บทที่ 5

IS R jXL R jXL R jXL R jXL IR G jBC G jBC G VR VS jBC ในการวิเคราะหว์ งจรเทียบเคียงทใี่ ชแ้ ทนสายส่งจะแบ่งตามความยาวของสายส่งเปน็ 3 ประเภท คือ 1) สายสง่ ระยะสั้น (Short transmission line) มีความยาวไมเ่ กนิ 50 mile (80 km) 2) สายส่งระยะปานกลาง (Medium transmission line) มคี วามยาวระหว่าง 50 – 150 mile (80 – 240 km) 3) สายส่งระยะยาว (Long transmission line) มีความยาวมากกวา่ 150 mile (240 km) 1

5.1 สายสง่ กาลังไฟฟา้ ระยะส้ัน (Short transmission line) IS R jXL IR VS VR l เม่อื R = ความตา้ นทานของสายส่งต่อเฟส XL = อนิ ดักตฟี รแี อกแตนซ์ของสายส่งตอ่ เฟส Z = อิมพแี ดนซ์ของสายส่งต่อเฟส l = ความยาวของสายส่ง VS , IS = แรงดนั และกระแสไฟฟ้าดา้ นต้นสาย (Sending end) VR , IR = แรงดนั และกระแสไฟฟ้าดา้ นปลายสาย (Receiving end) 2

5.1.1 วธิ ีพีชคณติ เชิงซ้อน วิธีนี้ทาไดโ้ ดยนาทฤษฎวี งจรไฟฟ้ามารว่ มพจิ ารณา จะได้สมการดงั น้ี VS = VR + RZ S = R =  VR = VS  RZ จดั สมการ ให้อยู่ในรูปเมตรกิ ซ์ (Matrix) VS  = 1 Z VR   S  0 1  R  กาหนดให้ ABCD เปน็ คา่ คงทีข่ องสายสง่ โดย A = 1, B = Z, C = 0 และ D = 1 VS  = A B VR   S  C D  R  3

5.1.2 วิธเี ฟสเซอร์ไดอะแกรม แบ่งตามลกั ษณะของโหลดออกเปน็ 3 กรณี คือ 1) กรณีสายสง่ ระยะสน้ั มีคา่ ตวั ประกอบกาลงั (Power factor) ล้าหลัง (Lagging) d VS IRZ VR qR qR qS IRR jIRXL IS = IR = I เฟสเซอรไ์ ดอะแกรมคา่ ตวั ประกอบกาลงั ลา้ หลัง (Lagging) VS = VR cos qR + IRR2 + VR sin qR+ IRXL 2 4

2) กรณีสายส่งระยะส้ันมีคา่ ตวั ประกอบกาลัง (Power factor) นาหนา้ (Leading) IS = IR = I VS jIRXL VR qS qR d IRZ IRR qR เฟสเซอรไ์ ดอะแกรมค่าตัวประกอบกาลงั นาหน้า (Leading) VS = VR cos qR+ IRR2 + VR sin qR  IRXL 2 5

3) กรณีสายส่งระยะสนั้ มีค่าตัวประกอบกาลัง (Power factor) เทา่ กับ 1 (Unity) VS jIRXL qS VR IS = IR = I IRR เฟสเซอรไ์ ดอะแกรมคา่ ตวั ประกอบกาลงั เท่ากบั 1 (Unity) VS = VR + IRR 2 + IRXL 2 d = qS  qR เม่อ qS = มมตา่ งเฟสระหว่าง IS กบั VS qR = มมต่างเฟสระหวา่ ง IR กบั VR d = มม องโหลด 6

5.1.3 การควบคมุ แรงดันไฟฟา้ (Voltage regulation) Voltage regulation = VR,NL  VR,NL x 100 VR,FL เมอ่ VR,NL = นาด องแรงดนั ไฟฟาดา้ นปลายสายตอ่ เฟส ณะไม่มโี หลด เนอ่ งจาก VR,FL = นาด องแรงดนั ไฟฟาด้านปลายสายตอ่ เฟส ณะจา่ ยโหลดเต็มที่ VS = นาด องแรงดันไฟฟาด้านตน้ สายตอ่ เฟส ณะไมม่ ีโหลด และ VR = นาด องแรงดันไฟฟาด้านปลายสายตอ่ เฟส ณะจ่ายโหลดเต็มที่ Voltage regulation = VS  VR x 100 VR 7

