Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ B΄ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΚΔΟΣΕΩΝ «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ»

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδα Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ∆ΟΣΗΣΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ:Αδαμόπουλος Λεωνίδας Σύμβουλος Παιδαγωγικού ΙνστιτούτουΒισκαδουράκης Βασίλειος Καθηγητής Β/θμιας ΕκπαίδευσηςΓαβαλάς Δημήτριος Καθηγητής Β/θμιας ΕκπαίδευσηςΠολύζος Γεώργιος Καθηγητής Β/θμιας ΕκπαίδευσηςΣβέρκος Ανδρέας Καθηγητής Β/θμιας ΕκπαίδευσηςΙστορικά Σημειώματα: Θωμαΐδης Ιωάννης Καθηγητής Β/θμιας ΕκπαίδευσηςΚΡΙΤΕΣ: Σχολικός Σύμβουλος Β/θμιας ΕκπαίδευσηςΜακρής Κωνσταντίνος Καθηγητής Β/θμιας ΕκπαίδευσηςΤσικαλουδάκης Γεώργιος Επίκουρος Καθηγητής Ε.Μ.Π.Φελούρης Ανάργυρος Γλωσσική Επιμέλεια: Μπουσούνη Λία Καθηγήτρια Β/θμιας ΕκπαίδευσηςΔακτυλογράφηση: Μπολιώτη ΠόπηΣχήματα: Μπούτσικας Μιχάλης ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΠΑΝΕΚ∆ΟΣΗΣΗ επανέκδοση του παρόντος βιβλίου πραγματοποιήθηκεαπό το Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών & Εκδόσεων«Διόφαντος» μέσω ψηφιακής μακέτας, η οποία δημιουργή-θηκε με χρηματοδότηση από το ΕΣΠΑ / ΕΠ «Εκπαίδευση& Διά Βίου Μάθηση» / Πράξη «ΣΤΗΡΙΖΩ». Οι διορθώσεις πραγματοποιήθηκαν κατόπιν έγκρισης του Δ.Σ. του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΑΔΑΜΟΠΟΥΛΟΣ ΛΕΩΝΙΔΑΣ ΒΙΣΚΑΔΟΥΡΑΚΗΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ ΓΑΒΑΛΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΟΛΥΖΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΣΒΕΡΚΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ Η συγγραφή και η επιστηµονική επιµέλεια του βιβλίου πραγµατοποιήθηκε υπό την αιγίδα του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδα Προσανατολισμού Θετικών ΣπουδώνΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΚΔΟΣΕΩΝ «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ»



ΠΡΟΛΟΓΟΣΤο βιβλίο αυτό περιλαμβάνει την ύλη των Μαθηματικών, που προβλέπεται από τοπρόγραμμα σπουδών της Θετικής Κατεύθυνσης της Β΄ τάξης του Ενιαίου Λυκείου,του οποίου η εφαρμογή αρχίζει από το σχολικό έτος 1998-1999. Κατά τη συγγραφήτου καταβλήθηκε προσπάθεια, ώστε το περιεχόμενό του να ανταποκρίνεται στιςδυνατότητες των μαθητών, για τους οποίους προορίζεται, και να είναι δυνατή ηολοκλήρωση της διδασκαλίας του στο χρόνο, που προβλέπεται από το ωρολόγιοπρόγραμμα.Το βιβλίο αποτελείται από τέσσερα κεφάλαια.● Το πρώτο κεφάλαιο αποτελεί μια εισαγωγή στο Διανυσματικό Λογισμό και στηνΑναλυτική Γεωμετρία. Τα διανύσματα έχουν ιδιαίτερη σημασία όχι μόνο για ταΜαθηματικά αλλά και για πολλές άλλες επιστήμες, αφού προσφέρουν τη δυνατό-τητα μαθηματικοποίησης μεγεθών, τα οποία δεν ορίζονται μόνο με την αριθμητικήτιμή τους. Εξάλλου, η αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία ενός σημείου του επιπέδουμε ένα διατεταγμένο ζεύγος πραγματικών αριθμών οδηγεί στην “αλγεβροποίηση”της Γεωμετρίας, δηλαδή στη μελέτη των γεωμετρικών σχημάτων με αλγεβρικέςμεθόδους.● Στο δεύτερο κεφάλαιο, αφού δοθεί ο ορισμός της εξίσωσης μιας γραμμής, με-λετώνται οι ιδιότητες της ευθείας.● Στο τρίτο κεφάλαιο συνεχίζεται η ύλη της Αναλυτικής Γεωμετρίας με τη σπουδήτων κωνικών τομών, οι οποίες για πρώτη φορά μελετήθηκαν από τους ΑρχαίουςΈλληνες. Σήμερα το ενδιαφέρον για τις κωνικές τομές είναι αυξημένο εξαιτίας τουμεγάλου αριθμού των θεωρητικών και πρακτικών εφαρμογών τους.● Το τέταρτο κεφάλαιο αποτελεί μία εισαγωγή στη Θεωρία Αριθμών, στην ανάπτυ-ξη της οποίας μεγάλη είναι η συμβολή των Αρχαίων Ελλήνων. Κύριος στόχος τηςδιδασκαλίας της ενότητας αυτής είναι η άσκηση των μαθητών στην αποδεικτικήδιαδικασία.Τα οποιαδήποτε σχόλια, παρατηρήσεις ή κρίσεις για το βιβλίο, από συναδέλφους,από μαθητές και από κάθε πολίτη που ενδιαφέρεται για τα ζητήματα της παιδείας,θα είναι πολύ ευπρόσδεκτα από τη συγγραφική ομάδα. Οι παρατηρήσεις να απο-στέλλονται στο Παιδαγωγικό Ινστιτούτο, Μεσογείων 396, 153 10 Αγία Παρασκευή Μάρτιος 1998.



ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣελίδαΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : Διανύσματα 1.1 Η Έννοια του Διανύσματος 111.2 Πρόσθεση και Αφαίρεση Διανυσμάτων 161.3 Πολλαπλασιασμός Αριθμού με Διάνυσμα 211.4 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 291.5 Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων 41ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο : Η Ευθεία στο Επίπεδο2.1 Εξίσωση Ευθείας 572.2 Γενική Μορφή Εξίσωσης Ευθείας 652.3 Εμβαδόν Τριγώνου 70ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο : Κωνικές Τομές3.1 Ο Κύκλος 813.2 Η Παραβολή 893.3 Η Έλλειψη 1003.4 Η Υπερβολή 1133.5 Η Εξίσωση Αx2 + By2 + Γx + Δy + E = 0 125ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο : Θεωρία Αριθμών4.1 Η Μαθηματική Επαγωγή 1354.2 Ευκλείδεια Διαίρεση 1404.3 Διαιρετότητα 1454.4 Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης - Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο 1504.5 Πρώτοι Αριθμοί 1614.6 Η Γραμμική Διοφαντική Εξίσωση 1704.7 Ισοϋπόλοιποι Αριθμοί 175ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 185



1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑΕισαγωγήΤο διάνυσμα είναι ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα έννοιας που αναπτύχθηκεμέσα από τη στενή αλληλεπίδραση Μαθηματικών και Φυσικής. Ο “κανόνας τουπαραλληλόγραμμου”, σύμφωνα με τον οποίο το μέτρο και η κατεύθυνση δύοδυνάμεων που ασκούνται σε ένα σώμα εκφράζονται από τη διαγώνιο του πα-ραλληλόγραμμου που σχηματίζουν, ήταν γνωστός με διάφορες μορφές στουςΑρχαίους Έλληνες επιστήμονες. Ο Ήρων ο Αλεξανδρεύς, για παράδειγμα, στοέργο του “Μηχανικά” αποδεικνύει με χρήση αναλογιών την ακόλουθη γεωμετρι-κή πρόταση:Αν ένα σημείο Σ κινείται με ομαλή κίνηση κατά μήκος μιας ευθείας ΑΒ, ενώσυγχρόνως η ΑΒ κινείται παράλληλα προς τονεαυτό της με το άκρο Α να διαγράφει μια ευθείαΑΓ, τότε η πραγματική τροχιά του Σ (η “συνι-σταμένη κίνηση”) θα είναι η διαγώνιος ΑΔ τουπαραλληλόγραμμου ΑΒΓΔ.Αυτός ο “κανόνας” χρησιμοποιήθηκε πολλούςαιώνες για το γεωμετρικό προσδιορισμό τηςσυνισταμένης, χωρίς όμως να θεωρείται ένα νέο είδος πρόσθεσης ευθυγράμμωντμημάτων, διαφορετικό από εκείνο που χρησιμοποιείται στην Ευκλείδεια Γεω-μετρία. Για να γίνει αυτό, χρειάστηκε από τη μια μεριά η αποδοχή και συστημα-τική χρήση των αρνητικών αριθμών στα Μαθηματικά και από την άλλη η μελέτηφυσικών ποσοτήτων όπως η ταχύτητα, η δύναμη, η ορμή και η επιτάχυνση, πουχαρακτηρίζονται τόσο από το μέτρο όσο και από τη διεύθυνσή τους. Αυτές οιεξελίξεις έφεραν στο προσκήνιο τις έννοιες της προσανατολισμένης κίνησης καιτου προσανατολισμένου ευθύγραμμου τμήματος, τις πρώτες ιδέες των οποίωνσυναντάμε σε έργα επιστημόνων του 17ου αιώνα όπως οι J. Wallis, I. Newtonκαι G.W. Leibniz.Η ανάπτυξη ενός συστηματικού λογισμού με προσανατολισμένα ευθύγραμματμήματα άρχισε στα τέλη του 18ου αιώνα, για να δοθεί μια γεωμετρική ερμη-νεία στους αρνητικούς αριθμούς, αλλά και για να βρεθεί ένας τρόπος αναλυτικήςέκφρασης του μήκους και της διεύθυνσης των ευθύγραμμων τμημάτων. Πρωτο-ποριακό υπήρξε προς αυτή την κατεύθυνση το έργο των C. Wessel (1799) και R.

