Στατιστική-Κουίζ-Στέλλα-Σερεμετάκη

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Στατιστική / Κουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης 1 Στέλλα Σερεμετάκη,Μαθηματικός,MSc in Pure MathematicsΠεριεχόμενα http://www.mathschoolonline.org/Στατιστική : Κουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης ....................................................................................................3Ερώτηση 1η..................................................................................................................................................................3Ερώτηση 2η..................................................................................................................................................................3Ερώτηση 3η..................................................................................................................................................................3Ερώτηση 4η..................................................................................................................................................................3Ερώτηση 5η..................................................................................................................................................................4Ερώτηση 6η..................................................................................................................................................................4Eρώτηση 7η...................................................................................................................................................................5Ερώτηση 8η..................................................................................................................................................................5Ερώτηση 9η..................................................................................................................................................................5Ερώτηση 10η................................................................................................................................................................6Ερώτηση 11η................................................................................................................................................................6Ερώτηση 12η................................................................................................................................................................7Ερώτηση 13η................................................................................................................................................................7Ερώτηση 14η................................................................................................................................................................7Ερώτηση 15η................................................................................................................................................................8Συχνότητα και σχετική συχνότητα δείγματος ..............................................................................................................8Παράδειγμα ..................................................................................................................................................................8Σχετική συχνότητα .......................................................................................................................................................9Ιδιότητες .......................................................................................................................................................................9Παράδειγμα ..................................................................................................................................................................9Ομαδοποίηση παρατηρήσεων ....................................................................................................................................10Τρίτο βήμα .................................................................................................................................................................10Τέταρτο βήμα .............................................................................................................................................................11Παράδειγμα ................................................................................................................................................................11Ερώτηση 17η..............................................................................................................................................................12Ιστόγραμμα Συχνοτήτων ............................................................................................................................................12το εμβαδόν του ορθογωνίου να ισούται με τη συχνότητα της κλάσης αυτής ............................................................13Πολύγωνο συχνοτήτων...............................................................................................................................................13Ερώτηση 18η...............................................................................................................................................................14Μέτρα θέσης μιας κατανομής ....................................................................................................................................15Τα μέτρα θέσης είναι:.................................................................................................................................................15Πώς ορίζεται η μέση τιμή ενός συνόλου παρατηρήσεων;..........................................................................................15Ερώτηση 19η..............................................................................................................................................................16Ερώτηση 20η..............................................................................................................................................................16Aπάντηση ...................................................................................................................................................................17Ερώτηση 21η..............................................................................................................................................................17Ερώτηση 21η..............................................................................................................................................................17Ερώτηση 22η..............................................................................................................................................................18Ερώτηση 23η..............................................................................................................................................................18

Στατιστική / Κουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης 2 Στέλλα Σερεμετάκη,Μαθηματικός,MSc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/Ερώτηση 24η..............................................................................................................................................................19Ερώτηση 25η..............................................................................................................................................................19Ερώτηση 26η..............................................................................................................................................................19Ομαδοποίηση παρατηρήσεων ....................................................................................................................................20N6 =ν1+...+ν6 =40........................................................................................................................................................22Ερώτηση 27η..............................................................................................................................................................23Ερώτηση 28η..............................................................................................................................................................23Ερώτηση 29η..............................................................................................................................................................23Ερώτηση 30η..............................................................................................................................................................24Ερώτηση 31η..............................................................................................................................................................24Διάμεσος δείγματος σε μη ομομαδοποιημένες παρατηρήσεις....................................................................................24Θέση της διαμέσου.....................................................................................................................................................24Παράδειγμα ................................................................................................................................................................25Ερώτηση 32η..............................................................................................................................................................25Ερώτηση 33η..............................................................................................................................................................25Διάμεσος ομαδοποιημένων παρατηρήσεων ...............................................................................................................25Παράδειγμα ................................................................................................................................................................26Λύση ........................................................................................................................................................................... 26Πώς βρίσκουμε τη διάμεσο ενός δείγματος παρατηρήσεων από το πίνακα συχνοτήτων;.........................................27Ερώτηση 34η..............................................................................................................................................................27Πώς ορίζεται η διακύμανση ενός συνόλου παρατηρήσεων; ......................................................................................28Ερώτηση 35η..............................................................................................................................................................29Πώς ορίζεται η τυπική απόκλιση ενός συνόλου παρατηρήσεων ; .............................................................................29Ερώτηση 36η..............................................................................................................................................................29Ερώτηση 37η..............................................................................................................................................................30Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ενός συνόλου παρατηρήσεων; ...................................................................30Ομειογενές δείγμα ......................................................................................................................................................30Παράδειγμα ................................................................................................................................................................30Ερώτηση 38η..............................................................................................................................................................32Ερώτηση 39η..............................................................................................................................................................32Ερώτηση 40η..............................................................................................................................................................32Ερώτηση 41η..............................................................................................................................................................32Αναφορά ..................................................................................................................................................................... 33

