ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣΚωνσταντίνος Βρυώνης Σπυρίδων Δουκάκης Βασιλική Καρακώστα Γεώργιος Μπαραλής Ιωάννα Σταύρου ΜαθηματικάE´ Δημοτικού β´ τεύχοςΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΚΔΟΣΕΩΝ «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ»
Μαθηματικά Ε΄ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ β΄ τεύχος
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΚΔΟΣΗΣΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Κωνσταντίνος Βρυώνης, Εκπαιδευτικός ΠΕ70 Σπυρίδων Δουκάκης, Εκπαιδευτικός ΠΕ03 Βασιλική Καρακώστα, Εκπαιδευτικός ΠΕ70 Γεώργιος Μπαραλής, Αναπληρωτής Καθηγητής ΕΚΠΑ Ιωάννα Σταύρου, Εκπαιδευτικός ΠΕ70ΚΡΙΤΕΣ–ΑΞΙΟΛΟΓΗΤΕΣ Δέσποινα Πόταρη, Καθηγήτρια ΕΚΠΑ Δημήτριος Ζυμπίδης, Σχολικός Σύμβουλος ΠΕ70 Μαρία Λάτση, Εκπαιδευτικός ΠΕ70ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΣΗ Σοφία Στασινοπούλου Γλυκερία ΤσιμούρτουΓΡΑΦΙΣΤΙΚΗ EΠΙΜΕΛΕΙΑ Δημήτριος ΜπόντηςΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΕΠΟΠΤΕΙΑ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ Αθανάσιος Σκούρας, Σύμβουλος Α΄ ΥΠΠΕΘ ΣΥΓΓΡΑΦΗΣ ΓΙΑ ΤΟ ΙΕΠΕΠΟΠΤΕΙΑ ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΣΗΣ Κλεοπάτρα Μουρσελά, Εισηγήτρια ΙΕΠ ΠΕ08ΕΠΟΠΤΕΙΑ ΓΡΑΦΙΣΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΙΩΝ Ευάγγελος Συρίγος, Ειδικός Σύμβουλος ΙΕΠ - ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥΦΙΛΟΛΟΓΙΚΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Ιουλιανή Βρούτση, Εκπαιδευτικός ΠΕ02ΠΡΟΕΚΤΥΠΩΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΙΤΥΕ ‘‘ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ’’Το παρόν εκπονήθηκε με την υπ. αρ. 21/16-06-2016 Πράξη του Δ.Σ. του ΙΕΠ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ Γεράσιμος Κουζέλης Πρόεδρος του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣΚωνσταντίνος Βρυώνης Σπυρίδων Δουκάκης Βασιλική Καρακώστα Γεώργιος Μπαραλής Ιωάννα Σταύρου Μαθηματικά Ε΄ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ β΄ τεύχος ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΚΔΟΣΕΩΝ «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ»
ενότητα 5 ενότητα 7Κεφ. 25 Δεκαδικά κλάσματα – 7 Κεφ. 36 Μετράω και σχεδιάζω 37 Δεκαδικοί αριθμοί σε κλίμακες Κεφ. 26 Διάταξη δεκαδικών αριθμών – Κεφ. 37 Προσανατολισμός στον χώρο 39 Αξία θέσης ψηφίου στους δεκαδικούς 9 Κεφ. 38 Είδη γωνιών 41Κεφ. 27 Η στρογγυλοποίηση στους Κεφ. 39 Μέτρηση γωνιών 43 δεκαδικούς αριθμούς 11 Κεφ. 40 Είδη τριγώνων ως προς 45 τις γωνίες Κεφ. 28 Πρόσθεση και αφαίρεση με δεκαδικούς αριθμούς 13 Κεφ. 41 Είδη τριγώνων ως προς τις 47 πλευρές Κεφ. 29 Ο πολλαπλασιασμός στους δεκαδικούς αριθμούς 15 Κεφ. 42 Καθετότητα – Ύψη τριγώνου 49Κεφ. 30 Η διαίρεση στους δεκαδικούς Κεφ. 43 Συμμετρία 51αριθμούς 17 Κεφ. 44 Κύκλος -Μήκος κύκλου 53Κεφ. 31 Η έννοια του ποσοστού 19 7ο επαναληπτικό κεφάλαιο 55Κεφ. 32 Διαφορετικές εκφράσεις τωναριθμών 215ο επαναληπτικό κεφάλαιο 23 ενότητα 6 ενότητα 8Κεφ. 33 Οι αρνητικοί αριθμοί 27 Κεφ. 45 Μονάδες μέτρησης 59 του μήκους 61Κεφ. 34 Γεωμετρικά και 63 αριθμητικά μοτίβα 29 Κεφ. 46 Γεωμετρικά σχήματα – 31 Η περίμετρος Κεφ. 35 Ισότητες και ανισότητες 33 Κεφ. 47 Μονάδες μέτρησης6ο επαναληπτικό κεφάλαιο της επιφάνειας Κεφ. 48 Εμβαδό τετραγώνου, 65 ορθογωνίου και ορθογώνιου τριγώνου Κεφ. 49 Γεωμετρικά στερεά – Ο όγκος 67 Κεφ. 50 Μονάδες μέτρησης του όγκου και της χωρητικότητας 69 Κεφ. 51 Μονάδες μέτρησης της μάζας 71 Κεφ. 52 Μονάδες μέτρησης του χρόνου 73 8ο επαναληπτικό κεφάλαιο 75
5Ενότητα
Δεκαδικά κλάσματα – Δεκαδικοί αριθμοί 25 Διερεύνηση 1. Ο Σύλλο γος Γονέων και Κηδε- μόνων ενός Δημοτικού Σχολεί- ου έβαψε με πράσινο χρώμα μέρος ενός τοίχου του σχολεί- ου. α. Αναπαριστάνουμε με ένα τετρά- γωνο τον τοίχο, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Εκφράζου- με το μέρος της επιφάνειας του τοίχου που καλύφθηκε με πράσινο χρώμα με:δεκαδικό κλάσμα: 10 ή Το αρχικό τετράγωνο είναιδεκαδικό αριθμό: ……… ή ……… η ακέραιη μονάδα.β. Παρατηρούμε με τον μεγεθυντικό φακό το τετράγωνο που αναπαριστάνει τον τοίχο. Κάθε τετραγωνάκι του είναι χω- ρισμένο σε …… ίσα μέρη και επομένως η ακέραιη μονάδα είναι χωρισμένη σε ……………. ίσα μέρη. Εκφράζουμε το μέρος της επιφάνειας του τοίχου που καλύφθηκε με πράσινο χρώμα με: δεκαδικό κλάσμα : 1....0...0..0. δεκ αδικό αριθμό: …… …… 2. Ο Σύλλογος Γονέων και Κηδεμόνων στη συ- νέχεια χρωμάτισε τη διπλάσια επιφάνεια.ακέραιο µέρος (38) δεκαδικό µέρος (57) α. Χ ρωματίζουμε το μέρος της επιφάνειας του τοίχου που καλύφθηκε με πράσινο χρώμα και 38,57 το εκφράζουμε με: υποδιαστολή (,) δεκαδικό κλάσμα δεκαδικό αριθμό ...... ή ...... ή ...... ...... ή ...... ή ...... ...... ...... ......β. Ε κφράζουμε τα παραπάνω δεκαδικά κλάσματα και δεκαδικούς αριθμούς με μεικτό αριθμό:………………………………………….………………………………………Τοποθεατκέορύαιμο εµέτροοςυ(ς38)αριδθεμκαοδύικόςµέ11ρ06ος, (587)38,57γ. 10 , 0,8 και 1,6 στην αριθμογραμμή.υποδιαστολή (,) 012... Σ υζητάμε τον τρόπο με τον οποίο μετατρέπουμε τα δεκαδικά κλάσματα σε δεκαδικούς αριθμούς και το αντίστροφο. 9
Δεκαδικά κλάσματα – Δεκαδικοί αριθμοί Ενότητα 5 Βασικές μαθηματικές έννοιες Παραδείγματα και διεργασίες • ένα δέκατο: 1 ή 0,1H ακέραιη μονάδα μπορεί να χωριστεί σε 10, 100, 1.000 10ίσα μέρη κ.λπ.Τα δέκατα, τα εκατοστά και τα χιλιοστά της μονάδας • ένα εκατοστό: 1 ή 0,01μπορούμε να τα γράψουμε με κλάσμα ή δεκαδικό 100αριθμό. • ένα χιλιοστό: 1 ή 0,001Τα κλάσματα που έχουν παρονομαστή το 10, 100, 1.000 1.000κ.λπ. ονομάζονται δεκαδικά κλάσματα και μπορούν ναγραφτούν και με τη μορφή δεκαδικών αριθμών και το • 1 = 10 δεκ. = 100 εκ. = 1.000 χιλ.αντίστροφο. 4 = 0,4 32 = 0,32 583 = 5,83• Οι δεκαδικοί αριθμοί έχουν δύο μέρη, ακέραιο και 10 100 100 δεκαδικό, που χωρίζονται με υποδιαστολή. 0,543 = 543 1,2 = 12 3,31 = 331• Το ακέραιο μέρος δείχνει τις ακέραιες μονάδες. 1.000 10 100 Το δεκαδικό μέρος δείχνει μέρη της ακέραιης μονάδας. 38 ακέραιες μονάδες και 57 εκατοστά της ακέραιης μονάδας.• Στο δεκαδικό μέρος τα ψηφία είναι: 1 αν έχω χωρίσει την ακέραιη μονάδα σε 10 ίσα μέρη, 2 αν ακέραιο µέρος (38) δεκαδικό µέρος (57) έχω χωρίσει σε 100, 3 αν έχω χωρίσει σε 1.000 κ.λπ. 38,57• Ο δεκαδικός αριθμός μπορεί να γραφτεί και με τη μορφή μεικτού αριθμού. υποδιαστολή (,) 38,57 = 3857 ή 38,57 = 38 57 100 100 Εφαρμογή Μετατροπή κλάσματος σε δεκαδικό αριθμό και αντίστροφα1. Να μετατρέψετε τα κλάσματα 3 και 14 σε δεκαδικούς αριθμούς. 20 5Μετατρέπουμε σε ισοδύναμα δεκαδικά κλάσματα και έπειτα σε δεκαδικούς αριθμούς.α. 3 = 3x5 =11050. Επομένως 3 =11050 = …………… 20 20 x 5 20β. 14 = 14 x 2 = 28 = 20 + 8 = 2 8 = 2,8 ή 14 = 5 + 5 + 4 = 2 4 = 2 4 x 2 = 2 8 =…...… 5 5x2 10 10 10 10 5 5 5 5 5 5 x 2 102. Να μετατρέψετε τους δεκαδικούς αριθμούς 0,8 και 1,45 σε κλάσματα ή μεικτούς.Μετατρέπουμε τους δεκαδικούς αριθμούς σε δεκαδικά κλάσματα και έπειτα τα δεκαδικά κλάσματασε ισοδύναμα ανάγωγα κλάσματα.α. 0,8 = 8 = 8:2 = . β. 1,45 = 145 = 100 + 45 = 1+ 45 = 1 + 45 : 5 = 1 9 ή 10 10 : 2 100 100 100 100 100 : 5 20 Αναστοχασμός1. Σε έναν δεκαδικό αριθμό μικρότερο της ακέραιης μονάδας, ποιο είναι το ακέραιο μέρος;2. Πώς μπορούμε να γράψουμε έναν φυσικό αριθμό με τη μορφή δεκαδικού αριθμού;3. Πόσα δέκατα είναι ο δεκαδικός αριθμός 2,4; Πόσα εκατοστά είναι ο ίδιος αριθμός; 10
