E-book คณิตศาสตร์_2

ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ SPTRAOTBIASBCILAITNYD สถิติและความน่าจะเปนคณิตศาสตร์

STATISC สถิติ สถิติ มคี วามหมายสองนยั คือ สถิติ หมายถึง ตัวเลขทีแทนจาํ นวนหรอื ขอ้ เท็จจรงิ ของสงิ ทีเราศึกษา เชน่ สถิติปรมิ าณนาํ มนั สถิติผลการเรยี นของนกั เรยี น สถิติ หมายถึง ศาสตรท์ ีวา่ ด้วยระเบยี บวธิ กี ารทางสถิติ ซงึ ประกอบด้วย การเก็บรวบรวมขอ้ มูล การนาํ เสนอขอ้ มูล การวเิ คราะห์และแปลความหมายของขอ้ มูล

ขอ้ มลู และการนําเสนอขอ้ มลู ข้อมูล คือ ข้อเท็จจริง หรือสิงทียอมรับว่าเปนข้อเท็จ การนาํ เสนอข้อมูล จริงของเรืองทีเราสนใจศึกษา ปกยตังิแไมล่เ้วห็นข้ลอักมูษลทณีเะรทาีเสกาํ ็บคมัญาขนอันงจขะ้ยอังมไูลมท่เีีปชัดนเรจะนบบจแึงละ จาํ เปนต้องมีการนาํ ข้อมูลนันมาจัดให้เปนระบบเพือจะ เราสามารถจาํ แนกข้อมูลออกเปน 2 ประเภท คือ นาํ ข้อมูลนันไป วิเคราะห์และนาํ ไปใช้ประโยชน์ได้ การนาํ เสนอข้อมูลเปนการเตรียมความพร้อมเบืองต้นสาํ หรับ 1.ข้อมูลเชิงปริมาณ คือ ข้อมูลทีเปนตัวเลขทีใช้แสดง การวิเคราะห์ข้อมูล ปริมาณ ซึงวัดออกมาเปนจาํ นวนทีสามารถนาํ ไปคํานวณ เปรียบเทียบกันได้ ตัวอย่างของข้อมูลเชิงปริมาณ เช่น การนาํ เสนอข้อมูลในมีหลายอย่าง เช่น คะแนนสอบ อายุ ความสูง นาํ หนัก เปนต้น - การนาํ เสนอข้อมูลในรูปตาราง 2.ข้อมูลเชิง คุณภาพ คือ ข้อมูลทีอธิบายลักษณะหรือ - การนาํ เสนอข้อมูลในรูปแผนภูมิแท่ง - การนาํ เสนอข้อมูลในรูปแผนภูมิวงกลม สมบัติในเชิงคุณภาพ ตัวอย่างเช่น ข้อมูลเกียวกัเพศใน - การนาํ เสนอข้อมูลในรูปกราฟเส้น ครอบครัว อาชีพของคนในครอบครัว เปนต้น - การนาํ เสนอข้อมูลในรูปตารางแจกแจงความถี

(กFRาEQรUEแNCYจDกISTแRIBจUTงIONคTAวBLาE)มถี การแจกแจงความถี (Frequency distribution table) จาํ แนกออกเปน 2 ลักษณะ คือ แจกแจงขอ้ มูลเปนตัว ๆ ไป ใชก้ ับขอ้ มูลดบิ ทีมจี าํ นวนไมม่ ากนกั แจกแจงขอ้ มูลเปนชว่ งคะแนน (อันตรภาคชนั ) เชน่ หลักการสรา้ งตารางแจกแจงความถี 1. พจิ ารณาจาํ นวนขอ้ มูลดิบทังหมดวา่ มมี ากหรอื น้อยเพยี งใด 2. หาค่าสงู สดุ หรอื ตําสดุ ของขอ้ มูลดิบทีมอี ยู่ 3. หาค่าพสิ ยั ของขอ้ มูลนันจากสตู ร พสิ ยั = ค่าสงู สดุ – ค่าตําสดุ 4. พจิ ารณาวา่ จะแบง่ เปนกีชนั (นิยม 5 – 15 ชนั ) 5. หาความกวา้ งของแต่ละอันตรภาคชนั จากสตู ร (นิยมปรบั ค่าใหเ้ ปน 5 หรอื 10 ) ความกวา้ งของอันตรภาคชนั = พสิ ยั /จาํ นวนชนั (/ = การหาร หรอื สว่ น) 6. ควรเลือกค่าทีน้อยทีสดุ หรอื ค่าทีมากทีสดุ ของอันตรภาคชนั ใหเ้ ปนค่าทีสงั เกตไดง้ ่ายๆ