Στατιστική / Κουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης 3 Στέλλα Σερεμετάκη,Μαθηματικός,MSc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/Στατιστική : Κουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησηςΕρώτηση 1ηΟ φυσικός αριθμός νi που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή χi τηςμεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων ονομάζεται συχνότητα τηςτιμής χiΑπάντηση: Σωστό ΛάθοςΕρώτηση 2ηΤο άθροισμα των συχνοτήτων των τιμών μιας μεταβλητής Χ ενόςδείγματος μεγεθους ν είναι ίσοΕπιλογή μίας απάντησης. a. με το μέγεθος του δείγματος b. με 1Ερώτηση 3ηΑν χi είναι μια τιμή μιας μεταβλητής Χ με συχνότητα νi τότε ο αριθμός , i=1,2,...,κ ,Απάντηση: Σωστό ΛάθοςΕρώτηση 4ηΓια τη σχετική συχνότητα fi ,i=1,2,3,...,κ ,μεισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες

Στατιστική / Κουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης 4 Στέλλα Σερεμετάκη,Μαθηματικός,MSc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/Απάντηση: Σωστό ΛάθοςΕρώτηση 5ηΤο σύνολο των ζευγώνi=1,2,3,...,κ , μεαποτελεί την κατανομή συχνοτήτων μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματοςμεγέθους νΑπάντηση: Σωστό ΛάθοςΕρώτηση 6ηΤο σύνολο των ζευγώνi=1,2,3,...,κ , μεαποτελεί την κατανομή σχετικών συχνοτήτων μιας μεταβλητής Χ ενόςδείγματος μεγέθους νΑπάντηση: Σωστό Λάθος

Στατιστική / Κουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης 5 Στέλλα Σερεμετάκη,Μαθηματικός,MSc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/Eρώτηση 7ηΗ αθροιστική συχνότητα Νi εκφράζει το πλήθος των παρατηρήσεωνπου είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής χiEνώ η αθροιστική σχετική συχνότητα Fi εκφράζει το ποσοστό τωνπαρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής χiγια i=1,2,3,...,κΑπάντηση: Σωστό ΛάθοςΕρώτηση 8ηΤο διάγραμμα που αποτελείται από ορθογώνιες στήλες που οι βάσειςτους είναι ισομήκεις και βρίσκονται πάνω στον οριζόντιο άξονα ενώ τούψος τους είναι ίσο με τη συχνότητα ή τη σχετική συχνότητα τηςαντίστοιχης τιμής της μεταβλητής και χρησιμοποιείται για τη γραφικήπαράσταση των τιμών μιας ποιοτικής μεταβλητήςονομάζεταιΕπιλογή μίας απάντησης a. ραβδόγραμμα b. ιστόγραμμαΕρώτηση 9ηΤαξινομούμε τις τιμές χi της μεταβλητής Χ κατά αύξουσα σειρά :x1<x2<x3<...<xkΤο διάγραμμα που σε κάθε χi ,i=1,2,3,...,k υψώνουμε μια κάθετη γραμμήπου έχει μήκος ίσο με την αντίστοιχη συχνότητα και χρησιμοποιείταιστην περίπτωση των ποσοτικών μεταβλητώνονομάζεταιΕπιλογή μίας απάντησης a. διάγραμμα συχνοτήτων

Στατιστική / Κουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης 6 Στέλλα Σερεμετάκη,Μαθηματικός,MSc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/ b. ραβδόγραμμαΕρώτηση 10ηΣε ένα διάγραμμα συχνοτήτων η πολυγωνική γραμμή που προκύπτειενώνοντας τα σημείαονομάζεταιΕπιλογή μίας απάντησης a. πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων b. πολύγωνο συχνοτήτωνΕρώτηση 11ηΈστω χ1,χ2,...,χκ οι τιμές μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματοςμεγέθους ν με συχνότητες ν1,ν2,ν3,...,νκ , αθροιστικές συχνότητεςΝ1,Ν2,...,Νκ και αθροιστικές σχετικές συχνότητες F1,F2,...,FkTότεΝ1=ν1Ν2=Ν1+ν2....Νκ=ΝΚ-1+νκκαιF1=f1F2=F1+f2...Fκ=Fκ-1 +Fκ

Στατιστική / Κουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης 7 Στέλλα Σερεμετάκη,Μαθηματικός,MSc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/Απάντηση: Σωστό ΛάθοςΕρώτηση 12ηΤο διάγραμμα που αποτελείται από ένα κυκλικό δίσκο χωρισμένο σεκυκλικούς τομείς των οποίων τα εμβαδά ή ισοδύναμα , τα τόξα είναιανάλογα προς τις αντίστοιχες συχνότητες νi ή τις σχετικές συχνότητες fiτων τιμών xi ,i=1,2,...,k,της μεταβλητής Χκαι χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση τόσο ποιοτικών όσο καιποσοτικών μεταβλητώνονομάζεταιΕπιλογή μίας απάντησης a. χρονόγραμμα b. κυκλικό διάγραμμαΕρώτηση 13ηΑν αi ,i=1,2,3,...,i,είναι το αντίστοιχο τόξο ενός κυκλικού τμήματος στοκυκλικό διάγραμμα συχνοτήτωντότεΑπάντηση: Σωστό ΛάθοςΕρώτηση 14ηΤο χρονόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική απεικόνιση τηςεξέλιξης ενός οικονομικού , δημογραφικού ή άλλου μεγέθους σεσυνάρτηση με το χρόνοΑπάντηση: Σωστό Λάθος