Διάταξη δεκαδικών αριθμών – 26Αξία θέσης ψηφίου στους δεκαδικούς Διερεύνηση Ο Έλληνας Ολυμπιονίκης Λευτέρης Πετρούνιας αναδείχτηκε Παγκόσμιος Πρωταθλητής στοάθλημα των κρίκων στις 7/10/2017 στο Μόντρεαλ του Καναδά. Στον πίνακα αναγράφονται οιεπιδόσεις των έξι πρώτων αθλητών κατά τη σειρά με την οποία αγωνίστηκαν: Χώρα Αθλητής Βαθμολογία Ουκρανία Ραντιβίλοφ 14,933 Τουρκία 15,066 Τσολάκ 15,333 Ρωσία Αμπλιάζιν 15,258 Γαλλία Αΐτ Σαΐντ 15,433 Ελλάδα Πετρούνιας 15,266 Κίνα Λιουα. Παρατηρούμε τον πίνακα και απαντάμε στις παρακάτω ερωτήσεις:1. Ποιος αθλητής πήρε την υψηλότερη βαθμολογία; .................................................................. 2. Ποιος αθλητής πήρε τη χαμηλότερη βαθμολογία; ................................................................... 13. Ποιος αθλητής έχει βαθμολογία κοντά στο 15 2 ; ...................................................................β. Τοποθετούμε τους παραπάνω αριθμούς στον πίνακα αξίας θέσης: x 1 x 1 x 1 10 100 1.000 x 100 x 10 x 1 x 0,1 x 0,01 x 0,001 Αριθμός Εκατοντάδες Δεκάδες Μονάδες , δέκατα εκατοστά χιλιοστά , , , , , , Ακέραιο μέρος , Δεκαδικό μέρος Υποδιαστολήγ. Αναλύουμε τον αριθμό 15,258: 15,258 = (1 x 10) + (5 x 1) + (2 x ……) + (5 x ……..) + (…… x 0,001) ή 1 1100)+ 15,258 = (1 x 10) + (5 x 1) + (….. x 10 )+ (…… x (8 x ………) Στο δεκαδικό μέρος ποιο ψηφίο έχει τη μεγαλύτερη αξία; ……………………………………δ. Γράφουμε σε σειρά τους παραπάνω αριθμούς του πίνακα από τον μικρότερο στον μεγαλύ- τερο: ............................................. < ............................................. < ............................................ < ............................................. < ............................................. < ............................................ 11
Διάταξη δεκαδικών αριθμών – Ενότητα 5Αξία θέσης ψηφίου στους δεκαδικούς Βασικές μαθηματικές έννοιες Παραδείγματα και διεργασίες 0,4 = 4δεκ. 4εκ. = 0,04Σε έναν δεκαδικό αριθμό κάθε ψηφίο, ανάλογα μετη θέση του στον αριθμό, έχει διαφορετική αξία. 4,444 4 = 4Μ 4χιλ. = 0,004Μπορούμε να γράψουμε έναν δεκαδικό αριθμό: α. 32,006α. με ψηφία, β. με λέξεις. β. τριάντα δύο και έξι χιλιοστάΟι δεκαδικοί αριθμοί, όπως και οι φυσικοί, μπορούν 3,315 = 3 Μ + 3 δεκ. + 1 εκ. + 5 χιλ. =να αναλυθούν με το δεκαδικό τους ανάπτυγμα. = (3 x1) + (3 x 0,1) + (1 x 0,01) + (5 x 0,001)Ανάμεσα σε δύο δεκαδικούς αριθμούς μεγαλύτερος 26,5 > 24,998 (γιατί 26 > 24)είναι αυτός που έχει μεγαλύτερο ακέραιο μέρος.Για να συγκρίνουμε δύο δεκαδικούς αριθμούς με Συγκρίνω: 19,76 και 19,7499το ίδιο ακέραιο μέρος, συγκρίνουμε το δεκαδικό • ίδιο ακέραιο μέρος (19 =19),τους μέρος, πρώτα τα δέκατα, μετά τα εκατοστά • ίδια δέκατα (7=7),κ.λπ. • διαφορετικά εκατοστά ( 6 > 4), • άρα 19,76 > 19,7499. Εφαρμογή Τοποθετώ δεκαδικούς αριθμούς στην αριθμογραμμή1. Ν α βρείτε τους δεκαδικούς αριθμούς που αντιστοιχούν στα σημεία Α, Β, Γ και Δ της αριθμο- γραμμής: 0A B 0,5 Γ 1∆χΜωερβισάμσέηντηασγεν1ω0σ0τάίσσαημμέε0ρίαη.AπΕάπνοωμσέντωηνςB:αριθμο0γ,5ραΓμμή παρατηρούμε ό1τι η α∆κέραιη μονάδα είναι 0A B 0,5 Γ 1∆Αª0,07 Βª ..……0.. Γª……….. Δª………… 0,12. Να τοποθετήσετε πάνω στην αριθμογραμμή το ένα εκατοστό και το ένα χιλιοστό: 0 0,1 0 0,13. Να τοποθετήσετε πά0νω στην αριθμογραμμή τους αριθμούς 1,42και 1,40: 02 02 Αναστοχασμός1. Αν προσθέσουμε ένα μηδέν στο τέλος ενός δεκαδικού αριθμού, αλλάζει η αξία του;2. Γράφουμε δεκαδικούς αριθμούς από τους οποίους ο ένας είναι 100 φορές μεγαλύτερος από τον άλλο.3. Βρίσκουμε έναν δεκαδικό αριθμό που βρίσκεται ανάμεσα στο 3,74 και το 3,75. 12
Η στρογγυλοποίηση στους δεκαδικούς αριθμούς 27 Διερεύνηση1. Συχνά στην καθημερινή ζωή κάνουμε εκτιμήσεις για διάφορες καταστάσεις.Για να αγοράσω 2 κιλά κουτσομούρες Το ύψος του πεύκουκαι 1 κιλό μουρμούρες, θα χρειαστώ είναι περίπου 16 μέτρα.περίπου 43 €.α. Υπολόγισε σωστά η Αγγελική τα χρήματα που θα χρειαστεί, για να αγοράσει ψάρια; Γιατί πολλοί έμποροι δίνουν στα προϊόντα τους τιμές που τελειώνουν σε 0,99;β. Τι νομίζετε ότι έλαβε υπόψη του ο Νίκος, για να εκτιμήσει το ύψος του πεύκου;2. Η απόσταση από Φαλάσαρνα τα Φαλάσαρνα 52,2 χμ. Χανιά στην Κνωσό είναι περίπου 198 χμ. 64,5 χμ. 80,9 χμ. Ρέθυμνο Κνωσόςα. Σε ποιο ψηφίο στρογγυλοποίησε τους αριθμούς η Δανάη; ........................................................................β. Τοποθετούμε τους δεκαδικούς αριθμούς που 52 53 δείχνουν τις χιλιομετρικές αποστάσεις στις δι- 64 65 πλανές αριθμογραμμές. Σε ποιον φυσικό αριθ- 80 81 μό είναι κάθε δεκαδικός αριθμός πιο κοντά; Στρογγυλοποιούμε τους δεκαδικούς αριθμούς με τη βοήθεια των αριθμογραμμών. Εξηγούμε τη σκέψη μας. ............................................................................ ............................................................................... ..................................................................................................................................................... Συζητάμε διαφορές ανάμεσα στις έννοιες «εκτίμηση» και «στρογγυλοποίηση». Δίνουμε παραδείγματα. 13 14,71 14,72
Η στρογγυλοποίηση στους δεκαδικούς αριθμούς Ενότητα 5 Βασικές μαθηματικές έννοιες Παραδείγματα και διεργασίες • Το μήκος του μολυβιού είναι περίπου 8 εκ.Η εκτίμηση είναι ένα χρήσιμο εργαλείο στην καθη- • Το ταξίδι θα διαρκέσει περίπου 2,5 ώρες.μερινή ζωή, γιατί μας δίνει τη δυνατότητα να υπο- • Το γινόμενο 7,99 x 2,47 είναι περίπουλογίζουμε κατά προσέγγιση διάφορα μεγέθη. 8 x 2,5 = 20.Η στρογγυλοποίηση στους δεκαδικούς αριθμούς Στρογγυλοποιούμε στα δέκατα τους αριθ-γίνεται όπως και στους φυσικούς αριθμούς. μούς: α. 23,846 β. 23,876.1. Προσδιορίζουμε τη θέση του ψηφίου του α. Σ την αμέσως επόμενη δεξιά θέση από το αριθμού στην οποία θα κάνουμε τη στρογγυ- 8 είναι το 4. Τα ψηφία 4, 6 θα αντικαταστα- λοποίηση. θούν με 0. Ο αριθμός θα γίνει: 23,800 ή2. Εξετάζουμε το ψηφίο που βρίσκεται στην 23,8. αμέσως επόμενη δεξιά θέση. Αν είναι: β. Σ την αμέσως επόμενη δεξιά θέση από το 8 0, 1, 2, 3 ή 4, τότε αντικαθιστούμε το ψηφίο είναι το 7. Το ψηφίο 8 στα δέκατα θα αντι- αυτό και όλα όσα είναι δεξιά του με το 0. κατασταθεί με το 9 και τα ψηφία 7, 6 θα 5, 6, 7, 8 ή 9, τότε αντικαθιστούμε το ψηφίο αντικατασταθούν με το ψηφίο 0. Ο αριθ- αυτό και όλ52α όσα είναι δεξιά του με το 0 5κ3αι μός θα γίνει: 23,900 ή 23,9. αυξάνουμε κατά μία μονάδα το ψηφίο της θέ- σης στην οποία κάνουμε τη στρογγυλοποίηση. 64 65Εφαρμογή1. Το σχολείο80θέλει να αγοράσει 5 μπάλες πο81δοσφαίρου καθεμία από τις οποίες κοστίζει 19,87 €. Θα φτάσουν 100 € για την αγορά αυτή; • Ο αριθμός 19,87 μπορεί να στρογγυλοποιηθεί στον αριθμό 20. Είναι 5 x 20 = …….. . • Επομένως τα 100 € φτάνουν και θα περισσέψουν μερικά λεπτά του ευρώ.2. Να στρογγυλοποιήσετε τον δεκαδικό αριθμό 14,728 στα εκατοστά με τη βοήθεια της αριθμο- γραμμής:14,71 14,72 14,73 14,728 Ο αριθμός 14,728 βρίσκεται ανάμεσα στους αριθμούς 14,72 και 14,73 και είναι πιο κοντά στο ……..… από ό,τι στο ………. . Η στρογγυλοποίησή του στα εκατοστά δίνει τον αριθμό ……. . Αναστοχασμός1. Εξηγούμε γιατί ο αριθμός 9,5 που στην αριθμογραμμή βρίσκεται ακριβώς στη μέση ανάμεσα στο 9 και στο 10, στρογγυλοποιείται στο 10 και όχι στο 9.2. Το πλάτος ενός τζαμιού είναι 0,76 μ. Επειδή έσπασε και θέλουμε να παραγγείλουμε καινούργιο, μπορούμε να στρογγυλοποιήσουμε τον αριθμό στα δέκατα; 14
Πρόσθεση και αφαίρεση με δεκαδικούς αριθμούς 28 Διερεύνηση 2,565 χµ. 0,805 χµ. Ο Νίκος και η Αγγελική έκαναν μια βόλτα στο βου-νό με τα ποδήλατά τους.Στην αρχή της διαδρομής το ταχύμετρο στο ποδή-λατο του Νίκου έδειχνε 26,030 χμ. και στο τέλοςτης διαδρομής 29,4 χμ. Ποια διαδρομή ακολούθη-σε μαζί με την Αγγελική;Λύση ∆ιαδροµή Α1. Υ πολογίζουμε το μήκος της διαδρομής Α και ∆ιαδροµή Β της διαδρομής Β: 2,905 χµ. Διαδρομή Α Διαδρομή B Χρησιμοποιώντας το υλικό δεκαδικής βάσης Υπολογίζοντας με κάθετη πράξηΑριθμός Μονάδες Δέκατα Εκατοστά Χιλιοστά 2,5650,805...........Γράφουμε στον παραπάνω πίνακα τον αριθμό που βρήκαμε.2. Υπολογίζουμε τη χιλιομετρική απόσταση που διένυσαν τα παιδιά χρησιμοποιώντας το υλικό δεκαδικής βάσης: 29,4 – 26,03 = ………… χμ.Απάντηση:Τα παιδιά ακολούθησαν τη διαδρομή …….. 15