10Argand (1806). Ξεκινώντας από την απλή περίπτωση των προσανατολισμένωντμημάτων που βρίσκονται στην ίδια ευθεία, προχώρησαν στον ορισμό των πρά-ξεων με τυχαία τμήματα του επιπέδου. Συγκεκριμένα, οι ορισμοί του Wesselήταν οι εξής:Το άθροισμα διαδοχικών προσανατολισμέ-νων τμημάτων είναι το τμήμα που ενώνειτην αρχή του πρώτου με το τέλος του τελευ-ταίου.Το γινόμενο δύο προσανατολισμένων τμη-μάτων που σχηματίζουν γωνίες φ και ωαντιστοίχως με ένα μοναδιαίο τμήμα, είναιτο τμήμα που έχει μήκος το γινόμενο τωνμηκών των δύο τμημάτων και σχηματίζειγωνία ϕ + ω με το μοναδιαίο τμήμα.Στις εργασίες των Wessel και Argand (και ορισμένες άλλες που δημοσιεύτηκανεκείνη την εποχή) υπάρχουν οι βασικές ιδέες που συγκροτούν σήμερα το Δια-νυσματικό Λογισμό του επιπέδου. Η ουσιαστική ανάπτυξη του κλάδου αρχίζειόμως μερικές δεκαετίες αργότερα, όταν επιχειρείται η γενίκευση αυτών των ιδε-ών στον τρισδιάστατο χώρο και η θεμελίωση μιας γενικής μαθηματικής θεωρί-ας. Καθοριστικό υπήρξε προς αυτήν την κατεύθυνση του έργο του W. Hamilton(1843) και του H. Grassmann (1844). Ο W. Hamilton χρησιμοποίησε τον όροδιάνυσμα (vector). Ο όρος vector προέρχεται κατά μία εκδοχή από το λατινικόρήμα “vehere” που σημαίνει μεταφέρω. Ο H. Grassmann χρησιμοποίησε τουςόρους εσωτερικό και εξωτερικό γινόμενο.Η παραπέρα εξέλιξη του Διανυσματικού Λογισμού επηρεάστηκε αποφασιστικάαπό τις εξελίξεις στη Φυσική κατά το δεύτερο μισό του 19ου αιώνα. Η χρήσητης θεωρίας του Hamilton από τον ιδρυτή της ηλεκτρομαγνητικής θεωρίας J.C.Maxwell (1873) οδήγησε σε ορισμένες τροποποιήσεις, με βάση τις οποίες οι φυ-σικοί J.W. Gibbs και O. Heaviside δημιούργησαν στις αρχές της δεκαετίας του1880 τη σύγχρονη θεωρία του Διανυσματικού Λογισμού (στοιχεία της οποίαςπαρουσιάζονται σ’ αυτό το κεφάλαιο). Τέλος το 1888, ο G. Peano, με βάση τηθεωρία του Grassmann θεμελίωσε αξιωματικά την έννοια του διανυσματικούχώρου.

111.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣΟρισμός του ΔιανύσματοςΥπάρχουν μεγέθη, όπως είναι η μάζα, ο όγκος, η πυκνότητα, η θερμοκρασίακτλ., τα οποία προσδιορίζονται από το μέτρο τους και από την αντίστοιχη μονά-δα μέτρησης. Τα μεγέθη αυτά λέγονται μονόμετρα ή βαθμωτά.Υπάρχουν όμως και μεγέθη, όπως είναι η δύναμη, η ταχύτητα, η επιτάχυνση, ημετατόπιση, η μαγνητική επαγωγή κτλ., που για να τα προσδιορίσουμε, εκτόςαπό το μέτρο τους και τη μονάδα μέτρησης, χρειαζόμαστε τη διεύθυνση και τηφορά τους. Τέτοια μεγέθη λέγονται διανυσματικά μεγέθη ή απλώς διανύσματα.● Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως έναπροσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδήως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θε-ωρούνται διατεταγμένα. Το πρώτο άκρο λέγεταιαρχή ή σημείο εφαρμογής του διανύσματος, ενώτο δεύτερο λέγεται πέρας του διανύσματος. Το δι-άνυσμα με αρχή το Α και πέρας το Β συμβολίζεταιμε AB και παριστάνεται με ένα βέλος που ξεκινάει από το Α και καταλήγει στοΒ.Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος συμπίπτουν, τότε το διάνυσμα λέγε-ται μηδενικό διάνυσμα. Έτσι, για παράδειγμα, το διάνυσμα AA είναι μηδενικόδιάνυσμα.Για το συμβολισμό των διανυσμάτων χρησιμοποιούμε πολλές φορές τα μικράγγριαάμπαμραάταδετιογμυαε,λαλη, βνι,κ..ο.,ύu,ήv,τ.ο..υ λατινικού αλφάβητου επιγραμμισμένα με βέλος.● Η απόσταση των άκρων ενός διανύσματος AB , δηλαδή το μήκος του ευθύ-γραμμου τμήματος ΑΒ, λέγεται μέτρο ή μήκος του διανύσματος AB και συμβο-λίζεται με | AB | . Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1,τότε λέγεται μοναδιαίο διάνυσμα.● Η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται ένα μη μη-δενικό διάνυσμα AB λέγεται φορέας του AB .

12Ως φορέα ενός μηδενικού διανύσματος AA μπο-ρούμε να θεωρούμε οποιαδήποτε από τις ευθείεςπου διέρχονται από το Α.Αν ο φορέας ενός διανύσματος AB είναι παράλληλος ή συμπίπτει με μια ευθείαζ, τότε λέμε ότι το AB είναι παράλληλο προς τη ζ και γράφουμε AB / /ζ .● Δύο μη μηδενικά διανύσματα AB καιΓ∆ , που έχουν τον ίδιο φορέα ή παράλλη-λους φορείς, λέγονται παράλληλα ή συγ-γραμμικά διανύσματα. Στην περίπτωσηαυτή λέμε ότι τα AB και Γ∆ έχουν ίδιαδιεύθυνση και γράφουμε AB / /Γ∆ .Τα συγγραμμικά διανύσματα διακρίνονται σε ομόρροπα και αντίρροπα. Συγκε-κριμένα:– Δύο μη μηδενικά διανύσματα AB καιΓ∆ λέγονται ομόρροπα:α) όταν έχουν παράλληλους φορείς καιβρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προςτην ευθεία ΑΓ που ενώνει τις αρχές τους ήβ) όταν έχουν τον ίδιο φορέα και μία απότις ημιευθείες ΑΒ και ΓΔ περιέχει την άλλη.Στις περιπτώσεις αυτές λέμε ότι τα AB και Γ∆ έχουν την ίδια κατεύθυνση (ίδιαδιεύθυνση και ίδια φορά) και γράφουμε ΑΒ ↑↑ Γ∆ .

13– Δύο μη μηδενικά διανύσματα AB και Γ∆λέγονται αντίρροπα, όταν είναι συγγραμμι-κά και δεν είναι ομόρροπα. Στην περίπτωσηαυτή λέμε ότι τα διανύσματα AB και Γ∆έχουν αντίθετη κατεύθυνση (ίδια διεύθυνσηκαι αντίθετη φορά) και γράφουμε ΑΒ ↑↓ Γ∆ .Ίσα ΔιανύσματαΔύο μη μηδενικά διανύσματα λέγονται ίσαόταν έχουν την ίδια κατεύθυνση και ίσα μέ-τρα. Για να δηλώσουμε ότι δύο διανύσματαAB και Γ∆ είναι ίσα, γράφουμε AB = Γ∆ . Ταμηδενικά διανύσματα θεωρούνται ίσα μετα-ξύ τους και συμβολίζονται με 0 .Εύκολα αποδεικνύεται ότι:● Α ν AB = Γ∆ , τότε AΓ = Β∆ , ∆B = ΓΑ και BΑ = ∆Γ .● Αν Μ είναι το μέσον του ΑΒ, τότε AM = MB και αντιστρόφως.Αντίθετα ΔιανύσματαΔύο διανύσματα λέγονται αντίθετα, όταν έχουν αντίθετη κατεύθυνση και ίσαμέτρα. Για να δηλώσουμε ότι δύο διανύσματα AB και Γ∆ είναι αντίθετα, γρά-φουμε

14 AB = −Γ∆ ή Γ∆ = − AB.Είναι φανερό ότι AB = −Γ∆ ⇔ AB = ∆ΓΕιδικότερα, έχουμε ΒΑ = −ΑΒ .Γωνία δύο ΔιανυσμάτωνΈστω δύο μη μηδενικά διανύσματα α και  Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε β.τα διανύσματα OA = α και OB = β.Την κυρτή γωνία ΑΟˆΒ , που ορίζουν οι ημιευθείες ΟΑ και ΟΒ, την ονομάζουμε ∧∧γωνία των διανυσμάτων α και β και τη συμβολίζουμε με (α ,β ) ή (β ,α ) ήΕακύόκμοαλ,ααανποδδενεικπνρύοεκτααλιεόίτται ιησγύωγνχίυαστηω, νμεαένκααιμβικρεόίνγαριάαμνμεαξά, ργτιαητπηααρπάόδετιηγνμαεπθι-.λογή του σημείου Ο. Είναι φανερό επίσης ότι 0o ≤ θ ≤ 180o ή σε ακτίνια 0 ≤ θ ≤ πκαι ειδικότερα:  .●θ = 0 , αν α ↑↑ β .●θ = π , αν α ↑↓ β

