Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΙΙ

Άλγεβρα Α΄ Λσκείοσ / Λσμένες ασκήσεις /Επιμέλεια: Στέλλα 1Σερεμετάκη Μαθηματικός,MSc in Pure MathematicsΛυμένες ασκήσειςΆσκηση 8ηΔίλεηαη ε f(x)=ιx2+(ι-1)x+ι-1 , λ  Rα. Να βξεζεί ην ι έηζη ώζηε ε f(x)=0 λα έρεη κνλαδηθή ξίδαb.Εάλ λ  0 λα βξείηε ηα λ  R γηα ηα νπνία f(x)>0 γηα θάζε πξαγκαηηθόxc.Αλ ε εμίζσζε f(x)=ιx2+(ι-1)x+ι-1 =0, λ  Rέρεη δύν παξαγακηηθέο ξίδεο x1 , x2i)Να βξείηε ηα x1+x2 θαη x1.x2 ζπλαξηήζεη ηνπ ιii) Να δεηρηεί όηη x12 .x 2  x 2 .x1  0 2iii) Να ιπζεί ε αλίζσζε x12 .x 2  x 2 .x1 1 σο πξνο ι 2 4d.Να βξείηε ηα λ  R ώζηε ε f(x)=ιx2+(ι-1)x+ι-1 =0 λα έρεη δύν ξίδεοίζεοe. Να βξείηε ηα λ  R ώζηε ε ζπλάξηεζε h x  1 λα έρεη πεδίν f xνξηζκνύ όιν ην RΛύσηa.Γηα λα έρεη κνλαδηθή ξίδα πξέπεη ε f(x)=ιx2+(ι-1)x+ι-1λα είλαη 1νπ βαζκνύ.Απηό ζεκαίλεη ι=0Επαλήθευση : Γηα ι=0 ε f(x)=ιx2+(ι-1)x+ι-1 γίλεηαηf(x)=0.x2+(0-1)x+0-1=-x-1, επνκέλσο f(x)=0<->-x-1=0<->x=-1 κνλαδηθήξίδα http://www.mathschoolonline.org/

Άλγεβρα Α΄ Λσκείοσ / Λσμένες ασκήσεις /Επιμέλεια: Στέλλα 2Σερεμετάκη Μαθηματικός,MSc in Pure Mathematicsb.Θέισ f(x)>0 γηα θάζε πξαγκαηηθό x .Απηό ζεκαίλεη όηη πξέπεη Δ<0θαη ν ζπληειεζηήο ι ηνπ x2 ζηε ζρέζε f(x)=ιx2+(ι-1)x+ι-1 λα είλαηζεηηθόο δειαδή ι>0Επνκέλσο, Δ<0 <->(ι-1)2-4ι(ι-1)<0<->(ι-1)[(ι-1)-4ι]<0<->(ι-1)(-3ι-1)<0<-> (ι-1)(3ι+1)>0 -∞ -1/3 -1/3 11 +∞3ι+1 -+ +ι-1 +(ι-1)(3ι+1) -- + +-Άξα Δ<0 εάλ (ι-1)(3ι+1)>0 -> ι< -1/3 ή ι>1Θέισ όκσο λα ηθαλνπνηείηαη θαη ε ζπλζήθε ι>0Επνκέλσο f(x)>0 γηα θάζε πξαγκαηηθό x όηαλ ι>1ci)Γλσξίδσ όηη αλ Δ>0 γηα ηελ αx2+βx+γ=0 ,ηζρύεη x1+x2 =S =-β/αΚαη x1.x2 = P= γ/αΕπνκέλσο S = -(ι-1) / ι θαη P = (ι-1) / ιcii) Ξεθηλώ από ηελ αξρηθή ζρέζε x12 .x 2  x 2 .x1 0 θαη κε ζπλερείο 2ηζνδπλακίεο ζα θαηαιήμσ ζε κία ηειηθή ζρέζε ε νπνία ηζρύεη (άξα ζαηζύεη θαη ε αξρηθή)x12.x2  x 2 .x1  0  x1(x1.x2 )  x2 (x1.x2 )  0  (x1.x2 ).(x1  x2 )  0  2P.S  0 (λ 1) .  λ  1   0 λ 12  0, ισχύει λ  λ    λ2 http://www.mathschoolonline.org/