Πρόσθεση και αφαίρεση με δεκαδικούς αριθμούς Ενότητα 5 Βασικές μαθηματικές έννοιες και Παραδείγματα διεργασίες 12,8 + 4,9 = 17,7εχδικλ 8,25 - 3,12 = 5,13• Στους δεκαδικούς αριθμούς προσθέτουμε εχδικλ ή αφαιρούμε μέρη ίδιας αξίας: χιλιοστά με ΔΜ ΔΜ χιλιοστά, εκατοστά με εκατοστά, δέκατα 16,784 14,200 με δέκατα, μονάδες με μονάδες κ.λπ. - 8,097 + 12,818• Στις κάθετες πράξεις προσέχουμε κάθε 6,103 ψηφίο ίδιας αξίας να είναι το ένα κάτω από 29,602 το άλλο. 2,3 -1,6 = 0,7Στην αφαίρεση δεκαδικών αριθμών ορισμένεςφορές χρειάζεται να μετατρέψουμε ακέραιεςμονάδες του μειωτέου σε δέκατα, εκατοστά ήχιλιοστά, ώστε να κάνουμε την αφαίρεση.Στην πρόσθεση, αν αλλάξουμε τη σειρά των 3,2 + 5,7 = 8,9 και 5,7 + 3,2 = 8,9προσθετέων, δεν αλλάζει το αποτέλεσμα.Σε μια πρόσθεση πολλών αριθμών, αν αλλά- (0,58 + 0,25) + 0,75 = 0,83 + 0,75 = 1,58 ήξουμε τα ζευγάρια των προσθετέων, το απο- 0,58 + (0,25 + 0,75) = 0,58 + 1 = 1,58τέλεσμα της πρόσθεσης δεν αλλάζει. ΕφαρμογήΗ Αγγελική αγόρασε ένα βιβλίο αξίας 12, 80 € και ένα κουτί με μαρκαδόρους αξίας 6,35 €. Ανείχε 50 €, πόσα ρέστα πήρε;α. Κ άνουμε εκτίμηση του αποτελέσματος, για να αποφύγουμε πιθανά λάθη στις πράξεις: 12,80 + 6,35 είναι περίπου 13 + 6 =19 € . Άρα 50 – 19 = 31 € περίπου ήταν τα ρέστα.β. Υ πολογίζουμε ακριβώς: 12,80 + 6,35 = ……………€ πλήρωσε. Τα ρέστα που πήρε ήταν 50 – 19,15 = 50,00 – 19,15 = …………. € . (Για ευκολία στην αφαίρεση προσθέτουμε μηδενικά στο τέλος του αριθμού με τα λιγότερα δεκαδικά ψηφία).γ. Ε λέγχουμε το αποτέλεσμα: Πρέπει να είναι κοντά στην εκτίμηση που κάναμε. Αναστοχασμός1. Ποιος αριθμός προκύπτει, αν προσθέσουμε ένα δέκατο στον δεκαδικό αριθμό 2,9;2. Βρίσκουμε δύο δεκαδικούς αριθμούς με άθροισμα περίπου 9.3. Βρίσκουμε δύο αριθμούς με διαφορά μεγαλύτερη από 2,5 και μικρότερη από 3.4. Βρίσκουμε το άθροισμα 5 χιλιοστά και 40 εκατοστά και 10 μονάδες. 16
Ο πολλαπλασιασμός στους δεκαδικούς αριθμούς 29Διερεύνηση1. Αξιοποιούμε τις ιδέες των παιδιών και υπολογίζουμε το γινόμενο 0,8 x 0,4 με διαφορετικούς τρόπους:α. Μετατρέπουμε τους δεκαδικούς αριθμούς σε κλάσματα. Θα μετατρέψω τους δεκαδικούς αριθμούς σε κλάσματα.0,8 x 0,4 = x = = …….• Σ υζητάμε αν το γινόμενο θα είναι ίδιο αλλάζοντας τη σειρά των παραγόντων.β. Χρησιμοποιούμε μοντέλα αναπαράστασης Έχω ένα μέρος της ακέραιης μονάδας, το 0,4. Θέλω να βρω το 0,8 του 0,4. Θα χρησιμοποιή- σω το τετράγωνο, για να αναπαραστήσω την ακέραιη μονάδα.• Χ ρησιμοποιούμε το παραπάνω μοντέλο αναπαράστασης και χρωματίζουμε τα μέρη της ακέ- ραιης μονάδας, για να βρούμε το γινόμενο 0,8 x 0,4. Είναι: 0,8 x 0,4 = ………….….γ. Κάνουμε την πράξη κάθεταΓια να δω πού θα βάλω 8 x 4 = 32. Οπότε 0,8την υποδιαστολή κάνω 0,8 x 0,4= 0,32. x 0,4εκτίμηση. Το γινόμενο0,8 x 0,4 ισούται περίπου 8x 4= 32 32με 1 x 0,4 = 0,4. +0 0 :10 :10 :100 0, 3 2 0,8 x 0,4 = 0,32• Υ πολογίζουμε στο τετράδιό μας με κάθετη πράξη το γινόμενο 3,4x1,06 και χρησιμοποιούμε τους παραπάνω τρόπους, για να βάλουμε την υποδιαστολή.... Περιγράφουμε όλες τις παραπάνω στρατηγικές που χρησιμοποιήσαμε.2. Χρησιμοποιούμε την αριθμομηχανή τσέπης, για να υπολογίσουμε τα γινόμενα: × ÷ α. 2,85 x 10 = ……….. β. 2,85 x 100 = ………… γ. 2,85 x 1.000 = …………… % 7 8 9 - MCR 4 1 M- 6 3 C 5 = + M+ √ 2 . δ. 2,85 x 0,1 = ……….. ε. 2,85 x 0,01 = ………… στ. 2,85 x 0,001 = …………… ON 0... Τ ι συνέβη στον δεκαδικό αριθμό, όταν τον πολλαπλασιάσαμε με τουςπαραπάνω αριθμούς; Γιατί; 17
Ο πολλαπλασιασμός στους δεκαδικούς αριθμούς Ενότητα 5 Βασικές μαθηματικές έννοιες και Παραδείγματα διεργασίες 4,16 x 3,2 = 4,16Όταν πολλαπλασιάζουμε δεκαδικούς αριθμούς α. Κάνω εκτίμηση: 4x3=12 x 3,2ή δεκαδικό αριθμό με φυσικό αριθμό: β. Υπολογίζω:α. Κάνουμε εκτίμηση του γινομένου. 832β. Κάνουμε την πράξη κάθετα, σαν να ήταν οι πα- 4,16x3,2=13,312 + 1248 γ. Ε λέγχω: To 13,312 είναι ράγοντες φυσικοί αριθμοί, και έπειτα τοποθε- 13,312 τούμε την υποδιαστολή στη σωστή θέση. κοντά στο 12.γ. Ελέγχουμε το γινόμενο με βάση την εκτίμησή μας.Στον πολλαπλασιασμό, αν αλλάξουμε τη σειρά 4,16 x 3,2 x 1,2 = 3,2 x 1,2 x 4,16 = 13,312των παραγόντων, δεν αλλάζει το αποτέλεσμα.Όταν πολλαπλασιάζουμε έναν δεκαδικό αριθμό 10 x 3,4 = 34 100 x 3,4 = 340 (συμπληρώνω ένα μηδενικό).με 10, 100, 1.000, ο αριθμός μεγαλώνει 10, 100,10.,0400 φορές αντίστοιχα. Επομένως η υποδιαστο-λή μετακινείται 1, 2 ή 3 θέσεις δεξιά αντίστοιχα. 0,8ΕφαρμογήΝα υπολογίσετε το γινόμενο 0,8 x 3,2.α. Κάνουμε εκτίμηση του αποτελέσματος: 0,8 x 3,2 είναι περίπου 1 x 3 = 3.β0,.8Υ πολογίζουμε ακριβώς: 8 32 8 x 32 256α΄ τρόπος: 0,8 x3,23,2 = 10 x 10 = 100 = 100 = …………β΄ τρόπος: Χρησιμοποιούμε μοντέλα αναπαράστασης. γ΄ τρόπος:0,8 Κάνουμε την πράξη κάθετα. 3,2 0,8 x 3,2Το τετράγωνο αναπαριστά την ακέραιη μονάδα.Ζωγραφίζουμε με κίτρινο χρώμα το 3,2. Μετά με πράσινο χρώμα 16ζωγραφίζουμε το 0,8 από το 3,2. Μετράμε και αναδιατάσσουμε τα + 24πράσινα τετραγωνάκια. Με τον παραπάνω τρόπο αναπαραστήσαμετον δεκαδικό αριθμό 2,56. 2,56γ. Ε λέγχουμε το αποτέλεσμα: To 2,56 είναι κοντά στο 3. Αναστοχασμός1. Ποιος αριθμός προκύπτει, αν πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό 2,5 με 10 εκατοστά;2. Όταν πολλαπλασιάζουμε δυο δεκαδικούς αριθμούς μικρότερους από το 1, το γινόμενό τους είναι μικρότερο από τον κάθε αριθμό ξεχωριστά. Εξηγούμε γιατί συμβαίνει αυτό. 18
Η διαίρεση στους δεκαδικούς αριθμούς 30 Διερεύνηση1 . Υ πολογίζουμε το πηλίκο 2,4 : 4.• Χρησιμοποιούμε το μοντέλο αναπαράστασης,για να βρούμε το πηλίκο 2,4 : 4.• Είναι 2,4 : 4 = ………….…. .2. Υπολογίζουμε το πηλίκο 3 : 0,6.α΄ τρόπος: Υπολογίζουμε πόσες φορές χωρά το 0,6στις 3 ακέραιες μονάδες. Επομένως 3 : 0,6 = …… .β΄ τρόπος: Κάνουμε την πράξη ακολουθώντας τη συμβουλή του Νίκου. Μπορούμε να μετατρέψουμε τον διαιρέτη σε φυσικό αριθμό και ταυτόχρονα να αλλάξουμε τον διαιρετέο.3. Η Αγγελική θέλει να μοιράσει εξίσου σε 4 βαζάκια 134 γραμμάρια μαρμελάδας. Πόσα γραμμάρια μαρμελάδας θα βάλει σε κάθε βαζάκι; Αφού είναι 4 βαζάκια, Θα βρω ένα πολλαπλάσιο του 4 θα κάνω διαδοχικές που πλησιάζει στο 134. αφαιρέσεις του 4 από 4 x 30=120 (μένουν 14), 4 x 3=12 το 134. (μένουν 2), 4 x 0,5=2 (μένουν 0). Άρα σε κάθε βαζάκι θα βάλουμε 33,5 γραμμάρια μαρμελάδας.... Συζητάμε πώς η σκέψη του Νίκου μας οδηγεί στην κάθετη πράξη.Από τον τρόπο του Νίκου ª στην κάθετη πράξη της διαίρεσης 134 4 - 12 33,54 x 30 = 120 μονάδες 30 φορές (3 δεκάδες) χωράει το 4 στο 134. 144 x 3 =12 μονάδες 3 φορές (3 μονάδες) χωράει το 4 στο 14. - 12Το υπόλοιπο είναι 2 μονάδες Το υπόλοιπο είναι 2 μονάδες που τις 20που τις μετατρέπουμε σε 20 μετατρέπουμε σε 20 δέκατα.δέκατα.4 x 5 = 20 δέκατα 0,5 φορές (5 δέκατα) χωράει το 4 στο 2.4. Χρησιμοποιούμε την αριθμομηχανή τσέπης, για να υπολογίσουμε τα πηλίκα: % 7 8 5926.×3-=÷ MCR 4 1 0 M- α. 8,25 : 10 = ……….. β. 82,5 : 100 = ………… γ. 825 : 1.000 = …………… C + M+ √ ON δ. 8,25 : 0,1 = ……….. ε. 82,5 : 0,01 = ………… στ. 825 : 0,001 = …………… 19
Η διαίρεση στους δεκαδικούς αριθμούς Ενότητα 5 Βασικές μαθηματικές έννοιες και Παραδείγματα διεργασίες 74 3,48 4Για να διαιρέσουμε φυσικούς ή δεκαδικούς αριθ- -4 1,75 -0 0,87μούς με φυσικούς ή δεκαδικούς αριθμούς, μπο- 30 34ρούμε να εργαστούμε, όπως μάθαμε, με πολλούς -28 -32τρόπους. 20 28Σε μια κάθετη διαίρεση φυσικού ή δεκαδικού -20 -28αριθμού με φυσικό αριθμό: 00 00α. διαιρούμε τις ακέραιες μονάδες,β. μετατρέπουμε το υπόλοιπο σε δέκατα και προ- 3,2 : 0,25 = (3,2x100) : (0,25x100) = = 320 : 25 = 12,8 σθέτουμε ταυτόχρονα τα δέκατα που μπορεί να έχει ο Διαιρετέος, 3,4 : 10 = 0,34γ. βάζουμε υποδιαστολή στο πηλίκο, γιατί μετά 3,4 : 100 = 0,034 διαιρούμε τα δέκατα της ακέραιης μονάδας, 3 : 1.000 = 0,003δ. δ ιαιρούμε τα δέκατα της μονάδας,ε. μετατρέπουμε το νέο υπόλοιπο σε εκατοστά, προσθέτουμε τα εκατοστά που μπορεί να έχει ο Διαιρετέος και συνεχίζουμε τη διαίρεση.Στη διαίρεση, αν πολλαπλασιάσουμε Διαιρετέοκαι διαιρέτη με τον ίδιο αριθμό, το πηλίκο δεν αλ-λάζει.Όταν διαιρούμε έναν φυσικό ή δεκαδικό αριθμόμε 10, 100, 1.000, ο αριθμός μικραίνει, αντίστοιχα,10, 100, 1.000 φορές. Επομένως η υποδιαστολήμετακινείται, αντίστοιχα, 1, 2 ή 3 θέσεις αριστερά. Εφαρμογή 2,48 4Να υπολογίσετε το πηλίκο 2,48 : 4.α΄ τρόπος: Χωρίζουμε τις 2 ακέραιες μονάδες, τα 4 δέκατακαι τα 8 εκατοστά σε ….. ίσα μέρη. Επομένως 2,48 : 4 = …….. .β΄ τρόπος: Κάνουμε τη διαίρεση κάθετα. Αναστοχασμός1. Όταν διαιρούμε έναν δεκαδικό ή φυσικό αριθμό με το 0,1 ή το 0,01 ή το 0,001, το πηλίκο είναι μικρότερο ή μεγαλύτερο από τον διαιρετέο; Εξηγούμε την απάντησή μας.2. Πότε το πηλίκο μιας διαίρεσης είναι μικρότερο από το 1; 20
