05. Επανάληψη στο κεφάλαιο Συναρτήσεις

ΔΗΜΗΤΡΗΣ Α. ΤΣΟΡΜΠΑΤΖΙΔΗΣ φυσικός µέλος της ένωσης ελλήνων φυσικών αριστοτέλειο πανεπιστήµιο θεσσαλονίκης σχολή θετικών επιστηµώνΜαθηµατικάΘετικών Σπουδών &Σπουδών Οικονοµίας/Πληροφορικής Ενότητα 5 Επανάληψη στο κεφάλαιο “Συναρτήσεις” Αναλυτικές απαντήσεις βοηθήµατος Παπαδάκης Β. (2016), Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου Γ1: Προσανατολισµός Θετικών Σπουδών & Σπουδών Οικονοµίας & Πληροφορικής (τοµ. Α), Αθήνα, Εκδ. Σαββάλας εκδόσεις ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ Science · Technology · Engineering & Mathematics Library



ΔΗΜΗΤΡΗΣ Α. ΤΣΟΡΜΠΑΤΖΙΔΗΣ φυσικός µέλος της ένωσης ελλήνων φυσικών αριστοτέλειο πανεπιστήµιο θεσσαλονίκης σχολή θετικών επιστηµώνΜαθηµατικάΘετικών Σπουδών &Σπουδών Οικονοµίας/Πληροφορικής Ενότητα 5 Επανάληψη στο κεφάλαιο “Συναρτήσεις” Αναλυτικές απαντήσεις βοηθήµατος Παπαδάκης Β. (2016), Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου Γ1: Προσανατολισµός Θετικών Σπουδών & Σπουδών Οικονοµίας & Πληροφορικής (τοµ. Α) Αθήνα, Εκδ. Σαββάλας

Αναλυτικές απαντήσεις βοηθήματοςΠαπαδάκης Β. (2016), Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Γ1): Προσανατολισμός ΘετικώνΣπουδών & Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής (τομ. Α), Αθήνα, Εκδ. ΣαββάλαςΣυγγραφή, επιστημονική & γραφιστική επιμέλεια: Δημήτρης ΤσορμπατζίδηςΠρώτη έκδοση:  Αύγουστος 2018Πνευματικά δικαιώματα:  ©2018 Δημήτρης ΤσορμπατζίδηςΕπιτρέπεται η αναδημοσίευση και γενικά η αναπαραγωγή εν όλω ή εν μέρει έστω και μιαςσελίδας ή και περιληπτικά, κατά παράφραση ή διασκευή, του παρόντος έργου με οποιονδήποτεηλεκτρονικό τρόπο μέσω μέσων κοινωνικής δικτύωσης (Facebook, Instagram, Twitter κλπ.)χωρίς προηγούμενη γραπτή άδεια του συγγραφέα-εκδότη, με την προϋπόθεση της μη-τροπο-ποίησης του περιεχομένου, για το οποίο αποκλειστικός υπεύθυνος είναι ο συγγραφέας-εκδότης.Κεντρική διάθεση & επικοινωνία διαδικτυακό φροντιστήριο ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ Οµάδες Προσανατολισµού Θετικών & Ανθρωπιστικών Σπουδών γυµνάσιο · λύκειο · α.ε.ι. το µέλλον της φροντιστηριακής κπαίδευσης... σήµερα!Τηλ.: 6979007844  |  e-mail: [email protected]  |  fb: @epistimonikivivliothiki

5 Ενότητα Επανάληψη στο κεφάλαιο “Συναρτήσεις”5.1 Η δεδομένη συνάρτηση αποτελείται από τρεις • είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [0, +∞). iii) Επίσης, από την απάντηση του ερωτήματος (i), πα-κλάδους: μια γραμμική συνάρτηση, μια παραβολή και ρατηρούμε ότι η f παρουσιάζει:μια υπερβολή. • (ολικό) ελάχιστο στη θέση x = -1 το f(-1) = 0,i) Για τη γραμμική συνάρτηση, αρκεί να βρούμε τις • (ολικό) μέγιστο στη θέση x = -3 το f(-3) = 3.συντεταγμένες των σημείων που αντιστοιχούν στα άκρα iv) Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις, ανάλογα με τιςτου αντίστοιχου διαστήματος. Έχουμε, τότε, ότι για x = τιμές του α:-5: • αν α = 0, τότε, από το διάγραμμα στην ερώτηση (i), η εξίσωση f(x) = α έχει μία μόνο λύση, την x = -1,και για x = -3: • αν α < 0, τότε, από το ίδιο διάγραμμα, η εξίσωση f(x) = α < 0 δεν έχει λύσεις (είναι αδύνατη), αφού, όπως μπο-Άρα, τα δύο σημεία της ευθείας είναι τα Α(-5, 0) και Β(- ρούμε να παρατηρήσουμε, η γραφική παράσταση της f3, 4). βρίσκεται στο άνω ημιεπίπεδο, οπότε, η f παίρνει μόνοΓια την παραβολή, παρατηρούμε ότι αυτή είναι μετατο- θετικές τιμές (ή μηδέν).πισμένη ως προς την οριζόντια διεύθυνση κατά 1 μονάδαπρος τ’ αριστερά. yΤέλος, για την υπερβολή, παρατηρούμε ότι και αυτή εί- Cf 4ναι μετατοπισμένη ως προς την οριζόντια διεύθυνσηκατά 1 μονάδα προς τ’ αριστερά. 1η 2η 3η 1 4η y=α By x΄-5 -3 -1 Ο x y΄ 4Α1 Cf • αν 0 < α < 1, τότε, η εξίσωση f(x) = α έχει τέσσεριςx΄-5 -3 -1 Ο x ρίζες, αφού, όποια ευθεία παράλληλη στον άξονα x΄x φέ- ρουμε, αυτή θα τέμνει τη γραφική παράσταση σε τρία y΄ σημεία, όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα,Η γραφική παράσταση της f φαίνεται στο παραπάνω δι- yάγραμμα. Cf 4ii) Από τη γραφική παράσταση του προηγούμενουερωτήματος, μπορούμε πολύ εύκολα να συμπεράνουμε 1η 2η 3η 1 y=1ότι η f:• είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (-5, -3), x΄-5 -3 -1 Ο x• είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [-3, -1], y΄• είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [-1, 0], • αν α = 1, τότε, η εξίσωση f(x) = α έχει τρεις ρίζες, αφού η ευθεία y = 1 τέμνει τη γραφική παράσταση σε