Στατιστική / Κουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης 8Στέλλα Σερεμετάκη,Μαθηματικός,MSc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/Ερώτηση 15ηΤο κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποείται για τη γραφική παράσταση τόσοποιοτικών όσο και ποσοτικών μεταβλητώνΑπάντηση: Σωστό ΛάθοςΣυχνότητα και σχετική συχνότητα δείγματοςΑς υποθέσουμε ότι x1, x2,..., xκ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, πουαφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους v,κ ≤ ν. Στην τιμή xi αντιστοιχίζεται η (απόλυτη) συχνότητα(frequency) νi,δηλαδή ο φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή xiτης εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων.Το άθροισμα όλων των συχνοτήτων είναι ίσο με το μέγεθος ν τουδείγματος, δηλαδή:ν1+ ν2 + ... + νκ = vΠαράδειγμαΈστω η μεταβλητής Χ: “αριθμός αδελφών” των μαθητών σε δύοτμήματα της Γ΄ ΛυκείουΑριθμός αδελφών xi Συχνότητα νi 0 8 1 22 2 7 3 3 Σύνολο 40

Στατιστική / Κουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης 9 Στέλλα Σερεμετάκη,Μαθηματικός,MSc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/Στο σύνολο των 40 μαθητών των δύο τμημάτων 8 μαθητές δεν έχουναδέλφια 22 μαθητές έχουν έναν αδελφό ή αδελφή κ.λ.πΣχετική συχνότηταΑν διαιρέσουμε τη συχνότητα νi με το μέγεθος ν του δείγματος,προκύπτει η σχετική συχνότητα (relative frequency)fi της τιμής xi, δηλαδήΙδιότητεςΓια τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες:(i) 0 ≤ fi ≤ 1 για i = 1,2,..., κ αφού 0 ≤ νi ≤ ν(ii) f1 + f2 + ... + fκ = 1, αφούΠαράδειγμαΑριθμόςαδελφών Συχνότητα Σχετική Σχετικήxi νi Συχνότητα Συχνότητα fi fi % 0 8 0,200 20,0 1 22 0,550 55,0 2 7 0,175 17,5 3 3 0,075 7,5Σύνολο 40 1,000 100,00Ερώτηση 16ηΣτο παραπάνω παράδειγμα

Στατιστική / Κουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης 10Στέλλα Σερεμετάκη,Μαθηματικός,MSc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/Το 17% των μαθητών έχουν 2 αδέλφια και 75% έως και έναν αδελφό ήαδελφήΑπάντηση: Σωστό ΛάθοςΟμαδοποίηση παρατηρήσεωνΤο πρώτο βήμα στην ομαδοποίηση των δεδομένων είναι η εκλογή τουαριθμού κ των ομάδων ή κλάσεωνΧρησιμοποιήται ως οδηγός ο παρακάτω πίνακας:Μέγεθος δείγματος Αριθμός κλάσεωννκ <20 5 20-50 650-100 7100-200 8Το δεύτερο βήμα είναι ο προσδιορισμός του πλάτους των κλάσεωνΠλάτος μιας κλάσης ονομάζεται η διαφορά του κατωτέρου από τοανώτερο όριο της κλάσηςΣτην πλειονότητα των πρακτικών εφαρμογών οι κλάσεις έχουν το ίδιοπλάτοςΓια να κατασκευάσουμε ισοπλατείς κλάσεις, χρησιμοποιούμε τοεύρος(range) R του δείγματος,δηλαδή τη διαφορά της μικρότερης παρατήρησης από τη μεγαλύτερηπαρατήρηση του συνολικού δείγματοςΤρίτο βήμαΥπολογίζουμε το πλάτος c των κλάσεων διαιρώντας το εύρος R διά τουαριθμού των κλάσεων κ,

Στατιστική / Κουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης 11 Στέλλα Σερεμετάκη,Μαθηματικός,MSc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/στρογγυλεύοντας, αν χρειαστεί για λόγους διευκόλυνσης, πάντα προς ταπάνωΤέταρτο βήμαΓίνεται η κατασκευή των κλάσεωνΞεκινώντας από την μικρότερη παρατήρηση, ή για πρακτικούς λόγουςλίγο πιο κάτω από την μικρότερη παρατήρηση, και προσθέτοντας κάθεφορά το πλάτος c δημιουργούμε τις κκλάσειςΗ μεγαλύτερη τιμή του δείγματος θα (πρέπει να) ανήκει οπωσδήποτεστην τελευταία κλάσηΠαράδειγμαΚαταγράφτηκε το ύψος (σε cm) των μαθητών της Γ' ΛυκείουΣε αγκύλες έχουμε τη μικρότερη και τη μεγαλύτερη τιμή 170 180 178 165 170 168 175 175 173 162 160 170 167 177 180 170 182 178 165 178 [156] 175 172 173 167 187 170 180 178 [191] 176 169 167 166 179 178 180 164 170 173Το εύρος του δείγματος είναι R = 191 - 156 = 35Επειδή έχουμε ν = 40 παρατηρήσεις, χρησιμοποιούμε κ = 6κλάσειςΤο πλάτος των κλάσεων είναι c = R / κ = 35 / 6 = 5,83 ≈ 6