Η έννοια του ποσοστού 31 Διερεύνηση ΕΚΠΤ5Ω0ΣΗ%1 . ΑΘΠοΛ8σΗτοσρΤστίπαΙτοΚό1ν0ΑεταπΜΝιγτ“ιεαΑυΕγστχάηΑτίλρναηαοςπμνή8άίκςδ0”ηα%Βτόηλςου... Π αρατηρούμε τις εικόνες. Συζητάμε τι εκφράζουν οι αριθμοί.2. Στον παρακάτω πίνακα καταγράφονται οι απαντήσεις των 200 μαθητών και μαθητριών ενός δημοτικού σχολείου στα ερωτήματα μιας έρευ- Τι τρώω για πρωινό; νας που πραγματοποιήθηκε στο σχολείο τους.Απαντήσεις Ποσοστό ... Σ υζητάμε τι εκφράζει κάθε ποσοστό.γάλα 45% α. Χρωματίζουμε στο κυκλικό δι-γάλα με δημητριακά 38% άγραμμα τα ποσοστά που εκ- φράζουν το μέρος των μαθη-χυμός πορτοκαλιού 17% τών και μαθητριών που έδωσε την κάθε απάντηση. β. Βρίσκουμε το πλήθος των μαθητών και μαθητριών που έδωσε την καθε-μία απάντηση. γάλα γάλα με δημητριακά χυμός πορτοκαλιού γάλα γάλα με δημητριακάπλήθος μαθητών/ χυμός πορτοκαλιούμαθητριών3. Ο Αντρέι, κατά τη διάρκεια της επίσκεψής του σε ένα εργαστήριο ψηφιδωτών, έφτιαξε το τετράγωνο ψηφιδωτό της παρακάτω εικόνας. Εκφράζουμε το μέρος της επιφάνειας του ψηφιδωτού που καλύπτεται με: Χρώμα Με Με κλάσμα με Με ποσοστό δεκαδικό παρονομαστή στα εκατό (%)κόκκινοπράσινο αριθμό το 100κίτρινομπλε 21
Η έννοια του ποσοστού Ενότητα 5 Βασικές μαθηματικές έννοιες και Παραδείγματα διεργασίες • Τα 25% των 200 κιλών λάδι.Το ποσοστό εκφράζει το μέρος μιας ποσότητας. Χωρίζουμε το 200 σε 100 ίσα μέρη και παίρ-Το ποσοστό στα εκατό (%) είναι ένα μέρος από νουμε τα 25 από αυτά.τα 100 ίσα μέρη στα οποία χωρίζουμε την ακέ- 200 : 100 = 2 και 2 x 25 = 50 κιλά.ραιη μονάδα.Το ποσοστό στα εκατό (%) μπορεί να εκφραστεί 40% = 40 = 0,40με δεκαδικό κλάσμα με παρονομαστή το 100 και 100με δεκαδικό αριθμό. • 20% των 80 € είναι 16 €.Η ποσότητα που εκφράζει ένα ποσοστό εξαρτά- • 20% των 120 € είναι 24 €.ται από την τιμή στην οποία αναφέρεται. Εφαρμογή 3 15 20 100 ιεσ=κοα2δ3τ0ύόxνxα(5%5μο)=τμοε11κτ05λο0ά=2σ30μ1α5%2301. Να εκφράσετε με ποσοστό στα .α΄ τρόπος: Βρίσκουμε ένα κλάσμα 3με παρονομαστή το 100. Είναι: 20β΄ τρόπος: Κάνουμε διαίρεση. Είναι: 3 = 3:20 = 0,15 = 15% 202. Ο Νίκος, στην περίοδο των εκπτώσεων, αγόρασε μία μπάλα ποδοσφαίρου με έκπτωση 30%. Ηαρχική τιμή της, πριν από την έκπτωση, ήταν 15 €. Πόσα € πλήρωσε;α΄ τρόπος: είναι τα 30 της αρχική τιμής, δηλαδή είναι τα 30 του 15.Σκέψη: Η έκπτωση 100 100Λύση 30 30 x 15 450 100 100 100Υπολογίζουμε την έκπτωση σε €. Είναι x 15 = = = 4,50 ή 30 €30 x 15 = 0,30 x 15= 4,50 ή 15: 100 = 0,15 και 0,15 x = 4,50100Ο Νίκος πλήρωσε 15 – 4,50 = 10,50 €β΄ τρόπος:Σκέψη: Η έκπτωση είναι 30% , δηλαδή ο Νίκος πλήρωσε τα 70 % της αρχικής τιμής.ΛύσηΟ Νίκος πλήρωσε 70 x 15 = 0,70 x 15 = 10,50 € ή 70 x 15 = 70 x 15 = 1.050 = 10,50 € 100 100 100 100ή 15:100 = 0,15 και 0,15x70= 10,50 € Αναστοχασμός1. Εξηγούμε την πρόταση: «Η τιμή του πετρελαίου αυξήθηκε 8%»2. Ένα παντελόνι που κόστιζε 90 € πωλείται με έκπτωση 50%. Ποια είναι η νέα τιμή του;3. Βρίσκουμε παραδείγματα από την καθημερινή ζωή στα οποία χρησιμοποιούμε ποσοστά. 22
Διαφορετικές εκφράσεις των αριθμών 32 Διερεύνηση1. Οι τέσσερις φίλοι φτιάχνουν μια πολύχρωμη σημαία για μια θεατρική παράσταση που ετοιμάζει η τάξη τους. Αφού κάθε παιδί ζωγράφισε ένα μέρος της σημαίας, μετά όλα τα παιδιά μαζί συζητάνε ποια χρώματα θα χρησιμοποιήσουν, για να ζωγραφίσουν το αχρωμάτιστο μέρος της σημαίας τους.α. Βοηθάμε τα παιδιά να υπολογίσουν με διαφορετικούς τρό- πους το μέρος της σημαίας που έχει μείνει ακόμα αχρωμάτι- στο.1. Ο Αντρέι και η Αγγελική υπολογίζουν με κλάσματα:............................................................... .................................................................................................................................................... 2. Η Δανάη υπολογίζει με δεκαδικούς αριθμούς: ...................................................................... ....................................................................................................................................................3. Ο Νίκος υπολογίζει με ποσοστά: ............................................................................................. ....................................................................................................................................................β. Υπολογίζουμε το μέρος της σημαίας το οποίο, τελικά, τα παιδιά ζωγρά- φισαν κίτρινο και το εκφράζουμε με διαφορετικούς τρόπους. ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ...................................................0..................1..........A.........................3................2. Παρατηρούμε τις διπλα- 0 1A 3 140 130 γ. 120νές εικόνες. α. 110 100 90 80 70 60 50 Με ποιον τρόπο μπο- β. 40 ρούμε να εκφράσουμε: δ. ε.30 20 10 0α. τον αριθμό που είναι στο σημείο Α της αριθμογραμμής; ..........................................................β. τα λιπαρά που έχει το κουτί γάλα; ..............................................................................................γ. το μέρος του μεγάλου τριγώνου που είναι το χρωματισμένο τρίγωνο; ....................................δ. το ύψος του παιδιού; ...................................................................................................................ε. την απόσταση Αθήνα – Πάτρα; ....................................................................................................... Συζητάμε στην τάξη τις επιλογές μας. 23
Διαφορετικές εκφράσεις των αριθμών Ενότητα 5 Βασικές μαθηματικές έννοιες Παραδείγματα και διεργασίεςΜπορούμε να εκφράσουμε μια ποσότητα ή • 180 λεπτά = 2,5 ώρες = 2 1 ώρεςένα μέρος αυτής με φυσικό αριθμό, με δεκα- 2δικό αριθμό, με κλασματικό ή μεικτό αριθμό 1ή και με ποσοστά. • 2 της πίτας • το 0,5 του λίτρου • το 25% των 80 € ΕφαρμογήΗ Αγγελική έφτιαξε μπισκότα για τους φίλους και τις φίλες της . Ο Νίκος έφαγε το 15% τουσυνολικού αριθμού των μπισκότων. Ο Αντρέι έφαγε το 1 και η Δανάη έφαγε το 0,20 του συνολικού 4αριθμού των μπισκότων. Όταν τα παιδιά έφυγαν, είχαν απομείνει 16 μπισκότα. Πόσα μπισκόταέφτιαξε συνολικά η Αγγελική;Λύση1ο βήμα: Εκφράζουμε τους αριθμούς με κλάσματα.15% = 15 = 3 και 0,20 = 20 = 1 . 100 20 100 52ο βήμα: Βρίσκουμε με κλάσμα το μέρος των μπισκότων που έφαγαν τα παιδιά.Είναι: 3 + 1 + 1 = 3 + 20 + 20 = = 3 του συνολικού αριθμού των μπισκότων. 20 4 5 20 53ο βήμα: Εκφράζουμε με κλάσμα τα μπισκότα που έμειναν.Τα 16 μπισκότα που έμειναν είναι το 1 - 3 = 2 του συνολικού αριθμού μπισκότων. 5 54ο βήμα: Κάνουμε αναγωγή στην κλασματική μονάδα.σ•ΓνύΤωναορλίζ52οο,υτδωμηενλπαμόδπσήισατκαόμπτ55ωισ.νκΘεόίατναακιάε1ίνν6οαυμι μτπαεισακ52νόαττγαοω.υγσήυσνότηλνουκλκαασι μθαέλτιοκυήμμεονναάδβαρ.ούμε πόσα μπισκότα είναι το• Το 1 των μπισκότων είναι 16 : 2 = 8 μπισκότα. 5• Τα 5 είναι 8 x 5 = 40 μπισκότα. 5ΑπάντησηΗ Αγγελική έφτιαξε συνολικά 40 μπισκότα. Αναστοχασμός1. Γράφουμε το ποσοστό 75% με κλάσμα στην απλούστερη μορφή του.2. Εκφράζουμε με δεκαδικό αριθμό το 40% του 1 . 5 24
επαναληπτικό 5 Κεφάλαια 25 - 32Στα κεφάλαια αυτά έμαθα:ü να μετατρέπω τα δεκαδικά κλάσματα σε δεκαδικούς αριθμούς και το αντίστροφο,ü να διατάσσω και να συγκρίνω δεκαδικούς αριθμούς,ü να στρογγυλοποιώ δεκαδικούς αριθμούς,ü να προσθέτω και να αφαιρώ δεκαδικούς αριθμούς,ü να πολλαπλασιάζω δεκαδικό με φυσικό αριθμό και δεκαδικό με δεκαδικό αριθμό,ü να διαιρώ φυσικούς και δεκαδικούς αριθμούς με φυσικούς ή δεκαδικούς αριθμούς,ü να εκφράζω με ποσοστά δεκαδικά κλάσματα και δεκαδικούς αριθμούς,ü να λύνω προβλήματα με δεκαδικούς αριθμούς και ποσοστά.1η Άσκηση ________________________________________________________________________Στο διπλανό τετράγωνο χρωματίζουμε:α. τα 2 του με κόκκινο χρώμα 5β. το 0,03 του με πράσινο χρώμαγ. το 17% του με κίτρινο χρώμαΕκφράζουμε το μέρος του τετραγώνου που έμεινε αχρωμάτιστο μεκλάσμα, με δεκαδικό αριθμό και με ποσοστό: Κλασματικός αριθμός Δεκαδικός αριθμός Ποσοστό %2η Άσκηση ________________________________________________________________________ 0 1Τοποθετούμε τους παρακάτω αριθμούς στην αριθμογραμμή: α. 42% β. 0,6 γ. 3 δ. 1 1 ε. 0,76 10 5 013η Άσκηση ________________________________________________________________________Βρίσκουμε 3 δεκαδικούς αριθμούς με τρία δεκαδικά ψηφία, οι οποίοι, ότανστρογγυλοποιηθούν στα δέκατα, δίνουν άθροισμα 10. 25
