του ισημερινού από• Δύο τυχόντες μέγιστοι κύκλοι τέμνονται σε δύο την αρχή Α των μεσημβρινών μέχρι του μεσημβρινού αντιδιαμετρικά σημεία. ΓΜ του σημείου Μ λέγεται μήκος. Το πλάτος παίρνει τιμές από –90° (νότιος πόλος) μέχρι +90° (βόρειος• Δύο μη αντιδιαμετρικά σημεία σε μία σφαίρα πόλος) ενώ το μήκος +180° προς τη μία κατεύθυνση ορίζουν ένα μέγιστο κύκλο. του ισημερινού και –180° προς την άλλη. Το σύστημα αυτό χρησιμοποιείται στη Γεωγραφία, την ΑστρονομίαΟνομάζουμε γωνιακή απόσταση ή απόσταση μεταξύ και τα Μαθηματικά με διάφορα ονόματα.δύο σημείων Α και Β μιας σφαίρας το μικρότερο απότα δύο τόξα ΑΒ του μέγιστου κύκλου που αυτά ορί- Προτάσειςζουν. Είναι το ίδιο αν ορίσουμε την απόσταση ως τηνεπίκεντρη κυρτή γωνία ΑÔΒ (σχ.2), που ορίζουν τα • Η γωνία δύο μέγιστων κύκλων ισούται με τη γω-δύο σημεία Α και Β, με το κέντρο Ο της σφαίρας. Το νία των εφαπτομένων των μέγιστων κύκλων σ’ 183

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ένα σημείο τομής και έχει μέτρο ίσο με το τόξο συμβολίζουμε συνήθως με τα γράμματα των κορυφών του μέγιστου κύκλου που έχει ως πόλους τα κοι- Α, Β, Γ. Τις πλευρές του τριγώνου τις συμβολίζουμε νά σημεία των δύο κύκλων (σχ.4). συνήθως με τα μικρά γράμματα των απέναντι κορυ- φών, δηλαδή συμβολίζουμε με α, β, γ τις πλευρές ΒΓ,• Η γωνία δύο μέγιστων κύκλων ισούται με την ΓΑ, ΑΒ αντίστοιχα. απόσταση των πόλων τους (σχ.4). Πρέπει να τονίσουμε ότι η γεωμετρία στη σφαίρα δεν• Δύο μέγιστοι κύκλοι είναι κάθετοι αν και μόνον αν επηρεάζεται από την ακτίνα της, διότι όλα τα μετρού- καθένας από αυτούς περιέχει τον πόλο του άλλου. μενα μεγέθη, μήκη πλευρών και γωνίες κορυφών, με- τρώνται με τόξα μέγιστων κύκλων και όχι με μήκη.• Από τον πόλο ενός μέγιστου κύκλου άγονται άπειρα τόξα, κάθετα στο μέγιστο κύκλο. Είδη σφαιρικών τριγώνων3. ΑΤΡΑΚΤΟΙ ΚΑΙ ΟΝΥΧΕΣ Ένα σφαιρικό τρίγωνο χαρακτηρίζεται αναλόγως των πλευρών ή των γωνιών του ως εξής:Το μέρος της επιφά- φνειας της σφαίρας που ως προς τις γωνίες: ως προς τις πλευρές:περιέχεται μεταξύ δύο (μονο)ορθογώνιο: (μονο)ορθόπλευρο: μία γωνία ορθή μία πλευρά ορθήημιπεριφερειών μέγι-στων κύκλων λέγεταιάτρακτος (σχ.5). Η γω- δισορθογώνιο: δισορθόπλευρο: δύο γωνίες ορθές δύο πλευρές ορθέςνία των ημιπεριφερει-ών λέγεται γωνία του τρισορθογώνιο: τρισορθόπλευρο: τρεις γωνίες ορθές τρεις πλευρές ορθέςάτρακτου. Σφαιρικός Σχήμα 5όνυχας λέγεται το μέρος ισοσκελές: δύο πλευρές ίσεςτου όγκου της σφαίρας που περιέχεται μεταξύ των δύοημικυκλίων μέγιστων κύκλων. Βάση του σφαιρικού ισόπλευρο: τρεις πλευρές ίσεςόνυχα λέγεται ο άτρακτος που περιέχεται μεταξύ τωνημικυκλίων.Γωνία σφαιρικού όνυχα λέγεται η γωνία της βάσης Θεωρούμε ως μονάδα μέτρησης γωνιών και πλευ-του όνυχα. ρών την ορθή γωνία και ως μονάδα μέτρησης τωνΑποδεικνύονται οι εξής προτάσεις: εμβαδών αυτό του τρισορθογώνιου σφαιρικού τρι- πτορο18κύτπητςουσνφοαιίραακςό.λΜουεθεαςυπτέρςοττάιςσμειος-:• Δύο άτρακτοι, στην ίδια σφαίρα, με ίσες γωνίες γώνου, δηλαδή είναι ίσοι. νάδες μέτρησης• Ο λόγος των εμβαδών δύο ατράκτων στην ίδια • Το εμβαδόν ενός ατράκτου ισούται με το διπλά- σφαίρα ισούται με το λόγο των γωνιών τους. σιο της γωνίας του.4. ΣΦΑΙΡΙΚΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΑπόδειξηΣφαιρικό τρίγωνο λέγεται το μέρος της σφαίρας το Θεωρούμε τον άτρακτο ΒΟΑ, σχ.5, με γωνία φ και τονοποίο περικλείεται μεταξύ των τόξων τριών μέγιστων ορθογώνιο άτρακτο ΒΟΓ. Ο λόγος των εμβαδών τουςκύκλων, με την προϋπόθεση ότι τα τόξα είναι μικρό- είναι όπως ο λόγος των γωνιών τους, δηλαδή:τερα από ημικύκλια. ατρ.ΒΟΑ = ΒÔΑ =φ (1) ατρ.ΒΟΓ ΒÔΓΠαράδειγμα Β Αλλά ο άτρακτος ΒΟΓ ισούται με δύο τρισορθογώνιαΤο σχήμα ΑΒΓ (σχ.6) Γʹ σφαιρικά τρίγωνα, επομένως, η σχέση (1) γράφεται: ατρ(ΒΟΑ) = 2φ.είναι ένα σφαιρικό τρί- Αʹγωνο. Τα σημεία τομής Σφαιρική υπεροχή ενός τριγώνου ΑΒΓ λέγεται η δια- φορά (Α + Β + Γ − 2).των μέγιστων κύκλων ΑΓΑ, Β, Γ λέγονται κορυ- • Το εμβαδόν ενός σφαιρικού τριγώνου ισούται με τη σφαιρική υπεροχή του τριγώνου.φές και τα τόξα ΑΒ, ΒΓ, ΒʹΓΑ λέγονται πλευρές του Σχήμα 6σφαιρικού τριγώνου. Οι Απόδειξηγωνίες που σχηματίζουν οι τρεις μέγιστοι κύκλοι ανά Ο άτρακτος που σχηματίζει η γωνία Â του τριγώνουδύο λέγονται γωνίες του σφαιρικού τριγώνου και τις184

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β΄ΑΒΓ, (σχ.6), χωρίζεται από τη ΒΓ σε δύο τρίγωνα, 5. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣεπομένως, για τα εμβαδά τους ισχύει: Η Σφαιρική Γεωμετρία έχει εφαρμογές στην Αστρονο-ατρ. Â = εμ.(ΑΒΓ) + εμ.(ΑʹΒΓ) (1) μία, Ναυσιπλοΐα, Χαρτογραφία και αλλού.Όμοια: Στην Αστρονομία, εφαρμόζεται στη μελέτη προβλημά- των που δεν μας ενδιαφέρει η απόσταση των ουρανίωνατρ. B̂  = εμ.(ΑΒΓ) + εμ.(ΑΒʹΓ) (2) σωμάτων από τη Γη αλλά η θέση τους στον ουράνιο θόλο που θεωρείται σφαιρικός με κέντρο το κέντροατρ. Γ̂  = εμ.(ΑΒΓ) + εμ.(ΑΒΓʹ) = εμ.(ΑΒΓ) + εμ.(ΑʹΒʹΓ) (3) της Γης.Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε: Η Γη θεωρείται κατά προσέγγιση σφαιρική, επομέ- ατρ. Â + ατρ B̂ + ατρ Γ̂ = ημισφ ΑΒ + 2 εμ.(ΑΒΓ), νως η σφαιρική γεωμετρία έχει εφαρμογές και στις επιστήμες που σχετίζονται με το σχήμα της Γης. Μίακαι επειδή η μονάδα είναι η ορθή γωνία, έχουμε: από αυτές είναι η Ναυσιπλοΐα και χρησιμεύει για να γίνονται υπολογισμοί πορείας.2Α + 2Β + 2Γ = 4 + 2εμβ.(ΑΒΓ) ⇒ εμ.(ΑΒΓ) =  Α + Β + Γ − 2. Είναι γνωστό από την αρχαιότητα ότι η επιφάνεια της σφαίρας δεν είναι δυνατόν να αναπτυχθεί στο επίπεδο.Σε κάθε σφαιρικό τρίγωνο ισχύουν οι εξής προτά- Δηλαδή, δεν μπορούμε να αναπτύξουμε τη σφαίρα στοσεις: επίπεδο όπως κάναμε με τον κύλινδρο και τον κώνο. Εάν προσπαθήσουμε να κάνουμε αυτό το ανάπτυγμα,• κάθε πλευρά είναι μικρότερη του αθροίσματος θα τσαλακώσουμε ή θα σκίσουμε την επιφάνεια της των δύο άλλων. σφαίρας. Αυτό συμβαίνει διότι η σφαίρα έχει καμπυ- λότητα που διαφέρει ποιοτικά από αυτήν του κυλίν-• το άθροισμα των τριών πλευρών είναι μικρότερο δρου ή του κώνου. Λόγω αυτής της ιδιότητας οι χάρτες των τεσσάρων ορθών. δεν μπορεί να είναι ακριβείς.• το άθροισμα των γωνιών του είναι μεγαλύτερο 6. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ των δύο ορθών. Παρατηρούμε ότι στη γεωμετρία της σφαίρας, το• απέναντι άνισων πλευρών βρίσκονται ομοίως άθροισμα των γωνιών ενός σφαιρικού τριγώνου εί- άνισες γωνίες. ναι μεγαλύτερο από δύο ορθές, σε αντίθεση με την Ευκλείδεια Γεωμετρία όπου το άθροισμα των γωνιών• αν είναι ισοσκελές έχει τις γωνίες που βρίσκονται ενός τριγώνου ισούται με δύο ορθές. Η ιδιότητα αυτή απέναντι των ίσων πλευρών ίσες. Επίσης, η διά- είναι ισοδύναμη με τη μη ύπαρξη παράλληλων «ευ- μεσος είναι ύψος και διχοτόμος. θειών», δηλαδή κάθε δύο μέγιστοι κύκλοι τέμνονται. Η γεωμετρία αυτή λέγεται σφαιρική ή Ελλειπτική Γε-• αν είναι ισόπλευρο είναι και ισογώνιο. ωμετρία.• τα κάθετα τόξα μέγιστων κύκλων στα μέσα των Υπάρχουν επίσης γεωμετρίες στις οποίες το άθροισμα πλευρών του (μεσοκάθετοι), περνάνε από το ίδιο των γωνιών των τριγώνων τους είναι μικρότερο από σημείο. Το σημείο αυτό ισαπέχει από τις κορυφές δύο ορθές, που είναι ισοδύναμο με την ύπαρξη πολλών του τριγώνου. παράλληλων ευθειών που άγονται από σημείο εκτός ευθείας. Οι γεωμετρίες αυτές λέγονται Υπερβολικές• τα τόξα μέγιστων κύκλων που διχοτομούν τις γω- Γεωμετρίες. νίες ενός σφαιρικού τριγώνου (διχοτόμοι), περνά- νε από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό ισαπέχει από τις πλευρές του τριγώνου.• τα τόξα μέγιστων κύκλων που περνάνε από τις κορυφές και είναι κάθετα στις απέναντι πλευρές (ύψη) περνάνε από το ίδιο σημείο.• ισχύουν τα Θεωρήματα του συνημιτόνου και ημιτόνου: συνα = συνβ συνγ + ημβ ημγ συνΑ ημα = ημβ = ημγ . ημΑ ημΒ ημΓ 185

