หน่วยที่ 1 ระบบจำนวนจริง

ระบบจำนวนจริง

แ ผ นผังแ ส ดงความ สั ม พันธ์ ของจานวนชนิดต่ างๆ จานวนเชิงซ้อน(C) จานวนจริง(R) จานวนจนิ ตภาพ ( R') จานวนอตรรกยะ(Q') จานวนตรรกยะ(Q) เศษส่วน, ทศนิยม จานวนเตม็ (I) จานวนเตม็ ลบ (I-) ศูนย์ (I0) จานวนเตม็ บวก (I+)

1. จานวนจริง จากแผนผงั แสดงความสัมพนั ธ์ของจานวนขา้ งตน้ จะพบวา่ ระบบ จานวนจริงจะประกอบไปดว้ ย 1. จานวนอตรรกยะ หมายถึง จานวนที่ไมส่ ามารถเขียนใหอ้ ยู่ ในรูปเศษส่วนของจานวนเตม็ หรือทศนิยมซ้าได้ ตวั อยา่ งเช่น 2, 5,  2,  5 หรือ  ซ่ึงมีค่า 3.14159265… 2. จานวนตรรกยะ หมายถึง จานวนที่สามารถเขียนใหอ้ ยใู่ นรูป เศษส่วน ของจานวนเตม็ หรือ ทศนิยมซ้าได้ ตวั อยา่ งเช่น เขียนแทนดว้ ย1 0.5000... 2 เขียนแทนดว้ ย1 0.3333...  0.3& 3

➢ จานวนตรรกยะ , จานวนตรรกยะ ยงั สามารถแบ่งออกเป็น 2 ประเภท คือ 1. จานวนตรรกยะทไี่ ม่ใช่จานวนเต็ม(เศษส่วน) หมายถึง จานวนท่ีสามารถเขียนใหอ้ ยใู่ นรูปเศษส่วน หรือทศนิยมซ้าได้ แต่ ไม่เป็นจานวนเตม็ ตวั อยา่ งเช่น 1, 1, 1 237 2. จานวนเต็ม หมายถึง จานวนท่ีเป็นสมาชิกของเซต I  ...,  3,  2, 1, 0, 1, 2, 3, ... เมื่อกาหนดให้ I เป็ น สมาชิกของจานวนเตม็

➢ จานวนเตม็ จานวนเตม็ ยงั สามารถแบง่ ออกไดเ้ ป็น 3 ประเภทดว้ ยกนั 1. จานวนเตม็ ลบ หมายถึง จานวนที่เป็นสมาชิกของเซต I  โดยที่ I   ...,  3,  2, 1 เมื่อ I  เป็ นเซตของจานวนเตม็ ลบ 2. ศูนย์ เมื่อ I 0  0 I 3. จานวนเตม็ บวก หมายถึง จานวนท่ีเป็นสมาชิกของเซต โดยที่ I   1, 2, 3, ...เมื่อ เปI็นเซตของจานวนเต็มบวก จานวนเตม็ บวก เรียกไดอ้ ีกอยา่ งวา่ “จานวนนับ” ซ่ึงเขียนแทน เซตของจานวนนบั ไดด้ ว้ ยสญั ลกั ษณ์ N โดยท่ี N  I   1, 2, 3, ...

➢ จานวนเชิงซ้อน นอกจากระบบจานวนจริงท่ีกล่าวมาขา้ งตน้ แลว้ ยงั มีจานวนอีก ประเภทหน่ึงท่ีไดจ้ ากการแกส้ มการต่อไปน้ี x2  1  x  1  i x2   2  x  2  2i x2   3  x  3  3i

จะเห็นวา่ “เราไม่สามารถจะหาจานวนจริงใดท่ียกกาลงั สอง แลว้ มีค่าเป็นลบ” เราเรียก 1, 2, 3 หรือจานวนอ่ืนๆ ใน ลกั ษณะน้ีวา่ “จานวนจนิ ตภาพ” และเรียก 1 วา่ “หน่ึงหน่วย จินตภาพ” เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ i การนาเซตจานวนจริงมายเู นียนกบั เซตจานวนจินตภาพ จะได้ “เซตจานวนเชิงซ้อน (Complex numbers)”