επαναληπτικό 5 Κεφάλαια 25 - 324η Άσκηση ________________________________________________________________________Η Δανάη και ο Νίκος έχουν τις διπλανές κάρτες. 130 ,Χρησιμοποιώντας και τις τέσσερις κάρτες σχηματίζουναριθμούς. Καταγράφουμε όλους τους αριθμούς που είναιδυνατόν να σχηματιστούν και τους διατάσσουμε από τονμικρότερο στον μεγαλύτερο.5η Άσκηση ________________________________________________________________________Η Αγγελική πρόσθεσε κάθετα τους αριθμούς 3,036 και 32,5 και βρήκε άθροισμα 6,286. Ποιολάθος νομίζετε ότι έκανε;...........................................................................................................................................................Κάνουμε εκτίμηση του αποτελέσματος, ώστε να ελέγξουμε το παραπάνω άθροισμα............................................................................................................................................................6η Άσκηση ________________________________________________________________________O Αντρέι πληκτρολόγησε έναν αριθμό στην αριθμομηχανή τσέπης. Τον πολλαπλασίασε με το100 και στην οθόνη εμφανίστηκε ο αριθμός .α. Ποιον αριθμό πληκτρολόγησε αρχικά; .......................................................................................β. Ποια πράξη χρειάζεται να κάνει και ποιον αριθμό να πληκτρολογήσει μετά, ώστε ναεμφανιστεί ο αριθμός ;...........................................................................................................................................................1ο Πρόβλημα ______________________________________________________________________α. Π οια από τις δυο σοκολάτες έχει μεγαλύτερη περιεκτικότητα σε κακάο;.......................................................................................................................β. Υ πολογίζουμε τα γραμμάρια κακάου που περιέχονται σε καθεμία σοκολάτα........................................................................................................................2ο Πρόβλημα ______________________________________________________________________Η τιμή ενός προϊόντος αυξήθηκε κατά 5%. Μικρό χρονικό διάστημα μετά η τιμή του προϊόντοςαυξήθηκε πάλι 5%. Τρεις μήνες μετά αυξήθηκε τρίτη φορά κατά 5%. Η συνολική αύξηση ήταν15%; Δικαιολογούμε την απάντησή μας. 26
6Ενότητα
Οι αρνητικοί αριθμοί 33 Διερεύνηση1. Οι αριθμοί στα κουμπιά του ανελκυστήρα στο διπλανό κτίριο συμβολίζουν 4 πόσους ορόφους μακριά είναι ο κάθε όροφος από το ισόγειο. 3α. Ποιο κουμπί θα πατήσουμε, για να ανέβουμε στον τρίτο όροφο; .................... 2 1β. Ποιο κουμπί θα πατήσουμε, για να κατέβουμε στο δεύτερο υπόγειο; ............. 0 -1γ. Πόσους ορόφους μακριά από το ισόγειο βρίσκεται το τέταρτο υπόγειο; ....... -2 -3δ. Αν θέλουμε να ανέβουμε από το τρίτο υπόγειο στον δεύτερο όροφο, -4 πόσους ορόφους θα ανέβουμε με τον ανελκυστήρα; .......................................ε. Δύο φίλοι βρίσκονται σε διαφορετικούς ορόφους, που απέχουν το ίδιο από το ισόγειο. Σε ποιους ορόφους είναι δυνατόν να βρίσκονται; ...................................................................................................................................................2. Στο χιονοδρομικό κέντρο της Βασιλίτσας στα Γρεβενά στις ελάχιστη µέγιστη 6/3/2018 η ελάχιστη θερμοκρασία ήταν 4 βαθμοί Κελσίου (°C) θερµοκρασία θερµοκρασία κάτω από το μηδέν και η μέγιστη 3 βαθμοί Κελσίου (°C) πάνω από το μηδέν. 40 40α. Ζωγραφίζουμε με κόκκινο χρώμα τη στάθμη του υγρού στο 30 30 θερμόμετρο για καθεμία από τις παραπάνω θερμοκρασίες. 20 20β. Εκφράζουμε με αριθμό: 10 10 • την ελάχιστη θερμοκρασία: ..................................................... 00 -10 -10 -20 -20 -30 -30 -40 -40 °C °C • τη μέγιστη θερμοκρασία: .........................................................γ. Πόσοι °C είναι η διαφορά της μέγιστης από την ελάχιστη θερμοκρασία; ......................................................................................................................δ. Την επόμενη ημέρα η ελάχιστη θερμοκρασία μειώθηκε ακόμα κατά 2 °C. Ποια ήταν η ελάχιστη θερμοκρασία την ημέρα αυτή; …………°C.ε. Τοποθετούμε τους αριθμούς που εκφράζουν τις θερμοκρασίες που κα- ταγράψαμε πάνω στην παρακάτω αριθμογραμμή.-10 -5 0 5 10στ. Διατάσσουμε τους αριθμούς που τοποθετήσαμε στην αριθμογραμμή από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο. ..................................-.4........-.3........-.2........-.1........0.........1........2.........3.........4.......................................... 29
Οι αρνητικοί αριθμοί Ενότητα 6Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες ΠαραδείγματαΣτην καθημερινή μας ζωή χρησιμοποιούμε αρ-1ιθ0μούς α. Ημ οθύε-ς5ρκμάοτκωραασπίόα τεοίν0α.ι0-2 °C, δηλαδή 25βαθ- 0που έχουν μπροστά τους το σύμβολο «-». β. Ο χώρος στάθμευσης είναι στο -1, ένανΟι αριθμοί αυτοί ονομάζονται αρνητικοί αριθμοί. όροφο κάτω απ-ό10το ισόγειο (0). -5νΟτιααι ρανρηιστιτκεορί άαραιπθμό-1οτ0ίοστμηηνδέανρικθαμιοσγ-5ρεαίσμεμςή ατοπποοσθτάετσ0οεύις- -4 5-3 -2 -1 0 10 1 2 3 4από αυτό, όπως αντίστοιχα οι φυσικοί αριθμοί δεξιάαπό το μηδέν. -4 -3 -2 -1 0 1Οι φυσικοί αριθμοί μαζί με τους -α4ντίσ-3τοιχ-2ους-1αρν0ητι- 1 2 3 4 … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …κούς αριθμούς λέγονται ακέραιοι αριθμοί.Όλοι οι αρνητικοί αριθμοί είναι μικρότεροι του 0. Όσο -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3πιο αριστερά βρίσκεται ένας αριθμός πάνω στην αριθ-μογραμμή, τόσο πιο μικρός είναι. Εφαρμογή ε. γ.Κάθε κόκκινη μάρκα δείχνει τον αριθμό 1 και κάθε μπλε μάρκα τον αριθμό -1. Μία κόκκινη καιμία μπλε μάρκα μαζί αλληλοεξουδετερώνονται κι έτσι δεν μένει τίποτα (0).α. Ν α παρατηρήσετε τις εικόνες και να σαυ.μπληρώσετε τα κοβυ.τάκια με τονγα. ριθμό που δείχνδε.ι η κάθε εικόνα. α. β.α. β. γ. δ. ε.β. Να αναπαραστήσετε τον αριθμό -3 χρησιμοποιώντας μάρκες και των δύο χρωμάτων.Μπορούμε να σκεφτούμε πολλούς τρόπους αναπαράστασης:• Τρεις μπλε μάρκες μας δίνουν τον αριθμό ………..• Μία κόκκινη και μια μπλε μάρκα μαζί κάνουν μηδέν (0).• Επομένως 4 μπλε και 1 κόκκινη μάρκα μας δίνουν τον αριθμό -3.Κάθε συνδυασμός που έχει μπλε και κόκκινες μάρκες, έτσι ώστε οι μπλε να είναι 3 περισσότερεςαπό τις κόκκινες μας δίνει τον αριθμό -3. Αναστοχασμός1. Ποιος αριθμός βρίσκεται πιο κοντά στο μηδέν, ο -5 ή ο 3;2. Αν τοποθετήσουμε στην αριθμογραμμή τον αριθμό -4 και τον αριθμό 4, ποιος αριθμός θα βρίσκεται στη μέση αυτής της απόστασης;3. Ανάμεσα σε δύο ακέραιους αριθμούς πάνω στην αριθμογραμμή, ποιος είναι ο μικρότερος; 30
Γεωμετρικά και αριθμητικά μοτίβα 34 Διερεύνηση1. Μια κορδέλα που αποτελείται από 20 τετραγωνάκια διακοσμείται με σχήματα, όπως φαίνε- ται παρακάτω:α. Βρίσκουμε το τμήμα που επαναλαμβάνεται: ...................................................................................................................................................β. Με ποιο σχήμα θα είναι διακοσμημένο το τελευταίο τετραγωνάκι της κορδέλας;... Β ρίσκουμε έναν κανόνα για τον τρόπο με τον οποίο επαναλαμβάνεται το τετράγωνο σχήμα στην κορδέλα. πυραμίδες2. Ο Αντρέι και ο Νίκος βάζουν 28 τενεκεδά- κια σε σειρές και φτιάχνουν πυραμίδες. Αντοποθετούν τα τενεκεδάκια τους με τοντρόπο που δείχνει η διπλανή εικόνα, έχουντόσα ακριβώς τενεκεδάκια, ώστε η πυρα-μίδα τους να έχει συνολικά 7 σειρές;α. Παρατηρούμε την εικόνα και συμπληρώ-νουμε τον παρακάτω πίνακα. 1η 2η 3η 4η ... Πυραμίδα 1η 2η 3η 4η ... 7η 1Πλήθος σειρών 23 ... 1Πλήθος από 1+2 1+2+3 ...τενεκεδάκιαβ. Πόσα τενεκεδάκια θα χρειαστούν ο Αντρέι και ο Νίκος, για να φτιάξουν: 5 σειρές:……. , 6 σειρές:……, 7 σειρές:…..…... Συζητάμε στην τάξη έναν κανόνα με τον οποίο μπορούμε να υπολογί- ζουμε το πλήθος από τενεκεδάκια σε οποιαδήποτε παρόμοια πυραμίδα. 31