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 7. Αρκεί ΔΕ = ΖΓ . Σύνθετα Θέματα ΔΓ ΔΓ 1. Αποδείξτε ότι ΑΚ, ΑΛ διχοτό-§7.1 - 7.6 Σύνθετα Θέματα μοι στο τρίγ. ΕΑΖ.Ασκήσεις Eμπέδωσης 1. Φέρουμε ΔΖ\\ΒΓ. 2. Θεώρημα διχοτόμου. Για το1. Â =80°, B̂  = 60°, Γ̂  = 40°. αντίστροφο αν η διχοτόμος της 2. Φέρουμε ΑΕ\\ΒΓ. Â τέμνει την ΒΔ στο Ε αρκεί2. ω = 45°. ΓΕ διχοτόμος της Γ̂ . 3. Θεώρημα Θαλή (BE\\OA και3. α = 30 cm, β = 20 cm, γ = 15cm. BZ\\OA). 3. Φέρουμε τη διχοτόμο ΜΔ τουΑποδεικτικές Ασκήσεις τριγ. ΑΜΒ, που τέμνει τον κύ-1. Â=100°, B̂  = 60°, Γ̂  = 20°. 4. Φέρουμε ΔΗ\\ΒΖ. Από θεώρη- κλο στο Ε. μα Θαλή προκύπτει ότι2. Να λάβετε υπόψη σας τις ιδιό- τητες των αναλογιών. ΑΖ κ∙ λ 4. Αν η ΔΖ τέμνει τη ΒΓ στο Κ ΖΓ = λ+ 1 . HK ΚΓ 5. αρκεί ΗΔ = ΔΓ . ΚΓ ΜΓ MA 3 MA Να αποδείξετε ότι ΚΒ = ΜΔ . 5. Η άγνωστη κορυφή ανήκει σε MB 4 MA+MB3. = ⇔ = ευθεία και κύκλο. =3+34 ⇔ ... §7.8 - 7.9 Γενικές Ασκήσεις§7.7 Ασκήσεις Eμπέδωσης 1. Να λάβετε υπόψη σας ότι ΚΔ\\ΑΒ\\ΛΕ. 1. Θεώρημα διχοτόμου στα τρίγ.Ασκήσεις Eμπέδωσης ΑΒΜ και ΑΜΓ. 2. Φέρουμε Αx\\ΒΓ. Να λάβετε υπόψη σας την ιδιότητα του1. Θεώρημα Θαλή. 2. ΔΕ = ΔΒ + ΕΒ = …. βαρυκέντρου.2. i) Θεώρημα Θαλή (ΖΓ\\ΑΔ), 3. Παρατηρήστε ότι ΜΕ εξωτερι- 3. i) Φέρουμε ΓΉ\\ΑΒ ii) Εφαρ- κή διχοτόμος του τριγ. ΑΜΓ. μόζουμε το i) για το τρίγ. ΑΒΔ ii) Θεώρημα Θαλή (ΑΔ\\ΒΖ και την ευθεία ΖΓ. και ΑΒ\\ΔΗ). 4. Αρκεί ΑΔ = ΑΕ . ΔΒ ΕΓ3. Θεώρημα Θαλή (ΑΒ\\ΓΔ και 4. Θεώρημα Θαλή (ΑΔ\\ΒΖ) και ΒΕ\\ΑΓ). 5. Θεώρημα διχοτόμου για τις διχοτόμου (ΑΖ διχοτόμος).4. Θεώρημα Θαλή και ΒΜ = ΜΓ. ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ. 5. Αποδείξτε ότι οι ΕΜ και ΖΜ είναι διχοτόμοι.5. Αρκεί ΑΖ = ΑΗ . 6. Αποδείξτε ότι BE διχοτόμος ΖΒ ΗΔ της ΒΔ̂ Γ. 6. i) Να εκφράσετε τα τμήματα ως6. Αρκεί ΑΖ = ΑΗ . 7. Παρατηρήστε ότι ΟΓ, ΟΔ διχο- συνάρτηση των ΟΑ, ΟΓ, ΟΔ. ΖΒ ΗΓ τόμοι. ii) Όμοια με το i). ΜΔ ΜΕ 8. Είναι ΔΒ < ΔΓ και ΒΓ = 42m7. Αρκεί ΜΒ = ΜΓ . (ΑΔ διχοτόμος του τριγώνου 7. Αν η ΒΔ τέμνει την ΑΓ στο Ζ, ΑΒΓ). το Ζ προσδιορίζεται.8. Αρκεί ΖΔ = ΗΔ . ΖΕ ΗΕ Αποδεικτικές Ασκήσεις 8. Αν η παράλληλη από το Α προς την Οx τέμνει την Oy στο Δ,9. h = 8m. 1. Παρατηρήστε ότι OA εξωτερι- το Δ προσδιορίζεται (και στις κή διχοτόμος του τριγ. ΟΒΔ. τρεις περιπτώσεις).Αποδεικτικές Ασκήσεις1. Να εξετάσετε 2 περιπτώσεις. Το 2. Θεώρημα Θαλή (ΑΔ\\ΕΜ) και 9. Φέρουμε τα αποστήματα των ΑΔ διχοτόμος. χορδών. Γ μεταξύ Ο και Β ή Ο και Α.2. Αρκεί x = y = ω , όπου 3. i) Η BI διχοτόμος στο τρίγ. 10. Να λάβετε υπόψη σας, ότι το 3μ 2μ 4μ αγ άθροισμα δυο αντίστροφων θε- ΑΒΔ και ΒΔ = β+γ τικών αριθμών είναι μεγαλύτε- μ αυθαίρετο τμήμα. ρο ή ίσο του δύο.3. Αρκεί ΑΖ = ΑΗ . ΑΙ ΑΚ ΖΒ ΗΓ ΙΔ ΚΜ ii) Αρκεί =4. Θεώρημα Θαλή (ΔΖ\\ΒΓ) και ιδιότητες αναλογιών. iii) Προκύπτει από το ii). ΚΕΦΑΛΑΙΟ 85. Θεώρημα Θαλή (ΔΕ\\ΒΓ). 4. Θεώρημα διχοτόμου και τριγω- Ασκήσεις Eμπέδωσης νική ανισότητα. 1. Παρατηρήστε ότι ΑΒΓ ≈ ΔΕΓ.6. i) Αρκεί ΑΚ = 2ΜΚ. 2. Παρατηρήστε ότι ΑΒΓ ≈ ΑΔΕ. ii) Αρκεί ME = ΜΑΚΚ. 5. i) Θεώρημα διχοτόμου στο τρί- EΓ γωνο ΟΔΓ και Θαλή ii) όμοια.186

ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ3. Το τρίγωνο που προκύπτει εί- ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 γόρειο ως προς τη B̂ . ναι όμοιο με το αρχικό (πλευ- (Παρατηρήστε ότι B̂  > 90°). ρές ανάλογες). §9.1 - 9.2 2. Εργασθείτε στα τρίγωνα ΑΓΔ4. Παρατηρήστε ότι σχηματίζονται Ασκήσεις Eμπέδωσης και ΒΔΓ για τις Γ̂ , Δ̂ . δύο όμοια ορθογώνια τρίγωνα. 3. Εφαρμόστε το θεώρημα οξείας 1. Εφαρμόστε το Πυθαγόρειο θε-5. Παρατηρήστε ότι ΑΒΔ ≈ΑΔΓ ώρημα. γωνίας για τις B̂ , Γ̂ . και ΑΒΔ ≈ΑΒΓ. 4. Εφαρμογή του γενικευμένου 2. Παρατηρήστε ότι Γ̂  = 30°.6. Παρατηρήστε ότι ΑΒΔ ≈ ΑΕΓ. Πυθαγορείου.Αποδεικτικές Ασκήσεις 3. Να συγκρίνετε τα ΑΔ και ΓΔ. 5. Φέρτε κάθετες από τα Δ και Ε1. Παρατηρήστε ότι σχηματίζο- Αποδεικτικές Ασκήσεις στη ΒΓ. νται δύο όμοια ορθογώνια τρί- 6. Χρησιμοποιήστε την τριγωνική γωνα. 1. Εφαρμόστε το Πυθαγόρειο θε- ώρημα. ανισότητα και υψώστε στο τε-2. Αποδείξτε ότι έχουν ίσες γωνί- τράγωνο. ες και ανάλογες πλευρές. 2. Παρατηρήστε ότι ΑΓΒ = Σύνθετα Θέματα ΑΔΒ = 1⌊. ΑΓ̂ Β = ΑΔ̂ Β = 1⌊.3. Παρατηρήστε ότι ΑΒΑ1 ≈ ΑΒΑ2. 1. Χρησιμοποιήστε ότι  = 30°.4. Παρατηρήστε ότι ΗΑΕ ≈ ΗΒΔ 3. Σχηματίστε τη ΒΔ και εργα- 2. Εργασθείτε στα τρίγωνα ΑΜΓ σθείτε στα τρίγωνα ΕΒΔ και και ΗΒΖ ≈ ΗΕΓ. ΕΓΔ. και ΒΜΔ. 3. Χρησιμοποιήστε Πυθαγόρειο.5. Παρατηρήστε ότι ΜΔΖ ≈ ΜΔʹΖʹ. 4. i) Χρησιμοποιήστε το Πυθαγό- ρειο στα ΑΒΔ και ΑʹΒʹΔʹ. §9.56. Παρατηρήστε ότι ΑΒΔ ≈ ΔΑΓ. Ασκήσεις EμπέδωσηςΣύνθετα Θέματα 5. Εφαρμόστε το Πυθαγόρειο Θε- ώρημα και παρατηρήστε ότι 1. Χρησιμοποιήστε 1ο και 2ο θε-1. Φέρτε παράλληλες ώστε να δη- β = γ. ώρημα Διαμέσων. μιουργηθούν δύο παραλληλό- γραμμα και δύο τρίγωνα. Σύνθετα Θέματα 2. Χρησιμοποιήστε το 1ο θεώρη- μα Διαμέσων.2. Παρατηρήστε ότι σχηματίζεται 1. Εργαστείτε στα τρίγωνα ΔΑΒ εγγράψιμο τετράπλευρο. και ΔΑΓ. 3. Χρησιμοποιήστε το 1ο θεώρη- μα Διαμέσων.3. Εφαρμόστε θεώρημα διχο- 2. i) Θεωρήστε ΛΔ⊥ΚΒ τόμων και παρατηρήστε ότι 4. Χρησιμοποιήστε τους τύπους ΑΒΔ ≈ ΑΔΓ. ii) Χρησιμοποιήστε το i). των Διαμέσων.4. Αποδείξτε ότι ΑΔΒ ≈ ΑΔΓ. 3. Αποδείξτε ότι το ΑΒΚΔ είναι Αποδεικτικές Ασκήσεις5. Παρατηρήστε ότι ΑΒΔ ≈ ΑΕΓ ορθογώνιο. ii) Εφαρμόστε το 1. Χρησιμοποιήστε γενικευμένο και ABE ≈ ΒΔΕ. Πυθαγόρειο Θεώρημα και το Πυθαγόρειο. 1ο θεώρημα Διαμέσων.Γενικές Ασκήσεις 4. Χρησιμοποιήστε ότι μα = α . 2. Χρησιμοποιήστε το 2° θεώρη-1. Παρατηρήστε ότι ΑΒΤ ≈ ΑΓΤ. 2 μα Διαμέσων.2. Παρατηρήστε ότι ΑΒΔ ≈ ΑΒΕ, 5. Θεωρήστε τις προβολές των Γ 3. i) Χρησιμοποιήστε την τομή ΑΔΓ ≈ ΑΕΓ. των διαγωνίων ΑΓ, ΒΔ . και Δ στην ΑΒ.3. Παρατηρήστε ότι ΒΔΕ≈ΓΔΖ, ii) Χρησιμοποιήστε το i). ΑΒΕ ≈ ΑΓΖ. 6. Παρατηρήστε ότι ΔΑΒ ≈ ΑΒΓ 4. Χρησιμοποιήστε διαδοχικά το και ΔΑΓ ≈ ΑΒΓ.4. Χρησιμοποιήστε το θεώρημα 1ο θεώρημα Διαμέσων. Θαλή στις παραλληλίες που §9.4 5. Φέρτε τη διάμεσο AM. προκύπτουν από τα κάθετα Ασκήσεις Eμπέδωσης 6. Χρησιμοποιήστε το 1ο θεώρη- τμήματα. 1. Εξετάστε ποια είναι η μεγαλύ- μα Διαμέσων.5. i) Χρησιμοποιήστε την Εφαρ- τερη γωνία. Σύνθετα Θέματα μογή 4. 2. Χρησιμοποιήστε την Εφαρμο- 1. Φέρτε κατάλληλες παράλληλες ii) Θεωρήστε το αντιδιαμετρι- γή 1. από το μέσο μιας πλευράς. κό σημείο του Μ. 3. Εφαρμόστε το θεώρημα οξείας 2. Εργασθείτε με το μέσο του ΜΝ. iii) Χρησιμοποιήστε τα i), ii). γωνίας ή το νόμο των συνημι- 3. Εφαρμόστε το 1ο θεώρημα τόνων.6. Θεωρήστε σημείο Ε της ΑΓ, ώστε: ΕΔ̂ Γ = ΑΔ̂ Β. 4. Παρατηρήστε ότι  = 60°. Αποδεικτικές Ασκήσεις 1. Εφαρμόστε γενικευμένο Πυθα- 187