Στατιστική / Κουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης 12 Στέλλα Σερεμετάκη,Μαθηματικός,MSc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/Ερώτηση 17ηΚλάσεις Κεντρικές τιμές Συχν. Σχετική Συχνότητα[ - ) xi νi fi%156-162 159 2 5,0162-168 165 8 20,0168-174 171 12 30,0174-180 177 11 27,5180-186 183 5 12,5186-192 189 2 5,0Σύνολο 40 100Απάντηση: Σωστό ΛάθοςΙστόγραμμα ΣυχνοτήτωνΗ γραφική παράσταση ενός πίνακα συχνοτήτωνμε ομαδοποιημένα δεδομένα γίνεται με το ιστόγραμμα(histogram) συχνοτήτωνΣτον οριζόντιο άξονα ενός συστήματοςορθογωνίων αξόνων σημειώνουμε, με κατάλληλη κλίμακα,τα όρια των κλάσεωνΣτη συνέχεια, κατασκευάζουμε διαδοχικά ορθογώνια(ιστούς), καθένα από τα οποία έχει βάσηίση με το πλάτος της κλάσης και ύψος τέτοιο, ώστε :

Στατιστική / Κουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης 13 Στέλλα Σερεμετάκη,Μαθηματικός,MSc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/το εμβαδόν του ορθογωνίου να ισούταιμε τη συχνότητα της κλάσης αυτήςα) Κλάσεις ίσου πλάτουςΘεωρώ το πλάτος c ως μονάδα μέτρησηςστον οριζόντιο άξονα,του χαρακτηριστικού που μελετώ.Το ύψος κάθε ορθογωνίου είναι ίσοπρος τη συχνότητα της αντίστοιχης κλάσης,έτσι ώστε το εμβαδόν των ορθογωνίων ναείναι ίσο με τις αντίστοιχες συχνότητες.Στον κατακόρυφο άξονασε ένα ιστόγραμμα συχνοτήτων βάζουμε τις συχνότητεςΠολύγωνο συχνοτήτωνΑν στα ιστογράμματα συχνοτήτωνθεωρήσουμε δύο ακόμη υποθετικές κλάσεις,στην αρχή και στο τέλος,με συχνότητα μηδέν και στη συνέχειαενώσουμε τα μέσα των άνω βάσεων των ορθογωνίων,σχηματίζεται το πολύγωνο συχνοτήτων(frequency polygon)Το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεταιαπό το πολύγωνο συχνοτήτων και

Στατιστική / Κουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης 14 Στέλλα Σερεμετάκη,Μαθηματικός,MSc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/τον οριζόντιο άξονα είναι ίσομε το άθροισμα των συχνοτήτων,δηλαδή με το μέγεθος του δείγματος νΕρώτηση 18ηΤο ιστόγραμμα συχνοτήτων για το παραπάνω παράδειγμα είναι :και το πολύγωνο συχνοτήτων για το παραπάνω παράδειγμα είναι :

Στατιστική / Κουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης 15 Στέλλα Σερεμετάκη,Μαθηματικός,MSc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/ Σωστό ΛάθοςΜέτρα θέσης μιας κατανομήςΜέτρα θέσης μιας κατανομής είναι τα αριθμητικά μεγέθη τα οποίαδίνουν τη θέση του κέντρου των παρατηρήσεων στον οριζόντιο άξονακαι εκφράζουν την κατά μέσο όρο απόσταση των δεδομένων από τηναρχή των αξόνωνΤα μέτρα θέσης είναι:Η μέση τιμήΗ διάμεσοςΠώς ορίζεται η μέση τιμή ενός συνόλου παρατηρήσεων;Σε μια κατανομή συχνοτήτων όταν οι τιμές χ1,χ2,...,χκ, της μεταβλητής Χέχουν συχνότητες ν1,ν2,...,νκ, τότε η μέση τιμή της κατανομής ορίζεταιαπό τη σχέσηΓνωρίζω ότιΕπομένως η μέση τιμή γίνεται

Στατιστική / Κουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης 16Στέλλα Σερεμετάκη,Μαθηματικός,MSc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/Ερώτηση 19ηH σχέσηεκφράζει τη μέση τιμή του δείγματος μεγέθους νΑπάντηση: Σωστό ΛάθοςΕρώτηση 20ηΔίνεται ο παρακάτω πίνακαςxi vi xivi13 2 2614 1 1415 4 6016 2 3218 1 18Σύνολο ν = 10 Σxiνi = 150Η μέση τιμή του δείγματος είναι :Επιλογή μίας απάντησης. a. 15 b. 150

