Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων Ενότητα 3 Βασικές μαθηματικές έννοιες Παραδείγματα και διεργασίες 2 , 7 2 , 3 , 9Τα κλάσματα που έχουν ίδιο παρονομαστή 5 5 5 7 4λέγονται ομώνυμα, ενώ τα κλάσματα πουέχουν διαφορετικό παρονομαστή λέγονται ομώνυμα ετερώνυμαετερώνυμα.Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε ετε- • 2 + 1 = 2x2 + 1x3 = 4 + 3 = 7ρώνυμα κλάσματα τα μετατρέπουμε πρώτα 6 4 6x2 4x3 12 12 12σε ομώνυμα και στη συνέχεια προσθέτουμεή αφαιρούμε τους αριθμητές, ενώ παρονο- • 4 – 3 = 4x5 – 3x3 = 20 – 9 = 11μαστή αφήνουμε τον ίδιο. 3 5 3x5 5x3 15 15 15Στο τέλος, κάνουμε απλοποίηση. Εφαρμογή 3 1 4 21. Να βρείτε το άθροισμα: 6 +2 α΄ τρόπος: Μετατρέπουμε τους μεικτούς αριθμούς σε κλάσματα. 6 3 + 2 1 =…………………………………………………………………………….…………………………………… 4 2 β΄ τρόπος: Προσθέτουμε χωριστά τις ακέραιες μονάδες από τα κλάσματα. 6 3 + 2 1 =8+ 3 + 1 = ……………………………………………………………………………….. 4 2 4 2Σε κάθε περίπτωση, στο τέλος, μετατρέπουμε πάλι σε μεικτό αριθμό και, αν γίνεται, κάνουμε καιαπλοποίηση. 112. Με τη βοήθεια του μοντέλου , να κάνετε την παρακάτω 1 –1 1 4 4 1 αφαίρεση: 3 1 – 1 2 4 4 1 4 .................................................................................................... 11 .................................................................................................... 1 –1 1 .................................................................................................... 44 1111 4444 .................................................................................................... 1 4Περιγράφουμε τη διαδικασία:.......................................................... 11 .................................................................................................... 1 –1 1 .................................................................................................... 44 1111 4444 1 4 Αναστοχασμός1. Επιλέγουμε δύο κλάσματα των οποίων η διαφορά είναι 1 και ο παρονομαστής τους είναι διαφορετικός από το 4. …………………………………………. 42. Πώς θα μπορούσε να μας βοηθήσει το Ε.Κ.Π. στην πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων;3. Γιατί στην πρόσθεση πρέπει να μετατρέπουμε τα ετερώνυμα κλάσματα σε ομώνυμα; 50
Πολλαπλασιασμός φυσικού αριθμού ή κλάσματος 19με κλάσμα – Αντίστροφοι αριθμοί Διερεύνηση 1. Κάθε ξύλινο ράφι της βιβλιοθήκης της τάξης έχει μήκος 2 μ. 3Πόσα μέτρα ξύλου θα χρειαστεί, για να αντικατασταθούν 3 ράφια;2. Χρησιμοποιούμε τα γεωμετρικά σχήματα του παραρτήματος, για να βρούμε τα παρακάτω γινόμενα, αν το εξάγωνο είναι η ακέραιη μονάδα. α. 3x 1 = 4x 1 = 1 β. 2 2 2 γ. 2x 1 = 1 x2= 1 1 1... 6 6 εξάγωνο 3 6 6x 1 = 3x 1 = 6 3 Τι παρατηρούμε σε κάθε περίπτωση στα παραπάνω γινόμενα;3. Τα 2 ενός οικοπέδου είναι κήπος. Στο 1 του κήπου αυτού φυτέψαμε λουλούδια. 3 5Τι μέρος του οικοπέδου καλύπτεται από λουλούδια; Πρέπει να βρούμε το 1 των 2 του κήπου, 5 3 1 2 δηλαδή το 5 x 3 . Σχεδιάζουμε στο παραπάνω σχήμα και υπολογίζουμε:4. Βρίσκουμε τα γινό- α. 1x 2 = γ. 1 x 2 = μενα με τη βοήθεια 3 4 3των μοντέλων ανα-παράστασης. β. 1 x 2 = δ. 1 x 2 = 2 3 8 3... Τ ι θα συμβεί, αν πολλαπλασιάσουμε το κλάσμα με ακόμα μικρότερες κλασματικές μονάδες; 51
Πολλαπλασιασμός φυσικού αριθμού ή κλάσματος Ενότητα 3με κλάσμα – Αντίστροφοι αριθμοί Βασικές μαθηματικές έννοιες και Παραδείγματα διεργασίες ++=Στον πολλαπλασιασμό ενός φυσικού αριθμού μεένα κλάσμα, ο φυσικός αριθμός μάς δείχνει πόσες 3x 2 = 2 + 2 + 2 = 3x2 = 6φορές προσθέτω το κλάσμα με τον εαυτό του. 7 7 7 7 7 7Στον πολλαπλασιασμό, αν αλλάξουμε τη σειρά τωνπαραγόντων, το γινόμενο παραμένει το ίδιο. 2{Το γινόμενο φυσικού αριθμού με κλάσμα ή κλά-σματος με φυσικό αριθμό είναι ένα κλάσμα που 7έχει αριθμητή το γινόμενο του αριθμητή με τον φυ-σικό αριθμό και παρονομαστή τον παρονομαστή 2 x3=3x 2του κλάσματος. 