15Αν θ = π , τότε λέμε ότι τα διανύσματα α και  β 2είναι ορθογώνια ή κάθετα και γράφουμε α ⊥  β.αΑνκέανιαβαμππόοτραοδύιμαενύνασμθαετωαρήασ,οβυμεείνοαπι οτιοαδμήηπδοεντεικγόωδνιίάανυθσμμεα,0τό≤τθε ως γωνία των ≤π .Έτσι, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το μηδενικό διάνυσμα, 0, είναι ομόρροπο ήαντίρροπο ή ακόμη και κάθετο σε κάθε άλλο διάνυσμα.ΕΦΑΡΜΟΓΗΈστω Μ το μέσο της πλευράς ΑΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ. Με αρχή το Μ γρά-φουμε τα διανύσματα Μ∆ = ΓΒ και ΜΕ = ΒΑ . Να αποδειχτεί ότι το Α είναιτο μέσο του ΔΕ.ΑΠΟΔΕΙΞΗΑρκεί να δείξουμε ότι ΔA = AE. Πράγματι, επειδήΜ∆ = ΓΒ , είναι ΜΓ = ∆Β (1)Όμως το Μ είναι μέσο του ΑΓ. Άρα, ΜΓ = ΑΜ (2)Επομένως, λόγω των (1) και (2), έχουμε ∆Β = ΑΜ , οπότε: ∆Α = ΒΜ (3)Επειδή επιπλέον ΜΕ = ΒΑ , έχουμε ΑΕ = ΒΜ (4)Έτσι, από τις σχέσεις (3) και (4) έχουμε ∆Α = ΑΕ . ■

161.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝΠρόσθεση ΔιανυσμάτωνΈστω δύο διανύσματα a και  Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε διάνυσμα β.OA = α και στη συνέχεια με αρχή το Α παίρνουμε δδιιαάννυυσσμμάατωAνMα= β . Το διά- και β καισνυυσμμβαολOίζMεταλι έμγεετααι+ άθροισμα ή συνισταμένη των β. α Θα αποδείξουμε ότι το άθροισμα των διανυσμάτων και β είναι ανεξάρτητοτης επιλογής του σημείου Ο. Πράγματι, αν O′ είναι ένα άλλο σημείο και πάρουμετα διανύσματα O′A′ = α και A′M ′ = β , επειδή OA = O′A′ = α και AM = A'M' = β ,έχουμε OO′ = AA′ και AA' = MM'. Επομένως, OO′ = MM ′, που συνεπάγεται ότικαι OM = O′M ′.Το άθροισμα δύο διανυσμάτων βρίσκεταικαι με το λεγόμενο κανόνα του παραλλη-λόγραμμου. Δηλαδή, αν με αρχή ένα ση-μείο Ο πάρουμε τα άδθιαρονύισσμμααταα OA =ακαι OB = β , τότε το +β ορί-ζεται από τη διαγώνιο ΟΜ του παραλλη-λόγραμμου που έχει προσκείμενες πλευ-ρές τις ΟΑ και ΟΒ.

17Ιδιότητες Πρόσθεσης ΔιανυσμάτωνΓια την πρόσθεση των διανυσμάτων αισ,χβύ,ογυνεοίνιαγιντωρσίατέδςιαιδνιύόστημταετςατ,ητςόπτερ:όσθεσηςπραγματικών αριθμών. Δηλαδή, αν(1) a +  =  + α (Αντιμεταθετική ιδιότητα) β β α(α++0β=) (2) + γ = α + (β + γ) (Προσεταιριστική ιδιότητα)(3) α (4) α + (−α) = 0 .ΑΠΟΔΕΙΞΗ● Από το προηγούμενο σχήμα έχουμε: α + β = OA + AM = OMκαι β + α = OB + BM = OM .Επομένως, α +  =  + α. β β● Από το διπλανό σχήμα έχουμε:(α + β ) + γ = (OA + AB) + BΓ = OB + BΓ = OΓ καια + (β + γ ) = OA + ( AB + BΓ ) = OA + AΓ = OΓ .Επομένως, (α +  + γ = α +  + γ) . β) (β● Οι ιδιότητες (3) και (4) είναι προφανείς. ■( ) ( )αΗτωθρπνορτίορσσιμώεατντααιδριιασαντυ+ισκβήμάι+δτωιγόντκηαατια, αβμ+ακςαβει π+γιγτ.ρΤέοπμεεάιθανρα+οισβσυμ+μαγβο,πλτεοίρζιοοσυπσμοόείτοεκρθαωαθνέλνέδαμιαεανάπυθόσρμτοαάιστίωσμαανα1,α2 ,α3 ,...,αν, ν ≥ 3 ορίζεται επαγωγικά ως εξής: + αν α1 + α2 + α3 + ... + αν = (α1 + α2 + α3 + ... + αν −1) .

18Για παράδειγμα, α1 + α2 + α3 + α4 = (α1 + α2 + α3 ) + α4Δηλαδή, για να προσθέσουμε ν διανύσματα α1,α2 ,α3 ,...,αν , τα καθιστούμε δια-δοχικά, οπότε το άθροισμά τους θα είναι το διάνυσμα που έχει ως αρχή την αρχήτου πρώτου και ως πέρας το πέρας του τελευταίου. Επειδή μάλιστα ισχύουν ηαντιμεταθετική και η προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης, το άθροισμα δεμεταβάλλεται αν αλλάξει η σειρά των προσθετέων ή αν μερικοί από αυτούς αντι-κατασταθούν με το άθροισμά τους.Αφαίρεση ΔιανυσμάτωντΗωδνιαδφιαονρυάσμαά−τωβνταουκδαιαι ν−ύβσμ. Δατηολςαδβή από το διάνυσμα α ορίζεται ως άθροισμα α −  = α + (−  β β)Σύμφωνα δμιεάντυασπμααραx,πτάέντωο,ιοα,νώέσχτοευμβε+δxύο= αδι.αΠνύρσάμγαμταατι,α και μοναδικό β , τότε υπάρχει + x = α ⇔  +  + x) =  + α ⇔  + x = α +  ⇔ x = α −  .β (−β ) (β (−β ) 0 (−β ) β

19Διάνυσμα ΘέσεωςΈστω Ο ένα σταθερό σημείο του χώρου. Τότε γιακάθε σημείο Μ του χώρου ορίζεται το διάνυσμαΟΜ , το οποίο λέγεται διάνυσμα θέσεως του Μή διανυσματική ακτίνα του Μ. Το σημείο Ο, πουείναι η κοινή αρχή όλων των διανυσματικών ακτί-νων των σημείων του χώρου, λέγεται σημείο ανα-φοράς στο χώρο.Αν Ο είναι ένα σημείο αναφοράς, τότε για οποιοδήποτε διάνυσμα ΑΒ έχουμεOA + AB = OB και επομένως AB = OB − OAΔηλαδή:“Κάθε διάνυσμα στο χώρο είναι ίσο με τη διανυσματική ακτίνα του πέρατοςμείον τη διανυσματική ακτίνα της αρχής”.Μέτρο Αθροίσματος ΔιανυσμάτωνΣτο δτωιπνλαδιναόνυσσχμήμάταωβνλαέποκυαμι εβτ.οΑάπόθρτοηιν-σματριγωνική ανισότητα γνωρίζουμε όμωςότι| (OA) − ( AB) |≤ (OB) ≤ (OA) + ( AB)και επομένως |α|−|β| ≤|α + β|≤|α|+|β|ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ1. Για τέσσερα σημεία Α, Β, Γ, Δ να αποδειχτεί ότι AB + ∆Γ = ∆Β + ΑΓ .

20ΑΠΟΔΕΙΞΗΑν Ο είναι ένα σημείο αναφοράς, τότε έχουμε:AB + ∆Γ = OB − OA + OΓ − O∆ = OB − O∆ + OΓ − OA = ∆B + AΓ .2. Να αποδειχτεί ότι | α  + γ | ≤ | α |  | + | γ |. +β +|βΑΠΟΔΕΙΞΗ     β β) β βΈχουμε | α + + γ |=| (α + + γ |≤| α + | + | γ |≤| α | + | | + | γ |. ΑΣΚΗΣΕΙΣ  1. Οι δυνάμεις F1, F2 , ..., F5 ασκούνται στο σώμα Σ. Ποια δύναμη χρειάζε- ται, ώστε να μην αφήσει το σώμα Σ να μετακινηθεί από τη θέση του;2. Δίνεται ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ και έστω α,  γ και  τα αντίστοιχα β, δ διανύσματα θέσεως ως προς ένα σημείο αναφοράς Ο. Τι μπορείτε να π((iiεi)iί τ) εααγ++ιαγγτ==ο τετράπλευρο ΑΒΓΔ αν: α −γ |=|   β + δ και |(αii)− γ | |=| β − δ β − δ | β +δ |3. Να εκφράσετε το διάνυσμα x σε καθένα από τα παρακάτω σχήματα ως συνάρτηση των άλλων διανυσμάτων που δίνονται:

21 4. Α ν για δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = Α∆ + ΑΕ , να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΒΔΓΕ είναι παραλληλόγραμμο. 5. Δ ίνονται τέσσερα σημεία Α, Β, Γ, Δ και έστω Ο, το μέσο του τμήματος ΑΓ. Να αποδείξετε ότι ΟΒ +Ο∆ = ΑΒ − ∆Γ . 6. Δ ίνεται κανονικό εΓξ∆άγωωςνοσυΑνΒάΓρΔτΕησΖη. ΑτνωνΑαΒ =α και BΓ = β , να εκφρά- σετε το διάνυσμα και β. 7. Γ ια ένα τυχαίο εξάγωνο P1P2P3P4P5P6 να αποδείξετε ότι → → → → → →  P1P3 + P2 P4 + P3P5 + P4 P6 + P5 P1 + P6 P2 = 01.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑΟρισμός Πολλαπλασιασμού Αριθμού με ΔιάνυσμαΈστω λ ένας πραγματικός αριθμός μαε λ≠0 και α ένα μη μμηεδλεν⋅ιακό ήδιάλναυσέμναα.Ονομάζουμε γινόμενο του λ με το συμβολίζουμε και τοδιάνυσμα το οποίο:● έεχίνεαι ιμοέμτρόορρ|ολπ|ο| ατο|υ. α , αν λ >0 και αντίρροπο του α, αν λ <0 και●Αν είναι λ =0 ή α =  τότε ορίζουμε ως λ ⋅α το μηδενικό διάνυσμα  0, 0.

