Λυμένες ασκήσεις (4)

http://www.mathschool-online.com/ Διαδικτυακό φροντιστήριο μαθηματικών A΄ Γυμνασίου-Κεφ.1ο-Οι φυσικοί αριθμοί Περιεχόμενα Ευκλείδεια διαίρεση- ΕΚΠ-ΜΚΔ - Πρώτοι αριθμοί Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων Κριτήρια διαιρετότητας Ευκλείδεια διαίρεση Εάν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ καιυπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ τέτοιοι ώστε Δ=δ.π+υ όπου υ μεγαλύτερο ή ίσο του 0 και μικρότερο του δ (Δ- διαιρετέος,δ-διαιρέτης,π-πηλίκο,υ- υπόλοιπο ) τότε η διαίρεση αυτή ονομάζεται Ευκλείδεια διαίρεση Προσοχή ! http://www.mathschool-online.com 1

http://www.mathschool-online.com/ Πάντα πρέπει να εξετάζουμε εάν το υπόλοιπο υ ειναι μικρότερο του διαιρέτη δ,διαφορετικα δεν έχουμε ευκλείδεια διαίρεση! Παράδειγμα στην άσκηση 3 ,σελίδα 26 του σχ.βιβ. (β) η 762 = 38 ⋅ 19 + 40 , δεν ειναι ευκλ.διαίρεση ,διότι το υπόλοιπο τηςδιαίρεσης δηλαδή το 40 είναι μεγαλύτερο και του 38 και του 19. Λύση της άσκησης 3 σελ.263(α) είναι, 3(β) δεν είναι ,3(γ) είναι, 3(δ) είναι Αν έχεις απορία επικοινώνησε με το mathschool-online ! Ευκλείδεια ταυτότητα Η ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ Δ=δ.π+υ ονομάζεται Ευκλείδεια ταυτότητα Παράδειγμα: Δ=30 και δ=5 έχω 30 ÷ 5 =6 http://www.mathschool-online.com 2

http://www.mathschool-online.com/δηλαδή το πηλίκο π είναι 6 και το υπόλοιπο υ είναι 0 επομένως η ευκλειδεια ταυτότητα είναι : 30=5.6+0 Τέλεια διαίρεση Αν υ=0 τότε η διαίρεση λέγεται τέλεια.Π.χ, 10/2=5,επομένως 10=2.5+0.Οι αριθμοί 2,5 λέγονται τέλειοι διαιρέτες του 10 γιατί διαιρούν το 10 ακριβώς (δεν αφήνουν υπόλοιπο) Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού α Είναι οι αριθμοί που προκύπτουν απο το πολ/σμό του αριθμού α με όλους τους φυσικόυς, δηλ.το 1.α ,το 2.α, το 3.α, το 4.α, κλπ (δες και τη παράγραφο Α.1.5 σελ.27 σχ.βιβ.) Παράδειγμα Τα πολ/σια του 2 είναι:1.2=2, 2.2=4, 3.2=6, 4.2=8, 5.2=10, 6.2=12, κλπ. Τα πολ/σια του 3 είναι: 1.3 =3, 2.3=6, 3.3=9, 4.3=12, 5.3=15, 6.3=18, 7.3=21,8.3=24, κλπ. http://www.mathschool-online.com 3

http://www.mathschool-online.com/ Κοινό πολλαπλάσιοΤο πολ/σιο που είναι κοινό και για το 2 και για το 3 είναι το 6 και λέγεται κοινό πολ/σιο των 2 και 3 Τα πολ/σια του 4 είναι: 1.4=4, 2.4=8, 3.4=12, 4.4=16, 5.4=20, 6.4=24,κλπ Eλάχιστο κοινό πολλαπλάσιο Τα κοινά πολ/σια των 3 και 4 είναι: το 12 καιτο 24 .Το μικρότερο από αυτά δηλαδή το 12 και λέγεται Ελάχιστο Κοινό Πολ/σιο των αριθμών 3 και 4 Γράφουμε λοιπόν ΕΚΠ (3,4)=12 δες και την εφαρμογή 1. σελιδά 27 σχ.βιβ. Επομένως: Το μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια που έχουν δυο ή περισσότεροι αριθμοί λέγεται ΕΚΠ Μέγιστός κοινός διαιρέτης Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (ΜΚΔ) είναι ο μεγαλύτερος από τους κοινούς διαιρέτες δύο ή περισσότερων αριθμών http://www.mathschool-online.com 4

http://www.mathschool-online.com/ Παραδείγματα Λύση άσκησης 7 σελ.30 σχ.βιβ. (α) ΜΚΔ (5,8)=1 Επεξήγηση : Oι διαιρέτες του 5 είναι ο 1 και ο 5 Ενώ οι διαιρέτες του 8 είναι ο 1,2,4 και ο 8Ο κοινός τους διαιρέτης είναι ο 1 και μάλιστα ειναιο ΜΚΔ aφού δεν υπάρχει άλλος κοινός διαιρέτης. (β) ΜΚΔ (16,24)=8 Επεξήγηση : οι διαιρέτες του 16 είναι οι 1, 2,4,8,16 Οι διαιρέτες του 24 είναι οι 1,2,3,4,6,8,12,24 Οι κοινοί διαιρέτες τους είναι οι 1,2,4,8 Ο μεγαλύτερος απο τους κοινούς διαιρέτες τους είναι ο 8 Δηλαδή ο ΜΚΔ τους είναι ο 8 (γ) ΜΚΔ (30,15)=15 http://www.mathschool-online.com 5