5.1.4 ประสิทธิภาพของสายสง่ ระยะส้ัน (Efficiency ; ) = Output x 100 Input = 3VRIR cos qR x 100 = PR 3VSIS cos qS PS โดย PL = PS  PR เมอ่ PR = กาลงั ไฟฟาดา้ นปลายสายส่ง PS = กาลงั ไฟฟาดา้ นต้นสายส่ง PL = กาลังไฟฟาสู เสยี องสายส่ง ้าตอ้ งการหาคา่ ประสท า องสายสง่ ระยะสั้น นรูป องกาลังไฟฟาสู เสีย (Loss) ทาไดด้ ังน้ี Output = Output + Loss x 100 กรณีสางสง่ 1 เฟส = VRIR cos qR x 100 VRIR cos qR + 2IR2R กรณีสางสง่ 3 เฟส = 3VRIR cos qR x 100 3VRIR cos qR + 3IR2 R 8

ตวั อยา่ งท่ี 5.1 สายส่งกาลังไฟฟ้า 1 เฟส ระยะทาง 40 km จ่ายกาลังไฟฟา้ ให้โหลดท่แี รงดนั 22 kV, 2,000 kW มเี พาเวอรแ์ ฟกเตอร์ 0.8 ล้าหลัง ตลอดระยะสายสง่ มคี า่ ความตา้ นทานและรีแอกแตนซ์ เป็น 4  และ j6  ตามลาดบั จงหาค่าตา่ งๆ ดังน้ี ก) แรงดนั ไฟฟา้ ต้นสาย วิธีทำ ข) เพาเวอรแ์ ฟกเตอรต์ น้ สาย …………………………………… ค) การควบคุมแรงดนั ไฟฟา้ ………………………………..…. ง) ประสิทธิภาพของสายส่ง ตัวอย่างท่ี 5.2 สายส่งกาลังไฟฟ้า 3 เฟส ระยะทาง 50 km จา่ ยกาลงั ไฟฟ้าให้โหลดแบบสมดลุ ท่ี แรงดัน 22 kV, 5,000 kW เพาเวอรแ์ ฟกเตอร์ 0.8 ล้าหลงั สายสง่ มคี ่าความตา้ นทานและรแี อกแตนซ์ ต่อเฟสตอ่ กิโลเมตรเป็น 0.1  และ j0.2  ตามลาดับ จงหาคา่ ตา่ งๆ ดังน้ี ก) แรงดันไฟฟา้ ต้นสาย ข) กระแสไฟฟา้ ตน้ สาย วิธีทำ ค) มุมตา่ งเฟสระหวา่ งแรงดันไฟฟา้ ตน้ สายกับปลายสาย …………………………………… ง) เพาเวอรแ์ ฟกเตอรต์ ้นสาย ………………………………..…. จ) การควบคุมแรงดันไฟฟ้า ฉ) ประสทิ ธิภาพของสายส่ง 9

5.2 สายสง่ กาลงั ไฟฟา้ ระยะปานกลาง (Medium transmission line) 5.2.1 วงจรเทยี บเคียงแบบ T (Nominal T circuit) IS R/2 j(XL/2) j(XL/2) R/2 IR IS Z/2 Z/2 IR VS jBC G VR VS Y VY VR VS = ( 1 + 1 ZY ) VR + ( Z + 1 YZ 2 ) IR 2 4 IS = Y A + ( 1 + 1 ZY B 2 ) IR VR CD เ ยี น นรปู เมตรกซ์ (Matrix) ไดด้ งั นี้ 1 2  VS  1 + 1 YZ Z + 1 YZ 2   VR  ไดค้ า่ คงที่ A = 1 + YZ = D   2 4    = 1 B = Z + 1 YZ2    2    4  S   Y 1 + YZ   R  C=Y 10

5.2.2 วงจรเทียบเคยี งแบบ  (Nominal  circuit) IS IR jXL I IR IS I Z I IR IC1 IC2 IC1 IC2 VS C/2 G/2 C/2 G/2 VR VS Y/2 Y/2 VR VS = ( 1 + 1 YZ ) VR + Z IR 2 1AB 1 4 Y2Z 2 IS = ( Y + ) VR + ( 1 + YZ ) IR CD เ ียน นรปู เมตรกซ์ (Matrix) ได้ดังน้ี  VS   1 + 1 YZ Z   VR  ได้คา่ คงท่ี A = 1 + 1 YZ = D    2    2   =  1 2Z 1    B=Z 1    4 2    4 S Y + Y 1 + YZ R C = Y + Y 2Z 11

