Function

ฟังกช์ นั ฟังก์ชัน คือ ความสมั พนั ธซ์ ่ึงในสองค่อู นั ดบั ใดๆ ของความสมั พนั ธน์ ้นั ถา้ สมาชิกตวัหนา้ เหมือนกนั แลว้ สมาชิกตวั หลงั ตอ้ งไมต่ ่างกนั ถา้ (x1,y1) ∈ r และ (x1,y2) ∈ r แลว้ y1= y2 การกาหนดฟังก์ชัน 1. กาหนดโดยเซตแจกแจงสมาชิก 2. กาหนดโดยตารางคอู่ นั ดบั เชน่ x1 2 3 ya b c 3. กาหนดโดยแผนภาพแสดงการจบั คู่ระหวา่ งสมาชิกในเซต 4. กาหนดโดยการบอกเงื่อนไขของสมาชิกในเซตของความสมั พนั ธ์ r เช่น f = {( x , y ) R R | y = 2x + 1} 5. กาหนดโดยกราฟ หลักในการพจิ ารณาว่าความสัมพนั ธ์เป็ นฟังก์ชันหรือไม่ 1. ถา้ ความสมั พนั ธ์น้นั อยใู่ นรูปแจกแจงสมาชิก ใหด้ ูว่าสมาชิกตวั หนา้ ของคอู่ นั ดบั ซ้ากนั หรือไม่ ถา้ สมาชิกตวั หนา้ ของคู่อนั ดบั ซ้ากนั แสดงว่าความสมั พนั ธน์ ้นั ไม่เป็นฟังก์ชนั

2. ถา้ ความสมั พนั ธ์น้นั อยใู่ นรูปของการกาหนดเง่ือนไขสมาชิก r = {(x,y) ∈ A× B | P(x,y) } ใหแ้ ทนคา่ แต่ละสมาชิกของ x ลงในเง่ือนไข P(x,y) เพื่อหาคา่ y ถา้ มี x ตวั ใดที่ให้ค่า y มากกว่า 1 คา่ แสดงวา่ ความสมั พนั ธ์น้นั ไม่เป็น ฟังก์ชนั 3. พิจารณาจากกราฟของความสมั พนั ธ์ โดยการลากเสน้ ตรงขนานกบั แกน y ถา้ เส้นตรง ดงั กล่าวตดั กราฟของความสมั พนั ธ์มากกว่า 1 จุด แสดงว่าความสมั พนั ธ์น้นั ไม่เป็น ฟังกช์ นั สัญลักษณ์ของฟังก์ชันถา้ ความสมั พนั ธเ์ ป็นฟังกช์ นั เราสามารถเขียนแทน y ดว้ ยสญั ลกั ษณ์ f(x) y = f(x) เป็ นฟังก์ชั่นหรือไม่(1) พิจารณาสมการ y = 2x จะไดว้ ่าทุกคร้ังที่แทนค่า x ลงในสมการ 1 คา่ ทาให้ได้ y เพียงคา่ เดยี วเสมอ เชน่ เม่ือแทนค่า x = 1 ทาให้ไดค้ ่า y = 2 เพียงคา่ เดียว แทนค่า x = 2 ทาให้ไดค้ ่า y = 4 เพียงคา่ เดียว แทนคา่ x = 3 ทาใหไ้ ดค้ ่า y = 6 เพียงคา่ เดียว ดงั น้นั สรุปไดว้ ่า f เป็นฟังกช์ นั(2) พิจารณาสมการ y = x2