ฮ(HISิสTOโGRตAMแ) กรม ฮิสโตแกรม (Histogram) หรอื แท่งความถี คือ การ ฮิสโตแกรม (Histogram) หรอื แท่งความถี คือ การ แจกแจงความถีขอ้ มูลโดยใชก้ ราฟแท่ง เพอื ใหเ้ กิดความเปน แจกแจงความถีขอ้ มูลโดยใชก้ ราฟแท่ง เพอื ใหเ้ กิดความเปน รปู ธรรมของขอ้ มูลมากยงิ ขนึ และง่ายต่อการวเิ คราะห์ หรอื รปู ธรรมของขอ้ มูลมากยงิ ขนึ และง่ายต่อการวเิ คราะห์ หรอื ตีความหมายขอ้ มูล ตีความหมายขอ้ มูล ค่ากลางของขอ้ มูล มที ังหมด 6 ชนดิ หลักในการหาค่าเฉลียเลขคณติ - ค่าเฉลียเลขคณติ หรอื ตัวกลาง - นาํ ขอ้ มูลทังหมดมารวมกัน - เลขคณติ (arithmetic mean) - นาํ ผลรวมทีไดจ้ ากขอ้ 1 มาหารดว้ ยจาํ นวน - มธั ยฐาน(median) - ขอ้ มูลทังหมด - ฐานนยิ ม(mode) - ตัวกลางเรขาคณติ (geometric mean) - ผลหารทีไดใ้ นขอ้ 2 คือ ค่าเฉลีย - ตัวกลางฮาโมนคิ (harmonic mean) - ตัวกึงกลางพสิ ยั (mid-range)

ม(medัธianย) ฐาน ฐานนยิ ม (mode) คือ ค่ากลางของขอ้ มูลทีมคี วามถี มธั ยฐาน (median) คือ ค่ากลางของขอ้ มูลทีอยู่ สงู สดุ ในชุดขอ้ มูลนนั กึงกลางของขอ้ มูลทังหมดหลังจากเรยี งลําดบั ขอ้ มูล จากนอ้ ยไปมากหรอจากมากไปนอ้ ย ตัวอยา่ ง จงหาค่ามธั ยฐานของขอ้ มูล 3 , 7 19, 25, 12, ตัวอยา่ ง จงหาฐานนยิ มของขอ้ มูลชุดนี 3, 2, 5, 3, 3, 3, 18 , 10 3, 3, 3, 3, 5 วธิ ที ํา เรยี งขอ้ มูลจากนอ้ ยไปมากได้ 3 , 7, 10, 12, 18, 19, วธิ ที ํา ขอ้ มูลมี 2 จาํ นวน 1 ค่า มี 3 จาํ นวน 8 ค่า มี 5 25 ขอ้ มูลมที ังหมด 7 ตัวเรยี งขอ้ มูลแล้วตัวเลขทีอยูต่ รง จาํ นวน 2 ค่า ฉะนนั ฐานนยิ มของขอ้ มูลคือ 3 กลางคือตัวเลขตําแหนง่ ที 4 ตัวเลขตําแหนง่ ที 4 คือ 12 เปนมธั ยฐาน