Άλγεβρα Α΄ Λσκείοσ / Λσμένες ασκήσεις /Επιμέλεια: Στέλλα 3Σερεμετάκη Μαθηματικός,MSc in Pure MathematicsΆξα ε ηζρύεη θαη ε αξρηθή x12 .x 2  x 2 .x1  0 2ciii)x12 .x 2  x 2 .x1  1  P.S  1 λ 12  1 , ΕΚΠ  4λ2 0λ 0 2 4 4 4   λ2 λ  12  1  0  4λ2 λ  12  4λ2 1  0  4  λ  12  λ2  0  4 4 λ2 λ24λ 12  λ2  0  4λ2  8λ  4  λ2  0  5λ2  8λ  4  0Δ=64-80<0 , επνκέλσο ην ηξηώλπκν 5λ2  8λ  4 είλαη νκόζεκν ηνπα=5>0 γηα θάζε πξαγκαηηθό αξηζκό ιΕπνκέλσο ε αλίζσζε 5λ2  8λ  4  0 αιεζεύεη γηα θάζε λ  R ελώε 5λ2  8λ  4  0 είλαη αδύλαηεΆξα ε x12 .x 2  x22.x1  1 αιεζεύεη ηα θάζε λ  R ,ελώ ε 4x12 .x 2  x 2 .x1  1 είλαη αδύλαηε 2 4d.Πξέπεη Δ=0 ηζνδύλακα (βιέπε εξώηεκα b) (ι-1)(3ι+1)<0Απηό ζπκβαίλεη όηαλ -1/3 < ι < 1e.Γηα λα νξίδεηαη ε h(x) πξέπεη f(x)>0 γηα θάζε x  R ,δειαδήιx2+(ι-1)x+ι-1 >0 γηα θάζε x  RΑπηό ζεκαίλεη όηη πξέπεη ην Δ<0 θαη ην ι>0Επνκέλσο ζύκθσλα κε ην b.εξώηεκα (όπσο απνδείμακε )πξέπεη ι>1 http://www.mathschoolonline.org/

Άλγεβρα Α΄ Λσκείοσ / Λσμένες ασκήσεις /Επιμέλεια: Στέλλα 4Σερεμετάκη Μαθηματικός,MSc in Pure MathematicsΆσκηση 9ηΔίλεηαη ε ζπλάξηεζε f x  1 x 4 xa.Να βξεζεί ην π.ν ηεοb.Να δεηρηεί όηη f(x) = -f(-x)c.Να ππνινγηζζεί ε ηηκή ηεο παξάζηαζεο f (2) 12  f (2) 12d.Να ιπζεί ε εμίζσζε f x  1 , x  0 xΛύσηa.Πξέπεη x  0 και 4- x  0 , επνκέλσο έρσ 4- x  0  - x  4  x  4  4  x  4Άξα ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f είλαη ην 4,0  0,4 ή ηζνδύλακα π.ν είλαηην ζύλνιν {x R / x  0 : 4  x  4}b. f x  1 θαη f x  1 , όκσο x  x x 4 x x 4  xΕπνκέλσο f x  1  1  x 4  x   4  x   f  x xc. f (2) 12  f (2) 12  1 1  1 1  2 4 2 2 4  21 1  1 1  1 1   1 1  1 1  1 1 ,(1)2 42 2 4  2 22 22 22 22 http://www.mathschoolonline.org/

Άλγεβρα Α΄ Λσκείοσ / Λσμένες ασκήσεις /Επιμέλεια: Στέλλα 5Σερεμετάκη Μαθηματικός,MSc in Pure MathematicsΌκσο 1 1  0,επομένως, 1 1   1 122 22 22 1 1  0,επομένως, 1 1  1 122 22 22Επνκέλσο ε παξάζηαζε (1) γίλεηαηf (2) 12  f (2) 12  1 1  1 1   1 1 1 1  2 22 22 22 22d. f x  1  1  1 , x  0 (2) x x 4 x xΠεριπτώσεις1η x  0, τότε, x  x2η x  0, τότε, x  xΓηα ηε 1η περίπτωση ε ζρέζε (2) γίλεηαη 1  1 ,πςώλσ ζην x 4x xηεηξάγσλν θαη έρσ 1 2   1 2  1  1  x2  x2(4  x)  x2 x  3  0  x 4x   x  x2(4  x) x2x  0x  3Γηα ηε 2η περίπτωση ε ζρέζε (2) γίλεηαη 1  1 ,πςώλσ ζην x 4x xηεηξάγσλν θαη έρσ http://www.mathschoolonline.org/

Άλγεβρα Α΄ Λσκείοσ / Λσμένες ασκήσεις /Επιμέλεια: Στέλλα 6Σερεμετάκη Μαθηματικός,MSc in Pure Mathematics 1 2   1 2  1  1  x2  x2(4  x)  x2  4x2  x3  0 x 4x   x  x2(4  x) x23x2  x3  0  x2 3  x   0   x0  x  3Άσκηση 10ηΔίλεηαη ε ζπλάξηεζε g α  1 α x2  x  2 ,α  1 4α2  8α  4a.Να ιπζεί ε εμίζσζε g(α)=0 σο πξνο xb .Να ιπζεί ε εμίζσζε g(2)=g(-1)c.Να δεηρζεί όηη g(α)>0 γηα θάζε πξαγκαηηθό xd. Nα δεηρζεί όηη 1α  1 1  0, για κάθε α  R,με α 1 α 1e.Να ιπζεί ε αλίζσζε 1α  1 1  0, για κάθε α  R,με α 1 α 1Λύσηa. Θέισ λα ιύζε ηελ εμίζσζε g α  0, όπου, g(α)  1 α x2  x  2 Υπνινγίδσ 4α2  8α  4 πξνεγνπκέλσο ηε παξάζηαζε 4α2  8α  4  4(α2  2α 1)  4α 12  0,ευόσον,α  1 Επνκέλσο ε (1) γίλεηαη g(α)  1 α x2  x  2  1α x2 x 2 2  1α x2  x  2 α 1 2 1 α 4α 12 Άξα g(α)  1α x2  x  1 1α http://www.mathschoolonline.org/