เมื่อแทนคา่ x = 1 ทาใหไ้ ดค้ ่า y = 1 เพียงค่าเดียว แทนคา่ x = 2 ทาให้ไดค้ า่ y = 4 เพียงค่าเดียว แทนคา่ x = 3 ทาให้ไดค้ ่า y = 9 เพียงคา่ เดียว ดงั น้นั สรุปไดว้ ่า g เป็นฟังกช์ นั(3) พิจารณาสมการ y2 = xเม่ือแทนค่า x = 1 จะได้ y = ±1 มี 2 ค่า ซ่ึงหมายความวา่ มีคู่อนั ดบั ( 1 , -1 )และ( 1 , 1 ) อยู่ใน h ดงั น้นั h ไม่เป็นฟังก์ชนั(4) พิจารณาสมการ |y| = x เม่ือแทนคา่ x = 2 ทาให้ได้ |y| = 2 ซ่ึงจะได้ y = 2 , -2 ดงั น้นั F ไมเ่ ป็นฟังกช์ นัวธิ ีพจิ ารณาจากกราฟ ไม่ยากเลยใช่มยั จากกราฟของความสมั พนั ธ์ f ถา้ มีเสน้ ตรงท่ีขนานกบั แกน Y บางเส้น ตดั กราฟของ f มากกวา่ 1 จุดแลว้ f จะไม่เป็นฟังก์ชนั ( มี x บางค่าจบั คูก่ บั ค่า y เกิน 1 คร้ัง ) ถา้เสน้ ตรงท่ีขนานกบั แกน Y ทุกเสน้ ตดั กราฟของ f ไมเ่ กินหน่ึงจุดเสมอ จะไดว้ า่ f เป็นฟังกช์ นัf เป็นฟังกช์ นั g ไมเ่ ป็นฟังกช์ นั h ไมเ่ ป็นฟังก์ชนั k เป็นฟังก์ชนั

บทนิยาม กาหนดให้ f เป็นฟังกช์ นั และ x1, x2 E f(x) 1. ถา้ x1 < x2 และ f(x1) < f(x2) แลว้ จะเรียก f ว่า ฟังก์ชันเพมิ่ นน่ั คือ f จะมีค่า เพิ่มข้ึน (increasing) 2. ถา้ x1 < x2 และ f(x1) > f(x2) แลว้ จะเรียก f วา่ ฟังก์ชันลด นน่ั คือ f จะมีค่าลดลง (decreasing) 3. ถ้า x1 < x2และ f(x1) = f(x2) แล้วจะเรียก f วา่ ฟังก์ชันคงตวั ทฤษฎบี ท ให้ f เป็นฟังก์ชนั ตอ่ เน่ืองบนชว่ ง [a, b] และหาอนุพนั ธ์ไดบ้ นช่วง (a, b) 1. ถา้ f’(x) > 0 สาหรับ x E (a, b) แลว้ f เป็นฟังก์ชันเพม่ิ บนชว่ ง [a, b] 2. ถา้ f’(x) < 0 สาหรับ x E (a, b) แลว้ f เป็นฟังก์ชันลดบนช่วง [a, b] 3. ถา้ f’(x) = 0 สาหรับ x E (a, b) แลว้ f เป็นฟังก์ชันคงตวั บนชว่ ง [a, b]Ex1 กาหนดให้ f(x) = -3x+7 จงแสดงว่า f เป็นฟังกช์ นั เพิ่มหรือลด บน R+ วธิ ีทา กาหนดให้ x1,x2 ∈ R+ โดย x1< x2 จะได้ -3x1 > -3x2 -3x1+7 > -3x2+7 f(x1) > f(x2) สรุป f เป็นฟังกช์ นั เพิ่มบน R+