การควบคมแรงดันไฟฟา (Voltage regulation)  Voltage regulation = VS  A  VR,FL x 100 VR,FL เม่อ VS = นาดแรงดันไฟฟาดา้ นต้นสายส่งต่อเฟส VR,FL = นาด องแรงดนั ไฟฟาด้านปลายสายตอ่ เฟส ณะจ่ายโหลดเตม็ ที่ A = นาด องค่าคงท่ี A องสายส่ง 5.3 สายส่งกาลังไฟฟา 3 เฟส นาดแรงดัน 138 kV ต่อกบั โหลด 49 MW ที่เ าเวอรแ์ ฟก เตอร์ 0.85 ลา้ หลงั มคี า่ Z = 95 78°  และ Y = 0.001 90° S จง ว้ งจรเทียบเคียงแบบ T หาค่า ตอ่ ไปนี้ ก. คา่ คงที่ A, B, C และ D องสายสง่ . แรงดันไฟฟาท่สี ายดา้ นตน้ สายสง่ วธิ ที ำ ค. กระแสไฟฟาทีส่ ายด้านตน้ สายส่ง …………………………………… ง. เ าเวอรแ์ ฟกเตอร์ตน้ สาย ………………………………..…. จ. การควบคมแรงดนั ไฟฟา . ประสท า องสายส่ง 12

5.3 สายสง่ กาลงั ไฟฟา้ ระยะยาว (Long transmission line) dVX IR VX VR IS IX+dIX zdx dIX VS VX+dVX ydx x=l dx x l dx = สว่ นยอ่ ย องสายส่งท่ี จารณา VX และ IX = แรงดนั และกระแสไฟฟาทางด้านปลาย อง dx z และ y = อม แี ดนซแ์ ละแอดมตแตนซต์ อ่ หน่วยความยาว zdx และ ydx = อม แี ดนซแ์ ละแอดมตแตนซ์ที่ประกอบอยู่ นส่วน อง dx VX+d VX และ IX+d IX = แรงดนั และกระแสไฟฟาทางดา้ นตน้ อง dx 13

V(x) = (cosh yz x) VR + ( z / y sinh yz x) IR AB I(x) = ( y / z sinh yz x) VR + (cosh yz x) IR CB V(x) = (cosh x)VR + (ZCsinh x) IR I(x) = (YCsinh x)VR + (cosh x) IR ZC = z / y = อม ีแดนซ์ลกั ณะ (Characteristic impedance) ตอ่ หนว่ ยความยาว YC = y / z = แอดมตแดนซล์ ัก ณะ (Characteristic admittance) ต่อหน่วยความยาว สาหรบั ค่า  เปนคา่ ทเี่ กดจากรูปคล่นแม่เหล็ก นสายส่ง ซง่ ทา ห้ นาดมม องแรงดันและกระแสมี การเปลีย่ นแปลง เราเรียกค่า  นวี้ ่า “คา่ คงที่ องการแ ร่กระจายคลน่ (Propagation constant)”  = yz =  + j เมอ่  = คา่ คงทล่ี ดจานวน (Attenuation constant : ซ่งหมาย ง V และ I ทล่ี ดจานวน ตามท ทางการเคลอ่ นที่ นสายส่ง) มีหนว่ ยเปนเนเปอร์ (Nepers) ต่อหนว่ ยความยาว  = คา่ คงท่ีเ งมม (Phase constant : ซง่ หมาย งมมระหว่าง V และ I หรอ V กับ I ทีเ่ กด น้ ณะรูปคลน่ แม่เหล็กไม่มี ลต่อมมดงั กล่าว) มีหนว่ ยเปนเรเดียลตอ่ หน่วยความยาว 14

5.3.1 การคานวณสายสง่ ระยะยาวด้วยสมการฟังก์ชั่นไฮเพอร์โบลิก (Hyperbolic function) ฟังก์ ่ันไฮเ อรโ์ บลกจะมอี ยู่ นรูป องฟงั ก์ ัน่ เอกซโ์ เนนเ ยี ล (Exponential function ; ex ) ดงั น้ี 1 1 sinh = 2 (eq  eq) และ cosh = 2 (eq  eq) เม่อ x เปนความยาว องสายสง่ ท้งั หมดหรอ x = l ทา หส้ มการ 5.42 และสมการ 5.43 มคี ่าเปน VS = (cosh l)VR + (ZCsinh l) IR IS = (YCsinh l)VR + (cosh l) IR จดั ให้อยใู่ นรูปของเมตรกิ ซ์ VS  =  cosh l ZCsinh l VR   IS  YCsinh l cosh l   IR  VR  =  cosh l ZCsinh l VS    YCsinh l     IR  cosh l   IS  VR = (cosh l)VS  (ZCsinh l) IS IR =  (YCsinh l)VS+ (cosh l) IS 15

VS  = A B VR   IS  C D  IR  VR  = A B VS    C     IR  D   IS  A = cosh l B = ZCsinh l C = YCsinh l D = A = cosh l โดย = 1 (e l  el ) 2 sinh l cosh l = 1 (e l  el ) 2 16