Στατιστική / Κουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης 17 Στέλλα Σερεμετάκη,Μαθηματικός,MSc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/Πώς υπολογίζουμε τη μέση τιμή ενός συνόλου παρατηρήσεωνομαδοποιημένων σε κλάσεις;AπάντησηΟι παρατηρήσεις της κάθε κλάσης αντιπροσωπεύονται από την κεντρικήτους τιμή .Έτσι η μέση τιμή είναι ίση μεόπου χi η κεντρική τιμή της κλάσης i και νi η αντίστοιχη συχνότηταΕρώτηση 21ηΔίνονται oμαδοποιημένoι οι χρόνοι που σημείωσαν 10 αθλητές στηναπόσταση των 100 mΚλάσεις [ ,) Συχνότητα νi Κεντρική τιμή χi xiνi10,10.10 2 10.05 20.1010.10,10.20 3 10.15 30.4510.20,10.30 5 10.25 51.25 Σύνολο 10 101.8Να υπολογισθεί η μέση τιμή των χρόνων τουςΕπιλογή μίας απάντησης a. 10 second b. 10,18 secondΕρώτηση 21ηΑν σε ένα σύνολο παρατηρήσεων με μέση τιμή

Στατιστική / Κουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης 18 Στέλλα Σερεμετάκη,Μαθηματικός,MSc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/προσθέσουμε σε όλες τις παρατηρήσεις τον ίδιο αριθμό α >0 τότε η μέσητιμή των παρατηρήσεων αυξάνεται κατά α , δηλαδή η μέση τιμήπου προκύπτει είναι αυξημένη κατά αΑπάντηση: Σωστό ΛάθοςΕρώτηση 22ηΑν σε ένα σύνολο παρατηρήσεων με μέση τιμήπροσθέσουμε σε όλες τις παρατηρήσεις τον ίδιο αριθμό α <0 τότε ημέση τιμήτων παρατηρήσεων που προκύπτειείναι μειωμένη κατά αΑπάντηση: Σωστό ΛάθοςΕρώτηση 23ηΔίνονται οι παρατηρήσεις ενός δείγματος : 2 3 5 7 8Nα βρεθεί η μέση τιμή τουςΕπιλογή μίας απάντησης. a. η μέση τιμή τους είναι 5,5 b. η μέση τιμή τους είναι 5

Στατιστική / Κουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης 19 Στέλλα Σερεμετάκη,Μαθηματικός,MSc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/Ερώτηση 24ηΠροσθέτω στις αρχικές τιμές του δείγματος του προηγούμενουπαραδείγματος τον αριθμό 1,οπότε προκύπτουν οι νέες τιμές τωνπαρατηρήσεων : 3 4 6 8 9H νέα μέση τιμή τους είναι ίση μεΑπάντηση: Σωστό ΛάθοςΕρώτηση 25ηΑν σε ένα σύνολο παρατηρήσεων με μέση τιμήπολλαπλασιάσουμε όλες τις παρατηρήσεις με τον ίδιο μη μηδενικόαριθμό α τότε η μέση τιμή των νέων παρατηρήσεων είναι ίση μεΑπάντηση: Σωστό ΛάθοςΕρώτηση 26ηΔίνονται οι παρατηρήσεις ενός δείγματος 2 3 5 7 8 με μέση τιμήΑν 6 9 15 21 24 είναι οι νέες τιμές που έχουν προκύψει από τις αρχικέςμε πολλαπλασιασμό καθεμιάς με τον αριθμό 3 , τότε η νέα μέση τιμήείναιΑπάντηση: Σωστό Λάθος

Στατιστική / Κουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης 20 Στέλλα Σερεμετάκη,Μαθηματικός,MSc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/Ομαδοποίηση παρατηρήσεωνΠώς γίνεται η ομαδοποίηση παρατηρήσεων1ον Εκλέγουμε τον αριθμό κ των κλάσεων που θα χρησιμοποιήσουμεΣυνήθως , εάν 20<ν<50 , όπου ν είναι το μέγεθος του δείγματοςτότε κ=6(Βέβαια εξαρτάται από το πρόβλημα ,σε κάποιες περιπτώσεις η άσκησημας ζητά να κατασκευάσουμε κάποιο συγκεκριμένο αριθμό κλάσεων)2ον Βρίσκουμε το εύρος R του δείγματος αφαιρώντας τη μικρότερηπαρατήρηση από τη μεγαλύτερη3ον Προσδιορίζουμε το πλάτος c κάθε κλάσης ,συνήθως οι κλάσεις έχουντο ίδιο πλάτοςΤο πλάτος δίνεται από το τύποΑν το c είναι δεκαδικός στρογγυλοποιούμε προς τα πάνωΠώς κατασκευάζουμε τις κλάσειςΑρχίζουμε από τη μικρότερη παρατήρηση και προσθέτοντας κάθε φοράτο c δημιουργούμε τις κλάσειςΟι κλάσεις στις οποίες ταξινομούνται τα δεδομένα είναι της μορφής [ , ) ,δηλαδή κλειστές δεξιά και ανοιχτές αριστεράΗ μεγαλύτερη παρατήρηση του δείγματος πρέπει να ανήκει στηντελευταία κλάση4ον Βρίσκουμε την κεντρική τιμή χ i της κλάσης .Αν [α,β) είναι η κλάσηi τότεΠαράδειγμαΔίνονται τα ύψη των μαθητών ενός σχολείου (σε cm)