Ex2 กาหนดฟังกช์ นั f(x) = -x3- 4x+3 จงแสดงว่า f เป็นฟังก์ชนั เพิ่มหรือลดบน R วธิ ีทา กาหนดให้ x1,x2 เป็นจานวนจริงใดๆโดยท่ี x1< x2 x13 < x23 และ -4x1 > -4x2 -x13 -4x1 > -x23 -4x2 -x13 -4x1 +3 > -x23 -4x2+3 f(x1) > f(x2) สรุป f เป็นฟังกช์ นั ลดบน REx3 กาหนดฟังก์ชนั f(x) = 2x2-8x+11 จงแสดงวา่ f เป็นฟังก์ชนั เพิ่มหรือลด บนชว่ ง [2, ∞) วธิ ีทา จาก f(x) = 2x2-8x+11 = 2(x2 - 4x +4)-8+11 = 2(x-2)2+3 กาหนดให้ x1, x2 เป็นจานวนจริงใดๆบนชว่ ง [2, ∞) โดย x1 < x2 x1- 2 < x2-2 (x1-2)2 < (x2 -2)2 2(x1-2)2 < 2(x2 -2)2 2(x1-2)2 +3 < 2(x2 -2)2+3 f(x1) < f(x2) สรุป f เป็นฟังก์ชนั เพิ่มบนชว่ ง [2,∞)Ex4 กาหนดฟังกช์ นั f(x) = -(x+3)3 จงแสดงวา่ f เป็นฟังกช์ นั เพิ่มหรือลดบน R วธิ ีทา กาหนดให้ x1,x2 เป็นจานวนจริงใดๆโดยที่ x1< x2 x1 + 3 < x2 + 3 (x1 + 3)3 < (x2 + 3)3 - (x1 + 3)3 > - (x2 + 3)3 f(x1) > f(x2) สรุป f เป็นฟังกช์ นั ลดบน R

ฟังก์ชันอนิ เวอร์ส (Inverse function)นิยาม อินเวอร์สของฟังกช์ นั หมายถึง ความสมั พนั ธท์ ี่เกิดจากการสลบั ตาแหน่งระหวา่ งสมาชิก ตวั หนา้ และสมาชิกตวั หลงั ของแต่ละคูอ่ นั ดบัทฤษฎบี ท ให้ เป็นฟังกช์ นั เป็นฟังกช์ นั กต็ ่อเม่ือ เป็นฟังกช์ นั 1-1**สิ่งที่ควรรู้เพ่มิ เติม1. ถา้ เป็นฟังกช์ นั ใดๆ เรียก วา่ อินเวอร์สของฟังกช์ นั เป็นฟังกช์ นั ดว้ ย เราจะเรียก อีกช่ือวา่ ฟังกช์ นั อินเวอร์ส2. ถา้ 1-1 แลว้ : B 1-1 A3. ถา้ เป็นฟังกช์ นั 1-1 แลว้ กต็ ่อเมื่อ4. Df = R f และ Rf = Dfตวั อย่างโจทย์ EX2. กาหนด f(x) = (2x - 8)2 เมื่อ x ≥ 4 DO! จากโจทยจ์ ะได้ f : y = (2x – 8)2 ; x ≥ 4EX1. กาหนด f(x) = 3x + 8 ใหห้ า f-1(x)DO! จากโจทยจ์ ะได้ f : y = 3x + 8 f-1 : x = (2y – 8)2 ; y ≥ 4 f-1 : x = 3y + 8 y= y=นน่ั คือ f-1(x) = นนั่ คือ f-1(x) =

EX3. จงหาฟังกช์ นั ผกผนั ของ f(x) = EX4. ถา้ f(x) = 3x – 5 จงหา f-1(7)DO! จากโจทย์ f : y = DO! จากโจทย์ f : y = 3x – 5 f-1 : x = f-1: x = 3y – 5 y= f-1: y = นน่ั คือ f-1(x) = f1(7) = =4 ฟังกช์ นั คอมโพสิท(composite function) เป็นการกระทาต้งั แตฟ่ ังก์ชนั 2 ฟังก์ชนั ข้ึนไป โดยมีลกั ษณะเหมือนกบั การนาฟังกช์ นัน้นั มาเช่ือมกนั ให้ f เป็นฟังก์ชนั จาก A ไป B ให้ g เป็นฟังกช์ นั จาก B ไป C เราสามารถสร้างฟังก์ชนั จาก A ไป C ไดโ้ ดยเขยี นแทนดว้ ย gof(x) = gf(x) จะสร้างgof(x) ไดก้ ต็ ่อเมื่อ เรนจข์ อง f ตอ้ งเป็นสบั เซตของโดเมน gA BCx f I[ g JI[ gof