ส่ิงทเี่ ป็ นจริงของจานวนตรรกยะและอตรรกยะ 1. จานวนตรรกยะ + จานวนตรรกยะ = จานวนตรรกยะ เช่น 2  3  5 เป็ นจานวนตรรกยะ 2. จานวนอตรรกยะ + จานวนอตรรกยะ = จานวนตรรกยะหรืออตรรกยะ เช่น 3   3 เป็0นจานวนตรรกยะ 3เป็ นจาน5วนตรรกยะ 3. จานวนตรรกยะ + จานวนอตรรกยะ = จานวนอตรรกยะ เช่น 3  2 เป็ นจานวนอตรรกยะ

4. จานวนตรรกยะ × จานวนตรรกยะ = จานวนตรรกยะ เช่น 3  5  15 เป็ นจานวนตรรกยะ 5. จานวนตรรกยะ × จานวนอตรรกยะ = จานวนตรรกยะหรืออตรรกยะ เช่น 1  3  3 เป็ นจานวนตรรกยะ 0  5  0 เป็ นจานวนตรรกยะ 6. จานวนอตรรกยะ × จานวนอตรรกยะ = จานวนตรรกยะหรืออตรรกยะ เช่น 3  3  3 เป็ นจานวนตรรกยะ 3  2  6 เป็ นจานวนตรรกยะ

2. สมบัตขิ องระบบจานวนจริง ให้ เป็นGเกปา็นรเกซรตะแทลาะซ่งึ จะเป็นการเบป็วนกสaมห,ารชอื bิกคใ,ณู นcดงั รูป และให้ หรอื อย่างอ่นื ๆ แลว้ แตโ่ จทยก์ าหนดให้ 1. สมบตั ปิ ิ ด หมายถงึ ถา้ นาสมาชิกสองตวั ใดๆ ในเซต มากระทากนั ตาม เคร่อื งหมาย แลว้ ปรากฏว่าผลท่ไี ดย้ งั คงเป็นสมาชกิ ใน แสดงว่าเซต มี สมบตั ิปิด ภายใตก้ ารกระทาแบบ G น่นั คือ เชน่ - เซตของจานวนนบั เซตของจานวนคู่ เซตของจานวนเต็ม เซตของจานวนตรรกยะGและเซตของจานวนจรงิ มGีสมบตั ิปิด ภายใตก้ ารบวกและการคณู - เเซซตตขขอองงจจาานนววนนเคaต่ี ็มไลมบbม่ สี ไมม่มบีสตั มปิ ิบดGตภั ิปายิดใภตาก้ ยาใรตบก้ วากรคณู - - เซตของจานวนอตรรกยะ ไม่มสี มบตั ิปิดภายใตก้ ารบวกและการคณู

2. สมบตั กิ ารสลบั ที่ หมายถึง ถา้ นาสมาชิก 2 ตวั มากระทากนั แบบ แลว้ ปรากฏวา่ ผลท่ีไดจ้ ะมีคา่ เหมือนกบั เอาสมาชิก 2 ตวั เดิมมากระทากนั แบบ แต่ เปล่ียนท่ีกนั นน่ั คือ a b  b  a ถา้ มีลกั ษณะแบบน้ีแลว้ แสดงวา่ เซต มGีสมบตั ิการสลบั ที่ภายใตก้ ารกระทา แบบ 3. สมบัตกิ ารเปลย่ี นกลุ่ม หมายถึง ถา้ มีสมาชิกหลายๆ จานวนกระทากนั เราจะ กระทากบั กลุ่มใดก่อนผลกย็ งั คงเดิม นน่ั คือ a bc  a b c ถา้ มีลกั ษณะแบบน้ีแลว้ แสดงวา่ เซต มGีสมบตั ิการเปลี่ยนกลุ่ม ภายใตก้ าร กระทาแบบ