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Δια­μέσων στα τρίγωνα ΜΑΒ 4. Θεωρήστε το ύψος και εφαρ- ΔΔ και ΜΓΔ. μόστε το θεώρημα οξείας και αμβλείας γωνίας. στα τρίγωνα ΑΒΓ και ΣΒΓ.4. Εφαρμόστε το 1ο θεώρημα Δια­ μέσων στα τρίγωνα ΜΑΓ και 5. i) ΘΜ=α/2, όπου Θ βαρύκε- ii) Χρησιμοποιήστε το i). Για ΜΒΔ. ντρο, ii) αν ΒΚ ύψος το ΔΗΚΓ το υπόλοιπο χρησιμοποιήστε είναι εγγράψιμο. πάλι το i) για Σ = Θ.5. Εφαρμόστε το 1ο θεώρημα Δια­ μέσων στα τρίγωνα ΡΑΓ και 6. Εφαρμόστε το γενικευμένο Πυ- 4. Φέρουμε από το Μ παράλληλο ΓΑΔ. θαγόρειο θεώρημα και το θεώ- προς τη ΔΓ. ρημα Διαμέσων.§9.7 5. Επίσης από το Μ φέρουμε πα- 7. Εφαρμόστε το 1ο θεώρημα ράλληλο προς τη ΔΓ.Ασκήσεις Eμπέδωσης Διαμ­ έσων. 6. i) Φέρουμε EH⊥AΘ και εφαρ-1. Υπολογίστε το γινόμενο ΑΒ∙ΑΓ. (ΑΒ2 + ΑΓ2 = 4R2 = σταθερό). μόζουμε θεώρημα οξείας γωνί- ας στο τρίγωνο ΑΕΘ και βρί-2. Παρατηρήστε ότι 8. Αποδείξτε ότι ισχύει το Πυθα- γόρειο στο τρίγωνο ΕΔΗ. σκουμε ΕΘ = 3 ΜΕ = ΒΔ , ΝΕ = ΔΓ . 2 2 ii) Διαπιστώνουμε ότι ΕΘ2 + ΑΕ2 = ΑΘ23. Εφαρμόστε το θεώρημα Τε- ΚEΦAΛAΙΟ 10 iii) (ΑΒΓ) = 3 τ.μ. = (ΕΑΘ) 2 μνουσών.4. Εφαρμόστε το θεώρημα Τε- §10.1 - 10.3 οπότε (ΒΓΖΘΕ∆) = 5 + 3 . μνουσών. Ασκήσεις Eμπέδωσης 7. Φέρουμε ΒΜ, ΔΛ⊥ΑΓ και εί-Αποδεικτικές Ασκήσεις ναι (ΑΒΓΔ) = (ΑΒΓ) + (ΑΓΔ).1. i) Πυθαγόρειο Θεώρημα 1. (ΑΒΓΔ) = 16 τ.μ.,((∆ΔΑΑΖΖ) = 4 3 . 8. 58m και 76m. ii) Θεώρημα Τεμνουσών. Αν ZI⊥AB τότε ΖΙ = 2 οπό- Σύνθετα Θέματα τε (ΑΒΖ) = 4τ.μ. = (ΔΓΖ) και Δ2. Θεώρημα διχοτόμου και τέ- μνουσας - εφαπτομένης. (ΒΖΓ) = 8 − 4 3 . 1. i) ΘΙ, ΑΔ διάμεσοι στα ΙΘΔ, Δ ΑΘΓ αντίστοιχα3. i) Θεώρημα Τεμνουσών, 2. Εφαρμόστε τον τύπο ii) (ΙΘΔ) = 2(ΑΔΓ) ii) Εφαρμόστε το 1ο θεώρημα Ε = 1 α ∙ υα . Σωστό το Γ. iii) Χρησιμοποιήστε το ii). Διαμέσων. 2 2. Διαδοχική εφαρμογή της εφαρ.4. Παρατηρήστε ότι το ΓΝΗΜ εί- 3. α) υβ = 3 3 μ.μ. 3 της §10.3. ναι εγγράψιμο. όπου Η το ση- μείο τομής των ΑΒ και ΟΜ. β) (ΑΒΓ) = 12 3 τ.μ. 3. i) Αποδείξτε ότι ΒÂΚ + AB̂ K = 90° γ) Βρίσκουμε πρώτα το ΒΓ.5. Παρατηρήστε ότι ΒΔΜΗ εγ- 4. Αν α, β οι διαστάσεις του ορ- Δ γράψιμο. θογωνίου, έχουμε: α + β = 7 και α2 + β2 = 25 και προκύπτει ii) Από το ΑΒΖ βρίσκουμε Ε = 12τ.μ.Σύνθετα Θέματα πρώτα ΑΖ =45α54α. και ακολού- θως ΑΚ =1. Παρατηρήστε ότι ΔΕΓ ≈ ΑΕΓ. Επίσης βρί- = α 17 και2. Χρησιμοποιήστε το θεώρημα 5. α) (ΑΒΓΔ) = 50τ.μ. σκουμε ότι ΑΗ Διαμέσων και υπολογίστε τη μα. β) (ΑΕΖΒ) = (ΕΖΓΔ) = 25τ.μ. 13 43. Χρησιμοποιήστε το θεώρημα 20 α2 Διαμέσων. 6. Φέρουμε ΔΗ⊥ΒΓ και βρί- ΚΗ = α σκουμε ότι ΔΓ=13, οπότε το4. Εφαρμόστε το θεώρημα Τε- εμβαδόν της λωρίδας είναι iii) (ΑΚΗΔ) = 77 τ.μ. μνουσών για τις ΒΕΑ και ΓΖΑ. 3 ∙ 13 = 39 τ.μ. 200 4. i) Από το Ο φέρουμε κάθετεςΓενικές Ασκήσεις Αποδεικτικές Ασκήσεις στις ΑΒ, ΓΔ και εφαρμόζουμε 11. i) Εφαρμόστε το Πυθαγόρειο 1. Φέρουμε ΑΗ, ΔΖ⊥ΒΓ και εφαρ- τον τύπο Ε = 2 α ∙ υα ii) Με απαγωγή σε άτοπο. μόζουμε τον τύπο Ε =  1 α ∙ υα. ii) Από το i) είναι 22. Εφαρμόστε το θεώρημα Τε- (ΑΒΓ) – (ΟΑΒ) = (ΟΓΔ). μνουσών και όμοια τρίγωνα. 2. i) Εφαρμογή 3 §10.3. 5. σΑωτννη,δεσ1ί,υνδαν2έι:τχααει2μα=ήχκρ41ηητσ(ωδιμ21νο+δπιδοα22ιγή)ωσκνταίε-ι3. Υπολογίστε όλους τους όρους ii) Είναι (ΑΒΔ) =  1 (ΑΒΓ) = την x2 + y2 ≥ 2xy, x,y∈ℜ. ως συνάρτηση των πλευρών 2 του τριγώνου. (ΒΕΓ) και (ΑΔΓ) = (ΒΕΓ). 3. i) Εφαρμόστε την εφ. 3 §10.3188

ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ§10.4 4. Θεώρημα I της §10.5 και είναι 2. i) Σύγκριση εμβαδών, (ΒΕΖΓ) = 48τ.μ.Ασκήσεις Eμπέδωσης ii) Αρκεί λ 4 ≤ 1 . 5. Εφαρμογή του θεωρήματος III λ2 + 41. Να βρείτε το εμβαδόν του §10.5. (ΑΒΓ) με τον τύπο του Ήρωνα. 3. Βρείτε με δύο τρόπους το λόγο Αποδεικτικές Ασκήσεις2. Φέρουμε ΔΖ||ΑΒ και με τον ΔΔ (ΑΒΔ) . τύπο του Ήρωνα βρίσκουμε (ΑΓΔ) (ΔΖΓ) = 84 τ.μ. και αν ΔΗ⊥ΒΓ 1. i) Τα τρίγωνα ΡΒΓ και ΑΒΓ είναι ΔΗ = 12 οπότε (ΑΒΓΔ) = έχουν κοινή βάση ΒΓ. 4. i) Θεώρημα III §10.5 ii) τα τρί- 216 τ.μ. ii) Εφαρμόζουμε το i). γωνα ΒΔΕ και ΔΕΓ έχουν το ΡΑ ΑΔ – ΡΔ ΡΔ ίδιο ύψος από την κορυφή Ε, ΑΔ ΑΔ ΑΔ3. (ΑΒΓ) = 7 3 iii) = = 1 – iii) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΓ 24 2. Θεώρημα III της §10.5. έχουν κοινή τη γωνία Γ. 54. i) E = 24 ii) υα = 3. Αποδείξτε πρώτα ότι 5. i) Απλό, ii) Τα τρίγωνα ΑΒΓ ΑÔΓ + ΔÔΒ = 2 ⌊. iii) Ε = τρ, οπότε ρ = 2. και ΔΕΓ έχουν τη γωνία Γ κοι-Αποδεικτικές Ασκήσεις νή, iii) Τα τρίγωνα ΑΕΖ και1. Χρησιμοποιούμε τους τύπους 4. Γράψτε την αποδεικτέα σε ΔΕΓ είναι όμοια. μορφή αναλογίας. 1 6. i) Απλό, ii) ΜΚ διάμεσος στο βγ = α ∙ υα , Ε = 2 α ∙ υα και 5. Είναι ΜÂΖ + ΒÂΔ = 2 ⌊ άρα Δ θεώρημα III §10.5. ΑΜ Δ και ΜΛ διάμεσος στο αβγ Δ 4R ΒΜ Γ. Ε =  . γ 6. Θεώρημα I §10.5. ν2. i) Από τη δοθείσα με τύπο Σύνθετα Θέματα 7. i) Αν d = εκφράστε ως συ- Ήρωνα καταλήγουμε στην α2 < β2 + γ2 ii) και iii) όπως το i). 1. ΑÔΒ + ΑÔΔ = 2 ⌊ οπότε θεώ- νάρτηση του d τα εμβαδά του ρημα III §10.5. τριγώνου και των τραπεζίων3. Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ που σχηματίζονται. έχουν τον ίδιο περιγεγραμμένο κύκλο. i) Είναι (ΑΒΓ) = (ΒΔΓ) ii) Το εμβαδόν του τριγώνου ii) Απλό και των τραπεζίων δίνουν το4. Με Α < 90°, ΑΗ = β συνΑ και iii) E = 2E1 + E2 + E4 , εμβαδόν του (ΑΒΓ). ΑΖ = γ συνΑ οπότε….. x + y ≥ 2 xy, x,y ≥ 0. 8. Είναι (ΑΒΜΖΗΔ) = (ΑΒΓΔ) + Όμοια για  > 90°. 2. i) Απλό ii) Ε1 =  ΔΕ 2.  + (ΔΕΖΗ) – (ΔΕΜΓ) = 54. Ε  ΒΓ  9. Είναι ΑΓ2 – ΑΒ2  =  17 οπότε5. Χρησιμοποιούμε τους τύπους  1 ΑΓ = 9 και ΑΒ = 8, ΑΒ2 = 64, Ε = τ ∙ ρ και Ε = 2 α ∙ υα. 3. i) (ΔΕΖ) = (ΑΒΓ) – (ΑΖΕ) – ΑΔ2 = 100.Σύνθετα Θέματα (ΒΖΔ) – (ΔΓΕ) 1 1 ii) x + y ≥ 2 xy, x,y ≥ 0. 10. Τα τρίγωνα ΑΔΕ, ΑΖΗ και (ΟΚΜ) (ΟΚN)1. i) Είναι + = 4. Αν KM και ΛΝ οι ζητούμενες ΑΒΓ είναι όμοια μεταξύ τους ευθείες τα τρίγωνα ΑΚΜ και =(ΟΚ(OΜM)(ΟNΚ) Ν) ΑΒΓ έχουν κοινή γωνία Α. Το και γράφουμε το ημικύκλιο ίδιο για τα τρίγωνα ΑΛΝ και ΑΒΓ. διαμ­ έτρου ΑΓ. ii) Οι ευθείες ΒΚΒʹ και ΓΚΓʹ 11. i) Όπως άσκηση 1 (αποδεικτι- είναι τέμνουσες των πλευρών της  οπότε από το i)….. κές) §10.5, ii) προκύπτει από το i).2. (ΑΒΓ)=(ΑΒΙα)+(ΑΓΙα)–(ΒΓΙα). §10.6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 113. Παρατηρήστε ότι Ασκήσεις Eμπέδωσης §11.1 - 11.2 (ΑΒΓΔ) = (ΑΒΔ) + (ΒΓΔ) και 1. Η πλευρά x του τετραγώνου Ασκήσεις Eμπέδωσης αβγ ικανοποιεί την x2 = αβ. εφαρμόστε τον τύπο Ε = 4R . 1. Είναι: 2. Αν x η πλευρά του ζητούμενου φ5 = 108°, φ6 = 120°,§10.5 τετραγώνου τότε x2 = α2 + β2. φ10 = 144° και φ12 = 150°, ω5 = 72° , ω6 = 60°, ω10 = 36°1. Εφαρμογή του τύπου Ε = υα 3. Πρόβλημα 1 §10.6. Εʹ υαʹ 4. Πρόβλημα 1 §10.6. και ω12 = 30°. οπότε (ΑʹΒʹΓʹ) = 20 τ.μ. Γενικές Ασκήσεις 2. Σωστή η δ. 3. §11.1.2. (ΒΜΓ) = 5τ.μ. 1. i) Τα τρίγωνα έχουν ίσα ύψη και την ίδια βάση3. Θεώρημα III της §10.5. Είναι (ΑΔΖ) = 10τ.μ. iii) Εφαρμογή 3 §10.1. 189

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ4. Λύστε τις εξισώσεις. 2. Το ΑΒΓΔ είναι ισοσκελές τρα- §11.6 - 11.8 πέζιο και ΑΒ = λ6, ΔΓ = λ3,5. Λύστε την ανίσωση φν < 90° ΑΓ = ΒΔ = λ4. Ασκήσεις Eμπέδωσης ως προς ν. 3. Εφαρμογή 3 §11.3. Είναι: 1. Ε = π R2 .6. Θεώρημα I §11.2. 47. i) A͡ E = Δ͡ Γ 2. R = 12 Ε=144π cm2. λ12 = R 2 − 3 και ii) ΖÂΕ = ΖÂΓ + ΓÂΕ = 90° 3. lB͡ Γ = πα60 πα α12 = 1 R 2+ 3. 180 = 3 , iii) Αξιοποιήστε το i) 2 Ε = 1 (π − 3)α2 . iv) Ξεκινήστε με την ομοιό- 4. Αν ΑΒ  =  λ6 και Γ το μέσο 2 τητα των τριγώνων ΑΒΓ και του A͡ Β είναι ΑΓ = λ12 και το ΒΗΓ. ΟΑΓΒ έχει κάθετες διαγωνί- 4. Παρόμοια με την εφαρμογή 1Αποδεικτικές Ασκήσεις ους. §11.7.1. Είναι φλ + φμ + φν = 360°. Σύνθετα Θέματα 5. Η περίμετρος είναι πR και το2. Αποδείξτε ότι έχει πλευρές και 1. Εφαρμόστε το 1ο θεώρημα Δι- εμβαδόν R2 (2 3 − π) . γωνίες ίσες. αμέσων. 23. Εφαρμόστε το 2° θεώρημα δια­ 2. Υπολογίστε το γινόμενο Αποδεικτικές Ασκήσεις μέσων στο ΑB̂ Γ. ΑΒ ∙ ΑΓ. 1. Είναι ΟB̂ Γ = 30°, lA͡ Γ = πR .4. Αν ΑΒ = λν και Μ το μέσο του 3 A͡ Β το ΟAMΒ έχει κάθετες 3. Παρατηρήστε ότι ΑΓ = 2R. 3 + π) δια­γωνίους. Περίμετρος = R(1 + 3 §11.4 Εμβαδόν = R 2 (3 35. Τα πολύγωνα είναι όμοια. 6 − π). Ασκήσεις Eμπέδωσης6. Τα πολύγωνα είναι όμοια.Σύνθετα Θέματα 1. Εφαρμόστε τον τύπο του μή- 2. Αρκεί να βρούμε το εμβαδόν κους κύκλου. ενός από τα μη γραμμοσκια-1. Βρείτε για ποια ν υπάρχει θε- σμένα μικτόγραμμα τρίγωνα. τικός ακέραιος κ τέτοιος ώστε 2. L = 10 3cm. Το ζητούμενο εμβαδόν είναι: κφν = 360°. 3. l = π cm. Ε = α2 (6 + π − 3 3) .2. Αν Α1Α2...Αν το κανονικό ν-γω- 6 νο είναι:. 4. Απλή. (ΣΑ1Α2) + (ΣΑ2Α3) +...+ (ΣΑνΑ1) 5. ΑΒ = λ4 και ΒΓ = λ3. 3. Αν Α, Β είναι τα κοινά σημεία = (Α1Α2 ... Αν). Αποδεικτικές Ασκήσεις των κύκλων (Κ, R) και (Λ, R)3. Συγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΓΜ 1. Αν Κ το κέντρο του κύ- και ΑΓΔ. κλου (Κ) παρατηρήστε ότι: με δ = R 2 αποδείξτε πρώτα ΑK̂ Δ = 2ΑÔΓ. ότι το ΑΚΒΛ είναι τετράγωνο. 2. Σχέσεις ακτίνων και διακέ- ντρου. 4. Ε= π (ΑΒ2 – ΑΓ2 – ΓΒ2), 8§11.3Ασκήσεις Eμπέδωσης 3. Χρησιμοποιούμε τους τύπους ΑΒ = ΑΓ + ΓΒ. αβγ 5. Αν (Κ, κ) ο εγγεγρ. στον το- 4R 33 R2, Ε4 = 2R2 , E = τρ, Ε = και τον τύπο μέα κύκλος τότε: OK = R – κ 4 του Ήρωνα.1. Ε3 = ΚΓ  =  κ, όπου ΚΓ⊥ΟΑ και Ε6 = 33 R2 . Σύνθετα Θέματα ΑÔΚ = 30°. Είναι κ = R . 2 3 1. Αν Κ, Λ τα μέσα των OA, OB2. Είναι λv = R, Eν = 150 3cm2 Σύνθετα Θέματα αντίστοιχα και (Μ, x) ο κύκλος (ν = 6). 1. i) ΑBΓ  = 180° άρα AΓ = 2R. που εφάπτεται στα τρία ημικύ-3. Είναι αν = 4 2, ν = 4 κλια είναι: OM = R – x, ii) (ABΓ) = 3, Ε4 = 128cm2. R R Ε 2π OK = 2 , KM = 2 + x και το iii) Το κυκλικό τμήμα με4. ΑΒ = λ6 = R, ΒΓ = αλ4ν == R4 2, κτλ. (ΑΒΓ∆) = R2 (2 + 3) . ΟΚΜ είναι ορθογώνιο οπότε χορδή την ΑΒ έχει εμβαδόν 2 2. xΠα=ρόR3μο. ια με την 1. Η ακτίνα R R2 (2π − 3 3) και το κυκλικόΑποδεικτικές Ασκήσεις του κύκλου (Κ) είναι 4 . 12 τμήμα με χορδή τη ΒΓ έχει εμ-1. Το άθροισμα των γωνιών είναι (2ν-4) ορθές, οπότε ν = 6, R = 2. 3. 6, 2 + 61 + 6π . βαδόν R2 (4π − 3 3). 12190

