Ρίζες των πραγματικών αριθμών Α Λυκειου

Μαθηματικά Α΄Λυκείου ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Ορισμός Oρίζω ως νιοστή ρίζα του θετικού πραγματικού α τον θετικό αριθμό x o οποίος αν υψωθεί στη νή θα μας δώσει τον α. Δηλαδή    x  x   , όπου   0 , x  0ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Παράδειγμα Aν ν=3 και α  8 τότε 3 8  2 διότι 23  8ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Ιδιότητες  1.          2.        3.   .    .ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Ιδιότητες 4.        5. . x  . x     . x  6. v a  a vΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Ιδιότητες 7.     .  8.        9.      ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Σημείωση   2  , οπότε σύμφωνα μετην ιδιότητα 1. 2 2  2 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Παραδείγματαx  2 3  4 3  6 3, Iδιότητα5. . x  . x     . x 2 2 3 3  36.3  1086   x2  62Ιδιότητα 1.     ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Άσκηση 4.σελ. 50,σχ.β Λύση    x  5  x  3 . x  5  x  3 Eίναι της μορφής    .    =  2   2 όπου   x  5 και   x  3ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Eπομένως εφαρμόζω τη διαφοράτετραγώνων και έχω   x  5  x  3 . x  5  x  3    2 x5  x  3 2  x  5  x  3 x  5  x  3  8 Ιδιότητα 1.        ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Παραδείγματα i) 9 y  16y  5 y  32.y  42.y  5. y  3. y  4. y  5. y  3  4  5. y  6. yΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ii y2x  4 y2x  y x  y x 4y x  y x  y4 y x  4 xΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

iii  2    9 2       9       32   3 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Λύση της άσκησης 5.σελ.50,σχ.β.   i 8  18 . 50  72  32     2.4  2.9 . 2.25  2.36  2.16     2 2  3 2 . 5 2  6 2  4 2  2  1 2.7 2  7 2. 2  7. 2   7.2  14ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Συνέχεια της άσκησης 5.    ii 28 + 7 + 32 . 63  32  31 Προηγουμένως αναλύω τους αριθμούς που βρίσκονται στις ρίζες σε παράγοντεςΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Συνέχεια της άσκησης 5.ii) 28  2 32  2 63 3 14  2 16  2 21 3 7 7 8 2 7 7 1 4 2 1 2 2ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 1

Eπομένως   ii 28  7  32 . 63  32     22.7  7  25 . 32.7  25     2 7  7  25 . 3 7  25 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Συνέχεια της ασκ.5.ii σελ.50   2 7  7  25 . 3 7  25    3 7  25 . 3 7  25 Διαφορά τετραγώνων   .      2   2, άρα 225  32. 2 7 2  25      3 7  9.7  32  63  32  31ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Λύση της άσκησης 6.σελ.50,σχ.β  i 2. 2  2. 2  2  2. 2  2.2  2 = Διαφορά τετραγώνων    .      2   2ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Συνέχεια της άσκ. 6.i σελ.50 2. 2 2. 4  2 22   22. 2  2  2 2Στην άσκηση αυτή εφαρμόσαμε τις Iδιότητες 1.         και 3.   .    .ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Λύση της άσκησης 7.σελ.50,σχ.β. i 2. 3 2  3 23 .3 2 'Εγραψα το 2= 3 23 εφαρμόζοντας  την ιδιότ.1.        ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Λύση της άσκησης 7.σελ.50,σχ.β.3 23 .3 2  3 23.2 = 3 24  22.3 2.2  3 22 Εφάρμοσα την Ιδιότ.9.      και στη συνέχεια την Iδιότ.8.     ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Συνέχεια της άσκ. 7.i σελ.50 3 22 =2.3 22 Εφάρμοσα την Iδιότ.9.       22.3 2  3 2 Εφάρμοσα την Iδιότητα 8.      ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