พิจารณาฟังก์ชนั h ที่นิยามโดยสมการดงั น้ี h(x) = 2x  1จะเห็นวา่ ในรากท่ีสองมีพหุนามดีกรีหน่ึง แสดงว่า h ประกอบดว้ ยฟังกช์ นั รากท่ีสองและฟังก์ชนั เชิงเส้น และถา้ ให้ u = 2x + 1 = g(x) y = u = f(u)จึงไดว้ า่ h(x) = f[g(x)] ฟังก์ชนั h เรียกวา่ เป็นฟังกช์ นั ประกอบของฟังก์ชนั f และ g ซ่ึงโดเมนเป็นจานวนจริง x เฉพาะที่อยใู่ นโดเมนของ g และ g(x) อยใู่ นโดเมนของ f g(x) ตอ้ งไมเ่ ป็นจานวนลบ จึงได้ g(x) > 0 2x + 1 > 0 x > 12ดงั น้นั โดเมนของ h คือ [ 1 , ) 2 ฟังก์ชันประกอบ กาหนดให้ f และ g เป็นฟังก์ชนั ฟังกช์ นั ประกอบของ g และ แทนดว้ ย f g นิยามดงั น้ี (f g)(x) = f[g(x)] โดเมนของ f g คือเซตของจานวนจริง x ในโดเมน g ที่ g(x) อยู่

ในโดเมนของ fตวั อย่าง 3 จงหา (f g)(x) และ (g f)(x) พร้อมโดเมน เมื่อฟังกช์ นั f (x) = x10และ g(x) = 3x4 – 1วธิ ีทา (f g)(x) = f[g(x)] = f(3x4 – 1) = (3x4 – 1)10 (g f)(x) = g[f(x)] = g(x10) = 3(x10) 4 – 1 = 3x40 – 1 จากโดเมนของ f และ g เป็นจานวนจริงท้งั หมด ถา้ x เป็นจานวนจริงจึงไดว้ า่ x อยใู่ น g และ g(x) อยใู่ น f ดงั น้นั โดเมนของ f g จึงเป็นจานวนจริงท้งั หมด ในทานองเดียวกนั โดเมนของ g f กเ็ ป็นจานวนจริงท้งั หมดข้อสังเกต โดเมนของ g f คือเซตจานวนจริง x ในโดเมนของ f ซ่ึง f(x) อยใู่ นโดเมน ของ gตวั อย่าง จงหา (f g)(x) เม่ือฟังก์ชนั f (x) = 1 และ g(x) = 1x 1 - 2xวธิ ีทา (f g)(x) = f[g(x)] = f( 1x ) = 1 1 - 2( x1 )

= 1  xx 1 - 2( x1 ) = x x- 2จาก x ไม่นิยามท่ี x = 2 ดงั น้นั 2 จึงไมอ่ ยใู่ นโดเมนของ f g x-2และเนื่องจาก 0 ไม่อยใู่ นโดเมนของ g 0 จึงไมอ่ ยใู่ น f g ดว้ ย ดงั น้นั (f g)(x) = x x- 2 , x  0 , 2ตวั อย่าง จงหา (f g)(x) เมื่อฟังก์ชนั f (x) = 4 - x 2 และ g(x) = 3 - xวธิ ีทา (f g)(x) = f[g(x)] = f( 3 - x ) = 4 -( 3-x )2 = 1x จากโดเมนของ f คือ [–2, 2] และโดเมนของ g คือ (–, 3] และ 1  x นิยามเมื่อ x > –1 ดงั น้นั จึงได้ โดเมนของ f g ดงั น้ี โดเมน f g x > –1 ไดแ้ ก่เซตของจานวนจริง x โดยที่ x < 3 หรือ [–1, 3]