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ2. Το ζητούμενο εμβαδόν είναι ii) Χρησιμοποιήστε το i), iii) Το §12.4 Ε = (π – 1)R2. ΟΒΒʹΟʹ είναι παρ/μο, iv) Προ- σθέτουμε και αφαιρούμε διαδο- Ασκήσεις Eμπέδωσης3. Βρίσκουμε πρώτα ότι χικά από τα μέλη της iii) τα εμ- ΚÂΛ = 120° (Α κοινό σημείο βαδά του μικτόγραμμου τριγ. 1. Από το Ο φέρουμε τις παράλ- ΑΒΓ και του κυκλικού τμήμα- ληλες των ασύμβατων και αυτές των κύκλων). τος χορδής ΓΒʹ αντίστοιχα. ορίζουν το ζητούμενο επίπεδο.4. Εφαρμογή 1 §11.7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 2. Τέμνουμε την ευθεία ξ με το επίπεδο το παράλληλο στο πΓενικές Ασκήσεις §12.3 που περνάει από το Α και ενώ- νουμε αυτό το σημείο με το Α.1. ii) Τα πολύγωνα είναι όμοια, Ασκήσεις Eμπέδωσης 3. Φέρουμε επίπεδο παράλληλο iii) L = 3 πR. 1. Η ζητουμένη ευθεία είναι η το- στο π που τέμνει τις ασύμβα- 2 μή των δύο επιπέδων που ορί- τες σε δύο σημεία. Αυτά ορί-2. α) Διαφορά εμβαδών δύο κυ- ζει το σημείο Ο με καθεμία ζουν μία από τις ευθείες που από τις ασύμβατες ευθείες. ικανοποιούν το πρόβλημα. κλικών τομέων. β) Χρησιμο- 360 2. Φέρουμε το τυχαίο επίπεδο που 4. Τότε η ευθεία είναι παράλληλη ποιούμε και την ων = ν . περιέχει τη μία ευθεία και τέ- και στα δύο επίπεδα, διότι είναι μνει τις άλλες δύο στα σημεία παράλληλη μια ευθεία του κα-3. Αποδείξτε ότι το άθροισμα των Α και Β αντίστοιχα. Η ευθεία θενός. ΑΒ είναι η ζητούμενη. γωνιών των τομέων είναι 4 ορ- 5. Αποδεικνύεται με απαγωγή σε 3. Το επίπεδο (Α, εʹ) τέμνει τον άτοπο ότι η κοινή ευθεία δεν θές. κύκλο (Κ) σε δύο, ένα ή κα- μπορεί να τέμνει τις ε και εʹ. νένα σημείο. Επομένως υπάρ-4. Η ακτίνα του κάθε κύκλου είναι χουν δύο, μία ή καμία τέτοια 6. Φέρουμε τυχαίο επίπεδο από α ευθεία. την ξ που τέμνει το π και χρη- και το ζητούμενο εμβαδόν σιμοποιούμε τον ορισμό της 4 α2 4. Τα επίπεδα (Μ,Χ,Χʹ) και παραλληλίας ευθείας και επι- (4 – π) 16 . (Μ,Ψ,Ψʹ) έχουν δύο κοινά ση- πέδου. μεία. Το Μ και το Ο. Άρα η5. ii) ρ = 10(2 − 2). κοινή ευθεία είναι η ΜΟ. 7. Φέρουμε από το Ο ευθεία πα- ράλληλη στην ε. Κάθε επίπεδο6. Η ακτίνα καθενός από τους Αποδεικτικές Ασκήσεις που περιέχει αυτήν και όχι την τέσσερις κύκλους είναι ε είναι λύση του προβλήματος. 1. Τέμνουμε το επίπεδο με το επί- x = 25(3 − 2 2). πεδο του κύκλου. 8. Φέρουμε την παράλληλη στην κοινή ευθεία των δύο επιπέδων.7. Γωνία δύο τεμνουσών του κύ- 2. Χρησιμοποιούμε τις προτά- σεις: i) δύο επίπεδα τέμνονται 9. Το ζητούμενο επίπεδο ορίζεται κλου. Βρίσκουμε ωmin = 12°. σε ευθεία αν έχουν ένα κοινό από δύο ευθείες παράλληλες8. i) AM2 = ΑΓ ∙ ΑΔ και σημείο και ii) μία ευθεία που στις δοσμένες, που διέρχονται έχει δύο σημεία της σε επίπεδο από το Ο. Αν οι δοσμένες είναι ΑΣ2 = ΑΓ ∙ ΑΒ τότε ανήκει σ’ αυτό. παράλληλες, βρίσκουμε δύο ii) Το τεταρτοκύκλιο A͡ M, του τεμνόμενες ευθείες του επιπέ- 3. Με απαγωγή σε άτοπο. δου τους και αναγόμαστε στην κύκλου με διάμετρο το ΑΔ πρώτη περίπτωση. 4. Η ζητούμενη ευθεία ορίζεται iii) Το μήκος του διαγραφόμε- από τα σημεία τομής των ε3 και 10. Κατασκευάζουμε τα επίπε- 1 ε4 με το επίπεδο (ε1, ε2). δα (ε1, ξ1) και (ε2, ξ2), όπου ξ1, νου τόξου είναι 2 πΑΒ. ξ2//ε τέμνουσες των ε1 και ε2 i) ε1 = (ΟA͡ Γ) – 5. Αν οι ευθείες τομής του ενός αντίστοιχα.9. (ΟΑΓ), με τα δύο άλλα τέμνονται, τό- τε αυτό είναι κοινό σημείο και Αποδεικτικές Ασκήσεις ε2 = (ΟA͡ Β) – (ΟΑΒ) και η ΟΑ των τριών επιπέδων. Αν είναι παράλληλες, τότε και η τρίτη 1. Αποδεικνύουμε ότι δύο απένα- είναι διάμεσος του τριγώνου είναι παράλληλη σε αυτές. ντι πλευρές του σχηματιζόμε- νου τετραπλεύρου είναι παράλ- ΑΒΓ, ii) Πάρτε και έναν άλ- ληλες και ίσες. λο εγγεγραμμένο κύκλο και συγκρίνετε τις ακτίνες τους, iii) α) Οι ακτίνες ρ1, ρ2 των μέ- γιστων εγγεγραμμένων κύκλων στα κυκλικά τμήματα χορδών ΑΓ, ΑΒ αντίστοιχα είναι: ρ1 = 1 (R – γ ), ρ2 = 1 (R – β ) 2 2 2 2 β) ρ1 = R και ρ2 = 2− 3 R. 4 410. i) Απλό 191

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ2. Τα επίπεδα αυτά περνάνε από σεις και επειδή έχουν μία κοι- Αποδεικτικές Ασκήσεις δύο παράλληλες ευθείες, άρα η νή γωνία, είναι όμοια. τομή είναι παράλληλη σ’ αυτές. 1. Ο γ.τ. είναι το επίπεδο το πα- iv) Από τα όμοια τρίγωνα, επει- ράλληλο στις δύο ασύμβατες,3. Καθιστούμε τα τμήματα αυτά δή το ένα είναι ορθογώνιο θα που διαιρεί την απόσταση των διαγωνίους παραλληλογράμμου είναι και το άλλο. ασύμβατων σε λόγο λ. και προκύπτει το ζητούμενο. v) Η ΣΓ είναι κάθετη στην ΓΝ 2. Χρησιμοποιούμε την προηγού-4. Γίνεται χρήση του ορθού του και ορθογώνια στην ΑΓ. μενη άσκηση. Η ζητούμενη ευ- θεωρήματος του Θαλή. θεία ε3 ορίζεται ως η τέμνουσα vi) Εφαρμογή του θεωρήματος των δύο ασύμβατων ε1 και ε2Σύνθετα Θέματα των τριών καθέτων ii). που περνάει από το σημείο το- μής της ε3 με το επίπεδο το πα-1. Ανά δύο οι παράλληλες πλευ- vii) Είναι κύκλος διαμέτρου ΑΓ ράλληλο στις ε1 και ε2 το οποίο ρές των τριγώνων ορίζουν τρία στο επίπεδο που περνάει από το χωρίζει την απόστασή τους σε επίπεδα που είτε θα τέμνονται Γ και είναι κάθετο στην ΣΓ. λόγο λ. σε ένα σημείο ή θα τέμνονται ανά δύο σε τρεις ευθείες πα- §12.6 3. Το ζητούμενο σημείο είναι το ράλληλες. σημείο τομής των δύο κύκλων Ασκήσεις Eμπέδωσης (Αʹ, ρ) και (Βʹ, ρʹ), όπου Αʹ και2. Τα σημεία Α1, Β1 και Γ1 είναι Βʹ οι προβολές των Α και Β στο σημεία της κοινής ευθείας των 1. Είναι η τομή του μεσοκάθετου π και δύο επιπέδων των τριγώνων. επιπέδου στο τμήμα που ορί- Ανά δύο οι πλευρές των τριγώ- ζουν τα δύο σημεία με το δο- ρ = µ2 − ΑΑ′2 και νων ορίζουν τρία επίπεδα που σμένο επίπεδο. περνάνε από το ίδιο σημείο ή ρ′ = ν2 − ΒΒ′2 . τέμνονται ανά δύο σε τρεις ευ- 2. Είναι η τομή του μεσοκάθετου Σύνθετα Θέματα θείες παράλληλες (προηγούμε- επιπέδου στο ΑΒ με την ευ- νη άσκηση). θεία. 1. Ο γ.τ. είναι κύκλος του π με κέ- ντρο την προβολή Οʹ του μέ-3. Είναι ευθεία παράλληλη στην ε. 3. Η ζητούμενη κάθετη είναι η σου Ο του ΑΒ και ευθεία του π που είναι κάθετη§12.5 στην προβολή της ε στο π. ακτίνα ρ = ΑΒ2 − ΟΟ′2 . 4Ασκήσεις Eμπέδωσης 4. O γ.τ. είναι κύκλος σε επίπε- δο κάθετο στην ε, με διάμετρο 2. Προβάλλουμε το Α στο π και1. Υπάρχει ευθεία του π παράλ- ΑΒ, όπου Β η προβολή του Α ληλη στην ε. στην ε. ενώνουμε την προβολή Αʹ με2. Εφαρμογή του θεωρήματος 5. Ο γ.τ. είναι κύκλος του π με το κέντρο του κύκλου. Τα άκρα των τριών καθέτων. διά­μετρο ΟΟʹ, όπου Οʹ η προ- βολή του O στο π. της διαμέτρου είναι τα ζητού-3. Το ζητούμενο επίπεδο είναι αυ- τό που ορίζεται από μία ευθεία 6. O γ.τ. είναι η ευθεία η κάθετη μενα σημεία. και την κοινή κάθετό τους. στην ε από το Οʹ, την προβολή του Ο στο π. 3. Το επίπεδο ορίζεται από το μέ-4. Είναι η ευθεία η παράλληλη σε μία κάθετη της ε. 7. Ο γ.τ. είναι η κάθετη ευθεία σον Ο του ΑΒ και την ευθεία ε. στο επίπεδο του τριγώνου, πουΑποδεικτικές Ασκήσεις περνάει από το περίκεντρο. 4. Ο γ.τ. είναι επίπεδο κάθετο1. Εφαρμογή του θεωρήματος 8. Ο γ.τ. είναι το κοινό σημείο στην ΑΒ στο σημείο Μʹ για των τριών καθέτων. των μεσοκάθετων επιπέδων στα Α2 τμήματα που ορίζουν τα τέσσε- το οποίο ισχύει ΟΜʹ = 2ΑΒ ,2. Εφαρμογή του θεωρήματος ρα δοσμένα σημεία ανά δύο. των τριών καθέτων. όπου Ο το μέσον του ΑΒ. 9. O γ.τ. είναι τα επίπεδα τα πα-3. Εφαρμογή του i) θεωρήματος ράλληλα στο π, σε απόσταση λ, 5. Θεωρούμε επίπεδο κάθετο των τριών καθέτων. κείμενα εκατέρωθεν του π. στην ΓΔ που περιέχει την ΑΒ ii) Τα ΣΓ και ΣΝ είναι τα ύψη 10. Είναι το επίπεδο το παράλληλο των ορθογώνιων τριγώνων στο (Α, Β, Γ), που περνάει από και χρησιμοποιούμε το Πυθα- ΣΑΜ και ΣΑΒ, επομένως ισχύ- το Μ. ουν οι σχέσεις αυτές. γόρειο Θεώρημα. iii) Από τις προηγούμενες σχέ- 6. Εφαρμογή της άσκησης 5. 7. Τα μεσοκάθετα επίπεδα στα ΑΒ, ΑΓ, ΑΔ τέμνονται σε ένα σημείο Ο που ανήκει και στα μεσοκάθετα επίπεδα των υπο- λοίπων.192

ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ8. Το σταθερό σημείο είναι το ση- της προβολής τρίγωνο ΑΒ0Γ 6. Αν ΑΔ είναι το ύψος του τριγώ- μείο τομής του π με την ευθεία ίσο με το ΑΒΓ και συγκρίνου- νου ΑΒΓ και ΑʹΔ το ύψος του ξ που είναι κάθετη στο επίπεδο με αυτό με την προβολή ΑΒʹΓ, ΑʹΒΓ θα έχουμε ότι τα εμβαδά (Ο, ε) στο Ο. όπου Β η ορθή γωνία και Α, Γ των δύο τριγώνων είναι όπως ο οι τομείς των πλευρών της με λόγος των υψών τους. Αλλά τα§12.7 το επίπεδο. ύψη είναι γνωστά.Ασκήσεις Eμπέδωσης 7. Απλή εφαρμογή του Πυθαγό- Γενικές Ασκήσεις ρειου θεωρήματος.1. Κάθε επίπεδο που περιέχει την 1. Ο γ.τ. είναι τα επίπεδα που δι- κάθετη ΟΟʹ στο επίπεδο π ικα- 8. Από τον ορισμό του συνημιτό- χοτομούν τις δύο παραπληρω- νοποιεί το πρόβλημα. νου γωνίας έχουμε: ματικές δίεδρες γωνίες που έχουν τη γωνία των ε και ξ ως2. Οι έδρες σ και π περιέχουν την i) AB = 3 ii) AB = 2 αντίστοιχη επίπεδη. ακμή ε που είναι κάθετη στο π. 2 2 1 2. Θεωρούμε την ορθή γωνία των3. Γίνεται χρήση των γ.τ. i) του iii) AB = 2 . ξ και εʹ (όπου εʹ//ε), που προ- μεσοκάθετου επιπέδου στο βάλλεται στο άλλο επίπεδο ως τμήμα ΒΓ και ii) κύκλου με 9. Φέρουμε την κάθετη στο επί- ορθή. Επειδή η εʹ προβάλλεται κέντρο το μέσο Μ του ΒΓ και πεδο π στο Α, η οποία μαζί με ως παράλληλη στην ε, η ξ προ- ακτίνα το μισό του ΒΓ. την ε ορίζουν επίπεδο, πάνω βάλλεται ως κάθετη σε αυτή. στο οποίο κατασκευάζουμε ευ-4. Φέρουμε από το Ο ευθεία πα- θεία που σχηματίζει γωνία 60ο 3. Οι ευθείες οι παράλληλες στο ράλληλη στην ε και ευθεία κά- με την ε. π που τέμνουν τις ε και ξ έχουν θετη στο σ. Αυτές οι δύο ευθεί- προβολές στο π ευθείες που ες ορίζουν το επίπεδο π. 10. Εφαρμόζουμε το θεώρημα του περνάνε από το μέσο του τμή- Θαλή της γεωμετρίας του επι- ματος που ορίζουν τα ίχνη των5. Από τυχαίο σημείο της ε φέ- πέδου. ευθειών ε και ξ. Άρα οι ευθείες ρουμε ευθεία κάθετη στο π. Η που συναντούν τις ε και ξ τέ- ε και η κάθετη ορίζουν το ζη- Αποδεικτικές Ασκήσεις μνονται από την κάθετη στο τούμενο επίπεδο. επίπεδο π στο σημείο αυτό. 1. Συγκρίνουμε τις γωνίες που§12.8 σχηματίζουν η κάθετη και η 4. Προβάλλουμε τα ίχνη της τέ- πλάγια με τις προβολές τους. μνουσας στις δύο έδρες καιΑσκήσεις Eμπέδωσης στην ακμή της δίεδρης και 2. Παρατηρούμε ότι τα επίπεδα σχηματίζονται δύο ζεύγη ίσων1. Εάν ε⊥π τότε κάθε επίπεδο αυτά έχουν κοινό το έκκεντρο τριγώνων. που περιέχει την π είναι κάθε- του τριγώνου. το. Εάν η ε είναι πλάγια στο π, 5. Προβάλλουμε τα σημεία στις τότε το επίπεδο (ε, εʹ) είναι κά- 3. Το μέσο μιας διαγωνίου με τις έδρες και την ακμή της δίε- θετο στο π, όπου εʹ η προβολή δύο άλλες κορυφές συνιστούν δρης και προκύπτουν δύο τρί- της ε στο π. ισοσκελές τρίγωνο, άρα η διά- γωνα ίσα. μεσος είναι και ύψος. Το ίδιο2. Εφαρμογή του Θεωρήματος και για το μέσο της άλλης δια­ 6. Θεωρούμε ότι οι προβολές δε του Θαλή στο επίπεδο που γωνίου και προκύπτει το ζη- συμπίπτουν και χρησιμοποιώ- ορίζει η ευθεία με την προβο- τούμενο. ντας το Θεώρημα των τριών λή της. καθέτων οδηγούμαστε σε άτο- 4. Αν Γʹ η προβολή του Γ στο πο.3. Εφαρμογή της προηγούμενης ζητούμενο επίπεδο και ΓΔ το άσκησης. ύψος του τριγώνου ΑΒΓ, τό- 7. Τα μέσα των διαγωνίων ΑΓ και τε το τρίγωνο ΓΓʹΔ είναι ορθο- ΒΔ του στρεβλού τετραπλεύ-4. Οι παράλληλες ευθείες και οι γώνιο στο Γʹ και έχει δύο γνω- ρου ΑΒΓΔ προβάλλονται στο προβάλλουσες δύο σημεία που στές πλευρές την ΓΔ και την κέντρο του παραλληλογράμμου βρίσκονται ένα στην καθεμία, ΓʹΔ άρα κατασκευάζεται. και επομένως αυτά ορίζουν τη ορίζουν επίπεδα παράλληλα, διεύθυνση των παραλλήλων. που τεμνόμενα από τρίτο δίνουν 5. Από το σημείο τομής Γ του τομές ευθείες παράλληλες. τμήματος ΑΒ με το διχοτόμο 8. Εφαρμόζουμε το Θεώρημα του επίπεδο φέρουμε επίπεδο κά- Θαλή για τα MMʹ, ΝΝʹ και την5. Τα ζεύγη των απέναντι πλευ- θετο στην ακμή της διέδρου κοινή κάθετο των ασύμβατων. ρών προβάλλονται ως παράλ- και προβάλλουμε σε αυτό τα ληλες ευθείες. σημεία Α και Β.6. Κατασκευάζουμε στο επίπεδο 193