Γεωμετρικά και αριθμητικά μοτίβα Ενότητα 6Βασικές μαθηματικές έννοιες και Παραδείγματα διεργασίεςΤο γεωμετρικό μοτίβο είναι ένα σχέδιο που δη- (στοιχείο που επαναλαμβάνεται:μιουργείται με την επανάληψη ενός στοιχείου ένα κόκκινο τετράγωνο – δύο κίτρινα τετράγωνα)του.Το αριθμητικό μοτίβο δημιουργείται με μια σει- • 3, 6, 9, 12, 15, 18, …ρά αριθμών που ανάμεσά τους υπάρχει μια σχέ- (κάθε φορά προσθέτουμε 3)ση σταθερή και επαναλαμβανόμενη. • 1, 2, 1, 2, 1, 2, … (επανάληψη των αριθμών 1 και 2) ΕφαρμογήΝα παρατηρήσετε το παρακάτω μοτίβο.α. Να περιγράψετε τον τρόπο με τον οποίο δημιουργείται το μοτίβο.Το μοτίβο δημιουργείται από την επανάληψη μιας πεντάδας σχημάτων με την εξής σειρά:τρίγωνο – ορθογώνιο - ……………..………. - ……..……………….. - ………….………………….β. Ποιο είναι το 20ό σχήμα του παραπάνω μοτίβου;Το παραπάνω μοτίβο έχει …… πεντάδες.Για να βρούμε το 20ό σχήμα του μοτίβου, επεκτείνουμε το παραπάνω μοτίβο κατά μία πεντάδα. Tοτελευταίο σχήμα κάθε πεντάδας σχημάτων είναι το …………………… . Επομένως το 20ό σχήμα είναιτο ………………… .γ. Αν το μοτίβο έχει συνολικά 29 σχήματα, πόσοι κύκλοι υπάρχουν σε αυτό;α΄ τρόπος: Αν το μοτίβο είχε συνολικά 30 σχήματα, θα αποτελούνταν από 6 ολόκληρες πεντάδεςσχημάτων με τελευταίο σχήμα το ………………….. . Στη συγκεκριμένη περίπτωση το μοτίβο έχει29 σχήματα και στην τελευταία πεντάδα το μόνο σχήμα που λείπει είναι το ………………………... .Επομένως έχουμε συνολικά ………κύκλους.β΄ τρόπος: Το μοτίβο με τα 29 σχήματα αποτελείται από 5 ολόκληρες πεντάδες και από τα τέσσεραπρώτα σχήματα της έκτης πεντάδας, στην οποία περιλαμβάνεται ο κύκλος. Επομένως το μοτίβο έχει…… κύκλους. Αναστοχασμός1. Η Αγγελική δημιούργησε το αριθμητικό μοτίβο: 3 6 12 . Ποιος μπορεί να είναι ο κανόνας του μοτίβου; Έχει δώσει η Αγγελική επαρκείς πληροφορίες για το μοτίβο της;2. Αναζητάμε φωτογραφίες και περιγράφουμε μοτίβα που συναντάμε στη φύση και στην τέχνη. 32
Ισότητες και ανισότητες 35 Διερεύνηση1. Παρατηρούμε τα στερεά στις παρακάτω ζυγαριές. Οι δυο ζυγαριές ισορροπούν. ζυγαριά Α ζυγαριά Βα. Παρατηρούμε τη ζυγαριά Α. Ποιο στερεό ζυγίζει περισσότερο; Ο κύβος ή η σφαίρα; Εξη- γούμε την απάντησή μας. ........................................................................................................ ................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................β. Παρατηρούμε τη ζυγαριά Β. Ποιο στερεό ζυγίζει περισσότερο; Ο κύλινδρος ή η σφαίρα; Εξηγούμε την απάντησή μας. .................................................................................................. ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................γ. Πόσο ζυγίζει το κάθε στερεό, αν ο κύλινδρος ζυγίζει 200 γρ. ; : 200 γρ. : ……………………. : …………………….2. Παρατηρούμε την παρακάτω ζυγαριά.α. Τοποθετούμε το κατάλληλο σύμβολο (<, >, =) στην παρακάτω σχέση, για να δηλώσουμε ποια στερεά ζυγίζουν περισσότερο. β. Ποια και πόσα στερεά χρειάζεται να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε, ώστε η ζυγαριά να ισορροπήσει; Προτείνουμε δύο τρόπους σχεδιάζοντας τα στερεά σε κάθε μέρος της ζυγαριάς. β΄ τρόπος α΄ τρόπος 33
Ισότητες και ανισότητες Ενότητα 6Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες ΠαραδείγματαΤο ίσον (=) είναι το σύμβολο της ισότητας και φανερώνει • 5 = 2 x 2,5πως ό,τι βρίσκεται αριστερά του έχει την ίδια αξία (τιμή) • 10 + 2 = 4 x 3με ό,τι βρίσκεται δεξιά του. • 18 : = 7 + 2Το μεγαλύτερο (>) και το μικρότερο (<) είναι τα σύμ- • 5 < 2 x 3,5βολα της ανισότητας και φανερώνουν πως ό,τι βρίσκεταιαριστερά τους είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο, αντίστοιχα, • 4+5>6+ 2από ό,τι βρίσκεται δεξιά τους. 5 • 18 + < 4 x 6Εφαρμογή1. Να συμπληρώσετε με τον κατάλληλο αριθμό το κουτάκι στην ισότητα 12 + = 4 x 5 Στην ισότητα ό,τι βρίσκεται αριστερά από το ίσον έχει την ίδια αξία (τιμή) με ό,τι βρίσκεται δεξιά του. • Δεξιά από το ίσον έχουμε 4 x 5 = ………. . • Αριστερά από το ίσον έχουμε 12 + = ……. . Επομένως θα συμπληρώσουμε το κουτάκι με τον αριθμό ………. .2. Να χρησιμοποιήσετε τις ιδιότητες των πράξεων και να συμπληρώσετε τα κουτάκια με τους κατάλληλους αριθμούς. Να εξηγήσετε πώς σκεφτήκατε. α. Αν 7 + 8 = 20 - 5, τότε 20 – = 7 + 8. β. Αν 11 + 6 = 29 – 12 και 29 – 12 = 4 + 13, τότε 11 + 6 = 4 + . γ. (5+7) + = 5 + (7 + 4)3. Να βρείτε τους φυσικούς αριθμούς με τους οποίους μπορείτε να συμπληρώσετε το κουτάκι στην ανισότητα 9 + < 23 - 7. Να εξηγήσετε πώς σκεφτήκατε. Το δεύτερο μέρος της ανισότητας κάνει 23 – 7 = ……... . Επομένως 9 + < …….. . Άρα μπορούμε να συμπληρώσουμε το με έναν από τους αριθμούς: ………. , ………. , ………. , ………. , ………. , ………. , ……….Αναστοχασμός1. Ο Νίκος, για να προσθέσει 3+5+3+1, έγραψε: 3+5=8+3=11+1=12. Αν και βρήκε το σωστό αποτέλεσμα, ποιο είναι το λάθος που έχει κάνει; Εξηγούμε πώς σκεφτήκαμε.2. Γράφουμε αριθμούς με τους οποίους μπορούμε να συμπληρώσουμε το στην ανισότητα6+ > 10 . Εξηγούμε τη σκέψη μας. 34
επαναληπτικό 6 Κεφάλαια 33 - 35 Στα κεφάλαια αυτά έμαθα: ü να επεκτείνω την αριθμογραμμή και να τοποθετώ σε αυτήν τους αρνητικούς αριθμούς, ü να συγκρίνω και να διατάσσω ακέραιους αριθμούς, ü να αναγνωρίζω, να περιγράφω και να επεκτείνω αριθμητικά και γεωμετρικά μοτίβα, ü να διερευνώ και να συμπληρώνω ανισότητες και ισότητες με τον κατάλληλο αριθμό.1η Άσκηση ________________________________________________________________________Συμπληρώνουμε τους αριθμούς που λείπουν στα παρακάτω αριθμητικά μοτίβα.α. 0,001 0,01 1 10 1.000 0,005β. 5.000 500 50 0,5 66γ. 18 26 34 502η Άσκηση ________________________________________________________________________Στο παρακάτω μοτίβο ανακαλύπτουμε τον κανόνα και σχεδιάζουμε το επόμενο σχήμα.3η Άσκηση ________________________________________________________________________Ποιος αριθμός αντιστοιχεί σε κάθε σχήμα, ώστε να ισχύουν οι παρακάτω ισότητες;5 + = 30 + 8 3 x = 24 - 9 2 x = 10 + 6 21 : = 30 - 23= == = 35
επαναληπτικό 6 Κεφάλαια 33 - 351ο Πρόβλημα ____________________________________________________________________ Κατά την επίσκεψή τους σε ένα θέατρο τα παιδιά μετρούσαν το πλήθος των θέσεων του θεάτρου. Παρατήρησαν ότι η πρώτη από τη σκηνή σειρά είχε 30 θέσεις, η δεύτερη σειρά είχε δύο θέσεις περισσότερες από την πρώτη, η τρίτη σειρά 2 θέσεις περισσότερες από τη δεύτερη κ.ο.κ. Όλες οι σειρές ήταν 10. Πόσες θέσεις είχε το θέατρο;2ο Πρόβλημα ____________________________________________________________________Αντικείμενα Πόντοι Στον διπλανό πίνακα παρουσιάζονται οι πόντοι τους οποίους +5 κερδίζει ή χάνει ο ήρωας σε ένα ηλεκτρονικό παιχνίδι, όταν αγγίζει καθένα από τα αντικείμενα. +10 Στην πρώτη πίστα του παιχνιδιού ο ήρωάς μας ξεκινά με 0 -10 πόντους. Στο τέλος της πρώτης πίστας έχει συγκεντρώσει 2 κέρματα, 1 κλειδί και έχει αγγίξει δύο φορές νερό και μία φορά φράχτη. Πόσους πόντους έχει ο ήρωάς μας στο τέλος της πρώτης πίστας;-5 Υπολογίζουμε με τη βοήθεια της αριθμογραμμής:-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 36
7Ενότητα
Mετράω και σχεδιάζω σε κλίμακες 36 Διερεύνηση1. Πώς μπορούμε να κάνουμε μεγέθυνση Ένας αρχιτέκτονας έφτιαξε το διπλανό σχέδιο ενός διαμερίσματος σε κλίμακα 1 ή 1:100. 100 10,3 τ.µ. ... Σ υζητάμε: 13,4 τ.µ.5,70 µ. α. τι είναι η κλίμακα, β. π ώς μπορούμε να υπολογίσου- 4 τ.µ. 6,3 τ.µ. 4,2 τ.µ. με τις πραγματικές διαστάσεις Κλίµακα 1:100 του διαμερίσματος με βάση το σχέδιο του αρχιτέκτονα. 8,10 µ.2. Πώς μπορούμε να κάνουμε σμίκρυνση Οι μαθητές της Ε΄ τάξης μέτρησαν τις διαστάσεις του δαπέδου της αίθουσάς τους και βρήκαν ότι έχει μήκος 6 μ. και πλάτος 5 μ. Σχεδιάζουμε το δάπεδο της αίθουσας με βάση τις πραγματικές διαστάσεις της: α. σε κλίμακα 1 ή 1:100, 100 β. σε κλίμακα 1 ή 1:50. 50 39