PROBABILITY ความน่าจะเปนความน่าจะเปน ม.6 : กฏทีสาํ คัญบางประการ ของความน่าจะเปน การทดลองสุ่ม ( RANDOM EXPERIMENT) แซมเปลสเปซ ( SAMPLE SPACE) คือการทดลองทีไม่สามารถทํานายผลลัพธ์ได้อย่างถูกต้อง คือเซตของผลลัพธ์ทีอาจเปนไปได้ทังหมดของการทดลองสุ่ม ตัวอย่าง การโยนเหรียญขึนไปในอากาศ ถือว่าเปนการทดลอง ตัวอย่าง เช่น ในการโยนเหรียญ 2 อัน 1 ครัง ถ้ามีผลลัพธ์ทีเราสนใจ สุ่ม เพราะยังไม่ทราบว่าเหรียญจะหงายหัวหรือก้อยการทอด คือ การขึนหัวหรือก้อย ลูกเต๋า 1 ลูก ถือว่าเปนการทดลองสุ่ม เพราะยังไม่ทราบว่าลูกเต๋า จะขึนแต้ม 1, 2, 3, 4, 5 จะได้แซมเปลสเปซ คือ {(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)} เมือ (H, T) หรือ 6 หมายถึงเหรียญอันที 1 ขึนหัว และเหรียญอันที 2 ขึนก้อย ในการโยนเหรียญ 2 อัน 1 ครัง ถ้ามีผลลัพธ์ทีเราสนใจคือ จาํ นวนก้อยทีขึน จะได้แซมเปลสเปซ คือ {0, 1, 2} เมือ 0 หมายถึงไม่ขึนก้อยทัง 2 อัน (นันคือขึนหัวทังสองอัน) 1 หมายถึงขึนก้อยเพียง 1 อัน (ขึนหัว 1 อัน) 2 หมายถึงขึนก้อยทัง 2 อัน

Probability ความน่าจะเปนความน่าจะเปน ม.6 : กฏทีสาํ คัญบางประการ ของความน่าจะเปน เหตกุ ารณ์ ( Event) คือสบั เซตของแซมเปลสเปซ P(E) = nn—((ES—)) ความนา่ จะเปนของเหตกุ ารณ์ ตัวอยา่ ง ความนา่ จะเปนที A เรยี งเปนตัวแก จากการ คือ โอกาสทีจะเกิดเหตกุ ารณท์ ีสนใจเท่ากับเท่าใด เรยี งตัวอักษร 2 ตัวจากอักษร 3 ตัว คือ A, B และ C หลักการหาความนา่ จะเปน S = {AB, BA, AC, CA, BC, CB} E = { AB , AC } - ให้ S เปนแซมเปลสเปซ ซงึ แต่ละผลลัพธใ์ น S มโี อกาสเกิด ขนึ เท่าๆกัน E เปนสบั เซตของ S P(E) =—2— 6 - ให้ P (E) เปนสญั ลักษณแ์ ทน ความนา่ จะเปนของเหตกุ ารณ์ E เราสามารถหา P(E) ไดด้ งั นี

Probability ความน่าจะเปนความน่าจะเปน ม.6 : กฏทีสาํ คัญบางประการ ของความน่าจะเปน กฎสาํ คัญบางประการของความน่าจะเปน สมบัติของความน่าจะเปนของเหตุการณ์ 2 เหตุการณ์ ให้ A เปนเหตกุ ารณใ์ ดๆ และ S เปนแซมเปลสเปซ ให้ A และ B เปนเหตกุ ารณ์ 2 เหตกุ ารณ์ ใน S แซมเปลสเปซ สมบตั ิความนา่ จะเปนของ A ดงั นี 1. 0 P (A) 1 ∩1. P (A U B) = P (A) + P (B) – P (A B) ∩2. P (A U B) = P (A) + P (B) เมอื A B = { } 2. ถ้า A = { } แล้ว P (A) = 0 นนั คือ P ( { } ) = 0 ∩3. P (A) = 1 – P (A’) 3. ถ้า A = S แล้ว P (A) = 1 นนั คือ P(S) = 1 4. P (A-B) = P (A) – P (A B)