6 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ”τρία σημεία, με τον άξονα x΄x είναι τα (-1, 0) και (5, 0). Άρα, οι ζητού- μενες λύσεις της εξίσωσης είναι: x = -3 ή x = -1 ή x = 3 ή y x = 5. v) Η ζητούμενη περιοχή αναπαριστάται στο διάγραμμα Cf 4 όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα: 1η 2η y=α y 1x΄-5 -3 -1 Ο x 4 y΄ Cg 2• αν 1 < α < 4, τότε, η εξίσωση f(x) = α έχει δύο ρίζες, -3 -1 1 2 3 4 5 6όπως φαίνεται και στο παραπάνω σχήμα,• αν α = 4, τότε, η εξίσωση f(x) = α έχει μία ρίζα, την x΄-5 -2 Ο -1 xx = -3. Cf -2 -3 -45.2 i)  Το πεδίο ορισμού κάθε συνάρτησης προκύπτει y΄από το δεδομένο διάγραμμα και τις προβολές των γραφι- Παρατηρούμε, τότε, ότι:κών παραστάσεων στον άξονα x΄x. Τότε, για τη συνάρ-τηση f έχουμε:και για τη συνάρτηση g έχουμε: ή, ισοδύναμα, x∈(-1, 1)∪(3, 5). vi) Αρκεί να παραγοντοποιήσουμε τη δεδομένη εξίσω- ση. Έχουμε διαδοχικά ότι:ii) Από τη γραφική παράσταση, παρατηρούμε ότι, η από την οποία παίρνουμε τελικά ότι:συνάρτηση f είναι:• γνησίως αύξουσα στο διάστημα (-5, 0], y• γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [0, 6).Αντίστοιχα, η συνάρτηση g είναι: 4• γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (-5, 2],• γνησίως αύξουσα στο διάστημα [2, 6). Cgiii) Οι λύσεις της εξίσωσης f(x) = g(x) προκύπτουν απότΑαπόσητμοείαδετδοομμήέςνοτωδνιάγγρρααφμιμκαώ,νππααρραατσητράοσύεμωενόCτιf κοαι ιδCύοg. 2γραφικές παραστάσεις τέμνονται στα σημεία (-2, 2) και(4, -1). Άρα, οι ζητούμενες λύσεις της εξίσωσης είναι x =-2 ή x = 4.iv) Η δεδομένη εξίσωση γράφεται ως εξής: -4 -3 -1 1 2 34 5 6 x΄-5 Cf -2 Ο -1 xΤότε, οι ζητούμενες λύσεις της εξίσωσης προκύπτουν -2από τις τετμημένες των σημείων τομής κάθε γραφικής πα- -3ράστασης με τον άξονα x΄x. Από το δεδομένο διάγραμμα, -4 y΄συμπεραίνουμε ότι τα σημεία τομής της Cf με τον άξονα Τότε, από το διάγραμμα, παρατηρούμε ότι οι λύσεις τηςx΄x είναι τα (-3, 0) και (3, 0) και τα σημεία τομής της Cg ©  ΔΗΜΗΤΡΗΣ Α. ΤΣΟΡΜΠΑΤΖΙΔΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ” 7εξίσωσης είναι: x = -4 ή x = 2 ή x = 5. f(x) ούτε η g(x) ορίζονται στο διάστημα αυτό,vii) Από τη δεδομένη ανίσωση, έχουμε διαδοχικά ότι: y 4 3 2 -4 -3 -1 1 2 34 5 6 x΄-5 Cf -2 Ο -1 x -2 -3 -4 y΄Στην τελευταία, επειδή g2(x) + 2 > 0 ∀x∈(-5, 6), αρκεί: • αν α = -4, τότε, από το διάγραμμα παρατηρούμε ότι η εξίσωση έχει 1 λύση (από τα σημεία τομής μιας οποιασ- y δήποτε ευθείας y = α με τις Cf και Cg στο διάστημα αυτό), • αν -4 < α < -3, τότε, από το διάγραμμα παρατηρούμε 4 ότι η εξίσωση έχει 3 λύσεις, • αν -3 ≤ α < 2, τότε, από το διάγραμμα παρατηρούμε Cg 3 ότι η εξίσωση έχει 4 λύσεις, • αν α = 2, τότε, από το διάγραμμα παρατηρούμε ότι η 2 εξίσωση έχει 2 λύσεις, • αν 2 < α < 4, τότε, από το διάγραμμα παρατηρούμε -4 -3 -1 1 2 34 5 6 ότι η εξίσωση έχει 3 λύσεις, • αν α = 4, τότε, από το διάγραμμα παρατηρούμε ότι η x΄-5 Cf -2 Ο -1 x εξίσωση έχει 1 λύση, • αν α > 4, τότε, η εξίσωση είναι αδύνατη, καθώς ούτε -2 η f(x) ούτε η g(x) ορίζονται στο διάστημα αυτό. -3 -4 y΄Τότε, από το διάγραμμα καταλαβαίνουμε ότι -1 < x < 2.viii) Η δεδομένη εξίσωση γράφεται διαδοχικά ως εξής: 5.3 Από τη μορφή της πρώτης ιδιότητας, οδηγούμαστε στο συμπέρασμα ότι πρέπει να θεωρήσουμε μία βοηθητι- κή συνάρτηση.Θεωρούμε τη συνάρτηση:από την οποία, τελικά, παίρνουμε: Τότε: [5.3.1] αφού η εκθετική συνάρτηση ex είναι γνησίως αύξουσα σ’ όλο το . Επίσης:Το στύονσούλνοοτλιομώτινμώτηνςτησςυνσάυρντάηρστηηςσηf ςείgναείινfα(ιAgf()A=g)(=-4[,-44], [5.3.2]και Προσθέτοντας κατά μέλη τις [5.3.1] και [5.3.2], προκύ-4). πτει ότι:Τότε, διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις ανάλογα με τησυνάρτηση και το αντίστοιχο σύνολο τιμών της:• αν α < -4, η εξίσωση είναι αδύνατη, καθώς ούτε ηΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