22Για παράδειγμα, αν το διάνυσμα α του διπλα-|3ανμ3αονεαύτ|ί|ερ=−σίρ3ν3χαοαή|παιμ|=οα|ο|=μ−τμο3ε3ός|⋅τρ2|ορέα=χοα|επ=6,ιο,α3μελ⋅μνέ2λτώεά=ροτέτ6οχο.ε2δι,ιακάτανόιυτκαεσαυμιτταοόέχ−μδε3έιιάατνρμυοεέσίτίνμσρααοοιΤο γινόμενο 1 ⋅α το συμβολίζουμε και με α . λ λΙδιότητες Πολλαπλασιασμού Αριθμού με ΔιάνυσμαΓια το γινόμενο πραγματικού αριθμού με διάνυσμα ισχύουν οι επόμενες ιδιότη-τες: (1) λ(λλ((αµ+α+µ))βα=) = λα +  (2) = λα + λβ (3) (λµ )α µαΑΠΟΔΕΙΞΗ*(1) Υποθέτουμε ότι τα διανύσματα α και  βείναι μη μηδενικά και ότι λ ≠ 0. Παίρνουμεένα σημείο Ο και σχεδιάζουμε τα διανύσμα-τα OA = α, AB = β . Τότε είναι OB = α + β .Σχεδιάζουμε επιπλέον τα διανύσματαOA′ = λα και OB′ = λ(α + β ). Επειδή (ΟΑ′) = (ΟΒ ′) =| λ |, (ΟΑ) (ΟΒ )τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΑ′Β ′ είναι όμοια και επομένως η πλευρά Α′Β ′ είναι πα-ράλληλη με την ΑΒ και ισχύει (Α′Β ′) =| λ |. (ΑΒ )

23Αυτό σημαίνει ότι A′B′ = λ ⋅ AB = λβ .μΕεπολμ(αέν+ωβς,) ε=πλειαδ ή+ OB′ = OA′ + A′B′, έχου- λβ .Η ιδιότητα ισχύει τπαροδφιααννύώσςμκααται όατακναέινβατουλάχιστον απόείναι το μηδενικό ή όταν ο αριθμός λ είναιμηδέν.Η απόδειξη των ιδιοτήτων (2) και (3)αφήνεται ως άσκηση. ■Ως συνέπεια του ορισμού του γινομένου αριθμού με διάνυσμα και των παραπά-νω ιδιοτήτων έχουμε: (i) λα = 0 ⇔ λ = 0 ή α = 0 (ii) (−λα ) = λ(−α ) = −(λα ) (iii) λ(α − β ) = λα − λβ (iv) (λ − µ)α = λα − µα (v) Αν λα = λβ και λ ≠ 0, τότε α = β (vi) Αν λα = µα και α ≠ 0, τότε λ = µ.Γραμμικός Συνδυασμός ΔιανυσμάτωνΓΑνΚτεαςανθιιθ”έκεν,άωαγ,ριαοαήνπσποόοαμυρτάμάαζεδεδετδιιααγύιμνούγαδσρ, ιματαααμντμύδασιιακμανόαυύςττσαάσμυααλντέδαγκυεαταγιασ=ιβμγ3.όαρΑςα+πμδό5ύμβοιτκ,αόδδςιδα=ισναυυ−ννσ2ύδαμσυάμ+ατασ3ωτβμναόκςαατυλττω.κάανι“απβακρακάιάγβθοε-.διάνυσμα της μορφής v = κα + λβ, όπου κ, λ ∈ R.Ανάλογα ορίζεται και ο γραμμικός συνδυασμός τριών ή περισσότερων διανυ-κσόμςάτσωυνν.δυΈατσσμι,όγςιατωπναραά, δβεικγμααι ,γτ.ο διάνυσμα v = 3α − 2β + 5γ είναι ένας γραμμι-

24Συνθήκη Παραλληλίας ΔιανυσμάτωνυΌσαπτπρ=άωορλςφχβεεοιί,.δΔμταόηομτλνεεαα, δαδτιαήνκ,δόδαύςιναοαντδύραισιαθδμνμιύααόστνςαμύσαλαμτυατατέτάαταοεκιαοίανςιακβιώαπσ,ι αότβεπροάαευλίλν=βηαλλι≠απ⋅ .β0αΙρ.,σάσΠχλυύρλνεάηδιγλέόμαομανκωττααις,ιι με τη σχέση | α και το αντί- β ≠ 0 , τότε αν θέσουμεκ = | , τότε | α |= κ |  |. Συνεπώς: β |β |● Αν α ↑↑  , τότε α =  β κβ .● Αν α ↑↓  τότε α =  β, −κβ .  ● Αν α = 0, τότε α = 0⋅β.τΣοειοκςά,θώεσλτοειπαό=ν περίπτωση υπάρχει λ και μάλιστα μοναδικός (ιδιότητα iv), τέ- λ ⋅ β . Επομένως:ΘΕΩΡΗΜΑ Αν α ,  είναι δύο διανύσματα, με   β β ≠ 0 , τότε α /  ⇔ α =  λ ∈ R. /β λβ ,Για παράδειγμα, στο παρακάτω σχήμα αν Δ και Ε είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒκαι ΑΓ του τριγώνου ΑΒΓ, έχουμε: BΓ = BA + AΓ = 2∆A + 2AΕ = 2(∆ A + AE) = 2∆E .Αφού λοιπόν BΓ = 2∆E , συμπεραίνουμε ότι Α Ε Δ Γ∆Ε / /ΒΓ και | BΓ |= 2 | ∆E | , που σημαίνει Βότι ∆Ε = 1 ΒΓ . Ξαναβρίσκουμε δηλαδή τη 2γνωστή μας από την Ευκλείδεια Γεωμετρίασχέση ∆Ε = / / ΒΓ . 2

25Διανυσματική Ακτίνα Μέσου ΤμήματοςΑς πάρουμε ένα διάνυσμα AB και ένα σημείοαναφοράς Ο. Επειδή AM = MB , έχουμε OM − OA = OB − OM ,οπότε 2OM = OA + OBκαι άρα OM = OA + OB 2ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ1* Να αποδειχτεί ότι: (i) Ένα σημείο G είναι το βαρύκεντρο ενός τριγώνου ΑΒΓ, αν και μόνο αν ισχύει GA + GΒ + GΓ = 0 και (ii) Αν G είναι το βαρύκεντρο του ΑΒΓ, τότε για οποιοδή-ποτε σημείο Ο ισχύει ( ).ΑΠΟΔΕΙΞΗ(i) Γνωρίζουμε από την Ευκλείδεια Γεωμετρία ότι αν G είναι το κέντρο βάρουςτου τριγώνου ΑΒΓ, τότε ΑG = 2G∆ , όπου ΑΔ η διάμεσος του τριγώνου. Επομέ-νως, ισχύει AG = 2G∆ , οπότε έχουμε GA + GB + GΓ = GA + 2G∆ = GA + AG = GG = 0.Αντιστρόφως, αν για ένα σημείο G ισχύει GA + GB + GΓ = 0 , τότε θα έχουμεGA + 2G∆ = 0 , όπου Δ το μέσον της ΒΓ, οπότε θα ισχύει AG = 2G∆ . Έτσι, το ση-μείο G ανήκει στη διάμεσο ΑΔ και ισχύει ΑG = 2G∆ . Άρα, το G είναι το κέντροβάρους του τριγώνου ΑΒΓ.(ii) Από τη σχέση GA + GB + GΓ = 0 έχουμε: OA − OG + OB − OG + OΓ − OG = 0 . Άρα

262. Να αποδειχτεί ότι τα ευθύγραμμα τμήματα που ορίζουν τα μέσα των απέναντι πλευρών ενός τετραπλεύρου και τα μέσα των διαγωνίων του διέρχονται από το ίδιο σημείο και διχοτομούνται από το σημείο αυτό.ΑΠΟΔΕΙΞΗ  Έστω α, β, γ, δ τα διανύσματα θέσεως τωνκορυφών Α, Β, Γ, Δ, αντιστοίχως, ενός τετρά-πλευρου ΑΒΓΔ ως προς ένα σημείο αναφο-ράς Ο.Τα διανύσματα θέσεως των μέσων Η της ΒΓκαι Θ της ΑΔ είναι 1  + γ) και 1 (α +  (β δ) 22αντιστοίχως και το διάνυσμα θέσεως του μέ-σου G του ΗΘ είναι το1  1  + γ) + 1 (α + δ) = 1 (α +  + γ + 2  2 (β 2 4 β δ ).Ομοίως βρίσκουμε ότι το διάνυσμα θέσεωςτων μέσων των τμημάτων ΕΖ και ΙΚ είναι το 1 (α +  + γ +  . Άρα τα τμήματα β δ) 4ΗΘ, ΕΖ και ΙΚ διέρχονται από το ίδιο σημείο και διχοτομούνται από αυτό. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Αν α είναι ένα διάνυσμα, τι μπορείτε να πείτε για το μέτρο και την κατεύ- θυνση του διανύσματος α0 = | α1 ⋅α ; |2. Να βρείτε το διάνυσμα x σε καθεμιά από τις περιπτώσεις: (i) 1 ( x + α) = 1 ( x +  (ii) x + 3(α +  = 4(α −  − 3x . β) β) β) 233. Α ν στο διπλανό σχήμα είναι (ΒΜ ) = 2(ΜΓ ) , να αποδείξετε ότι x = 1  + 2γ). (β 3

274. Στο διπλανό σχήμα έχουμε: ∆Ε = 2EB, ΑΒ = α , ∆Γ = 2α κταωιν∆αΑ =β.  (i) Ν α εκφράσετε συναρτήσει και βτα διανύσματα ∆Β , ΕΒ , ΓΒ , ΑΕ και ΕΓ .(ii) Από τις εκφράσεις των ΑΕ και ΕΓ ποιο συμπέρασμα προκύπτει για τα σημεία Α, Ε και Γ ;5. Στο παρακάτω σχήμα να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Γ και Ε είναι συνευθειακά.6. Αν ΑΚ + 3ΒΚ − 2Β A = ΒΛ + 3ΑΜ , να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά.7. Αν ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ είναι διάμεσοι τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι Α∆ + ΒΕ + ΓΖ = 0 .8. Αν Κ, Λ, Μ είναι τα μέσα των πλευρών ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ, αντιστοίχως, τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε σημείο Ο ισχύει: ΟΑ +ΟΒ +ΟΓ = ΟΚ +ΟΛ +ΟΜ .9. Α ν Μ και Ν είναι τα μέσα των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ, αντιστοίχως, ενός τετραπλεύρου ΑΒΓΔ, να αποδείξετε ότι AΒ + Α∆ + ΓΒ + Γ∆ = 4ΜΝ .10. Δ ίνεται το μη μηδενικό διάνυσμα AΒ και σημείο Γ τέτοιο ώστε να ισχύει ΑΓ = λ AΒ και ΒΓ = µ AΒ . Να αποδείξετε ότι λ − µ = 1.11. Δ ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν A∆ = κ AB + λ AΓ και ΑΕ = λ ΑΒ + κ AΓ . να απο- δείξετε ότι ∆Ε / /ΒΓ .

