Οι μιγαδικοί αριθμοί- Γεωμετρικοί τόποι

Οι μιγαδικοί αριθμοίΓεωμετρικοί τόποιΣτέλλα ΣερεμετάκηΜαθηματικόςBsc, Msc in [email protected] |

ΠεριεχόμεναΜιγαδικοί αριθμοί - Γεωμετρικοί τόποι..................................... 11. Άσκηση ................................................................................. 12. Άσκηση ................................................................................. 33. Θέμα Β - Πανελλαδικές 2012 ............................................... 4Αναφορά.................................................................................... 6 Μιγαδικοί αριθμοί - Γεωμετρικοί τόποι 1. Άσκηση1. Αν για τον μιγαδικό z ισχύει z  3 να υπολογισθεί η παράστασηA  z  3i 2  z  3i 2 . Να δοθεί γεωμετρική ερμηνεία για την περίπτωσηπου z  3i ΛύσηA  z  3i 2  z  3i 2  z  3iz  3i  z  3iz  3i  .....Εκτελώ επιμεριστικά τις πράξεις και θέτω z  3 οπότε καταλήγωΑ=36 (1)Έστω Μ ,Ν ,Κ οι εικόνες των z, (με z  3i ) , 3i,-3i αντίστοιχα.Το Μ λόγω της σχέσης z  3 είναι σημείο του κύκλου (Κ(0,0),ρ=3)Φτιάχνω το κύκλο και τα σημεία Ν,Μ,Κ : http://www.mathschool-online.gr

Παρατηρώ ότι z  3i =MN, z  3i  MKΕπιπλέον z  3i 2  z  3i 2  MN2  MK2  36 λόγω της (1 )Όμως (ΚΝ)= KN  3i  3i  6i  6  KN2  36Άρα MN2  MK2  (KN)2Επομένως η γεωμετρική ερμηνεία είναι ότι πρόκειται για το ορθογώνιοτρίγωνο ΝΜΚΣημείωσηΤο παραπάνω συμπέρασμα είναι αναμενώμενο διότι η γωνία ΝΜΚ είναιεγγεγραμμένη στο κύκλο (Κ(0,0),3) και βαίνει σε ημικύκλιο , άρα είναιορθή και το τρίγωνο ΝΜΚ είναι οθογώνιο. http://www.mathschool-online.gr

2.Άσκηση2.Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z για τουςοποίους ισχύει z  3  z  5  3i Λύσηz  3  z  5  3i  z  3  z  (5  3i)Έστω Μ ,Ν,Κ οι εικόνες των μιγαδικών z , 3 , 5-3iΔηλαδή Ν(0,3),Κ(5,-3) .Βρίσκω τα σημεία Ν και Κ στο μιγαδικό επίπεδο Καθώς και τη μεσοκάθετο ε του ευθυγράμμου τμήματος ΝΚ z  3  z  5  3i  z  3  z  (5  3i) http://www.mathschool-online.gr

Η παραπάνω εξίσωση εκφράζει τις εικόνες των μιγαδικών z πουβρίσκονται στο ημιεπίπεδο με ακμή την μεσοκάθετο ε του ΝΚ το οποίοπεριέχει και το σημείο Κ(5,-3)Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι το ημιεπίπεδο με ακμή την μεσοκάθετο ετου ΝΚ το οποίο περιέχει και το σημείο Κ(5,-3) 3. Θέμα Β - Πανελλαδικές 2012Θεωρούμε τους μιγαδικούς z , w με z 1 2  z 1 2 4, και w  5w  12καιΒ1 Ν.δ.ο ,ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι ο κύκλος(Κ(0,0) ,ρ=1)Β2 Αν z1,z2 δύο μιγαδικοί του παραπάνω γεωμ.τόπου και z1  z2  2να βρεθεί το z1  z2Β3 Ν.δ.ο,ο γεωμ.τόπος των εικόνων των w είναι έλλειψη με εξίσωσηx2  y2  1 94Στη συνέχεια να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του wB4 Για τους z ,w που επαληθεύουν τις z 1 2  z 1 2  4 καιw  5w  12 ν.δ.ο 1 z  w  4 ΛύσηΒ1 Έστω z=x+yi , x, y  R , η σχέση z 1 2  z 1 2  4 γράφεταιx 1  yi 2  x 1  yi 2  4  x 12  y2  x 12  y2  4 x2  y2  12 http://www.mathschool-online.gr

Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z στομιγαδικό επίπεδο είναι κύκλος κέντρου Κ(0,0) και ακτίνας ρ=1Β2 Από τον κανόνα του παραλληλογράμμου έχωz1  z2 2  z1  z2 2  2 z1 2  2 z2 2  z1  z2 2  2 2  2.1 2.1 z1  z2 2  2  4  z1  z2 2  2  z1  z2  2Β3 Έστω w=x+yi , x, y  R , η σχέση w  5w  12 , γράφεται w  5w  12  x  yi  5(x  yi)  12  4x  6yi  12  4x  6yi 2  122  4x2  (6y)2  144  16x2  36y2  144Επομένως16x2  36y2  144  16x2  36y2  144  x2  y2 1 144 144 144 32 22Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των w στο μιγαδικό επίπεδο είναιέλλειψη με α=3 ,β=2 και γ2  α2  β2  9  4  5  γ  5   και εστίες τα σημεία Ε 5,0 και Ε  5,0Αναζητώ τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή του wΓνωρίζω ότι (Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου σελίδα 104)α  w β  w min β  w max    α Όπου α>0 ,β>0Β4 Από την τριγωνική ανισότητα έχω http://www.mathschool-online.gr

z  w  z  w  z  w (Ι)Στο Β1 ερώτημα απέδειξα ότι x2  y2  12  z  1Επομένως η (Ι) γίνεται1 w  z  w  1  w  1 w  z  w  1 w (Ι)Όμως  w min  β  2 Επομένως  w max  α  3 1 w  1 wmax  1 w  1 3  1 w  4 (ΙΙ)1 w  1 wmin  1 w  1 2  1 w  1 (ΙΙΙ)Η σχέση (Ι) λόγω των (ΙΙ) και (ΙΙΙ) έχω : 1  z  w  4 ΑναφοράΜαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ τάξη γενικούλυκείου στο σύνδεσμο:http://ebooks.edu.gr/modules/ebook/show.php/DSGL-C105/492/3194,12953/ (26/11/2018) http://www.mathschool-online.gr