8 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ”Συνεπώς, η συνάρτηση h(x)1, οπότε, η h(x) είναι και που αποδεικνύει τη ζητούμενη.1-1. iii) Θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο της f που βρήκαμεi) Στη συνάρτηση h(x), για x = 0, παίρνουμε ότι: στο προηγούμενο ερώτημα και την τιμή g(0) = 0 που αποδείξαμε στο πρώτο ερώτημα. Στη δεδομένη σχέσηΌμως, από τη δεδομένη σχέση, έχουμε ταυτόχρονα ότι: θέτουμε y = 2 και παίρνουμε διαδοχικά ότι:όπου, με σύγκριση παρατηρούμε ότι: Σ’ αυτό το σημείο εκμεταλλευόμαστε το γεγονός ότι έχουμε βρει τον τύπο της f και θέτουμε σ’ αυτόν όπου x = 0:που αποδεικνύει τη ζητούμενη. [5.3.5]ii) Θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τη δεδομένη σχέ- Μας μένει η τιμή g(2), την οποία δεν γνωρίζουμε. Όμως,ση, προκειμένου να καταλήξουμε στον ζητούμενο τύπο στο πρώτο ερώτημα έχουμε αποδείξει ότι g(0) = 0. Τότε,της f. Για να το κάνουμε αυτό, θα πρέπει να καταλήξουμε στην [5.3.5] για x = 0 παίρνουμε:σε δύο εξισώσεις που να περιλαμβάνουν το f(x) και το f(2- x), ώστε, στη συνέχεια να φτιάξουμε ένα σύστημα προ- Άρα, τελικά, από την [5.3.5] προκύπτει ότι:κειμένου να απαλείψουμε το f(2 - x) και να καταλήξουμεστον τύπο της f. Στη δεδομένη σχέση μεταξύ f και g, θέ-τουμε y = x και παίρνουμε διαδοχικά ότι: που είναι ο ζητούμενος τύπος της g. iv) Αρκεί να μελετήσουμε το πρόσημο της συνάρτησης g(x) ∀x∈. Έχουμε ότι: [5.3.3] καιΣτην [5.3.3] θέτουμε όπου x το 2 - x και παίρνουμε: [5.3.4] Από τη θεωρία της Α΄ Λυκείου, γνωρίζουμε ότι στις δευ- τεροβάθμιες εξισώσεις, το τριώνυμο είναι ομόσημο τουΑπό τις [5.3.3] και [5.3.4] έχουμε, τότε: συντελεστή του x2 όταν το x ανήκει σε διάστημα εκτός των ριζών της εξίσωσης και ετερόσημο του συντελεστή του x2 όταν το x ανήκει σε διάστημα εντός των ριζών της εξίσωσης. Τότε: και Ισοδύναμα, (αν δε θυμόμαστε το παραπάνω συμπέρα- σμα) μπορούμε να κατασκευάσουμε και τον πίνακα προ- σήμου της συνάρτησης και να καταλήξουμε στα ίδια συ- μπεράσματα, όπως φαίνεται παρακάτω. ©  ΔΗΜΗΤΡΗΣ Α. ΤΣΟΡΜΠΑΤΖΙΔΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ” 9 Γιατί σ’ εµάς;Γιατί σας παρέχουµε το καλύτερο εκπαιδευτικόυλικό... πάντα και παντού! #why_us, #best_content, #everytime_everywhereΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ”Τότε, για τη δεδομένη συνάρτηση φ(x) έχουμε ότι: όπου η τελευταία μας δίνει:Η μορφή της γραφικής παράστασης είναι παραβολή, Άρα, τα σημεία τομής της γραφικής 0π)ακραάισΒτα(1σ,η0ς).Cf μεόπως φαίνεται στο ακόλουθο διάγραμμα. την ευθεία x΄x είναι τα Ο(0, 0), Α(-1, y iii) Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση εμφανίζει απόλυτη 3 Cφ τιμή και υποψιαζόμαστε μήπως μπορούμε να αποδείξου- με ότι υπάρχουν διαφορετικά x που να δίνουν την ίδια τι- 2 μή της f. Διαπιστώνουμε ότι για x = -1 και x = 1 ισχύει:1x΄ -1 Ο 12 3 x και y΄ Cg Άρα, συμπεραίνουμε ότι για: δηλαδή, η συνάρτηση f δεν είναι 1-1.Από το τελευταίο διάγραμμα, παρατηρούμε ότι η φ πα- iv) Αρκεί να λύσουμε την ανίσωση:ρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στις θέσεις x = 0 και x = 2 τοφ(0) = φ(2) = 0. Επίσης, συμπεραίνουμε ότι η φ(x) είναι:• γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (-∞, 0],• γνησίως αύξουσα στο διάστημα [0, 1],• γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [1, 2],• γνησίως αύξουσα στο διάστημα [2, +∞).5.4 i) Για να ορίζεται η δεδομένη συνάρτηση f(x) πρέ-πει να ισχύει:που ισχύει ∀x∈. Άρα, πεδίο ορισμού της συνάρτησης Επειδή η εκθετική συνάρτηση ex είναι γνησίως αύξουσαf(x) είναι το: στο , η τελευταία γράφεται ως εξής:ii) Αρκεί να λύσουμε την εξίσωση: ©  ΔΗΜΗΤΡΗΣ Α. ΤΣΟΡΜΠΑΤΖΙΔΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ” 11όπου, τελικά, προκύπτει ότι x∈(-1, 0)∪(0, 1), αφού, θέ- [5.5.2]λουμε η παράσταση να μην παίρνει την τιμή μηδέν.v) Αρκεί να λύσουμε την εξίσωση f(x) = 1 και να δούμε αφού η ex είναι γνησίως αύξουσα. Επίσης:αν οι λύσεις που προκύπτουν ανήκουν στο πεδίο ορι- Προσθέτοντας κατά μέλη τις [5.5.1] και [5.5.2] προκύ-σμού της συνάρτησης f. Έχουμε διαδοχικά ότι: πτει τελικά ότι: [5.4.1] δηλαδή, η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο , συνεπώς, είναι 1-1, οπότε, είναι αντιστρέψιμη.Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις, ανάλογα με το πρό- iii) Στη δεδομένη συνάρτηση, παρατηρούμε ότι για x =σημο του x: 0 προκύπτει:• αν x ≥ 0, τότε, η εξίσωση [5.4.1] γράφεται ως εξής:η οποία είναι αδύνατη. Άρα, η ζητούμενη εξίσωση μπορεί να γραφεί ως εξής:• αν x < 0, τότε, η εξίσωση [5.4.1] γράφεται ως εξής: που είναι η λύση της εξίσωσης.η οποία είναι επίσης αδύνατη. iv) Η δεδομένη ανίσωση γράφεται διαδοχικά ως εξής:Συνεπώς, συμπεραίνουμε ότι δεν υπάρχει x∈, τέτοιοώστε f(x) = 1, άρα, το 1 δεν ανήκει στο σύνολο τιμώντης f.5.5 Πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το Af = .τi)α γμΕένφεόςστοονυησηCμfεδίοιέυρθχαετιακιαανποπόοτιοούσνητμηενίοεξΜίσω, οσηι συντε-Δηλαδή, πρέπει: της Cf.που είναι η ζητούμενη τιμή του αριθμού α. όπου η ανίσωση διατηρεί τη φορά της κάθε φορά πουii) Η δεδομένη συνάρτηση f γράφεται μετά την αντικα- «βγάζουμε» το f, γιατί έχουμε δείξει ότι η f είναι γνησίωςτάσταση του α, ως εξής: αύξουσα στο πεδίο ορισμού της. Επίσης, από τη θεωρία γνωρίζουμε ότι η ln(x) είναι επίσης γνησίως αύξουσα στοΓια να δείξουμε ότι η f είναι αντιστρέψιμη, αρκεί να δεί- πεδίο ορισμού της. Τελικά, προκύπτει ότι -1 < x < 1 ήξουμε ότι είναι 1-1, οπότε, αρκεί να δείξουμε ότι είναι x∈(-1, 1).γνησίως μονότονη. Έχουμε ότι: 5κα.6ι πεΠδίεοδοίοριοσρμιοσύμοτύηςτσηυςνσάυρντάηρστηηςσgηεςίνfαειίνταοιAτgο=Af .=  i) Για να εμφανίζει η f ελάχιστο το 2, πρέπει ∀x∈, να ισχύει: [5.5.1]ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