28 Β΄ ΟΜΑΔΑΣ 1. Στο διπλανό σχήμα είναι A∆ = 1 AB και 3 AE = − 1 AΓ . Αν G είναι το κέντρο βάρους 3 του τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑGΔΕ είναι παραλληλό- γραμμο.2. Θ εωρούμε ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και δύο σημεία Ε και Ζ τέτοια, ώστε AE = κ A∆ και AZ = λ AB, όπου λ = κ , με κ ≠ 1. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Ε, Γ και Ζ είναι συνευθειακά. κ −13. Ν α αποδείξετε ότι αν ισχύουν δύο από τις σχέσεις xKA + yKB + zKΓ = 0, xΛ A + yΛB + zΛΓ = 0 , x + y + z = 0 , τότε θα ισχύει και η τρίτη (το σημείο Κ είναι διαφορετικό από το Λ).4. Α ν α,  r είναι οι διανυσματικές ακτίνες των σημείων Α, Β και Μ αντι- β καιστοίχως και ΜΑ = κ , να αποδείξετε ότι αν το Μ είναι εσωτερικό του ΑΒ, ΜΒ λτότε r = λα + κβ , ενώ αν το Μ είναι εξωτερικό του ΑΒ, τότε r = λα −  . λ +κ κβ λ −κ5. Δ ίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Να βρείτε σημείο Μ τέτοιο, ώστε να ισχύει MA + MB + M Γ = M ∆6. Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και έστω Μ και Ν τα μέσα των διαγωνίων του ΑΓ και ΒΔ αντιστοίχως. Να αποδείξετε ότι αν 4MN = A∆ − BΓ , τότε το τε- τράπλευρο αυτό είναι παραλληλόγραμμο.

297. Αν G και G′ είναι τα βαρύκεντρα δύο τριγώνων ΑΒΓ και Α′Β ′Γ ′, να απο- δείξετε ότι AA′ + BB′ + ΓΓ ′ = 3GG′ .8. Δίνονται τα σημεία Α, Β και Γ. Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε σημείο Μ το διάνυσμα 3MA − 5MB + 2M Γ είναι σταθερό.9. Σ το διπλανό σχήμα το ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο με ( AB) = 2(Γ∆) , το ΚΑΛΒ παραλληλόγραμμο και το Ι μέσο του ΓΔ. Να αποδείξετε ότι: (i) KΓ = − 1 KA και K ∆ = − 1 KB 2 2 (ii) τα σημεία Ι, Κ, Λ είναι συνευθειακά. 1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟΆξοναςΠάνω σε μια ευθεία x′x επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμαOI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία Οx. Λέμε τότε ότι έχουμεέναν άξονα με αρχή το Ο και μοναδιαίο διάνυσμα το OI = i και τον συμβολί-ζουμε με x′x. Η ημιευθεία Οx λέγεται θετικός ημιάξονας Οx, ενώ η Οx′ λέγεταιαρνητικός ημιάξονας Οx′.Αν, τώρα, πάνω στον άξονα x′x πάρουμε ένα σημείο Μ, επειδή OM / /i , θα υπάρ-χει ακριβώς ένας πραγματικός αριθμός x τέτοιος ώστε OM = x ⋅ι . Τον αριθμό

30x τον ονομάζουμε τετμημένη του Μ. Αλλά και αντιστρόφως, από την ισότηταOM = x ⋅ι προκύπτει ότι σε κάθε πραγματικό αριθμό x αντιστοιχεί μοναδικό ση-μείο Μ του άξονα x′x με τετμημένη x. Το σημείο αυτό συμβολίζεται με Μ (x).Καρτεσιανό ΕπίπεδοΠάνω σε ένα επίπεδο σχεδιάζουμεδύο κά θετους άξονες x′x και y′y με κοινή αρχήΟ και μοναδιαία διανύσματα τα i και j . Λέμε τότε ότι έχουμε ένα ορθοκανο-νικό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδοή απλούστερα ένα σύστημα συντεταγμένωνστο επίπεδο ή ακόμα ένα καρτεσιανό επίπε-δο και το συμβολίζουμε με Οxy. Το σύστημαΟxy λέγεται ορθοκανονικό, γιατί είναι ορθο-γώνιο και κανονικό. Ορθογώνιο είναι, γιατίοι άξονες x′x και y′y είναι κάθετοι, και κα-νονικό, γιατί τα διανύσματα i και j είναιισομήκη.Πάνω στο καρτεσιανό επίπεδο Οxy παίρνουμε ένα σημείο Μ. Από το Μ φέρνου-με την παράλληλη στον y′y, που τέμνει τον x′x στο Μ1, και την παράλληλη στονx′x, που τέμνει τον y′y στο Μ2. Αν x είναι η τετμημένη του Μ1 ως προς τον άξοναx′x και y η τετμημένη του Μ2 ως προς τον άξονα y′y, τότε ο x λέγεται τετμημένητου Μ και ο y τεταγμένη του Μ. Η τετμημένη και η τεταγμένη λέγονται συντε-ταγμένες του Μ. Έτσι σε κάθε σημείο Μ του επιπέδου αντιστοιχεί ένα ζεύγοςσυντεταγμένων.Αλλά και αντιστρόφως σε κάθε ζεύγος (x, y) πραγματικών αριθμών αντιστοιχείμοναδικό σημείο του επιπέδου, το οποίο βρίσκεται ως εξής: Πάνω στον άξοναx′x παίρνουμε το σημείο M1(x) και στον y′y το σημείο M 2 ( y). Από τα Μ1 και Μ2φέρνουμε παράλληλες στους άξονες y′y και x′x αντιστοίχως, που τέμνονται στοΜ. Το σημείο Μ είναι το ζητούμενο. Ένα σημείο Μ με τετμημένη x και τεταγμένηy συμβολίζεται και με M ( x, y) ή απλά με ( x, y).

31Συντεταγμένες ΔιανύσματοςΈστω Οxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και α ένα διάνυσμα τουεπιπέδου. Με αρχή το Ο σχεδιάζουμε το διάνυσμα OA = α . Αν A1 και A2 είναι οιπροβολές του Α στους άξονες x′x και y′y αντιστοίχως, έχουμε: OA = OA1 + OA2 (1)Αν x, y είναι οι συντεταγμένες του A, τότεισχύει OA1 = xι και OA2 = yj . Επομένως η ισό-τητα (1) γράφεται   xi yj α = +Αποδείξαμε δηλαδή ότι το α είναι γραμμικόςσυνδυασμός των i και j.Στην παραπάνω κατασκευή οαι αριθμοί x και y είναι μοναδικοί. Θ α αποδείξουμετώρα ότι και η έκφραση του ως γραμμικού συνδυασμού των i και j είναι μο-ναδική. Πράγματι, έστω ότι ισχύει και α = x′i + y′j .Τότε θα έχουμε    ( xi +x′)yij = x′i + y′j x− = ( y′ − y) jΑν υποθέσουμε ότι x ≠ x′, δηλαδή ότι x − x′ ≠ 0, τότε θα ισχύει  = y′ − y  i x − x′ j  Η σχέση αυτή, όμως, δηλώνει ότι i / / j , που είναι άτοπο, αφού τα i και jδεν είναι συγγραμμικά. Επομένως x = x′, που συνεπάγεται ότι και y = y′.Ώστε:“αΚ=άxθiε+διyάj ”ν.υσμα α του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή  και  λέγονται συνιστώσες του διανύσματος α κατά τηΤα διανύσματα  xi yjτδοιευύθαυνσστηο των i και j αντιστοίχως, ενώ οι αριθμοί x, y λτέεγτομνητμαέι νσηυνττοευτααγμκέανιεος σύστημα Οxy. Πιο συγκεκριμένα, ο x λέγεται

