Κλασματικές εξισώσεις

Γ΄ Γυμνασίου / Επαναληπτικές λυμένες ασκήσεις 1 Επιμέλεια : Στέλλα Σερεμετάκη, Μαθηματικός ,Μsc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/Άσκηση 1ηΝα λυθεί η εξισωση3⋅( x −3) −2 ( x−˙ 6) −3⋅x−2 =1−2⋅x+( x+2)4 32 6ΛύσηΠρόκειται για κλασματική εξίσωση στην οποία πρέπει να απαλέιψω τουςπαρονομαστέςΒήμα 1ο3⋅( x −3) −2 ( x−˙ 6) −3⋅x−2 =1−2⋅x+( x+2)4 32 6Εκτελώ επιμεριστικά τις πράξεις(3⋅x −9) −( 2⋅x−12) −(3⋅x−2) =1−2⋅x+( x+2)432 6Βήμα 2οΒρίσκω το ΕΚΠ= 123ο ΒήμαΠολλαπλασιάζω όλους τους όρους με το ΕΚΠ12⋅(3⋅x−9)− 12⋅(2⋅x−12)− 12⋅(3⋅x−2)=12⋅1−12⋅2⋅x+ 12⋅( x+2) 432 64ο ΒήμαΑπαλοίφω τους παρονομαστές3(3x-9)-4(2x-12)-6(3x-2)=12-24x+2(x+2) (1) Γ΄ Γυμνασίου / Επαναληπτικές λυμένες ασκήσεις http://www.mathschoolonline.org/

Γ΄ Γυμνασίου / Επαναληπτικές λυμένες ασκήσεις 2 Επιμέλεια : Στέλλα Σερεμετάκη, Μαθηματικός ,Μsc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/Εκτελώ επιμεριστικά τις πράξεις οπότε η (1) γίνεται9x-27-8x+48-18x+12=12-24x+2x+4Μεταφέρω γνωστούς από αγνώστους9x-8x-18x+24x-2x=12+4+27-48-12 <->5x = -17Διαιρώ και τα δύο μέλη με το 5 και έχωx = -17/5Εξισώσεις Δευτέρου ΒαθμούΣχόλιο: Η συγκεκριμένη άσκηση συνδυάζει και την απλοποίηση ρητώναλγεβρικών παραστάσεωνΆσκηση 2ηΔίνονται οι παραστάσεις Α = 2x3 − 8x και x2 + x − 2Β=  x + x x  ⋅ 6x − 6  2 −1  x2 + xα) Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις Α και ΒΜεθοδολογίαΓράφω για ποιες τιμές του x ορίζονται οι παραστάσειςΠαραγοντοποιώ και τους δύο όρους των παραστάσεωνΔιαγράφω τους κοινούς παράγοντες των όρων της κάθε παράστασηςΛύση 2x3 − 8xΗ παράσταση x2 + x − 2 ορίζεται, αν η μεταβλητή x παίρνει τιμές που δενμηδενίζουν τον παρονομαστή Γ΄ Γυμνασίου / Επαναληπτικές λυμένες ασκήσεις http://www.mathschoolonline.org/