7 7Όταν ζητάμε ένα μέρος ενός αριθμού, φυσικού ή 3κλασματικού, κάνουμε πολλαπλασιασμό. Χ=Το γινόμενο δυο κλασμάτων είναι ένα κλάσμα που 1 x 2 = 1x2 = 2έχει αριθμητή το γινόμενο των αριθμητών και πα- 5 3 5x3 15ρονομαστή το γινόμενο των παρονομαστών. Βρίσκουμε το 1 του 2 .Αντίστροφοι αριθμοί λέγονται δυο αριθμοί που το 5 3γινόμενό τους είναι 1. 1 x5= 1 x 5 = 5 = 1, 7 x 5 = 35 = 1 5 5 1 5 5 7 35 Εφαρμογή ABΓτ1αοβο.ρ΄΄ θττ21ρροΝόόγσπώπαεοονβ3ιςςορ::ί.εσΠΒίαατ.αρεμΑρίστέναορκατοηπη13υρακμαοραειύιπσταμότοπεάτόόν13οοταιυυ12ττμτοοεάμυτι13χαη12ρςτωσομσομυεοκακποτ21οολίζάλλοτάλτουαατυμαπμεοςλερ.ατέθσονοιαα1γ.σωομρνγόίθο.:οΧυγω31εώρίννίxαζιοοι .τυ12Χομρε=61ωόμμταοο13τυιαxxίζοο12κρυαθμι=οετγοτωου16νπί12οόυλ. .οβι.πΧοωρίζουμε x411)14=.2. Να βρείτε το γινόμενο 2 = 2 x (1 +α΄ τρόπος: 2 x 1 1 (2x1) + (2 x 1 ) = 2+ 2 =2 2 4 4 της 4 4 1 5 10 2β΄ τρόπος: μετατροπή μεικτού σε κλάσμα μεγαλύτερο μονάδας : 2 x 1 4 =2 x 4 = 4 = 2 4 Αναστοχασμός1. Το γινόμενο 5 x 1 είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο από το 1 ; 6 2 22. Τι θα προτιμούσαμε; Τα 3 της μισής πίτσας ή το 1 των 3 της ίδιας πίτσας; 4 2 43. Όταν πολλαπλασιάζουμε δυο κλάσματα μικρότερα από το 1, το γινόμενό τους είναι μικρότερο ή μεγαλύτερο από το καθένα κλάσμα; Δίνουμε ένα παράδειγμα. 52
Διαίρεση κλασμάτων 20 Διερεύνηση Οι μαθητές και οι μαθήτριες της Ε΄ τάξης φτιάχνουν στο μάθημα των εικαστικώναφίσες και προσκλήσεις για τις εκδηλώσεις τους.α. Τα κορίτσια φτιάχνουν προσκλήσεις με τα 2 του χαρτονιού. Για καθεμιά χρησιμοποιούν το 1 του χαρτονιού. Πόσες προσκλήσεις 3 6 φτιάχνουν;1. Βάζουμε στη μαθηματική πράξη που μας οδηγεί στο αποτέλεσμα: 2 1 1 : 2 2 : 1 3 6 6 3 3 62. Χρωματίζουμε : τα 2 του χαρτονιού το 1 του χαρτονιού. Π23όστεηςςφαοκρέέρςαχιηωςρμάοενι άτοδας16: στα 3 6 3. Ξαναχρωματίζουμε, έτσι ώστε τα δύο κλάσματα να έχουν κοινούς παρονομαστές (ομώνυμα) και επαναδιατυπώνουμε την ερώτηση: «Πόσες φορές χωράει …………………………………………………………………….» 1 1 Οι κοινοί παρονομαστές δείχνουν ότι έχουμε ίδιου μεγέθους μέρη (έκτα). Αρκεί, επομέ- 1 1 νως, να διαιρέσουμε μόνο τους αριθμητές. 5 5 Κάνουμε τη1ν πράξη: 2 ÷ 1 = 4 ÷ 1 = ÷ = . 3 6 6 6 1 5Άρα τα κορίτσια θα φτιάξουν ………. προσκλήσεις.β. Τα αγόρια έχουν 3 ίδια χαρτόνια για να φτιάξουν αφίσες. Για καθεμιά χρησιμοποιούν τα 3 του χαρτονιού. Πόσες αφίσες φτιάχνουν; 51. Β άζουμε στη μαθηματική πράξη που μας οδηγεί στο αποτέλεσμα: 3 3 3: 3 3 :3 5 5 52. Χρησιμοποιούμε τις ράβδους κλασμάτων: 1 Πόσες φορές χωράει το 3 5 1 5 στις 3 ακέραιες μονάδες;Κάνουμε την πράξη: 3 ÷ 3 = 5 ÷ 3 = ÷ =. 5 5Άρα τα αγόρια θα φτιάξουν ………. αφίσες. 53
Διαίρεση κλασμάτων Ενότητα 3 Βασικές μαθηματικές έννοιες Παραδείγματα και διεργασίεςΓια να διαιρέσουμε δυο ομώνυμα κλάσματα, 3 : 4 =3:4= 3 , 6 : 3 =6:3=2διαιρούμε τους αριθμητές τους. 5 5 4 8 8Για να διαιρέσουμε δυο ετερώνυμα κλά- 2 : 6 = 10 : 18 = 10 :18 = 10 = 5σματα, τα μετατρέπουμε πρώτα σε ομώνυμα 3 5 15 15 18 9και έπειτα διαιρούμε τους αριθμητές τους.Όταν σε μια διαίρεση οι αριθμοί είναι διαφο- 2,5 : 3 1 = 25 : 7 = 25 : 35 = 25 : 35 = 25 = 5ρετικής μορφής, τους μετατρέπουμε όλους 2 10 2 10 10 35 7στην ίδια μορφή.Πρόσθετη μαθηματική ιδέα Εξήγηση του κανόναΈνας άλλος τρόπος για να διαιρέσουμε Ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση είναι αντίστροφεςδύο κλάσματα είναι να αντιστρέψουμε τους πράξεις: Π.χ. Μοιράζω 6 μπαλόνια σε 3 παιδιά.όρους του δεύτερου κλάσματος και, αντί για α. Κάνω διαίρεση: 6 : 3 = 2 μπαλόνια.διαίρεση, να κάνουμε πολλαπλασιασμό. β. Κάνω πολλαπλασιασμό: Αφού τα παιδιά είναι 3, το κ6γα.xΕθέπ31νοαμ=έθνα36ωπςά=: ρ66ει::τ33ο==1362τxωμπν13αμλπ=όανλι63αο.ν=ιώ6ν:: 3 = 2π.χ. 2 : 5 = 2 x 4 = 8 , 3 4 3 5 15 Σημείωση: Ο διαιρετέος μπορεί να είναι και κλάσμα. 