4. สมบตั กิ ารมเี อกลกั ษณ์ หมายถึง ในเซต จGะมีสมาชิกพิเศษอยู่ 1 ตวั ซ่ึง สมาชิกตวั น้ีเมื่อไปกระทากบั สมาชิกตวั อ่ืนใดแลว้ ผลที่ไดต้ อ้ งเป็ นสมาชิกตวั น้นั เสมอ และเราเรียนสมาชิกพเิ ศษตวั น้ีวา่ เอกลกั ษณ์ นน่ั คือ ถา้ เปi็ นเอกลกั ษณ์ i  a  a i  a 5. สมบตั กิ ารมอี นิ เวอร์ส เวลาจะกล่าวถึงอินเวอร์ส ตอ้ งกลา่ ววา่ อินเวอร์ส ของ อะไร เพราะสมาชิกแต่ละตวั อาจจะมีหรือไม่มีอินเวอร์สกไ็ ด้ และถา้ มี อินเวอร์ส ของแต่ละตวั ไม่จาเป็ นตอ้ งเหมือนกนั ดงั น้นั สมบตั ิขอ้ น้ีหมายถึง ถา้ a จะGมีอินเวอร์สการกระทาของ (เรaาใช้ ) โดยทaี่ 1 a1  a  aเอกaล1กั ษณi์

➢ สมบัติของจานวนจริงเก่ียวกับการบวกและการคูณ กาหนดให้ a , b , c เป็ นจานวนจริงใดๆ สมบัติ การบวก การคูณ ปิ ด a  b  R ab  R ab  ba การสลบั ที่ ab  ba (ab)c  a(bc) a 1  a  1 a การเปลี่ยนกลุ่ม (a  b)  c  a  (b  c) aga1  1  a1ga (a  b)c  ac  bc การมีเอกลกั ษณ์ a  0  a  0  a การมีอินเวอร์ส a  (a)  0  (a)  a การแจกแจง a(b  c)  ab  ac หรือ

➢ สมบตั กิ ารเท่ากนั ของจานวนจริง กาหนดให้ a, b, c เป็ นจานวนจริงใดๆ 1. สมบตั ิการสะทอ้ น aa 2. สมบตั ิการสมมาตร 3. สมบตั ิการถ่ายทอด ถา้ a  b แลว้ b  a 4. สมบตั ิการเพม่ิ ดว้ ยจานวนท่ีเท่ากนั ถา้ a  b แลว้ b  c แลว้ a  c 5. สมบตั ิการตดั ออกดว้ ยจานวนท่ีเท่ากนั ถา้ a  b แลว้ a  c  b  c ถา้ a  b แลว้ ac  bc ถา้ a  c  b  c แลว้ a  b ถา้ ac  bc แลว้ a  b

จากสมบตั ิของระบบจานวนจริงที่ไดก้ ลา่ วไปแลว้ สามารถนามาพิสูจนเ์ ป็ น ทฤษฎีบทตา่ งๆ ไดด้ งั น้ี กาหนดให้ a, b, c เป็ นจานวนจริงใดๆ



ตวั อย่างท่ี 1 ขอ้ ความในแต่ละขอ้ ต่อไปน้ี ขอ้ ความใดถูก ขอ้ ความใดผดิ





3. การแก้สมการตวั แปรเดยี ว ตวั อย่างท่ี 2 จงหาเซตคาตอบของสมการ 3x3  2x2 12x 8  0 วธิ ีทา 3x3  2x2 12x  8  0 (3x3  2x2 )  (12x  8)  0 x2 (3x  2)  4(3x  2)  0 (3x  2)(x2  4)  0 (3x  2)(x  2)(x  2)  0 จะได้ x   2หรือ x  2หรือ x   2 3 2, 2, 2 ดงั น้นั เซตคาตอบของสมการคือ   3 