12 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ”που ισχύει. Επίσης: 5.7 Πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το Af = (0, +∞). i) Για να ορίζεται η σύνθεση της f με την g, πρέπει να ισχύει ότι:Άρα, η f εμφανίζει ελάχιστο στο x = 0 το f(0) = 2. καιii) Από τη θεωρία γνωρίζουμε ότι: Τότε, διαγραμματικά, οι περιορισμοί που εξάγαμε παρα- πάνω, φαίνονται στο ακόλουθο σχήμα. Ag  fΕπίσης είναι: Afκαι χ΄ 01 χ Από το σχήμα αυτό, συμπεραίνουμε ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης (gf)(x) είναι το: ii) Ισχύει ότι: [5.7.1]Άρα, η συνάρτηση g εμφανίζει: Θέτουμε:• (ολικό) ελάχιστο στα x = (2κ + 1)π, κ∈, το g((2κ Με αντικατάσταση στην [5.7.1] παίρνουμε:+ 1)π) = -4, Αλλάζοντας τη μεταβλητή από w σε x, παίρνουμε τελικά• (ολικό) μέγιστο στα x = 2κπ, κ∈, το g(2κπ) = 2. τη ζητούμενη συνάρτηση g:iii) Από τα προηγούμενα ερωτήματα έχουμε εξάγει τοσυμπέρασμα ότι ∀x∈ είναι f(x) ≥ 2 και g(x) ≤ 2. Τότε,συμπεραίνουμε ότι τα κοινά τους σημεία θα προκύπτουναπό τη λύση του συστήματος: iii) Έχουμε ότι:Άρα, συμπεραίνουμε ότι οι Cf και Cg έχουν ένα κοινό ση- [5.7.2]μείο, το Κ(0, 2). και ©  ΔΗΜΗΤΡΗΣ Α. ΤΣΟΡΜΠΑΤΖΙΔΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ” 13 και με αντικατάσταση στην [5.8.1] προκύπτει ότι: [5.7.3] όπου, αλλάζοντας τη μεταβλητή, προκύπτει τελικά ότι:Προσθέτοντας τις [5.7.2] και [5.7.3] κατά μέλη, παίρνου- [5.8.2]με ότι: Αντίστοιχα, από το δεύτερο σκέλος της δεδομένης δι-Άρα, η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο διάστη- πλής ανίσωσης:μα (-∞, 2). Αντίστοιχα, έχουμε ότι: [5.8.3] Από τις [5.8.2] και [5.8.3] συμπεραίνουμε τελικά ότι η ζη- τούμενη συνάρτηση είναι: [5.7.4] [5.8.4]και ii) Θα χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό της συνάρτησης 1-1. Έστω x1, x2∈(0, +∞), τέτοια, ώστε: [5.7.5]Προσθέτοντας τις [5.7.4] και [5.7.5] κατά μέλη, προκύ- Άρα, η συνάρτηση f είναι 1-1, οπότε, είναι αντιστρέψι-πτει ότι: μη. Στην [5.8.4] θέτουμε:Άρα, η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο διάστη- Πρέπει:μα (2, +∞).5.8 Από τη μορφή της δεδομένης ανίσωσης συμπεραί- που ισχύει ∀y∈. Άρα, η αντίστροφη συνάρτηση της f είναι:νουμε ότι θα «σπάσουμε» την ανίσωση σε δύο επιμέρουςανισώσεις, προκειμένου να επεξεργαστούμε κάθε τμήμα iii) α) Πεδίο ορισμού της συνάρτησης g είναι το Ag =ξεχωριστά. Υποψιαζόμαστε ότι, εφόσον μας ζητάει τύπο (-∞, 10]. Τότε, ισχύει ότι αν x1, x2∈Αg, τέτοια, ώστε:συνάρτησης, ενώ έχουμε ανίσωση, θα καταλήξουμε μετάτην επεξεργασία σε δύο ανισώσεις με διαφορετικές φο-ρές, της μορφής f(x) ≤ κ(x) και f(x) ≥ κ(x), οπότε, θα συ-μπεράνουμε f(x) = κ(x).i) Από τη δεδομένη διπλή συνάρτηση, έχουμε ότι:Θέτουμε: [5.8.1] δηλαδή, συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση g είναι 1-1, οπότε, είναι αντιστρέψιμη. Θέτουμε:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

