Επαναληπτικά θέματα & απαντήσεις - Διανυσματική γεωμετρία

www.mathschool-online.com Διαδικτυακό Φροντιστήριο Μαθηματικών Γενικά Επαναληπτικά θέματα και απαντήσεις για εξάσκηση Β΄ Λυκείου Τεχνολογικής και Θετικής Κατεύθυνσης Διανύσματα1.Ι) Να δείξετε ότι κάθε διάνυσμα στο χώρο είναι ίσο με τη διανυσματική ακτίνα του πέρατος μείον τη διανυσματική ακτίνα της αρχής.ΙΙ) Δίνονται 4 σημεία Α,Β,Γ,Δ και έστω Ο το μέσο του ΑΓ. Να δ.ο :     OB+OΔ= ΑΒ-ΔΓ2. Με τι ισούται η διανυσματική ακτίνα του μέσου τμήματος ; (Να δοθεί απόδειξη)3. Ποιές είναι οι τρεις συνθήκες παραλληλίας δύο διανυσμάτων   α και βΙ) Αν ���⃗��� είναι ένα διάνυσμα , τι συμπεραίνετε για το διάνυσμα ������⃗��� , με www.mathschool-online.com 1

www.mathschool-online.com 1  αβ= .αΙΙ) Nα εξετάσετε αν τα διανύσματα ( ) ( )  α = 2, −1 , β =2, 2 Είναι παράλληλα. ΙΙΙ) Έστω τα διάνυσματα   α =(2, −1) , β =(4, y) ,   τ.ω : α / /βΝα βρεθούν οι συντεταγμένες του διανύσματος  β = (4, y) 4.Ι) Δίνονται τα σημεία Α(-1,0) και Β(0,2).Να βρεθούν : i) Οι συντεταγμένες του μέσου Μ του τμήματος ΑΒ. ii) Οι συντεταγμένες του τμήματος ΑΒ. iii) Tο μέτρο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ.5. Ι) Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων ; www.mathschool-online.com 2

www.mathschool-online.com Πότε   a.β = 0 ; ΙΙ) Διατυπώστε την αναλυτική έκφραση του εσωτερικoύ γινομένου. ΙΙΙ) Έστω   α =(0, −1) , β =(2,1) Να βρεθεί το εσωτερικό τους γινόμενο,   a.β ΙV) Αν θ είναι η γωνία των διανυσμάτων   =α (1=, 2) , β (3,1) Να βρεθεί η γωνία θ. Απαντήσεις1.Ι) Έστω Ο ένα σταθερό σημείο του χώρου που είναι η κοινή αρχή όλων των διανυσματικών ακτίνων των σημείων του χώρου και λέγεται σημείο αναφοράς στο χώρο. Έστω www.mathschool-online.com 3

www.mathschool-online.com → ΟΑ ,το διάνυσμα θέσεως του Α και → ΟΒ το διάνυσμα θέσεως του Βτότε για οποιοδήποτε διάνυσμα → ΑΒ Α ΒO έχουμε→ → → → → →OA+ AB =OB → A=B OB− OA ΙΙ) Έχουμε:www.mathschool-online.com 4

www.mathschool-online.com→ → →→ → →AB−∆Γ =(OB−OA)−(OΓ −O∆) →→ → → =OB−OA−OΓ +O∆ → →→ → =OB−(OA+OΓ )+O∆ →  → = OB+ Ο + O∆ .διότι τα→ →OA και OΓείναι αντίθεταwww.mathschool-online.com 5

www.mathschool-online.com επομένως → → → → AB− ∆=Γ OB+ O∆ 2. Έστω ένα διάνυσμα → ABένα σημείο αναφοράς Ο και έστω η διανυσματική ακτίνα → OM του μέσου Μ του τμήματος ΑΒ Α Μ Β Ο www.mathschool-online.com 6

www.mathschool-online.com έχουμε:→ → →A=M OM − OA → → → →OM= OA+ AM→ → →B=M OM − OB → → → →OM= OB+ BM επομένως → → → → →2OM = OA+ AM + OB+ BM → → → → . = OA+ OB+ AM + BM → → = OA+ OB+ Ο → → = OA+ OB → →→ OA+ OB → = 2OMwww.mathschool-online.com 7

www.mathschool-online.com3. Οι τρεις συνθήκες παραλληλίας δύο διανυσμάτων   α και β είναι οι εξής : Πρώτη Αν α,  β είναι δύο διανύσματα, με  β ≠0, τότεα //  ⇔ α =  λ ∈R . β λβ , Δεύτερη ���⃗���//���⃗��� ↔det(���⃗���, ���⃗���) Τρίτη α //  ⇔ λ1 = λ2 βwww.mathschool-online.com 8