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 της τομής επί την ακμή. το απόστημα και το μισό της πλευράς της βάσης σχηματί-§13.1 - 4 4. Καθιστούμε το ευθύγραμμο τμή- ζουν ορθογώνιο τρίγωνο. Επί- μα διαγώνιο σε ορθογώνιο πα-Ασκήσεις Eμπέδωσης ραλληλεπίπεδο με τρεις ακμές σης, το ύψος, το απόστημα της δια του Α και τρεις δια του Γʹ.1. Το ύψος είναι κάθετο ενώ η ακ- βάσης και το απόστημα της πυ- μή είναι πλάγια ως προς τα επί- 5. Καθιστούμε το τμήμα ΑΓʹ δια­ ραμίδας συνιστούν επίσης ορ- πεδα της βάσης. γώνιο σε ορθογώνιο παραλ- θογώνιο τρίγωνο. ληλεπίπεδο και προβάλλουμε2. Οι κάθετες τομές ορθού πρί- στις τρεις έδρες του που περ- 2. Η αντίστοιχη της δίεδρης με σματος και οι βάσεις είναι πα- νάνε από το Α. έδρες τη βάση και μία από τις ράλληλα σχήματα. 6. i) Συγκρίνουμε τα ορθογώνια έδρες κανονικής πυραμίδας τρίγωνα που έχουν ως πλευρές3. Οι ακμές ενός πρίσματος και οι τη διαγώνιο και την ακμή του έχει αντίστοιχη τη γωνία που προβολές τους στα επίπεδα των κύβου, ii) Υπολογίζουμε το λό- σχηματίζουν το απόστημα της βάσεων σχηματίζουν ίσα ορθο- γο της υποτείνουσας προς την πυραμίδας και το απόστημα γώνια τρίγωνα. προβολή της ακμής σε αυτήν. της βάσης. 7. Τέμνουμε το παραλληλεπίπεδο με το διαγώνιο επίπεδο ΒΒʹΔʹΔ 3. Εφαρμόζουμε τους τύπους. και ανάγεται σε γνωστό πρό-4. Ε = α2  3 + 3  , V= 3 α3. βλημα της γεωμετρίας του επι- 4. Απλή εφαρμογή των τύπων.  2  4 πέδου. 5. Επ = 87.561 τ.μ,5. Ε3 = 3 3ρ  ρ + υ  Σύνθετα Θέματα V = 2.664.792 κ.μ.  2  1. Παρατηρούμε ότι οι πλευρές 6. Ε0 = µ2 7 , V = µ3 .( ) Ε4 = 4ρ ρ + 2υ του τριγώνου είναι διαγώνιοι 6 των εδρών. 7. i) 1, (ii) 6 .( ) Ε6 = 3ρ 2υ + 3ρ 34 2. Η τομή του επιπέδου (Αʹ, Β, Δ) V3 = 33 ρ2υ με τη διαγώνιο είναι το κέντρο 8. 3 6. 4 ισόπλευρου τριγώνου και τα ύψη σχηματίζουν τις αντίστοι- 9. V = 7 3 α2υ V4 = 2ρ2υ, V6 = 33 ρ2υ . χες των διέδρων. 16 2 3. Το επίπεδο που περνάει από τα V = 9α 3α2 + 22 .6. Εφαρμόζουμε το Θεώρημα σημεία Κ, Λ και Ν τέμνει τις 44 ακμές ΓʹΔʹ, ΔʹΑʹ και ΑΑʹ σε του Θαλή για τα επίπεδα των σημεία που αποδεικνύουμε ότι Αποδεικτικές Ασκήσεις είναι μέσα, οπότε οι πλευρές εδρών, στα οποία βρίσκονται τα του σχηματιζόμενου εξαγώνου 1. Στηριζόμενοι στο ότι ο όγκος είναι ίσες. Επίσης και οι γωνί- μιας πυραμίδας δεν αλλάζει αν άκρα του τμήματος και το με- ες είναι ίσες. η κορυφή της πυραμίδας κινη- θεί σε επίπεδο παράλληλο στη σοπαράλληλο επίπεδο σε αυτά. 4. Εφαρμόζουμε γνωστή πρότα- βάση της, μετακινούμε μία κο- ση της γεωμετρίας του επιπέ- ρυφή του τετραέδρου παράλ-7. Ε = 6α2 και α = 6 μ. δου σύμφωνα με την οποία το ληλα σε μία απέναντι ακμή άθροισμα των τετραγώνων των του τετραέδρου, ώστε να γίνει8. δ = 4 29 , Ε = 832, V = 1536 διαγωνίων παραλληλογράμμου σημείο της απέναντι έδρας του9. Ε = 6α2 = 3β2 = 2δ2, όπου ισούται με το άθροισμα των τε- παραλληλεπιπέδου. τραγώνων των τεσσάρων πλευ- α = ακμή, β = διαγώνιος βάσης ρών του. 2. Προβάλλουμε δύο κορυφές και δ = διαγώνιος κύβου. στις απέναντι έδρες και στην §13.5 - 9 ακμή που ορίζουν οι άλλες δύο10. Ακμή α = 5, όγκος V = 150. κορυφές και σχηματίζονται δύοΑποδεικτικές Ασκήσεις Ασκήσεις Eμπέδωσης όμοια ορθογώνια τρίγωνα. Από τους λόγους των πλευρών τους1. Συμπληρώνουμε το πρίσμα σε 1. Το ύψος κανονικής πυραμίδας, προκύπτει το ζητούμενο. παραλληλεπίπεδο. 3. Θεωρούμε ως βάση ένα τρίγω-2. Εκφράζουμε το εμβαδόν της νο που έχει τη μετακινούμενη κάθετης τομής ως συνάρτηση ακμή ως πλευρά. Το εμβαδόν της ακτίνας του εγγεγραμμένου κύκλου και της περιμέτρου.3. Ο όγκος πρίσματος εκφράζεται ως γινόμενο μιας κάθετης το- μής επί την ακμή και το εμβα- δόν με την περίμετρο της κάθε-194

ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ της βάσης είναι σταθερό διό- αυτή σχηματίζουν ένα τετρά- του κώνου από το ύψος και την τι έχει σταθερό μήκος βάσης εδρο, με ακμές βάσης ίσες με ακτίνα και εφαρμόζουμε τους και ύψος. Επίσης, το ύψος της το μισό της διαγωνίου τετρα- τύπους. πυραμίδας δεν αλλάζει διότι η γώνου πλευράς α. Υπολογίζου- απέναντι κορυφή προβάλλεται με το ύψος της βάσης, το εμβα- 2. Απαλείφουμε τη γενέτειρα με- σε σταθερό επίπεδο. δόν της βάσης, το ύψος του τε- ταξύ του τύπου της κυρτής τραέδρου και εν τέλει τον όγκο επιφάνειας και της σχέσης που4. Θεωρούμε το λόγο του ενός του, το οκταπλάσιο του οποίου συνδέει την ακτίνα, το ύψος τετραέδρου ως προς ένα βοη- αφαιρείται από τον όγκο του και την ακμή και προσδιορί- θητικό που έχουν κοινό ύψος, κύβου. ζουμε την ακτίνα του κώνου. και το λόγο του βοηθητικού ως προς τον όγκο του δεύτε- §13.10 - 12 3. Από το ορθογώνιο τρίγωνο με ρου που έχουν επίσης κοινό υποτείνουσα τη γενέτειρα και ύψος και πολλαπλασιάζοντας Ασκήσεις Eμπέδωσης κάθετη πλευρά την ακτίνα βρί- τις σχέσεις προκύπτει το ζη- σκουμε το ύψος του κώνου. τούμενο. 1. Απλή εφαρμογή των τύπων. Μετά, με εφαρμογή των τύ- πων, υπολογίζουμε τα ζητού-5. Εφαρμόζουμε την προηγούμε- 2. Εφαρμόζουμε τους τύπους. μενα. νη άσκηση δύο φορές και προ- κύπτει το ζητούμενο. 3. Εφαρμογή των τύπων. 4. Από το ορθογώνιο και ισοσκε- λές τρίγωνο που παράγεται ο6. Εφαρμόζουμε την άσκηση 5. 4. Υπολογίζουμε τον όγκο κυλίν- κώνος προκύπτει το ύψος και δρου ενός εκατοστού ύψους, η γενέτειρα του κώνου. Με αυ-7. Υπολογίζουμε το ύψος της βά- που έχει την ίδια βάση. τά υπολογίζουμε τον όγκο και σης και από αυτό το απόστη- την επιφάνεια. μα. Επειδή η γωνία της ακμής 5. Εξισώνουμε το εμβαδόν της και του ύψους της βάσης εί- ολικής επιφάνειας με το εμβα- 5. Υπολογίζουμε την ακμή λ και ναι πλευρές ορθογώνιου τρι- δόν του κύκλου ακτίνας 4 και στη συνέχεια το ύψος υ. Κατό- γώνου, υπολογίζεται το ύψος υπολογίζουμε την ακτίνα του πιν αντικαθιστούμε στους τύ- και από αυτό ο όγκος είναι κυλίνδρου. πους του όγκου και του εμβα- δού. V = 3 α2. Αποδεικτικές Ασκήσεις 12 6. Υπολογίζουμε το λ και μετά το 1. Από τους τύπους του όγκου και λόγο των εμβαδών που είναιΣύνθετα Θέματα του εμβαδού της ολικής επιφά- νειας απαλείφουμε την ακτίνα ρ. 5.1. Αν ΑΒ είναι η κάθετη σε επίπε- δο, στο σημείο Β, προβάλλου- 2. Υπολογίζουμε τον όγκο των 7. Υπολογίζουμε το λόγο των δύο με τις κορυφές Δ και Γ στο επί- δύο κυλίνδρων που σχηματί- επιφανειών αφού υπολογίσου- πεδο αυτό και προκύπτει ότι ο ζονται. Θέτουμε x την απόστα- με την ακμή από το ύψος και αρχικός όγκος του τετραέδρου ση του Μ από το Α και διπλα- την ακτίνα. ισούται με τον όγκο του τετρα- σιάζοντας τον όγκο του μικρού έδρου που έχει κορυφές τα Α, κυλίνδρου βρίσκουμε τον όγκο 8. Απλή εφαρμογή των τύπων. Β και τις προβολές στο επίπε- του μεγάλου. δο των δύο άλλων. Αποδεικτικές Ασκήσεις 3. Υπολογίζουμε τη διαφορά των2. Η κάθετη τομή ενός πρίσματος, δύο κυλίνδρων που σχηματί- 1. Χωρίζουμε τον κώνο με επίπε- από σημείο Μ εσωτερικό του ζονται κατά την περιστροφή δο παράλληλο στη βάση. Τότε, πρίσματος, περιέχει τις απο- του ορθογωνίου και βρίσκου- ο μικρός κώνος που αποτέμνε- στάσεις του Μ από τις έδρες με τον ζητούμενο όγκο. Αθροί- ται είναι το μισό του αρχικού. και σχηματίζεται ισόπλευρο ζουμε τα εμβαδά, λαμβάνοντας τρίγωνο στο οποίο το άθροι- υπόψη τόσο τις κυρτές επιφά- 2. Ο όγκος που παράγεται κατά σμα των αποστάσεων του ση- νειες των δύο κυλίνδρων, όσο την περιστροφή του τριγώνου μείου Μ από τις πλευρές του και τους δύο κυκλικούς δακτυ- ΑΒΓ ισούται με τον όγκο του τριγώνου είναι σταθερό. λίους που αποτελούν τις βάσεις AMΚ μείον ογκ(ΓΛΚ) μείον των κυλίνδρων. όγκ.(ΒΓΜΠ).3. Τα μέσα τριών ακμών που περ- νάνε από την ίδια κορυφή του §13.13 - 15 3. Αν φέρουμε δύο επίπεδα πα- κύβου, μαζί με την κορυφή ράλληλα στη βάση που να χω- Ασκήσεις Eμπέδωσης ρίζουν την κυρτή επιφάνεια του κώνου σε τρία ίσα μέρη, ο 1. Υπολογίζουμε τη γενέτειρα 195