32y λέγεται τεταγμένη του α. Από τον τρόπο που ορίστηκαν οι συντεταγμένες ενόςδιανύσματος προκύπτει ότι:“Δύο διανύσματα είναι ίσα αν και μόνο αν οι αντίστοιχες συντεταγμένες τουςείναι ίσες”.Καθένα από τα ίσα διανύσματα με τετμημένη x και τεταγμένη y, θα το συμβολί-ζουμε με το διατεταγμένο ζεύγος ( x, y).Συντεταγμένες Γραμμικού Συνδυασμού ΔιανυσμάτωνεΠτΑ●●οπ νρ υιπαάλγγέγαν+ιδμωνο=βαορυτμλί=,ιζέ,(οτν(xαόυx1οiν1τμυiε+εα+λμyτyα1=πι1ςjο,(j)σxρ)λ=1+ου,∈(νύy(λ1τμxR)εx2ε1iτκκ)αν+iααγα+ιιyμ2βγ(έβλjερν)νεοy=ι=1ςύκ)((μάxδjx2εύ1κ,ο+τyάι2θδxς)2ει,ασ)iγτνυρό+υνατστ(εμεμyμτ1έάαχ+ιτκογωοyμυ2ύνμέ)νεσjαε:υςνκτδαουιυασβαμθορτύοουίτσωκμνααρτατοεςσκαιααι+νοββύ.,Επομένως  β α + = ( x1 + x2 , y1 + y2 ) και λα = (λ x1, λ y1)ή ισοδύναμα (x1, y1) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) λ(x1, y1) = (λ x1, λ y1)Γενικότερα, για το γραμμικό συνδυασμό λα +  έχουμε: µβ λα +  = (λ x1, λ y1 ) + (µ x2 , µ y2 ) = (λ x1 + µ x2 , λ y1 + µ y2 ) . µβΓια παράδειγμα, αν α = (1, −1) και  = (1, 2), τότε β α  α +2βα==(12,(1−,1−)1+) (1, 2) = (2,1), 2α = (2, −2),και − β = (1, −1) − (1, 2) = (1, −1) + (−1, −2) = (0, −3), − β = 2(1, −1) − (1, 2) = (2, −2) + (−1, −2) = (1, −4)

33Συντεταγμένες Μέσου ΤμήματοςΑς θεωρήσουμε δύο σημεία Α(x1, y1) και Β (x2 , y2 ) του καρτεσιανού επιπέδουκαι ας υποθέσουμε ότι (x, y) είναι οι συντεταγμένες του μέσου Μ του ΑΒ.Επειδή OM = 1 (OA + OB), και 2OM = (x, y), OA = (x1, y1), OB = (x2 , y2 ),έχουμε(x, y) = 1 [( x1 , y1 ) + (x2 , y2 )] =  x1 + x2 , y1 + y2  2  2 2 Επομένως ισχύει x = x1 + x2 και y = y1 + y2 . 2 2Συντεταγμένες Διανύσματος με Γνωστά ΆκραΑς θεωρήσουμε δύο σημεία Α(x1, y1) καιΒ (x2 , y2 ) του καρτεσιανού επιπέδου καιας υποθέσουμε ότι (x, y) είναι οι συντε-ταγμένες του διανύσματος AB. Επειδή,AB = OB − OA , AB = (x, y) , OB = (x2 , y2 ),και OA = (x1, y1) ,έχουμε: (x, y) = (x2 , y2 ) − (x1, y1) = (x2 − x1, y2 − y1).Επομένως:Οι συντεταγμένες (x, y) του διανύσματος με άκρα τα σημεία A(x1, y1) καιΒ (x2 , y2 ) δίνονται από τις σχέσεις x = x2 − x1 και y = y2 − y1 .

34Δηλαδή τετμημένη του AB = τετμημένη του Β ‒ τετμημένη του Α τεταγμένη του AB = τεταγμένη του Β ‒ τεταγμένη του Α.Για παράδειγμα, το διάνυσμα AB με αρχή τδοηλΑαδ(1ή, 2ε)ίνκααιιίσποέρμαεςττοοαΒ=(3(,27,)5)έ. χεισυντεταγμένες x = 3 −1 = 2 και y= 7− 2 = 5,Μέτρο Διανύσματος● Έστω α = (x, y) ένα διάνυσμα του καρτεσι-ανού επιπέδου και Α το σημείο με διανυσματι-κή ακτίνα OA = α . Αν A1 και A2 είναι οι προβο-λές του Α στους άξονες x′x και y′y αντιστοίχως,επειδή το σημείο Α έχει τετμημένη x και τεταγ-μένη y, θα ισχύει (ΟΑ1) =| x | και (ΟΑ2 ) =| y |.Έτσι θα έχουμε: | α |2 = (ΟΑ)2 = (ΟΑ1)2 + (Α1Α)2 = (ΟΑ1)2 + (ΟΑ2 )2 =| x |2 + | y |2 = x2 + y2.Επομένως: Αν α = (x, y) , τότε | α |= x2 + y2 (1)Για παράδειγμα, αν α = (5,12), τότε | α |= 52 +122 = 13.● Ας θεωρήσουμε τώρα δύο σημεία Α(x1, y1)και Β (x2 , y2 ) του καρτεσιανού επιπέδου.Επειδή η απόσταση (ΑΒ ) των σημείων Ακαι Β είναι ίση με το μέτρο του διανύσματοςAB = (x2 − x1, y2 − y1), σύμφωνα με τον τύπο (1)θα ισχύει: (ΑΒ ) = (x2 − x1)2 + ( y2 − y1)2 (2)

35Επομένως: Η απόσταση των σημείων Α(x1, y1) και Β (x2 , y2 ) είναι ίση με (ΑΒ ) = (x2 − x1)2 + ( y2 − y1)2Για παράδειγμα, η απόσταση των σημείων Α(2, −7) και Β (5, −3) είναι ίση με(ΑΒ ) = (5 − 2)2 + (−3 + 7)2 = 32 + 42 = 5.ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ1. Αν Α(−2,1) και Β (1, 4) είναι οι δύο κορυφές του παραλληλόγραμμου ΑΒΓΔ και Κ (2, −3) το κέντρο του, να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Γ και Δ.ΛΥΣΗΑν Γ (x1, y1) και ∆(x2 , y2 ) είναι οι δύο άλλες κο-ρυφές του παραλληλόγραμμου, επειδή το Κ είναιτο μέσον των ΑΓ και ΒΔ, έχουμε:  x1 + (−2) = 2  x2 + 1 = 2  2  2 4 = −3  και  .  y1 +1 = −3  y2 +  2  2Επομένως,  x1 = 6 και  x2 = 3 .  y1 = −7  y2 = −10  Άρα, οι συντεταγμένες των κορυφών Γ και Δ είναι (6, −7) και (3, −10) αντιστοίχως.2.* Ν α βρεθούν οι συντεταγμένες του κέντρου βάρους G του τριγώνου ΑΒΓ, αν είναι γνωστές οι συντεταγμένες των κορυφών του.ΛΥΣΗΑν (x1, y1) , (x2 , y2 ) , (x3 , y3 ) είναι οι συντεταγμέ-νες των κορυφών Α, Β, Γ αντιστοίχως και (x, y)είναι οι συντεταγμένες του κέντρου βάρους του

36ΑΒΓ, επειδή OG = OA + OB + OΓ (Εφαρμ. 1 § 1.3), θα έχουμε: 3 (x, y) = (x1, y1) + (x2 , y2 ) + (x3 , y3 ) 3 = (x1 + x2 + x3 , y1 + y2 + y3 ) =  x1 + x2 + x3 , y1 + y2 + y3  3  3 3 Άρα x1+ x2+ x3 y1 + y2 + y3 3 3 x = , y = .Συνθήκη Παραλληλίας ΔιανυσμάτωνΈστω α = (x1, y1) και  δύο διανύσματα του καρτεσ ιανού επιπέδου. β = (x2 , y2 )— Αν τα ,δτιαέντούισομςα, τώασετίενααι παρά λληλα και υποθέσουμε ότι β≠ 0 , τότε θα υπάρ-χει λ ∈ R = λβ . Επομένως, θα έχουμε ( x1 , y1) = λ(x2 , y2 ) ή ισο-δύναμα: x1 = λ x2 και y1 = λ y2 ,οπότε θα ισχύει x1 y2 − y1x2 = λ x2 y2 − λ y2 x2 = 0 ή ισοδύναμα x1 y1 = 0. x2 y2  x=1 y1 x=1 y1 0 .— Αν β = 0, τότε θα ισχύει x2 y2 0 0Δείξαμε δηλαδή ότι αν τα διανύσματα α και  είναι παράλληλα, τότε β x1 y1 = 0. x2 y2● Αντιστρόφως, αν x1 y1 = 0, τότε τα διανύσματα α και  θα είναι παράλληλα. x2 β y2Πράγματι, επειδή x1 y1 = 0, έχουμε x1 y2 = x2 y1 . x2 y2Επομένως,— Αν x2 ≠ 0, τότε y1 = x1 y2, οπότε, αν θέσουμε x1 = λ, θα έχουμε x2 x2 x1 = λ x2 και y1 = λ y2 .Άρα, α  και συνεπώς α / /  . = λβ β

37— Αν x2 = 0, τότε x1 y2 = 0 , οπότε αν x1 = 0, τα διανύσματα α και  θα είναι βπαράλληλα προς τον άξονα των τεταγμένων, άρα και μεταξύ τους παράλληλα,ενώ, αν αy .2 = 0, τότε το β θα είναι το μηδενικό διάνυσμα και άρα, παράλληλοπρος τοΑποδείξαμε λοιπόν ότι α / /  ⇔ x1 y1 =0 (1) β y2 x2Την ορίζουσα x1 y1 , που έχει ως 1η τη γραμμή τις συντεταγμένες του δια- x2 y2ονβύροσλίζμίοζαουτυσομαςεταμωενκdδαeιιtα(ωανςυ, βσ2μη) .άγΈτρωτασνμιμ,αήη τις συντεταγμένες του διανύσματος  τη λέμε και β (με τη σειρά που δίνονται) και β, τη συμ- παραπάνω ισοδυναμία διατυπώνεται θα εξής: ως α / /  ⇔ det(α,  = 0 β β)Για παράδειγμα:  β = (3, − 3)— Τα διανύσματα α = ( 3, −1) και είναι παράλληλα, αφούdet(α,  = 3 −1 = −3 + 3 = 0, ενώ β) 3 −3 — Τα διανύσματα α = (2,3) και β = (−1, 2) δεν είναι παράλληλα, αφούdet(α,  = 2 3 = 4+3 = 7 ≠ 0. β) −1 2Συντελεστής Διεύθυνσης Διανύσματος● Έστω α = (x, y) ένα μη μηδενικό διάνυσμακαι A το σημείο του επιπέδου για το οποίοισχύει OA = α. Τη γωνία ϕ , που διαγράφει οημιάξονας Οx αν στραφεί γύρω από το Ο κατάτη θετική φορά μέχρι να συμπέσει με την ημι-ευθεία ΟΑ, δτηιάννυοσνμομαάζαο υμμεε γωνία που σχη-ματίζει το τον άξονα x′ x. Είναι φανερό ότι 0 ≤ ϕ < 2π .