14 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ”όπου, πρέπει y ≥ 0. Τότε:όπου:που ισχύει ∀y∈. Άρα, η αντίστροφη συνάρτηση της g όπου πρέπει:είναι η:β) Για να ορίζεται η σύνθεση της g με την f, πρέπει να που ισχύει ∀y∈. Τότε, η αντίστροφη συνάρτηση τηςισχύει: fg είναι η:και [5.8.6] Για να ορίζεται η σύνθεση της f-1 με την g-1 πρέπει να ισχύει ότι:Άρα, πεδίο ορισμού της συνάρτησης fg είναι το: καιΤότε, η σύνθεση της g με την f έχει τύπο: που ισχύει ∀x∈. Άρα, πεδίο ορισμού της g-1f-1 είναι το: [5.8.5] Τότε, ορίζεται η σύνθεση της f-1 με την g-1, ως:Στη συνέχεια, θα αποδείξουμε ότι η σύνθεση της g με την [5.8.7]f είναι αντιστρέψιμη συνάρτηση, αποδεικνύοντας ότι εί- Συγκρίνοντας τις [5.8.6] και [5.8.7], συμπεραίνουμε ότιναι γνησίως μονότονη. Έχουμε ότι: οι συναρτήσεις (fg)-1 και g-1f-1 είναι ίσες. 5.9 Από τα δεδομένα, μας δίνεται ότι η συνάρτηση f εί- ναι γνησίως μονότονη, άρα, είναι 1-1. Συνεπώς, για να δείξουμε ότι η συνάρτηση g είναι 1-1, θα χρειαστεί να χρησιμοποιήσουμε την f και μέσω αυτής να καταλήξου- με στο ζητούμενο. i) Η δεδομένη σχέση μεταξύ των συναρτήσεων f και g μπορεί να γραφεί ως εξής:δηλαδή, η fg είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση, άρα, Έστω x1, x2∈, τέτοια, ώστε: [5.9.1]είναι 1-1 και συνεπώς είναι αντιστρέψιμη. Στην [5.8.5] [5.9.2]θέτουμε: ©  ΔΗΜΗΤΡΗΣ Α. ΤΣΟΡΜΠΑΤΖΙΔΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ” 15 [5.9.3]καιΑφαιρώντας κατά μέλη τις [5.9.2] και [5.9.3] παίρνουμε καιότι: [5.9.6] Προσθέτοντας κατά μέλη τις [5.9.5] και [5.9.6] παίρνου- με τελικά ότι:Άρα, συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση g είναι 1-1.ii) Στη δεδομένη σχέση μεταξύ των f και g, θέτουμε x =2 και παίρνουμε ότι:που είναι η ζητούμενη τιμή της συνάρτησης g. το οποίο δεν ισχύει από την υπόθεση. Άρα, εφόσον η giii) Χρησιμοποιώντας το προηγούμενο ερώτημα, παίρ- είναι γνησίως μονότονη, θα είναι γνησίως αύξουσα.νουμε διαδοχικά ότι: β) Για την επίλυση της εξίσωσης g(x) = g-1(x), θα πρέπει να θυμηθούμε ότι όταν η συνάρτηση g(x) είναι γνησίως αύξουσα, η εξίσωση g(x) = g-1(x) ισοδυναμεί με την εξί- σωση g(x) = x(1). Έχουμε λοιπόν ότι: [5.9.4]Χρησιμοποιούμε το σχήμα Horner για να παραγοντο-ποιήσουμε την τελευταία εξίσωση. Πιθανές ρίζες είναι οι±1, ±2. Δοκιμάζοντας, παρατηρούμε ότι το x = 1 είναιρίζα της εξίσωσης, οπότε, το σχήμα Horner μας δίνει: 5.10 Από τη μορφή της δεδομένης σχέσης, επειδή:Τότε, η [5.9.4] μας δίνει: αρκεί να καταλήξουμε σε μία σχέση f(x) > 0. Το αριστερόόπου, το τριώνυμο έχει αρνητική διακρίνουσα, οπότε, εί- μέλος της σχέσης μπορεί να παραγοντοποιηθεί, ώστε, ναναι ομόσημο του συντελεστή του x2, ∀x∈. Άρα: προκύψει ένα γινόμενο ενός θετικού όρου με την f(x) και τελικά να καταλήξουμε σε μια σχέση f(x) = ... > 0.είναι η ρίζα της εξίσωσης. (1) Στην ουσία, ακολουθούμε την ίδια διαδικασία που θα ακο-iv) α) Εφόσον η g είναι γνησίως μονότονη, είναι συνάρ- λουθούσαμε αν θέλαμε να βρούμε τα κοινά σημεία της γραφικής παρά-τηση 1-1. Έστω ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα στο . στασης της g με την g-1. Στην περίπτωση αυτή, επειδή η g είναι γνησίωςΤότε: αύξουσα συνάρτηση, τα κοινά σημεία βρίσκονται όλα πάνω στη διχο- τόμο του 1ου και 3ου τεταρτημορίου, δηλαδή, πάνω στην ευθεία y = x. Έτσι, αντί να λύσουμε την εξίσωση g(x) = g-1(x), λύνουμε την εξίσωση g(x) = x.ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ [5.9.5]

16 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ”Γιατί σ’ εµάς;Γιατί είµαστε µαζί µε τους µαθητές µας...και µετά το µάθηµα!#why_us, #always_there, #side_by_side ©  ΔΗΜΗΤΡΗΣ Α. ΤΣΟΡΜΠΑΤΖΙΔΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ” 17i) Από τη δεδομένη παίρνουμε διαδοχικά ότι: iv) Από τη δεδομένη εξίσωση παίρνουμε διαδοχικά ότι:αφού:ii) Στη δεδομένη σχέση, θέτουμε x = 0 και παίρνουμεδιαδοχικά ότι:Χρησιμοποιούμε σχήμα Horner, προκειμένου να παρα- άρα, x = 3 ή x = -3.γοντοποιήσουμε την τελευταία εξίσωση. Πιθανές ρίζες v) α) Στο ερώτημα (iii) δείξαμε ότι η συνάρτηση f είναιτης εξίσωσης είναι οι ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Με δοκιμή 1-1, άρα, είναι αντιστρέψιμη. Τότε, θέτοντας f(x) = y,συμπεραίνουμε ότι το x = 2 είναι ρίζα της εξίσωσης, οπό- παίρνουμε:τε, το σχήμα Horner θα μας δώσει: 1 0 2 -12 y = 2 Με αντικατάσταση στη δεδομένη σχέση, θα πάρουμε 2 4 12 ότι: 1 260δηλαδή, η εξίσωση παραγοντοποιείται ως εξής:όπου ο όρος y2 + 2y + 6 > 0, καθώς εμφανίζει αρνητική Άρα, η ζητούμενη αντίστροφη συνάρτηση της f είναι:διακρίνουσα. Άρα, τελικά έχουμε:Συνεπώς, το ζητούμενο σημείο τομής της Cf με τον άξονα Τότε:y΄y είναι το Μ(0, 2). [5.10.1]iii) Θεωρούμε x1, x2∈, ώστε: και [5.10.2]και Προσθέτοντας κατά μέλη τις [5.10.1] και [5.10.2] παίρ-Προσθέτοντας κατά μέλη τις [5.10.1] και [5.10.2] παίρ- νουμε:νουμε, τότε:Άρα, η συνάρτηση f είναι 1-1.ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