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑμικρός κώνος που δημιουργεί- Αποδεικτικές Ασκήσεις τείνουσα κατά τα γνωστά από 1 τη γεωμετρία του επιπέδου.ται θα είναι το 3 του αρχικού. 1. Υπολογίζουμε τους όγκους των τριών στερεών από τους Γενικές ΑσκήσειςΕπίσης ο μικρός κώνος μαζί με τύπους και αποδεικνύουμε τις σχέσεις του προβλήματος. 1. Σχηματίζουμε το άθροισματο μεσαίο κόλουρο κώνο απο- των τετραγώνων των αποστά- 2 2. Αν Μ τυχόν σημείο της το- σεων του τυχαίου σημείου Μτελούν τα 3 του αρχικού κώ- μής και Κ και Λ τα κέντρα της από τις κορυφές του τετραέ-νου. σφαίρας, το επίπεδο (Κ, Λ, Μ) δρου και εφαρμόζουμε το Θε- τέμνει τις σφαίρες κατά μέγι- ώρημα των διαμέσων στα διά-4. Απλή εφαρμογή του τύπου. στους κύκλους και το τρίγωνο φορα τρίγωνα που σχηματίζο- ΚΛΜ έχει γνωστά μήκη πλευ- νται. Καταλήγουμε σε μία σχέ-5. Χρησιμοποιούμε την ομοιότη- ρών. Επομένως η προβολή του ση που περιέχει σταθερά τμή- τα των δύο τριγώνων. Μ στην ΚΛ είναι σταθερό ση- ματα εκτός από ένα, το οποίο μείο και επειδή οι σφαίρες εί- όταν μηδενιστεί καθιστά την6. Χρησιμοποιούμε τους τύπους ναι σχήματα εκ περιστροφής, ποσότητα ελάχιστη. του κώνου. το Μ είναι σημείο κύκλου. 2. Το επίπεδο πρέπει να βρίσκεται§13.16 - 18 3. Υπολογίζουμε τους όγκους των μεταξύ των δύο απέναντι ακ- τριών στερεών και παίρνουμε μών για να τέμνει τις υπόλοι-Ασκήσεις Eμπέδωσης τους λόγους του κυλίνδρου πες τέσσερις. Οι πλευρές του προς τη σφαίρα και του κώνου τετραπλεύρου που σχηματίζε-1. Η ακτίνα της σφαίρας, η ακτίνα προς τη σφαίρα. ται από την τομή είναι ανά δύο του κύκλου τομής και η από- παράλληλες στις ακμές στις σταση του επιπέδου από το κέ- Σύνθετα Θέματα οποίες είναι παράλληλο το επί- ντρο συνιστούν ορθογώνιο τρί- πεδο. Άρα το τετράπλευρο εί- γωνο. 1. Εξισώνουμε τα εμβαδά των ναι παραλληλόγραμμο. δύο επιφανειών και βρίσκουμε2. Από το εμβαδόν της τομής ότι το ύψος είναι διπλάσιο της 3. Από την ευθεία ε φέρουμε επί- υπολογίζουμε την ακτίνα της ακτίνας. πεδο παράλληλο στη ζ που τέ- τομής και στη συνέχεια υπο- μνει την ξ σ’ ένα σημείο. Από λογίζουμε την απόσταση δ του 2. Αν δ είναι η απόσταση της βά- αυτό το σημείο φέρουμε επί- επιπέδου από το κέντρο. σης του κώνου ή του κυλίν- πεδο που να περιέχει την ξ και δρου από το κέντρο της σφαί- να είναι παράλληλο στην ε,3. Υπολογίζουμε την ακτίνα του ρας εκφράζουμε τους όγκους που την τέμνει σε κάποιο ση- κύκλου της τομής και μετά βρί- σε συνάρτηση του δ και μη- μείο και από αυτό το σημείο σκουμε το εμβαδόν της. δενίζοντας την παράγωγο ως φέρουμε επίπεδο που να περι- προς δ βρίσκουμε πότε ο όγκος έχει τη ζ και να είναι παράλλη-4. Η ζητούμενη ακτίνα είναι ύψος γίνεται μέγιστος. λο στην ξ. Τέλος, συμπληρώ- ορθογώνιου τριγώνου που ορί- νουμε το παραλληλεπίπεδο με ζεται από το κέντρο της σφαί- 3. Ο κύβος έχει διαγώνιο ίση με άλλα τρία επίπεδα παράλληλα ρας, το φωτεινό σημείο και ένα τη διάμετρο της σφαίρας. Το σ’ αυτά που κατασκευάσαμε. σημείο του κύκλου. οκτάεδρο αποτελείται από δύο τετραγωνικές πυραμίδες, με 4. Υπολογίζουμε το λόγο των5. Απλή εφαρμογή του τύπου, βάσεις εγγεγραμμένες σε μέγι- όγκων των δύο τετραέδρων Ε = 400π. στο κύκλο της σφαίρας. στα οποία χωρίζεται το αρχικό τετράεδρο από το διχοτόμο επί-6. Αν ρ και ρʹ είναι οι ακτίνες των 4. Από τα δοσμένα μεγέθη υπο- πεδο με δύο τρόπους και εξισώ- σφαιρών, ο λόγος των επιφα- λογίζουμε τα εμβαδά και τους νουμε τα αποτελέσματα. Κατά νειών τους είναι το τετράγωνο όγκους των στερεών. τον πρώτο τρόπο θεωρούμε ότι του λόγου των ακτινών τους. έχουν ως βάσεις τα δύο τρίγωνα 5. Εφαρμόζουμε το Θεώρημα II, στα οποία χωρίζεται μία έδρα,7. Εφαρμόζουμε τον τύπο του §13.18 για τον υπολογισμό οπότε έχουν κοινό ύψος. Στη όγκου της σφαίρας, V = 36π. των τριών όγκων. Η ζητούμενη δεύτερη περίπτωση εκφράζου- σχέση αποδεικνύεται αντικαθι-8. Ο λόγος των όγκων δύο σφαι- στώντας τους υπολογισθέντες ρών είναι ίσος με τον κύβο του όγκους και τις προβολές των λόγου των ακτινών τους. κάθετων πλευρών στην υπο-9. Ε = π(ρ2 – ρʹ2).10. Ο συνολικός όγκος του σχήμα- τος αποτελείται από τον όγκο ενός κυλίνδρου ακτίνας ρ και ύψους ρ και τον όγκο μιας σφαίρας ακτίνας ρ.196

ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ με τον όγκο με βάσεις τις έδρες σους σε λόγο 1:2, η ευθεία που των πλευρών τους προκύπτει που είναι εκατέρωθεν του διχο- συνδέει τα κέντρα βάρους εί- ότι το σημείο Μʹ χωρίζει τη δι- τόμου επιπέδου, αλλά και πάλι ναι παράλληλη στην απέναντι άμεσο σε λόγο 3:1, άρα είναι έχουν κοινό ύψος. ακμή. Επομένως, στο διάμε- το σημείο τομής των διαμέσων. σο επίπεδο σχηματίζονται δύο5. Ανά δύο τα τμήματα αυτά δι- όμοια τρίγωνα και από τις ανα- 8. Θεωρούμε δύο από τα τετρά- χοτομούνται διότι είναι διαγώ- λογίες τους προκύπτει ο ζητού- εδρα που χωρίζεται το αρχικό. νιοι παραλληλογράμμων. Επο- μενος λόγος. Αυτά έχουν κοινή βάση και μένως τα τρία τμήματα διχοτο- επειδή θα είναι ισοδύναμα θα μούνται σ’ ένα σημείο. Θεωρούμε τη διάμεσο ΝΠ έχουν ίσα ύψη. Άρα το σημείο που κείται στο διάμεσο επίπε- Μ είναι σε τέτοια θέση ώστε6. Θεωρούμε δύο από τις διαμέ- δο ΑΒΝ. Η διάμεσος τέμνει τη να περιέχει μία ακμή και να σους. Αυτές είναι συνεπίπε- διά­μεσο ΑΛ έστω σε σημείο τέμνει την απέναντι στο μέσο δες διότι ανήκουν στο επίπεδο Μʹ. Από το Π φέρουμε ευθεία της. Αλλά αυτό συμβαίνει για που περνάει από μία ακμή και παράλληλη στη διάμεσο ΑΛ κάθε ζεύγος τετραέδρων. Άρα, από το μέσο της απέναντι ακ- και σχηματίζονται όμοια τρί- το Μ είναι το κέντρο βάρους μής. Επειδή τα κέντρα βάρους γωνα, που από τις αναλογίες του τετραέδρου. των εδρών χωρίζουν τις διαμέ- 197



ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΟΡΩΝ ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΟΡΩΝΑ Γωνία ευθείας και επιπέδου . . 141 ΚΑκμή δίεδρης .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Δ Κανονικό πολύγωνο ................ 90Ακμές πολυέδρου .................. 147 Κανονική πυραμίδα . ............. 158Ακμές τρίεδρης .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Διαγώνια επίπεδα Κανονικό τετράεδρο . ............ 158Ακτίνιο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 πολυέδρου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Κάθετα επίπεδα .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137Ακτίνα σφαίρας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Διαγώνιοι πολυέδρου ............ 147 Κάθετη ευθεία σε επίπεδο ..... 127Αμβλεία δίεδρη .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Διαστάσεις ορθογώνιου Κάθετη τομή πρίσματος ........ 148Ανάλογα ευθύγραμμα παραλληλεπιπέδου ................ 150 Κατακορυφήν δίεδρες ........... 136τμήματα .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Δίεδρη γωνία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Κεντρική γωνία .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124Ανάπτυγμα κυλίνδρου ........... 165 Δίεδρη γωνία δύο Κέντρο .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Ανάπτυγμα κώνου ................. 168 τεμνόμενων επιπέδων . .......... 136 Κέντρο σφαίρας .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171Ανάπτυγμα πυραμίδας ........... 158 Διχοτόμο επίπεδο δίεδρης ..... 141 Κοινό μέτρο ευθύγραμμωνΑνάπτυγμα πρίσματος ........... 151 Διχοτόμο ημιεπίπεδο τμημάτων .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Αντίστοιχη επίπεδη δίεδρης . . 136 δίεδρης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Κόλουρη πυραμίδα ............... 161Απλό πολύεδρο (πολύεδρο) . . 147 Δύναμη σημείου Κόλουρος κώνος .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 169Απολλώνιος κύκλος ................ 23 ως προς κύκλο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Κορυφή πολυέδρου ............... 147Απόστημα κανονικού Κορυφή πυραμίδας ............... 157πολυγώνου .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Ε Κορυφή τρίεδρης .................. 146Απόστημα κανονικής Κύβος (κανονικό εξάεδρο) .... 149πυραμίδας .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Έδρες δίεδρης .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Κυκλικό τμήμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104Απόσταση ασύμβατων Έδρες πολυέδρου .................. 147 Κυκλικός δίσκος ................... 103ευθειών .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Έδρες τρίεδρης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Κυκλικός τομέας ................... 103Απόσταση παράλληλων Εμβαδόν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Κύλινδρος .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164επιπέδων .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Εξάντας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Κυρτή δίεδρη γωνία .............. 135Απόσταση σημείου από Εξωτερικό σημείο δίεδρης .... 136 Κυρτό πολύεδρο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147επίπεδο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Εξωτερικό σημείο σφαίρας ... 172 Κυρτό πρίσμα .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148Αρμονική τετράδα . ................. 17 Επίπεδο προβολής ................. 140 Κώνος .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167Αρχικό επίπεδο .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Εσωτερικό δίεδρης ................ 135Ασύμβατες ευθείες ................ 121 Εσωτερικό σημείο δίεδρης .... 135 ΛΑσύμμετρα ευθύγραμμα Εσωτερικό σημείο σφαίρας ... 172τμήματα .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Ευθεία κάθετη σε επίπεδο ..... 127 Λόγος ευθύγραμμων Ευθεία παράλληλη τμημάτων .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Β σε επίπεδο .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Λόγος ομοιότητας ................... 32 Ευθεία πλάγια σε επίπεδο . .... 127Βάση κυλίνδρου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Εφεξής δίεδρες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 ΜΒάση κώνου .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167Βάσεις πρίσματος . ................ 148 Η Μέγεθος .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Βάση πυραμίδας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Μέγιστος κύκλος σφαίρας . ... 173 Ημιχώρος................................ 120 Μέση ανάλογος . ............... 10, 48Γ Μεσοκάθετο επίπεδο . ........... 132 I Μεσοπαράλληλο επίπεδο ...... 133Γενέτειρα κυλίνδρου ............. 164 Μέτρο ή μήκος τμήματος ........ 11Γενέτειρα κώνου ................... 167 Ισοδύναμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71, 152 Μικρός κύκλος σφαίρας ........ 173Γεωμετρικός μέσος ................. 10 Ισοσκελής κόλουρηΓωνία δύο ασυμβάτων .......... 127 πυραμίδα .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161Γωνία δύο επιπέδων .............. 136 Ίχνος ευθείας σε επίπεδο ....... 120 199