Άλγεβρα Α΄ Λσκείοσ / Λσμένες ασκήσεις /Επιμέλεια: Στέλλα 7Σερεμετάκη Μαθηματικός,MSc in Pure MathematicsΘέισ g(α)  0  1 α x2  x  1 0 (1) 1αΘέτω 1 α  λ,με λ  0,ευόσον α 1Επνκέλσο ε ζρέζε (1) γίλεηαηλx2  x  1  0  λ2x2  λx 1  0,με λ  0 λΔ=ι2-4ι2.1=-3ι2<0<->Δ<0, απηό ζεκαίλεη όηη ε εμίζσζελ2x2  λx 1  0 είλαη αδύλαηε σο πξνο x ζην ζύλνιν ησλπξαγκαηηθώλ αξηζκώλΆξα ε g(α)=0 είλαη αδύλαηε σο πξνο x ζην ζύλνιν ησλ πξαγκαηηθώλαξηζκώλb. g 2  1 2 x2  x  1  x2  x 1 1 2 g 1  11 x2  x  1  2x2  x  1 11 2Επνκέλσοx2  x 1  2x2  x  1  x2  1  0  x2  1  x   1 22 22c. g α   1α x2  x  1 ,α 1 1αΘέισgα  0  1α x2  x  1 0 1αΓηα λα ζπκβαίλεη απηό δειαδή ην ηξηώλπκν 1 α x2  x  1 λα είλαη 1αζεηηθό γηα όια ηα πεξαγκαηηθά x , πξέπεη Δ<0 θαη 1 α  0 http://www.mathschoolonline.org/

Άλγεβρα Α΄ Λσκείοσ / Λσμένες ασκήσεις /Επιμέλεια: Στέλλα 8Σερεμετάκη Μαθηματικός,MSc in Pure MathematicsΈρσ Δ=1-4=-3<0 <-> Δ<0 θαη 1 α  0 όταν α  1Επνκέλσο g(α)>0 γηα θάζε πξαγκαηηθό xd.Θέισ λδν 1α  1 1  0, για κάθε α  R,με α 1 α 1Όκσο 1 α  α 1 θαη 1 α  0, όηαλ ην α  1 , επνκέλσο ε παξάζηαζε1α  1 1 είναι θετική για κάθε α  R,με α 1 α 1e. Περιπτώσεις1η Γηα 1-α >0<-> -α>-1 <-> α<1 έρσ 1 α 1 α , νπόηε ε1α  1 1  0, για κάθε α  R,με α 1 γίλεηαη α 1(1  α)  1 α) 1  0, για κάθε α  R, με α  1 , πνιιαπιαζηάδσ κε ην (1 ΕΚΠ= (1-α) θαη έρσ (1 α)2 11 α  0  α2  3α  3  0Δ=9-12<0Άξα ην α2 -3α +3 είλαη ζεηηθό δειαδή νκόζεκν ηνπ ζπληειεζηή ηνπ α2γηα όια ηα πξαγκαηηθά α , αιιά επεηδή έρσ ππνζέζεη όηη α<1 , έρσ όηηα2  3α  3  0, για κάθε α 1Επνκέλσο 1α  1 1 0, για κάθε α 1 (Ι) α 12η Γηά 1-α<0 <-> -α<-1<->α>1 έρσ 1 α  1 α νπόηε ε http://www.mathschoolonline.org/

Άλγεβρα Α΄ Λσκείοσ / Λσμένες ασκήσεις /Επιμέλεια: Στέλλα 9Σερεμετάκη Μαθηματικός,MSc in Pure Mathematics1α  1 1 0, για κάθε α  R,με α 1 γίλεηαη α 1(α  1)2  (α 1 1)  1  0  α2  α  1  0, Δ  1  4  3  0 Άξα ην α2 -α +1 είλαη ζεηηθό δειαδή νκόζεκν ηνπ ζπληειεζηή ηνπ α2 γηαόια ηα πξαγκαηηθά α , αιιά επεηδή έρσ ππνζέζεη όηη α>1 , έρσ όηηα2  α 1 0, για κάθε α 1Επνκέλσο 1α  1 1 0, για κάθε α 1 (ΙΙ) α 1Από ηα παξαπάλσ δειαδή ηηο ζρέζεηο (Ι) θαη (ΙΙ) ζπκπεξαίλσ όηη1α  1 1 0, για κάθε α  R,με α 1 α 1 http://www.mathschoolonline.org/