Γ΄ Γυμνασίου / Επαναληπτικές λυμένες ασκήσεις 3 Επιμέλεια : Στέλλα Σερεμετάκη, Μαθηματικός ,Μsc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/Δηλαδή για εκείνα τα x για τα οποία x2 + x − 2 ≠ 0Λύνω την εξίσωση x2 + x − 2 =0Είναι της μορφής αx2+βx+γ=0 μεα=1 β=1 γ = −2∆ = β2 − 4αγ ↔ ∆ =12 − 4 ⋅1⋅ (−2) ↔ ∆ =1 + 8 ↔ ∆ = 9 > 0Άρα η εξίσωση έχει δύο άνισες ρίζες  x=1 −1 + 3= 2= 1  2 2  =x1,2 −β ±=∆ −1=± 9 −1 ± 3 →   2α 2 ⋅1 2   −1 − 3 = −4 =  2 2 −2 x 2 =  Επομένως η παράσταση Α ορίζεται για x≠1 και x≠-2Άρα έχω( ) ( ) ( )=Α x2=2x+3 −x 8−x2 2x x2 − 4 2x x2 − 4 2x x2 − 22 x2=+ x − 2 (x −1=) (x + 2) (x −1) (x + 2) ↔=A 2=x(x(x−−1)2()x(x+ +2)2) 2x (x − 2) x −1Η παράσταση  x + x x  ⋅ 6x − 6 ορίζεται αν η μεταβλητή x παίρνει τιμές  2 −1  x2 + xπου δεν μηδενίζουν τους παρονομαστές , δηλαδή για εκείνα τα x για τα οποίαx −1 ≠ 0 και x2 + x ≠ 0Για να βρω τα x λύνω τις εξισώσεις: x − 1 =0 (1) και x2 + x =0 (2)Από την εξίσωση (1) έχω Γ΄ Γυμνασίου / Επαναληπτικές λυμένες ασκήσεις http://www.mathschoolonline.org/

Γ΄ Γυμνασίου / Επαναληπτικές λυμένες ασκήσεις 4 Επιμέλεια : Στέλλα Σερεμετάκη, Μαθηματικός ,Μsc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/x −1= 0 ↔ x = 1Από την εξίσωση (2) έχω  x=0   x2 + x = 0 ↔ x (x + 1) = 0 →  ή  x + 1 =0 → x =−1Άρα η παράσταση ορίζεται όταν x ≠ −1, 0, 1Β = x2 + x x  ⋅ 6x − 6 = x2 + x x  ⋅ 6(x − 1) =x ⋅ 6(x − 1) + x x 1 ⋅ 6(x − 1) ↔ −1  x2 + x −1  x(x + 1) 2 x(x + 1) − x(x + 1)=Β 3(x −1) + ( x=6+ 1) 3(x(x−+1=1))+ 6 3x( x−=+31+) 6 (3x=x++13) 3((xx=++11)) 3 (x +1)β) Να λύσετε την εξίσωση Α = ΒΜεθοδολογίαΒάζω περιορισμούςΑπαλοίφω τους παρονομαστέςΚάνω πράξεις ώστε να φέρουμε την εξίσωση στην γενική της μορφή(αx2 + βx + γ = 0)Λύνω την εξίσωση με την βοήθεια των τύπωνΕλέγχω τις λύσεις αν γίνονται δεκτές Γ΄ Γυμνασίου / Επαναληπτικές λυμένες ασκήσεις http://www.mathschoolonline.org/

Γ΄ Γυμνασίου / Επαναληπτικές λυμένες ασκήσεις 5 Επιμέλεια : Στέλλα Σερεμετάκη, Μαθηματικός ,Μsc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/ΛύσηΓια x ≠ −1, 0, 1 έχωΑ =Β ↔ 2x (x − 2) =3 ↔ 2x (x − 2) =3 ↔ 2x (x − 2) =3(x −1) ↔ x −1 x −1 12x2 − 4x = 3x − 3 ↔ 2x2 − 4x − 3x + 3 = 0 ↔ 2x2 − 7x + 3 = 0Υπολογίζω τη διακρίνουσα , Δ=25>0Άρα η εξίσωση έχει δύο άνισες ρίζες  x=1 7 +=5 1=2 3 4 4  −β ±=∆ − (−7) ± =25 7±5 → =x1,2 2α 4  2⋅2   x 2= 7 − 5= 2= 1   4 4   2Οι λύσεις που βρήκα γίνονται δεκτέςΤριγωνομετρικοί Αριθμοί – ΣυστήματαΆσκηση 3ηi) Αν συνθ = - 12 και 900 ≤ θ ≤ 1800 να υπολογισθούν τo ημθ και η 13 εφθii) Να λυθεί το σύστημα (ημθ)x − (συνθ)y =1 (−εφθ)x − y =1Για την επίλυση της άσκησης θα χρησιμοποιηθούν οι παρακάτωέννοιες:1) Τριγωνομετρική ταυτότητα ημ2θ+συν2θ=12) Επίλυση εξίσωσης 2ου βαθμού Γ΄ Γυμνασίου / Επαναληπτικές λυμένες ασκήσεις http://www.mathschoolonline.org/