6: 3 = 6 x 4 = 6x4 = 24 = 8 4 1 3 3 3 ΕφαρμογήΣτη γιορτή της Δανάης κοάι θκεαλκεοσμμμέάντοιιμμοουισράασκάτηήκτααννε1ξ1ί6σοτουυτατα34ψιεονύό; ς ταψιού με μουσακά. Πόσοιήταν οι καλεσμένοι, αν 123 0 4 4 4 1α΄ τρόπος: Με τη βοήθεια της αριθμογραμμήςΣτην αριθμογραμμή, από το 0 έως το 1 αντιστοιχεί 1 12 16 16ολόκληρο το ταψί. Βρίσκουμε τα 3 . Χωρίζουμε την σε ... ίσα μέρη 4 αριθμογραμμή και παίρνουμετα .... . Κάθε κομμάτι είναι το 1 του ταψιού, γι’ αυτό ξαναχωρίζουμε την αριθμογραμμή σε ... ίσα 16 1 3μέρη. Μετράμε πόσες φορές χωράει το 16 είναι στα 4 . Βρίσκουμε ................. κομμάτια, άρα οικαλεσμένοι είναι 12. 3 1β΄ τρόπος: Δημιουργία ομώνυμων κλασμάτων: 4 : 16 = : = ...................... καλεσμένοι.γ΄ τρόπος: Αντιστροφή του διαιρέτη και πολλαπλασιασμός: 3 : 1 = 3 x = 48 = ...................... καλεσμένοι 4 16 4 Αναστοχασμός1. Μοιράζουμε το 1 μιας σοκολάτας σε 4 παιδιά. Τι μέρος της σοκολάτας θα πάρει το κάθε παιδί; 22. Σ υζητάμε τους διαφορετικούς τρόπους με τους οποίους μπορούμε να λύσουμε το πρόβλημα Δημιουργούμε μια αφίσα με τους τρόπους αυτούς. 54
Αναγωγή στην κλασματική μονάδα 21 Διερεύνηση 1. Τ α παιδιά στην αυλή του σχολείουέπαιξαν το παιχνίδι «διελκυστίνδα».Είχαν ένα σκοινί μήκους 20 μέτρων.Για να παίξουν το παιχνίδι, χρησιμο-...ποίησαν τα 2 του σκοινιού. Πόσα μέτρα σκοινιού χρησιμοποίησαν; 5 Συζητάμε τους δύο τρόπους τους οποίους μας προτείνουν τα παιδιά.Θέλουμε να βρούμε Γνωρίζουμε το μήκος όλου τουένα μέρος του σκοινιού.Κάνουμε πολλαπλασιασμό. σκοινιού. Για να βρούμε τα 2 του, 5 μπορούμε να βρούμε πρώτα το μήκος του 1 . 5 Τα 5 του σκοινιού είναι μέτρα. 5 : 5= 4 μέτρα. x = 8 μέτρα. Το 1 του σκοινιού είναι 5 Τα 2 του σκοινιού είναι 5 Χρησιμοποίησαν ...... μέτρα σκοινιού.2. Φτιάχνουμε ένα αντίστροφο με το παραπάνω πρόβλημα και το λύνουμε.......................................................................................... Γνωρίζουμε το μέρος του......................................................................................... σκοινιού που χρησιμοποίησαν και......................................................................................... αναζητούμε το μήκος όλου του......................................................................................... σκοινιού.Τα 2 του σκοινιού είναι ....... μέτρα. 5Το 1 του σκοινιού είναι ....... : 2= ....... μέτρα. 5Τα 5 του σκοινιού είναι ....... ....... = ....... μέτρα. Όλο το σκοινί είχε μήκος ...... μέτρα. 5 55
Αναγωγή στην κλασματική μονάδα Ενότητα 3Στρατηγική επίλυση προβλήματος ΠαραδείγματαXρησιμοποιούμε τη μέθοδο της αναγωγής 1. Πόσα γραμμάρια είναι τα 4 του κιλού;στην κλασματική μονάδα, όταν : 101. Γ νωρίζουμε το όλο και θέλουμε να βρού- με ένα κλασματικό του μέρος.2. Γνωρίζουμε ένα κλασματικό μέρος του 2α. Τα 3 του σχολείου μας είναι 93 παιδιά. Πόσα παιδιά όλου και θέλουμε να βρούμε: 5 α) το όλο ή φοιτούν στο σχολείο μας; β) ένα άλλο κλασματικό μέρος του όλου. 2β. Τ α 2 μιας σοκολάτας ζυγίζουν 50 γραμμάρια. Ο 5 γραμμάρια της σοκο- 3 Μπιλ έφαγε τα 5 αυτής. Πόσα λάτας έφαγε;Εφαρμογή Υ πολογίζω το κλασματικό μέρος του όλου, όταν γνωρίζω κάποιο άλλο κλασματικό του μέρος.σΤαοκ52ολμάιτααςςσέοφκαογλεά;τας ζυγίζουν 50 γραμμάρια. Ο Νίκος έφαγε τα 3 αυτής. Πόσα γραμμάρια της 5Σκέψη 2 5• Γνωρίζουμε ότι τα της σοκολάτας ζυγίζουν 50 γραμμάρια και θέλουμενα βρούμε πόσα γραμμάρια ζυγίζουν τα 3 της σοκολάτας. 1 5 5 1• Βρίσκουμε πρώτα την τιμή της κλασματικής μονάδας, δηλαδή του 5 της σοκολάτας.Αφού ξέρουμε τα 2 και ζητάμε το 1 , διαιρούμε με το 2. 5 5 3• Βρίσκουμε πόσο ζυγίζουν τα 5 της σοκολάτας.Αφού ξέρουμε το 1 και ζητάμε τα 3 , πολλαπλασιάζουμε με το 3. 5 5Λύση• Τ α 2 της σοκολάτας ζυγίζουν ……… γραμμάρια. 5• Τ ο 1 της σοκολάτας ζυγίζει ……. : ……. = …….. γραμμάρια. 5• Τ α 3 της σοκολάτας ζυγίζουν ….. x …… = …….. γραμμάρια. 5Απάντηση: Ο Νίκος έφαγε τα …………. γραμμάρια της σοκολάτας. ΑναστοχασμόςΓιατί η παραπάνω στρατηγική επίλυσης προβλήματος ονομάζεται μέθοδος αναγωγής στηνκλασματική μονάδα; 56