2 Τρόπος i 2. 3 2  2.2 2. 3 2 Eφάρμοσα την Iδιότ.9.       2.2 2. 3 2  4 3 23.2 Eφάρμοσα την  Iδιότ.1.        ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Συνέχεια της άσκησης 7.σελ.50,σχ.β.4 3 23.2  24.3 4  3 2 ,  Iδιότ.I9.        Iδιότ.8.8.     ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Συνέχεια της άσκησης 7.ii),σελ.50,σχ.βii 5 2. 2.3 2  5 2. 3 23.2  Iδ.1. ,3. 5 2.2.3 23.2  5 2.6 24  5 6 26.24 Iδ.9. ,1. ,3. 5.6 26.24  30 210  3.10 210  3 2 Iδ.9. ,8.ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Πως απαλοίφω τη ρίζα από το παρονομαστή i) 5 Πολ/ζω αριθμητή και 3 10 παρονομαστή με το 3 102 έτσι ώστε να δημιουργηθεί το 3 103 και να φύγει η ρίζα από το παρο  νομαστήΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Συνέχεια 5.3 102  5.3 102 3 10.3 102 3 10.1025.3 102  5.3 102  3 1023 103 10 2ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Πως απαλοίφω τη ρίζα από το παρονομαστή ii 2 5 Εδώ πολ/ζω με τη 5 3 συζηγή παράσταση του παρο- νομαστή, τον αριθμητή και τον παρονομαστή και έχωΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Συνέχεια 2 5. 5  3ii  5  3. 5  3 =2 5. 5  3 2 5. 5  3   2 2   5 3 53ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Συνέχεια 2 5. 5  3 5. 5  3  21  2 5. 5  5. 3  5  5. 3  5  5.3  5  15ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Λύση της άσκησης 8.,σελ.50,σχ.β. i 4 33 .3 3 Στη περίπτωση αυτή προσπαθώ να δημιουργήσω ρίζα της ίδιας τάξης! Bρίσκω λοιπόν το ΕΚΠ των αριθμών 4 και 3 που είναι το 12 και έχωΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Συνέχεια της άσκησης 8 i)Πολ/ζω την τάξη της 1 ρίζας με το 3και υψώνω την υπόριζη ποσότητα στη3 εφαρμόζοντας έτσι την Ιδ.8.Έπομένως 4.3 33 3  12 39ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Συνέχεια της άσκησης 8 i) Πολ/ζω την τάξη της 2 ρίζας με το 4 και υψώνω την υπόριζη ποσότητα στη 4 εφαρμόζοντας έτσι την Ιδ.8. Επομένως 33.4 4  12 34ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Συνέχεια της άσκησης 8 i) i 12 39 .12 34  12 39.34  312 13  12 3.312  312 3 , Ιδ.7.ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Με την ίδια λογική προσπάθησε να λύσεις τις επόμενες 8. ii) και 8. iii). Για τη μεν 8. ii) το ΕΚΠ είναι το 18 , για τη δε 8. i ii το ΕΚΠ είναι το 6.Αν αντιμετωπίσεις δυσκολία επικοινώνησε μαζί μου!ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Εξισώσεις ν-οστού βαθμού1η Περίπτωση ν περιττός τότεx    x    , 0  x    ,  0ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Εξισώσεις ν-οστού βαθμού 2η Περίπτωση ν άρτιος και   0 τότε x     ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΠαράδειγμαΈστω ν  3 περιττός και   8  0τότε x3  8  x  3 8  x  2Έστω  3 περιττός και   8  0τότε x3  8  x   3 8   3 8Δηλαδή x  2ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Συνέχεια του παραδείγματος 'στω   2 άρτιος και   4  0 τότε x2  4  x  4  x  2 'στω   2 άρτιος και   4 τότε x2  4 δύνατη, διότι το x2  0 ενώ το  4  0ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Λύση της άσκησης 4. σελ.63,σχ.β. i x5  8x2  0. Σε αυτού του τύπου τις ασκήσεις κάνω παραγοντοποίηση x5  8x2  0  x2 x3  8  0   x2  0  x  0  x3  8  0  x3  8  x  3 8  x  2ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Συνέχεια της άσκησης 4.ii x4  x  0  x x3 1  0  x0  0   x  0   x3  1 x3 1  x  0 x   3 1  x  1ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Συνέχεια της άσκησης 4.σελ.63,σχ.βiii x5 16x  0  x x4 16  0  x4 x0  0   x 0   4 16  16 x  x0  x  4 24  2ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Επόμενο παράδειγμαx3  x  0  x x2 1  0  x0   x0   1, Αδύνατη x2 1  0  x2ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Εάν δεν γνωρίζεις πως γίνεται η παραγοντοποίηση ή έχεις οποι- ουδήποτε είδους απορίες επικοι- νώνησε μαζί μου!ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