18 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ”αφού η συνάρτηση ln(x) είναι γνησίως αύξουσα στο . Για x = y0 στη δεδομένη σχέση της εκφώνησης παίρνουμεΆρα, η f είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο (0, +∞). ότι:β) Η δεδομένη ανίσωση γράφεται διαδοχικά ως εξής: Άρα, το σύνολο τιμών της f είναι το . iii) Εφόσον η f είναι 1-1, η συνάρτηση είναι αντιστρέψι- μη. Τότε, θέτοντας f(x) = y έχουμε:αφού η f-1 είναι γνησίως αύξουσα. Τότε: Στη δεδομένη εξίσωση της εκφώνησης, για x = f-1(y) παίρνουμε ότι:Από τον πίνακα προσήμου της τελευταίας, παίρνουμε: ή, αλλάζοντας τη μεταβλητή: [5.11.1] -2 -1 1 2 iv) Στην [5.11.1] για x = 3 παίρνουμε: Τότε, με αντικατάσταση στη δεδομένη εξίσωση:δηλαδή, οι ζητούμενες λύσεις τις ανίσωσης είναι:5.11 Από τη δεδομένη σχέση, θα χρησιμοποιήσουμε τον που είναι η ζητούμενη λύση.ορισμό της 1-1 συνάρτησης και θα «κατασκευάσουμε» 5.12 Στην εκφώνηση μας δίνει τον τύπο της σύνθεσηςτο αριστερό μέλος, το οποίο στη συνέχεια θα αντικατα-στήσουμε με το δεξί, αποδεικνύοντας ότι η συνάρτηση f της f με την g, ενώ στο πρώτο ερώτημα μας ζητάει να λύ-είναι 1-1. σουμε μια εξίσωση που περιέχει μόνο f. Υποψιαζόμαστεi) Έστω x1, x2∈ τέτοια, ώστε: ότι θα πρέπει να δείξουμε πως η f είναι 1-1, ώστε να με- ταφέρουμε τον έναν όρο της εξίσωσης στο δεξί μέλος και να δουλέψουμε με τις εσωτερικές συναρτήσεις. i) Θεωρούμε x1, x2∈ τέτοια, ώστε:Άρα, η συνάρτηση f είναι 1-1.ii) Θα πρέπει για κάθε y0∈ να υπάρχει x0∈ τέτοιο,ώστε: ©  ΔΗΜΗΤΡΗΣ Α. ΤΣΟΡΜΠΑΤΖΙΔΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ” 19Άρα, η συνάρτηση f είναι 1-1, οπότε, είναι αντιστρέψι- Για να λύσουμε την ανίσωση, πρέπει να εκφράσουμε τομη. Τότε, από τη δεδομένη εξίσωση παίρνουμε διαδοχικά δεξί μέλος ως τιμή της f. Ως δεδομένο, έχουμε τον τύποότι: της σύνθεσης της f με την g. Τότε, θα πρέπει να βρούμε για ποια τιμή του x:Θεωρούμε συνάρτηση: Με αυτόν τον τρόπο, από τον δεδομένο τύπο της gf προκύπτει ότι:Τότε, για x = 1 στην τελευταία: Άρα, επειδή η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, η ανί-Επίσης, για κάθε x1, x2∈ τέτοια, ώστε: σωση γράφεται ως εξής: [5.12.1] δηλαδή, οι λύσεις της ανίσωσης είναι x < -3 ή x > 3.και γ) Από το (β) έχουμε βρει ότι: [5.12.2]Αθροίζοντας κατά μέλη τις [5.12.1] και [5.12.2], παίρ-νουμε ότι: Τότε, η συνάρτηση f έχει τύπο f(x) = 3x - 3. Θέτουμε:δηλαδή, η συνάρτηση h είναι 1-1. Τότε, είναι και αντι-στρέψιμη. Άρα, η δεδομένη εξίσωση προς λύση μπορείνα γραφεί τελικά στην μορφή: Από τον δεδομένο τύπο της σύνθετης συνάρτησης, με αντικατάσταση του x:που είναι η ζητούμενη λύση της εξίσωσης.iφi)θ ίναου) σΈασ,τέωχοxυ1μ, εxδ2∈ιαδ.οχΤιόκτάε,όετφι γόισαο: ν η g είναι γνησίως ή, αλλάζοντας τη μεταβλητή:άρα, η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. που είναι ο ζητούμενος τύπος της g.β) Εφόσον η γραφική παράσταση της g διέρχεται από τοσημείο Α(3, -1), πρέπει να ισχύει: 5.13 i) Εφόσον η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα, τότε, ισχύει:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ” [5.13.1] Τότε, προσθέτοντας κατά μέλη την τελευταία και τη δε-και εφόσον η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα: δομένη σχέση: [5.13.2]Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη τις [5.13.1] και [5.13.2] και με αντικατάσταση:και τελικά προκύπτει ότι:Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι η h(x) είναι γνησίως φθίνου- ii) Εφόσον έχουμε βρει τις τιμές f(1) και f(e), θα χρησι-σα στο . μοποιήσουμε μία από τις προκειμένου να καταλήξουμεii) Η δεδομένη ανίσωση μπορεί να γραφεί ως εξής: στον τύπο της f από τη δεδομένη σχέση μεταξύ f(x) και f(y). Έτσι, για y = 1 θα πάρουμε ότι:όπου ln(x)∈ ή x > 0. Όμως, δείξαμε στο (i) ότι η συνάρ- που είναι η ζητούμενη συνάρτηση f(x).τηση h είναι γνησίως φθίνουσα, οπότε, η τελευταία ανί- iii) Έχουμε ότι:σωση γράφεται: [5.14.1]Άρα, οι λύσεις της ανίσωσης είναι 0 < x < 1. καιiii) Εφόσον οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων [5.14.2]f, g τέμνονται στο σημείο x = 2, ισχύει ότι: Προσθέτοντας κατά μέλη τις [5.14.1] και [5.14.2] παίρ- νουμε τελικά ότι:Τότε, η δεδομένη εξίσωση γράφεται ως εξής: άρα, συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (0, +∞), οπότε, είναι 1-1, δηλαδή είναι αντιστρέψιμη. iv) Η δεδομένη ανίσωση γράφεται διαδοχικά ως εξής:που είναι η ζητούμενη λύση. [5.14.3] Παρατηρούμε ότι:5.14 i) Στη δεδομένη σχέση για x = e και y = 1 θα πάρου-με ότι: Τότε, από την [5.14.3] έχουμε: ©  ΔΗΜΗΤΡΗΣ Α. ΤΣΟΡΜΠΑΤΖΙΔΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ” 21 και η δεδομένη σχέση γράφεται:Όμως, η f είναι γνησίως αύξουσα, οπότε: οπότε, αν αλλάξουμε τις μεταβλητές:Κατασκευάζουμε τον πίνακα προσήμου της τελευταίας που είναι η ζητούμενη αντίστροφη συνάρτηση της f.παράστασης: iii) Έστω ότι η συνάρτηση f δεν είναι γνησίως φθίνου- σα. Τότε, αν θεωρήσουμε x1, x2∈ τέτοια, ώστε:-1 1 [5.15.3] καικαι συμπεραίνουμε ότι οι ζητούμενες λύσεις είναι οι -1 < [5.15.4]x < 1. Προσθέτοντας κατά μέλη τις [5.15.3] και [5.15.4] παίρ- νουμε ότι:5.15 i) Από τη δεδομένη σχέση, για x = 0 παίρνουμε δι-αδοχικά ότι:αφού f2(0) + 3 > 0. που είναι άτοπο, λόγω της υπόθεσης. Τότε, συμπεραί-ii) Η δεδομένη σχέση μπορεί να γραφεί στη μορφή: νουμε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα. iv) Αρκεί να λύσουμε την ανίσωση:Θεωρούμε x1, x2∈ τέτοια, ώστε: αφού η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα. Άρα, η Cfκαι βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x για x∈(-∞, 0). [5.15.1] v) Στη δεδομένη σχέση, θέτουμε όπου x το f(|x| +1) - 13 και παίρνουμε ότι: [5.15.2]Προσθέτοντας κατά μέλη τις [5.15.1] και [5.15.2], παίρ-νουμε ότι:Άρα, η συνάρτηση f είναι 1-1, δηλαδή, αντιστρέφεται. Με αντικατάσταση στη δεδομένη ανίσωση παίρνουμεΘέτουμε y = f(x): ότι:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