➢ ทฤษฎบี ทเศษเหลือ (remainder theorem) เม่ือ p(x)  an xn  an1xn1  an2xn2  ...  a1x  a0 โดยท่ี n  I  และ an , an1, an2, ..., a1, a0 เป็ นสมั ประสิทธ์ิของพหุนามที่เป็ นจานวนจริง ซ่ึง an  0 ถา้ หารพหุนาม pด(ว้ xย)พหุนาม xเมื่อc เป็ นcจานวนจริงแลว้ แลว้ เศษจะเท่ากบั p(c) นน่ั คือ เศษของ คือ p(x) p(c) xc

ตวั อย่างท่ี 3 จงหาเศษจากการหาร 3x4  4x3  2x 12 ดว้ ย x  2 วธิ ีทา p(x)  3x4  4x3  2x 12 p(2)  3(2)4  4(2)3  2(2) 12 ดงั น้นั เศษคือ 8  48  32  4 12 8

➢ ทฤษฎบี ทตวั ประกอบ (Factor theorem) เมื่อ p(x)  an xn  an1xn1  an2xn2  ...  a1x  a0 โดยท่ี n  I  และ an , an1, an2, ..., a1, a0 เป็ นสมั ประสิทธ์ิของพหุนามท่ีเป็ นจานวนจริง ซ่ึง an  0 พหุนาม pจ(ะxม)ี x เป็cนตวั ประกอบกต็ ่อเมื่อ p(c)  0 ถา้ แลว้ pเศ(cษ)ขอ0ง คือ 0 p(x) แสดงวา่ หาร x c ไดล้ งตวั p(x) xc นน่ั คือ เป็ นตวั ปxระกcอบของ p(x)

ตวั อย่างท่ี 4 จงหาค่า k ซ่ึงทาให้ x เป็1นตวั ประกอบของพหุนาม 7x3  kx2  4x  3 วธิ ีทา ให้ p(x)  7x3  kx2  4x  3 เป็ นตวั ปxระก1อบของ จะได้ p(x) p(1)  0 p(1)  7(1)3  k(1)2  4(1)  3 0  7k 43 0  k6 k 6 ดงั น้นั ค่า k คือ 6

➢ ทฤษฎบี ทตวั ประกอบตรรกยะ เม่ือ p(x)  an xn  an1xn1  an2xn2  ...  a1x  a0 โดยที่ n  I  และ an , an1, an2, ..., a1, a0 เป็ นสมั ประสิทธ์ิของพหุนามที่เป็ นจานวนเตม็ ซ่ึง an  0 ถา้ x เปk็ นตวั ประกอบของพหุนาม โpด(ยxท)ี่ m และ k เป็ นจานวนเตม็ ซ่ึง m m  0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เท่ากบั 1 แลว้ m หาร an ลงตวั และ k หาร a0 ลงตวั







4. สมบตั กิ ารไม่เท่ากนั ➢ การไม่เท่ากนั กาหนดให้ a, bเ,ปc็ นจานวนจริงใดๆ aหมbายถึง มากกวา่ a b b หมาaยถึงb นอ้ ยกวา่ a b b หมาaยถึงb นอ้ ยกวา่ หรือaเท่ากบั bc หมาaยถึงb มากกวา่ หรือเaท่ากบั bc หaมายbถึง c และ a  b หมaายbถึง c และ ab

➢ สมบตั ไิ ตรวภิ าค (Trichotomy property) ถา้ และ a เป็ นจานbวนจริง ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ ง และ a เปb็ นไปได้ เพยี งอยา่ งใดอยา่ งหน่ึงใน 3 อยา่ งตอ่ ไปน้ีเท่าน้นั 1. a  b 2. a  b 3. a  b โดยที่ aก็ต่อเbม่ือ a b  0 กต็ อ่ aเม่ือ b a b  0