Στατιστική / Κουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης 21 Στέλλα Σερεμετάκη,Μαθηματικός,MSc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/ 157 187 192 175 156 176 161 174 171 167 177 178 162 179 154 173 182 157 175 172 181 152 173 180 187 172 193 182 182 178 163 171 172 166 169 171 177 169 164 176To μέγεθος του δείγματος είναι ν= 4 .10 =40 (4 γραμμές χ 10 στήλες)Το εύρος του δείγματος είναι :R = Μεγαλύτερη παρατήρηση - μικρότερη παρατήρηση=193-152=41Επειδή ν=40 θα δημιουργήσουμε κ=6 κλάσειςΤο πλάτος των κλάσεων είναιΆρα το πλάτος c είναι περίπου 7ΕπομένωςΗ πρώτη κλάση είναι η [152,159) . Στη κλάση αυτή ανήκουν 5μαθητέςδηλαδή 5 μαθητές εμφανίζουν ύψος από 152 cm έως και 159 cmΕπομένως ν1= 5Εάν [α,β) είναι η κλάση i , η κεντρική τιμή χi ισούται μεΕπομένωςΓνωρίζω ότι

Στατιστική / Κουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης 22 Στέλλα Σερεμετάκη,Μαθηματικός,MSc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/Άρα : f1 %=12,5 %N1=5 , F1 % = 12,5 %Σημείωση :N6 =ν1+...+ν6 =40f1 %+...+f6 % =100 , F6 %=f1 %+...+f6 % =100%Γενικά :Συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο και κατασκευάζουμε το παρακάτω πίνακαΚλάσεις Κεντρικές Συχνότητα Σχετ.συχν.% Αθροιστ.συχν Αθροιστ.σχετ.συχνότητα τμές %[152,159) 155,5 5 12,5 5 12,5[159,166) 162,5 4 10 9 22,5[166,173) 169,5 10 25 19 47,5[173,180) 176,5 12 30 31 77,5[180,187) 183,5 5 12,5 36 90[187,194) 190,5 4 10 40 100 40 100 Σύνολο

Στατιστική / Κουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης 23 Στέλλα Σερεμετάκη,Μαθηματικός,MSc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/Ερώτηση 27ηΖυγίστηκαν 30 αθλητές της άρσης βαρών και τα βάρη τους (σε kg) πουπροέκυψαν ήταν 55 70 69 73 72 59 54 71 67 62 60 54 63 52 80 73 74 70 63 64 65 58 53 45 56 50 48 57 60 62Πόσες κλάσεις θα χρησιμοποιηθούν ;Ποιό το πλάτος κάθε κλάσης;Επιλογή μίας απάντησης. a. θα χωρισθούν σε 6 κλάσεις και το πλάτος κάθε κλάσης είναι 5 b. θα χωρισθούν σε 6 κλάσεις και το πλάτος κάθε κλάσης είναι 6Ερώτηση 28ηΣτο προηγούμενο παράδειγμα να κατασκευασθεί πίνακας συχνοτήτων μεστήλες για τη συχνότητα, την αθροιστική συχνότητα, τη σχετικήσυχνότητα επί τοις εκατό, την αθροιστική σχετική συχνότητα % και τηνκεντρική τιμή κάθε κλάσης.Ποιό ποσοστό των αθλητών έχει βάρος μικρότερο από 57 kg και ποιόμεγαλύτερο ίσο από 57 kg ;Επιλογή μίας απάντησης. a. Aπό τη στήλη των αθροιστικών συχνοτήτων προκύπτει ότι το 40 % των αθλητών έχει βάρος μικρότερο από 57 kg, ενώ το 100 % - 40 % = 60 % μεγαλύτερο ή ίσο από 57 kg b. Aπό τη στήλη των αθροιστικών συχνοτήτων προκύπτει ότι το 30 % των αθλητών έχει βάρος μικρότερο από 57 kg, ενώ το 100 % - 30 % = 70 % μεγαλύτερο ή ίσο από 57 kgΕρώτηση 29ηΗ αθροιστική σχετική συχνότητα Fi % εκφράζει το ποσοστό τωνπαρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής χi

Στατιστική / Κουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης 24 Στέλλα Σερεμετάκη,Μαθηματικός,MSc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/Απάντηση: Σωστό ΛάθοςΕρώτηση 30ηΤι εκφράζει η αθροιστική συχνότητα Νi ;Επιλογή μίας απάντησης. a. Eκφράζει το πλήθος των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες της τιμής χi b. Eκφράζει το πλήθος των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής χiΕρώτηση 31ηΟι παρατηρήσεις κάθε κλάσης ενός δείγματος αντιπροσωπεύονται απότις κεντρικές τιμέςΑπάντηση: Σωστό ΛάθοςΔιάμεσος δείγματος σε μη ομομαδοποιημένες παρατηρήσειςΗ διάμεσος ενός δείγματος ν παρατηρήσεων οι οποίες έχουν διαταχθεί σεαύξουσα σειρά (όπου το ν είναι περιττός αριθμός) ορίζεται ωςΗ μεσαία παρατήρηση (όταν το ν είναι περιττός αριθμός)Ο μέσος όρος (ημιάθρισμα) των δύο μεσαίων παρατηρήσεων (όταν το νείναι άρτιος αριθμός)Θέση της διαμέσουΓια να υπολογίσουμε τη θέση της διαμέσου εφαρμόζουμε τον εξής τύποόπου το ν μπορεί να είναι άρτιος ή περιττός