επαναληπτικό 3 Κεφάλαια 13 - 21 Στα κεφάλαια αυτά έμαθα: ü να εκφράζω: α) το μέρος ενός όλου με κλάσμα, β) το πηλίκο μιας διαίρεσης με κλάσμα, ü να τοποθετώ κλασματικούς αριθμούς πάνω στην αριθμογραμμή, ü να διατάσσω και να συγκρίνω κλασματικούς αριθμούς, ü να αναγνωρίζω, να κατασκευάζω και να απλοποιώ ισοδύναμα κλάσματα, ü να κάνω πράξεις με κλάσματα και με μεικτούς αριθμούς, ü να λύνω προβλήματα με κλασματικούς αριθμούς.1η Άσκηση ________________________________________________________________________α. Χωρίζουμε τα παρακάτω τετράγωνα σε τέσσερα ίσα μέρη με διαφορετικό τρόπο το καθένα. 1ος τρόπος 2ος τρόπος 3ος τρόπος 4ος τρόποςβ. Χρωματίζουμε στο διπλανό τετράγωνο: Ø το 1 του τετράγωνου κίτρινο 2 Ø το 1 του τετράγωνου μπλε 8 Ø το 1 του τετράγωνου κόκκινο 4 Ø το 1 του τετράγωνου πράσινο 16 • Τι μέρος του τετραγώνου έμεινε αχρωμάτιστο; ……………………………………..………………………2η Άσκηση ________________________________________________________________________Βρίσκουμε τρία κλάσματα μεγαλύτερα από το 1 και μικρότερα από το 2 . 7 7………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 57
επαναληπτικό 3 Κεφάλαια 13 - 213η Άσκηση ________________________________________________________________________α. Σ υμπληρώνουμε στα κουτάκια τους κλασματικούς αριθμούς που βρίσκονται στα σημεία πάνω στην πρώτη αριθμογραμμή.0120 1 2 β. Τ οποθετούμε στην κατάλληλη αριθμογραμμή το ισοδύναμο ανάγωγο κλάσμα για κάθε0 1 2 κλασματικό αριθμό που γράψαμε.0124η Άσκηση ________________________________________________________________________Βρίσκουμε τον αμέσως προηγούμενο και επόμενο φυσικό αριθμό σε καθένα από τα παρακάτωκλάσματα και μεικτούς αριθμούς. 2 8 11 5 21 6 3 1 41ο Πρόβλημα_______________________________________________________________________Διαβάζουμε σε μια συνταγή τα υλικά και τις ποσότητες που θα χρειαστούμε, ώστε ναφτιάξουμε μπισκότα με τους φίλους και τις φίλες μας.Σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις θα φτιάξουμε μεγαλύτερη ποσότητα μπισκότων;Υπογραμμίζουμε τη σωστή απάντηση και εξηγούμε την επιλογή μας.α. Όταν πολλαπλασιάσουμε την ποσότητα των υλικών με το 1 . 2β. Όταν πολλαπλασιάσουμε την ποσότητα των υλικών με το 2.γ. Όταν διαιρέσουμε την ποσότητα των υλικών με το 1 . 3δ. Όταν διαιρέσουμε την ποσότητα των υλικών με το 3. 58
4Ενότητα59
Συλλογή, οργάνωση και αναπαράσταση δεδομένων 22 Διερεύνηση Ε΄ τάξη σχολείου της Αθήνας Ώρες ξεκούρασης και παιχνιδιού τις καθημερινές ημέρες τηςΤα παιδιά της Ε΄ τάξης ενός δημοτικού σχολείου στην εβδομάδαςΑθήνα έκαναν μια έρευνα, στην οποία κατέγραψαν τις 4 5 10 10 5 15 5 10ώρες παιχνιδιού και ξεκούρασης που έχουν συνολικά 5 10 6 15 5 5 5 5τις καθημερινές της εβδομάδας.Κάνουμε στην τάξη μας μια αντίστοιχη έρευνα και κατα- 5 5 9 7 14 5 6 11γράφουμε τα αποτελέσματα. ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΩΡΑ Η τάξη μας παιχνιδιού Ώρες ξεκούρασης και1. Συμπληρώνουμε τον πίνακα. τις καθημερινές ημέρες της Κάθε αριθμός αντιπροσωπεύει την απά- εβδομάδας ντηση ενός συμμαθητή μας ή μιας συμ- μαθήτριάς μας. Ώρες ξεκούρασης και παιχνιδιού Ε΄ τάξη σχολείου της Αθήνας Η τάξη μας τις καθημερινές Καταμέτρηση Συχνότητα Καταμέτρηση Συχνότητα με γραμμές εμφάνισης με γραμμές εμφάνισης2. Οργανώνουμε με αριθμό με αριθμό τα δεδομένα μας 0 – 4 ώρες 1 συμπληρώνοντας 5 – 9 ώρες ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ 10 – 14 ώρες τους πίνακες συ- 15 – 20 ώρες 6 χνοτήτων. άλλο3. Αναπαριστάνουμε τα δεδομένα σε διπλό ραβδόγραμμα. Ώρες ξεκούρασης και παιχνιδιού Με κόκκινο χρώμα φτιάχνουμε τις τις καθημερινές ημέρες της εβδομάδας ράβδους του σχολείου μας δίπλα από τις ράβδους του σχολείου της 16 Αθήνας. • Πόσα παιδιά έλαβαν μέρος σε κάθε έρευ- 14 να; 12 • Τι δείχνει το ύψος των ράβδων;Αριθμός μαθητών 10 • Πόσες ώρες για ξεκούραση έχουν τα πε- 8 ρισσότερα παιδιά του σχολείου μας τις καθημερινές; 6 ... Συγκρίνουμε τα αποτελέσματα 4 των δύο ερευνών. 2 0 5-9 ώρες 10-14 ώρες 15-20 ώρες 0-4 ώρες Ε´ τάξη σχολείου της Αθήνας Η τάξη μας 61