PROBABILITY ความน่าจะเปนความน่าจะเปน ม.6 : กฏทีสาํ คัญบางประการของ ความน่าจะเปน ตัวอย่าง ความน่าจะเปนแบบเงือนไข ∩กําหนดให้ P (A) = 0.6 P (B’) = 0.4 และ P (A – B) = 0.2 จงหา P บางครงั เราทราบวา่ เหตกุ ารณห์ นงึ เกิดขนึ เรา ต้องการหาความนา่ จะเปนทีอีกเหตกุ ารณห์ นงึ เกิดขนึ (A ‘ B’) เรยี กความนา่ จะเปนแบบนวี า่ ความนา่ จะเปนแบบ เงือนไข จาก P (B’) = 0.4 จะได้วา่ P (B) = 1 – P (B’) = 1 – 0.4 = 0.6 ให้ A และ B เปนเหตกุ ารณ์ โดยที P (B) > 0 เขยี น จาก P (A) = 0.6 และ P (A – B) = 0.2 P (A/B) แทนความนา่ จะเปนของ A เมอื กําหนดวา่ เหตกุ ารณ์ B เกิดขนึ แล้ว ∩เนืองจาก P (A) = P (A – B) + P (A B) และให้ (ถ้านักเรยี นไมเ่ ขา้ ใจใหเ้ ขยี นแผนภาพทางด้านเซตด)ู ∩0.6 = 0.2 + P (A B) ∩P (A B) = 0.4 ∩เนืองจาก P (A’ B’) = P (A U B)’ = 1 – P (A U B) ∩จากสมบตั ิความน่าจะเปน P (A’ B’) = 1 – [P (A) + P (B) – P (A ∩B)] = 1 – [0.6 + 0.6 – 0.4] = 1 – 0.8 = 0.2

PROBABILITY ความน่าจะเปนความน่าจะเปน ม.6 : กฏทีสาํ คัญบาง ประการของความน่าจะเปน ความน่าจะเปนของเหตกุ ารณ์ทีเปนอิสระต่อกัน จะได้วา่ P(A) =—4— = —1— 36 9 พจิ ารณาในการโยนเหรยี ญ 1 อัน 2 ครงั จะเหน็ วา่ การทีการโยนเหรยี ญครงั หนึงขนึ หวั หรอื ก้อย ไมม่ ผี ล และP(B) =—4— = —1— ต่อการขนึ หวั หรอื ก้อยในการโยนครงั ทีสอง 36 9 เรากล่าววา่ การโยนทังสองครงั เปนอิสระต่อกัน ∩นิยาม เหตกุ ารณ์ A และเหตกุ ารณ์ B เปนอิสระต่อกันก็ต่อเมอื P (A B) = P (A) P (B) ทฤษฎีบท เหตกุ ารณ์ A และเหตกุ ารณ์ B เปนอิสระต่อกันก็ต่อเมอื P (A/B) = P (A) เนืองจากการโยนลกู เต๋าแต่ละครงั เปนอิสระต่อกัน เหตกุ ารณ์ A และเหตกุ ารณ์ B เปนอิสระต่อกันก็ต่อเมอื P (B/A) = P (B) ∩ดังนันความน่าจะเปนทีผลรวมของแต้มแต่ละครงั เปน 5 เท่ากับ ตัวอยา่ ง โยนลกู เต๋า 2 ลกู 2 ครงั จงหาความจะเปนทีผลรวมของแต้มแต่ละครงั เท่ากับ 5 P (A B) = P (A) P (B) ให้ A แทนเหตกุ ารณ์ทีผลรวมของแต้มในการโยนครงั ที 1 เปน 5 50 —1— —1— = —1 — ให้ B แทนเหตกุ ารณ์ทีผลรวมของแต้มในการโยนครงั ที 2 เปน 5 9 9 81 x 40 30 20 10 0 Item 2 Item 3 Item 4 Item 5 Item 1

THANK YOU REMEMBER TO KEEP AT IT!