Στατιστική / Κουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης 25 Στέλλα Σερεμετάκη,Μαθηματικός,MSc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/ΠαράδειγμαΔίνονται οι παρατηρήσεις 1 5 9Παρατηρώ ότι το ν=3Η διάμεσος βρίσκεται στη θέση 2η θέση διότιΣτη 2η θέση βρίσκεται ο αριθμός 5 επομένως δ=5Ερώτηση 32ηΗ διάμεσος των παρατηρήσεων 4 4 8 9 9 10 11 είναι δ=9, διότι ο αριθμόςτων παρατηρήσεων είναι 7(περιττός) και οι παρατηρήσεις έχουνδιαταχθεί κατά αύξουσα σειράΑπάντηση: Σωστό ΛάθοςΕρώτηση 33ηΗ διάμεσος των 6 παρατηρήσεων 2 4 5 6 7 10 είναιδιότι έχουν διαταχθεί κατά αύξουσα σειρά και το ν=6 άρτιοςΑπάντηση: Σωστό ΛάθοςΔιάμεσος ομαδοποιημένων παρατηρήσεωνΓια να βρούμε τη διάμεσο ενός συνόλου ομαδοποιημένων παρατηρήσεωνακολουθούμε τα εξής βήματα :1ο Βήμα : Κατασκευάζουμε το ιστόγραμμα και το πολύγωνοαθροιστικών σχετικών συχνοτήτων

Στατιστική / Κουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης 26 Στέλλα Σερεμετάκη,Μαθηματικός,MSc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/2ο Βήμα :Βρίσκουμε στον κατακόρυφο άξονα του ιστογράμματος το 50%και φέρνουμε παράλληλη προς τον οριζόντιο άξονα μέχρι να τμήσει τοπολύγωνο στο σημείο ΑΑπό το σημείο τομής Α φέρνουμε κάθετη στον οριζόντιο άξονα .H τιμή που βρίσκουμε πάνω στον οριζόντιο άξονα είναι η διάμεσος .ΠαράδειγμαΤο παρακάτω πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων Fi %αναφέρεται στις ηλικίες 80 κατοίκων ενός χωριού1) Να βρεθεί η διάμεσος των παρατηρήσεωνΛύσηΒρίσκουμε στον κατακόρυφο άξονα του ιστογράμματος το 50% καιφέρνουμε παράλληλη προς τον οριζόντιο άξονα μέχρι να τμήσει τοπολύγωνο(έστω στο σημείο Α).Από το σημείο τομής Α φέρνουμε κάθετηστον οριζόντιο άξονα.H τιμή 48 που βρίσκουμε πάνω στον οριζόντιο άξονα είναι η διάμεσος.Επομένως δ=48

Στατιστική / Κουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης 27Στέλλα Σερεμετάκη,Μαθηματικός,MSc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/Πώς βρίσκουμε τη διάμεσο ενός δείγματος παρατηρήσεων από τοπίνακα συχνοτήτων;ΠαράδειγμαΤιμές χi Συχνότητα νi Αθροιστική συχνότητα Νi13 328 1135 1644 2052 2261 23 71 24Σύνολο 24Επειδή το ν=24 είναι άρτιος αριθμός η διάμεσος θα βρίσκεταιμεταξύ τηςδωδέκατης και της δέκατης τρίτης παρατήρησηςΑπό τη στήλη των αθροιστικών συχνοτήτων συμπεραίνουμε ότι οι τιμέςτων παρατηρήσεων αυτών αντιστοιχούν στη Ν3=16 (εκεί αντιστοιχούν οιτιμές της δωδέκατης παρατήρησης μέχρι και της δέκατης έκτηςπαρατήρησης,οι οποίες είναι όλες ίσες με 3)ΕπομένωςΕρώτηση 34ηΣτο παρακάτω πίνακα δίνεται η κατανομή των βαθμών 40 μαθητών μιαςτάξης στο μάθημα των ΜαθηματικώνΤιμές χi Συχνότητα νi Αθροιστική συχνότητα Νi10 1 111 1 212 4 6

Στατιστική / Κουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης 28 Στέλλα Σερεμετάκη,Μαθηματικός,MSc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/ 13 2 8 14 5 13 15 8 21 16 6 27 17 4 31 18 3 34 19 5 39 20 1 40Σύνολο 40Το ν=40 είναι άρτιος αριθμός επομένως η διάμεσος των δεδομένων είναιίση με το ημιάθροισμα των δυο μεσαίων παρατηρήσεων δηλαδή τηςεικοστής και της εικοστής πρώτης παρατήρησηςΑπό τη στήλη των αθροιστικών συχνοτήτων του πίνακα προκύπτει ότι ητιμή των δυο αυτών παρατηρήσεων αντιστοιχούν στη Ν6=21 και η τιμήςτους είναι 15ΕπομένωςΑπάντηση: Σωστό ΛάθοςΠώς ορίζεται η διακύμανση ενός συνόλου παρατηρήσεων;Αν χ1,χ2,χ3,...,χκ , είναι οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής Χ μεαντίστοιχες συχνότητες ν1,ν2,ν3,..,νκ, και με μέση τιμήτότε η διακύμανση ή διασπορά των παρατηρήσεων ορίζεται από τησχέση