Συλλογή, οργάνωση και αναπαράσταση δεδομένων Ενότητα 4Βασικές μαθηματικές έννοιες Παραδείγματα και διεργασίεςΗ συλλογή, η οργάνωση, η επεξεργα- α. Σε πόσο χρόνο τρέχεις τα 100 μέτρα;σία, η αναπαράσταση και η ερμηνείαενός συνόλου αριθμητικών δεδομέ- Σε πόσα δευτερόλεπτα τρέχεις τα 100 μέτρα;νων μάς βοηθά να βγάζουμε συμπε- 14,8 14,9 15,3 15,7 15,5 16 15,2 15,2ράσματα, να κάνουμε προβλέψεις και 16,1 15,6 15,5 14,8 15,3 14,9 17 15,1να παίρνουμε αποφάσεις. 15,3 15,6 14,8 16,2 15,6 15,2 15,5 15,3Η συλλογή δεδομένων γίνεται με με- Πίνακας συχνοτήτων Διάγραμμα Γραμμήςτρήσεις, πειράματα, έρευνες κ.λπ.,ενώ η οργάνωση και η αναπαράστα- Πόσες ταινίες είδαν οι μαθητές 39,5 Πυρετός Ασθενούςσή τους με πίνακες και διαγράμματα. τον τελευταίο μήνα 39Ο πίνακας συχνοτήτων μάς δείχνει 38,5 ΤΡΙ ΤΕΤ ΠΕΜ ΠΑΡ ΣΑΒπόσο συχνά εμφανίζεται κάθε δεδομέ- Ταινίες Καταμέτρηση Συχνότητα Θερμοκρασία σε oC 38νο στην καταγραφή μας. με γραμμές 37,5 37Υπάρχουν πολλοί τύποι διαγραμμά- 0 ΙΙΙΙ 4 36,5των για την αναπαράσταση των δεδο- 36μένων: 1 ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ 9 35,5π.χ. ραβδόγραμμα, εικονόγραμμα,σημειόγραμμα, διάγραμμα γραμμής. 2 ΙΙΙΙ 4 ΔΕΥ ΚΥΡ Εικονόγραμμα Σημειόγραμμα 0 ταινίες 1 ταινία x 2 ταινίες x Κάθε αντιστοιχεί σε 2 μαθητές x x x xx x xx x xx x xx x 0 ταινίες 1 ταινία 2 ταινίεςΕφαρμογή Πίνακας συχνοτήτων - ραβδόγραμμαΤα παιδιά μιας Ε΄ τάξης ερεύνησαν πόσες Αποτελέσματα έρευνας 0 5 7 9 8 2 2 15 5ώρες παρακολουθούν τηλεόραση κάθε εβδο- 16 5 8 0 3 9 1 7 15 9 13 4 8 4 8μάδα.1. Οργανώνουμε τα δεδομένα που συλλέξαμε στον πίνακα Ώρες Καταμέτρηση Συχνότητα 0-4 ΙΙΙΙ ΙΙΙ 8 συχνοτήτων, στον οποίο καταμετρούμε πόσες φορές εμφα- 5-9 ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙ 12 νίζεται κάθε δεδομένο. Επειδή στα δεδομένα εμφανίζονται 10 - 14 1 πολλές διαφορετικές τιμές, τα ομαδοποιούμε: 0-4, 5-9, 10-14 15 - 19 Ι 3 και 15-19 ώρες. ΙΙΙ2. Παρουσιάζουμε τα δεδομένα με ένα ραβδόγραμμα, στο Ώρες παρακολούθησης τηλεόρασης ανά εβδομάδα 14οποίο βάζουμε τίτλο. Κάθε άξονας χωρίζεται σε ίσα διαστή- 12ματα. Αριθμός παιδιών 10 8 6 4 2 0 5-9 10-14 15-19 0-4 Ώρες Αναστοχασμός1. Στην αναπαράσταση των δεδομένων κάποιοι αριθμοί δείχνουν τις τιμές των δεδομένων και κάποιοι άλλοι πόσο συχνά εμφανίζεται κάθε τιμή. Δίνουμε ένα παράδειγμα. 62
Χαρακτηριστικές τιμές δεδομένων – Mέση τιμή 23Διερεύνηση Σύνολο πόντων του Τζέιμς ανά αγώναΟ Τζέιμς σημείωσε 35στους δέκα πρώτους 30 30αγώνες μπάσκετ της 25ομάδας του τους πό- Σύνολο πόντων 25 26 25ντους που φαίνονται 25 20 23στο ραβδόγραμμα: 15 17 15 10 13 11α. Παρατηρούμε το ραβδόγραμμα: 51. Π όσους πόντους σημείωσε συνολικά και στους δέκα αγώνες; 0 ……………………………….…………… 1ος 2ος 3ος 4ος 5ος 6ος 7ος 8ος 9ος 10ος αγ. αγ. αγ. αγ. αγ. αγ. αγ. αγ. αγ. αγ.2. Αν οι συνολικοί πόντοι μοιράζονταν εξί-σου και στους 10 αγώνες, πόσους πόντους θα σημείωνε σε κάθε αγώνα; .................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................3. Χαράζουμε μια κόκκινη γραμμή παράλληλη στον οριζόντιο άξονα, που θα δείχνει το ύψος των ράβδων, εάν οι συνολικοί πόντοι μοιράζονταν εξίσου και στους 10 αγώνες.β. Συμπληρώνουμε τον ακόλουθο πίνακα συχνοτήτων. Σύνολο Καταμέτρηση Συχνότητα 1 Π οια είναι η μικρότερη τιμή πόντων;.....................διαφορετικών με γραμμές εμφάνισης 2. Π οια είναι η μεγαλύτερη τιμή πόντων; ................ πόντων ανά 3. Π οια τιμή πόντων εμφανίζεται πιο συχνά; ........... 1 γ. Διατάσσουμε τους πόντους με τη σειρά από αγώνα τους λιγότερους, ανά αγώνα, στους περισσότε- 13 ρους. ………………………………………….……………………… Ποια τιμή ή ποιες δύο τιμές βρίσκονται στη μέση της διάταξης και χωρίζουν το σύνολο των τιμών σε δυο ίσα μέρη, από τα οποία το ένα μέρος έχει τις μικρότερες τιμές και το άλλο τις μεγαλύτερες;............................................................................................................................................................... Σ υζητάμε και κάνουμε προβλέψεις για το μέλλον του παίκτη. • Μ ε βάση τα δεδομένα, ποια πρόβλεψη μπορούμε να κάνουμε για την πο- ρεία του παίκτη στη διάρκεια της αγωνιστικής περιόδου; • Ποιοι πιθανοί παράγοντες μπορούν να ανατρέψουν τις προβλέψεις μας; 63