Mετράω και σχεδιάζω σε κλίμακες Ενότητα 7 Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες 4 1 Παραδείγματα 2• Για να μεγεθύνουμε ένα σχέδιο ή μια εικόνα, πολλα- 4 μεγέθυνση 8 πλασιάζουμε κάθε απόσταση μεταξύ δύο σημείων 1 2 φορές 4 του σχεδίου ή της εικόνας με τον ίδιο αριθμό. 2 σμίκρυνση• Για να σμικρύνουμε ένα σχέδιο ή μια εικόνα, διαιρού- με κάθε απόσταση μεταξύ δύο σημείων του σχεδίου ή 2 της εικόνας με τον ίδιο αριθμό.Η κλίμακα ενός σχεδίου ή μιας εικόνας εκφράζει τη σχέ- 8 1 ή 1:2 σημαίνει ότι 1 εκ. στοση ανάμεσα στην απόσταση δύο σημείων του τελικού 22σχεδίου ή της τελικής εικόνας και στην αντίστοιχη από- Κλίμακασταση στο αρχικό σχέδιο ή στην αρχική εικόνα. τελικό4 σχέδιο αντιστοιχεί σε 2 εκ. του αρ- χικού. Κλίμακα 2 ή 2:1 σημαίνει ότι 2 εκ. στο 1 τελικό σχέδιο αντιστοιχούν σε 1 εκ. του αρχικού.Εφαρμογή Τα Ιωάννινα απέχουν από την Αθήνα 313 χμ. σε ευθεία γραμμή. Να βρεις πόσα εκ. είναι η απόστασή τους σε έναν χάρτη κλίμακας 1:3.130.000. Κλίμακα 1 : 3.130.000 σημαίνει ότι 1 εκ. στον χάρτη αντιστοιχεί σε 3.130.000 εκ., δηλαδή ο χάρτης δεί- χνει την απόσταση 3.130.000 φορές μικρότερη. Η πραγματική απόσταση των Ιωαννίνων από την Αθή- να είναι 313 χμ.= 313.000 μ.= 31.300.000 εκ. Επο- μένως στον χάρτη η απόσταση είναι 31.300.000 εκ : 3.130.000 = 10 εκ. Αναστοχασμός1. Κυκλώνουμε τις περιπτώσεις στις οποίες γίνεται μεγέθυνση: α. στο μικροσκόπιο β. στο τηλεσκόπιο2. Ο Νίκος υποστηρίζει ότι η κλίμακα είναι το πηλίκο της απόστασης στο σχέδιο προς την πραγματική απόσταση. Έχει δίκιο; Ναι ή όχι και γιατί;3. Η Δανάη υποστηρίζει ότι, αν το μήκος που μετρήθηκε στην επιφάνεια της γης είναι 900 μ., τότε σε χάρτη κλίμακας 1 : 90.000 αντιστοιχεί σε 1 εκ. Έχει δίκιο; Ναι ή όχι και γιατί; 40
Προσανατολισμός στον χώρο 37Διερεύνηση1. Το σκάκι είναι ένα επιτραπέζιο παιχνίδι στρατηγικής, το οποίο παίζεται ανάμεσα σε δύο παίκτες. Στους επίσημους αγώνες οι κινήσεις κάθε παρτίδας καταγράφονται.8 Προέκυψε επομένως η ανάγκη να μπορεί κανείς να προσδιο-7 ρίσει με μοναδικό τρόπο κάθε συγκεκριμένη θέση πάνω στη6 σκακιέρα.54 α. Χρησιμοποιώντας το αντίστοιχο γράμμα και αριθμό, προσ-3 διορίζουμε τη θέση του Αξιωματικού λευκού χρώματος2 πάνω στη σκακιέρα: ............................................................1 β. Σε ποια οριζόντια γραμμή και κατακόρυφη στήλη βρίσκεται αβγδε ζ ηθ ο Βασιλιάς μαύρου χρώματος; ........................................... γ. Ποιο κομμάτι του σκακιού βρίσκεται στη θέση (ζ ,5); ..............................................................................................., Bασιλιάς Αξιωματικός Πύργος Ίππος Πιόνιδ. Ε ίναι αρκετό να γνωρίζουμε ότι ο Βασιλιάς λευκού χρώματος βρίσκεται στη γραμμή 8, για να προσδιορίσουμε με μοναδικό τρόπο τη θέση του; Εξηγούμε. …………………………….......2. Τα παιδιά παίζουν το παιχνίδι του κρυμμένου θησαυρού και 10 κρατάνε στο χέρι τους έναν χάρτη και τις οδηγίες. 9Θα ψάξουμε ΟΔΗΓΙΕΣ: Ψάξτε στη ρίζα του 8στη θέση Α. δέντρου που είναι 6 τετράγωνα 7 ανατολικά και 3 τετράγωνα βό- ρεια από το εκκλησάκι. 6Α Σημείωση: πλευρά τετραγώνου 5 = 50 μέτρα. 4 Θα ψάξουμεα. Ποιο παιδί έχει δίκιο; ........................................... στη θέση Β. 3Β 2 1 0 01 234 5 6 7β. Αν γράψουμε το σημείο Β ως (6,3), πώς θαγράψουμε το σημείο Α; .......................................γ. Α ν ο χάρτης δεν είχε σημείο αναφοράς το εκκλησάκι αλλά το κιόσκι, τι θα άλλαζε;... ............................................................................... Σ υζητάμε στην τάξη τη βοήθεια που προσφέρουν οι δύο κάθετες αριθ- μογραμμές και το σημείο αναφοράς, το (0,0), στον προσδιορισμό της θέσης ενός συγκεκριμένου σημείου πάνω στον χάρτη με έναν μοναδικό τρόπο. 41
Προσανατολισμός στον χώρο Ενότητα 7Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες ΠαραδείγματαΓια τον προσδιορισμό ενός σημείου χρησιμοποιούμε δύο 2Kαριθμογραμμές κάθετες μεταξύ τους, μία οριζόντια και 1μία κατακόρυφη.Ο προσδιορισμός της θέσης κάθε σημείου γίνεται με (3,1)τον συνδυασμό των δύο τιμών οι οποίες δείχνουν πόσοαπέχει το σημείο αυτό οριζόντια και κατακόρυφα από τις 2 Kαριθμογραμμές. 0 123 1 (3,1)Οι τιμές εξαρτώνται κάθε φο2ρά απόKτο σημείο αναφο-ράς, δηλαδή το σημείο (0,0). 1 (3,1) 0 Τ1ο ση2μείο3Κ είναι το (1,2) Εφαρμογή 0 1231. Τα παιδιά έχουν κατασκηνώσει στο δάσος. Πώς θα μετα- 3 3 κινηθούν από τη σπηλιά (Σ) όπου έστησαν τη σκηνή τους, 2 2 στην πηγή (Π), για να πάρουν νερό; 1 1α. Τ α σημεία Σ και Π απέχουν μεταξύ τους στην οριζόντια αριθ- -1 0 μογραμμή 3 τετράγωνα, δηλαδή ………... μέτρα και στην κατα- -1 κόρυφη 1 τετράγωνο, δηλαδή …….. μέτρα. πλευρά τβ. Ο χάρτης δείχνει τον βορρά. Επομένως, για να πάνε από τη -1 0 123 σπηλιά στην πηγή με τη βοήθεια πυξίδας, θα περπατήσουν -1 600 μέτρα βόρεια και μετά ……..…. μέτρα δυτικά.2. Τα παιδιά, όταν γύρισαν, είπαν στους συμμαθητές τους ότι πλευρά τετραγώνου = 600 µέτρα κατασκήνωσαν στη θέση (2,1) σε μια σπηλιά. Είχαν δίκιο;α. Τ ο σημείο Σ, όπου βρίσκεται η σπηλιά, στον χάρτη των παι- 0 1234 διών είναι …… τετράγωνα ανατολικά από το Ε και ... τετράγω- 0 1 -12 3 4 νο βόρεια. Άρα είναι το σημείο (…,…) -1β. Αν όμως τα παιδιά χρησιμοποιούσαν έναν χάρτη, όπως τον -2 -2διπλανό, με ένα άλλο σημείο αναφ0οράς1, π.χ2. τη3ν πη4γή, τότε -3 -3το σημείο Σ θα ήταν (3, -2), δηλαδ-ή1 διαφορετικό. πλευρά τεπτλρεαυγρώάνοτυε=τρ6α0γ0ώµνέοτρυα= 600 µέτραΆρα η θέση του κάθε σημείου εξαρτ-2άται από το σημείο αναφο-ράς. -3 πλευρά τετραγώνου = 600 µέτρα Αναστοχασμός1. Σε έναν χάρτη ο οποίος στο πάνω μέρος δείχνει τον βορρά, εξηγούμε ποια πόλη βρίσκεται πιο δυτικά: αυτή που είναι στο σημείο (2,9) ή αυτή που είναι στο σημείο (9,2); 42
Είδη γωνιών 38 Διερεύνηση1. Οι δείκτες των ρολογιών στις παρακάτω εικόνες δείχνουν διαφορετική ώρα. φω θβ ρ µδ η... Σ υζητάμε ομοιότητες και διαφορές που παρατηρούμε στις γωνίες πουσαχηματίζουν οι δείκτες των ρολογιών. β γα. Γράφουμε τα ζεύγη των γωνιών που έχουν το ίδιο άνοιγμα. ...................................................................................................................................................β. Κατατάσσουμε τις γωνίες ανάλογα με το άνοιγμά τους.1. Οι γωνίες …α….…. και ………..βε.ίναι ορθέςγ. .2. Οι γωνίες ………. και ………. είναι μικρότερες από την ορθή.3. Οι γωνίες ………., ………. , ………. και ………. είναι μεγαλύτερες από την ορθή.4. Ελέγχουμε χρησιμοποιώντας τον γνώμονα.2. Η Αγγελική και ο Νίκος χρησιμοποίησαν τους γνώμονες που είχαν και κατασκεύασαν τις παρακάτω γωνίες. Μεγαλύτερη είναι η γωνία που έχει μεγαλύτερο μήκος πλευρών.... Σ υζητάμε αν έχει δίκιο η Αγγελική και εξηγούμε στους συμμαθητές και τις συμμαθήτριές μας τον τρόπο με τον οποίο σκεφτήκαμε. 43
Είδη γωνιών Ενότητα 7Βασικές μαθηματικές έννοιες Παραδείγματα και διεργασίεςΟι γωνίες διακρίνονται σε: α β γ• Ο ξείες, οι οποίες είναι μικρότερες α β γ από την ορθή γωνία,• Ορθές,• Αμβλείες, οι οποίες είναι μεγαλύ- τερες από την ορθή γωνία. οξεία γωνία ορθή γωνία αμβλεία γωνίαΕφαρμογήΝα κόψετε τον κύκλο από το παράρτημα. Να διπλώσεατ.ε το χαρτί σε δύο ίσα μέρη. Να διπλώσετεξανά το χαρτί σε δύο ίσα μέρη. α. β. β. γ. γ.• Τι γωνία προέκυψε μετά τα τρία παραπάνω βήμα-τα;………………………………………………………….. …………………………………………………………....... ………………………………………………………….......• Πώς μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το “εργαλείο” αυτό, για να ελέγξετε το είδος της γωνίας; …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………• Να χρησιμοποιήσετε το “εργαλείο” που φτιάξατε. Να εντοπίσετε μέσα στην τάξη τα τρία είδη γω- νιών που μάθατε και να εξηγήσετε το είδος τους. …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… Αναστοχασμός1. Πώς μπορούμε να υποστηρίξουμε ότι μια γωνία είναι οξεία ή αμβλεία;2. Πώς μας βοηθά μια σελίδα χαρτιού μεγέθους Α4 να βρούμε το είδος μιας γωνίας;3. Ανοίγουμε την πόρτα της τάξης μας. Σχηματίζουμε μία οξεία, μία ορθή και μία αμβλεία γωνία. Συζητάμε τι σημαίνει η έκφραση: «Άνοιξε περισσότερο την πόρτα». 44
Μέτρηση γωνιών 39 Διερεύνηση1. α. Πόσες πλευρές και πόσες κορυφές έχει κάθε γωνία; ..................................................................... Αβ. Ο Νίκος ονόμασε στον παρακάτω πίνακα τη ΠΣ θχρωματισμένη γωνία του σχήματος 1. Συ- ωμπληρώνουμε τον πίνακα ονομάζοντας τη ΒΓ Ρχρωματισμένη γωνία του σχήματος 2. Σχήµα 1 Σχήµα 2Σχήμα 1 Σχήμα 2 ... Σ υζητάμε τους τρόπους με τους οποίους μπο->>ω ρούμε να ονομάσουμε μια γωνία....ABΓ 2. πλευρά Α Πμεαγρααλτύητρεορω^ύημ;=ε τι1ς7π0αραπάνω γωνίες. Ποια από τιάςνδοιύγοµαείναι νταουσςυτγρκόρπίνοουυΛςμεμετιτςοδυύςΜοοπγωοίνοίυεςς. Ν Σ υζητάμε Θα αποτυπώσω μπορούμε τις δυο γωνίες σε δκιαορφυαφνήή χαρτιά. πλευράα΄ τρόπος: α. Πώς μπορούμε να συγκρίνουμε τις γωνίες μετον τρόπο που προτείνει ο Νίκος;.............................................................................................................................................................................................................ρ...............................β. Ποια γωνία είναι η μεγαλύτερη; ............................Α................................β΄ τρόπος: Αξιοποιούμε την ιδέα της Δανάης και τις πληροφορί- Οι αρχαίοι χώρισαν τονες του Αντρέι και με τη βοήθεια του κύκλου μετράμε τις γωνίες. κύκλο σε 360 ίσα μέρη που τα ονόμασαν μοί- Αν μετρήσω κάθε γωνία με την ίδια μο- Β ρες (°). Με αυτόν με- νάδα μέτρησης, μπορώ να τις συγκρίνω. τρούσαν τις γωνίες. α. Χ ρησιμοποιούμε διαφανές χαρτί και βρίσκου- με σε πόσα ίσα μέρη του κύκλου αντιστοιχεί το 90O 60O άνοιγμα καθεμίας από τις γωνίες. 120O 30O 20O Σχήμα 1: ………….… , Σχήμα 2: ……....……. 150O 10O 1Oβ. Ποια γωνία είναι η μεγαλύτερη; ………Α ……………… 180O O 0O, 360Oγ. Π αρατηρούμε και συζητάμε τι θα συμβεί, αν μετρήσουμε 210O 330Oμε τον μπλε, τον κόκκινο ή τον πράσινο κύκλο. 240O 270O 300O 45