http://www.mathschool-online.com/ Επεξήγηση : οι διαιρέτες του 30 είναι οι 1,2,3,5,10,15,30 οι διαιρέτες του 15 είναι οι 1,3,5,15Ο μεγαλύτερος απο τους κοινούς διαιρέτες τους είναι ο 15 Δηλαδή ο ΜΚΔ τους είναι ο 15 (δ) ΜΚΔ (10,30,60)=10 Επεξήγηση : οι διαιρέτες του 10 είναι οι 1,2,5,10 του 30 είναι οι 1,2,3,5,10,15,30 του 60 είναι οι 1,2,3,4,5,6,10Ο μεγαλύτερος απο τους κοινούς διαιρέτες τους είναι ο 10 Δηλαδή ο ΜΚΔ τους είναι ο 10 (ε) ΜΚΔ (22,32,50)=2 Επεξήγηση : οι διαιρέτες του 22 είναι οι 1,2,11,22 του 32 είναι οι 1,2,4,8,16,32 http://www.mathschool-online.com 6

http://www.mathschool-online.com/ Ο μεγαλύτερος απο τους κοινούς διαιρέτες τους είναι ο 2 Δηλαδή ο ΜΚΔ τους είναι ο 2 Πρώτος αριθμός Ο αριθμός που έχει διαιρέτες ΜΟΝΟ τον εαυτό του και τη μονάδα. Π.χ, ο 5 διαιρείται μόνο με το 5 και το 1 Κριτήρια Διαιρετότητας Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται (τέλεια) με: το 2,αν λήγει σε 0,2,4,6,8Π.χ, το 254 διαιρείται με το 2,διότι λήγει σε 4το 3 ή το 9 αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3 ή το 9Π.χ,α) το 84 διαιρείται με το 3, διότι 8+4=12 Το 3 διαιρεί το 12 επομένως διαιρεί και το 84 Π.χ ,β) το 99 διαιρείται με το 9 διότι 9+9=18 Το 9 διαιρεί το 18 επομένως διαιρεί και το 99το 5,αν λήγει σε 0 ή 5 http://www.mathschool-online.com 7

http://www.mathschool-online.com/Π.χ,α) το 340 διαιρείται με το 5,διότι λήγει σε0Π.χ, β) το 345 διαιρείται με το 5,διότι λήγεισε 5το 10,aν λήγει σε 0Π.χ, το 130 διαιρείται με το 10,διότι λήγει σε 0το 4 ή το 25, αν τα δύο τελευταία ψηφία του σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 4 ή το 25 αντίστοιχα.Π.χ ,α) το 124 διαιρείται με το 4 διότι τα δύοτελευταία ψηφία του σχηματίζουν αριθμό 24 πουδιαιρείται διαιρείται με το 4Π.χ , β) το 225 διαιρείται με το 25 διότι ταδύο τελευταία ψηφία του σχηματίζουν αριθμό 25που διαιρείται με το 25Π.χ,γ) το 120 διαιρείται με το 4 διότι τα δύοτελευταία ψηφία του σχηματίζουν αριθμό 20 πουδιαιρείται διαιρείται με το 4 http://www.mathschool-online.com 8

http://www.mathschool-online.com/Πως αναλύουμε τους φυσικούς αριθμούς σε παράγοντες με τη βοήθεια των Κριτηρίων Διαιρετότητας Παραδείγματα Λύση της άσκησης 12 σελίδα 30 σχ.βιβa)78 2 Σχηματίζουμε το εξής δένδρο39 3 78 ÷ 2 =3913 13 39 ÷ 3 =13 1 13 ÷ 13 =1 Επομένως : 78 = 2 ⋅ 3 ⋅ 13β)348 2 348 ÷ 2 =174 174 2 87 3 174 ÷ 2 =87 29 29 87 ÷ 3 =29 1 29 ÷ 29 =1 Επομένως : 348 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 29 348 = 22 ⋅ 3 ⋅ 29http://www.mathschool-online.com 9

http://www.mathschool-online.com/γ)1210 2 1210 ÷ 2 =605 605 5 605 ÷ 5 =121 121 121 121 ÷ 121 =1 Eπομένως:1 1210 = 2 ⋅ 5 ⋅ 121δ)2344 2 2344 ÷ 2 =11721172 2586 2 1172 ÷ 2 =586293 2931 586 ÷ 2 =293 293 ÷ 293 =1 Επομένως : 2344= 23 ⋅ 293http://www.mathschool-online.com 10

http://www.mathschool-online.com/ ΣΥΜΒΟΥΛΗΝΑ ΜΑΘΕΙΣ ΠΟΛΥ ΚΑΛΑ ΤΗΝ ΠΡΟΠΑΙΔΕΙΑβοηθά στο να βρίσκεις τους διαιρέτες των φυσικών αριθμών. Αν έχεις οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το mathschool-online ! Καλή ανάγνωση ! http://www.mathschool-online.com 11