Χαρακτηριστικές τιμές δεδομένων – Mέση τιμή Ενότητα 4Βασικές μαθηματικές έννοιες Παραδείγματα και διεργασίεςΚατά την επεξεργασία των αριθμητικών δεδομένων, Οι μετρήσεις της θερμοκρασίας στη Λαμίαβρίσκουμε κάποιες χαρακτηριστικές τιμές, χρήσιμες κάθε 4 ώρες στις 25/12/2017 ήταν: 3 oC,στην ερμηνεία των δεδομένων. 1 oC, 5 oC, 12 oC, 8 oC, 7 oC.Μία από αυτές είναι η μέση τιμή ή μέσος όρος.Για να υπολογίσουμε τη μέση τιμή ή τον μέσο όρο, 12 12προσθέτουμε τις τιμές όλων των δεδομένων και 11 11διαιρούμε το άθροισμά τους με το πλήθος των δε- 10 10δομένων. 99 άθροισμα δεδομένων 88Μέση τιμή ή μέσος όρος = πλήθος δεδομένων 77 66 55 44 33 22 11 00 Μέση τιμή ή μέσος όρος 3+1+5+12+8+7 = 36 = 6 oC. 66Εφαρμογή Υπολογίζω τη μέση τιμήΣύμφωνα με το Εθνικό Αστεροσκοπείο Αθηνών, η μέση μηνιαία βροχόπτωση στην Αθήνα τονπερασμένο αιώνα ήταν 33,29 χιλιοστά. Συγκρίνουμε τη μέση μηνιαία βροχόπτωση της Αθήνας μεαυτήν της πόλης των Ιωαννίνων την ίδια περίοδο.Παρατηρούμε και σχολιάζουμε το διάγραμμα.1. Άθροισμα των δεδομένων: 124,2 +111,6 + 95,4 + 78 + 69,3 + 43,5 + 32 + 31,2 + 54 + 99,5 + 167,9 + 174,9 = 1081,5.2. Πλήθος των δεδομένων: 12. 200 Μέση μηνιαία βροχόπτωση - Ιωάννινα3. Άρα η μέση τιμή είναι: 180 174,9 1081,5 = 1081,5 : 12 = 90,125 χιλ. 160 167,9 12 Ύψος νερού σε χιλ. 140 111,6Παρατηρούμε ότι η μέση μηνιαία βροχόπτωση στα 95,4Ιωάννινα είναι σχεδόν τριπλάσια από αυτήν της 124,2Αθήνας. 120Η μέση τιμή της βροχόπτωσης το καλοκαίρι σταΙωάννινα είναι περίπου όση είναι η μέση μηνιαία τιμή 100όλου του έτους για την Αθήνα. 99,5 80 78 69,3 60 43,5 32 40 54 31,2 20 0 ΙΑΝ ΦΕΒ ΜΑΡ ΑΠΡ ΜΑΙ ΙΟΥΝ ΙΟΥΛ ΑΥΓ ΣΕΠ ΟΚΤ ΝΟΕ ΔΕΚ Αναστοχασμός1. Η μέση τιμή ενός συνόλου δεδομένων είναι πάντα η τιμή ενός από τα δεδομένα;2. Αν γνωρίζουμε τη μέση τιμή του ύψους 180 αγοριών Ε΄ δημοτικού, μπορούμε να εκτιμήσουμε το ύψος που έχουν όλα τα αγόρια στην ηλικία αυτή;3. Αν γνωρίζουμε τη μέση τιμή της θερμοκρασίας ενός τόπου σε χρονικό διάστημα 7 ημερών, μπορούμε να εκτιμήσουμε τη μέση τιμή της θερμοκρασίας του ίδιου τόπου και για τις επόμενες 7 ημέρες; Δικαιολογούμε την απάντησή μας. 64
Πιθανότητες 24 Διερεύνηση Παίζουμε ένα παιχνίδι στο οποίο κερδίζει μόνον όποιος φέρει στον διπλανότροχό το χρώμα που έχει επιλέξει. Ποιο χρώμα θα διάλεγες για εσένα;...α. Κάνουμε προβλέψεις για το πείραμα τύχης. Συζητάμε πόσο πιθανό είναι να έρθει καθένα από τα χρώματα, αν περιστρέψουμε τον τροχό.β. Κάνουμε το πείραμα τύχης. Αποτελέσματα της ομάδας μουΧωριζόμαστε σε ομάδες και χρησιμοποιούμε τοντροχό από το παράρτημα. Περιστρέφουμε τον Χρώμα Καταμέτρηση Συχνότητατροχό 20 φορές και καταγράφουμε τα αποτελέ- με γραμμές εμφάνισηςσματά μας. με αριθμό1. Π αρατηρούμε τη συχνότητα εμφάνισης κάθε πράσινο χρώματος. Ποιο χρώμα είναι πιο πιθανόν να εμφανίζεται κάθε φορά; κίτρινο ........................................................................ μπλε κόκκινοΤο βέλος μπορεί να σταματήσει σε Το μπλε είναικαθένα από τα 8 ίσα μέρη. Το κίτρινο μόνο σε 1 από ταχρώμα είναι στα 4 από αυτά. 8 ίσα μέρη.2. Π όσες φορές αναμένουμε να εμφανιστεί κόκκινο χρώμα σε 8 περιστροφές του τροχού; ....................................................................................................................................................3. Π όσες φορές αναμένουμε να εμφανιστεί πράσινο χρώμα σε 8 περιστροφές του τροχού; ....................................................................................................................................................