www.mathschool-online.comΙ) Στη σχέση 1  αβ= .α θέτω λ = 1 α  Το α εκφράζει το μέτρο του διανύσματος ακαι επομένως είναι ένας πραγματικός αριθμόςΕπομένως και το λ = 1 αείναι ένας πραγματικός αριθμός Άρα   β = λ.α Αυτό σημαίνει ότιwww.mathschool-online.com 9

www.mathschool-online.com α //  β και επειδή το =λ 1 > 0 α συμπεραίνω ότι  α ↑↑ β Δηλαδή ταα  είναι ομόρροπα και συγγραμμικά ,β ΙΙ) Γνωρίζω ότι ���⃗���//���⃗��� ↔det(���⃗���, ���⃗���) ( ) ( )  α = 2, −1 , β =2, 2 επομένως έχω: det(α,  = 2 −1 = 2− 2 = 0 β) 22 www.mathschool-online.com 10

www.mathschool-online.comαυτό σημαίνει ότι α //  βΙΙΙ) Γνωρίζω ότια //  ⇔ λ1 = λ2 β και ότι λ= y x α =(2, −1) , β =(4, y) επομένως λ  = −1 α2www.mathschool-online.com 11

www.mathschool-online.com ‘Ομως α //  β αυτό σημαίνει ότι λ  = λ  αβ−1 = y ⇒ −4 = 2 y ⇒ y = 2 = −224 −4Άρα οι συντεταγμένες του διανύσματος  β είναι  =β (4, y=) (4, −2) 4.Ι) Δίνονται τα σημεία Α(-1,0) και Β(0,2) ,και έστω Μ (x1 , x2) το μέσο του τμήματος ΑΒwww.mathschool-online.com 12

www.mathschool-online.com Ισχύει ότι x = x1+ x2 2 y = y1+ y2 2 επομένως x = -1+ 0 = −1 22 y = 0+ 2 = 1 2 Άρα Μ (x , y) = (-1/2 ,1) ii) Έστω (x,y) oι συντεταγμένες του τμήματος ΑΒ όπως γνωρίζω(x, y) = (x2 , y2 ) − (x1, y1) = (x2 − x1, y2 − y1) όπου Α (x1 , y1) = A (-1,0) και www.mathschool-online.com 13

www.mathschool-online.com Β(x2 , y2) = B (0,2) επομένως:(x, y)= (x2 , y2 ) − (x1, y1)= (0 − (−1), 2 − 0)(x, y) = (1, 2) Άρα ΑΒ (x,y) = (1,2) iii) Tο μέτρο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ (x,y) = (1,2) είναι (ΑΒ) = x2 + y2 (ΑΒ) = 12 + 22 (ΑΒ) = 1+ 4 =5 5. Ι) Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων α www.mathschool-online.com 14

www.mathschool-online.com και  βκαι το συμβολίζουμε με  α ⋅ βτον πραγματικό αριθμό  α ⋅ =| α |⋅| | ⋅συνφ , β β Όπου φη γωνία των διανυσμάτων α και  βwww.mathschool-online.com 15

www.mathschool-online.com Ανα =  0 ήβ =0 ήα⊥βτότεα⋅  = 0 βΙΙ) Αναλυτική έκφραση του εσωτερικoύγινομένου : Άν α = (x1 , y1 ) καιβ = (x2 , y2 ) Τότεwww.mathschool-online.com 16

www.mathschool-online.com  α ⋅ β = x1x2 + y1 y2 ΙΙΙ) Έστω   α =(0, −1) , β =(2,1) το εσωτερικό τους γινόμενο είναι α  = x1 x2 + y1 y2 ⋅βα ⋅  =0.2 + (−1).1 =0 −1 =−1 βΙV) θ είναι η γωνία των διανυσμάτων  =α (1=, 2) , β (3,1) γνωρίζω ότι συνθ = |αα|⋅⋅|ββ| α  = x1 x 2 + y1 y2 ⋅β |α|= x12 + y12 www.mathschool-online.com 17

www.mathschool-online.com  |β |= x22 + y22Επομένωςσυνθ = x1 x2 + y1 y2x12 + y12 ⋅ 2 y22 x 2 + συ=νθ 2 ⇒ 2 συνθ = συν π 4 =θ 2κπ + π (1) 4 ή =θ 2κπ − π (2) 4 κ ∈ΖΕπειδή η γωνία θ είναι κυρτήδηλαδή 00 ≤ θ ≤ 1800www.mathschool-online.com 18

www.mathschool-online.com η=θ 2κπ − π (2) απορρίπτεται 4 Επομένως από την (1) για κ=0 έχω : θ = π = 450 4Εάν έχεις οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το mathschool-online! Καλή Ανάγνωση! www.mathschool-online.com 19