ΑΜέτρηση γωνιών ω Π θ Σ Ενότητα 7 ΒΓ ΣΡχΠήµααρ2αδεΑίγματα Π Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίεΣχςήµα 1 • Η γωνία έχει δύο πλευρές και μία κορυφή. ωΑ θ • Η γωνία μπορεί να ονομαστεί με: ΓΒ ü ένα μικρό γράμμα στο εσωτερικό τηω^ς,= 170 πλευρά Β Π Ρ ü τρία κεφαλαία γράμματα, απόΛτα οποίΜα πάντα Ν κορυφή Σχήµα άνοιγµα ΣχΑήµαω1 β^ 2θ το μεσαίο γράμμα είναι η κορυφή της. Β Γ Γ Ρ Σχήµα πλευρά Σχήµα 1 Γράφουμε τη γωνία προσθέτοντας ένα ειδικό σύμβολο πλευρά Η γωνίαω^ β= 1ή70 η γωνία ABΓ άνοιγµα ( ) πάνω αΑπό τη γωνία.> άνοιγµα >> πλευρά > Π Σ ρ Λ πλευρά όργανοΑπου Μω^ Ν • ΜετράμΒε τωη γωΓνία σε μοΡίθρες (°) με ένα = 170 κορυφή λέγεται μΣοχιήρµαο1γνωμόνιοΣ.χήµα 2 Λ • Ένας κύκλος διαιρείται σε 360°. ΜΝ Β κορυφή πλ πλευρά γωνίβ^α. Β ρ• ΗΜω^ίοα=ρΜγθ1ω7ή0νγίαωΝ1ν8ία0°είνοανιο9μ0ά°ζ.εάντοαιγµια ευθείαΑ ΑΛ• Γ ρ = 180ρ° κορυφή πλευρά Α Εφαρρμογή Β Α 1. Να χρησιμοποιήσετε το μοιρογνωμόΑνιο, για να κατασκευOάσετε μία γωνία 70°. Β Β 1ο βήμα: Κατασκευάζουμε με τον γνώμονα τη μία πλευρά της γωνίας και σημειώνουμε την κορυφή Ο και ένα σημείο Α. 2ο βήμα: Τοποθετούμε το κέντρο του μοιρογνωμόνιου στην κορυφή της γωνίας. ΑO 3ο βήμα: Η μία πλευρά της γωνίΑας πρέπει να διέρχεταιOαπό την ένδειξη 0 της κλίμακας στο μοιρογνωμόνιο. Α 4ο βήμα: Μετράμε πάνω στην κλίμακα που αντιστοιχεί στο 0 που Βρίσκουμε τOο χρησιμοποιήσαμε. 70° και βάζουμε εκεί ένα σημείο Β. 5ο βήμα: Σχεδιάζουμε τη δεύτερη πλευρά της γωνίας ενώνοντας το σημείο Β με την κορυφή Ο. 6ο βήμα: Η γωνία ………… είναι αυτή που κατασκευάσαμε. Αναστοχασμός 1. Η Αγγελική και η Δανάη μέτρησαν μία γωνία με το μοιρογνωμόνιό τους. Η Δανάη είπε ότι η γωνία είναι 130° και η Αγγελική 50°. Ποιο λάθος φαίνεται ότι κάνει ένα από τα δύο κορίτσια; Δικαιολογούμε την απάντησή μας. 2. Σχεδιάζουμε μία γωνία και την ονομάζουμε με δύο διαφορετικούς τρόπους. 3. Οι πλευρές μίας γωνίας βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία. Πόσες μοίρες είναι η γωνία; 46
Είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες 40Διερεύνηση1. Βρίσκουμε ομοιότητες και διαφορές ανάμεσα στα παρακάτω τρίγωνα και τις συζητάμε στην τάξη. α βε ζ γδ θ ηα. Βρίσκουμε δύο ομοιότητες που έχουν όλα τα τρίγωνα ως προς τις γωνίες τους.α β ε 2η ομοιότητα: ..................φ..................................................................................................... 1η ομοιότητα: .......................................................................................................................ζβ. Κατατάσσουμε τα παραπάνω τρίγωνα σε τρεις ομάδες με κσοεινμόίαφχμαόρναοκντηοωρμιάσδτιακ.ό το είδος των γωνιών που έχωουν, έτσι ώσθτε κάθε τρίγωνο να ανήκεθι θΕίδος γωνιώνγ Τρίγωνα ηΤα τρίγωνα έχουν ……………………………………............…… .1η ομάδα δβ Τα τρίγωνα έχουν ……………………………………............…… .2η ομάδα ε ζΤα τρίγωνα έχουν ……………………………………............…… .α3η ομάδα2. Σχεδιάζουμε σε χαρτόνι τρίβγωνα και προτείνουμε τρόπους, γπια να βρούμε το άθροισματων γωνιών τους. γ θφ δ ηω θ γα Κόβουμε τιςργωνίες τουστριγώνου και Ορθογώνιο τρίγζάτοιωλςυλννητο,ομέπιατοΟθσθκιξαεπώυτιν+οσγούτώρύεμρ+ενόγφιτλιοσαηε=ςτγμρωμί1ααίν8γδζί0αίωίπ.ννλωααοσσχτηημνατί- < <<α+β+γ=180 θ << < < < <Παρατηρούμε ότι: ωφθ + φ + ω =...............................................Α..µ...β..λ..υ. γώνιο τρίγωνο> > > φ ω+φ+θ=180 θφωθ ω... Σ υζητάμβε στην τάξη αν το άθροισμα π είναι το ίδιο για των γωνιώνοποιοδήποτε τρίγωνο. ρ σ γα Οξ4υ7γώνιο τρίγωνο < < <
φ θφ ω ωθ Ενότητα 7Είδη τριγώνων ως προς τις γωνίεςΒασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες Παραδείγματα• Κάθε τρίγωνο έχει τρεις γωνίες και τρεις πλευρές. βπ• Όλα τα τρίγωνα έχουν τουλάχιστον 2 οξείες γωνίες. γα ρσΤο άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180°. Οξυγώνιο τρίγωνοΤο τρίγωνο που περιέχει: <ü τρεις οξείες γωνίες ονομάζεται οξυγώνιο, <<ü ορθή γωνία ονομάζεται ορθογώνιο, <<ü αμβλεία γωνία ονομάζεται αμβλυγώνιο. < < < < Ορθογώνιο τρίγωνο π+ρ+σ=180 α+β+γ=180 θ ωφ Αµβλυγώνιο τρίγωνο ω+φ+θ=180ΕφαρμογήΝα κατασκευάσετε μέσα στο πλαίσιο ένα τρίγωνο.α. Να ονομάσετε τις γωνίες του.β. Με τη βοήθεια του μοιρογνωμόνιου να μετρήσετε κάθε γωνία του.γ. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα.Γωνία Μοίρες Είδος γωνίαςδ. Με βάση τον παραπάνω πίνακα να υπολογίσετε το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου: .……………………..……ε. Να συζητήσετε στην τάξη το ενδεχόμενο κάποιοι συμμαθητές σας και κάποιες συμμαθήτριές σας να μην έχουν βρει την ίδια τιμή στο άθροισμα των γωνιών του τριγώνου με εσάς, αλλά κάποια άλλη τιμή κοντά σε αυτήν.• Γιατί μπορεί να συμβεί κάτι τέτοιο;• Μ ε ποιον τρόπο θα μπορούσατε να εργαστείτε, ώστε να ισχυριστείτε με σιγουριά ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 180°;Αναστοχασμός1. Μπορεί ένα τρίγωνο να έχει 2 αμβλείες γωνίες; Δικαιολογούμε την απάντησή μας.2. Με βάση τις μοίρες των γωνιών του τριγώνου, ποιο είναι το είδος του τριγώνου σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις; α. 80°, 65°, 35° β. 90°, 75°, 15° γ. 114°, 33°, 33°3. Εξηγούμε γιατί ένα τρίγωνο έχει τουλάχιστον δύο οξείες γωνίες. 48
Eίδη τριγώνων ως προς τις πλευρές 41 ΔιερεύνησηΚατασκευάζουμε τρίγωνα και συγκρίνουμε τις πλευρές τους και τις γωνίες τους.α. Διπλώνουμε μια σελίδα χαρτί μεγέθους Α4, A BA BA B B όπως φαίνεται στην εικόνα, έτσι ώστε να ∆ Γ∆ A BA Γ σχηματιστεί τετράγωνο. Έπειτα διπλώνουμε το τετράγωνο με τέτοιον Ζ Ε τρόπο, ώστε η κορυφή Ε να συμπέσει με την Γ κορυφή Α. Γ∆ ∆ A BA B A ΕBα1. Με δίπλωση συγκρίνουμε τις δύο κάθετες πλευρές του τριγώνου ΑΒΖ. A BA Οι πλευρές ΑΖ και ΑΒ είναι ………………A…………..ΖB. A B A BΖ AΘ Η A Ε ∆ A Γ B∆ ΓB Ζ ∆α2. >> ΖΕ Τ...ι..σ..υ..μ..π..ε..ρ..α..ί.ν..ο..υ..μ..ε...γ..ι.α...τ..ι.ς...δ..ύ..ο...ο..ξ..ε..ί.ε.ς...γ..ω.∆..ν..ί.ε.ς....Α..Ζ..Β..Γ..κ..α..ι...Α∆..Β..ΖΕ...;........Γ..........Ζ......∆.Ζ...A....Η.Ε.......BΓ....Γ..Ε...∆..>> Γ Ζ Η A AΕ Ζ Ε∆ BA A ΗB Ζβ. Διπλώνουμε μία σελίδα χαρτί μεγέθουςA Α4, έτσιB A B A BAB Η BA ώστε η κορυφή Α και η κορυφή Β να συμπέσουν Ζ στο σημείο Θ. Κόβουμε τα μέρη που περισσεύουν A BA B B ΓΖ ΗΓ και έτσι έχουμε το τρίγωνο ΕΖΗ. Ζ Ε∆ Ζ∆ Θ Γ ∆Η ΓΖ Ε Ε Εβ1. Με δίπλωση συγκρίνουμε τις δύο πλευρές ΕΖ κΕαι Ε∆Η του τριΓγώνο∆υA ∆ B Γ Ε ∆ Γ A ΕΖΗ. BΑ BΕ A Η Εβ2. Ε Ζ∆ Η A A ∆ ΕBΖB Οι πλευρές ΕΖ και ΕΗ είναι ………………………….. . Γ ΗΓ Η Γ Ζ AΗB AΕ ∆Ζ Τι συμπεραίνουμε για τις δύο οξείες γωνίες ΕΖΗ και ΕΗΖ ; .................................................................................Η...Ζ................Ε....Α.....∆........Ζ............Γ....Ε........∆Ζ∆...... ΘΑ Η AΕ B Aγ. Κ όβουμε το εξάγωνο από το παράρτημα. Ενώνουμε με μία Εευθεία την κο- ΖΗ Ε ρυφή Α με την κορυφή Δ και την κορυφή ΒΕμε την Ε. Σχη∆ματίζεται, έτσι, το ΖΗ ΗΓ ∆ τρίγωνο ΕΔΗ. Ζ Ζ Ε ∆Ε ΗΑ Εγ1. Με δίπλωση συγκρίνουμε και τις τρεις πλευρές του τρΑιγώνου ΕΔΗ. ΗΑ Η Οι πλευρές ΕΗ, ΕΔ και ΔΗ είναι ………………………….. .γ2. Τι συμπεραίνουμε για τις τρεις οξείες γωνίες του τριγώνου; Ε∆ ...........................................................................................Ε.....................∆................................... Α... Α Ε Σ υζητάμε στην τάξη ποια είδη τριγώνων μπορούμε Ανα διακρίνουμε μΑε κριτήριο τις πλευρές των τριγώνων. 49
Search