38Για τη γωνία φ, όπως είναι γνωστό από την Τριγωνομετρία, αν το α δεν είναιπαράλληλο προς τον άξονα y′y, ισχύει εϕϕ = y . xΤο πηλίκο y της τεταγμένης προς την τετμημένη του διανύσματος α = (x, y),με x ≠ 0, το x συντελεστή διεύθυνσης του α και τον συμβολίζουμε με λα ή λέμεαπλώς με λ. Επομένως: λ = y = εϕϕ xΕίναι φανερό ότια— εΑίνναιyο= 0, δηλαδή αν α / / x′x, τότε ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος λ = 0. α / / y′y , τότε δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης του— Αν x = 0 , δαη.λαδή ανδιανύσματος● Ας θεωρήσουμε τώρα δύο διανύσματα α = (x1, y1) και  με συντελε- β = (x2 , y2 )στές διεύθυνσης λ1 και λ2 αντιστοίχως. Τότε έχουμε τις ισοδυναμίες: α / /  ⇔ x1 y1 = 0 ⇔ x1 y2 = x2 y1 ⇔ y1 = y2 ⇔ λ1 = λ2. β y2 x1 x2 x2 Επομένως, η συνθήκη παραλληλίας για δύο διανύσματα α και β με συντελε-στές διεύθυνσης λ1 και λ2 διατυπώνεται ως εξής: α β λ1 λ2ΕΦΑΡΜΟΓΗΝα βρεθούν οι τιμές του µ ∈ R για τις οποίες τα σημεία Α(1, 0), Β (−µ 2 , 3) καιΓ (−5µ, 9) είναι συνευθειακά.ΛΥΣΗΤα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά, αν και μόνο αν τα διανύσματα AB = (−µ 2 −1, 3)και AΓ = (−5µ −1, 9) είναι παράλληλα, δηλαδή, αν και μόνο αν det(AB, AΓ ) = 0 .

39Έχουμε λοιπόν det(AB, AΓ ) = 0 ⇔ −µ 2 −1 3 = 0 −5µ −1 9 ⇔ −9µ 2 − 9 +15µ + 3 = 0 ⇔ 3µ 2 − 5µ + 2 = 0 ⇔ µ =1 ή µ = 2 . 3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Ποια είναι η θέση στο καρτεσιανό επίπεδο των σημείων M (x, y) για τα οποία ισχύει: (i) | x |= 2 (ii) | x |< 2 (iii) | y |> 2 (iv) | x |=| y |.2. Ν α βρείτε τις αποστάσεις των παρακάτω σημείων από τους άξονες x′x και yy′: Α(−1, 2), Β (3, 4), Γ (−5, −6), ∆(α −1, β + 2), M (x, y). 3 . Δ (ίiν)εατα=ι τ0ο;δ ι ά ν υ(σiiμ)ααα≠ = (λ2 − α4, λ 2− 3λ + 2), λ ∈ R. Για ποια τιμή του λ είναι: 0 και // x′x ;4. αΔτοί=νλο(λν∈τ2αR−ι,3τώλασ+δτι2εα, νν2ύαλσ2εμί−να3ατλια−α2=)  β = (λ 2 − 5λ + 6, − 3λ 2 + 7λ − 2). και Να βρείτε β.5. Ν α βρείτε τον πραγματικό αριθμό x, ώστε τα διανύσματα α = (x,1) και β = (4, x) να είναι ομόρροπα.6. Αν u = (3, 4) , πuο;ιο διάνυσμα είναι συγγραμμικό με το u και έχει διπλάσιο μέτρο από το

407. Σ το διπλανό σύστημα συντεταγμέ- νων είναι Ο A = i και ΟΒ = j . Να εκ- φράσετε ως συνάρτηση την i και j : α) Τα διανύσματα θέσεως των σημεί- ων Γ, Δ, Ε, Ζ, Κ και Η. β) Τα διανύσματα Γ∆, ΚΑ, Η∆, Κ∆, ΗΘ , ΖΑ και ΚΖ .8. Δίνονται τα σημεία Α(−1, 6) και Β (−9, −2). Να βρείτε (i) Το σημείο του άξονα x′x που ισαπέχει από τα Α και Β (ii) Το σημείο του άξονα yy′ που ισαπέχει από τα Α και Β. Β΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Α ν τα σημεία Κ  3 , 5  , Λ  3, 7  , Μ  4, 5  , Ν (3,1) και Ξ  3 , 1  είναι τα  2 2   2   2   2 2  μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ και ΕΑ, αντιστοίχως, του πενταγώνου ΑΒΓΔΕ, να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών του πενταγώνου.2. Σ ε ένα σύστημα συντεταγμένων οι τετμημένες δύο σημείων Α και Β είναι οι ρίζες της εξίσωσης x2 − (λ2 − 4λ + 3)x −17 = 0. Να βρείτε την τιμή του λ ∈ R, ώστε το μέσον του τμήματος ΑΒ να έχει τετμημένη ίση με 4.3. Δίνονται τα σημεία Μ 1(κ1, λ1), Μ 2 (κ2 , λ2 ), Μ 3 (κ3 , λ3 ) και Μ 4 (κ4 , λ4 ). Να αποδείξετε ότι, αν τα σημεία αυτά είναι τα μέσα των διαδοχικών πλευρών ενός τετραπλεύρου, τότε ισχύει κ1 + κ3 = κ2 + κ4 και λ1 + λ3 = λ2 + λ4 .4. Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α1, α2, β1, β2, x, y να αποδείξετε ότι: (x − α1)2 + ( y − β1)2 + (x − α2 )2 + ( y − β2 )2 ≥ (α2 − α1)2 + (β2 − β1)2 .5. σδΔ ετίίνεξίοενωττεςαόγιτρδιαύομοπμμοιηκιοόσδςυήσγπυγορνταδευμδαμιάσικνμάυόσςδμιτααωννύrσατμοκαυαταιεπβαιπκέκαδατοάιυβμαοευννταόοςδύιεκμπόπιποτέρρδόεοπίυον.α.Νεακφαρπαο--

411.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝΓνωρίζουμ ε ότι το έργο που παράγεται από μιαδύναμη F όταν μετατοπίζει το σημείο εφαρμο-γής της από το Ο στο Α είναι ίσο με το γινόμενο| F | ⋅(ΟΑ) ⋅ συνϕ . Το γινόμενο αυτό συμβολίζεται μεF ⋅ OA και λέγεται εσωτερικό γινόμενο της δύναμηςF με το διάνυσμα OA . Γενικότερα, έχουμε τον ακόλουθο ορισμό:ΟΡΙΣΜΟΣ ●β κ Οαιντοομάσζυομυβμοελίεζσοωυμτεερμιεκόαγ⋅ ιβνότμοεννπορδαύγομαμτηικμόηαδρεινθικμώό ν διανυσμάτων α και α ⋅  =| α | ⋅ |  | ⋅ συνϕ , β β όπου φ η γωνία των διανυσμάτων α και  . ● Αν α =0 ή β= 0, τότε ορίζουμε α ⋅ β  β= 0Για παράδειγμα, το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων α και  με | α |= 3,  β β |= 8| και ϕ = π είναι 3 α  π 1 ⋅β 3 2 = 3⋅8⋅ συν = 3⋅8⋅ = 12.Άμεσες συνέπειες του παραπάνω ορισμού είναι οι εξής:  ● α ⋅ β = β ⋅α (Αντιμεταθετική ιδιότητα)● Αν α ⊥  τότε α ⋅  = 0 και αντιστρόφως. β , β● Αν α ↑↑  τότε α ⋅  = | α | ⋅ |  | και αντιστρόφως. β , β β● Αν α ↑↓  τότε α ⋅  = − | α | ⋅ |  | και αντιστρόφως. β , β βΈΤοχοευσμωετ:εαρι2κ=ό| αγιν| ⋅ό|μαεν| σουαν0⋅α=|σαυμ|2.βΕολπίοζμετέανωι μςε α2 και λέγεται τετράγωνο του α. α 2 =| α |2 .