22 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ” Άρα, η συνάρτηση fg είναι γνησίως αύξουσα στο . iii) Εφόσον η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα, εί- ναι 1-1, οπότε, είναι αντιστρέψιμη. Τότε, έχουμε διαδο- χικά ότι: άρα, η συνάρτηση f-1 είναι περιττή. Έστω x1, x2∈, τέ- τοια, ώστε:Άρα, συμπεραίνουμε ότι -3 < x < 3. αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα. Άρα, συμπεραίνουμε ότι η f-1 είναι γνησίως φθίνουσα.5.16 Η εκφώνηση μας δίνει μόνο ότι οι f, g είναι γνησί- iv) Η δεδομένη εξίσωση γράφεται ως εξής:ως φθίνουσες και περιττές και μας ζητάει στο πρώτο ε- Θεωρούμε συνάρτηση:ρώτημα να υπολογίσουμε συγκεκριμένες τιμές. Υποψια-ζόμαστε ότι θα χρειαστούμε τον ορισμό της περιττήςσυνάρτησης, σύμφωνα με τον οποίο, μία συνάρτηση f(x)είναι περιττή, όταν: [5.16.1]i) Από τον ορισμό της περιττής συνάρτησης για τη συ- Παρατηρούμε ότι για x = 0 στην τελευταία:νάρτηση f και για x = 0 παίρνουμε:και αντίστοιχα για τη συνάρτηση g: Επίσης, για x1, x2∈ τέτοια, ώστε:ii) Εφόσον οι f, g είναι συναρτήσεις με πεδίο ορισμού και [5.16.2]το  και σύνολο τιμών το , η σύνθεσή τους θα ορίζεται [5.16.3]επίσης στο . Τότε: [5.16.4] καιΆρα, η συνάρτηση fg είναι περιττή. Επίσης, για x1,x2∈ τέτοια, ώστε: ©  ΔΗΜΗΤΡΗΣ Α. ΤΣΟΡΜΠΑΤΖΙΔΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ” 23 Γιατί σ’ εµάς;Γιατί µ’ εµάς περισσεύει χρόνος καιγι’ άλλες δραστηριότητες! #why_us, #time_value, #time_efficientΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

24 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ”Προσθέτοντας κατά μέλη τις [5.16.2], [5.16.3] και 5.17 i) Στη δεδομένη εξίσωση, για α = β = 1, θα πάρουμε[5.16.4], παίρνουμε ότι: διαδοχικά ότι:Συνεπώς, η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα στο , που είναι η ζητούμενη τιμή της συνάρτησης.οπότε, είναι 1-1. Η δεδομένη εξίσωση, τότε, γράφεται ως ii) Από τη μορφή της δεδομένης και τη μορφή της ζη-εξής: τούμενης, καταλαβαίνουμε ότι πρέπει να θέσουμε στις θέσεις τους α και β αντίστροφους αριθμούς, ώστε από τοπου είναι η ζητούμενη λύση. γινόμενο στο δεξί μέλος, να προκύψει μία σχέση μεταξύv) Θεωρούμε τη συνάρτηση: τιμών συναρτήσεων για αντίστροφους αριθμούς. Για α = x και β = 1/x, θα πάρουμε ότι:Ψάχνουμε να βρούμε μια τιμή του x, ώστε με αντικατά-σταση, να προκύψουν αντίθετες τιμές στις f-1, ώστε ναμπορούμε να τις απαλείψουμε εκμεταλλευόμενοι τηνιδιότητα της περιττής συνάρτησης και ταυτόχρονα ναχρησιμοποιήσουμε τη γνωστή τιμή f(0). Για x = -3: Τότε, ξεκινώντας από το πρώτο μέλος της ζητούμενης, θα πάρουμε ότι:Επίσης: [5.16.5] που αποδεικνύει τη ζητούμενη.και iii) Στην προκειμένη περίπτωση, για να αποδείξουμε ότι [5.16.6] η f είναι 1-1, θα χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα ότι η εξί-και σωση f(x) = 0 έχει μοναδική ρίζα. Από το πρώτο ερώτη- μα έχουμε καταλήξει ότι f(1) = 0. Άρα, το x = 1 είναι μο- [5.16.7] 0. Έστω x1, x2∈ τέτοια,Προσθέτοντας κατά μέλη τις [5.16.5], [5.16.6] και ναδική ρίζα της εξίσωσης f(x) =[5.16.7], παίρνουμε ότι: ώστε:δηλαδή, η συνάρτηση φ(x) είναι γνησίως φθίνουσα, Επειδή η f(x) = 0 έχει μοναδική ρίζα τη x = 1, καταλαβαί-οπότε, είναι 1-1. Τότε, η ανίσωση γράφεται ως εξής: νουμε ότι:άρα, x∈(0, +∞). Άρα, καταλήξαμε ότι η f είναι 1-1. ©  ΔΗΜΗΤΡΗΣ Α. ΤΣΟΡΜΠΑΤΖΙΔΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ” 25iv) Από τη δεδομένη σχέση, παίρνουμε ότι: Στην πρώτη δεδομένη σχέση, για y = -1, θα πάρουμε: άρα, η συνάρτηση f είναι άρτια. iii) Στη δεύτερη δεδομένη σχέση, για y = -x θα πάρουμε ότι:που είναι η ζητούμενη λύση.5.18 Στο πρώτο ερώτημα, αρκεί να επιλέξουμε κατάλ- που είναι ο ζητούμενος τύπος της f.ληλες αντικαταστάσεις των x και y σε μία από τις δύο δε- iv) Πεδίο ορισμού της συνάρτησης g(x) ε+ίνgα(ιxτ)οείAναg ι=τ(ο0:,δομένες εξισώσεις. +∞). Τότε, πεδίο ορισμού της h(x) = f(x)i) Για x = y = 0, θα πάρουμε από τη δεύτερη δεδομένησχέση ότι: και ο τύπος της h(x):Για x = y = 1, θα πάρουμε από την πρώτη δεδομένη σχέ-ση ότι: Στην τελευταία, παρατηρούμε ότι για x = 1: Τότε, η δεδομένη ανίσωση γράφεται ως εξής:Αν f(1) = 0, τότε, για y = 1 στην πρώτη δεδομένη σχέση, Αρκεί να δείξουμε ότι η h είναι γνησίως μονότονη. Θεω-προκύπτει: ρούμε x1, x2∈Αh, τέτοια, ώστε: [5.18.1] και [5.18.2]το οποίο είναι άτοπο, αφού από τα δεδομένα γνωρίζουμε Τότε, με πρόσθεση κατά μέλη των [5.18.1] και [5.18.2]ότι η συνάρτηση f δεν είναι σταθερή. Άρα, συμπεραί- παίρνουμε ότι:νουμε ότι f(1) = 1. Άρα, η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα στο (0,Για x = -1 και y = 1 στη δεύτερη δεδομένη σχέση, παίρ- +∞), οπότε, η ανίσωση γράφεται ως εξής:νουμε ότι:ii) Για να είναι η f άρτια, πρέπει: Επειδή πρέπει ταυτόχρονα, x > 0, τελικά, οι λύσεις της ανίσωσης είναι οι 0 < x ≤ 1 ή x∈(0, 1].ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 5.19 Για το πρώτο ερώτημα, αρκεί να επεξεργαστούμε τον δεδομένο τύπο της συνάρτησης, γράφοντας το e-x ως κλάσμα και πραγματοποιώντας κατόπιν πράξεις.