Γ΄ Γυμνασίου / Επαναληπτικές λυμένες ασκήσεις 6 Επιμέλεια : Στέλλα Σερεμετάκη, Μαθηματικός ,Μsc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/3) Τριγωνομετρική ταυτότητα εφθ = ημθ συνθ4) Πρόσημο τριγωνομετρικών αριθμών ημθ και εφθ στο διάστημα από900 έως1800 (ημθ ≥ 0 και εφθ ≤ 0)5) Επίλυση συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους είτε με τημέθοδο των αντίθετων συντελεστών είτε με τη μέθοδο τηςαντικατάστασης6) Επίλυση πρωτοβάθμιας εξίσωσηςΛύσηi) Υπολογίζω το ημθ χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρική ταυτότητα ημ2θ+συν2θ=1ημ2θ+συν2θ=1-> ημ2θ+  − 12 2 =1-> ημ2θ+ 144 =1-> ημ2θ = 1- 144 ->  13  169 169-> ημ2θ = 169 − 144 -> ημ2θ = 25169 169 169Επομένωςημθ = 5 ή ημθ = - 5 13 13Από τις δύο τελευταίες όμως λύσεις αποδεκτή είναι μόνο η ημθ = 5 13αφού στο διάστημα από 900 έως1800 το ημίτονο είναι θετικό ή ίσο μεμηδένΣτη συνέχεια χρησιμοποιώ την τριγωνομετρική ταυτότηταεφθ = ημθ προκειμένου να υπολογίσουμε την εφαπτομένη της γωνίας θ συνθ Γ΄ Γυμνασίου / Επαναληπτικές λυμένες ασκήσεις http://www.mathschoolonline.org/

Γ΄ Γυμνασίου / Επαναληπτικές λυμένες ασκήσεις 7 Επιμέλεια : Στέλλα Σερεμετάκη, Μαθηματικός ,Μsc in Pure Mathematics http://www.mathschoolonline.org/ 5Έχω : εφθ= ημθ -> εφθ= 13 -> εφθ= − 5 συνθ − 12 12 13ii)Αντικαθιστώ στο σύστημα που μας δίνεται τους αριθμούς συνθ, ημθκαι εφθ και έτσι το σύστημα γίνεται[(−153(−)x152−)(]−x11−23y)y==11 ⇔ 5 x + 12 y =1 153 x − 13 12 y =1Απαλοίφω τους παρονομαστές πολλαπλασιάζοντας την πρώτη εξίσωσημε 13 και τη δεύτερη με 12 και έχω1123.((115253xx−+y11)23=y1)2=.113.1 ⇔ 5x + 12y =13 (1) 5x − 12y =12 (2)Λύνω το σύστημα με τη μέθοδο των αντίθετων συντελεστώνπροσθέτοντας κατά μέλη τις εξισώσεις (1) και (2) 25 510x=25 ⇔ x= ⇔ x= 10 2Επομένως από η εξίσωση (1) γίνεται5 25 255( 2 )+12y=13-> 2 +12y=13->12y=13- 2 ->12y= 26 - 25 ->12y= 1 -> y= 1 22 2 24Άρα η λύση του συστήματος είναι (x,y)=( 5 , 1 ) 2 24 Γ΄ Γυμνασίου / Επαναληπτικές λυμένες ασκήσεις http://www.mathschoolonline.org/