42 Ειδικότερα, για τα μοναδιαία διανύσματα i και j του καρτεσιανού επίπεδουισχύουν:    i ⋅ j = j ⋅ i = 0 και i 2 = j 2 = 1Αναλυτική Έκφραση Εσωτερικού ΓινομένουΘα δούμε τώρα πώς δμύποορδοιαύνμυεσνμαάετκωφνραά σ=ο(υxμ1 ,εyτ1 )οεσωτερικό γινόμενοκαι β = (x2 , y2 ) συναρτήσει των συντεταγμένωντους. Με αρχή το Ο παίρνουμε τα διανύσματαOA = α και OB = β . Από το νόμο των συνημιτό-νων στο τρίγωνο ΟΑΒ έχουμε την ισότητα (ΑΒ )2 = (ΟΑ)2 + (ΟΒ )2 − 2(ΟΑ)(ΟΒ )συνΑΟˆΒ ,η οποία ισχύει και στην περίπτωση που τα σημεία Ο, Α, Β είναι συνευθειακά.Όμως είναι (ΑΒ )2 = (x2 − x1)2 + ( y2 − y1)2, (ΟΑ)2 = x12 + y12 και (ΟΒ )2 = x22 + y22 .Επομένως, έχουμε διαδοχικά: (x2 − x1)2 + ( y2 − y1)2 = x12 + y12 + x22 + y22 − 2(ΟΑ)(ΟΒ )συνΑΟˆΒ x12 + x22 − 2x1x2 + y12 + y22 − 2 y1 y2 = x12 + y12 + x22 + y22 − 2(ΟΑ)(ΟΒ )συνΑΟˆΒκαι επειδή (ΟΑ)(ΟΒ )συνΑΟˆΒ = α ⋅ β , έχουμε τελικά: α ⋅ β = x1x2 + y1 y2Δηλαδή:“Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ίσο με το άθροισμα των γι-νομένων των ομώνυμων συντεταγμένων τους”.  β = (2, −1)αΓι⋅αβπ=α(ρ−ά3δ)ε⋅ 2ιγ+μ4α(,−τ1ο) εσωτερικό γινόμενο των α = (−3, 4) και είναι: = −10.Με τη βοήθεια της αναλυτικής έκφρασης του εσωτερικού γινομένου θα αποδεί-ξουμε ότι ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες:

43Π● ρ ά γ μ●●●(αλ τααα(ιλ,)⋅⊥⋅αα(βνββ)⋅=α+β⇔(γλ==)xλ(α1=1x,λ1⋅λα,(2yλy⋅=11ββ)),−()+x1β=2,α , λ= y⋅ γ2( (αό)xπ2= ⋅ ο,β(yυλ)2 ) x 1λκ)1xα2=ι +λγα(λ= κy(1αx)3ιy , 2y λ 3= 2) ,λ =(τ(Εόλxπ1βτxε,ι2μεέε+φχροόyιυ1σσyμοτ2ιεν)κ:ή=αλ,Ιβδ(αιό/ ⋅τ/βηyτ′)yα)καα⋅ι(λβ) = ( x1 , y1)(λ x2 , λ y2 ) = x1(λ x2 ) + y1 (λ y2 ) = λ ( x1 x2 + y1 y2 ) = λ (α ⋅  β ).Άρα, (λα  α  λ (α  β (λβ ) β) ) ⋅ = ⋅ = ⋅● α ⋅  + γ) = ( x1 , y1 )(x2 + x3 , y2 + y3 ) = x1 (x2 + x3 ) + y1 ( y2 + y3 ) (β = α(x1⋅ x2 ++αx1⋅xγ3 ). + ( y1 y2 + y1 y3 ) = (x1x2 + y1 y2 ) + ( x1 x3 + y1 y3 )● α = β y2 = −1 ⇔ λ1λ2   x2 ⊥ β ⇔ α ⋅ β = 0 ⇔ x1x2 + y1 y2 = 0 ⇔ y1 y2 = −x1x2 ⇔ y1 = −1 x1Συνημίτονο Γωνίας δύο ΔιανυσμάτωνΑν α = (x1, y1) και  εαίν⋅αβι =δύ| αο μη μηδενικά διανύσματα του επιπέδου β = (x2 , y2 ) || β | συνθ και επομένως,που σχηματίζουν γωνία θ, τότε συνθ = | αα|⋅⋅|ββ | .Είναι όμως α  α  β και | β |= ⋅ = x1 x2 + y1 y2 , | |= x12 + y12 x22 + y22 .Επομένως, συνθ = x1 x2 + y1 y2 x12 + y12 ⋅ x22 + y22Για παράδειγμα, αν θ είναι η γωνία των διανυσμάτων α = (1, 2) και  = (3,1), τότε: β συνθ = 1⋅3 + 2⋅1 = 5 = 1 = 2 , οπότε θ = π . 12 + 22 ⋅ 32 +12 5 ⋅ 10 2 2 4

44ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ1. Α ν α και  αεί|ν⋅α| ιβδ|ύο διανύσματα του επιπέδου, νβα)2α≤παοδ2 βει2χτεί ότι: | α ⋅β | β (ii) (α ⋅ (i) ≤| Πότε ισχύουν οι ισότητες;ΑΠΟΔΕΙΞΗ και (i) Αν θ είναι η γωνία των διανυσμάτων α β , τότε έχουμε: | α ⋅  |= | α | ⋅ |  | ⋅ συνθ =| α | ⋅ |  | ⋅ | συνθ |≤| α | ⋅ |  | . β β β β( i i ) ΕΗπιίσσόητςη, τέαχοισυμχύεε(ιαμ⋅όβν)ο2, =ακ|νααισ⋅πβυρν|ο2θη≤γ=(ο| ±αυ1μ|,έ⋅ δ|νβηωλς|)α,2δμ=ήό|,ανμο|ό2όν⋅το|αβνα|ν2α=α/α//2β/⋅β.β.2 . Η ισότητα ισχύει, όπως2. Έστω δύο διανύσματα α  έχουν μέτρα | α |=  και π. και β που γωνία 3 , | β |= 1 +β 6 Να βρεθεί η των διανυσμάτων x = α κσαχηι μyα=τίαζο−υβν γωνία ϕ = .ΛΥΣΗ των x και y , τότε συνθ = | xx| ⋅ |yy | . Αρκεί, επομένως, να υπο- και τα μέτρα των x, y. ⋅Αν θ είναι η γωνίαλογίσουμε το x ⋅ yΈχουμε λοιπόν   β)(α  β β● x ⋅ y = (α + − β ) = α2 − 2 =| α |2 − |  |2 = 3 −1 = 2 .● | x |2 = x 2 = || β | συνϕ (α +  )2 ==|αα2|2++β|2β+|22α+β2 | α β = 3 +1+ 2⋅ 3 ⋅1⋅ 3 = 7.● | y |2 = 2 y 2 (α − β)2 = α2  − 2αβ = + β 2 =| α |2 + |  |2 −2 | α ||  | συνϕ β β = 3 +1− 2⋅ 3 ⋅1⋅ 3 = 1. 2Άρα, συνθ = 2 = 2 7 , οπότε θ ≅ 41 7 ⋅1 7

453. Να αποδειχτεί ότι συν(α − β ) = συνασυνβ + ηµαηµβ , όπου 0 ≤ β < α ≤ π .ΑΠΟΔΕΙΞΗΑν στον τριγωνομετρικό κύκλο τα διανύσματα OAκαι OB σχηματίζουν με τον άξονα x′x γωνίες α καιβ αντιστοίχως, τότε θα είναι OA = (συνα, ηµα ) καιOB = (συνβ , ηµβ ).Επομένως, θα έχουμε:OA⋅OB =| OA | ⋅ | OB | ⋅συν(α − β ) = 1⋅1⋅ συν(α − β ) = συν(α − β )καιOA⋅OB = (συνα , ηµα )(συνβ , ηµβ ) = συνα ⋅ συνβ + ηµα ⋅ ηµβ .Άρα, συν(α − β ) = συνα ⋅ συνβ + ηµα ⋅ ηµβΠροβολή Διανύσματος σε ΔιάνυσμαΈστω α, v δύο διανύσματα του επιπέδου με α  ≠ 0. Με αρχή ένα σημείο Ο παίρ-νουμε τα διανύσματα OA = α και OM =ν . Από το Μ φέρνουμε κάθετο στη διεύ-θυνση του OA και έστω Μ1 το ίχνος της καθέτου.ΤκαοιδσιάυνμυβσομλαίζεOταMι1μλεέπγερτοαβιαπνρ. οΔβηολλαήδήτ,ου ν στο α OM1 = προβαν .Αποδεικνύεται ότι η προβολή του ν πάνω στο α είναι ανεξάρτητη από την επι-λογή του σημείου Ο. των α και ν έχουμε:Για το εσωτερικό γινόμενο α ⋅ v = α ⋅ (OM1 + M1M ) = α ⋅ OM1 + α ⋅ M1M = α ⋅ OM1 = α ⋅ προβανΕπομένως: α ⋅ν = α ⋅ προβαν

46ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ1. Να βρεθεί η προβολή του διανύσματος ν πάνω στο διάνυσμα α , αν | α |= 1 , | v |= 3 και η γωνία των διανυσμάτων α και ν είναι ίση με ϕ = π . 26ΛΥΣΗΈστω v1 = προβαν. Τότε θα ισχύει v⋅1v1=⇔⇔λααα. Επειδή α ⋅ v = α ⋅ προβα v, έχουμε: α ⋅ v = α ⋅ v = α ⋅ λα ⋅ v = λ ⋅α2 ⇔| α | ⋅ | v | συνϕ = λ⋅ | α |2 ⇔ 3⋅ 3 =λ⋅1 22 ⇔λ =3Άρα, v1 = 3α.2. Δ ίνονται τα διανύσματα α = (3,1) και ν = (1, 2) . Να παανραάλυλλθηείλτηοσντοσαεδ. ύο κάθετες συνιστώσες, από τις οποίες η μία να είναιΛΥΣΗκΈΑασπιότωΜτοΜεπ2ηέρσεατυηςθΜεδίιαετύοηθυυκννάσθφηεέτρτηονσυουταημεδκτιεαιςύι θκσυάτνθησεντηεεςτοαΜυνΜται-1.στοίχως και έστω ΟΜ 1 =ν1 και ΟΜ 2 =ν 2 .Έχουμε ν =ν1 +ν2 . (1) αΤκαο⋅νιδε=ιάπανειυ⋅δπσήρμοανβ1αν/ν1/ακε,ίανιυαπειπάηορμχπεέρινοωλβςο∈έλχRήο,υτμοτεέυτδονιαιοδσοώτχοισκτάαε: προβαν = λα = (3λ, λ). Όμως (3,1) ⋅ (1, 2) = (3,1) ⋅ (3λ, λ) 3⋅1+1⋅ 2 = 3⋅3λ +1⋅ λ 5 = 10λ λ = 1.Συνεπώς, ν1 α 2 v2 v − v1 = 1 = 1 (3,1) =  3 , 1  και = = (1, 2) −  3 , 1  =  − 1, 3 . 2 2  2 2   2 2   2 2