γ. Γ ράφουμε με κλάσμα την πιθανότητα εμφάνισης κάθε χρώματος, όταν περιστρέφουμε τον τροχό. Πιθανότητα να έρθει: κίτρινο = , κόκκινο = , μπλε = , πράσινο =δ. Τοποθετούμε τα κλάσματα στην παρακάτω κλίμακα. 1 0... αδύνατο το ίδιο πιθανό να συμβεί βέβαιο να συμβεί τόσο όσο και να μη συμβεί ότι θα συμβεί Συγκρίνουμε τις πιθανότητες που υπολογίσαμε, με τον τρόπο αυτό, με τις αρχικές μας προβλέψεις. 65
Πιθανότητες Ενότητα 4 Βασικές μαθηματικές έννοιες Παραδείγματα και διεργασίεςΈνα πείραμα που δεν μπορούμε να προβλέψουμε με βε- Αν ρίξουμε ένα ζάρι 1000 φορές, δενβαιότητα το αποτέλεσμά του, όταν το κάνουμε, ονομάζε- μπορούμε να προβλέψουμε πόσες φο-ται πείραμα τύχης. ρές θα εμφανιστεί κάθε αριθμός.Σε ένα πείραμα τύχης, το πόσο πιθανό είναι να έρθει ένα Η πιθανότητα να έρθει 3, αν ρίξουμε ένασυγκεκριμένο αποτέλεσμα λέγεται πιθανότητα και μπο- ζάρι είναι:ρεί να υπολογιστεί με ένα κλάσμα: πόσες φορές το 3 στο ζάρι 1πιθανότητα = πλήθος των επιθυμητών αποτελεσμάτων πλήθος των αριθμών στο ζάρι = 6 . πλήθος των δυνατών αποτελεσμάτωνΗ πιθανότητα να έρθει ένα συγκεκριμένο αποτέλεσμα Όλα τα δυνατά αποτελέσματα είναι 6 (1, 2,μπορεί να εκφραστεί με μια κλίμακα που εκτείνεται από 3, 4, 5, 6). Το πλήθος των επιθυμητών απο-το αδύνατο να συμβεί έως το βέβαιο ότι θα συμβεί. H τελεσμάτων είναι 1 (το 3 εμφανίζεται μίαμέση της κλίμακας αντιπροσωπεύει αυτό που είναι πιθα- φορά στα 6 αποτελέσματα).νό τόσο να συμβεί, όσο και να μην συμβεί. 01 αδύνατο το ίδιο πιθανό να συμβεί βέβαιο να συμβεί τόσο όσο και να μη συμβεί ότι θα συμβεί Εφαρμογή Εκφράζω την πιθανότητα με κλάσμαΜέσα σε μια τσάντα βρίσκονται ανακατεμένες ομοιόμορφες μπάλες. Οι 5 είναι κόκκινες, οι 2κίτρινες και 3 είναι μπλε.α. Υπολογίζουμε την πιθανότητα να τραβήξουμε:1. μ ια κίτρινη μπάλα: πλήθος από κίτρινες μπάλες = 2 πλήθος από όλες τις μπάλες 102. μια κόκκινη μπάλα: πλήθος από κόκκινες μπάλες = 5 = 1 (μισές – μισές πιθανότητες). πλήθος από όλες τις μπάλες 10 23. μια πράσινη μπάλα: πλήθος από πράσινες μπάλες = 0 = 0. Η πιθανότητα είναι 0, δηλαδή είναι πλήθος από όλες τις μπάλες 10αδύνατο να συμβεί, γιατί δεν υπάρχει πράσινη μπάλα.4. μια κόκκινη ή κίτρινη ή μπλε μπάλα: πλήθος από κόκκινες και κίτρινες και μπλε μπάλες = (5+2+3) = 10 = 1. πλήθος από όλες τις μπάλες 10 10Η πιθανότητα είναι 1, δηλαδή είναι βέβαιο ότι θα συμβεί, γιατί οι μπάλες στην τσάντα είναιμόνο κόκκινες, κίτρινες και μπλε.β. Τοποθετούμε τις παραπάνω πιθανότητες στην παρακάτω αριθμογραμμή. 0 2 1 1 10 2 αδύνατο το ίδιο πιθανό να συμβεί βέβαιο να συμβεί τόσο όσο και να μη συμβεί ότι θα συμβεί Αναστοχασμός1. Ο Νίκος ισχυρίζεται ότι σε ένα παιχνίδι τύχης με αριθμούς από το 1 έως το 20, το 17 είναι πιο πιθανό να εμφανιστεί, επειδή είναι ο τυχερός του αριθμός. Έχει δίκιο;2. Ρίχνουμε ένα ζάρι 10.000 φορές. Πόσες περίπου φορές θα έρθει ο αριθμός 2; 66
επαναληπτικό 4 Κεφάλαια 22 - 24Στα κεφάλαια αυτά έμαθα:ü να διατυπώνω ερωτήματα που μπορούν να απαντηθούν με δεδομένα,ü να συλλέγω δεδομένα μέσω ερευνών, μετρήσεων ή πειραμάτων,ü να οργανώνω τα δεδομένα σε πίνακες,ü να αναπαριστάνω τα δεδομένα σε διαγράμματα,ü να εξηγώ ένα διάγραμμα και να επιχειρηματολογώ με βάση τα δεδομένα,ü να βρίσκω τη μέση τιμή,ü να διατυπώνω προβλέψεις και να καταγράφω τη συχνότητα εμφάνισης ενός αποτελέσματος κατά την επανάληψη ενός πειράματος τύχης,ü να υπολογίζω την πιθανότητα ενός αποτελέσματος με κλάσμα.1ο Πρόβλημα ______________________________________________________________________Τα παιδιά της Ε΄ και της ΣΤ΄ τάξης Αγαπημένο άθλημα Σ Πέκαναν μια έρευνα για το ποιο Μ Βάθλημα τους αρέσει πιο πολύ. Κάθε Π Π Π Σ ΜΜΒΜ Π Ππαιδί διάλεξε μόνο ένα άθλημα. Β Σ Σ Μ Κ Κ Σ ΠΠΣυμβουλευόμαστε τον πίνακα ΠΚ Σ ΒΒ Σ ΒΜτων δεδομένων και οργανώνουμε Ποδόσφαιρο: Π, Μπάσκετ: Μ, Βόλεϊ: Β,τα δεδομένα σε έναν πίνακα Κολύμβηση: Κ, Πινγκ Πονγκ: ΠΠ, Στίβος: Σσυχνοτήτων. Αναπαριστάνουμε ταδεδομένα σε ένα ραβδόγραμμα.1. Πίνακας συχνοτήτων 2. Ραβδόγραμμα Άθλημα Καταμέτρηση Συχνότητα με γραμμές εμφάνισηςΠοδόσφαιρο με αριθμό Μπάσκετ ΒόλεϊΚολύμβησηΠινγκ Πονγκ Στίβος 67