Στατιστική / Κουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης 29 Στέλλα Σερεμετάκη,Μαθηματικός,MSc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/Ερώτηση 35ηΟι βαθμολογίες των μαθητών ενός σχολείου σε ένα διαγώνισμα είναι οιπαρακάτω13 13 14 15 15 15 15 16 16 18Η μέση τιμή της βαθμολογίας είναιΕπομένως η διακύμανση της βαθμολογίας των μαθητών είναιΑπάντηση: Σωστό ΛάθοςΠώς ορίζεται η τυπική απόκλιση ενός συνόλου παρατηρήσεων ;H τυπική απόκλιση s ενός συνόλου παρατηρήσεων ορίζεται ως η θετικήτετραγωνική ρίζα της διακύμανσης δηλαδήΕρώτηση 36ηΗ τυπική απόκλιση s πλεονεκτεί έναντι της διακύμανσης s2 στο ότιεκφράζεται με την ίδια μονάδα μέτρησης με την οποία εκφράζονται καιοι παρατηρήσειςΑπάντηση: Σωστό Λάθος

Στατιστική / Κουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης 30 Στέλλα Σερεμετάκη,Μαθηματικός,MSc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/Ερώτηση 37ηΣε κανονικούς πλυθησμούς το 68%,955,99,7% των παρατηρήσεωνβρίσκονται στα διαστήματααντίστοιχα και το εύρος R είναι περίπου ίσο με 6 τυπικές αποκλίσειςΑπάντηση: Σωστό ΛάθοςΠώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ενός συνόλου παρατηρήσεων;O συντελεστής μεταβολής ή μεταβλητότητας CV ορίζεται από το λόγοεκφράζεται επί τοις εκατό , είναι ανεξάρτητος από τις μονάδες μέτρησηςκαι παριστάνει ένα μέτρο σχετικής διασποράς των τιμών της μεταβλητήςΟμειογενές δείγμαΈνα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής είναι ομοιογενές όταν ο συντελεστήςμεταβολής του CV δεν ξεπερνά το 10%ΠαράδειγμαΗ μέση ημερήσια παραγωγή μιας αυτοκινητοβιομηχανίας Α είναιαυτοκίνητα

Στατιστική / Κουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης 31 Στέλλα Σερεμετάκη,Μαθηματικός,MSc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/και η αντίστοιχη τυπική απόκλιση είναιαυτοκίνηταΗ μέση ημερήσια παραγωγή μιας αυτοκινητοβιομηχανίας Β είναιαυτοκίνητακαι η αντίστοιχη τυπική απόκλιση είναιαυτοκίνηταOι συντελεστές μεταβολής της ημερήσιας παραγωγής αυτοκινήτων τωνδύο βιομηχανιών είναι αντίστοιχα=15%=20%Παρατηρούμε ότιΑυτό σημαίνει ότι η διασπορά της ημερήσιας παραγωγής αυτοκινήτωνσε σχέση με το μέσο όρο είναι μεγαλύτερη στην βιομηχανία ΑΕπομένως στη βιομηχανία Α υπάρχει μεγαλύτερη ομοιογένεια στηνημερήσια παραγωγή αυτοκινήτων από ότι στη βιομηχανία Β

Στατιστική / Κουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης 32 Στέλλα Σερεμετάκη,Μαθηματικός,MSc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/Ερώτηση 38ηΟ συντελεστής μεταβολής CV έχει τις εξής ιδιότητες :1. είναι καθαρός αριθμός2. χρησιμοποιείται ως μέτρο σύγκρισης της μεταβλητότητας δηλαδή τηςδιασποράς των τιμών μιας μεταβλητής σε σχέση με το μέσο όρο3. χρησιμοποιείται ως μέτρο ομοιογένειας του πλυθυσμούΑπάντηση Σωστό ΛάθοςΕρώτηση 39ηΤο εύρος R ενός συνόλου παρατηρήσεων ορίζεται ως η διαφορά τηςελάχιστης παρατήρησης από τη μέγιστη παρατήρησηΑπάντηση: Σωστό ΛάθοςΕρώτηση 40ηΌταν τα δεδομένα είναι ομαδοποιημένα τότε το εύρος R δίνεται από τησχέσηR=ανώτερο όριο της τελευταίας κλάσης - κατώτερο όριο της πρώτηςκλάσηςΑπάντηση: Σωστό ΛάθοςΕρώτηση 41ηΤα μέτρα διασποράς ή μεταβλητότητας εκφράζουν τις αποκλίσεις τωντιμών μιας μεταβλητής γύρω από τα μέτρα κεντρικής τάσης.

Στατιστική / Κουίζ με ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης 33 Στέλλα Σερεμετάκη,Μαθηματικός,MSc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/Τα σπουδαιότερα μέτρα διασποράς είναι το εύρος , η διακύμανση , και ητυπική απόκλισηΑπάντηση: Σωστό Λάθος Αναφορά Αδαμόπουλος Λ.,Δαμιανού Χ., Σβέρκος Α., 2018 Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ΄ Λυκείου. Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών και Εκδόσεων «Διόφαντος»