ฟงั ก์ นั่ ไฮเ อร์โบลก (Hyperbolic function) นสมการทั้งหมดหาคา่ ไดด้ งั น้ี วธิ ีท่ี 1 : sinh l = sinh(l  jl) sinh l = sinh l cosh l  jcosh l sinh l) cosh l = cosh(l  jl) cosh l = cosh l cosh l  jsinh l sinh l) วิธที ี่ 2 : 1 2 sinh l = sinh(l  jl) = (e le jl  elejl ) sinh l = 1 (e l l  e  l  l ) 2 cosh l = cosh(l  jl) = 1 (ele jl  elejl ) 2 cosh l = 1 (e l l  el  l ) 2 มม l นสมการ 5.62 และสมการ 5.63 เปนมมเรเดยี ล ดงั น้นั จงต้องเปล่ียนมมดังกลา่ ว ห้เปนมมอง า เ น่ l = 0.4582 rad. = 180 x 0.4582 = 26.25 17 

ตวั อย่างที่ 5.5 สายส่งกาลังไฟฟ้า 3 เฟส ระยะทาง 150 mile ขนาด 50 Hz ตอ่ เข้ากับโหลด ขนาด 50 MVA, 230 kV ท่เี พาเวอรแ์ ฟกเตอร์ 0.85 ล้าหลัง มคี ่า R = 0.1858 /mile, L = 2.6 mH/mile และ C = 0.012 F/mile จงหาคา่ ตอ่ ไปนี้ ก) ค่าคงที่ A, B, C และ D ของสายสง่ ข) แรงดนั ไฟฟ้าท่ีสายดา้ นต้นสายสง่ ค) กระแสไฟฟ้าที่สายด้านต้นสายสง่ ง) เพาเวอรแ์ ฟกเตอร์ต้นสาย จ) กาลงั ไฟฟา้ ดา้ นต้นสายสง่ ฉ) กาลงั ไฟฟ้าสญู เสียของสายส่ง ช) การควบคุมแรงดนั ไฟฟา้ วธิ ที ำ ซ) ประสิทธิภาพของสายสง่ …………………………………… ………………………………..…. 18

5.3.2 การเขียนวงจรเทยี บเคียงแบบ T และแบบ  แทนสายสง่ ระยะยาว IS Z IR IS Z2T Z2T IR VS Y2 Y2 VR VS YT VR (ก) วงจรเทียบเคยี งแบบ  ( ) วงจรเทียบเคียงแบบ T กรณวี งจรเทยี บเคยี งแบบ  กรณวี งจรเทยี บเคยี งแบบ T YT = C Z = B หรอ หรอ Y = A 1 ZT = A 1 2 B 2 C 19

5.4 คา่ คงที่ ABCD ของสายสง่ กาลังไฟฟ้า IS ABCD constant IR VS VR (Passive network) การแทนวงจรไฟฟา้ 2 ทาง ดว้ ยคา่ คงที่ ABCD VS = AVR + BIR IS = CVR + DIR 1) ค่าคงที่ องสายส่งระยะสนั้ สมการแรงดนั และกระแส องวงจร คอ VS = VR + ZIR IS = IR ABCD คอ เม่อเทยี บค่าสมั ประสท จะได้ค่าคงที่ A =1 B=Z C=0 D=1 20

2) คา่ คงที่ องสายส่งระยะปานกลาง - วงจรเทยี บเคยี งแบบ T สมการแรงดนั และกระแส องวงจร คอ 1 1 VS = ( 1+ 2 ZY ) VR + ( Z + 4 YZ 2 ) IR AB 1 IS = Y VR + ( 1 + 2 ZY ) IR CD เม่อเทยี บค่าสัมประสท จะไดค้ า่ คงที่ ABCD คอ 1 1 A = 1 + 2 YZ B = Z + 4 YZ2 C=Y D = 1 + 1 YZ 2 - วงจรเทียบเคียงแบบ  สมการแรงดันและกระแส องวงจร คอ 1 VS = ( 1 + 2 YZ ) VR + Z IR AB 1 1 2 IS = ( Y + 4 Y 2Z ) VR + ( 1 + YZ ) IR CD เม่อเทยี บค่าสมั ประสท จะไดค้ า่ คงที่ ABCD คอ 1 A = 1 + 2 YZ B=Z C = Y + 1 Y2Z D = 1 + 1 YZ 21 4 2

3) คา่ คงที่ องสายสง่ ระยะยาวสมการแรงดันและกระแส องวงจร คอ VS = (cosh l) VR + (ZCsinh l) IR AB IS = (YCsinh l) VR + (cosh l) IR CD เมอ่ เทยี บค่าสัมประสท จะไดค้ า่ คงท่ี ABCD คอ A = (cosh l) B = ZCsinh l C = YCsinh l D = (cosh l) ค่าความสัม ัน ์ องคา่ คงท่ี ABCD จะเปนไปตามสมการดังน้ี AD  BC = 1 เม่อ A = D เปนจานวนเ งซ้อนไม่มีหน่วย B = อม ีแดนซ์ () C = แอตมตแตนซ์ (S) 22