➢ สมบัตขิ องการไม่เท่ากนั กาหนดให้ a, b, c เป็ นจานวนจริงใดๆ 1. สมบตั ิการถ่ายทอด ถา้ a  b และ b  c แลว้ a  c 2. สมบตั ิการบวกดว้ ยจานวนท่ีเท่ากนั ถา้ a  b แลว้ a  c b  c 3. สมบตั ิการคูณดว้ ยจานวนที่เทา่ กนั ท่ีไม่ - ถา้ a b และ c  0 แลว้ ac bc เทา่ กบั ศนู ย์ - ถา้ a  b และ c  0 แลว้ ac  bc 4. สมบตั ิการตดั ออกสาหรับการบวก ถา้ a  c b  c แลว้ a b 5. สมบตั ิการตดั ออกสาหรับการคูณ - ถา้ ac  bc และ c  0 แลว้ a  b - ถา้ ac  bc และ c  0 แลว้ a  b 6. จานวนจริงบวกและจานวนจริงลบ a เป็ นจานวนจริงบวก ก็ต่อเมื่อ a  0 a เป็ นจานวนจริงลบ กต็ อ่ เมื่อ a  0

5. ช่วงและการแก้อสมการ ➢ ช่วง(Interval) การเขยี นช่วงบนเส้นจานวน 1. ช่วงเปิ ด a, b หมายถึง x / a  x  b 2. ช่วงปิ ด a, b หมายถึง x / a  x  b 3. ช่วงคร่ึงปิ ดคร่ึงเปิ ด a, b หมายถึง x / a  x  b

4. ช่วงคร่ึงเปิ ดคร่ึงปิ ด a, b หมายถึง x / a  x  b 5. ช่วง a,  หมายถึง x / x  a 6. ช่วง a,  หมายถึง x / x  a

7. ช่วง , a หมายถึง x / x  a 8. ช่วง , a หมายถึง x / x  a 9. ช่วง ,  หมายถึง x / x  R

➢ การแก้อสมการ 1. การแก้อสมการทมี่ ตี วั แปรกาลงั สูงสุดเป็ นหนงึ่ ตวั อย่างที่ 6 จงหาเซตคาตอบของอสมการ 3 5x  2x 11 วธิ ีทา จากอสมการ 3 5x  2x 11 นา -3 บวกท้งั สองขา้ งของอสมการ จะได้ 5x  2x 14 นา -2x บวกท้งั สองขา้ งของอสมการ จะได้ 7x  14 นา -7 หารท้งั สองขา้ งของอสมการ จะได้ x  14 7 x  2 ดงั น้นั เซตคาตอบของอสมการ คือ 2, 

*หมายเหตุ ถา้ คูณหรือหารดว้ ยคา่ ลบ(จานวนจริงลบ) เคร่ืองหมายของอสมการ ตอ้ งเปล่ียนเป็ นตรงขา้ มเสมอ 2. การแก้อสมการทม่ี ตี วั แปรกาลงั มากกว่าหนง่ึ ในกรณีท่ีอสมการไมอ่ ยใู่ นรูป คา่ สมั บูรณ์ เรามีหลกั การวธิ ีการแกง้ ่ายๆ ดงั น้ี 1) คาตอบที่ไดจ้ ากอสมการจะอยใู่ นรูปช่วง 2) ทาขา้ งหน่ึงของอสมการใหเ้ ป็ น 0 3) แยกตวั ประกอบ สมมติแยกไดใ้ นรูป (x  a)(x  b)  0 4) หาค่า x ท่ีทาใหแ้ ตล่ ะวงเลบ็ เป็ นศูนย์ ในท่ีนี่ได้ x  a และ x  b 5) เขียนเสน้ จานวน นาค่าท่ีไดใ้ ส่ลงในเสน้ จานวนโดยเรียงจากนอ้ ยไปมาก กาหนดใหช้ ่วงทางขวามือสุดเป็ นคา่ บวก และถดั มาเป็ นค่าลบ บวก ลบ… สลบั ไป เร่ือยๆ ตามจานวนของช่วงท่ีมีอยู่ (ในที่น้ีสมมติให้ a )b