επαναληπτικό 4 Κεφάλαια 22 - 242ο Πρόβλημα ______________________________________________________________________Βρίσκουμε τη μέση τιμή των δεδομένων που παρουσιάζονται σε κάθε διάγραμμα. τα αδέλφια μου Αριθμός βιβλίων Βιβλία που πήραν από τη δανειστική βιβλιοθήκηΘανάσης 7Ανέτ 6Σίλβιο 5 4Δήμητρα 3Δανάη 2 1 : ένα άτομο 0 Νίκος Στέλλα Βίλντα Αιμίλιος Μαρία Παιδιά3ο Πρόβλημα ______________________________________________________________________Χρησιμοποιούμε την παρακάτω κλίμακα, για να εκφράσουμε πόσο πιθανό είναι να προκύψουντα ακόλουθα χρώματα, αν περιστρέψουμε τον τροχό. 01 αδύνατο το ίδιο πιθανό να συμβεί βέβαιο να συμβεί τόσο όσο και να μη συμβεί ότι θα συμβεία. Μοβ: ..........................................................................................................................β. Κίτρινο: ................................................, γ. Ποτέ πράσινο: .....................................δ. Κόκκινο ή πράσινο ή μοβ: .........................................................................................4ο Πρόβλημα ______________________________________________________________________Μέσα σε ένα μαύρο κουτί έχουμε 1 κόκκινη, 1 πράσινη και 1 άσπρη μπάλα. Τραβάμε μίαμπάλα, καταγράφουμε το αποτέλεσμα στον πίνακα συχνοτήτων και τοποθετούμε ξανά τηνμπάλα στο κουτί. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα τύχης συνολικά 30 φορές.1. Πριν ξεκινήσουμε το πείραμα, προβλέπουμε πόσες φορές θα τραβήξουμε μια άσπρη μπάλα. .........................................................................................................................................................2. Κάνουμε το πείραμα και αναπαριστάνουμε τα αποτελέσματα του πειράματος σε εικονόγραμμα και ραβδόγραμμα.3. Συγκρίνουμε την πρόβλεψή μας με τα αποτελέσματα του πειράματος τύχης. Καταμέτρηση Συχνότητα 30 30 με γραμμές εμφάνισης 28 28 26 26 24 24 22 22κόκκινες 20 20μπάλες 18 18άσπρεςμπάλες 16 16πράσινες 14 14μπάλες 12 12 10 10 88 66 44 22 00 κόκκινες άσπρες πράσινες κόκκινες άσπρες πράσινες Ραβδόγραμμα Εικονόγραμμα 68
Κεφάλαιο 13 Δ ΕΓ A BΚεφάλαιο 24
Προτεινόμενα κεφάλαια: 16, 18, 20 1 11 22 111 333 1111 4444 11111 55555 111111 666666 11111111 88888888 1111111111 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 111111111111 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12
Κεφάλαιο 19 1 11 11 11 22 22 11 1 33 3 111111 666666
Κεφάλαιο 19
Βάσει του ν. 3966/2011 τα διδακτικά βιβλία του Δημοτικού,του Γυμνασίου, του Λυκείου, των ΕΠΑ.Λ. και των ΕΠΑ.Σ.τυπώνονται από το ΙΤΥΕ - ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ και διανέμονταιδωρεάν στα Δημόσια Σχολεία. Τα βιβλία μπορεί ναδιατίθενται προς πώληση, όταν φέρουν στη δεξιά κάτωγωνία του εμπροσθόφυλλου ένδειξη «ΔIΑΤΙΘΕΤΑΙ ΜΕΤΙΜΗ ΠΩΛΗΣΗΣ». Κάθε αντίτυπο που διατίθεται προςπώληση και δεν φέρει την παραπάνω ένδειξη θεωρείταικλεψίτυπο και ο παραβάτης διώκεται σύμφωνα με τιςδιατάξεις του άρθρου 7 του νόμου 1129 της 15/21 Μαρτίου1946 (ΦΕΚ 1946,108, Α').Απαγορεύεται η αναπαραγωγή οποιουδήποτε τμήματοςαυτού του βιβλίου, που καλύπτεται από δικαιώματα(copyright), ή η χρήση του σε οποιαδήποτε μορφή, χωρίςτη γραπτή άδεια του Υπουργείου Παιδείας, Έρευνας καιΘρησκευμάτων / IΤΥΕ - ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ.
ISBN Set 978-960-06-5659-6 Τ.Α´ 978-960-06-5661-9 Κωδικός Βιβλίου: 0-10-0209(01) 000000 0 10 0209 6
Search