26 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ”i) Από τη δεδομένη συνάρτηση έχουμε διαδοχικά ότι: Τότε: Αλλάζοντας μεταβλητές, παίρνουμε τελικά ότι η αντί- στροφη συνάρτηση της f είναι: [5.19.2] [5.19.1] iv) Στην [5.19.2] για x = 0 παίρνουμε ότι:που είναι η ζητούμενη μορφή. Άρα, στη δεδομένη εξίσωση, η x = 0 είναι προφανήςii) Θα χρησιμοποιήσουμε τη μορφή [5.19.1]. Θεωρού- ρίζα, αφού:με x1, x2∈ τέτοια, ώστε: που ισχύει. Σύμφωνα με την [5.19.2] και τη δεδομένη εξί- σωση, πρέπει: καιόπου e2x + 1 > 0. Άρα, η συνάρτηση f είναι γνησίως αύ- καιξουσα στο .iii) Στο προηγούμενο ερώτημα δείξαμε ότι η f είναι γνη-σίως αύξουσα στο , άρα, είναι 1-1, οπότε, είναι αντι-στρέψιμη. Θέτουμε f(x) = y στην [5.19.1] κι έχουμε δια-δοχικά ότι: καιόπου, πρέπει:Τότε: Τότε, για x∈(-1, 0)∪(0, 1) ισχύει ότι:όπου, πρέπει: [5.19.3] και [5.19.4] όπου f-1 είναι γνησίως αύξουσα στο (-1, 1) αφού: ©  ΔΗΜΗΤΡΗΣ Α. ΤΣΟΡΜΠΑΤΖΙΔΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ” 27 [5.19.5] iσiiυ) μπΕεφραόίσνοονυμηεCόfτιτέημενξείσι ωτησνη:y = 1 σε ένα μόνο σημείο,και έχει μοναδική ρίζα. Θεωρούμε x1, x2∈, τέτοια, ώστε: [5.19.6]Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις [5.19.5] και [5.19.6], [5.20.3]προκύπτει ότι: Εφόσον η f(x) = 1 έχει μοναδική ρίζα και από το ερώτημα (i) έχουμε καταλήξει ότι f(0) = 1, από την [5.20.3] συμπε- ραίνουμε ότι: άρα, η συνάρτηση f είναι 1-1, οπότε, είναι αντιστρέψιμη. iv) Έστω:Τότε, με πρόσθεση κατά μέλη των [5.19.3] και [5.19.4],παίρνουμε ότι: καιπου σημαίνει ότι για x∈(-1, 0)∪(0, 1), η εξίσωση δεν έχει Τότε, από τη δεδομένη σχέση παίρνουμε με αντικατά-λύση. Άρα, x = 0 είναι η μοναδική λύση της εξίσωσης. σταση ότι:5.20 i) Στη δεδομένη σχέση, θέτουμε x = y = 0 και παίρ-νουμε διαδοχικά ότι: και αν αλλάξουμε τις μεταβλητές, τότε: που είναι η ζητούμενη.Όμως, από το σύνολο τιμών της συνάρτησης, παρατη-ρούμε ότι f(x) ≠ 0. Οπότε, f(0) = 1.ii) Η λογική είναι παρόμοια με αυτή της άσκησης 5.17.Στη δεδομένη σχέση, για y = -x, παίρνουμε ότι: [5.20.1]Τότε, για y = -y στη δεδομένη σχέση, σε συνδυασμό μετην [5.20.1]: [5.20.2]ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ



Γιατί σ’ εµάς;Γιατί το υλικό µας το φτιάχνουµε εµείς...δεν το φωτοτυπούµε! #why_us, #original_content, #original_value

διαδικτυακό φροντιστήριο υπεύθυνος προγράµµατος σπουδών: ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ∆ηµήτρης Α. Τσορµπατζίδης Οµάδες Προσανατολισµού φυσικός Θετικών & Ανθρωπιστικών Σπουδών µέλος της ένωσης ελλήνων φυσικών γυµνάσιο · λύκειο · α.ε.ι. αριστοτέλειο πανεπιστήµιο θεσσαλονίκηςτο µέλλον της φροντιστηριακής σχολή θετικών επιστηµών κπαίδευσης... σήµερα! @stemlibrarygreece @epistimonikivivliothiki [email protected] @STEM_LibraryΕπικοινωνία: 6979007844 Ελ. Βενιζέλου 70, Αλεξανδρούπολη