6) ถา้ โจทยเ์ ป็ นเครื่องหมายนอ้ ยกวา่ ศูนย์ ใหต้ อบช่วงที่เป็ นลบ a  x  b ถา้ โจทยเ์ ป็ นเครื่องหมายมากกวา่ ศูนยใ์ หต้ อบช่วงท่ีเป็ นบวก ( x  a หรือ x  b ) แต่ ถา้ โจทยม์ ีเครื่องหมายเท่ากบั รวมอยดู่ ว้ ย คาตอบจะมีเครื่องหมายเท่ากบั รวมอยดู่ ว้ ย เช่นกนั [ a  x  b หรือ ( x  a หรือ x  b ) ] ตวั อย่างท่ี 7 จงหาเซตคาตอบของอสมการ x2  2x  3 วธิ ีทา จากอสมการ x2  2x  3 จะได้ x2  2x  3  0 (x  3)(x 1)  0 จะได้ x = 3, -1 นาไปเขียนลงบนเสน้ จานวน ดงั น้นั เซตคาตอบคือช่วงที่เป็ น (-) = (-1, 3)

ตวั อย่างที่ 8 จงหาเซตคาตอบของอสมการ x3  2x2  x  2  0 วธิ ีทา จากอสมการ x3  2x2  x  2  0 จะได้ x2 (x  2)  (x  2)  0 (x2 1)(x  2)  0 (x 1)(x 1)(x  2)  0 จะได้ x = -1, 1, 2 นาไปเขียนลงบนเสน้ จานวน ดงั น้นั เซตคาตอบคือช่วงที่เป็ น (-) = ,11,2

ตวั อย่างท่ี 9 จงหาเซตคาตอบของอสมการ 1  1 x3 วิธีทา จากอสมการ 1  1 นา x+3 คูณไขวไ้ มไ่ ดเ้ พราะไมร่ ู้วา่ เป็นจานวน บวกหxรือ3ลบ 1 x3 ส1ามาร0ถเอา -1 บวกท้งั สองขา้ งของสมการได้ จดั รูปใหมไ่ ด้ 2 x4  0 คูณตลอดท้งั สองขา้ งของอสมการ นา (x+3) ซ่ึงมxีค่าเป3็นบวกหรือศูนยแ์ น่นอน จะได้ (x  4)(x  3) โด0ยท่ี x  3 จะได้ x = -4, -3 นาไปเขียนลงเส้นจานวน ดงั น้นั เซตคาตอบคือช่วงท่ีเป็ น (+) = ,43,

6. ค่าสัมบูรณ์ คือ “ค่าaสัมบูรณ์ (absolute value)” ของจานวนจริง หมายถaึง ระยะห่าง จาก 0 ถึงจุด บนเสน้ จานวน โaดย

➢ สมบัตขิ องค่าสัมบูรณ์



➢ การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์ ตวั อย่างที่ 10 จงหาเซตคาตอบของอสมการ 3x  5  4 วธิ ีทา จาก 3x  5  4 จะได้ 4  3x  5  4 1  3x  9 1  x3 3 ดงั น้นั เซตคาตอบคือ 1 , 3  3

ตวั อย่างที่ 11 จงหาเซตคาตอบของอสมการ 2x  7  11 วธิ ีทา จาก 2x  7  11 2x  7  11 จะได้ 2x หร7ือ  11 2x  4 2หxรือ 18 x2 หรือ x   9 ดงั น้นั เซตคาตอบคือ , 9  2,

ตวั อย่างที่ 12 จงหาเซตคาตอบของอสมการ 3x 1  x  3 วธิ ีทา จาก 3x 1  x  3 ท้งั สองขา้ งตา่ งก็เป็ นบวก จึงยกกาลงั สองท้งั 2 ขา้ งได้ 3x 12   x  32 3x 12   x  32  0 3x 1   x  3 3x 1   x  3  0 2x  44x  2  0 ดงั น้นั เซตคาตอบคือ  , 2   1 ,    2 

7. สมบตั ิความบริบูรณ์ ( The Axiom of Completeness) ➢ ขอบเขตบน (Upper Bound)

➢ ขอบเขตล่าง (Bounded Below)