พชี คณติ ของฟังก์ชัน พีชคณิตของฟังกช์ นั คือ การนาฟังกช์ นั ต้งั แต่ 2 ฟังกช์ นั ข้ึนไปมาบวก ลบ คูณ หาร กนั เพือ่ ใหไ้ ด้ฟังกช์ นั ใหม่ พีชคณิตของฟังกช์ นั ทาไดโ้ ดยการนาเรนจข์ องคู่อนั ดบั ของฟังกช์ นั ที่มีโดเมนเหมือนกนั มา บวกลบ คูณ หาร กนั นิยาม กาหนดให้ f และ g เป็ นฟังก์ชันในเซตของจานวนจริง f+g = {(x,y)|y= f(x)+g(x) และ x∈ D f ∩ Dg } f-g = {(x,y)|y= f(x)-g(x) และ x∈ D f ∩ Dg } f.g = {(x,y)|y= f(x).g(x) และ x∈ D f ∩ Dg } f/g = {(x,y)|y= f(x)/g(x) และ x∈ D f ∩ Dg } ตวั อยา่ งที่ 1 f = {(1,2),(3,8),(5,6),(7,9)} g = {(1,6),(2,5),(3,4),(7,3)}จงหา f+g , f-g , f.g , f/gวิธีทาf+g = {(1,2+6),(3,8+4),(7,9+3)} = {(1,8),(3,12),(7,12)}f-g = {(1,2-6),(3,8-4),(7,9-3)} = {(1,-4),(3,4),(7,6)}f . g={(1,2 6),(3,8 4),(7,9 3)} = {(1,12),(3,32),(7,27)}

f /g = {(1,2/6),(3,8/4),(7,9/3)} ตวั ท่ีทำให้สว่ นเป็นศนู ย์ = {(1,1/3),(3,2),(7,3)} ข้อสงั เกต 1) D f +g = D f -g = D f . g = D f ∩ Dg 2) D f /g = D f ∩ Dg - {x│g(x) = 0} สรุป พชี คณิตของฟังกช์ นั คอื การบวก ลบ คูณ หารฟังกช์ นั คือ การนาตวั หลงั ของคูอ่ นั ดบั ท่ีมีตวัหนา้ เหมือนกนั มาบวก ลบ คูณ หารกนั แต่ตอ้ งระวงั ในการหารตอ้ งไม่ใหต้ วั หารเป็นศูนย์ตวั อยา่ งที่ 2 กาหนด และ และ และ จงหาโดเมนของโดเมนของ ยกเวน้ ท่ีทาใหส้ ่วนเป็นวิธีทา และ

เน่ืองจากโดเมนของ #ตวั อยา่ งที่ 3 กาหนด เมื่อ เม่ือ จงหาเรนจข์ อง fg (1)เพราะวา่ (2)จาก (1) และ (2) จะพบวา่ y=(fg)(x) จะเกิดข้ึนในช่วง [0,5] เท่าน้นันน่ั คือ เม่ือดงั น้นัแสดงวา่ เรนจข์ อง เท่ากบั

โจทยเ์ สริม!!1. กาหนด และขอ้ ใดต่อไปน้ีถกู ตอ้ ง ก. f เป็นฟังกช์ นั จาก R ไปทว่ั ถึง R – {1} ข. g เป็นฟังกช์ นั แบบ 1-1 ค. g เป็นฟังกช์ นั จาก R ไป R2. ให้ เมื่อ เป็นฟังกช์ นั ทวั่ ถึง B เซต B คืออะไร3. พจิ ารณาขอ้ ใดถกู ก. f(x) = x2 เม่ือ x < -2 เป็นฟังกช์ นั 1-1 ข. เม่ือ เมื่อ4. ให้ เป็นเซตของจานวนเตม็ บวกกาหนดให้ โดย ถา้ เป็นจานวนเตม็ คู่ ถา้ เป็นจานวนเตม็ คี่5. จงใชบ้ ทนิยามตรวจสอบวา่ เป็นฟังกช์ นั 1-1 หรือไม่กาหนด f(x)= และ x<0